2020-2021年中考数学试题分类汇编24：等腰三角形与等边三角形

一、选择题

1. （2019山东省潍坊市，8，3分）如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：

①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．

②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．

③连接OE交CD于点M．

下列结论中错误的是（）

A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四边形OCED=

1

2CD·OE

【答案】C

【解析】由作图可知OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B、D正确；选项C错误；故答案选择C.

【知识点】尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质

2. （2019浙江省衢州市，7，3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三

等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。

C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是

A.60°

B.65°

C.75°

D.80°

【答案】D

【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO, ∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°, 所以∠O=25°, ∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D。

【知识点】等腰三角形的判定等腰三角形的判定三角形内角和三角形外角的性质

3. （2019重庆A卷，12，4）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得

到△BDC'，DC'与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点D到BC'的距离为（）A．2

3

3

B．7

21

3

C．7D．13

【答案】B．

【解析】如答图，过点D作DM⊥BC'于点M，过点B作BN⊥DC'于点N，由翻折可知DC'＝DC＝AD＝2，∠BDC＝∠B DC'．∵AD＝AC'＝2，∴△ADC'是等边三角形，从而∠ADC'＝∠B DC'＝∠BDC＝60°．在

Rt△BDN中，DN＝

1

2BD＝

3

2，BN＝

3

3

2

，从而C N'＝

1

2．于是，BC'＝

22

133

()()

22

+

＝7．∵BDC

S

'

∆

＝

11

22

DC BN BC DM

''

⋅=⋅

，∴DM＝

DC BN

BC

'⋅

'＝

33

2

2

7

⨯

＝

321

7．故选B．

【知识点】翻折；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；面积桥法．

4. (2019山东聊城,11,3分)如图在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O 重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是

A.AE+AF＝AC

B.∠BEO+∠OFC＝180°

C.OE+OF＝

2

2BC D.S四边形AEOF＝

1

2S△ABC

第11题图

【答案】C

【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S

第12题答图

第12题图

△CFO+S △AFO ＝1

2S △ABC,故D 正确；故选C.

第11题答图

【知识点】旋转,三角形全等

5. （2019四川宜宾，7，3分）如图，EOF ∠的顶点O 是边长为2的等边ABC ∆的重心，EOF ∠的两边与ABC ∆的边交于E ，F ，120EOF ∠=︒，则EOF ∠与ABC ∆的边所围成阴影部分的面积是( )

A ．3

B ．23

C ．3

D ．3

【答案】C

【解析】解：连接OB 、OC ，过点O 作ON BC ⊥，垂足为N ，

ABC ∆为等边三角形， 60ABC ACB ∴∠=∠=︒，

点O 为ABC ∆的内心

12OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠，1

2OCB ACB

∠=∠．

30OBA OBC OCB ∴∠=∠=∠=︒． OB OC ∴=．120BOC ∠=︒， ON BC ⊥，2BC =， 1BN NC ∴==，

33tan 1

ON OBC BN ∴=∠=

⨯=，

13

2OBC S BC ON ∆∴=

=．

120EOF

AOB ∠=∠=︒，

EOF BOF AOB BOF ∴∠-∠=∠-∠，即EOB FOC ∠=∠．

在EOB ∆和FOC ∆中， 30OBE OCF OB OC

EOB FOC ∠=∠=︒

⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

，

()EOB FOC ASA ∴∆≅∆． 3OBC S S ∆∴==

阴影

故选：C ．

【知识点】三角形的重心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质

6.（2019台湾省，15，3分）如图，ABC ∆中，AC BC AB =<．若1∠、2∠分别为ABC ∠、ACB ∠的外角，则下列角度关系何者正确( )

A ．12∠<∠

B ．12∠=∠

C ．2180A ∠+∠<︒

D ．1180A ∠+∠>︒

【答案】C 【解析】解：

AC BC AB =<，