平方根与立方根

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平方根与立方根

平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。

它们分别表示一个数的平方和立方的根。

平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。

平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。

一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。

对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。

平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。

（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。

首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。

（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。

首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。

例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。

2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。

例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。

例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。

二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。

对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。

立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。

（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。

（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。

2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。

例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。

例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。

总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。

初中数学平方根和立方根

x 2y ,求 x y 的值.
∵ 2x y2 3 ，∴（2x-y）2=9，2x-y=±3.
∵ 3 x 2 y3 3 ，∴x-2y=-3.
当2x-y=3，x-2y=-3时，解得x=y=3，∴
x2y x y
无意义.
当2x-y=-3，x-2y=-3时，解得x=-1，y=1，∴ x 2 y = 1 .
x y
2
4.算术平方根：把正数的正的平方根叫做算术平方根.即一个正数x的平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
5.立方根: 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，
也叫做a的三次方根．记作３a .
6.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零.
平方根和立方根
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根或二次方根．这就是说，如果x2 a，那么x 叫做a的平方根．
2平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0只有两平方根，是0本身；（3）负数没有平方根.
3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：
设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得x3＝64，解得x＝4，所以正方体铁块的棱长是4厘米. 设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得 πr2×3＝64，所以 r2 64.因为r＞0，解得.
9 所以烧杯内部的底面半径是厘米.
10.已知 (2x y)2 3 ,3 (x 2y)3 3 解：
又因为 SABFE 2SCDEF ，设
所以144 212x，．
，
B
FC
所以
(cm)．

平方根和立方根的计算和性质

平方根和立方根的计算和性质平方根和立方根是数学中的重要概念，它们的计算方法和性质对于数学运算和实际问题解决都具有重要意义。

本文将介绍平方根和立方根的计算方法，探讨它们的数学性质，并通过例题说明它们在实际应用中的作用。

一、平方根的计算和性质平方根是指一个数的二次方等于该数的非负实数。

平方根的计算可以通过开平方的方法得出。

在计算一个数的平方根时，可以利用求解方程的方法来进行计算。

设要求解的数为x，那么它的平方根即为满足方程x^2 = a的解。

根据方程的性质，我们可以得到平方根的计算公式：x = √a其中，√a表示a的平方根。

具体计算时，可以借助计算器等工具，或者利用牛顿迭代法逼近求解。

平方根具有一些重要的性质。

首先，平方根的值永远是非负的。

也就是说，对于任意的正数a，它的平方根√a总是大于等于0的。

而对于负数，其平方根则不存在于实数范围内。

其次，平方根满足数学上的运算规律。

如果a和b分别是两个非负实数，那么它们的平方根满足以下运算性质：（1）√(a*b) = √a * √b（2）√(a/b) = √a / √b （b ≠ 0）这些性质在实际问题的计算中十分有用，可以简化运算步骤，提高计算效率。

二、立方根的计算和性质立方根是指一个数的三次方等于该数的实数。

与平方根类似，立方根的计算也可以通过开立方的方法得出。

计算一个数的立方根时，可以利用求解方程的方法进行计算。

设要求解的数为x，那么它的立方根即为满足方程x^3 = a的解。

根据方程的性质，我们可以得到立方根的计算公式：x = ∛a其中，∛a表示a的立方根。

类似地，具体计算时可以借助工具或者迭代法进行逼近求解。

立方根也具有一些重要的性质。

与平方根类似，立方根的值可以为正数或者负数。

而在实际应用中，通常我们只考虑实数范围内的立方根。

此外，立方根满足一些运算规律。

如果a和b分别是两个实数，那么它们的立方根满足以下运算性质：（1）∛(a*b) = ∛a * ∛b（2）∛(a/b) = ∛a / ∛b （b ≠ 0）同样地，这些性质可以简化计算步骤，提高计算效率。

平方根和立方根

平方根和立方根平方根和立方根是数学中常见的运算方法，用于求得一个数的平方根和立方根。

在代数学中，平方根表示一个数的二次方根，即一个数的平方根记作√x，其中x是被开方的数。

同样地，在代数学中，立方根表示一个数的三次方根，即一个数的立方根记作∛x，其中x是被求立方根的数。

平方根平方根是数学中常见的运算，用于求一个数的二次方根。

对于正实数x，其平方根可以通过不断逼近得到。

实际上，平方根也可以是复数。

数学上有多种方法来求得一个数的平方根。

其中，常见的方法有牛顿迭代法、试位法和二分法等。

例如，我们可以使用牛顿迭代法来求平方根，具体步骤如下：1. 设初始猜测值x0。

2. 根据公式xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))，依次迭代求得下一个近似值。

3. 当所得近似值与前一个值之差小于给定误差时，迭代结束。

对于一些简单的数，我们可以使用手算的方法来求平方根。

例如，对于完全平方数，其平方根是一个整数。

而对于非完全平方数，可以通过列竖式的方式逼近求解。

立方根立方根是数学中常见的运算，用于求一个数的三次方根。

对于正实数x，其立方根可以通过不断逼近得到。

求一个数的立方根可以使用牛顿迭代法、二分法等数值计算方法。

与求平方根类似，我们可以使用牛顿迭代法来求立方根，具体步骤如下：1. 设初始猜测值x0。

2. 根据公式xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))，依次迭代求得下一个近似值。

3. 当所得近似值与前一个值之差小于给定误差时，迭代结束。

与求平方根类似，对于一些简单的数，我们可以使用手算的方法来求立方根。

例如，对于完全立方数，其立方根是一个整数。

而对于非完全立方数，可以通过列竖式的方式逼近求解。

总结平方根和立方根是常见的数学运算方法，用于求得一个数的平方根和立方根。

在实际应用中，我们可以利用数值计算方法来求解，如牛顿迭代法、二分法等。

同时，我们也可以使用手算的方法来逼近求解，特别是对于一些特殊的数。

平方根与立方根之间的区别与联系

平方根与立方根之间的区别与联系平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误，为此，笔者将其区别与联系小结如下。

一、两者的区别1、定义不同平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根立方根：如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根2、表示方法不同正数a 的平方根记为a ±，数a 的立方根记为3a 。

表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了。

3、读法不同正数a 的平方根记为a ± ，读作“正、负根号 a ”。

3a 读作“ 三次根号a 或a的立方根”。

4、被开方数的取值范围不同在平方根a ±中，被开方数a 是非负数，即 0≥a 。

但在3a 中，a 可以是任意的数。

5、根的个数不同一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。

任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0。

二、二者的联系求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算。

三、应用举例例1、求下列各式的值（1）1211- （2） 16.0± （3） 32764- （4）3216125 解：（1）1111211,1211)111(2-=-∴= （2）4.016.0,16.0)4.0(2=±∴=±（3）342764,2764)34(33-=-∴-=- （4）65216125,216125)65(33=∴= 例2、求下列各式中的x（1）48)43)(43(=-+x x（2）343)35(3=-x解：（1）481692=-x 即9642=x 38964±=±=∴x （2）734335,343)35(33==-∴=-x x 即2,105=∴=x x。

第二章平方根、算术平方根和立方根

第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。

2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。

②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。

③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。

④写法不同。

在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2）联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。

②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有（ a ）2＝ a 2 。

3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42．（2014 。

东营）的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港）计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。

厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下列说法中，正确的是（） A. 一个有理数的平方根有两个，B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州）若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。

平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

平方根和立方根专题(比较难)

平方根和立方根专题(比较难) 平方根和立方根知识归纳】1.平方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术平方根，记为$\sqrt{x}$。

规定，$\sqrt{1}=1$。

2）一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；只有1个平方根，它是本身；负数没有实数平方根。

3）两个公式：a）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；b）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。

2.立方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术立方根，记为$\sqrt[3]{x}$。

2）一个正数的立方根有1个，负数有1个立方根。

3）立方根的性质：a）$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$；b）$a^3=(\sqrt[3]{a})^3$。

4.已知某数有两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，求这个数。

设这个数为$x$，则有$(a+3)^2=x$，$2a-15$也是$x$的平方根，因此$(2a-15)^2=x$。

解得$a=7$，$x=64$。

5.已知：$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，求$m+2n$的值。

由题意可列出方程组：begin{cases}sqrt{2m+2}=4\\sqrt{3m+n+1}=5end{cases}$解得$m=6$，$n=13$，因此$m+2n=32$。

6.已知$a<0$，$b<0$，求$4a^2+12ab+9b^2$的算术平方根。

4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2$，因此算术平方根为$|2a+3b|$。

7.甲乙二人计算$a+1-2a+a^2$的值，当$a=3$的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：$a+1-2a+a^2=a+(1-a)^2=a+1-a=1$。

乙的解答：$a+1-2a+a^2=a+(a-1)^2=a+a-1=2a-1=5$。

哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？乙的解答是正确的。

数学知识点平方根与立方根的计算

数学知识点平方根与立方根的计算平方根和立方根是数学中经常使用的概念，它们在计算和解决实际问题中起着重要的作用。

本文将介绍平方根和立方根的计算方法及其应用。

一、平方根的计算平方根是指一个数的平方等于该数的非负数根。

平方根的计算可以通过手动计算或使用计算器来完成。

1. 手动计算手动计算平方根可以使用牛顿迭代法、二分法等方法，但在实际应用中，最常用的是开方公式。

对于给定的非负实数x，它的平方根可表示为√x。

若x的平方根为a，则有a^2 = x。

因此，求平方根可以转化为求解方程a^2 - x = 0。

根据求解一元二次方程的公式，平方根可以表示为：a = ±√x其中，±表示两个相反的解，正数根和负数根。

在实际应用中，通常我们只考虑正数根。

2. 使用计算器对于较复杂的平方根计算，我们可以使用计算器来得到准确的结果。

大多数科学计算器和计算机的计算软件都提供了平方根计算的功能。

只需输入待计算的数值，并按下平方根按钮，即可得到结果。

二、立方根的计算立方根是指一个数的立方等于该数的非负数根。

立方根的计算可以通过手动计算或使用计算器来完成。

1. 手动计算手动计算立方根可以使用牛顿迭代法、二分法等方法，但在实际应用中，最常用的是开方公式。

对于给定的实数x，它的立方根可表示为³√x。

若x的立方根为a，则有a^3 = x。

因此，求立方根可以转化为求解方程a^3 - x = 0。

根据求解一元三次方程的公式，立方根可以表示为：a = x^(1/3)其中，^(1/3)表示计算x的1/3次方，并得到结果。

2. 使用计算器对于较复杂的立方根计算，我们可以使用计算器来得到准确的结果。

大多数科学计算器和计算机的计算软件都提供了立方根计算的功能。

只需输入待计算的数值，并按下立方根按钮，即可得到结果。

三、平方根与立方根的应用平方根和立方根的应用非常广泛，在数学、物理学、工程学等领域都有重要的作用。

1. 几何学中的应用平方根和立方根在几何学中经常用于计算长度、面积和体积。

平方根和立方根

平方根和立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

注意：这样的数常常有两个。

2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。

(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。

3.平方根的表示方法: 正数a的平方根表示为―±‖4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。

记作。

0的平方根0,也叫做0的算术平方根。

5.≥0（当a<0时, 无意义）。

到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。

6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。

二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2.表示的正数a的算术平方根。

蕴含条件a≥0。

三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121(2)0.0049(3)(4)4(5)|a|2解: (1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即±=±11, =11。

(2)∵(±0.07)2=0.0049∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。

(3)∵(±)2=∴的平方根是±,算术平方根是,即±=±,=。

(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(±)2=∴4的平方根为±，算术平方根为。

即,±。

(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。

∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。

说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。

例2. 求下列各式的值:解: (1)3=3×=(2)±=±(3)=8(4)±=±(5)-(带分数要先化成假分数)(6)3×=3×7=21(7)(8)×0.6+×0.9=0.3+0.3=0.6(9)(a<b)=∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。

数的开方(平方根与立方根)

一、知识点归纳:1、平方根(1) 平方根的意义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。

a 的平方根记作：±20或±丿5。

求一个数a 的平方根的运算叫做开平方 . (2) 平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数② 0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。

(3) 平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根(1)算术平方根的意义：非负数 a 的正的平方根。

一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 (2) 算术平方根的性质①正数a 的算术平方根是一个正数；② 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。

3、立方根(1)立方根的意义如果一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a 的立方根(也叫三次方根)。

如果x3=a ,则x 叫做a 的立方根。

记作：x=需 ,读作三次根号a ”求一个数的立方根的运算叫做开立方。

(2)立方根的性质">0②一个负数有一个负的立方根，即若a<0,则V^0③0的立方根是0,即若a=0，则3垢=0 。

重要性质：旷弓=-V a (3)立方与开立方互为逆运算。

二、典型例题：例1、x 为何值时，寸X +1(5)X —1例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。

例3、若X 、y 都是实数，且y = J x -3 + J 3-X +2，求x+3y 的平方根。

例4、如果M =aP a +b +3是a+b+3的算术平方根, N =2噪a + 2b 是a+2b 的立方根，求M — N 的立方根。

第12章数的开方重要性质：J a 2=a ,(需 $ = a(a >0)下列代数式有意义。

(1W 3 + 2x(2) J x -2 + J 2—X(3) J x 2+31(4) -^= 如一1①一个正数有一个正的立方根，即若a>0,则 (6) (X-1)2例5、已知a,b,c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简V a 2- a -b + c-a + J (b -C)2三、课堂练习:1、填空：(10)某种洗衣机的包装箱是长方形，其高为1.2m ,体积为1.2 m 3,底面是正方形，则该包装箱的底面边长m.(11)已知△ ABC 的三边长分别为a 、b 、c,,且满足7rW+|b -4+(c -3)2=0,则此△ ABC 的周长= (12 )请你观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以 J121=11，同样，因为111^12321 ,所以 J12321 =111,由此猜想 J12345678987654321 =2、选择: (1) (2) 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是( -1 D 、1, -1 或 0 () A 、 1 B 、 0 C 、下列各式中无意义的是A 、 —J 3B J-32).±J(-3丫(3) A下列说法正确的是( 、4的平方根是2、-16 的平方根是C 、实数a 的平方根是土 J a 、实数a 的立方根是V a (4)有理数中，算术平方根最小的是)(1) 0.25的平方根是9 2的算术平方根是J 16 的平方根是 - J 2的相反数是,73的倒数是J 3 -1的绝对值是(16=±层，V (」)2(4)时，有意义；若有意义，则x 时，j3-m 有意义；当m时，3治-3有意义(5)j 81的平方根是，74的算术平方根是邸64的平方根是，764的立方根若一个正数的平方根是 2a -1和-a + 2，贝U a =，这个正数是(7) 如果有-是m 的一个平方根，那么m 的算术平方根是 (8) 计算：口 +伙-1)2 + J (-1)2 =(9)已知 j 2a -1 +(b +3)2 =0,则 #竽=；(a+2)2+ |b — 1|+ J 3— C = 0,贝y a + b + c =、0.1A 、1B 、0 C（5）下列说法中，正确的是（ D 、不存在）•A 、27的立方根是3,记作J27=3B 、-25的算术平方根是5C 、a 的三次立方根是土蚯D 、正数a 的算术平方根是 j a(6) V a 的值是（）• （A ）是正数 (B) 是负数（C ）是零以上都可能(7) 若 X 2 =(-0.7 丫，则 X = ( )• (8) (9) (A) -0.7 ( B) ±).7(C ) 0.7 ( D ) 0.49下列等式：① ② y( - 2 ) = -2，③ J( - 2 ) = 2, ⑥-44 = —2;正确的有（ )个. (A) 4 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 1 设 x 、y 为实数，且 y =4+J 5-X + J x-5 , 则|x —y 的值是（ (10) (11) (12) (13)下列说法中正确的是（ A 、4是8的算术平方根下列各式中错误的是（下列计算中正确的是（ A 、J T8=J 32X 2=3 运 ).B 、16的平方根是 4C 、).B 、Q 0.36 = 0.6).④审= -V 8 ⑤ 716 = ±4, V 6是6的平方根D 、 -J1.44 = —1.2 D 、 B 、、/皿一心4-3"乎击不改变根式的大小把（a —q丄根号外的因式移入根号内，正确的是（(A) J 1-a (B W a —1 (C) -J a —1 -a 没有平方根J1.44 =±1.2莎=2 D、J 4^ =2a(D) - J 1-a).3、求下列各数的平方根和算术平方根: （1）空 4 (-4f(3) (- 2卜(一8 )•4、计算:6、已知实数 a,b,c 满足一 a-b + J 2b +c +(c -7、a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简： J (a +1)2 + J (b -1)2 - J (a-b)2.abI _ !■ _. I J. ■ 1 •-2-1 0 1 2+------------ + ab (a + 1)(b +1) (a + 2)(b+2)+ 中(a +2004)( b + 2004)的值.(4)7001 5、解方程: (1) 4x 2=9 2(2) (X +1) =1⑶(5-3x(121-——=0 . 493(4)(x+3) =27(5) (2x-1)' =-8(6) 64(x-1)3+125=08、已知 2x-1的平方根是± 3, 3x+y-1的平方根是± 4，求x+2y 的平方根。

四年级数学数的平方根与立方根

四年级数学数的平方根与立方根数学是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。

在数学中，有一些概念和运算我们需要特别关注和学习，其中就包括了数的平方根与立方根。

本文将对四年级学生数的平方根与立方根进行详细的介绍和解释。

一、数的平方根数的平方根是指一个数与自己相乘等于这个数的平方根。

平方根可以用符号√来表示。

例如，对于数值16来说，它的平方根就是4，因为4乘以4等于16。

根据这个定义，我们可以得出平方根的公式：√x = y其中，x为被开方数，y为平方根。

在四年级学习中，我们将主要关注正整数的平方根。

下面是几个常见的正整数平方根计算结果：数值x 平方根√x1 1 14 2 29 3 316 4425 55从上表可以看出，当被开方数是完全平方数时，其平方根是一个整数。

否则，平方根将是一个无限不循环小数。

我们可以通过长除法的方法来求非完全平方数的平方根。

例如，我们要求16的平方根，可以按照以下步骤进行计算：Step 1: 先猜一个数字y，将y乘以自己，得到结果z。

Step 2: 若z等于被开方数x，则y就是所求的平方根。

Step 3: 若z大于x，则将y减小一点，重新进行计算。

Step 4: 若z小于x，则将y增大一点，重新进行计算。

Step 5: 重复步骤3和步骤4，直到z等于x为止。

通过这种方法，我们可以逐步逼近平方根的真实值，获得一个近似结果。

二、数的立方根数的立方根是指一个数与自己三次幂等于这个数的立方根。

立方根同样可以用特殊符号∛来表示。

例如，对于数值8来说，它的立方根就是2，因为2的三次幂等于8。

计算立方根的公式如下：∛x = y在四年级学习中，我们将侧重于正整数的立方根。

下面是一些常见的正整数立方根计算结果：数值x 立方根∛x1 1 18 2 227 3364 44125 5 5从上表可以看出，当被开方数是完全立方数时，其立方根是一个整数。

否则，立方根将是一个无限不循环小数。

求非完全立方数的立方根可以使用与平方根类似的方法。

平方根与立方根有什么不同

平方根与立方根有什么不同？
[解答] 平方根与立方根的不同点主要反映在如下的几个方面．
1．意义不同．
如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根，例如：因为(－5)2＝25，所以－5就叫做25的平方根．
如果x3＝a，那么x就叫做 a的立方根，例如：因为(－5)3＝－125，所以－5就叫做－125的立方根．
2．被开方数的取值范围不同．
负数没有平方根，负数有一个负的立方根．即
3．方根的数目不同．
正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根，如
64的平方根是±8
64的立方根是4
4．算术根不同
比较平方根与立方根的突出不同之处，有利于深刻理解和应用平方根与立方根的概念．而且可以推广应用于偶次方根与奇次方根的比较，有利于对n次方根和n次算术根的理解．。

平方根与立方根的计算

平方根与立方根的计算计算一个数的平方根和立方根是数学中常见的操作之一。

平方根指的是一个数的二次方为该数的算术平均根，而立方根则是一个数的三次方为该数的算术平均根。

本文将介绍平方根和立方根的计算方法以及它们在现实生活中的应用。

一、平方根的计算方法平方根的计算可以使用数学中的开方运算，常用的方法有估算法和牛顿迭代法。

估算法：当要计算一个数的平方根时，我们可以先估算一个大致的值。

接着，使用这个估值和被开方数进行迭代运算，直到得到一个接近精确值的结果。

例如，要计算数a的平方根，我们可以先估算一个值x0，然后使用下面的迭代公式来逐渐逼近平方根的准确值：xn+1 = (xn + a/xn) / 2其中，xn是第n次迭代得到的值，xn+1是下一次迭代得到的值。

当xn+1和xn的差距小到我们认为已经足够精确时，即可得到数a的平方根。

牛顿迭代法：这是一种使用导数来逼近函数零点的方法。

计算平方根时，我们可以将平方根的计算转化为求解方程x^2-a=0的解。

我们可以从一个初始值x0开始，然后使用下面的迭代公式：xn+1 = xn - (xn^2 - a)/(2*xn)类似于估算法，通过不断迭代，直到求得足够精确的解。

二、立方根的计算方法立方根的计算与平方根类似，也可以使用估算法和牛顿迭代法。

估算法：当要计算一个数的立方根时，我们可以先估算一个大致的值。

接着，使用这个估值和被开方数进行迭代运算，直到得到一个接近精确值的结果。

例如，要计算数a的立方根，我们可以先估算一个值x0，然后使用下面的迭代公式来逐渐逼近立方根的准确值：xn+1 = (2*xn + a/(xn^2)) / 3其中，xn是第n次迭代得到的值，xn+1是下一次迭代得到的值。

当xn+1和xn的差距小到我们认为已经足够精确时，即可得到数a的立方根。

牛顿迭代法：类似于平方根的计算，我们可以将立方根的计算转化为求解方程x^3-a=0的解。

我们可以从一个初始值x0开始，然后使用下面的迭代公式：xn+1 = xn - (xn^3 - a)/(3*xn^2)通过不断迭代，直到求得足够精确的解。

平方根和立方根

1. 算术平方根的概念：若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.2. 若一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。

a) 一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ”，另一个根是“a -”。

它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作“a ±”，读作“正、负根号a ”。

b) 0只有一个平方根，它是0本身。

c) 负数没有平方根。

3. 开平方的概念：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。

a) 开平方时，被开方数a 必须是非负数。

b) 平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是与加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程。

c) 平方和开平方的关系是互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a )0()(22≥a a a 与这两种形式的特征要区分好。

4. 立方根的概念：若一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根(也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x =3a ，读作x 等于三次根号a .a) 正数有一个立方根b) 0有一个立方根是0c) 负数有一个立方根.开立方的概念：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫做被开方数。

5. 平方根与立方根的联系与区别.联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根.”(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，a 的立方根表示为3a .(4)被开方数的取值范围不同 ±a 中的被开方数a 是非负数；3a 中的被开方数可以是任何数.巩固算术平方根、平方根和立方根的概念。

平方根与立方根的计算方法总结

平方根与立方根的计算方法总结计算平方根和立方根是数学中常见的运算方法，可以通过不同的算法和公式来实现。

本文将对平方根和立方根的计算方法进行总结和介绍。

1. 平方根的计算方法:平方根表示一个数的算术平方根，即对于任意非负数x，其平方根为y，满足y * y = x。

平方根的计算方法有以下几种：1.1 牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种通过不断逼近来计算平方根的方法。

具体步骤如下：1) 初始化猜测值y为x的一半；2) 根据公式y = (y + x/y) / 2进行迭代计算，直到满足精度要求为止。

1.2 二分法：二分法是一种通过将待求平方根的范围逐渐缩小，再进行逼近的方法。

具体步骤如下：1) 初始化左边界为0，右边界为x；2) 将平方根的猜测值设置为(left + right) / 2；3) 根据猜测值的平方与x的大小关系，不断调整左右边界，直到满足精度要求为止。

1.3 数字解析法：数字解析法是一种通过数值分析来计算平方根的方法。

具体步骤如下：1) 将待求平方根的数x表示为10的幂次和一个系数的乘积形式，即x = a * 10^n；2) 根据公式sqrt(x) = sqrt(a) * 10^(n/2)进行求解，其中sqrt(a)可通过查表或其他方法获得；3) 通过数值分析的技巧对n/2进行修正，得到更精确的结果。

2. 立方根的计算方法:立方根表示一个数的算术立方根，即对于任意数x，其立方根为y，满足y * y * y = x。

立方根的计算方法有以下几种：2.1 牛顿迭代法：与计算平方根类似，牛顿迭代法也可以用于计算立方根。

具体步骤与平方根的计算方法一致，只是迭代的公式变为y = (2 * y + x/y²) / 3。

2.2 二分法：二分法同样适用于计算立方根。

具体步骤与平方根的计算方法相似，只是运算符号和迭代的公式发生改变。

2.3 立方根的展开公式：立方根还可以通过展开公式来计算。

对于任意数x，其立方根可以展开为泰勒级数的形式。

平方根与立方根的计算

平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是常见的运算。

平方根是指一个数的平方等于该数的正数解，记作√x，其中x为非负实数。

立方根则是指一个数的立方等于该数的正数解，记作∛x，其中x可以是任意实数。

如何计算平方根和立方根，是我们在日常生活和学习中经常遇到的问题。

一、平方根的计算方法计算平方根有多种方法，其中较为常见的方法是借助算术平方根表及使用计算器。

下面将介绍这两种方法的具体步骤。

1. 基于算术平方根表的计算方法在没有计算器或电子设备的情况下，我们可以使用算术平方根表来计算平方根。

算术平方根表列出了0到100的数的平方根值。

具体计算步骤如下：（1）找到目标数在表中的范围。

例如，要计算√50，我们可以发现50位于7的平方49和8的平方64之间，因此√50的范围在7和8之间。

（2）根据目标数所在范围，估计出平方根的整数部分。

在本例中，√50的整数部分应该接近于7。

（3）利用平方根的整数部分与目标数的差值和表中的数值来得出更精确的结果。

在本例中，7.07的平方约等于49.84，而8.02的平方约等于64.32。

因此，我们可以得出结论，√50约等于7.07。

2. 基于计算器的计算方法在现代科技的帮助下，使用计算器是最直接和准确的计算平方根的方法。

计算器可以帮助我们迅速得出平方根的结果，无需繁琐的手动计算。

以下是使用计算器计算平方根的步骤：（1）打开计算器。

（2）输入要求平方根的数值，例如50。

（3）按下计算器上的平方根（√）按钮。

（4）计算器将立即显示出结果，例如√50≈7.07。

二、立方根的计算方法计算立方根也有多种方法，其中较为常见的方法是使用计算器和借助手算方法。

下面将介绍这两种方法的具体步骤。

1. 使用计算器的计算方法如同计算平方根时一样，计算器是计算立方根的最直接和快速的方法。

以下是使用计算器计算立方根的步骤：（1）打开计算器。

（2）输入要求立方根的数值，例如27。

（3）按下计算器上的立方根（∛）按钮。