2020年八年级数学上册与三角形有关的角培优卷(含答案)

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人教版数学八年级上册第11章《三角形》培优测试题（含答案）

第11章《三角形》培优测试题一．选择题（共10小题）1．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（）A．5cm，8cm，2cm B．5cm，8cm，13cmC．5cm，8cm，5cm D．2cm，7cm，5cm2．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD 折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．40°B．20°C．55°D．30°3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．在△ABC中，若AB=9，BC=6，则第三边CA的长度可以是（）A．3B．9C．15D．166．如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°7．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°8．如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°10．如图，AE平分△ABC外角∠CAD，且AE∥BC，给出下列结论：①∠DAE=∠CAE；②∠DAE=∠B；③∠CAE=∠C；④∠B=∠C；⑤∠C+∠BAE=180°，其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题（共8小题）11．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在B C的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．13．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC= ．14．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为．15．在△ABC中，∠C=∠A=∠B，则∠A= 度．16．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，∠DAE 度．17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．18．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN的度数是．三．解答题（共7小题）19．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．21．如图①所示，为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星．试回答以下问（1）在图①中，试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；（2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由．22．如图，已知△ABC中，高为AD，角平分线为AE，若∠B=28°，∠ACD=52°，求∠EAD的度数．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE= 度；（2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE= ；（用含x、y的代数式表示）（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．24．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB的度数．25．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 度，∠P= 度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．参考答案一．选择题1． C．2． A．3． D．4． C．5． B．6． A．7． C．8． C．9． B．10． A．二．填空题11． 1＜a＜4．12．101°．13．115°．14． 10．15．60．16． 10．17．30°．18．50°．三．解答题19．解：（1）设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，则三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°．（2）设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得n=12．故这个多边形的边数为12．20．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．21．解：（1）证明：如图①，设BD、AD与CE的交点为M、N；△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质知：∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C；△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（2）结论仍然成立，以图③为例；延长CE交AD于F，设CE与BD的交点为M；同（1）可知：∠DMF=∠B+∠E，∠DFM=∠A+∠C；在△DMF中，∠D+∠DMF+∠DFM=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．22．解：∵AD为高，∠B=28°，∴∠BAD=62°，∵∠ACD=52°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°，∵AE是角平分线，∴∠BAE=BAC=12°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=50°．23．解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°∴∠BAE=60°∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°，∵CF∥AD，∴∠CFE=∠DAE=20°；故答案为：20；（2）∵∠BAE=90°﹣∠B，∠BAD=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠BCA），∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）=（∠BCA ﹣∠B）=y﹣x．故答案为： y﹣x；（3）（2）中的结论成立．∵∠B=x，∠ACB=y，∴∠BAC=180°﹣x﹣y，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y，∵CF∥AD，∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y，∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y，∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y，∵AE⊥BC，∴∠FEC=90°，∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x．24．解：∵AD=BD，∠A=23°，∴∠ABD=∠A=23°，∵BG∥EF，∠BC E=44°，∴∠DBC=∠BCE=44°，∴∠ABC=44°+23°=67°，∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°．25．解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠A=50°，∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；（2）．证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴，∴，∴；（3）．理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．。

2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优(含答案)

2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优一、选择题1.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA2.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定4.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。

A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定5.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°6.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.48.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或7二、填空题9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．10.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．11.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB= .12.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .13.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是．14.如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC 的面积= .15.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．三、解答题16.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1＋∠2.17.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．19.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB 和∠CAP的度数．20.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.21.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．22.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．参考答案1.D2.C3.C4.C5.C6.C.7.D.8.D9.答案为：①②③．10.答案为：相等或互补．11.答案为：128°.12.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；13.答案为：1＜AD ＜9．14.答案为：50.15.答案为：①②④．16.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS).∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.∵∠3=∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3=∠1＋∠2.17.证明：（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC=BF ；（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC=∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.18.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE19.答案为：80°，50°；20.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B21.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．22.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．。

人教版初中八年级上册数学与三角形有关的角能力培优训练含答案

11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BP A的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠P AC=12∠BAC，所以∠DBC＋∠P AD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠P AD =∠DBC＋∠C＋∠P AD=∠DBC＋∠P AD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=34°．∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（2）∠DCE=12（∠B－∠A）．6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题1(附答案详解)

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题1（附答案详解）1．下列说法正确的是（）A．三角形可以分为等边三角形、直角三角形、钝角三角形B．如果一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形为锐角三角形C．各边都相等的多边形是正多边形D．五边形有五条对角线2．如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°3．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形．点C 也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．3 B．5 C．8 D．104．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，14 B．6，8，10 C．3，4，6 D．1，2，3 5．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=60°，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．1 B．2C．3D．1.56．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）7．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A ．B ．C ．D ．8．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（） A ． B ．C ．D ．9．下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是（） A ． B ． C ． D ． 10．等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是( )A ．17B ．17或22C ．20D ．2211．已知△ABC 中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC 的周长为______.12．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于E ．如果AC=6，BC=8，那么DE= ，CD= ．13．如图，AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，沿AD 将ACD ∆折叠，点C 的对应点为1C ，已知456ADC BC ∠=︒=，，则点B 与点1C 之间的距离是____________14．如图，将长方形ABCD 折叠，折痕为EF ，且∠1=70°，则∠AEF 的度数是_____．15．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=______°．16．如图，将一张圆形纸片对折后再对折，将阴影部分剪下，空白部分完全展开得到的图形对称轴有_____条．17．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、F 在同一直线上，CD ＝CE ，DF ＝DG ，则∠F ＝___度．18．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边对折所形成的，CD 与AE 交于点P 若∠1：∠2：∠3=13：3：2，则∠α的度数为_____．19．如图，已知A 1A 2=1，∠OA 1A 2=90°，∠A 1OA 2=30°，以斜边OA 2为直角边作直角三角形，使得∠A 2OA 3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt △A 2014OA 2015的面积为_____．20．如图，已知AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC ，则△ABC 一定是三角形．21．如图1，已知△ABC 中，AB=AC ，点D 是△ABC 外一点(与点A 分别在直线BC 两侧).且DB=DC ，过点D 作DE//AC ，交射线AB 于E ，连接AD 交BC 于F.(1)求证：AD 垂直BC ；(2)如图1，点E 在线段AB 上且不与B 重合时，求证：DE=AE ；(3)如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，请直接写出线段DE ，AC ，BE 的数量关系.22．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC 的周长；（2）求证：∠ABC ＝90°；（3）若点P 为直线AC 上任意一点，则线段BP 的最小值为．23．（1）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm 和6 cm 两部分．求等腰三角形的底边长．(2)已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少20°，求顶角的度数24．如图，在直角ABC 中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求B 的度数．25．如图，平面直角坐标系中，已知点()()A a 1a b B a 0-+，，，且()2a b 3a 2b 0C +-+-=，为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰ACD ，使AD AC CAD OAB ∠∠==，，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：OC BD =；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？26．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，且BE=CF ，AD+EC=AB ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数；（3）△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A 为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．27．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝AD ，请你添加一个边或角的条件，使得AC ⊥BD ．（1）添加的条件是；（2）根据已知及添加的条件证明：AC⊥BD．28．如图，，为中点，点在线段上(不与点，重合)，将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．(1)求证：；(2)当时，求的长(结果保留)；(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围．29．如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如A（2，1）、B（5，4）、C（1，8）都是格点．（1）直接写出△ABC的形状．（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点A顺时针旋转角度α得到△AB1C1，α＝∠BAC，其中B，C的对应点分别为B1，C1，操作如下：第一步：找一个格点D，连接AD，使∠DAB＝∠CAB．第二步：找两个格点C1，E，连接C1E交AD于B1．第三步：连接AC1，则△AB1C1即为所作出的图形．请你按步骤完成作图，并直接写出D、C1、E三点的坐标．30．如图，在ABC △中，AB AC =，70ABC ∠=︒，(1)用直尺和圆规作ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D (保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，求BDC ∠的度数．参考答案1．D【解析】【分析】根据三角形的分类、三角形内外角的关系以及正多边形的定义即可作出判断．【详解】A、三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选项错误；B、任何一个三角形的一定至少有两个外角大于与它相邻的内角，故选项错误；C、各边都相等、各角相等的多边形是正多边形，故选项错误；D、五边形有五条对角线，正确．故选D．【点睛】本题考查了正多边形的定义，三角形的性质以及分类，理解三角形的内角和外角的关系是关键．2．B【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数．【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠C=80°，∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，故选B．【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．3．C【解析】试题分析：根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．解：如图所示：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有0个；②点C以点B为标准，AB为底边，符合点C的有0个；③点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C1、C3、C7，共3个；④点C以点A为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C2、C4、C5，C6、C8共5个；综上所述，所有符合条件的点C共有8个．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．4．B【解析】【分析】利用勾股定理逆定理即可证明.【详解】解：52+122≠142,A错误,62+82=102,B正确,32+42≠62,C错误,12+22≠32,D错误,故选B.【点睛】本题考查了用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，属于简单题,熟悉概念是解题关键. 5．C【解析】∵在△ABC中，AB=AC=2，∠B=60°，AD平分∠BAC，∴△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC=AB=2，BD=DC=1，∠ADB=90°，∴=故选C.6．B【解析】因为AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC=80°.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以EB=EA，所以∠EAB=∠EBA=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.故选B.7．C【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念分别找出各选项中对称轴的条数，然后选择答案即可．解：A、共有6条对称轴；B、共有2条对称轴；C、共有1条对称轴；D、共有3条对称轴；所以对称轴条数最少的是C选项．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．C【解析】【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可得答案．【详解】A.不是轴对称图形，故该选项不符合题意，B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意，C.是轴对称图形，故该选项符合题意，D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．B【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，关键是正确找出对称轴的位置．10．D【解析】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去4+9＞9，故4，9，9能构成三角形∴它的周长是4+9+9=22故选D．11．12【解析】【分析】【详解】解：∵AB=AC=4，∠A=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BC="AB=AC=4，"∴△ABC 的周长为12．故答案为12.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．12．4；5【解析】试题分析：在直角△ABC 中，AB=222286+=+BC AC =10，∵D 是AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于E ，∴DE 是△ABC 的中位线，D 是AB 的中点．∴DE=21BC=4，CD=21AB=5．考点：1、勾股定理三；2、角形中位线定理；3、直角三角形斜边上的中线13．32【解析】【分析】连接BC 1，根据三角形中线的定义可得BD=CD=12BC =3，然后根据折叠的性质可得C 1D=CD=3，∠C 1DA=∠ADC=45°，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接BC 1∵AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，BC=6∴BD=CD=12BC=3由折叠的性质可得C1D=CD=3，∠C1DA=∠ADC=45°∴∠C1DB=180°－∠C1DA－∠ADC=90°在Rt△C1DB中，BC1故答案为：【点睛】此题考查的是勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理与折叠的性质是解决此题的关键．14．125°【解析】【分析】根据∠1=70°，可得∠BFB'=110°，由折叠可得，∠BFE=12∠BFB'=55°，再根据AD∥BC，即可得到∠AEF=180°﹣∠BFE=125°．【详解】∵∠1=70°，∴∠BFB'=110°，由折叠可得，∠BFE=12∠BFB'=55°，又∵AD∥BC，∴∠AEF=180°﹣∠BFE=125°．故答案为：125°.【点睛】本题考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．15．30【解析】【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出∠ABC,然后根据垂直平分线的性质可得DA=DB,从而得出∠A=∠DBA=40°,即可求出DBC∠．解:∵AB AC =,40A ∠=︒∴∠ABC=∠ACB=()1180702A ︒-∠=︒ ∵DE 垂直平分AB∴DA=DB∴∠A=∠DBA=40°∴∠DBC=∠ABC －∠DBA=30°故答案为:30．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，掌握等边对等角和线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解决此题的关键．16．两．【解析】【分析】根据阴影部分是有4个全等的直角三角形组成，于是得到阴影部分展开得到的图形得到的图形是菱形，然后根据轴对称图形的性质即可得到结论．【详解】∵将阴影部分剪下，展开后得到的平面图形是一个四边形，其四条边相等，且对角线互相垂直．故其是一个菱形，∴空白部分完全展开得到的图形对称轴有两条，故答案为：两．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的判定，轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．17．15．【解析】【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠F 的【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝30°，∠FDG＝150°，∵DF＝DG，∴∠F＝15°．故答案为：15．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质．解题的关键是利用外角的性质得出结论．18．100°【解析】【分析】由∠1：∠2：∠3=13：3：2和三角形内角和定理求出∠1=130°，∠3=20°，根据折叠的性质即可求解．【详解】解：∵∠1：∠2：∠3=13：3：2，∴∠1=130°，∠3=20°，∴∠DCA=20°，∠EAB=130°，∵∠PAC=360°﹣2∠1=100°，∴∠EPD=∠APC=180°﹣∠PAC﹣∠DCA=60°，由翻折的性质可知：∠E=∠3=20°，∴∠α=180°﹣60°﹣20°=100°．故答案为：100°．【点睛】本题考查了折叠变换的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理是解题的关键．19．×（）4026【解析】试题分析：在Rt△OA1A2中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，得到OA2=2A1A2，由A1A2的长求出OA2的长，在Rt△OA2A3中，利用锐角三角函数定义得到tan∠A2OA3等于A2A3与OA2的比值，求出A2A3的长，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半，求出OA3的长，同理求出A3A4的长，以此类推得到直角三角形△A2014OA2015的两条直角边的长，求出面积．试题解析：在Rt△OA1A2中，A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，∴OA1=1÷tan30°=, OA2=÷cos30°=2在Rt△OA2A3中，OA2="2," ∠OA2A3=90°，∠A2OA3=30°，∴A2A3= OA2×tan∠A2OA3=2×=, OA3= OA2÷cos∠A2OA3=由此可知：OA2=OA1×, OA3=OA1×（）2则OA2014=OA1×（）2013则Rt△OA2014A2015的面积为：××（）2013×（）2013×=×（）4026．考点：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．20．等腰【解析】试题分析：先根据平行线性质得到∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，再根据角平分线的性质得到∠EAD=∠DAC，从而推出∠B=∠C，等角对等边所以AB=AC．从而判定△ABC的形状．解：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C．∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC．∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：等腰．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定及平行线的性质，重点考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用，属于基础证明，难度不算很大．21．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=AC+BE【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠CAF，根据平行线的性质得到∠CAF=∠ADE，等量代换得到∠BAF=∠ADE，于是得到DE=AE；（3）由（1）得AF⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠CAE，根据平行线的性质得到∠EDA=∠CAF，等量代换得到∠BAF=∠EDA于是得到结论．【详解】(1)∵AB=AC∴点A在线段BC的垂直平分线上，∵DB=DC∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴直线AD是BC的垂直平分线，∴AD垂直BC；(2)∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=∠CAD∵DE∥AC∴∠EDA=∠CAD∴∠BAD=∠EDA∴DE=AE(3) DE=BE+AC，由（1）得AF⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAF=∠CAF，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAF，∴∠BAF=∠EDA，∴EA=ED，∵EA=EB+BA=EB+AC ， ∴DE=BE+AC ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．22．(1)35+5;(2)见解析;(3)2.【解析】【分析】（1）运用勾股定理求得AB ，BC 及AC 的长，即可求出△ABC 的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC 2=AB 2+BC 2，得出∠ABC=90°．（3）过B 作BP ⊥AC ，根据面积法计算即可．【详解】解：(1)2222224225,215,345AB BC AC =+==+==+=，△ABC 的周长2555355=++=+，(2)∵22225,20,5AC AB BC ===，∴222AC AB BC =+，∴90.ABC ∠=(3)过B 作BP ⊥AC ,∵△ABC 的面积1122AB BC AC BP =⋅=⋅，即11255522BP ⨯=⨯⋅，解得BP =2，故答案为2【点睛】考查勾股定理的逆定理，勾股定理，注意等面积法在解题中的应用.23．(1)1cm;(2) 44°或80°或140°.【解析】【分析】（1）设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为15，故应该列两个方程组求解．（2）设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x 与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm,ycm,由题意得1152162x xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或1621152x xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得101xy=⎧⎨=⎩或413xy=⎧⎨=⎩(不符舍去)，∴等腰三角形的底边长为1cm..(2) 设另一个角是x，表示出一个角是2x−20°，①x是顶角，2x−20∘是底角时，x+2(2x−20°)=180°，解得x=44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x−20°是顶角时，2x+(2x−20°)=180°，解得x=50°，所以，顶角是2×50°−20°=80°；③x与2x−20∘都是底角时，x=2x−20°，解得x=20°，所以，顶角是180°−20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°.【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和性质以及分类的数学思想，掌握基本知识是关键.24．30【解析】【分析】通过DE 垂直平分AB ,可得B BAD ∠=∠，再根据AD 平分CAB ∠可得CAD BAD B ==∠∠∠，通过三角形内角和定理即可求出B 的度数．【详解】∵DE 垂直平分AB∴DA DB =∴B BAD ∠=∠∵AD 平分CAB ∠∴CAD BAD B ==∠∠∠∵90C ∠=︒∴90CAB B ∠+∠=︒∴390B =︒∠∴30B ∠=︒．【点睛】本题考查了三角形内角的度数问题，掌握垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理是解题的关键．25．（1）见解析（2）见解析（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据算术平方根和平方数的非负性质即可求得a 、b 的值，即可求得A ，B 点坐标，即可求得OA ，AB 长度，即可解题；（2）易证∠OAC ＝∠BAD ，即可证明△OAC ≌△BAD ，可得OC ＝BD ，即可解题；（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB ＝∠ABO ＝α，易证∠OBP 是定值，根据OB 长度固定和∠POB ＝90︒，即可解题．【详解】（1()220a b -=，0，()22a b -≥0，∴a ＋b−3＝0，a−2b ＝0，解得：a ＝2，b ＝1，∴A （1，3），B （2，0），∴OA=AB=∴OA ＝AB ；（2）∵∠CAD ＝∠OAB ，∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠OAB ＋∠BAC ，即∠OAC ＝∠BAD ，在△OAC 和△BAD 中，OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAC ≌△BAD （SAS ），∴OC ＝BD ；（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB ＝∠ABO ＝α，∵由（2）知△AOC ≌△ABD ，∴∠ABD ＝∠AOB ＝α，∵OB ＝2，∠OBP ＝180°−∠ABO−∠ABD ＝180°−2α为定值，∵∠POB ＝90︒，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△OAC ≌△BAD 是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）∠DEF=70°；（3）△DEF 不可能是等腰直角三角形，理由见解析；（4）当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据条件证明△DBE ≌△ECF ，根据全等三角形的性质可得DE=FE ，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF ，再由角之间的转化，从而可求解∠DEF 的大小；（3）由于AB=AC ，可得∠B=∠C ≠90°=∠DEF ，从而可确定其不可能是等腰直角三角形；（4）先猜想出∠A 的度数，则可得∠EDF+∠EFD=120°，根据前面的推导过程知∠EDF+∠EFD=120°时，∠DEF=60°，再由∠B=∠DEF 以及等腰三角形的性质继而推得猜想的正确性.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵AD+EC=AB ，AB=AD+BD ，∴BD=CE ，在△BDE 和△CEF 中，BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CEF （SAS ）∴DE=EF ，∴△DEF 是等腰三角形；（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE ，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，由（1）知△BDE ≌△CEF ，则∠BDE=∠CEF ，∴∠DEF=∠B ，∵∠A=40°，∴∠B=∠C=()1180402⨯︒-︒=70°， ∴∠DEF=70°；（3）△DEF 不可能是等腰直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠C≠90°，由（2）知∠DEF=∠B，∴∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形；（4）当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，理由是：当∠EDF+∠EFD=120°时，则∠DEF=180°-120°=60°，∴∠B=∠DEF=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，∴当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定和性质问题，能够熟练掌握和灵活运用相关质是解题的关键.27．（1）CB＝CD；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，分析题意，即可添加条件；（2）根据线段垂直平分线的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）添加的条件是CB＝CD，故答案为：CB＝CD；（2）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的判定和性质定理.28．(1)见解析；(2)；(3)4＜OC＜8.【解析】(1)连接OQ，证明AP，BQ所在两个三角形全等；(2)在Rt△BOQ中，由OB，BQ的长求出∠BOQ的度数，得到所对圆心角的度数，再根据弧长公式求解；(3)△APO的外心是OA的中点，试题分析：试题解析：(1)证明：连接OQ.∵AP，BQ分别与相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠P=∠Q=90°.∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ.(2)∵BQ=，OB==8，∠Q=90°，∴sin∠BOQ=，∴∠BOQ=60°.∵OQ=8×cos60°=4，∴的长为=.(3)设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM=4.当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8.考点：全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，外心.29．（1）△ABC是直角三角形；（2）图详见解析，D（9，0），C1（7，6），E（6，﹣1）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；（2）延长CB使得BD＝BC即可，在AB的延长线上取一点C′，使得AC1＝5，取一点E，使得C1E⊥AD即可．【详解】（1）由题意：AC＝5，BC＝4，AB＝3，∵AC2＝BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）如图，△AB 1C 1即为所作出的图形．D （9，0），C 1（7，6），E （6，﹣1）．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握和灵活运用所学知识解决问题.30．(1)见解析；(2)75BDC ∠=︒.【解析】【分析】（1）以B 为圆心，任意长为半径画弧交AB ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心、以大于12EF 长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线BG 交AC 于点D ，（2）根据等腰三角形的性质求出∠C ，根据角平分线的定义求出∠CBD ，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】(1)如图所示，BD 即为所求；(2)在ABC 中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，BDC∠是ABD的外角，∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ .BDC A ABD403575【点睛】本题考查基本作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用知识解决问题，属于中考常考题型．。

数学八年级上册全等三角形单元培优测试卷

数学八年级上册全等三角形单元培优测试卷一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在锐角△ABC 中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN ，∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）．∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5．∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．2．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC ，在△BDF 和△CDA 中，∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF=AC ，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF ，故③正确．作GM ⊥AB 于M ．如图所示：∵∠GBM=∠GBH ，GH ⊥BC ，∴GH=GM ＜DG ，∴S △DGB ＞S △GHB ，∵S △ABE =S △BCE ，∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．3．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．4．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC =____．【答案】2．【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ，∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=，∴3x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+，AE 3=3=， ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=2x ，∴222AD BC x ==．故答案为：22．【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．如图，∠MON ＝30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2，B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推，若OA 1＝3，则a 2=_______，a 2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1=6，得出a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=3，∴A 2B 1=3，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1，以此类推：a 2019=22018a 1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．6．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，故④错误，根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD，同理可证BM=BN，CD=CN，变形即可得到⑤正确．【详解】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•（AE+AF）=12mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；同理可证：BM=BN，CD=CN．∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC﹣BC）故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．【答案】117°或108°或84°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.【详解】①∠BAD＝∠BDA＝12（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝12∠BDA＝39°，如图1所示：∴∠BAC＝78°+39°＝117°；②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，∴∠BAC＝24°+84°＝108°；③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；∴其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，故答案为：117°或108°或84°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.8．如图，已知30AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，14OD DP ==，点E ，F 在边OB 上，PE PF =.若6EF =，则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N ，证明△PMD ≌△PND ，进而求出DF 长度，从而求出OF 的长度.【详解】如图所示，作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N.∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，∴∠NPD=∠DPO=30°，∵DP=DP ，∠PND=∠PMD=90°，∴△PND ≌△PMD ，∴ND=7，∵EF=6，∴DF=ND-NF=7-3=4，∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.9．在下列结论中：①有三个角是60︒的三角形是等边三角形；②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60︒，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．【详解】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2=16a ，以此类推：A 7B 7=64B 1A 2=64a ．故答案为：64a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB =⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．12．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）A．32°B．64°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH-∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D-∠DEH-∠EHF=180︒-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)=180︒-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）=180︒-32°-∠DEH-32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH-(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH-180︒+64°+2∠DEH=64°故选B 【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键13．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A （3，﹣52）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C （﹣2，﹣9），则C 点对称点的坐标是（）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，﹣32）C ．（﹣32，﹣9） D ．（﹣2，﹣1）【答案】A【解析】【分析】先利用点A 和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C 关于直线y=-4的对称点即可．【详解】解：∵A （3，﹣52）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点， ∴点A 与点B 关于直线y ＝﹣4对称， ∴点C （﹣2，﹣9）关于直线y ＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m ；关于直线y=n 对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n ．14．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，30BDC ∠=，则DBC ∠=（）°A ．15B ．18C ．20D ．25【答案】A【解析】【分析】延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，得∠ACD =∠M =60°，再求出∠BAO 即可解决问题.【详解】如图，延长BD 到M 使得DM =DC.∵∠ADB =75°，∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.∵∠ADB=75°，∠BDC=30°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°，∴∠ADM=∠ADC.在△ADM和△ADC中，∵ADADADM ADCDM DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△ADC，∴AM=AC.∵AC=AB，∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=60°，∴△AMB是等边三角形，∴∠M=∠DCA=60°.∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，∴∠BAO=∠ODC=30°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，∴∠CBD=15°.故选：A.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E,若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（）A ．16B ．18C ．20D ．24【答案】A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.【详解】解：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，BC=2CE=8又∵AABC 的周长为24，∴AB+BC+AC=24∴AB+AC=24-BC=24-8=16∴△ABD 的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.16．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.17．如图，P 为∠AOB 内一定点，M 、N 分别是射线OA 、OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°【答案】A【解析】【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP 1M=∠OPM=50°，OP 1=OP 2=OP ，根据等腰三角形的性质求解．【详解】作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M，∴∠P1OP2=180°-110°=70°，∴∠AOB=35°，故选A．【点睛】考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，故选A．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④【答案】C【解析】【分析】①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．【详解】①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵AE BEDAE CBEAD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正确；②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．在△AEF和△BED中，∵BDE AFEBED AEFAE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=O D=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐标是（8，4）；假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ2十QD2=PD2，∵0P=PD=5=0D，∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B．。

人教版八年级上册数学全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)

人教版八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．【解析】【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵BD CDMBD ECD BM CE，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，∵MD DEMDN EDN DN DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM= DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°∴CN=AN=12AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ，∴四边形MFNA 为平行四边形， ∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ，∴∠EMF ＝∠FNC ，∴△EMF ≌△FNC ，∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°，∴∠FCN+∠PFC ＝90°，∴∠EFM+∠PFC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF ＝45°，∴CE ＝2FE ．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．3．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__________；②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）（2）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．【详解】（1）①正方形ADEF 中，AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC （SAS ）∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°∴∠ABD ＝180°－45°＝135°∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF∴DC ＝CF ＋BC（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，∵90BAC ∠=︒，AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒，∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==，∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====，∴3CM EM ==∴CE ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．4．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

2020-2021学年浙教版八年级上册等边三角形专题培优(附答案)

2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优姓名班级学号基础巩固1.如图，△ABC是等边三角形，AQ= PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论:①点P在∠A的平分线上；②AS= AR；③QP∥AR；④△BRP ≌△QSP.其中正确的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个第1题第2题第3题2.如图，∠AOB= 120°，OP平分∠AOB，且OP= 2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）.A.2个B.3个C.4个D.无数个3.如图，已知△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD= 62°，则∠AEB的度数是（）.A.124°B.122°C.120°D.118°第4题第5题4.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知等腰三角形的底角∠3 = 64°，则∠1 + ∠2 = _________ .5.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB = 1 cm，BC = 3 cm，CD =3 cm，DE = 2 cm，则这个六边形的周长是 _________ .6.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠CAB= 30°.分别以AB，AC为边，向外作等边△ABD和邻边△ACE.（1）如图1，连结线段BE，CD.求证:BE = CD.（2）如图2，连结DE交AB于点F.求证:点F为DE中点.7.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连结AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP = 30°，作点A关于射线DP的对称点E，连结DE，CE.（1）当点D在线段BC上运动时.①依题意将图1补全.②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明.（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明.拓展提优1.如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在线段AD 上，∠EBC = 45°，则∠ACE 等于（）. A .15° B .30° C .45° D .60°第1题2.如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积是（）.A .3B .23 C .433D .323.如图，等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部，∠BDC = 90°，连结AD ，过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 _________ .4.如图，∠MON = 30°，点B 1在边OM 上，且OB = 2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 2，A 2，以A 2B 2为边在A 2B 2的右侧作等边三角形A 2B 2C 2；过点C 2作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 3，A 3，以A 3B 3为边在A 3B 3的右侧作等边三角形A 3B 3C 3…按此规律进行下去，则△A n A n+1C n 的面积为 _________ （用含正整数n 的代数式表示）.5.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AB= CD，AD与BE相交于点F，CF⊥BE.求证:（1）BE = AD.（2）BF = 2AF.6.已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，D是边BC，EF的中点.（1）如图1，连结AD，GD，则∠ADC= _________ 度；∠GDF= _________ 度；AD与GD的数量关系是 _________ ；DC与DF的数量关系是 _________ .（2）如图2，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小.冲刺重高1.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M，N，使∠MBN= 30°.若AM = m，MN = x，CN = n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x，m，n的值而定2.如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为（）.A.30 cmB.40 cmC.50 cmD.60 cm3.在等边三角形ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）.A.1个B.4个C.7个D.10个4.如图，等边三角形RST的顶点R，S，T分别在等腰三角形ABC的边AB，BC，CA 上，设∠ART= x°，∠RSB= y°，∠STC= z°，用含y，z的代数式表示x是_________ .5.如图，点P是等边三角形ABC内部一点，且∠APC= 117°，∠BPC= 130°.求以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数.2 3 4 5 67。

人教版八年级数学上册三角形认识单元培优卷(含答案)

八年级数学上册三角形认识单元培优卷一、选择题：1、如图所示的△ABC中,线段BE是△ABC边AC上的高的是( ).2、为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB 间的距离不可能是（）A.15mB.17mC.20mD.28m3、已知一个多边形的内角和是720º，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形4、若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A.10B.9C.8D.65、将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( )A.45°B.50°C.60°D.75°6、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于( )A.50°B.30°C.20°D.15°7、三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个8、现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根可以组成不同三角形的个数 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=( )A.118°B.119°C.120°D.121°10、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A. 90°B. 135°C. 270°D. 315°11、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1= 50°，则∠2+∠3 =（）A.190°B.130°C.100°D.80°12、如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.当A，B移动后，∠BAO=45°时，则∠C的度数是( )A.30°B.45°C.55°D.60°二、填空题:13、如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有性.14、已知三角形的边长分别为4、a、8，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为.15、如果一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形对角线的条数是，它的内角和是，它的外角和是 .16、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .17、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为__________.18、如图，已知∠A＝α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018，则∠A2018=____.(用含α的式子表示)三、解答题:19、如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长.20、在各个内角都相等的多边形中，一个外角比一个内角少120°，求这个多边形的一个内角的度数和它的边数.21、如图, AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.（1）∠ABE=15°，∠BAD=36°，求∠BED的度数；（2）作出△BED中DE边上的高，垂足为H；（3）若△ABC面积为20,过点C作CF//AD交BA的延长线于点F，求△BCF的面积。

初中数学第2章《三角形》

2020-2021学年湘教版数学八年级上册培优冲关好卷第2章《三角形》一．选择题1．（2020秋•北京月考）如图，ABC ∆中，40EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则ABC ∠的度数为( )A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒【解答】解：设ABC α∠=，180A C α∴∠+∠=︒-，AFE AEF ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，2180A AFE ∠+∠=︒，2180C CFD ∠+∠=︒，22180AFE CFD α∴∠+∠=︒+，1902AFE CFD α∴∠+∠=︒+， 1180(90)402EFD α∴∠=︒-︒+=︒， 100α∴=︒，ABC ∴∠的度数为100︒，故选：B ．2．（2020春•洪山区期末）下列六个命题：①有理数与数轴上的点一一对应；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④平行于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，其中假命题的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解答】解：①实数与数轴上的点一一对应，原命题是假命题；②两条平行线线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；⑤垂直于同一平面内的同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题；故选：C ．3．（2020春•荔城区期末）下列命题真命题的个数有( )①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短③若a b >，则c a c b ->-④同位角相等A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【解答】解：①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，必须是同一平面内，过直线外一点，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是真命题；③若a b >，则c a c b -<-，原命题是假命题；④两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；故选：C ．4．（2020春•会宁县期末）如图，ABC ∆中，AD 是BC 上的中线，BE 是ABD ∆中AD 边上的中线，若ABC ∆的面积是20，则ABE ∆的面积是( )A ．10B ．6C ．5D ．4 【解答】解：AD 是BC 上的中线，12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆∴==，BE 是ABD ∆中AD 边上的中线，12ABE BED ABD S S S ∆∆∆∴==， 14ABE ABC S S ∆∆∴=， ABC ∆的面积是20，12054ABE S ∆∴=⨯=．故选：C ．5．（2020春•云梦县期中）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，6AC =，D 是线段AB 上一个动点，以BD 为边在ABC ∆外作等边BDE ∆．若F 是DE 的中点，则CF 的最小值为( )A ．6B ．8C ．9D ．10【解答】解：如图所示，连接BF ，等边BDE ∆中，F 是DE 的中点，BF DE ∴⊥，BF 平分DBE ∠，30DBF ∴∠=︒，即点F 在DBE ∠的角平分线上运动，∴当点D 在CF 上时，90CFB ∠=︒，根据垂线段最短可知，此时CF 最短，又30ABC ∠=︒，60CBF ∴∠=︒，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，6AC =，BC ∴==Rt BCF ∴∆中，sin 9CF BC CBF =⨯∠==，故选：C ．6．（2020•上虞区校级一模）已知ABC ∆的两条中线的长分别为5、10．若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为( )A ．7B ．8C ．14D ．15【解答】解：如图，ABC ∆的三条中线AD 、BE 、CF 交于点O ，且5AD =，10BE =，延长OD 至G ，使DG OD =，则O 为AG 中点． O 是重心，2OB OE ∴=，10OB OE BE +==，11033OE BE ∴==，同理，可得1533OD AD ==， 2023CG OE ∴==，1023OG OD ==， 20101033OC OG CG <+=+=，32CF OC =， 310152CF ∴<⨯=，第三条中线的长是整数，∴第三条中线长的最大值为14．故选：C ．7．（2020春•江阴市期中）如图，ABC ∆中，20A ∠=︒，沿BE 将此三角形对折，又沿BA '再一次对折，点C 落在BE 上的C '处，此时74C DB ∠'=︒，则原三角形的C ∠的度数为( )A ．27︒B ．59︒C ．69︒D ．79︒【解答】解如图，ABC ∆沿BE 将此三角形对折，又沿BA '再一次对折，点C 落在BE 上的C '处， 12∴∠=∠，23∠=∠，74CDB C DB ∠=∠'=︒，123∴∠=∠=∠，33ABC ∴∠=∠，在BCD ∆中，3180C CDB ∠+∠+∠=︒，318074106C ∴∠+∠=︒-︒=︒，在ABC ∆中，180A ABC C ∠+∠+∠=︒，2023(3)180C ∴︒+∠+∠+∠=︒，即2023106180︒+∠+︒=︒，327∴∠=︒，3381ABC ∴∠=∠=︒，1062779C ∠=︒-︒=︒，故选：D ．8．（2020春•泰兴市校级期中）如图，在ABC ∆中，48A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；⋯⋯；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，11118022A ACD ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠-∠11180()(180)22ABC A A ABC ABC =︒-∠+∠-︒-∠-∠-∠ 12A =∠ 1482︒=；同理可得21214822A A ︒∠=∠=，⋯ 482n nA ︒∴∠=． ∴要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为4，此时43A ∠=︒．故选：C ．二．填空题9．（2020秋•北京月考）如图，D 在BC 边上，ABC ADE ∆≅∆，EAC α∠=︒，则ADE ∠的度数为 1902α︒-︒ ．【解答】解：ABC ADE ∆≅∆，BAC DAE ∴∠=∠，AB AD =，ADE B ∠=∠，EAC DAB α∴∠=∠=︒，ABD ∴∆中，11(180)9022B BAD α∠=︒-∠=︒-︒， 1902ADE B α∴∠=∠=︒-︒，故答案为：1902α︒-︒． 10．（2020春•硚口区期末）如图，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，//DE BC ，交AC 于点E ，EF 平分AED ∠，交AB 于点F ，连接CF ，下列四个结论：①CDE DCE ∠=∠；②//CD EF ；③32CDE CFE ∠=∠；④ACF ADE S S ∆∆=，其中正确的结论有 ①②④ ．【解答】解：CD 平分ACB ∠，BCD DCE ∴∠=∠，//DE BC ，CDE BCD ∴∠=∠，CDE DCE ∴∠=∠，故①正确；//DE BC ，ACB AED ∴∠=∠，12ACD ACB ∠=∠，12AEF AED ∠=∠， ACD AEF ∴∠=∠，//CD EF ∴，故②正确；AEF ACF CFE ∠=∠+∠，AEF DCE ∠=∠，ECD ECF CFE ∴∠=∠+∠，EDC ECD ∠=∠，222EDC ECF CFE ∴∠=∠+∠，不能证明2ECF ∠与CFE ∠相等，∴不能证得32CDE CFE ∠=∠成立，故③错误； //CD EF ，EFC EFD S S ∆∆∴=，EFC AEF EFD AEF S S S S ∆∆∆∆∴+=+，ACF ADE S S ∆∴=，故④正确，故①②④，故答案为①②④．11．（2020春•潼南区期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B 到点C 的方向平移到DEF ∆的位置，10AB =，22ADH S ∆=，平移距离为6，则阴影部分的面积 38 ．【解答】解：根据题意得，6AD CF ==；//AD CF ．∴四边形ADFC 是平行四边形，61060ADFC S AD AB ∴=⋅=⨯=平行四边形，22ADH S ∆=，602238S ∴=-=阴影部分．故答案为38．12．（2020春•崇川区校级期末）如图，三角形纸片ABC 中66A ∠=︒，73B ∠=︒，将纸片一角折叠，使点C 落在ABC ∆的内部C '处，若255∠=︒，则1∠= 27︒ ．【解答】解：设折痕为EF ，连接CC '．2ECC EC C ∠=∠'+∠'，1FCC FC C ∠=∠'+∠'，ECF EC F ∠=∠'， 122ECF ∴∠+∠=∠，180667341C ∠=︒-︒-︒=︒，1825527∴∠=︒-︒=︒，故答案为27︒．13．（2019秋•青山区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，82BAC ∠=︒，38DBC ∠=︒，连接AD 、CD ，则ADB ∠的度数为 30︒ ．【解答】解：如图，作AB ∠ D ABD '=∠，B D BD '=，连接CD '，AD '，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，82BAC ∠=︒，49ABC ∴∠=︒，38DBC ∠=︒，11ABD ABC DBC ∴∠=∠-∠=︒，在ABD ∆和ABD ∆'中，AB AB ABD ABD BD BD =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩，()ABD ABD SAS ∴∆≅∆'，11ABD ABD ∴∠=∠'=︒，ADB AD B ∠=∠'，AD AD ='，114960D BC ABD ABC ∴∠'=∠'+∠=+︒=︒，BD BD ='，BD BC =，BD BC ∴'=，∴△D BC '是等边三角形，D B D C ∴'='，60BD C ∠'=︒，在△AD B '和△AD C '中，AD AD D B D C AB AC ='⎧⎪'='⎨⎪=⎩，∴△AD B '≅△()AD C SSS '，1302AD B AD C BD C ∴∠'=∠'=∠'=︒， 30ADB ∴∠=︒，故答案为：30︒．14．（2020春•薛城区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，15BC cm =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为 5 cm ．【解答】解：连接AM 、AN 、过A 作AD BC ⊥于D ，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，15BC cm =，30B C ∴∠=∠=︒，7.5BD CD cm ==，cos30BD AB AC ∴===︒， AB 的垂直平分线EM ，12BE AB ∴=同理CF =， 5cos30BE BM cm ∴==︒，同理5CN cm =，5MN BC BM CN cm ∴=--=，故答案是：5．15．（2020春•遂宁期末）如图，在ABC ∆中，ABC ACB ∠=∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC ∆的外角EAC ∠，内角ABC ∠，外角ACF ∠，以下结论：①//AD BC ；②ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠+∠=︒； ④1452ADB CDB ∠=︒-∠，其中正确的结论有 ①③④ ．【解答】解：①AD 平分EAC ∠，2EAC EAD ∴∠=∠，ABC ACB ∠=∠，EAD ABC ∴∠=∠，//AD BC ∴，故①正确；②//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠， BD 平分ABC ∠，ABC ACB ∠=∠，2ABC ACB DBC ∴∠=∠=∠，2ACB ADB ∴∠=∠，故②错误；③在ADC ∆中，180ADC CAD ACD ∠+∠+∠=︒， CD 平分ABC ∆的外角ACF ∠，ACD DCF ∴∠=∠，//AD BC ，ADC DCF ∴∠=∠，ADB DBC ∠=∠，CAD ACB ∠=∠ACD ADC ∴∠=∠，2CAD ACB ABC ABD ∠=∠=∠=∠，222180ADC CAD ACD ADC ABD ADC ADC ABD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒， 90ADC ABD ∴∠+∠=︒，故③正确；④BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，ADB DBC ∠=∠，ADB DBC ∴∠=∠，1902DCF ABC DBC BDC ∠=︒-∠=∠+∠， 902BDC DBC ∴∠=︒-∠，1452DBC BDC ∴∠=︒-∠，故④正确；故答案是：①③④．16．（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，140BAD ∠=︒，AB CB ⊥于点B ，AD CD ⊥于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且70EAF ∠=︒，下列说法正确的是 ③⑤⑥ ．（填写正确的序号）①DF BE =，②ADF ABE ∆≅∆，③FA 平分DFE ∠，④AE 平分FAB ∠，⑤BE DF EF +=，⑥CF CE FD EB +>+．【解答】解：延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ，AB CB ⊥，AD CD ⊥，90D ABG ∴∠=∠=︒，在ADF ∆和ABG ∆中AD AB D ABG DF BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF ABG SAS ∴∆≅∆，AF AG ∴=，G DFA ∠=∠，DAF BAG ∠=∠，70EAF ∠=︒，140DAB ∠=︒，1407070DAF EAB DAB FAE ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，70EAG EAB BAG EAB FAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，70FAE EAG ∴∠=∠=︒，在FAE ∆和GAE ∆中AE AE FAE EAG AF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAE GAE SAS ∴∆≅∆，FEA GEA ∴∠=∠，G EFA ∠=∠，EF EG =，EF EB DF ∴=+，FAE EAB ∠≠∠，故⑤正确，④错误；G EFA DFA ∴∠=∠=∠，即AF 平分DFE ∠，故③正确；CF CE EF +>，EF DF BE =+，CF CE DF BE ∴+>+，故⑥正确；根据已知不能推出ADF ABE ∆≅∆，故①错误，②错误；故答案为：③⑤⑥．三．解答题17．（2020秋•北京月考）如图，已知：AD 平分BAC ∠，点F 是AD 反向延长线上的一点，EF BC ⊥，140∠=︒，15F ∠=︒．求：B ∠和C ∠的度数．【解答】解：EF BC ⊥，90DEF ∴∠=︒，15F ∠=︒，180ADE F DEF ∠+∠+∠=︒，75ADE ∴∠=︒， AD 平分BAC ∠，140∠=︒，22180BAC DAC ∴∠=∠=∠=︒，40DAC ∴∠=︒，180ADE C DAC ∠+∠+∠=︒，180407565C ∴∠=︒-︒-︒=︒，180B C BAC ∠+∠+∠=︒，180658035B ∴∠=︒-︒-︒=︒．18．（2020秋•北京月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上的一点，且AD BC =，DE AC ⊥于D ，AB AE =．求证：（1）AE AB ⊥；（2）CD DE BC =-．【解答】证明：（1）在Rt ADE ∆和Rt BCA ∆中，AD BC AE AB =⎧⎨=⎩， Rt ADE Rt BCA(HL)∴∆≅∆，BAC AED ∴∠=∠，90AED EAD ∠+∠=︒，90BAC EAD ∴∠+∠=︒，90EAB ∴∠=︒，即AE AB ⊥；（2）Rt ADE Rt BCA ∆≅∆，DE AC ∴=，CD AC AD =-，CD DE BC ∴=-．19．如图，四边形ABCD 中，E 是CD 上一点，EA EB =，2C D ∠=∠，90BAE D ∠+∠=︒，写出DE 、BC 、CE 之间的等量关系式，并证明．【解答】解：DE BC EC =+，理由如下：在DE 上截取EH BC =，连接AH ，AE EB =，EAB EBA ∴∠=∠，180EAB EBA AEB ∠+∠+∠=︒，2180BAE AEB ∴∠+∠=︒，90BAE D ∠+∠=︒，22180BAE D ∴∠+∠=︒，2AEB D ∴∠=∠，2C D ∠=∠，AEB C ∴∠=∠，180C CBE BEC ∠+∠+∠=︒，180AEB BEC AEH ∠+∠+∠=︒，AEH CBE ∴∠=∠，在BCE ∆和EHA ∆中，EB EA CBE AEHBC EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE EHA SAS ∴∆≅∆，EC AH ∴=，2C AHE D ∠=∠=∠，2AHE D DAH D ∠=∠+∠=∠，D DAH ∴∠=∠，DH AH EC ∴==，DE DH HE EC BC ∴=+=+．20．（2020春•宁化县期末）已知ABC ∆是等腰三角形．（1）若100A ∠=︒，求B ∠的度数；（2）若70A ∠=︒，求B ∠的度数；（3）若(4590)A αα∠=︒<<︒，过顶点B 的角平分线BD 与过顶点C 的高CE 交于点F ，求BFC ∠的度数（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）100A ∠=︒是钝角，1(180100)402B ∴∠=︒-︒=︒．故B ∠的度数为40︒；（2）若A ∠为顶角，则(180)255B A ∠=︒-∠÷=︒；若A ∠为底角，B ∠为顶角，则18027040B ∠=︒-⨯︒=︒；若A ∠为底角，B ∠为底角，则70B ∠=︒；故55B ∠=︒或40︒或70︒；（3）(4590)A αα∠=︒<<︒，①当A ∠为顶角时，如图：AB AC =，1(180)2ABC C α∴∠=∠=︒-， BD 平分ABC ∠，11(180)24ABD CBD ABC α∴∠=∠=∠=︒-， 1190(180)13544BFC FEB FBE αα∴∠=∠+∠=︒+︒-=︒-； ②当A ∠为底角，B ∠为底角时，如图：1902BFC FEB FBE α∴∠=∠+∠=︒+； ③当A ∠为底角，B ∠为顶角时，如图：90BFC FBE∠+∠=︒，90A ABD∠+∠=︒，FBE ABD∠=∠，BFC Aα∴∠=∠=．故BFC∠的度数为：11354α︒-；1902α︒+；α．21．（2020春•碑林区期末）如图，已知点E，D，A，B在一条直线上，//BC EF，C F∠=∠，1AD=，2.5AE=， 1.5AB=．（1）试说明：ABC DEF∆≅∆．（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：//BC EF，B E∴∠=∠，1AD=， 2.5AE=，2.51 1.5DE AE AD∴=-=-=，1.5AB=，AB DE∴=，C F∠=∠，()ABC DEF AAS∴∆≅∆；（2）//DF AC．ABC DEF∆≅∆，BAC EDF∴∠=∠，180BAC DAC EDF ADF ∠+∠=∠+∠=︒，DAC ADF ∴∠=∠，//DF AC ∴．22．（2020春•盱眙县期末）如图①，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥，38B ∠=︒，64C ∠=︒．（1）求DAE ∠的度数；（2）如图②，若把“AE BC ⊥”变成“点F 在DA 的延长线上，FE BC ⊥”，B α∠=，()C βαβ∠=<，请用α、β的代数式表示DFE ∠．【解答】解：（1）38B ∠=︒，64C ∠=︒，78BAC ∴∠=︒， AD 平分BAC ∠，39BAD CAD ∴∠=∠=︒，77ADE B BAD ∴∠=∠+∠=︒，AE BC ⊥，90AEB ∴∠=︒，9013DAE ADE ∴∠=︒-∠=︒．（2）B α=，C β∠=，180BAC αβ∴∠=︒--， AD 平分BAC ∠，190()2BAD CAD αβ∴∠=∠=︒-+，190()2ADE B BAD ααβ∴∠=∠+∠=+︒-+，AE BC ⊥，90AEB ∴∠=︒，190()2DFE ADE βα∴∠=︒-∠=-．23．（2020春•盱眙县期末）直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数；（2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB ∠= 45 度（直接写出结果，不需说理）； ②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数；若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF ∆中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．【解答】解：（1）如图1中，MN PQ ⊥，90AOB ∴∠=︒，40OAB ∠=︒，9050ABO OAB ∴∠=︒-∠=︒， AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，1252IBA ABO ∴∠=∠=︒，1202IAB OAB ∠=∠=︒， 180()135AIB IBA IAB ∴∠=︒-∠+∠=︒．（2）如图2中，①9040130MBA AOB BAO ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，1652CBA MBA ∴∠=∠=︒，1202BAI BAO ∠=∠=︒， CBA D BAD ∠=∠+∠，45D ∴∠=︒，故答案为：45．②不变，理由：11111()904522222D CBA BAD MBA BAO MBA BAO AOB ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒， ∴点A 、B 在运动的过程中，45ADB ∠=︒．（3）如图3中，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于点D 、F ，12DAO BAO ∴∠=∠，12FAO EAP ∠=∠， 11118090222DAF BAO EAP ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒， 1111()2222D POD DAO POB BAO POB BAO ABO ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠， ①当4DAF D ∠=∠时，22.5D ∠=︒，245ABO D ∴∠=∠=︒．②当4DAF F ∠=∠时，22.5F ∠=︒，67.5D ∠=︒，2135ABO D ∴∠=∠=︒（不合题意舍弃）． ③当4F D ∠=∠时，18D ∠=︒，236ABO D ∴∠=∠=︒．④当4D F ∠=∠时，72D ∠=︒，2144ABO D ∴∠=∠=︒（不合题意舍弃）．综上所述，当45ABO ∠=︒或36︒时，在ADF ∆中，有一个角的度数是另一个角的4倍．24．（2020春•海淀区校级期末）已知//AB CD ，点M ，N 分别在直线AB 、CD 上，E 是平面内一点，AME ∠和CNE ∠的平分线所在的直线相交于点F ．（1）如图1，当E 、F 都在直线AB 、CD 之间且80MEN ∠=︒时，MFN ∠的度数为 140︒ ；（2）如图2，当E 在直线AB 上方，F 在直线CD 下方时，探究MEN ∠和MFN ∠之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当E 在直线AB 上方，F 在直线AB 和CD 之间时，直接写出MEN ∠和MFN ∠之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，过E 作//EH AB ，//FG AB ，//AB CD ，//EH CD ∴，//FG CD ，BME MEH ∴∠=∠，DNE NEH ∠=∠，80BME DNE MEH NEH MEN ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，360()280AME CNE BME DNE ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒， MF ，FN 分别平分AME ∠和CNE ∠，12801402AMF CNF ∴∠+∠=⨯︒=︒，////AB FG CD ，AMF MFG ∴∠=∠，NFG CNF ∠=∠，140MFN MFG NFG AMF CNF ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，故答案为：140︒；（2）2MEN MFN ∠=∠，理由：1EMH E ∠=∠+∠， MF 平分AME ∠，142AME HMG ∴∠=∠=∠， 180318013HMG MHG ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠，41803MHG ∴∠=︒-∠-∠，43E ∠=∠+∠，18033MHG E ∴︒-∠-∠=∠+∠，18023MHG E ∴∠=︒-∠-∠， FN 平分CNH ∠，152CNH ∴∠=∠， 18025DNH ∴∠=︒-∠，52F ∠=∠+∠，180222DNH F ∴∠=︒-∠-∠，//AB CD ，MHG DNH ∴∠=∠，180********E F ∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，23∠=∠，2E F ∴∠=∠；（3）11802E MFN ∠+∠=︒，证明：如图3，//AB CD ，MGE ENC ∴∠=∠， NF 平分ENC ∠，2MGE ENC FNG ∴∠=∠=∠， MF 平分AME ∠，212AME E MGE E FNG ∴∠=∠=∠+∠=∠+∠，112FMG E FNG ∴∠=∠=∠+∠， 11360360(1802)()18022E MFN FNG FMG EMG FNG E FNG E FNG E ∠+∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-︒-∠-∠-∠+∠=︒+∠，11802MFN E ∴∠+∠=︒．故答案为：11802E MFN∠+∠=︒．。

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题如图所示，ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)，因此100DFE ∠=︒，所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由.融会贯通4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠，180CDO ADO ∠=︒-∠，所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中，因为B E O C D O ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等，常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.3. 如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习培优测试卷B卷（附答案详解）1．江津四面山是国家5A级风景区，里面有一个景点被誉为亚洲第一岩﹣﹣土地神岩，土地神岩壁画高度从石岩F处开始一直竖直到山顶E处，为了测量土地神岩上壁画的高度，小明从山脚A处，沿坡度i=0.75的斜坡上行65米到达C处，在C处测得山顶E处仰角为26.5°，再往正前方水平走15米到达D处，在D处测得壁画底端F处的俯角为42°，壁画底端F处距离山脚B处的距离是12米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，A、B在同一水平线上，EB⊥AB，根据小明的测量数据，则壁画的高度EF为（）米（精确到0.1米，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.9，tan26.5°≈0.5，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）A．49.5 B．68.7 C．69.7 D．70.22．如图所示，每个小正方形网格的边长为1，则在网格上的△ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．33．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形4．如图，在△ABC中，把△ABC沿直线AD翻折180°，使点C 落在点B的位置，则关于线段AD的说法：①线段AD是△ABC的中线；②线段AD是△ABC的高；③线段AD 是△ABC的角的平分线.其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5．下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是（）A ．a =1.5 b =2 c =2.5B ．a ：b ：c =5：12：13C ．∠A ＋∠B =∠CD ．∠A ：∠B ：∠C =3：4：56．如图，ABC 中，AB AC =，点D 在AC 边上，且BD BC AD ==，则A ∠的度数为( )A ．30B ．36C ．45D ．707．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（） A ．40° B ．100° C ．140° D ．40°或140° 8．如图所示，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且P A ⊥PD ，有下列四个结论：①∠PBC ＝15°，②AD ∥BC ，③PC ⊥AB ，④四边形ABCD 是轴对称图形，其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．a 、b 、c 为△ABC 三边，不是直角三角形的是（）A ．a 2 = c 2﹣b 2B ．a=6，b=10，c=8C ．∠A：∠B：∠C=3：4：5D ．∠A=∠B -∠C10．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（）A ．a =3，b=4，c=6B ．a =1，b=2，c=3C ．a =5，b=6，c=8D ．a =3，b=2，c=511．如图，王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地____________m （结果保留根号）．12．已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为________ 13．求图中直角三角形中未知的长度：b=______，c=________．14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为_____．15．如图，把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线（虚线）剪开，则下图展开得到的图形的面积为_____．16．如图，AB=AC ，AE=AD ，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC 为_____度．17．如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点D 为AC 上一点，且AD=BD=BC ，则等腰三角形ABC 的顶角度数为__________________．18．如图，在ACB △中，90C ∠=︒，CAB ∠与CBA ∠的角平分线交于点D ，3AC =，4BC =，则点D 到AB 的距离为__________．19．如果一个轴对称图形上点M与点N互为对称点，那么这个轴对称图形的对称轴是________________.20．如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m处折断,若木杆折断前的高度为8m，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为________m．21．已知：如图，点A、B、C在同一直线上，AB=2，BC=1，分别以AB、BC为边，在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，分别联结AE、CD．（1）找出图中的全等三角形（不添加辅助线），并证明你的结论.(2)线段AE与线段CD的关系是：AE CD（填>、=、<）.AE与CD的夹角是： .(3) △ABD固定不动，使△BCE绕着点B旋转，①这时（2）得出的结论还成立吗（不要求证明）？②在旋转过程中，线段DC的长是变化的，它的变化范围是 .22．在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．23．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．24．数学课上，林老师给出了下列方框中的一道题：小聪和同桌小明讨论后，得出如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段ED与EC的大小关系，请你直接写出结论：ED______EC（填“>”“<”或“=”）．（2）特例启发，解答问题解：题目中，EC与ED的大小关系是EC__________ED（填“>”“<”或“=”），理∥，交AC于点F，（请你继续完成接下来的解题由如下：如图2，过点E作EF BC过程）．（3）拓展讨论，设计新题①互换林老师所给题的条件和结论，即：如图3在等边三角形ABC中，点E在AB上，=，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理点D在CB的延长线上，且ED EC由．=，若②在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且AE DB△的边长为1，3ABCAE=，求CD的长为__________（请你直接写出结果）．如图，在等边三角形ABC中，点E在AB=，上，点D在CB的延长线上，且AE DB试确定线段ED与EC的大小关系，并说明理由．25．为了比较5+1与10的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究. （1）小伍同学利用计算器得到了5 2.236≈，10 3.162≈，所以确定5+110（填“＞”或“＜”或“=”）（2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1.请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对5+1和10的大小做出准确的判断.∠，分别交BC、26．已知ABC中，90ABC∠=，BD是AC边上的高，AE平分BAC∠=∠．BD于点E、.F求证：BFE BEF27．小红和小军周日到郊外放风筝，风筝飞得又高又远，小红让小军跑到风筝的正下方，并测出两人之间的距离为60米，小红发现已将100米的风筝线放完了，小红想了想就说出风筝飞了多高，小红知道自己身高为1.6米，（手与头顶齐平）请画出示意图，并计算风筝离地面多高．28．如图，在ABC △中，AB BC =，ABC ∠的平分线BF 与ACB ∠的外角平分线交于点F ，过点F 作DF BC ∥，交AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）图中除ABC △之外，还有几个等腰三角形，请分别写出来；（2）若6EC =，8BD =，求DE 的长．参考答案1．A【解析】【分析】如图，作CN⊥AB于N，延长CD交BE于M．解直角三角形分别求出MF、EM即可解决问题.【详解】如图，作CN⊥AB于N，延长CD交BE于M．在Rt△ACN中，AC=65m，CN：AN=0.75，∴CN=39m，AN=52m，∵四边形CNBM是矩形，∴CN=BM=39m，∵BF=12m，∴FM=27m，在Rt△DMF中，tan42°=FM DM，∴DM=30m，在Rt△CEM中，∵CM=CD+DM=45m，∴EM=CM•tan26.5°=22.5m，∴EF=EM+FM=22.5+27=49.5m，故选A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.2．D【解析】【分析】利用勾股定理计算出AB、BC、AC的长即可．【详解】，=∵∴边长为无理数的边数是3条.故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．3．D【解析】解：A．第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两角相等的三角形是等腰三角形，正确；B．外角相等，则对应的内角也相等，有两角相等的三角形是等腰三角形，正确；C．利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两角相等的三角形是等腰三角形，正确；D．两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．故选D．4．D【解析】试题分析：根据翻折图形的性质可得：线段AD是△ABC的中线，是△ABC的高线，是△ABC 中∠BAC的角平分线，故选D．5．D【解析】【分析】【详解】A. a2+b2=1.52+22=2.52=c2，所以能判断△ABC是直角三角形，故不符合题意；B. a：b：c=5：12：13，52+122=132，所以能判断△ABC是直角三角形，故不符合题意；C. ∠A＋∠B=∠C ，∠A＋∠B+∠C =180°，所以∠C=90°，△ABC是直角三角形，故不符合题意；D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5，3+4≠5，所以△ABC 表示直角三角形，故符合题意，故选D.6．B【解析】【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．【详解】AB AC =，ABC C ∠∠∴=，BD BC AD ==，A ABD ∠∠∴=，C BDC ∠∠=，设A ABD x ∠∠==，则BDC 2x ∠=，180x C 2∠-=，可得180x 2x 2-=，解得：x 36=，则A 36∠=，故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．7．D【解析】【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD=50°， ∴顶角∠A=90°-50°=40°；如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD=50°， ∴顶角∠BAC=50°+90°=140°，综上所述，顶角等于40°或140°．故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．8．D【解析】【分析】根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ，BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°， ∴AD//BC ，②正确；∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°， ∴PC ⊥AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.9．C【解析】分析：利用勾股定理的逆定理判断A 、B 选项，用直角三角形各角之间的关系判断C 、D 选项．详解：A 、∵a 2=b 2-c 2，∴a 2+c 2=b 2，故本选项正确；B 、∵a 2：b 2：c 2=1：2：3，∴令a 2=x ，则b 2=2x ，c 2=3x ，∵x+2x=3x ，∴a 2+b 2=c 2，故本选项正确；C 、∵∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x ，则∠B=4x ，∠C=5x ，∵∠A+∠B+∠C=180°，即3x+4x+5x=180°，解得，x=15°， ∴5x=5×15°=75°＜90°，故本选项错误；D 、∵∠A=∠B-∠C ，∴∠B=∠A+∠C ，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠C ）=180°，即∠A+∠C=90°，故本选项正确．故选D ．点睛：本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．10．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A 、222346+≠，C 、222568+≠，D 、2222+≠，故错误；B 、22213+==，能构成直角三角形，本选项正确. 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.11．如图所示：3，BD=AB•cos60°=50m，∴CD=150m．22+=.(503)1501003故答案是：1003.12．26+10π【解析】试题分析：∵圆锥的底面半径是5，高是12，根据勾股定理得：圆锥的母线长为13，∴这个圆锥的侧面展开图的周长＝2×13＋2π×5＝26＋10π．故答案为26＋10π．点睛：本题考查了圆锥的相关计算，应熟知圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长．13．1230【解析】利用勾股定理即可得出答案.解：在如图所示的直角三角形中，由勾股定理得，22b=-=；1591222c+=.241830故答案为：12；30.14．12【解析】作C关于AB的对称点E，连接ED，易求∠ACE=60°，则AC=AE，且△ACE为等边三角形，CP+PD=DP+PE为E与直线AC之间的连接线段，其最小值为E到AC的距离=AB=12，所以最小值为12.【详解】作C关于AB的对称点E，连接ED，∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵AC=AE，∴△ACE为等边三角形，∴CP+PD=DP+PE为E与直线AC之间的连接线段，∴最小值为C'到AC的距离=AB=12，故答案为12【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．15．3 4【解析】∵面积为1的正方形折叠以后展开面积不变，∴若把最后折叠成的三角形展开后面积仍为1，∵沿中位线减去小三角形的面积是原三角形面积的14，是14×14=116，而剪去这样的三角形4个，则剪去的图形的面积是116×4=14，∴剩下部分展开所得图形的面积是1﹣14=34，故答案为：34.【点睛】考查了剪纸问题，解答此题的关键是要明白经过翻折变换的图形展开后与原图形的面积相等．16．70【解析】∵AB=AC，AE=AD，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AEC，∴∠BAD=∠EAC，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=80°，∵∠AEC=120°，∴∠CAE=180°﹣120°﹣50°=10°，∴∠BAD=10°，∴∠DAC=80°﹣10°=70°，故答案为：70．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握和运用相关性质进行解答是关键.17．360【解析】【分析】由AB=AC，AD=BD=BC，根据等角对等边的知识，可得∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB，设∠A=x°，根据等腰三角形的性质得出∠ABD=x°，∠C=∠ABC=∠CDB=2x°，然后根据三角形的内角和定理得出关于x的方程，解方程即可求得答案．【详解】∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB，设∠A=x°,则∠ABD=∠A=x°，∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180，解得x=36.故等腰三角形ABC的顶角度数为36°.故答案为：36°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质得出∠ABD=x°，∠C=∠ABC=∠CDB=2x°，然后根据三角形的内角和定理得出关于x的方程，解方程即可.18．1【解析】试题分析：连接CD，过点D作DG⊥BC，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为G，F，E，∵在△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB22345．∵∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D，∴DG＝DE＝DF．∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＋S△ACD，即12AC•BC＝12AB•DE＋12BC•DG＋12AC•DF，即3×4＝5DE＋4DE＋3DE，解得DE＝1．故答案为：1．点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．19．线段MN的垂直平分线【解析】如果一个轴对称图形上点M与点N互为对称点，那么这个轴对称图形的对称轴是线段MN的垂直平分线.故答案：线段MN的垂直平分线 .20．4【解析】【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离.【详解】一颗垂直于地面的木杆在离地面3m处折断，木杆折断前的高度为8m，∴()=.4m故答案为：4.【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力. 21．（1）见解析；（2）见解析；（3）①成立；②1≤DC≤3.【解析】【分析】（1）根据题意可得△ABE≌△DBC；（2）由△ABE≌△DBC得，AE=CD,∠BAE=∠BDC，∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，故可得AE与CD的夹角为∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；（3）①成立；②当BC在DB上时，DC最短等于1；当BC在DB的延长线上时，DC最长等于3，从而可得结论.【详解】≌，（1）ABE DBC证明：ABD是等边三角形，，，AB=DB ABD=60∴∠︒BCE 是等边三角形，BE=BC EBC=60∴∠︒，ABD DBE=EBC DBE ∴∠+∠∠+∠即ABE=DBC ∠∠在ABE 和DBC 中AB=DB ABE=DBC BE=BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩ABE DBC ∴≌(2)线段AE 与线段CD 的关系是：AE=CD ；AE 与CD 的夹角是：60︒.(3) ① （2）得出的结论仍成立.② 在旋转过程中，线段DC 的长是变化的，它的变化范围是1DC 3≤≤.【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22．湖水的深度3.75尺【解析】【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可．【详解】若设湖水的深度x 尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：（x+0.5）2=x 2+22，解之得：x=3.75，答：湖水的深度3.75尺．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题的关键．熟练运用勾股定理列方程求解．23．（1）C ；（2）没有考虑a=b 的情况；（3）△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B 到C 可知没有考虑a=b 的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．【详解】（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C ，故答案为：C ；（2）错误的原因为：没有考虑a=b 的情况，故答案为：没有考虑a=b 的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故答案为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．24．（1）=；（2）=，见解析；（3）①DB AE =；②2CD =或4．【解析】试题分析：（1）根据△ABC 是等边三角形，点E 为AB 的中点，即可得出CE ⊥AB ，进而得出∠ECD=∠D ，即可得出线段ED 与EC 的大小关系；（2）首先得出BE=CF ，进而利用△DBE ≌△EFC 即可得出答案；（3）①作EF BC ，交AC 于点F ，可知AEF 为等边三角形，进而证明DEB ≌ECF ，即可得出DB AE =；②分点D 在CB 的延长线上、在BC 的延长线上两种情况进行讨论即可得.试题解析：（1）=．∵ABC 为等边三角形，E 是AB 中点，∴90CEB ∠=︒，BE AE =，60ABC ∠=︒．∵DB AE =，∴DB EB =， ∴1302D BED ABC ∠=∠=∠=︒，∴120DEC CEB DEB ∠=∠+∠=︒， ∴30ECD D ∠=︒=∠，∴ED EC =．（2）=在等边ABC 中，EF BC ， ∴AEF 为等边三角形，∴AE EF AF ==，又∵DB AE =，∴EF DB =，又∵60ABC ∠=︒，∴120DBA ∠=︒，同理120EFC DBA ∠=︒=∠，又在ABC 中，AB AC =，在AEF 中，AE AF =，∴EB FC =，在DBE 和EFC 中，DB EF DBA EFC EB FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBE ≌EFC ，∴DE EC =．（3）①作EF BC ，交AC 于点F ，则可知AEF 为等边三角形，∴AE EF AF ==．又∵ED EC =，∴D ECB ∠=∠，又∵60ABC ACB ∠=∠=︒，∴DEB ABC D ACB ECB ACE ∠=∠-∠=∠-∠=∠，又∵在ABC 中，AB AC =，在AEF 中，AE AF =，∴EB FC =，∴DEB 和ECF 中，DE EC DEB ACE EB FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEB ≌ECF ，∴DB EF =，∴DB AE =．②134312CD CB DB CB AE CD DB CB AE CB =+=+=+=⎧⎨=-=-=-=⎩， ∴2CD =或4．25．（1）> ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题目给出的数值判断大小即可；（2）根据勾股定理求出AB ，再根据三角形的三边关系判断即可.【详解】（1）> ；（2） Rt ACD AD ==在中，，Rt ABC AB ==在中，,ABD AD BD AB +>>在中，【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的三边关系，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算与三角形的三边关系.26．详见解析.【解析】【分析】根据角平分线的定义可得BAE CAE ∠∠=，再根据等角的余角相等求出BEF AFD ∠∠=，然后根据对顶角相等可得BFE AFD ∠∠=，等量代换即可得解．【详解】证明：AE 平分BAC ∠，BAE CAE ∴∠=∠，BD AC ⊥，90ABC ∠=，90BAE BEF CAE AFD ∴∠+∠=∠+∠=，BEF AFD ∴∠=∠，(BFE AFD ∠=∠对顶角相等)，BEF BFE ∴∠=∠.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．27．风筝的高度为81.6米．【解析】【分析】根据题意得到BD=60米,AD=100米,DE=1.6米,利用勾股定理求得AB 的长加上DE 的长就是风筝的高度.【详解】如图，据题意得BD=60米，AD=100米，DE=1.6米，由勾股定理得：AB==80米，∴风筝的高度AC=AB +BC=AB+DE=80+1.6=81.6米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是构造直角三角形.28．（1）DAE △，DBF △，ECF △；（2）2．【解析】（1）根据已知条件，BF 、CF 分别平分∠ABC 、∠ACB 的外角，且DE ∥BC ，可得∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，因此可判断出△BDF 和△CEF 为等腰三角形，再根据AB=BC 可得∠A=∠ACB ，由DE//BC 可得∠AED=∠ACB ，则有∠A=∠AED ，因此可判断出△ADE 为等腰三角形；（2）由等腰三角形可得出DF=BD ，CE=EF ，所以得BD-CE=DE ．试题解析：（1）有题意可知ABF CBF DFB ∠=∠=∠，A DEA BCA ∠=∠=∠，DFC ACF FCG ∠=∠=∠， ∴DAE ，DBF ，ECF 是等腰三角形；（2）∵DF BC ，∴DFB FBC ∠=∠，又∵BF 是ABC ∠的角平分线，∴ABF CBF ∠=∠，∴DBF DFB ∠=∠，∴DBF 是等腰三角形，∴8DF DB ==．又DF BC ，∴DFC FCG ∠=∠，又∵CF 是ACG ∠的角平分线，∴FCG DFC ∠=∠，∴ACF DFC ∠=∠，∴ECF 是等腰三角形，∴6EF EC ==，∴862DE DF EF =-=-=．。

人教版八年级上册数学：第11章三角形培优单元测试卷含答案

人教版八年级上册数学：第11章三角形培优单元测试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个正多边形的边数是__________．2．一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则的值为__________．n n 3．如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ，且第三边为奇数，则三角形的周长是__________cm ．4．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△．若∠A =40°，=110°，则∠的度数为A B C ''B ∠'BCA '___________．5．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B =70°，∠C =34°．则∠DAE 的大小是___________．6．如图，五边形ABCDE 是正五边形．若l 1∥l 2，则∠1-∠2=__________°．7．如图，AB ∥CD ，BE 交CD 于点D ，CE ⊥BE 于点E ，若∠B =34°，则∠C 的大小为__________度．8．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=__________．9．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为__________．10．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8 cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm，则AC=__________cm．二、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）11．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=95°，则∠C的度数为A．24°B．25°C．30°D．35°12．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=A．118°B．119°C．120°D．121°13．如图，图中锐角三角形的个数是A．2个B．3个C．4个D．5个14．已知等腰三角形两边长是10 cm 和5 cm ，那么它的腰长是A ．25 cmB ．15 cmC ．10 cm 或5 cmD ．10 cm15．如图，∠BDC =98°，∠C =38°，∠B =23°，∠A 的度数是A ．61°B ．60°C ．37°D ．39°16．如图，△ABC 的平分线AD 与中线BE 交于点O ，有下列结论：①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线，下列说法正确的是A ．①②都正确B ．①不正确，②正确C ．①②都不正确D ．①正确，②不正确17．如图，将含30°角的直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺的一边上，已知∠A =30°，∠1=40°，则∠2的度数为A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°18．△ABC 中，∠A =∠B =∠C ，则△ABC 是1314A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能19．下列说法正确的是①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④20．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在CB上的A′处，折痕CD，则∠A′DB=A．10°B．20°C．30°D．40°三、解答题（本大题共7小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE 与BC交于点F．（1）填空：∠AFC=___________度；（2）求∠EDF的度数．22．如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）当∠BAD=60°，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．23．如图，△ABC中，（1）若∠B=70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．（2）如果把（1）中∠B=70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．24．如图，E是△ABC中AB边上的一点，AD是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，∠B=65°，∠BCE=25°，求BC的长．25．多边形的内角和与某一外角的度数总和为1350°，那么这个多边形的边数是多少？26．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是__________度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．27．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点A n ．设∠A =θ．则：（1）求∠A 1的度数；（2）∠A n 的度数．参考答案1．【答案】8【解析】设这个多边形的边数为n ，得，解得n =8．∴这个多边形的边数为8．故答案为：8．45360n ︒⨯=︒2．【答案】7【解析】∵一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，∴n -2=5，解得n =7，故答案n 为：7．3．【答案】16【解析】∵7-2<第三边<7+2，∴5<第三边<9．∵第三边为奇数，∴第三边=7，所以三角形的周长是2+7+7=16（cm ）．故答案为：16．4．【答案】80°【解析】由题意得，∠B =∠B ′=110°，∠ACA ′=50°，∴∠ACB =180°–∠A –∠B =180°–40°–110°=30°，∴∠BCA ′=∠ACB +∠ACA ′=30°+50°=80°．故答案为：80°．5．【答案】18°【解析】∵△ABC 中，∠B =70°，∠C =34°，∴∠BAC =180°–（70°+34°）=76°．∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =38°．∵Rt △ABD 中，∠B =70°，∴∠BAD =20°，∴∠DAE =∠BAE –∠BAD =38°–20°=18°．故答案为：18°．6．【答案】72【解析】如图，过B 点作BF ∥l 1，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =108°，∵BF ∥l 1，l 1∥l 2，∴BF ∥l 2，∴∠3=180°-∠1，∠4=∠2，∴180°-∠1+∠2=∠ABC =108°，∴∠1-∠2=72°．故答案为：72．7．【答案】56【解析】∵AB ∥CD ，，∴，又∵CE ⊥BE ，34B ∠=︒34CDE B ∠=∠=︒∴Rt △CDE 中，，故答案为：56．903456C ∠=︒-︒=︒8．【答案】540°【解析】如下图，由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8，又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°，∠4+∠5+∠8+∠9=360°，∠10+∠9=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°，故答案为：540°．9．【答案】40°或15°【解析】当题中的“有一个角”是直角时，和不是直角时.当为直角时，由直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，设“另一角”为x，则有90°=2x-60°，则x=75°，所以最小角为15°，当题中的“有一个角”不是直角时，设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x−60°，根据两个锐角之和为90°可得，x+2x−60°=90°，解得x=50°，较小角为90°−50°=40°，故答案为：40°或15°．10．【答案】10【解析】∵AE是△ABC的中线，∴CE=BE，∵△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm，∴（AC+AE+CE）-（BE+AB+AE）=AC-AB=2 cm，∵AB=8 cm，∴AC=10 cm．故答案为：10．11．【答案】B【解析】三角形的内角和为180°，则∠C=180°–60°–95°=25°．故选B．12．【答案】C【解析】根据∠A=60°，∠ABC=42°可得：∠ACB=78°，根据角平分线的性质可得：∠FBC=21°，∠FCB=39°，则∠FBC+∠FCB=60°，在△FBC中应用内角和定理可得：∠BFC=180°–60°=120°．故选C．13．【答案】B【解析】①以A为顶点的锐角三角形△ABC、△ADC共2个；②以E为顶点的锐角三角形：△EDC，共1个，所以图中锐角三角形的个数有2+1=3（个），故选B．14．【答案】D【解析】当腰为5 cm时，5+5=10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为10 cm时，10-5<10<10+5，能构成三角形，故选D．15．【答案】C【解析】如图，延长BD交AC于点E，根据外角的性质可得：∠BEC=∠BDC–∠C=98°–38°=60°，∠A=∠BEC–∠B=60°–23°=37°，故选C．16．【答案】D【解析】AD是三角形ABC的角平分线，∴AO是∠BAC的角平分线，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确；∵BE是三角形ABC的中线，∴E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．故选D．17．【答案】D【解析】∵EF∥MN，∠1=40°，∴∠1=∠3=40°．∵∠A=30°，∴∠2=∠A+∠3=70°．故选D．18．【答案】B【解析】设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，由x+3x+4x=180，解得：x=22.5，∴∠C=4×22.5°=90°，故△ABC是直角三角形．故选B．19．【答案】D【解析】三角形的角平分线是线段；三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；当这个三角形为钝角三角形时，则有两条高在三角形的外部；三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．故选D．20．【答案】B【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，∴∠B=90°-∠A=90°-55°=35°，∠A=∠CA′D，∵∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴55°=35°+∠A′DB，∴∠A′DB=20°．故选B．21．【解析】（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD=∠DAF，∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°．故答案为：110°．（2）∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠ADB=180°–50°–30°=100°，∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE=∠ADB=100°，∴∠EDF=∠EDA+∠BDA–∠BDF=100°+100°–180°=20°．22．【解析】（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC =∠B +∠BAD =105°，∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED =∠C +∠EDC ．∵∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，∴∠ADC -∠EDC =105°-∠EDC =45°+∠EDC ，解得：∠CDE =30°．（2）∠CDE =∠BAD ．12理由：设∠BAD =x ，∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC =∠B +∠BAD =45°+x ，∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED =∠C +∠CDE ，∵∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，∴∠ADC -∠CDE =∠45°+x -∠CDE =45°+∠CDE ，得：∠CDE =∠BAD ．1223．【解析】（1）∵∠B =70°，∴∠BAC +∠BCA =110°，∵点P 是△ABC 的∠BAC 和∠ACB 的平分线的交点，∴∠PAC =∠BAC ，∠PCA =∠BCA ，1212∴∠PAC +∠PCA =（∠PAC +∠PCA ）=×110°=55°，1212∴∠P =180°-55°=125°．（2）∵点P 是△ABC 的∠BAC 和∠ACB 的平分线的交点，∴∠PAC =∠BAC ，∠PCA =∠BCA ，1212∴∠PAC +∠PCA =（∠PAC +∠PCA ），12∴∠P =180°-（∠PAC +∠PCA ）=180°-（∠PAC +∠PCA ）12=180°-（180°-∠B ）12=90°+∠B ．1224．【解析】∵CE =9，AB =12，∴△ABC 的面积=×12×9=54．12因为，在△BCE 中，∠B =65°，∠BCE =25°，所以，∠BEC =180°-∠B -∠BCE =180°-65°-25°=90°．所以，CE 是△BCE 的高．所以，△ABC 的面积=BC ·AD =54，12即BC ·10=54，12解得BC =10.8．25．【解析】设边数为n ，外角为x °，则x +（n -2）×180=1350．∴x =1350-180（n -2）．∵0<x <180，∴0<1350-（n -2）×180<180.解得<n <．1531817118∵n 为整数，∴n =9．26．【解析】（1）75°．（2）如图，CH 为所求的高．（3）如图，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，∵AD 是BC 的中线，∴BD =CD ，∴，11603022ABD ACD ABC S S S ===⨯=△△△同理，11301522BED ABE ABD S S S ===⨯=△△△又∵，1151522BED S BD EF EF =⋅=⨯=△∴EF =6，即点E 到BC 边的距离为6．27．【解析】（1）∵BA 1是∠ABC 的平分线，CA 1是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =∠ABC ，∠A 1CD =∠ACD ，1212又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴（∠A +∠ABC ）=∠ABC +∠A 1，1212∴∠A 1=∠A ，12∵∠A =θ，∴∠A 1=．2θ（2）同理可得∠A 2=∠A 1=·=，12122θ22θ所以∠A n =．2n θ。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题2(附答案详解)

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题 2 （附答案详解）1 •以下列各数为边长，能组成直角三角形的是（）A • 6, 8, 10B • 4, 5, 6C . 5, 6, 7D . 7, 8, 92 •如图，小明拿一张正方形纸片（如图①），沿虚线向下对折一次得到图②，再沿图②中的虚线向下对折一次得到图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角，将剩下的纸 C . 9cm, 12cm, 15cm 4 .下列定理中，没有逆定理的是（（乙）以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 BC 于P 点，则P 即为所求.A •两人皆正确B .两人皆错误C .甲正确，乙错误D •甲错误，乙正确7 .如图，BE=CF , AE 丄BC , DF 丄BC ,要根据“ HL 证明Rt A ABE 也Rt A DCF ，则还要添加一个条件是（） 2 cm, .6 cm, 3 cm2 cm, 3cm, 4cmA •两直线平行，同旁内角互补; 两个全等三角形的对应角相等C .直角三角形的两个锐角互余; 两内角相等的三角形是等腰三角形5 •石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名. F 列石鼓文, 是轴对称的是（） 6.如图，在MBC 中, BC >AB >AC .甲、乙两人想在 BC 上取一点P ,使得/ APC =2 / ABC ，其作法如下:（甲）作AB 的中垂线, 交BC 于P 点，则P 即为所求;A . 1cm, 2cm, 3cmB . A . B .C . D.8.如图，△ABC中,C.Z B= / CD. AE=BF/ ACB = 90 , CD是高,/ A = 30 ,贝U AD与BD的关系是（）A . AD = 3BDB . AD = 2BD C. 2AD = 3BD D . AD = 4BD9 .如图，若A ABC与厶DEF关于直线I对称，BE交I于点0,则下列说法不一定正确的.4……」…cA . AB // EF是（）B AC= DF C. AD丄I D BO = EO10 .已知如图A ABC 中，AB=AC,AD 平分/ BAC , BC=4 贝V BDH11 .在A ABC 中，/ C = 90° AC = 8cm,BC= 6cm.动点P从点C开始按A T B T C的路径绕A ABC的边运动一周，速度为每秒3cm,运动的时间为t秒.则A BCP为等腰三角形时t的值是12 •如图，将纸片A ABC沿DE折叠，点A落在点A'处，已知/ A = 50 ° 则/ 1 + Z 2 =813 •如图，以等边 △ABC 的边AC 为腰作等腰 A CAD,使 AC=AD,连接BD,若/ DBC=41 °14. 如图，已知/ ACB=90 ° CD 丄 AB , D 是垂足，若 BC=8cm , BD=7cm , AB=10cm ,15 .如图，长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，ED 交BC 于点G ,点D 、C 分别落在点D'、C'位置上，若/ EFG=55°，/ BGE=16 .如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90 ° AC=9, BC=12 ,则点 C 到 AB 的距离 CD =18. 在梯形 ABCD 中，AB // CD , AC 平分/ DAB , DC : AB=1 ： 1.5,贝U AD : AB=cm •4m 高处折断，折断处仍相连，此时在 3.9m 远处耍的身高O/ CAD = 那么点B 到AC 的距离是危险•（填有或无）19 .如图，在4X 4方格纸中，小正方形的边长为1，点A , B , C 在格点上，若△ ABC 的面积为2,则满足条件的点 C 的个数是 ________________ . r ~ 'T — = T —■ —…r -_ N 匸［二二 4 —1 - ----- --fr20 .如图，在4 X4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.在图①，图②中已画出线段AB ,在图③中已画出点 A .按下列要求画图: (1)在图①中，以格点为顶点， AB 为一边画一个等腰三角形 ABC ; (2) 在图②中，以格点为顶点， AB 为一边画一个正方形；(3) 在图③中，以点 A 为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积 = ____________ .21.如图所示，AB 6，BC 8，AD 24，CD 26， B 90，求阴影部分的面积• 22 .如图，直线 AB // CD ，/ ACD 的平分线 CE 交AB 于点F ，/ AFE 的平分线交 CA 延长线于点G.(1) 证明：AC=AF;⑵若/ FCD=30 °，求/ G 的大小.23 .如图，在△ ABC 中，AB= AC, / BAC = 120 ° , D 为 BC 的中点， DE 丄 AC 于点E , BSO團② 图③DAE= 8,求CE的长.24 •如图所示，ABD, ACE分别是以AB、AC为边的等边三角形，连接CD、BE ,它们相交于点0,再连接0A .求证：0A是DOE的角平分线.25 .如图，在△ABC中，/ C = 90 °, AD平分/ CAB, DE丄AB于点E,点F在AC上,BD = FD .那么BE与FC相等吗，并说明理由.26 .我们已经知道，有一个内角是直角的三角形•其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边•数学家已发现在一个直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方•如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b ,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达为：a2 b2c2.(1)在图中，若a 3, b 4，则c等于多少；(2)观察图，利用面积与代数恒等式的关系，试说明a2 b2 c2的正确性•其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上；(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB 8 , BC 10,禾U用上面的结论求的长•27 •如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形.BE交AC于F, AD交CE于H,(1) 求证：ABCE◎△ ACD ；⑵求证：FC=HC⑶求证：FH // BD .28 .如图，在矩形ABCD中，AB 4 , AD 3，点M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折得到ANM , MN , AB的延长线交于点Q , DM 1，求NQ的长.29 .在△ABC的边AC上取一点，使得AB=AD,若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出/ ABC与/ C的数量关系，并证明•参考答案1. A【解析】【分析】根据勾股定理即可解答.【详解】解：能够组成三角形，必然满足勾股定理，只有A中62+82 = 102满足，即答案选A .【点睛】本题考查满足勾股定理的三角形是直角三角形的知识，掌握该知识点是解题关键.2. A【解析】【分析】利用图形的翻折，由翻折前后的图形是全等形，通过动手操作得出答案.【详解】【点睛】本题考查剪纸问题，对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现出来，本题培养了学生的动手能力和空间想象能力•3. C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可.【详解】A、••• 12+22工3,二不能构成直角三角形;B、：22+ 3 2工、一6 2，二不能构成直角三角形；C、：92+122=152,二能构成直角三角形；D、：22+32=工4,二不能构成直角三角形.故选C.【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足X+bJc2, 则此三角形是直角三角形.4. B【解析】【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答.【详解】A •其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；B •其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；C.其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；D •其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理.故选B.【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理.5. A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.【详解】解：A中图形是轴对称图形，B、C、D中图形都不是轴对称图形，故选：A.【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.6. C【解析】【分析】根据甲乙两人作图的作法：甲：利用垂直平分线的性质得到AP=PB，得到/ PAB= / PBA，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可求出结果乙：根据作图的要求，AB=BP ,得到/ BAP= / APB ,进一步证明即可发现/ APO2 / ABC , 此方法不正确•【详解】贝U PA=PB,•••/ PAB= / PBA ,又/ APC= / PAB+ / PBA ,•••/ APC=2 / ABC ,故甲的作图正确；•/ AB=BP ,•••/ BAP= / APB ,•••/ APC= / BAP+ / ABC ,•••乙错误；故选：C.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键.7. A【解析】【分析】根据垂直定义求出/ CFD= / AEB=90，再根据全等三角形的判定定理推出即可.【详解】解：条件是AB=DC ,理由是：••• AE丄BC, DF丄BC ,•••/ CFD= / AEB=90 ,在RtAABE 和RtZXDCF 中，AB=CDBE=CF ，••• Rt A ABE 也Rt Z\DCF (HL ),故选：A.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键.8. A【解析】【分析】由直角三角形性质，以及角与边的关系，借助CD即可得出AD与BD的关系.【详解】根据题意，••• CD 是高，/ A=30 ,•••在Rt△ ACD 中，AD= CD,•/△ ABC 中，/ ACB=90 , / A=30°,•••/ B=60 , •••在Rt△ CDB 中有CD=竽BD ,:.AD=3BD ,故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练的掌握含30度角的直角三角形•9. A【解析】【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解：•••△ ABC与厶DEF关于直线I对称，••• AC=DF , AD 丄I, BO=EO，故B、C、D 选项正确，AB // EF不一定成立，故A选项错误，所以，不一定正确的是A .故选：A.【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.10. 2【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD为BC的中线，继而可得出BD的长度.【详解】解：••• AB=AC ,• △ ABC是等腰三角形，••• AD平分/ BAC交BC于点D ,••• AD是厶ABC的中线,1 1••• BD= — BC — 4 2 ；2 2故答案为：2.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的三线合一定理【解析】【分析】△ BCP 为等腰三角形时，分点 P 在边AC 和边AB 上讨论计算.【详解】解：△ BCP 为等腰三角形时，当点P 在边AC 上时，CP=CB ,•/ CP=6cm ，此时 t=6 七=2 （秒）;当点P 在边AB 上时.① 如图1 ,CP=CB ,作AB 边上的高CD ,X X CD ，在Rt △ CDP 中，根据勾股定理得,「一「「；「： —••• BP=2DP=7.2 ,••• AP=2.8 ,••• t= (AC+AP ) -K3= ( 8+2.8) £=川(秒)fy ② BC=BP ,• BP=6cm , CA+AP=8+10-6=12 (cm ),• t=12 七=4 (秒);③ PB=PC ,•••点P 在BC 的垂直平分线与 AB 的交点处，即在 AB 的中点，此时 CA+AP=8+5=13 (cm ),11.t=13 -3=(秒)；综上可知，当t=2秒或秒或4秒或秒时，△ BCP为等腰三角形.故答案为：2或才或4或第.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.12. 100【解析】【分析】连接AA',根据折叠的性质得到AD=A'D, AE=A'E，根据等边对等角和三角形外角的性质即可得到结论.【详解】连接AA',易得AD=A'D , AE=A'E，•/ DAA'=Z DA'A，/ EAA'= / EA'A.故/ 1+ / 2=2 (/ DAA'+ / EAA') =2 / DAE=100 ° .故答案为100.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质•通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.13. 82【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得：AB=AC，/ ABC= / BAC=60 °，从而求出/ ABD的度数，然后根据已知条件可得：AB= AD，根据等边对等角即可得：/ ADB= / ABD，利用三角形的内角和即可求出/ BAD，从而求出/ CAD的度数.【详解】解：••• △ABC是等边三角形••• AB=AC，/ ABC= / BAC=60 °•/ AC=AD，/ DBC=41°•AB= AD，/ ABD= / ABC -Z DBC=19°•••/ ADB= Z ABD=19 °•Z BAD=180 °-Z ADB -Z ABD=142 °•Z CAD= Z BAD -Z BAC=82 °故答案为：82° .【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等边三角形的内角都是60°和等边对等角是解决此题的关键•14. 8【解析】【分析】因为Z ACB=90，根据点到直线的距离可知，BC就是点B到AC的距离.【详解】解：•••/ ACB=90•BC就是点B到AC的距离又BC=8cm•••点B到AC的距离为8cm,故答案为8.【点睛】本题主要考查点到直线的距离，正确理解点到直线的距离是解答本题的关键.15. 110【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD // BC,再根据平行线的性质得/ DEF= / EFG=55 ° ,接着根据折叠的性质得到/ DEF= / MEF=55。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形单元综合培优测试题1(附答案详解)

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形单元综合培优测试题1（附答案详解）1．以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（）A．B．C．D．2．如图所示,△ABE,△ACD都是等边三角形,且∠BAC=70°,则∠BOC的大小是( )A．120°B．110°C．100°D．60°3．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形4．以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A．2，3，4B．3，4，5C．3，2，1D．6，9，13 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．64 D．167．在△ABC中，AC=6，AB=8，BC=10，则（）A．∠A=90°B．∠B=90°C．∠C=90°D．△ABC不是直角三角形8．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )9．如图,以直角三角形的三边为边向外作正方形,其面积依次为225,289,A,则正方形A的边长为()A．4 B．8 C．16 D．6410．下列图形中是轴对称图形的是（）A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）11．如图，将长方形纸片ABCD沿直线EN、EM进行折叠后（点E在AB边上），B′点刚好落在A′E上，若折叠角∠AEN＝30°15′，则另一个折叠角∠BEM＝_____．12．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（1）计算△ABC的周长等于_____．（2）点P、点Q（不与△ABC的顶点重合）分别为边AB、BC上的动点，4PB=5QC，连接AQ、PC．当AQ⊥PC时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AQ、PC，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的（不要求证明）．___________________________．13．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC=130°，则∠EAF=________．14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，已知点A（4，3），点B在第四象限，则点B的坐标是_____．15．如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长．16．已知点A（0，2），B（4，1），点P是x轴上的一点，则PA+PB的最小值是______ 17．如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有_____个18．命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是_____．19．如图，在正方形方格中，阴影部分是4张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对称图形的移法有__________种．20．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝15°，则∠A′BD的度数为_____.21．已知：如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝30°，CD ＝6，求AB的长．22．（1）如图，AB=4，O是以AB为直径的圆，以B为圆心，1为半径画弧与O交于点C，连接AC．请按下列要求回答问题：①sin∠A等于____________；②在线段AB上取一点E，当BE=______________时，连接CE，使线段CE与图中弦（不含直径）所夹角的正弦值等于14；（2）完成操作：仅用无刻度的直尺和圆规作一个直角三角形ABC，使∠A的正弦值等于13．（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）23．美丽的东昌湖赋于江北水城以灵性，周边景点密布。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题3(附答案详解)

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题3（附答案详解）1．等腰三角形的一个底角是30，则它的顶角是（）A．30B．40C．75D．1?202．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14，c＝10，则△ABC的面积为( )A．48 B．24 C．96 D．203．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个方格涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有（）种．A．3 B．4 C．5 D．24．如图，已知AB=AC,AD=BD=BC,则∠A 等于（）A．30°B．35°C．36°D．45°5．下列说法正确的是（）A．能够完全重合的两个图形成轴对称B．全等的两个图形成轴对称C．形状一样的两个图形成轴对称D．沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称6．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，CE与BD相交于点G，EF⊥BD于点F，若EF＝4，则EG的长为（）A 33B．833C33D．87．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，这样的白色小方格有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．分别以下列各组数一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（） A ．3,4,5，， B ．1 2,3 C ．111345，， D ．2,3,49．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP 于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O 的直径AC 的长为（）A ．5B ．8C ．10D ．1210．在△ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高，DC=4，则BD 等于( )A ．210B ．4C ．6D ．811．如图，AOC ∆和AOB ∆关于直线AO 对称，DOB ∆和AOB ∆关于直线BO 对称，OC 与BD 交于点E ，若15C ∠=︒，25D ∠=︒，则BEC ∠的度数为____________．12．等边三角形的边长为4,则其面积为_______________.13．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到_________________的点，在这个角的平分线上．14．如图，在AOB∠的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若PCD∆的周长为30cm，则线段MN的长为______cm.15．等腰三角形的一边长是8cm，另一边长是5cm，则它的周长是__________cm. 16．如图，长方体的长为4cm，宽为2cm，高为5cm，若用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线的长度最短为__________cm.17．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：①∠BOC=90°+12∠A；②设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn；③EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是________．18．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是________19．如图，已知△ABC 是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2，则OE+OF 的值为____.20．命题“正数的绝对值是它本身”的逆命题是_____．21．如图，在等边ABC △ 中，10AB = ，4BD = ，2BE = ，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，求点F 运动的路径长？22．操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点。

八年级上册数学全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)

八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm，设第三边中线的长为x cm，则x的取值范围是_______【答案】3＜x＜5【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM在△ABD和△CDM中，AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD（SAS），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.2．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．考点：多边形内角与外角．3．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|-|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|=______．--【答案】3a b c【解析】【分析】根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值，再去括号合并同类项即可．【详解】解：∵a、b、c为△ABC的三边，∴a+b＞c，a-b＜c，a+c＞b，∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|=(a+b-c)+(a-b- c)+(a-b+c)=a+b-c+a-b- c+a-b+c=3a-b-c．故答案为：3a-b-c．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键．4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．【答案】240.【解析】【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．5．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为4cm，△OBC的面积_____cm2．cm．【答案】242【解析】【分析】由BE=EO可证得EF∥BC，从而可得∠FOC=∠OCF，即得OF=CF；可知△AEF等于AB+AC，所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离，从而能求出△OBC的面积．【详解】∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；△AEF等于AB+AC，又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴可得BC=12cm，根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm，∴S△OBC=1×12×4=24cm2．2考点：1．三角形的面积；2．三角形三边关系．6．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝_____度．【答案】40．【解析】【分析】利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．【详解】∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B ＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--【答案】A【解析】【分析】【详解】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.8．已知直线m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则2∠的度数为（）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【答案】C【解析】【分析】先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．【详解】设直线n 与AB 的交点为E 。

2020年八年级数学上册与三角形有关的线段培优卷(含答案)

B.11
C.7 或 11
D.7 或 10
12.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的
面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且 S△ABC=18，则S△ADF－S△BE=（
）
A. 2
B.3
C. 4
D.5
二、填空题 13.一个等腰三角形的底边长为 5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分成的两部分之差是 3 cm，则它的腰长是 14.如图，D 为△ABC 的 BC 边上的任意一点，E 为 AD 的中点，△BEC 的面积为 5，则△ABC 的面积为．
于△BEF的面积的（
）
A.2 倍
B.3 倍
C.4 倍
3.下列说法正确的个数是（
）
①由三条线段组成的图形是三角形
③连接两边中点的线段是三角形的中线
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.5 倍
②三角形的角平分线是一条射线 ④三角形的高一定在其内部 D.3 个
4.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为 20cm,则边AB的取值范围是(
2020 年八年级数学上册
与三角形有关的线段培优卷
一、选择题
1.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法
正确的是(
)
A．AB∥PC C．AC=BP
B．△ABC的面积等于△BCP的面积 D．△ABC的周长等于△BCP的周长
2.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等
=
，由题意得：AB=BP，∴AB：PC=3：2，故选A．

湘教版2020八年级数学第二章三角形自主学习优生提升测试卷B卷(附答案详解)

湘教版2020八年级数学第二章三角形自主学习优生提升测试卷B卷（附答案详解）1．如图，∠MAN=16°，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止．那么作出的最后一点是（）A．A5B．A6C．A7D．A82．正确画出△ABC的边AC上的高的是( )A． B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，点D是AB延长线上的一点．∠CBD 的度数是（）A．125°B．135°C．145°D．155°4．下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B+∠C＝180°B．∠A+∠B＝∠CC．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C5．长度为3cm、4cm两根木棒，与它们首尾相接能构成三角形的第三根木棒长度是( )A．1cm B．5cm C．7cm D．9cm6．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的（）A．中心B．重心C．外心D．以上都不对7．如图，A B D ，，在同一直线上，ABC ∆≌EBD ∆，2EC =，8AD =，则∆ECD S 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．58．下列说法正确的是（）A ．五边形的内角和是720°B ．有两边相等的两个直角三角形全等C ．若关于x 的方程122m x x x -=--有增根，则1m = D ．若关于x 的不等式52x a +<恰有2个正整数解，则a 的最大值是49．为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（）．A ．5mB ．15mC ．20mD ．28m10．四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，如果△CDE 的面积为3，△BCE 的面积为4，△AED 的面积为6，那么△ABE 的面积为（）A ．7B ．8C ．9D ．1011．一个等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长是__________. 12．垂直于一条线段并且平分这条线段的 ________，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．13．如图，将△ABC 的绕点A 顺时针旋转得到△AED ，点D 正好落在BC 边上．已知∠C=80°，则∠EAB= °．14．如图：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C=90°，∠F=90°，BC=EF ．请你添加一个条件：_____________________，使△ABC ≌△DEF ．15．如图，已知四边形ABCD 中，CB=CD ，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt △ABC ≌Rt △ADC ，根据是 ________16．如图，ABC ∆中ABC ∠，ACB ∠的三等分线交于点E 、D ，若110BEC ∠=︒，则BDC ∠的度数为__________．17．如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 交于E ，与BC 交于D ，15C ∠=，60BAD ∠=，则∠B 的大小为__________．18．如图，在△ABC 中，∠B ＝15°，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于N ，BM ＝12cm ．则AC=________．19．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80DAC ∠=︒，则B 的度数是______．20．如图,∠a 的度数为___________.21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ．（1）求证：AC=AE ；（2）若点E 为AB 的中点，CD=4，求BE 的长．22．如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，D 是斜边AB 上任一点，AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥ 交CD 的延长线于点F ．CH AB ⊥于点H ，交AE 于点G ．（1）直接写出EF 、AE 和BF 之间的关系；（2）探究BD 与CG 之间的数量关系，并证明．23．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为D ．∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A ，∠C 的度数。

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21.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，P 为线段 AD 上的一个动点，PE⊥AD 交直线 BC 于点 E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E 的度数；（2）当 P 点在线段 AD 上运动时，猜想∠E 与∠B、∠ACB 的数量关系，并证明你的结论．
22.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
18.如图，将△ABC 三个角分别沿 DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O 处，则∠1＋∠2 的度数为 °．
三、解答题 19.已知在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD 是∠ACB 平分线，求∠A 和∠CDB 的度数.
20.如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE度数.
研究（3）：若折成图 3 的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.
参考答案 1.B 2.B. 3.C. 4.A. 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.答案为：B. 12.B 13.答案为：20． 14.答案为：25° 15.答案为：6，与它不相邻的两个内角，3600 16.答案为：130 17.答案为：10°． 18.答案为：180°． 19.解：∵在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180°，
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
5.如图所示，∠CGE=α，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 等于( ).
A.360°-∠A B.270°-∠α
C.180°＋∠α D.2∠α
6.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A= 50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为
°,∠BCE=40°,则∠CDF=
.
15.如图，l∥m，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在直线 m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为________
16.如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2=65°，则∠1=__________。
17.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=41°，∠2=51°，那么∠3 的度数等于_______．
(1)如图 1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； (2)如图 2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F. ①求证：BF∥OD； ②若∠F=40º，求∠BAC的度数.
23.将一副三角板叠放在一起：（1）如图 1，在此种图案的情形下,如果∠ɑ=3∠β，求∠CAE的度数；（2）如图 2，在此种图案的情形下,∠ACE=2∠BCD是否成立？若成立,请求出∠ACD的度数；若不成立,请说明理由.
()
A.80°
B.72°
C.48°
D.36°
3.在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 平分线交于点 O，且∠BOC=110°，则∠A 度数是(
).
A.70°
B.55° C.40°
D.35°
4.已知三角形 ABC 的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A，则此三角形(
).
A.一定有一个内角为 45°
B.一定有一个内角为 60°
D.310°
9.如图，已知△ABC 中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（）
A.7.5°
B.10°
C.15°
D.18°
10.如图，△ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE 的
度数为（
）
A．50° B．51°
∴∠A= ×180°=40°，∠ACB= ×180°=80° ∵CD 是∠ACB 平分线，∴∠ACD=0.5∠ACB=40° ∴∠CDB=∠A+∠ACD=40°+40°=80° 20.解：
21.
22. (1)∠AOC=∠ODC；(2)①略(2 分)； ②80°.
23.（1）∵∠ ＝3∠ ，∠ ＋∠ ＝90°，∴3∠ ＋∠ ＝90°，∴∠ ＝22.5°. 又∠CAE＋∠ ＝90°，∴∠CAE＝∠ ＝22.5°. （2）能，理由如下：
24.△ABC 中，AD、BE、CF 是角平分线，交点是点 G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH.
分别是△ABC边上的两点，
研究（1）：若沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是
.
研究（2）：若折成图 2 的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.
∠BAO 的平分线交于点 C.当 A,B 移动后，∠BAO=45°时，则∠C 的度数是(
)
A.30°
B.45°
C.55°
D.60°
二、填空题
13.△ABC 的三个外角的度数之比为 2：3：4，此三角形最小的内角等于 °．
14.将一副直角三角板如图摆放,点 C 在 EF 上,AC 经过点 D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30
2020 年八年级数学上册
与三角形有关的角培优卷
一、选择题
1.若一个三角形三个内角度数的比为 2：3：4，那么这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形
D.等边三角形
2.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB 为
C．51.5°
D．52.5°
11.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=36°，AD 是斜边 BC 上的中线，将△ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则∠BED 等于( )
A．120° B．108°
C．72°
D．36°
12.如图，∠MON=90°，点 A,B 分别在射线 OM,ON 上运动，BE 平分∠NBA，BE 的反向延长线与
CD，则
()
A.40°
B.30°
C.20°
D.10°
7.如图所示,已知∠A=65°,∠B=20°,∠C=32°,则∠BDC 的度数是( )
A.135°
B.128°
C.117°
D.97°
8.如图，在△ABC 中，∠C=50°，按图中虚线将∠C 剪去后，∠1+∠2 等于( )
A.130°
B.210°
C.230°