教材回归(五)乘法公式的变形讲解
乘法公式的变形和提公因式法
知识点一：添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_______,如果括号前面是负号，括到括号里的各项都______（1）去括号 a+(b+c)=__________ a-(b+c)=_____________(2) 添括号a+b+c=a+(__________) a-b-c=a-(____________)例1.1：（a+b+c ）(a-b-c)=a 2-(b+c) 2(合并法：把每个括号内的两项合并，看作一个整体)变式:（-x+2y-3z ）(x+2y+3z)例1.2：(a-b+c) 2变式:（2a+3b-c ）2【练习】(1)(a+b)(-a-b)= (2)()()231123a b a b +---=(3)(23)(23)a b c a b c +--+= (4) (x+2y-32 )(x-2y+ 32 )=知识点二：乘法公式的变形类型一、乘法公式的逆运用例 2.1：已知a+b=4，a-b=3，则a 2-b 2=________变式：若m=2n+1，则m 2-4mn+4n 2=_________例2.2：已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．变式1：多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.变式2：已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值变式3：已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
例2.3：如果229x mx -+是一个完全平方式，那么m ＝______．变式1：【2012.黔东南州】二次三项式x 2-kx+9是一个完全平方公式，则k 的值是___________变式2：如果x 2-Nx+9是一个完全平方式,那么N 是____________变式3：如果m x x +-62恰好是一个整式的平方，那么m=_____________类型二、知二求二（1）（a+b ）2 -2ab = a 2 + b 2 （2）（a-b ）2 +2ab = a 2 + b 2（3）（a+b ）2 +（a-b ）2 =2a 2 + 2b 2 （4）（a+b ）2 -（a-b ）2 =4ab（5）（a+b ）2 （a-b ）2 =( a 2 - b 2 ) 2例2.4：已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：(1) 22a ab b -+；(2) 2()a b -．变式1：已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．变式2：已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
华东师大初中数学八年级上册乘法公式(提高)知识讲解[精品]
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乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】【高清课堂 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【高清课堂 乘法公式 例1（7）（8）】 【变式1】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +) 【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -． (2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +) ＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．【变式2】（2015•内江）（1）填空：（a﹣b）（a+b）= ；（a﹣b）（a2+ab+b2）= ；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2016春•户县期末）先化简，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．【思路点拨】先根据非负数的性质，求出m，n的值，再根据平方差公式求代数式的和即可．【答案与解析】解：∵|m﹣1|+（n+）2=0，∴m﹣1=0，n+=0，∴m=1，n=﹣，∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）=m4n2﹣1==1×﹣1==﹣．【总结升华】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本形式，才能使问题更加简单化．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩【答案】 解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-，425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；2222-+++=-+++，所以最小值为4.222514x xy y y x y y提示：()()。
乘法公式教材分析
乘法公式教材分析一、教材内容的外部知识结构分析乘法公式是在学习了有理数运算、简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算及整式的乘法运算等知识的基础上，在学生已经掌握了单项式乘法、多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。
它的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。
对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且还为以后的因式分解、分式的化简与运算、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。
它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，它是让学生感悟化归等思想，感受数学的再创造性的好教材。
因此乘法公式十分重要。
二、教材内容的内部知识结构分析（一）知识点：平方差公式、完全平方公式、添括号法则（二）内部知识结构图：三、教材内容的具体分析（一）探究分析计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1) (x+1)(x-1) = -------；(2) (m+2)(m-2) = --------；(3) (2x+1)(2x-1) = --------。
1、探究目的让学生自己观察、发现、推理、归纳出一般形式，培养学生推理归纳能力的同时引出本节课所要讲的平方差公式。
2、探究过程先让学生独立观察、思考，然后再小组讨论，最后汇报结果。
3、探究方法先独立，再合作。
4、探究结论两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
（二）数学命题的分析Ⅰ平方差公式文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
这个公式叫做（乘法的）平方差公式。
符号表达式：(a+b)(a-b)= a2 -b2几何意义/图形直观：思考题1、公式的地位作用平方差公式是乘法公式的一种，这一内容属于数学再创造活动的结果，是学生系统学习的第一个公式，也是最基本、用途最广泛的公式之一，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起十分重要的作用。
5的乘法口诀教学设计新人教版(优秀4篇)
5的乘法口诀教学设计新人教版（优秀4篇）《5的乘法口诀》教学设计新人教版篇一这部分内容是在学生掌握乘法意义的基础上进行教学的，且在此之前我们已学习了1～4的乘法口诀。
由于前面新知的铺垫，学生掌握了求＂几个几＂列乘法算式和编口诀的方法，这节课对他们应该没多大问题了，也就是可以放手让学生自己来编口诀了。
课前预设时应该充分考虑到学生的现实的知识起点，而不是理想化的。
应该考虑学生会怎么说，怎么做。
而不是我想让学生怎么说，怎么做。
应该考虑怎么去引导学生，考虑怎么抓住课堂的生长点，以达到课堂教学的理想境界。
而不应该是预设了理想的课堂，而被现实弄得束手无策。
所以基于这样的现实，我在一开始的那个环节中是这样预设的，又要考虑到贴近学生的生活，于是创设了这样的情境：＂今天老师带大家到红梅公园玩，首先我们去划船的地方。
瞧，一只船坐几人？＂简单的一句话，把学生的注意力吸引过来了。
再通过列表的方法，求出几只船坐的人数。
让学生观察，发现＂几个几相加＂，这一特点引导学生列出乘法算式，老师引导：＂由＇几个几相加＇可以列出几个乘法算式？＂最后根据乘法算式编出口诀。
但这有几个注意点：其一，乘法口诀用什么字写？其二，当积是两位数时，要不要写＂得＂字？其三，＂二五一十＂中的＂一十＂是什么意思？其四，＂五五二十五＂还是＂五五二五＂？老师引导：＂25＂你们是怎么读的？就按你们读的那样来编！最后＂四五二十＂还是＂五四二十＂？由于之前教1～4的口诀时，我引导学生读一读，比较之后，为了读起来顺口，所以我们把小的数放在前面。
因此，在这节课中没出现那种情况了。
先和学生一起学习“1个5”的乘法口诀，然后由扶到放，逐步给学生探究新知的过程，充分体现了教师为主导，学生为主体的地位。
教师只在关键处启发，点拨，留给学生充分的时间和空间，让学生积极主动的参与知识的全过程，不但较好的理解了口诀的来源，而且培养了学生的归纳概括能力和迁移类推的能力。
在解决这节课的重难点时，我引导学生观察表格来帮助学生获得充分的感受。
沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第5讲 乘法公式(解析版)
本节课学习乘法公式，需要掌握会用文字和字母表示平方差公式、完全平方公式，知道平方差公式和完全平方公式的结构特征．理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等．做到能够理解补充的立方和、差公式以及完全立方公式．重点是在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式和完全平方公式．难点是在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算．1．平方差公式两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：22()()a b a b a b +-=-． 2．公式变化（1）位置变化：()()22()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-．（2）符号变化：()()2222()()()a b a b a b a b a b b a ---=-+-=--=-．（3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式．乘法公式内容分析知识结构模块一：平方差公式知识精讲2 / 25【例1】计算：（1）()2(2)_____a a +-=；（2）()2(2)______x y x y -++=； （3）220.10.1______33m n m n ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()_______n n x y x y -+=；（5）()()22______x y z x y z z -+-++=-（）；（6）()224(_______)16x y y x -=-；（7）()220.23(_______)0.049a b a b -=-．【答案】（1）24a -； （2）224y x -； （3）2240.019m n -； （4）22n x y -；（5）x y -； （6）4x y --； （7）0.23a b +． 【解析】略．【总结】本题考察了平方差公式的运用．【例2】如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式________________．【答案】22()()a b a b a b -=+-． 【解析】略．【总结】本题考察了用面积法推导基本公式．【例3】对于任意整数n ，能整除代数式(3)(3)(2)(2)n n n n +--+-的整数是（）．baabba 例题解析A ．4B ．3C ．5D ．2【答案】C【解析】原式=22(9)(4)5n n ---=-， ∴能被5整除，选择C ． 【总结】本题考察了平方差公式．【例4】若3a b -=-，229a b -=，求a b +的值． 【答案】-3．【解析】22()()a b a b a b +-=-，223a b a b a b -∴+==--．【总结】本题考察了平方差公式．【例5】若()122a m a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的结果中不含关于a 的一次项，那么m 的值为（ ）．A ．12B ．12-C ．14D ．14-【答案】D ．【解析】1202a m +=的系数是：14m ∴=-，故选D ．【总结】本题考察了多项式相乘及项与系数的概念．【例6】简便计算：（1）8892⨯；（2）16252477⨯；（3）2201620152017-⨯．【答案】（1）8096； （2）4862449； （3）1． 【解析】（1）原式=(902)(902)810048096-+=-=；4 / 25（2）原式=11148(25)(25)625624774949+-=-=；（3）原式=2222016(20161)(20161)2016(20161)1--+=--=． 【总结】本题考察了用平方差公式进行简便运算．【例7】计算：（1）()()2323(32)(32)m n m n m n m n +---+； （2）()()()2224x x x +-+； （3）()()()()2222a b a b a a +---⋅-．【答案】（1）2255m n --； （2）416x -； （3）422a b -． 【解析】（1）原式=22222249(94)55m n m n m n ---=--； （2）原式=224(4)(4)16x x x -+=-； （3）原式=424422a b a a b -+=-． 【总结】本题考察了整式的混合运算．【例8】解方程：()()()()22223(3)2x x x x x x -+-+=-+-． 【答案】8x =．【解析】222242182x x x x -+-=-- 216x -=- 8x =【总结】本题考察了平方差公式在解方程中的应用．【例9】已知()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值． 【答案】4±．【解析】2(22)163a b +-= 24()64a b += 2()16a b +=4a b +=±【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例10】计算：()()2114412124x x x ⎛⎫⋅-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭．【答案】4161x -．【解析】原式=2(21)(21)(41)x x x -++ =22(41)(41)x x -+ =4161x -【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例11】已知()258654481t +=，求()()4868t t ++的值． 【答案】654381．【解析】原式=(5810)(5810)t t +-++ =2(58)100t +- =654481-100 =654381．【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例12】计算：2222100999897-+-+···221+-． 【答案】5050．【解析】原式=(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)+-++-+++-=10099989721++++++ =(1001)1002+=5050． 【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例13】已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数． 【答案】26，28．【解析】原式=1212(31)(31)+- =1266(31)(31)(31)++- =12633(31)(31)(31)(31)+++-，6 / 25∴原式可以被26，28整除．【总结】本题考察了平方差公式的应用以及对整除的概念理解．【例14】计算： （1）()()()24212121+++···()32211++；（2）()()42241(1)1x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++⋅++⋅++⎣⎦⎣⎦．【答案】（1）642；（2）88(1)x x +-． 【解析】（1）原式=22432(21)(21)(21)(21)1-++++=64211-+ =642；（2）原式=2244(1)(1)[(1)][(1)]x x x x x x x x +++-++++ =222244[(1)][(1)][(1)]x x x x x x +-++++ =4444[(1)][(1)]x x x x +-++ =88(1)x x +-．【总结】本题主要考查了通过添项构造平方差公式的基本形式，综合性较强．1．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：()2222a b a ab b +=++ ()2222a b a ab b -=-+与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式． 2．完全平方变形应用（1）()2222()22a b a b a b ++-=+；()()224a b a b ab +--=；模块二：完全平方公式 知识精讲（2）()()224a b a b ab +=-+；()()224a b a b ab -=+-；（3）()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；（4）()()224a b a b ab +--=；()()22222a b a b a b ++-+=．3．完全平方公式推广应用 （1）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）()()22222()2a b c a b c a b c a ab b c +++-=+-=++-； （3）()()()222222222222a b a c b c a b c ab ac bc +++++=+++++； （4）()()()222222222222a b a c b c a b c ab ac bc -+-+-=++---．【例15】填空：（1）()223________a b +=； （2）213_________2x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）()222________a b --=；（4）()2(2)________x y x y +--=；（5）()222____164x y x y ++=+； （6）2246_____(2_____)a ab a ++=+； （7）()()223_____69m n n mn m -⋅=-+．【答案】（1）224129a ab b ++； （2）221394x xy y -+；（3）22444a ab b ++；（4）2244x xy y ---； （5）8xy ； （6）29342b b ；；（7）3m n -．例题解析8 / 25【解析】略．【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例16】填空．（1）()2_______________a b c ++=； （2）()223__________________a b c --=； （3）212____________3x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （4）()()223232__________x x x x ++--=．【解析】（1）原式=222222a b c ab bc ac +++++； （2）原式=222491264a b c ab bc ac ++-+-；（3）原式=22214244933x y z xy yz xz ++--+；（4）原式=4242(32)9124x x x x x -+=---．【总结】本题考察了三项和的完全平方公式和平方差公式的运用．【例17】填空：()2232(32)_______a b a b +--=． 【答案】24ab ．【解析】原式=2222(9124)(9124)24a ab b a ab b ab ++--+=． 【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例18】计算：（1）()()2223(31)31x x x ---+； （2）()2229(3)(9)(3)a a a a --++-；（3）()()222323x y x y ++-； （4）22110.5(0.5)33a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．【解析】（1）原式=422424129(91)42110x x x x x -+--=-+；（2）原式=42421881(81)18162a a a a -+--=-+；（3）原式22222241294129818x xy y x xy y x y =+++-+=+； （4）原式222211111124394393a ab b a ab b ab =++-+-=．【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例19】下列各式能用完全平方公式计算的有（）个．① ()()2332a b b a --；②()23(23)a b a b -+--； ③()23(32)a b b a --+；④()()2332a b a b -+．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】两个括号内各项都相等或都互为相反数，则适用于完全平方公式．两个括号内有些项相等，有些项互为相反数，则适用平方差公式．则①③适用于完全平方公式，选择B ．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用． 【例20】若2,1a b a c -=-=，则()()222a b c c a --+-的值是（ ）．A ．9B ．10C ．2D ．1【答案】B【解析】由已知得：23a b c a b a c --=-+-=， 9110∴=+=原式，选择B ． 【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例21】如果实数a b c ，，满足222a b c ab ac bc ++=++，那么（）．A ．a b c ，，全相等B ．a b c ，，不全相等C ．a b c ，，全不相等D ．a b c ，，可能相等，也可能不等【答案】A【解析】化简得：2220a b c ab ac bc ++---=2220a b c ab ac bc ++---= 2221(222222)02a b c ab ac bc ++---=2221[()()()]02a b b c a c -+-+-= a b c ∴==．10 / 25【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用．【例22】已知123a b a c b c +=+=+=，，，则222_______a b c ab ac bc +++++=． 【答案】7．【解析】原式=2221[()()()]2a b b c a c +++++=1(149)72++=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用．【例23】如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为________． 【答案】23k =±．【解析】由已知得：2211()93x kx x ++=±，23k ∴=±． 【总结】本题考察了完全平方式的概念，注意两种情况的考虑．【例24】若()227499x a x bx -=-+，则_______a b +=． 【答案】45．【解析】由已知得：2914a a b⎧=⎨=⎩， 解得：334242a a b b ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 45a b ∴+=．【总结】本题考察了完全平方式的概念．【例25】若22151525m n m n -=+=，，则()2013mn 的值为_________．【答案】1．【解析】由已知得：2221()25m n m -=，2222()()2mn m n m n ∴=+--=， 1mn ∴=， 2013()1mn ∴=．【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例26】已知()()22364a b a b +=-=，，则______ab =． 【答案】8．【解析】224()()32ab a b a b =+--=， 8ab ∴=．【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形．【例27】若712a b ab +==，，则22a ab b -+的值为_________． 【答案】13．【解析】原式=2()3493613a b ab +-=-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形．【例28】用简便方法运算：（1）299.7；（2）221.372 1.378.638.63+⨯⨯+；（3）229.610.4⨯．【答案】（1）9940.09； （2）100； （3）9968.0256． 【解析】（1）原式=2(1000.3)10000600.099940.09-=-+=； （2）原式=22(1.378.63)10100+==； （3）原式=22(100.4)(100.4)-+12 / 252(1000.16)=- 10000320.0256=-+ 9968.00256=．【总结】本题考察了完全平方式在简便运算中的应用．【例29】若2(1)()6m m m n ---=，求222m n mn +-的值．【答案】18．【解析】化简得：226m m m n --+=， 即：6m n -=-，∴原式=2()361822m n -==．【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形．【例30】（1）已知()2133a b ab -==，，求()2a b +与()223a b +的值．（2）已知22410a b a b +=+=，，求22a b 与()2a b -的值．【答案】（1）25，57； （2）9， 4． 【解析】（1）22()()4131225a b a b ab +=-+=+=， 2223()3[()2]31957a b a b ab +=-+=⨯=； （2）2222[()()]16106ab a b a b =+-+=-=， 3ab ∴=，229a b ∴=．∴222()21024a b a ab b ab -=-+=-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例31】（1）已知222x y z a xy xz yz b ++=++=，，求()()222()x y x z y z +++++的值；（2）已知2225a b c bc ac ab ++---=，求()()()222a b b c a c -+-+-的值． 【答案】（1）22a b +； （2）10．【解析】（1）原式=2222()22x y z xy yz xz a b +++++=+； （2）原式=2222()10a b c ab ac bc ++---=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例32】已知(2018)(2016)2017x x --=，求22(2018)(2016)x x -+-的值． 【答案】4038．【解析】原式=2[(2018)(2016)]2(2018)(2016)x x x x ---+-- =422017+⨯ =4038．【总结】本题综合性较强，考察了完全平方式的应用，注意对题目的准确理解．【例33】已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab ac bc ++的值． 【答案】225-． 【解析】2222221[()()()]2a b c ab ac bc a b b c a c ++---=-+-+-，199361()2252525ab ac bc ∴---=++，27212525ab ac bc ∴++=-=-． 【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形．【例34】（1）已知222450x y x y +--+=，求()2112x xy --的值； （2）试说明不论x y 、取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数． 【答案】（1）2-；（2）略．【解析】（1）由已知，得：22(1)(2)0x y -+-=，所以12x y ==，， 2∴=-原式；（2）原式=22(3)(2)2x y ++-+，22(3)0(2)0x y +≥-≥，．∴不论x y 、取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数．【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形，另外考察了利用完全平方公式的思想完成配方，从而说明代数式的值恒正，综合性较强．14 / 25【例35】（1）已知16x x -=，求221x x+的值；（2）已知2310x x ++=，求①1x x +； ②221x x +； ③441x x+的值． 【答案】（1）38． （2）-3， 7， 47．【解析】(1)22211()238x x x x +=-+=；(2)由已知得：11303x x x x++=+=-，即：， ∴22211()27x x x x +=+-=； ∴ 4224211()247x x x x+=+-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形的应用．1、立方和、差公式 两数和（或差）乘以它们的平方和与积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差）， 这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式．即：()2233()a b a ab b a b +-+=+，()2233()a b a ab b a b -++=-．2、完全立方公式 ()3322333a b a a b ab b +=+++．()3322333a b a a b ab b -=-+-．模块三：立方和、差，完全立方公式知识精讲【例36】填空，使之符合立方和或立方差公式： （1）()33(__________)27x x -=-； （2）()323(__________)827x x +=+；（3）()()22_____24__________a ab b ++=；（4）()()22_____964__________a ab b -+=．【答案】（1）239x x -+； （2）2469x x -+； （3）3328a b a b --，； （4）3332278a b a b ++，． 【解析】略．【总结】本题考察了立方和与立方差公式的应用．【例37】用完全立方公式计算： （1）()32x +；（2）()332x y +；（3）()345a b -．【解析】（1）原式=326128x x x +++． （2）原式=32232754368x x y xy y +++． （3）原式=322364240300125a a b ab b -+-． 【总结】本题考察了完全立方公式的应用．【例38】计算： （1）()()()22223(39)339x y x xy y x y x xy y +-+--++．（2）()2222()()()a b a b a ab b a ab b +-++-+． 【答案】（1）354y ； （2）66a b -．【解析】（1）原式=33333(27)(27)54x y x y y +--=；（2）原式=333366()()a b a b a b -+=-． 【总结】本题考察了立方和与立方差公式的综合运用．【例39】化简求值：()()22224(1)(1)x x x x x x +-++-++，其中23x =-．例题解析16 / 25【答案】11627． 【解析】原式=3338127x x x ++-=+，当23x =-时，原式=3216112()77632727⨯-+=-+=．【总结】本题考察了立方和与立方差公式的运用．【例40】已知3a b +=且2ab =，求33a b +的值． 【答案】9．【解析】原式=22()()a b a ab b +-+=2()[()3]a b a b ab ++-， 当3a b +=且2ab =时，原式=3(96)9⨯-=． 【总结】本题考察了立方和与立方差公式的运用．【例41】已知：14x x +=．求下列各式的值：（1）221x x +；（2）331x x+． 【答案】（1）14； （2）52．【解析】（1）原式=21()216214x x+-=-=；（2）原式=22111()()()52x x x x x x ++-+=．【总结】本题考察了立方和立方差公式．【习题1】填空：（1）__________4343a b a b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）212_______23a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；随堂检测（3）()()____________x y z z x y +---=；（4）212___________3x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【答案】（1）22916b a -； （2）22124439a ab b -+；（3）222222x y z xy xz yz ----++； （4）22212444933x y z xy xz yz ++-+-．【解析】略．【总结】本题考察了完全平方公式和平方差公式的综合运用．【习题2】若22848x y x y +=-=，，则______y x -=． 【答案】-6．【解析】22()()x y x y x y +-=-，6x y ∴-=， 6y x ∴-=-．【总结】本题考察了平方差公式的运用．【习题3】已知()22210x y x y +--+=，则()999______x y +=．【答案】1．【解析】由已知得：2()2()10x y x y +-++= 2(1)0x y +-= 1x y ∴+= ∴原式=1．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【习题4】若2216x kxy y -+是一个完全平方式，则k 的值是（ ）．A ．8B ．16C ．8±D ．16±【答案】C【解析】由已知得：原式=2(4)x y ± 8k ∴=±，故选C ．【总结】本题考察了完全平方公式的概念，注意两种情况的分类．18 / 25【习题5】计算： （1）()2(2)()()x y x y x y x y +--+-+； （2）241645255x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）()22(2)a b a b +--； （4）()2()()x y x y x y +-++；（5）2224(2)(42)m n m mn n +-+．【答案】（1）2225x y -； （2）4256625x -； （3）236a ab -+； （4）222x xy +； （5）368m n +． 【解析】（1）原式=2222224()25x y y x x y ---=-； （2）原式=2241616256()()2525625x x x -+=-； （3）原式=222222(44)36a ab b a ab b a ab ++--+=-+； （4）原式=22222222x y x xy y x xy -+++=+； （5）原式=368m n +．【总结】本题考察了平方差公式与完全平方公式在整式乘法中的应用．【习题6】运用平方差公式计算： （1）()()9783-⨯-；（2）21899033⨯；（3）9.610.4⨯；（4）22016201620152017-⨯．【答案】（1）8051； （2）880999； （3）99.84； （4）2016．【解析】（1）原式=(907)(907)8100498051+-=-=； （2）原式=1118(90)(90)810080993399-+=-=；（3）原式=(100.4)(100.4)1000.1699.84-+=-=；（4）原式=22016201620161)20161)--+（（=2016．【总结】本题考察了平方差公式在简便运算的中运用．【习题7】如果()332(332)32a b a b +++-=，求a b +的值． 【答案】2±．【解析】化简得：2(33)432a b +-=，即29()36a b +=， 所以2()4a b +=，所以2a b +=±．【总结】本题考察了平方差公式的运用，注意结果中的两种情况的讨论．【习题8】已知2254690a ab b a ++-+=，求a b +的值． 【答案】-3．【解析】化简得：222(69)(44)0a a a ab b -++++=，即22(3)(2)0a a b -++= ∴3020a a b -=+=，， 解得：36a b ==-，，3a b ∴+=-．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【习题9】已知132a b ab +==，，求：（1）22a b +；（2）22a ab b ++；（3）44a b +；（4）b aa b+；（5）33a b +的值．【答案】（1）8； （2）182； （3）1632； （4）16； （5）452．【解析】（1）原式=2()2918a b ab +-=-=； （2）原式=211()9822a b ab +-=-=； （3）原式=2222211()2646322a b a b +-=-=； （4）原式=2216a b ab+=；20 / 25（5）原式=222345()()()[()3]3(9)22a b a ab b a b a b ab +-+=++-=⨯-=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题10】计算： （1）已知15a a+=，则4221_______a a a ++=． （2）2217a a +=，则1_____a a +=，1______a a -=．（3）已知14a a -=，求221a a +和441a a+的值． 【答案】（1）24； （2）35±，； （3）18， 322． 【解析】（1）原式=222111()2124a a a a++=+-+=； （2）22211()29a a a a +=++=， 13a a ∴+=±；22211()25a a a a -=+-=， 15a a ∴+=±．（3）22211()218a a a a +=-+=，4224211()2322a a a a +=+-=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题11】已知2212x y x y +=+=，，求66x y +的值． 【答案】132． 【解析】222()2x y x y xy +=+-，2222()()121xy x y x y ∴=+-+=-=-，12xy ∴=-．方法一： 3325()[()3]2x y x y x y xy ∴+=++-=，663323313()22x y x y x y ∴+=+-=； 方法二：44222227()22x y x y x y +=+-=，662244222213()()2()2x y x y x y x y x y ∴+=++-+=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题12】若A =()24821(21)(2++()321，则2016A -的末位数字是多少？【答案】9．【解析】23264(21)(21)(21)(21)21A =-++-=-由12345222428216232=====，，，，得到：642的末位数字是6 6161--=-，2016A ∴-的末位数字是：9．【总结】本题考察了平方差公式的运用以及通过找规律得到个位数字的特征，综合性较强．【作业1】如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )．A ．a 是b 的相反数B ．a 是b -的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是b -的倒数 【答案】C【解析】∵22()()44a b a b ab +--==，∴1ab =， a b ∴、互为倒数，选择C ．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【作业2】若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 ．【答案】444x x ±或．【解析】（1）2241(21)x Q x ++=±，4Q x =±；（2）22241(21)Q x x ++=+，44Q x =；（3）22141(2)4x Q x x ++=+，2116Q x =，不符合题意． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形．【作业3】若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式，其中m k ，为常数，则m k +的值 为（ ）A ．2-B ．4-C ． 2D ．4【答案】A【解析】22222213(1)3x x x x x +-=++-=+-，13m k ∴==-，． 课后作业22 / 252m k ∴+=-，故选择A ．【总结】本题考察了利用完全平方公式的思想进行配方．【作业4】计算：2222222212345699100-+-+-++-的值是( ) A ．5050B ．5050-C ．10100D ．10100- 【答案】B【解析】原式(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)=+-++-+++- (123499100)=-++++++ =5050-．【总结】本题考察了平方差公式的应用，注意符号的变化．【作业5】若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= ．【答案】6．【解析】222[(2)(3)](2)2(2)(3)(3)25x x x x x x +--=+-+-+-=2(2)(3)251312x x ∴-+-=-=，(2)(3)6x x ∴-+-=，即：(2)(3)6x x +-=．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【作业6】计算：（1）22111933y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）22(5)(5)x x x x -++-；（3）22222()()()x y x y x y -++；（4）()2223(49)(49)(23)m n m n m n m n +--++-；（5）()22a b c -+；（6）2201620182017⨯-．【解析】（1）原式222244111()()9981y x y x y x =-+=-； （2）原式=4242(5)1025x x x x x --=-+-；（3）原式=2222224428448()()()2x y x y x y x x y y -+=-=-+；（4）原式=222222412916814129m mn n m n m mn n ++-++-+=22899m n -+；（5）原式=2224424a b c ab ac bc ++-+-；（6）原式=2(20171)(20171)20171-+-=-．【总结】本题主要考察了乘法公式在计算中的运用，注意公式的准确运用．【作业7】已知2(1)()5a a a b ---=-，求222a b ab +-的值． 【答案】252． 【解析】由已知得：225a a a b --+=-，5b a ∴-=-．2222()25222a b ab a b +--∴===原式． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【作业8】已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】7．【解析】由224()()24ab a b a b =+--=-，得：6ab =-，2()167a b ab ∴=+-=+=原式．【总结】本题考察了完全平方公式的变形．【作业9】已知201520172016a ⨯=，201620182017b ⨯=，201720192018c ⨯=，比较三者大小．24 / 25【答案】a b c <<． 【解析】2201611201620162016a -==-， 同理：112017,201820172018b c =-=-． a b c ∴<<．【总结】本题考察了平方差公式在比较大小中的运用．【作业10】已知22690x xy y -+=，求代数式2235(2)4x y x y x y +⋅+-的值． 【答案】145． 【解析】化简得：2(3)0x y -=，3x y ∴=，359514265x y y y x y y y ++∴===--原式． 【总结】本题考察了非负数的性质和平方差公式的运用．【作业11】已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，求222a b c ab bc ca ++---的 值．【答案】3．【解析】由已知得：121a b b c a c -=-=--=-，，， 2221[()()()]2a b b c a c ∴=-+-+-原式1(141)32=++=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用，综合性较强，要注意观察．【作业12】求多项式222451213x xy y y -+-+的最值．【答案】最小值是1．【解析】原式=2222(2)3(44)1x xy y y y -++-++=222()3(2)11x y y -+-+≥，∴代数式有最小值，最小值是1．【总结】本题考察了完全平方公式的逆用，从而判定代数式的大小．。
北师大版七年级数学上册《五章 一元一次方程 回顾与思考》公开课课件_10
课堂小结：
一般步骤
①去分母
②去括号
③移项
变形根据
等式基本性质2
乘法分配律、去 括号法则 等式基本性质1
注意事项
每一项都乘分母 的最小公倍数 该变号的要变号
移项要变号
④合并同类项 合并同类项法则 算准系数和
⑤系数化为1 等式基本性质2 不要颠倒分子分 母
判断下列的移项是否正确
（1）由x+8=12得x=8-12 （ ×） （2）由5x+6=2得5x=2+6 （ ×）
(2) 3x + 3=2x + 7
解下列方程：
(1) －(2 － 3x) ＝4x ＋ 4 (2) 2(x － 7) － (x － 4) ＝ 15 (3)4x － 3(20 －x) ＝ － 4 (4) －3(2x ＋1) ＝ 9
巩固训练：
1、选择题：
（1）解方程 2x 1 4x 1 1 时, 去分母后，
（3）由10x-2=4-2x得10x-2x=4+2
（×）
（4）由-2x-5=7x+1得-7x-2x=1+5
（√ ）
试一试，用新方法解一元一次方程
哈哈,太简单 了. 我会了.
解方程: 1、5x=3x＋8 2、10x – 3=17。
※：移项要变号哟。
随练堂一练练 习
1、解下列方程：
(1) 5x —2 =7x + 16;
3
4
2
5பைடு நூலகம்
课堂小结：
一般步骤
①去分母
②去括号
③移项
变形根据
等式基本性质2
乘法分配律、去 括号法则 等式基本性质1
九年级数学上人教版《 整式的乘法》课堂笔记
《整式的乘法》课堂笔记
一、单项式乘单项式
1.运算法则：系数相乘，相同字母分别相乘，其他字母不变。
2.运算步骤：
（1）系数相乘：把系数相乘，作为积的系数。
（2）相同字母分别相乘：把相同字母分别相乘，作为积的一个因式。
（3）其他字母不变：其他字母连同它的指数不变，作为积的另一个因式。
二、单项式乘多项式
1.运算法则：用一个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积
相加。
2.运算步骤：
（1）用一个单项式去乘多项式的每一项。
（2）把所得的积相加。
三、多项式乘多项式
1.运算法则：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，
再把所得的积相加。
2.运算步骤：
（1）用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项。
（2）把所得的积相加。
四、整式乘法的运算律
1.交换律：ab=ba
2.结合律：(ab)c=a(bc)
3.分配律：a(b+c)=ab+ac
五、整式乘法的公式
1.平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2
2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2。
北师大版七年级数学下 整式乘除的拓展恒等变形和竖式在整式乘除中的应用课件(23张PPT)
③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3 ④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3 ⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc
⑦ (a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b3
已知x+y= -3，x3+y3= -18，求x7+y7的值
求证：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被2x2+2y2整除
试求x285-x83+x71+x9-x3+x被x-1除所得的余数。
研究84×86，98×92，…的简便运算，并请你用整式运算形式表示这一简便运算 规律。
若m=10x3-6x2+5x-4，n=2+9x3+4x-2x2，则19x3-8x2+9x-2等于（
计算 (2x3-x+6)•(3x2+5x-2)
求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数
计算 (3x4-5x3+x2+2)÷(x2+3)
用竖式进行整式除法要注意： (1)被除式和除式要按同一字母的降幂排列； (2)如被除式和除式中有缺项，要留有空位； (3)余式的次数要低于除式的次数； (4)被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式=除式×商式+余式
沪教版数学初一上册25.乘法公式(提高)知识讲解
沪教版初一数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【 乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1＝642－1＋1＝642． 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．举一反三：【 乘法公式 例1（7）（8）】【变式】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +)【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -．(2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +)＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．2、解方程：(21)(21)3(2)(2)(71)(1)x x x x x x +-++-=+-．【答案与解析】解：222(2)13(4)771x x x x x -+-=-+-， 22241312761x x x x -+-=--，227761112x x x -+=-++，612x =，∴ 2x =．【总结升华】先利用平方差公式，再按多项式乘法法则展开，此题把平方差公式与解方程综合起来考查．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ 【答案】解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-， 425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+- 22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-．【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+；(3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---．【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c --=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+ ＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦ ＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+- ＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=．即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
高考数学回归课本必修1到必修5知识点详解
高考数学回归课本必修1到必修5知识点详解一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
性质奇偶与增减，观察图象最明显。
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。
指数与对数函数，两者互为反函数。
底数非１的正数，１两边增减变故。
函数定义域好求。
分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。
两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。
幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。
二、《三角函数》三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用；１加余弦想余弦，１减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；三、《不等式》解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
二年级《乘法的初步认识》说课稿范文(通用5篇)
二年级《乘法的初步认识》说课稿范文（通用5篇）二年级《乘法的初步认识》说课稿1二年级《乘法的初步认识》说课稿1各位评委，各位老师，大家上午好，今天我说课的内容是西师版义务教育课程标准实验教科书二年级数学上册第一单元第一课时的内容《乘法的初步认识》。
主要从以下五个方面来阐述。
一、说教材本节课是乘法教学的第一节课，也是学生进一步学习乘法的基础。
教材首先为学生安排了他们熟悉的反映校园环境和校园生活的情境图，一方面使学生有亲切感，更重要的是这幅图为学生提供了素材，显示出生活中有许多那样一组一组出现的数量，并且每一组的数量是相同的，拉近了生活与数学的联系，同时也蕴涵了相同加数的因数。
教材例1的情境图是排列有序的树苗，问题是一共植了多少棵树？让学生在教师的教学引导之下，逐步明白乘法的含义，乘法算式的读法和写法，帮助学生建立乘法的概念。
二、教学目标依据《新课程标准》的要求，根据从感性到理性的认知规律，和儿童的认知特点，我从知识、能力、情感态度三个方面制订以下几个教学目标：1、知识目标：通过对同一情境同一数学问题的不同的解决方法，使学生初步接触到乘法，建立乘法的概念。
2、能力目标：通过学习，学生能认识乘号，能正确读、写乘法算式。
3、情感目标：学生通过学习，初步体验乘法在日常生活中的作用，能解决类似的生活问题。
教学重、难点：重点：1、乘法概念的导入。
通过相同加数连加和乘法在结果上的一致实现加法和乘法的对接。
2乘法算式中乘号的认识，乘法算式的读法和写法。
难点：乘法概念的导入。
三、说教法、学法。
结合二年级学生的年龄特点及新课改的要求，我采用创设情境、引导探究式的教学方法。
同时注重运用观察法、讨论法等进行教学。
根据教学内容的特点，和学生的学习特点，我让学生采用观察法、探究法、总结法、模仿法来学习。
教具准备：依据课堂教学的需要，我制作了多媒休课件一套四、教学程序：在教学过程中我遵循儿童的认知规律，体现新课标精神，按照直观感知—表象认识—概念形成—拓展运用的规律组织教学。
初升高衔接乘法公式与因式分解PPT课件
分解因式：x3 9x 8
解法1：原式=x3 9x 1 9 =（x3 1）-9x 9 =(x-1)(x2 +x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2 +x-8)
解法2：原式=x3 x 8x 8 =（x3 x）-8(x-1) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2 +x-8)
x＋ p x＋ q
特征：
(1) 二次项系数是1； (2) 常数项是两个数之积；
(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
【例6】因式分解：
（1）x2 7x 6
x
1
x
6
（2）x2 13x 36
x
9
x
4
解：
解：
x2 7x 6 [x (1)][x (6)] x2 13x 36 (x 4)(x 9)
(1)a2 ab b2
解：a2 ab b2 =（a+b）2 -3ab
=32 -3 （-8） =33 (2)a3 b3
解：a3 b3 =（a+b）a2 ab b2
=（a+b）（ a+b）2 -3ab =3 32 -3 （-8） =99
练习5：已知a b 1,求a3 3ab b3的值 .
分解因式：x3 9x 8
解法3：原式=9x3 8x3-9x 8 =9x3-9x 8x3 8 =9x(x 1)(x 1) 8(x 1)(x2 x 1) =(x 1)(x2 x 8)
解法4：原式=x3 x2 x2 9x 8 =x（2 x-1)+(x-8)(x-1) =（x-1)(x2 x 8)
第1章整式的乘除计算 题型解读5 积的乘方-北师大版七年级数学下册
《整式的乘除》计算题型解读5 积的乘方【知识梳理】1.概念-----积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如(ab)3,(2ab)n等。
2.积的乘方的运算法则：底数中所有因数的乘方，再相乘；公式：(ab)n=a n∙b n（n为正整数）公式推导：(ab)n=(ab)(ab)…(ab)公式推广：三个或三个以上的乘方，也具有这一性质，例如：(abc)n=a n∙b n∙c n3. 幂的乘方逆运算法则（字母参数题）：看到相同指数的幂在相乘，意味着底数的积在乘方.公式：a n∙b n=(ab)n (m,n均为正整数)4．运用积的乘方时须注意：①积的乘方运算中，括号内是积，不是和。
如：(a+b)2≠a2+b2②公式中的ａ（底数）可以是具体的数，也可以是单项式或多项式③此性质可以逆用：，a n∙b n=(ab)n逆用时，两个幂的指数必须相同或能够变成相同的.④运用积的乘方法则时，应先看底数有哪些因式，每个因式都要分别乘方，还要注意底数及系数的符号，对系数是-1的不可忽略。
⑤注意同底幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运用。
【典型例题】例1. 计算下列各题（1）底数是数字的，如：(4×7)3==________（2）底数是字母的，如：(−12ab 5)3==_______ （3）逆运算①指数相同时，如：(34)2019×(−113)2019=_______； ②指数能转化成相同的，如：(34)2019×(−113)2020=_______解析：（1）(4×7)3=43×73（2）(−12ab 5)3=−18a 3b 15（3）逆运算①(34)2019×(−113)2019=−1；②(34)2019×(−113)2020=113例2.计算下列各题（1）(3y)2=____；（2）(−2y 2)3=____；（3）(8×102)2=___；（4）−(−4xy 3)3=____；（5）(x 2y)3∙x 4=___；（6）(x 2)3∙[(−x )4]3=_____；（7）(513)2019×(135)2019=_______；（8）(0.125)15×(215)3=_______；（9）0.24×0.44×12.54=_____； 解析：（1）(3y)2=9y 2；（2）(−2y 2)3=−8y 6；（3）(8×102)2=6.4×105；（4）−(−4xy 3)3=64x 3y 9；（5）(x 2y)3∙x 4=x 10x 3；（6）(x 2)3∙[(−x )4]3=x 18；（7）(513)2019×(135)2019=1；（8）(0.125)15×(215)3=1；（9）0.24×0.44×12.54=1；例3.计算：(−2ab 2)3∙(−a )−(−2a 2b 3)2+(−3a 2)2∙(−b 2)3+6a 4b 6 解析：原式=(−8a 3b 6)∙(−a )−4a 4b 6+(9a 4)∙(−b 6)+6a 4b 6=8a 4b 6−4a 4b 6−9a 4b 6+6a 4b 6=a 4b 6例4.计算：(2a 3b)3∙(−8ab 2)÷(−4ab 2)2解析：原式=8a 9b 3∙(−8ab 2)÷(16a 2b 4)=−64a8b5÷(16a2b4)=−4a6b例5.已知n为正整数，且x2n=2，求(2x3n)2+(−x2n)3的值. 解析：(2x3n)2+(−x2n)3=4(x2n)3−(x2n)3=3(x2n)3=24例6.已知n为正整数，且x2n=2，求(2x3n)2+(−x2n)3的值. 解析：(2x3n)2+(−x2n)3=4(x2n)3−(x2n)3=3(x2n)3=24例7.若3m＝5，9n＝10，则3m+2n的值是（）A．50B．500C．250 D．2500解析：3m+2n=3m∙32n=3m∙(32)n=3m∙9n=5×10=50故选A.。
2021-2022学年人教版初升高衔接课第2讲《乘法公式》
2021-2022新高一 初高中衔接辅导课程02 乘法公式知识点归类1.我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．经典例题例1 阅读材料：对于多项式222x ax a ++可以直接用公式法分解为()2x a +的形式.但对于多项式2223x ax a +-就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在2223x ax a +-中先加上一项2a ，再减去2a 这项，使整个式子的值不变.解题过程如下： 2223x ax a +-222223x ax a a a =+-+-（第一步）222223x ax a a a =++--（第二步）()()222x a a =+-（第三步） ()()3x a x a =+-（第四步）根据上述材料，回答问题.上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（ ）A ．提公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法D ．十字相乘法例2．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是A ．x 2+1B ．x 2+2x ﹣1C ．x 2+x+1D ．x 2+4x+4例3 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例4 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．跟踪训练1．在1，3，5，7，11，13，17这七个数中取两个数作乘法，可得________个不同的积（用数字作答）． 2．对于实数x 、y ，定义新运算x *y ＝ax +by +2010，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3*5＝2011，4*9＝2009，则1*2＝_______.3．分解因式： 223224x xy y x y ++++=_________.4．分解因式：224ax ay -=________.5．分解因式：222(231)22331x x x x --++-=_____.6．分解因式：x 2−2x +(x −2)=______.三、解答题7．利用十字相乘法分解因式：（1）2(2)2x a x a +++；（2）2(3)3x t x t -++.8．利用十字相乘法分解因式：（1）232x x ++；（2）2215x x +-.9．分解因式：⑴1xy x y -+-；⑵222456x xy y x y +--+-；⑶3234x x -+.10．把下列各式分解因式：(1)2()x a b x ab -++；(2)2()(3)||3x y a x y a +-+++.11．分解因式：（1）32256x x x +--；（2）3221516x x x --+． 12．分解因式：（1）328421x x x +--； （2）3223a a c b c abc b ++-+. 13．分解因式： （1）34381a b b -； （2）76a ab -.。
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[2015·江西模拟]已知 x2－2x＋1 与|y＋ 2|互为相反数， 求 x2－4x＋4＋(y＋1)(y－1)的值．
解： ∵x2－2x＋1 与|y＋ 2|互为相反数， ∴(x－1)2＝0，y＋ 2＝0，解得 x＝1，y＝－ 2， ∴原式＝(x－2)2＋y2－1 ＝(1－2)2＋(－ 2)2－1 ＝1＋2－1 ＝2.
＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
＝12(100＋25＋225)
＝175.
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二、化简求值
(教材P112习题14.2第4题) 先化简，再求值：(2x＋3y)2－(2x＋y)(2x－y)，其中 x＝13，
y＝－12.
解：(2x＋3y)2－(2x＋y)(2x－y)
【解析】 ∵(a－1a)2＝(a＋1a)2－4＝( 5)2－4＝1， ∴a－1a＝±1.
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已知ab＝2，a－b＝－3，求a2＋b2的值． 解：由a－b＝－3，两边平方得 (a－b)2＝9，即a2＋b2－2ab＝9， 把ab＝2代入，得a2＋b2－4＝9， ∴a2＋b2＝13.
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先化简，再求值： (a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2，其中a＝1，b＝－2. 解：原式＝a2－b2＋ab＋2b2－b2＝a2＋ab. 当a＝1，b＝－2时，原式＝a2＋ab＝1－2＝－1.
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先化简，再求值： （a＋b）2－（a－b）2·a，其中 a＝－1，b＝5.
( B) D．9
【解析】∵(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝12＋4×2＝9，
开平方，得a＋b＝±3，
又∵a，b都是正数，
∴a＋b>0， ∴a＋b＝3.故选B.
若m2＋n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝__±_2___2__．
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[2015 春·台州校级月考]若 a＋1a＝ 5，则 a－1a的 值为__±__1___．
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先化简，再求值：(4xy3－8x2y2)÷4xy＋(2x＋y)(2x－
y)，然后选择你喜欢的值代入计算． 解：原式＝(4xy3－8x2y2)·41xy＋4x2－y2 ＝y2－2xy＋4x2－y2(4x2－y2)
＝4x2＋12xy＋9y2－4x2＋y2
＝12xy＋10y2，
当 x＝13，y＝－12时，原式＝12.
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【思想方法】 在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方 后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相同．
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已知a＋b＝6，ab＝－27，求下列各式的值： (1)a2＋b2；(2)a2＋b2－ab；(3)(a－b)2. 解：(1)90；(2)117；(3)144.
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已知实数 a 满足 a2＋1＝3a，求 a2＋a12的值． 解：∵a2＋1＝3a， ∴a≠0，∴两边同除以 a，得 a＋1a＝3， ∴(a＋1a)2＝9， ∴a2＋a12＋2＝9， 即 a2＋a12＝7， ∴a2＋a12的值为 7.
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已知x＝y＋4，求代数式x2－2xy＋y2－25的值． 解：∵x＝y＋4， ∴x－y＝4， ∴(x－y)2＝16，即x2－2xy＋y2＝16， ∴x2－2xy＋y2－25 ＝16－25 ＝－9.
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(1)计算：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2； (2)已知a－b＝10，b－c＝5，c－a＝15，利用上题结论求a2＋ b2＋c2－ab－bc－ac的值． 解： (1)(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2 ＝a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋a2＋c2－2ac ＝2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)； (2)∵a－b＝10，b－c＝5，c－a＝15， ∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ac
解：（a＋b）2－（a－b）2·a ＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2·a ＝4ab·a ＝4a2b. 当 a＝－1，b＝5 时，原式＝4×(－1)2×5＝20.
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已知x2－4x－1＝0，求代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y) －y2的值．
解：原式＝4x2－12x＋9－x2＋y2－y2＝3x2－12x＋9＝3(x2－ 4x＋3)．
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[2015·邵阳]已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为
(C)
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×2＝5.
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若a，b是正数，a－b＝1，ab＝2，则a＋b等于
A．－3
B．3
C．±3
教材回归(五) 乘法公式的变形
一、整体求值 (教材P112习题14.2第7题) 已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值． 解：∵a＋b＝5，ab＝3， ∴(a＋b)2＝25，即a2＋2ab＋b2＝25. 于是a2＋b2＝25－2ab＝25－2×3＝19.
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【思想方法】 完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a －b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ (a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中，知道其中任 意的两个量，就能求出其余的两个量(整体代换)．
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化简：(x＋2)2－x(x－3)． 解：原式＝x2＋4x＋4－x2＋3x＝7x＋4.
[2015·河池]先化简，再求值：(3－x)(3＋x)＋(x＋ 1)2，其中x＝2.
解： (3－x)(3＋x)＋(x＋1)2 ＝9－x2＋x2＋2x＋1 ＝2x＋10. 当x＝2时，原式＝2x＋10＝2×2＋10＝14.