北京高一下学期期末数学试卷含答案
北京高一高中数学期末考试带答案解析
北京高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在0到2π范围内，与角终边相同的角是（ ） A ．B ．C ．D ．2.sin150°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．3.sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．4.已知，且，那么sin2A 等于（ ） A ．B ．C ．D ．5.函数y=tan4x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．D ．6.要得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，应该把函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向右平移7.函数f （x ）=在（0，+∞）内（ ） A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点8.已知函数f （x ）=πcos （），如果存在实数x 1、x 2，使得对任意实数x ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 1﹣x 2|的最小值是（ ） A ．8πB ．4πC ．2πD ．π二、填空题1.已知扇形所在圆的半径为8，弧长为12，则扇形的圆心角为弧度 ．2.已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值是 ．3.已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于 ．4.已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示，则函数的解析式为．5.关于函数有下列命题：①f（x）的表达式可改写为；②f（x）的图象关于点对称；③f（x）的图象关于直线对称；④f（x）在区间上是减函数；其中正确的是．（请将所有正确命题的序号都填上）6.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f （）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为．三、解答题1.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．2.已知函数．（Ⅰ）在给定坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求f（x）的对称中心；（Ⅲ）求直线与函数y=f（x）的图象交点的横坐标．3.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和单调增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．4.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．5.已知函数f（x）=sinx+cos2x．（Ⅰ）若α为锐角，且，求f（α）的值；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|≤2在上恒成立，求实数m的取值范围．6.函数f（x）的定义域为D，函数g（x）的定义域为E．规定：函数（Ⅰ）若函数，写出函数h（x）的解析式；（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并给予证明．北京高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.在0到2π范围内，与角终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，求出结果．解：与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，令k=1，可得与角终边相同的角是，故选C．【考点】终边相同的角．2.sin150°的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据诱导公式直接求解．解：sin150°=sin30°=故选A．【考点】运用诱导公式化简求值．3.sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用正弦的两角和公式即可得出答案解：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin60°=故选B．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知，且，那么sin2A等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据角A的范围及同角三角函数的基本关系，求出sinA=，再由二倍角公式求出sin2A的值．解：∵已知，且，∴sinA=，∴sin2A="2" sinA cosA=2×=，故选D．【考点】二倍角的正弦．5.函数y=tan4x的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．【答案】D【解析】由条件根据函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，可得结论．解：函数y=tan4x的最小正周期T=，故选：D．【考点】三角函数的周期性及其求法．6.要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【答案】D【解析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．解：要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y=sin2x的图象，向右平移单位即可．故选：D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．7.函数f（x）=在（0，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【答案】B【解析】作函数y=与y=cosx的图象，从而利用数形结合的思想判断．解：作函数y=与y=cosx 的图象如下，，∵函数y=与y=cosx 的图象有且只有一个交点， ∴函数f （x ）=在（0，+∞）内有且仅有一个零点， 故选B ．【考点】函数零点的判定定理．8.已知函数f （x ）=πcos （），如果存在实数x 1、x 2，使得对任意实数x ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 1﹣x 2|的最小值是（ ） A ．8πB ．4πC ．2πD ．π【答案】B【解析】由题意，得f （x 1）是函数的最小值且f （x 2）是函数的最大值．再根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象与性质，得相邻最大、最小值点之间的距离最小值等于周期的一半，由此求出函数的周期，则不难得到|x 1﹣x 2|的最小值．解：∵函数表达式为f （x ）=πcos （），∴函数的周期T==8π∵对任意实数x ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）， ∴f （x 1）是函数的最小值；f （x 2）是函数的最大值 由此可得：|x 1﹣x 2|的最小值为=4π 故选：B【考点】余弦函数的图象．二、填空题1.已知扇形所在圆的半径为8，弧长为12，则扇形的圆心角为弧度 ． 【答案】．【解析】设这个扇形的圆心角的度数为n ，根据弧长公式，求解即可． 解：设这个扇形的圆心角的度数为n ， 根据题意得n==，即这个扇形的圆心角为． 故答案为：． 【考点】弧长公式．2.已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值是 ． 【答案】﹣【解析】先利用α所在的象限判断出cosα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据sinα的值求得cosα的值，进而求得tanα． 解：∵α是第二象限角 ∴cosα=﹣=﹣∴tanα==﹣故答案为：﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．3.已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于．【答案】【解析】根据tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y=﹣x （x≤0）上，从而得到α 的值．解：∵已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y=﹣x （x≤0）上，故α=，故答案为：．【考点】任意角的三角函数的定义．4.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示，则函数的解析式为．【答案】f（x）=2sin（2x+）．【解析】直接由函数图象求得A，T，由周期公式求得ω，利用五点作图的第二点求φ，则答案可求．解：由图可知，A=2，T=，∴ω=．由五点作图的第二点可知，2×φ=．解得：φ=．∴函数解析式为：f（x）=2sin（2x+）．故答案为：f（x）=2sin（2x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．5.关于函数有下列命题：①f（x）的表达式可改写为；②f（x）的图象关于点对称；③f（x）的图象关于直线对称；④f（x）在区间上是减函数；其中正确的是．（请将所有正确命题的序号都填上）【答案】①②【解析】由条件利用正弦函数的图象和性质，诱导公式，得出结论．解：关于函数，f（x）的表达式可改写为f（x）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣），故①正确．由于当x=﹣时，f（x）=0，可得f（x）的图象关于点对称，故②正确．当x=时，求得f（x）=0，不是最值，可得f（x）的图象不关于直线对称，故排除③．在区间（﹣，）上，2x+∈（﹣，），函数f（x）为增函数，故排除D，故答案为：①②．【考点】正弦函数的图象．6.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f （）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为．【答案】π【解析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f （）可得函数的半周期，则周期可求．解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．三、解答题1.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）sinα=y=，cosα=x=﹣，tanα==﹣．（Ⅱ）﹣11．（Ⅲ）﹣．【解析】（Ⅰ）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．（Ⅱ）由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．（Ⅲ）由条件利用二倍角的余弦公式，两角和的正切公式，求得所给式子的值．解：（Ⅰ）由三角函数的定义知，角α终边与单位圆相较于点，∴sinα=y=，cosα=x=﹣，tanα==﹣．（Ⅱ）原式====﹣11．（Ⅲ）cos2α=2cos2α﹣1=2•﹣1=，tan（α+）==﹣．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．2.已知函数．（Ⅰ）在给定坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求f（x）的对称中心；（Ⅲ）求直线与函数y=f（x）的图象交点的横坐标．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）f（x）的对称中心为（Ⅲ）横坐标为或【解析】（Ⅰ）利用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）根据三角函数的对称性即可求f（x）的对称中心；（Ⅲ）根据直线与函数y=f（x）的图象的关系解方程即可求出交点的横坐标．解：（Ⅰ）列表：x0π2πf（x）1﹣1函数图象如下图所示：（Ⅱ）∵y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），∴由知：，∴f（x）的对称中心为（Ⅲ）由知：或（k∈Z），∴或即直线与函数y=f（x）的图象交点的横坐标为或【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．3.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和单调增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间为；（Ⅱ）当时，，当时，．【解析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），（Ⅰ）由周期公式可得最小正周期，解可得单调增区间；（Ⅱ）由可得，易得三角函数的最值．解：由三角函数公式化简可得，（Ⅰ）由周期公式可得函数f（x）的最小正周期，由可得，∴函数f（x）的单调增区间为；（Ⅱ）∵，∴，∴当时，，当时，．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．4.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）x的取值范围为：．（Ⅲ）存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由sinx≠0，可求f（x）的定义域，利用三角函数周期公式可求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（x）≥0知，，得，即可解得x的取值范围．（Ⅲ）f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，该函数为偶函数，则需满足，从而解得m的值，即可得解．解：（Ⅰ）=，∴由sinx≠0知，x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（x）≥0知，即，∴，即，∴f（x）≥0时，x的取值范围为：．（Ⅲ）函数f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，即，若要使该函数为偶函数，则需满足，∴，∴存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．5.已知函数f（x）=sinx+cos2x．（Ⅰ）若α为锐角，且，求f（α）的值；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|≤2在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）由α为锐角，可得的范围，结合求得α，代入已知函数解析式求得f （α）的值；（Ⅱ）把不等式|f（x）﹣m|≤2在上恒成立，转化为，求出f（x）的最值后求解关于m的不等式组得答案．解：（Ⅰ）∵α为锐角，∴，则∵，∴，则，∴；（Ⅱ）∵|f （x ）﹣m|≤2，∴m ﹣2≤f （x ）≤m+2， ∵不等式|f （x ）﹣m|≤2在上恒成立，∴，而，∵，∴sinx ∈[]，∴当时，；当时，，∴，∴．∴实数m 的取值范围为．【考点】三角函数的最值．6.函数f （x ）的定义域为D ，函数g （x ）的定义域为E ．规定：函数（Ⅰ）若函数，写出函数h （x ）的解析式；（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h （x ）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅲ）若g （x ）=f （x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R 的函数y=f （x ），及一个α的值，使得h （x ）=cos4x ，并给予证明． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）h （x ）在（1，2）上单调递减，h （x ）在（2，+∞）上单调递增．（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）根据函数的定义即可得到结论． （Ⅱ）根据函数单调性的定义进行判断证明即可； （Ⅲ）根据三角函数的关系进行解方程即可．解：（Ⅰ）∵f （x ）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），g （x ）的定义域为R ， ∴（Ⅱ）当x ＞1时，任意取x 1＜x 2∈（1，+∞）， 则，∵①当x 1＜x 2∈（1，2）时，x 1x 2﹣（x 1+x 2）＜0，即h （x 1）﹣h （x 2）＞0， ∴h （x 1）＞h （x 2），故，h （x ）在（1，2）上单调递减．②当x 1＜x 2∈（2，+∞）时，x 1x 2﹣（x 1+x 2）＞0，即h （x 1）﹣h （x 2）＜0， ∴h （x 1）＜h （x 2），故，h （x ）在（2，+∞）上单调递增．综上，h （x ）在（1，2）上单调递减，h （x ）在（2，+∞）上单调递增． （Ⅲ）由函数y=f （x ）的定义域为R ，得g （x ）=f （x+α）的定义域为R ， ∴对于任意x ∈R ，都有h （x ）=f （x ）g （x ） 即对于任意x ∈R ，都有cos4x=f （x ）f （x+α）， ∴我们考虑将cos4x 分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化cos4x=cos 22x ﹣sin 22x=（cos2x+sin2x ）（cos2x ﹣sin2x ）=，∴可取，即可．（答案不唯一）【考点】函数单调性的性质．。
2022-2023学年北京市海淀区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷一、选选题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．复数i •（3+i ）的虚部是（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣32．已知向量a →=（﹣1，1），则下列向量中与a →平行的单位向量是（ ） A ．(√22，−√22) B ．(√22，√22)C ．（1，﹣1）D ．（1，1）3．若tanα=−512，cos α＞0，则sin α＝（ ） A ．1213B ．513C ．−1213D ．−5134．已知tan(α−π4)=2，则tan α的值为（ ） A ．3B ．1C ．﹣3D ．﹣15．下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x6．已知向量a →=(1，√3)，向量b →为单位向量，且a →⋅b →=1，则|2b →−a →|=（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．37．函数f(x)=sinx +sin(x +π2)的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．28．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“A ＝B ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知|AB →|=1，|AC →|=2，AD →⋅AC →=4，则|BD →|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰李凤岐李少菁主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移y （米）与时间t （秒）的关系近似满足y ＝sin （ωt +φ），t ∈[0，8]，其中常数ω＞0，|φ|＜π．经测定，在t ＝2秒时该质点第一次到达波峰，在t ＝8秒时该质点第三次到达波峰．在t ∈[0，8]时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（ ） A ．32秒B ．2秒C ．52秒D ．3秒二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年北京市第一零一中学高一下学期期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市第一零一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为()A. B. C. D.2.已知复数z满足，则()A. B. C. D.3.如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面()A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点C.仅有两个公共点D.有无数个公共点4.已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为()A. B.C. D.5.将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，折起后点D记为若，则四面体的体积为()A. B. C. D.6.“，”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤其中能使得存在且唯一确定的是()A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤8.在中，，，已知点P满足，且，则()A. B. C. D.9.在中，若，，，则为()A. B. C. D.10.如图，四棱锥中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA与直线AD所成角为，直线SA与平面ABCD所成角为，二面角的平面角为，则()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知复数z满足，，则z的虚部为__________.12.已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.13.已知，，则__________.14.如图，在平面四边形ABCD中，，，记与的面积分别为，，则的值为__________.15.如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体如图当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为Rcm时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积厚度忽略不计的3倍，则的取值范围是__________取16.如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点包含端点，点E在线段上，且，给出下列四个结论：①存在点P，使得直线平面；②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体的体积逐渐减小；③若，则点P轨迹的长度为；④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
2024北京东城区高一(下)期末数学试题及答案
2024北京东城高一（下）期末数 学本试卷共9页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数13i z =−，212i z =−+，则在复平面内表示复数12z z +的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. cos30cos15sin 30sin15︒︒−︒︒的值为A.12B.2C.2D.13. 从装有2张红色卡片和2张黑色卡片的盒子中任取2张卡片，则下列结论正确的是A.“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件B.“至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”为互斥事件C.“恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为对立事件D.“至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”为对立事件4. 在ABC △中，cos sin b c B C =，则B ∠= A.π6 B.π4 C .π3 D .π25. 设,a b 为非零向量，下列结论中正确的是A.||||+>−a b a bB.||||||+>−a b a bC.(2)(2)⋅=⋅a b a bD.222()⋅=⋅a b a b6. 某高校的入学面试为每位面试者准备了3道难度相当的题目. 每位面试者最多有三次抽题机会，若某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止. 若李明答对每道题目的概率都是0.6，则他最终通过面试的概率为A.0.24B.0.6C.0.84D.0.9367. 将函数πsin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象关于点(,0)ϕ对称， 则||ϕ的最小值为A.π6B.π4 C .π3 D .π28. 设,αβ是两个不同平面，,l m 是两条不同直线，且m α⊂，l α⊥，则“l β⊥”是“//m β”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，则,<>=a bA.45︒B.60︒C.120︒D.135︒ 10. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，其中,,,,,,E F G H I J K 分别为棱11111111111,,,,,,A B B C C D D A AA BB CC 的中点，那么三棱柱11B FJ A HI −与三棱柱11B EJ C GK −在正方体内部的公共部分的体积为A.16B.14C.13D.12第二部分（非选择题 共70分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2022-2023学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知向量a →=（m ，1），b →=（﹣1，2）．若a →∥b →，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．−122．复数z 满足i •z ＝1﹣2i ，则z ＝（ ） A ．2﹣iB ．﹣2﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i3．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如表：则该校高中学生的平均身高可估计为（ ） A ．3.6x +3.4y +3.0z B ．x+y+z 2 C ．0.36x +0.34y +0.30zD ．x+y+z34．已知圆锥SO 的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．2πB ．√3πC ．πD ．√33π 5．设a ，b 为实数，若a+i b−2i=1+i ，则（ ）A ．a ＝1，b ＝﹣1B ．a ＝5，b ＝3C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝1，b ＝36．将函数y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π2个单位，所得图象的函数解析式为（ ） A ．y =−√2sinx B ．y =√2cosx C ．y ＝﹣sin x ﹣cos xD ．y ＝cos x +sin x7．已知长方形墙ACFE 把地面上B ，D 两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得AB ＝6米，BC ＝8米．现欲通过计算，能唯一求得B ，D 两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（ ）A ．点D 到AC 的距离B ．CD 长度和DF 长度C ．∠ACB 和∠ADCD ．CD 长度和∠ACD8．设a →，b →为非零向量，|a →|=|b →|，则“a →，b →夹角为钝角”是“|a →+b →|＜√2|a →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ，P 为棱A 1B 1的中点，Q 为线段A 1C 上的动点．以下结论中正确的是（ ）A ．存在点Q ，使BQ ∥ACB ．不存在点Q ，使BQ ⊥B 1C 1C ．对任意点Q ，都有BQ ⊥AB 1D ．存在点Q ，使BQ ∥平面PCC 110．如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点P 0为射线y ＝﹣x （x ≥0）与⊙O 的交点．则当0≤t ≤12时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（ ）A ．[0，π2]B ．[7π8，11π8] C ．[11π8，15π8] D ．[3π4，11π4] 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2022-2023学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√34．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π26．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√558．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．119．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z |为 ． 12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ． 13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 ，圆柱的体积为 ．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ． ①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．21．（15分）对于定义在R 上的函数f （x ）和正实数T ，若对任意x ∈R ，有f （x +T ）﹣f （x ）＝T ，则f （x ）为T ﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）： ①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝x +1．（2）若f （x ）＝x +sin x 为T ﹣阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知f （x ）为T ﹣阶梯函数，满足：f （x ）在[T 2，T]上单调递减，且对任意x ∈R ，有f （T ﹣x ）﹣f （x ）＝T ﹣2x ．若函数F （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣b 有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…直接给出一个符合题意的a 的值，并证明：存在b ∈R ，使得F （x ）在[0，2023T ]上有4046个零点，且x 2﹣x 1＝x 3﹣x 2＝…＝x 4046﹣x 4045．2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z ＝1+i ，∴z =1−i ，∴在复平面内z 对应的点（1，﹣1）在第四象限． 故选：D ．2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x解：y =sin(x +π4)的周期T ＝2π≠π，故A 错误；y ＝f （x ）＝tan x 满足f （﹣x ）＝tan （﹣x ）＝﹣tan x ＝﹣f （x ），即y ＝tan x 为奇函数，故B 错误； y ＝f （x ）＝cos2x 满足f （﹣x ）＝f （x ），即y ＝cos2x 为偶函数，且其周期T =2π2=π，故C 正确； y ＝f （x ）＝sin2x 满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），即y ＝sin2x 为奇函数，故D 错误． 故选：C ．3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√3解：在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3， 由余弦定理可得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 所以3＝a 2+b 2﹣ab ＝a 2+4a 2﹣2a 2＝3a 2， 则a ＝1或﹣1（舍去）． 故选：B ．4．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．20解：由题意可知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃， 可得{a +A =28a −A =18，解得a ＝23，A ＝5．故选：A ．5．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π2解：z ＝cos α+i sin α，则z 2＝（cos α+i sin α）2＝cos 2α﹣sin 2α+2sin αcos α＝cos2α+i sin2α， ∵z 2为纯虚数，∴{cos2α=0sin2α≠0，即α=π4+k 2π，k ∈Z ，故α可能的取值为π4．故选：B ．6．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α解：若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；如果m ∥α，n ∥α，那么m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 如果m ⊥α，则m 与平行于α的所有直线垂直，又n ∥α，那么m ⊥n ，故C 正确； 若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α或m ∥α或m 与α相交，故D 错误． 故选：C ．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√55解：∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4）， ∴OP →=（1，﹣2），OQ →=（3，4）， ∴cos ∠POQ =OP →⋅OQ →|OP →||OQ|=1×3−2×4√1+(−2)2⋅√3+4=−55√5√55． 故选：D ．8．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．11解：当P 在线段AB 上，则|AP →|≤12|AB →|=3，即线段AB 上有长度为3的线段满足P 点的位置，当P 在AC 上，由于AC →⋅AB →=4×4×cos π3=8＜12，所以线段AC 满足P 点位置， 当P 在BC 上，则AP →=λAB →+μAC →，λ＞0，μ＞0，λ+μ＝1， 所以AP →⋅AB →=λ|AB →|2+μAC →⋅AB →=16λ+8μ＝16λ+8﹣8λ＝8+8λ， 令8+8λ≤12，解得λ≤12，所以线段BC 上远离B 点的一半线段满足P 点位置， 所以P 的轨迹长度为3+4+2＝9． 故选：B ．9．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数， 则f （x ）在对称轴在（0，π3）上，由ωx +π3=k π+π2（k ∈z ）， 解得x =kπω+π6，故0＜kπω+π6＜π3，解得：ω＞12， 而（1，+∞）⫋（12，+∞），故“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”必要不充分条． 故选：B ．10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ） A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]解：如图，不妨设线段AB 的垂直平分线为y 轴，在单位圆中，由|AB|=√3，可得A （−√32，12），B （√32，12），点P 都在单位圆上，故可设点P （cos α，sin α），α∈[0，2π]， 则PA →=(−√32−cosα，12−sinα)，PB →=(√32−cosα，12−sinα)， 所以PA →⋅PB →=cos 2α−34+14−sin α+sin 2α=12−sin α∈[−12，32]． 故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z|为 1 ． 解：复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则z ＝3﹣4i ， 故|5z |=5|z|=5√3+(−4)2=1．故答案为：1．12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ﹣2 ． 解：∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=4+2x =0，解得x ＝﹣2． 故答案为：﹣2．13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 2 ，圆柱的体积为 36π ． 解：因为球的体积为32π3，则球半径r 满足43πr 3=32π3，解得r ＝2，又因为球与圆柱的上、下底面相切，所以圆锥的高为2r ＝4， 所以圆柱的体积为V ＝π×32×4＝36π． 故答案为：2；36π．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ﹣cos4x （答案不唯一） ．①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．解：由①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)，可知函数的周期为π2，由②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立，可知函数在x =π4上取到最大值， 则f （x ）＝﹣cos4x 满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，T =2π4=π2，满足条件①； 另一方面，f(π4)=−cosπ=1=f(x)max ，满足条件②． 故答案为：﹣cos4x （答案不唯一）．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：对于①，当点P 和点A 重合时，平面PB 1D 1∥平面C 1BD ，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接BD 交AC 于点O ，连接C 1D ，C 1B ，C 1O ，AO 1，∵O 1C 1∥PO ，且O 1C 1＝AO ， ∴四边形O 1POC 1平行四边形，∴O 1P ∥C 1O ，∵O 1P ⊄平面C 1BD ，C 1O ⊂平面C 1BD ，∴O 1P ∥平面C 1BD ，∵B 1D 1∥BD ，B 1D 1⊄平面C 1BD ，BD ⊂平面C 1BD ，∴B 1D 1∥平面C 1BD ，又∵B 1D 1∩PO 1＝O 1，B 1D 1，PO 1⊂平面PB 1D 1，∴平面PB 1D 1∥平面C 1BD ；故①正确； 对于②，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由几何关系可知PD 1＝PB 1，要使△PB 1D 1是等腰直角三角形，则PD 1⊥PB 1， 由已知得D 1（0，0，4），B 1（4，4，4），设点P （4﹣a ，a ，0）， 则PD 1→=(a −4，−a ，4)，PB 1→=(a ，4−a ，4)， ∵PD 1⋅PB 1→=0，∴a 2﹣4a +8＝0，此方程无解，则不存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形，故②不正确；对于③，因为D 1E =14B 1D 1=√2，则E （1，1，4），A （4，0，0），C （0，4，0）， 即EA =EC =√26＞5，则P 轨迹是在AC 上的线段，不包括端点A 、C ，如下图所示， 由已知得△EAC 为等腰三角形，则△EAC 底边上的高EH =3√2＜5，随着P 向点C 运动，EP 逐渐减小，故在线段AH 上存在一点P ，使得EP ＝5， 同理可知靠近点C 处也存在一点P ，使得EP ＝5，设线段PE ＝5，由勾股定理可知PH =√7，所以点P 轨迹的长度为2√7，故③正确；对于④，连接BD ，过点P 作BD 的平行线交AB ，AD 于点M ，N ，连接B 1M ，D 1N ， 则MND 1B 1为平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得的截面图形， 由已知得AP =14AC =√2，由△AMN ∽△ABD 可知，MN =2√2，又因为MB 1=ND 1=2√5，且MN ∥B 1D 1， 所以四边形MND 1B 1为等腰梯形，其中梯形的高ℎ=3√2，所以截面面积为12(2√2+4√2)×3√2=18，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．解：（1）因为sin 2α+cos 2α＝1，sinα=45， 所以cos 2α=925， 又因为π2＜α＜π， 所以cosα=−35． 所以tanα=sinαcosα=−43； （2）cos2αcos(α+π4)=22√22(cosα−sinα)=√2(cosα+sinα)=√25． 17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．证明：（1）由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的结构特征，可得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥A 1B ， ∵A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又∵B 1C 1∩AB 1＝B 1，∴A 1B ⊥平面ADC 1B 1． （2）设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OE ，∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，∴B 1A ∥C 1D ，且B 1A ＝C 1D ， ∴B 1O ∥C 1D ，且B 1O =12C 1D ，∵E ，F 分别DD 1，C 1D 1的中点，∴EF ∥C 1D ，且EF =12C 1D ， ∴EF ∥B 1O ，且EF ＝B 1O ，∴四边形B 1OEF 为平行四边形，∴B 1F ∥OE ， 又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ， ∴B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=c sinC，得sin A cos B +sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin （A +B ）＝2sin C cos A ，因为A +B +C ＝π，所以sin （A +B ）＝sin C ，所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为C ∈（0，π），sin C ≠0，所以2cos A ＝1，即cosA =12， 又因为A ∈（0，π），所以A =π3；（2）选择①：因为S △ABC =5√3，即12bcsinA =5√3，即12×b ×4×√32=5√3，所以b ＝5， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=25+16−2×5×4×12， 所以a =√21，所以△ABC 的周长为9+√21； 选择②： 因为a =√13，又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即13＝b 2+16﹣2×b ×4×12， 所以b ＝1或3，因为△ABC 存在且唯一，所以舍去； 选择③：因为AB 边上的高线CD 长为√32，即bsinA =√32，所以b ＝1， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=1+16−2×1×4×12， 所以a =√13，所以△ABC 的周长为5+√13． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围． 解：（1）f （x ）=√32sin2x −12cos2x +cos2x =√32sin2x +12cos2x ＝sin （2x +π6），所以f （π6）＝sin （2•π6+π6）＝sin π2=1；（2）由（1）可得，单调递增满足−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 解得：−π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为[−π3+k π，π6+k π]，k ∈Z ；（3）x ∈[0，m ]，可得2x +π6∈[π6，2m +π6]，由题意可得2m +π6∈[2π，3π），解得11π12≤m ＜17π12， 即m ∈[11π12，17π12）．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．证明：（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以CD ⊥SA ；（2）因为平面EFM ∥平面SCD ，平面EFM ∩平面ABCD ＝EM ， 平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ，所以CD ∥EM ， 又因为E 为AD 的中点，所以M 为线段BC 中点； 由（1）知，CD ⊥平面SAD ，又CD ⊂平面SCD ，所以平面SCD ⊥平面SAD ，所以点E 到平面SCD 的距离等于点E 到SD 的距离， 因为SA ＝SD ＝AD ＝2，所以△SAD 为正三角形，又E 为AD 的中点， 所以点E 到SD 的距离为√32，因为平面EFM ∥平面SCD ， 所以点M 到平面SCD 的距离为√32； 解：（3）存在，当N 为SC 中点时，平面DMN ⊥平面ABCD ，证明如下： 连接EC ，DM 交于点O ，连接SE ，因为ED∥CM，并且ED＝CM，所以四边形EMCD为平行四边形，所以EO＝CO，又因为N为SC中点，所以NO∥SE，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，又SE⊂平面SAD，由已知SE⊥AD，所以SE⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD，所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，CNCS=12．21．（15分）对于定义在R上的函数f（x）和正实数T，若对任意x∈R，有f（x+T）﹣f（x）＝T，则f（x）为T﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）：①f（x）＝x2；②f（x）＝x+1．（2）若f（x）＝x+sin x为T﹣阶梯函数，求T的所有可能取值；（3）已知f（x）为T﹣阶梯函数，满足：f（x）在[T2，T]上单调递减，且对任意x∈R，有f（T﹣x）﹣f（x）＝T﹣2x．若函数F（x）＝f（x）﹣ax﹣b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在b∈R，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点，且x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x4046﹣x4045．解：（1）①因为f（x）＝x2，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）2﹣x2＝2x+1≠1，所以f（x）＝x2不是1﹣阶梯函数；②因为f（x）＝x+1，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）+1﹣（x+1）＝1，所以f（x）＝x+1是1﹣阶梯函数；（2）因为f（x）为T﹣阶梯函数，所以对任意x∈R有：f（x+T）﹣f（x）＝[x+T+sin（x+T）]﹣（x+sin x）＝sin（x+T）﹣sin x+T，所以，对任意x∈R，sin（x+T）＝sin x，因为y＝sin x是最小正周期为2π的周期函数，又因为T＞0，所以T＝2kπ，k∈N*；（3）a＝1．证明：函数F（x）＝f（x）﹣x﹣b，则有：F（x+T）＝f（x+T）﹣（x+T）﹣b＝f（x）+T﹣（x+T）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x），F（T﹣x）＝f（T﹣x）﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）+T﹣2x﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x）．取b=f(3T4)−3T4，则有：F(3T4)=f(3T4)−3T4−b=0，F(T4)=F(T−T4)=F(3T4)=0，由于f（x）在[T2，T]上单调递减，因此F（x）＝f（x）﹣x﹣b在[T2，T]上单调递减，结合F（T﹣x）＝F（x），则有：F（x）在[0，T2]上有唯一零点T4，在[T2，T]上有唯一零点3T4．又由于F（x+T）＝F（x），则对任意k∈Z，有：F(T4+kT)=F(T4)=0，F(3T4+kT)=F(3T4)=0，因此，对任意m∈Z，F（x）在[mT，（m+1）T]上有且仅有两个零点：mT+T4，mT+3T4．综上所述，存在b=f(3T4)−3T4，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点：x1=T4，x2=3T4，x3=5T4，x4=7T4， (x4045)8089T4，x4046=8091T4，其中，x2−x1=x3−x2=⋯=x4046−x4045=T 2．。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量，则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为()A. B.C. D.4.若，且，则()A. B. C. D.75.在中，点D满足，若，则()A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中若，则()A. B. C. D.8.在中，已知则下列说法正确的是()A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.知复数z满足，则__________，__________.12.在中，，P满足，则__________.13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，如图，相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题含解析
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．2003．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-4．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=5．已知正实数x y 、满足224x y +=，则的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．946．在某次测量中得到A 样本数据如下：43,50,45,55,60，若B 样本数据恰好是A 样本每个数都增加5得到，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．中位数C ．方差D ．平均数7．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论： ①函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于直线512x π=对称；③函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④函数()f x 在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024北京海淀高一下学期期末数学试题及答案
2024北京海淀高一（下）期末数 学2024.07学校_____________ 班级______________ 姓名______________一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若复数z 满足i 2z ⋅=，则z 的虚部为（A ）2− （B ）2 （C ）i −（D ）i（2）已知向量1(0,1),)2==a b ，则cos ,〈〉=a b （A ）0 （B ）12（C（D（3）函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则其解析式为（A）π())4f x x =+（B）1π()sin()24f x x =+（C ）π())3f x x +（D ）π())4f x x =+（4）若3sin 5α=，且π(,π)2α∈，则πtan()4α−=（A ）34−（B ）17（C ）34（D ）7（5）在ABC ∆中，点D 满足BD BC λ=. 若3144AD AB AC =+, 则λ= （A ）13（B ）14（C ）3（D ）4（6）已知函数1sin 2()sin cos xf x x x+=+，则下列直线中，是函数()f x 对称轴的为（A ）0x = （B ）π6x = （C ）π4x =（D ）π2x =（7）在平面直角坐标系xOy 中，点(A −，点(cos ,sin )P θθ，其中π[0,]2θ∈ . 若5OA OP +=, 则θ=（A ）π6（B ）π4 （C ）π3（D ）π2（8）在ABC ∆中，已知π2,3a A ==，则下列说法正确的是（A ）当1b =时，ABC ∆是锐角三角形 （B ）当b =时，ABC ∆是直角三角形 （C ）当73b =时，ABC ∆是钝角三角形 （D ）当53b =时，ABC ∆是等腰三角形 （9）已知,a b 是非零向量， 则“⊥a b ”是“对于任意的λ∈R ，都有λλ+=−a b a b 成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）定义域为[,]a b 的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,()),(,())A a f a B b f b . 点(,)M x y 是()y f x =的图象上的任意一点，其中(1)(01)x a b λλλ=+−≤≤，点N 满足向量(1)ON OA OB λλ=+−, 点O 为坐标原点. 若不等式||MN k 恒成立，则称函数()y f x =在[,]a b 上为k 函数. 已知函数2()2f x x x =−+在[0,1]上为k 函数，则实数k 的取值范围是（A ）(0,)+∞ （B ）1[,)4+∞（C ）1(,)2+∞（D ）[1,)+∞二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2024北京丰台区高一(下)期末数学试题及答案
2024北京丰台高一（下）期末数 学2024.07第一部分（选择题 共40分）一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．设复数1i z =+，则||z =（A ）1（B （C ）2 （D ）42．已知点(12)A ,，(31)B ,，(4)()C ,m m ∈R ，若AB BC ⊥，则m 的值为 （A ）-1 （B ）12（C ）1 （D ）3 3．已知复数z 满足(1+i)2z =，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4．一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是 （A ）16（B ）13 （C ）12 （D ）235．已知数据1x ，2x ，3x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数为x ，方差为2s ，数据131x −，231x −，331x −，⋅⋅⋅，31n x −的平均数为1x ，方差为21s ，则下列结论中正确的是1111111（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120° 7. 在△ABC 中，点D 是边AB 的中点．记CA =a ，CD =b ，则CB = （A ）2−−a b（B ）2−+a b（C ）2−a b（D ）2+a b8. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A =“点数之和为5”，事件B =“点数之积为6”，事件C =“至少有一个点数为3”，事件D =“点数都不为3”，则 （A ）AC 为不可能事件 （B ）A 与B 相互独立 （C ）B 与D 互斥（D ）C 与D 互为对立9. 已知直线a ，b 与平面α，β，γ，下列说法正确的是（A ）若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β （B ）若a ∥α，a ∥β，则α∥β（C ）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β （D ）若αβ =a ，b ⊥a ，b ⊂β，则α⊥β10．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O 为该正八边形的中心，设||1OA =，点P 是正八边形ABCDEFGH 边上任一点，下列结论中正确的个数是图1 图2① OA 与BO 的夹角为π4；②2||||2OA OC DH −=；③OA 在OD 上的投影向量为2e （其中e 为与OD 同向的单位向量）；④22222222PA PB PC PD PE PF PG PH +++++++的取值范围是[1216]+． （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题 共110分）二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021-2022学年北京市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年北京市高一下学期期末数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）()()21z i i =-+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C运用复数乘法化简复数得解3z i =--【详解】，因此复数z 对应点的坐标为，2(2)(1)223z i i i i i i =-+=+--=-- ()3,1--在第三象限.故应选C .本题考查复数乘法运算及复数几何意义，属于基础题.2．在“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对某区甲、乙、丙、丁四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：学校甲乙丙丁抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915若该区共2000名高中学生，估计甲学校参与“创城”活动的人数为（ ）A ．1600B ．1000C ．800D ．500C【分析】根据分层抽样成比例，结合该区共2000名高中学生可求得甲学校人数，进而根据“创城”活动中参与的人数的比例求解即可【详解】由题意，抽查比例为，故甲学校人数为人，501510251200020+++=150100020÷=故估计甲学校参与“创城”活动的人数为40100080050⨯=故选：C3．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．两个平面可以只有一个公共点C ．三条平行直线一定共面D ．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面D【分析】对于A ，根据不共线的三点确定一个平面即可判断；对于B ，由平面的基本公理即可判断；对于C ，考虑三条平行线的位置关系即可判断；对于D ，根据三条直线两两相交可能的交点个数进行判断即可.【详解】对于A ，因为不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于B ，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故B 错误；对于C ，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C 错误；对于D ，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D 正确，故选：D4．若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是αA ．B ．C ．D ．sin(+)2παs(+2co παsin()πα+s()co πα+D【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.α【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A 不符；αsin +2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭cos α＝＜0，B 不符；s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭sin α-＝＜0，C 不符；()sin πα+sin α-＝＞0，所以，D 正确()s co πα+s co α-故选D本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．5．若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D B【分析】作辅助线，找出正四棱锥侧面与底面所成二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【详解】如图，设PO 为正四棱锥的高，O 为底面正方形中心，作于E ,连接PE,则E 为BC 中点，故 ,OE BC ⊥PE BC ⊥故即为正四棱锥侧面与底面所成的角的平面角，PEO ∠因为正四棱锥的高和底面边长都为2，故,11,2OE AB PE ====故cos OE PEO PE ∠==故选：B6．如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点MN A C A 测得点的仰角，点的仰角，，从点测得M 60MAN ∠= C 45CAB ∠= 75MAC ∠=C ．已知山高，则山高（单位：）为（ ）60MCA ∠= 500BC m =MN mA ．B ．C ．D ．750850A【分析】计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可AC ACM △AM Rt AMN △计算出.MN【详解】在中，，为直角，则，Rt ABC 45CAB ∠=ABC ∠)sin 45BCAC m == 在中，，，则，ACM △75MAC ∠=60MCA ∠=45AMC ∠=由正弦定理，可得，sin 45sin 60AC AM=)sin 60sin 45AC AM m ===在中，，，.Rt AMN △60MAN ∠= 90ANM ∠= ()sin 60750MN AM m ∴== 故选：A.本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．已知两个平面，，两条直线，，给出下面的四个命题：αβa b ① ②a b a b αα⎫⎬⎭⇒⊂∥∥a a bb αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥③ ④//a b a b αβαβ⎫⎪⎬⎪⎭⊂⊂⇒∥a b a b αβαβ⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭∥∥其中，所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③B【分析】利用线线、线面、面面的位置关系即可判断出答案.【详解】对于①：当时不成立.错误.a α⊂对于②：当时有.正确.,a b αα⊥⊥a b ∥对于③：当时,、直线可平行可异面.错误.,,a b αβαβ⊂⊂∥a b 对于④：当时，可得，则有.正确.,,a b αβαβ⊥∥∥b α⊥a b ⊥故选：B.8．如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（ ）A ．圆锥的母线长为8B ．圆锥的表面积为8πC ．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为Dπ2D【分析】由题意可求出圆锥的母线长，可判断A;由此可求得圆锥的表面积，判断B;由侧面展开图为半圆可判断C;求得圆锥的体积判断D.【详解】由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，即可知圆锥的侧面展开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的，12设圆锥母线长为l ，即有 ，故A 错误；21π2π,42l l l ⨯⨯=⨯⨯∴=圆锥的表面积为，故B 错误；2π24+π212π⨯⨯⨯=由题意可知，圆锥的侧面展开图是以母线为半径形成的圆的一半，故侧面展开图扇形圆心角为，故C 错误；π圆锥的体积为 ，故D 正确，21π23⨯=故选：D 9．已知直三棱柱的六个顶点都在球的表面上，若，，111ABC A B C -O 1AB =2BC =，，则球的体积是（ ）60ABC ∠=︒13A A =OA ．B ．CD ．256π253π136πC【分析】易得，将三棱柱补全为长方体，再根据长方体的体对AC AB ⊥111ABC A B C -角线即为其外接球的直径，求出外接球的半径，再根据球的体积公式即可得解.【详解】解：在中，，，，ABC 1AB =2BC =60ABC ∠=︒则，AC ==则，所以，222AC AB BC +=AC AB ⊥如图将三棱柱，111ABC A B C -则外接球的半径，R ==所以球的体积是O 343R π=故选：C.10．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，ABC ∆A B C a b c 85b c =2C B =则cos C =A ．B ．725725-C ．D ．725±2425A【详解】试题分析：据正弦定理结合已知可得，整理得55sin sin cos8422C C C =，故，由二倍角公式得.sin2C=正弦定理及二倍角公式.【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理， 实现边与角的互相转化.11．已知函数的一条对称轴为，，且()sin f x a x x=+6x π=-()()120f x f x +=函数在区间上具有单调性，则的最小值为（ ）()f x ()12,x x 12x x +A ．B ．C ．D ．6π3π43π23πD【分析】利用辅助角公式化简,对称轴为,求出a 和，得到解析式.由6x π=-θ，且函数在区间上具有单调性，,可得与关于对称中()()120f x f x +=()f x ()12,x x 1x 2x 心对称,即可求解的最小值.12x x +【详解】函数，其中.()()sin f x a x x x θ=+=+tan θ=因为函数的一条对称轴为，所以，()f x 6x π=-162f a π⎛⎫=-+= ⎪⎝-⎭解得：，所以.2a =-23πθ=对称中心横坐标满足可得.23x k ππ+=2,Z3x k k ππ=-∈又，且函数在区间上具有单调性，()()120f x f x +=()f x ()12,x x 所以.12223x x k ππ+=-所以当k =1时,可得最小.1223x x π+=故选：D.12．如图，正方体的棱长为1，为对角线上的一点（不与点、1111ABCD A B C D -P 1BD B 重合），过点作平面与正方体表交形成的多边形记为.1D P αM①若是三角形，则必定是锐角三角形M M ②若，则只可能为三角形或六边形1BD α⊥M③若且点为对角线的三等分点，则的周长为1BD α⊥P 1BD M④若点为对角线的三等分点，则点到各顶点的距离的不同取值有4个P 1BD P 以上所有正确结论的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1A【分析】在正方体中，体对角线与其不相交的面对角线都垂直，作出几个截面可确定其形状.建立空间直角坐标系，利用空间向量可判断位置关系与计算距离.【详解】对于①：若是三角形，当周长最大时，平面为平面或平面.M M α1ACB 11A C D 且为等边三角形.由“大角对大边，大边对大角”，根据对称性我们可固定,1ACB 1B C 则截面为，易知为最大角,记,.M 1NCB 1B NC ∠BN x =01x <≤则恒成立.222222111221112cos 022(1)1NB NC B C x x x B NC NB NC x x +-+++-∠===>⋅++所以必定是锐角三角形.正确.M 对于②：在正方体中体对角线与平面，平面，平面1111ABCD A B C D -1BD 1ACB 11A C D 都垂直.由图可知，平面在运动过程中只可能为三角形或六边形.正确.OPQRST αM 对于③：建立如图所示空间直角坐标系，则,,,D xyz -(1,0,0)A (1,1,0)B (0,1,0)C ,.1(0,0,1)D 1(1,1,1)B 所以,设点.1(1,1,1)BD =--(,,)P x y z 所以11111(,,(1,1,)3333BP BD x y z ==--=-- 解得.221(,,333P 所以.1121211112(,,),(,,),(,,)333333333PA PC PB =--=--= 所以.11110,0,0PA BD PC BD PB BD ⋅=⋅=⋅=所以当点为对角线的三等分点且时：为平面或平面P 1BD 1BD α⊥M 1ACB 11A C D此时的周长为.正确.M 11AC CB AB ++=对于④：由③知：;1PA PC PB ====；111PA PD PC ====PB ==1PD ==所以点4个.正确.P 1故选：A.二、填空题13．已知向量，，且与共线，则实数______.()1,a k =()2,4b =a b k =2【分析】根据向量共线，即可求解.【详解】解：与共线，所以，解得，a b1420k ⨯-⨯=2k =故2.14．已知复数，则=________．21iz i =-z 【详解】试题分析：，所以()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+z =复数模的概念与复数的运算.15．一半径为4m 的水车，水车圆心距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针O方向）3圈，当水车上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间，当P 0P 秒时，点离水面的高度是______m.10t =P4【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.【详解】因为=4，圆心到水面的距离为2，0OP O 所以到x 轴的距离为2，0P 所以x 轴与所成角为 ，0OP 6π由题知水车转动的角速度为 6= /6010rad s ππ因为水车的半径为4，设P 点到水面的距离为y ，根据匀速圆周运动的数学模型有：4sin()2106y t ππ=-+当t =10秒时，y =4，所以点离水面的高度是4m .P 故4.16．如图，等腰梯形沿对角线翻折，得到空间四边形，若ABCD AC 1D ABC ，则直线与所成角的大小可能为______.（写出一个112BC CD DA AB ====1AD BC 值即可）（答案在内即可）90 60,90⎡⎤⎣⎦ 【分析】由题意，补全等腰梯形为正三角形，则直线与所成角的大ABCD ABE 1AD BC 小为直线与所成角，再根据线线角的范围求解即可AE BC【详解】由题意，补全等腰梯形为正三角形，则直线与所成角的大ABCD ABE 1AD BC 小为直线与所成角，易得当等腰梯形沿对角线翻折时，的轨迹AE BC ABCD AC AE 为以为顶点，为高的圆锥侧面，设，在上取使得，A AC 90BCF ∠=CF G //EG BC 则直线与所成角即，故，因为，，故1AD BC AEG ∠cos EGAEG AE ∠=2AE =[]0,1EG ∈，故，故只需写出内的角度即可，如 1cos 0,2AEG ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦60,90AEG ⎡⎤∠∈⎣⎦ 60,90⎡⎤⎣⎦90故（答案在内即可）90 60,90⎡⎤⎣⎦ 17．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内1111ABCD A B C D -E 1CC F 11BCC B 的动点，且与平面的垂线垂直，则线段的轨迹所形成的图形的面积为AF 1D AE 1A F ______.【分析】因为与平面的垂线垂直，即平面.即可找到点的轨迹.AF 1D AE AF ⊂1D AE F 即可求出答案.【详解】如图所示：取中点为，连接、、BC M ME 1A M AM易知.即四点共面.1ME AD ∥1A M E D 、、、因为与平面的垂线垂直.AF 1D AE所以平面.AF ⊂1D AE 所以点在线段上.F EM 所以线段的轨迹所形成的图形为.1A F 1A EM △在中：.1A EM△EM =113A M A E ===所以112A EMS ==故答案为三、双空题18．在边长为3的等边三角形中，为线段上的动点，且交于ABC D BC DE AB ⊥AB 点.且交于点，则的值为______；的最小E DF AB ∥AC F 2BE DF + ()DE DF DA+⋅ 值为______.3 9920【分析】设，由可求出；将BE x =222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+ 化为关于的关系式即可求出最值.()DE DF DA +⋅x 【详解】设，，为边长为3的等边三角形，，BE x =30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC DE AB ⊥，30,2,,32BDE BD x DE DC x ∠∴====- ，为边长为的等边三角形，，//DF AB DFC ∴ 32x -DEDF ⊥，22222(2)4444(32)cos 0(32)9BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|3BE DF +∴=2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅，222999)(32)(3)59951020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+⎪⎝⎭所以当时，的最小值为.910x =()DE DF DA +⋅9920故3；.9920四、解答题19．已知向量，，其中，.123a e e =- 1242b e e =+()11,0e = ()20,1e = （1）求，；a b ⋅ a b+ （2）求与夹角的大小.a b θ（1），；（2）.10a b ⋅= a b += 4πθ=【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可求得，的值；a b ⋅ a b+ （2）利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合的取值范围可求得的值.cos θθθ【详解】（1）由已知可得，，()1233,1a e e =-=-()12424,2b e e =+=所以，，341210a b ⋅=⨯-⨯=，因此，()7,1a b +=+=a （2）由平面向量数量积的坐标运算可得cos a b a bθ⋅===⋅ ，因此，.0θπ≤≤ 4πθ=20．已知函数()2122cos sin f x x xωω=-(1)求的值；()0f (2)从①，；②，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条11ω=22ω=11ω=21ω=件，求函数在区间上的最小值，并直接写出函数的一个周期.()f x ,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)2(2)选①，最小值为，.选②，最小值为，周期为1T π=1-2π【分析】（1）直接将代入即可得解；0x =（2）选①，利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质即可得出答案.选②，根据平方关系可得，求出的范围，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =-=--+sin x 再根据二次函数的性质即可求得最值，根据三角函数的周期性即可求出函数的一个周期.【详解】(1)解：;()202cos 0sin02f =-=(2)解：选①，由，，11ω=22ω=得，()22cos sin cos 2sin 212142f x x x x x x π⎛⎫=-=-+=++ ⎪⎝⎭因为，所以，,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以，[]cos 21,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以函数在区间上的最小值为()f x ,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1.T π=选②，由，，11ω=21ω=得，()2221172cos sin 2sin sin 22sin 48f x x x x x x ⎛⎫=-=--+=-++⎪⎝⎭因为，所以，,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最小值为，sin 1x =()f x 1-因为，()()()()2222cos 2sin 22cos sin f x x x x x f x πππ+=+-+=-=所以函数的周期可以为.()f x 2π21．如图，三角形所在的平面与矩形所在的平面垂直，且，PCD ABCD 4PD PC ==，.6AB =3BC =(1)证明：平面；AD ⊥PCD (2)若平面平面，判定直线与直线的位置关系并证明；PAD PBC l =BC l (3)求点到平面的距离.D PAB (1)证明见解析；(2) ，证明见解析；//BC l【分析】(1)取CD 的中点F ，利用平面PDC 平面ABCD 即可证明；⊥(2)由 推出 平面PAD ，再推出 ；//BC AD //BC //BC l (3)运用等体积法即可求解.【详解】(1)取CD 的中点F ， ， 是等腰三角形， ，PD PC = PDC ∴△PF CD ⊥又 平面PDC 平面ABCD ， 平面PDC ， 平面ABCD ， ⊥PF ⊂PF ∴⊥ ，即 平面PDC ， 平面PDC ，PF AD ⊥,,AD PF AD CD PF ⊥⊥⊂CD ⊂ ， 平面PDC ；PF CD F = AD ∴⊥(2)平面PAD ， 平面PAD ， 平面PAD ，//,BC AD BC ⊄ AD ⊂//BC ∴ 平面PAD ， 平面PBC ，∴ ；l ⊂l ⊂//l BC (3) 平面ABCD ，∴PF 是三棱锥P -ABD 的高，设D 点到平面PAB 的距离为x ，PF ⊥由条件可知： ，，PF ==192ABD S AB BC =⨯= ，取AB 的中点G ，连接PG，5PA PB ==则 ， ，4PG ==1122ABP S AB PG =⨯= 则三棱锥P -ABD 的体积为 ，，13ABD V S PF =⨯=111233ABP V S x x ==⨯=；x =综上，D 点到平面PAB 22．已知中，点在边上，，，ABC D BC 2π3ADB ∠=4=AD 2CD BD=(1)若，求的值；π3DAC ∠=sin BAD ∠(2)求的最小值.ACAB1【分析】（1）由求得，结合已知可得为正三角形，利用2π3ADB ∠=π3ADC ∠=ADC余弦定理求得，再由正弦定理即可求得答案.AB =（2）由余弦定理可求得，设，转化22221648164AC x x AB x x +-=++22221648,(0)164AC x xt t AB x x +-==>++为有正实根的问题，分类讨论求得参数t 的范围，即可2(4)(84)16(1)0t x t x t --+--=求得答案.【详解】(1)由可得，由于，2π3ADB ∠=π3ADC ∠=π3DAC ∠=故为正三角形，而，故,ADC 2CD BD =14,22DC AD BD DC ==∴==则 ,2222cos 164828AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=++=故AB =所以,则sin sin AB BD ADB BAD =∠∠sin sin BD ADB BAD AB ∠∠===(2)设，则，BD x =2CD x =所以 ，22222cos 1648AC AD CD AD CD ADC x x =+-⋅∠=+-,22222cos 164AB AD BD AD BD ADB x x =+-⋅∠=++故，设，22221648164AC x x AB x x +-=++22221648,(0)164AC x xt t AB x x +-==>++则，即有正实根，221648(164)x x t x x +-=++2(4)(84)16(1)0t x t x t --+--=当时， 不合题意，舍去；4t =2x =-当时，若方程有两正实根，则 ，4t ≠2Δ(84)64(4)(1)0840416(1)04t t t tt t t⎧⎪=++--≥⎪+⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩解得，此时，442414t t t t ⎧-≤≤+⎪-<<⎨⎪⎩或41t -≤<故方程有两异号根时，，解得，2Δ(84)64(4)(1)016(1)04t t t t t ⎧=++-->⎪⎨-<⎪-⎩14t <<当时，方程为，两根为0和4，符合题意，1t =23120x x -=综合上述，,44t -≤<故的最小值为,则.22AC AB 4-AC AB 1=23．已知函数，称向量为的特征向量，为()sin cos f x a x b x =+(),p a b =()f x ()f x 的特征函数.p(1)设，求的特征向量；()()32sin sin 2g xx x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()g x (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值；)p =()f x ()65f x =,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin x(3)设向量的特征函数为，记，若在区间12p ⎛=- ⎝ ()f x ()()214h x f x =-()h x 上至少有40个零点，求的最小值.[],a b b a -(1)()2,1-(3)583π【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；（2）根据向量的特征函数求出函数解析式，化简可得，再根据()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合两角差的正弦公式即可得解；sin sin 66x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3）根据三角恒等变换求出函数的解析式，不妨设为其中的一个零点，再根据()h x a 三角函数的性质即可得出答案.【详解】(1)解：因为，()()32sin sin 2sin cos 2g x x x x xππ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭所以函数的特征向量；()g x ()2,1p =-(2)解：因为向量的特征函数为，)p =()f x 所以，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由，得，()65f x =3sin 65x π⎛⎫+=⎪⎝⎭因为，所以，,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0,62x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，4cos 65x π⎛⎫+=⎪⎝⎭所以341sin sin 66552x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(3)解：因为向量的特征函数为，12p ⎛=- ⎝ ()f x所以，()1sin cos 26f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭则，()()221111cos cos 2464234h x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则，()0h x =1cos 232x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭则或，22233x k πππ+=+42,Z 3k k ππ+∈则或，6x k ππ=+,Z2k k ππ+∈由在区间上至少有40个零点，()h x [],a b 不妨设，6a π=则，19196262b T T ππππ⎛⎫≥++-=+ ⎪⎝⎭则，581919333b a T ππππ-≥+=+=所以的最小值为.b a -583π本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，考查了给之球池问题，还考查了三角函数中的零点问题.。
北京高一下学期期末数学试卷含答案(共5套)
北京市丰台区高一第二学期期末考试数学试卷第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．如果a b >，那么下列不等式中一定成立的是A ．a c b c +>+B ．a b >C ．c a c b ->-D ．22a b >2．等比数列{}n a 中，21a =，42a =，则6a =A ．22B ．4C ．42D ．8 3．执行如图所示的程序框图，如果输入的2x =，则输出的y 等于A ．2B ．4C ．6D ．84．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是A ．96B ．128C ．140D ．152 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3B π=，2b ac =，则△ABC 一定是 A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．二次函数()2y ax bx c x =++∈R 的部分对应值如下表：x3- 2- 1- 0 1 2 3 4 y6- 04 6 6 4 0 6-则一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是A ．{|2,3}x x x <->或B ．{|2,3}x x x ≤-≥或C ．{|23}x x -<<D ．{|23}x x -≤≤7．在数列{}n a 中，12n n a a +=+，且11a =，则1223349101111a a a a a a a a ++++= A ．919B ．1819C ．1021D ．20218．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，如果21a =，那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞ 9．已知n 次多项式1110()n n n n n f x a x a x a x a --=++++，在求0()n f x 值的时候，不同的算法需要进行的运算次数是不同的．例如计算0kx （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要 k －1次乘法运算，按这种算法进行计算30()f x 的值 共需要9次运算（6次乘法运算，3次加法运算）．现按右图所示的框图进行运算，计算0()n f x 的值共需要 次运算． A ．2nB ．2nC ．(1)2n n + D ．+1n10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方体表面运动，如果11ABD PBD S S ∆∆=，那么这样的点P 共有 A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数个D 11B 1A D第二部分 （非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．从某企业生产的某种产品中抽取100件样本，测量这些样本的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标 值分组 [75，85)[85，95) [95，105)[105，115)[115，125]频数62638228则样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为_____． 12．函数()(2)(02)f x x x x =-<<的最大值是_____．13．如图，样本数为9的三组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是 ．14．已知两条不重合的直线,a b 和两个不重合的平面α,β，给出下列命题：①如果a α∥，b α⊂，那么a b ∥；②如果αβ∥，b α⊂，那么b β∥； ③如果a α⊥，b α⊂，那么a b ⊥；④如果αβ⊥，b α⊂，那么b β⊥． 上述结论中，正确结论．．．．的序号是 （写出所有正确结论的序号）． 15．如图，为了测量河对岸,A B 两点之间的距离．观察者找到了一个点C ，从C 可以观察到点,A B ；找到了一个点D ，从D 可以观察到点,A C ；找到了一个点E ，从E 可以观察到点,B C ．并测量得到图中一些数据，其中23CD =，4CE =，60ACB ∠=，90ACD BCE ∠=∠=，60ADC ∠=，45BEC ∠=，则AB = ．16．数列{}n a 满足11a =，112n n n a a -+⋅=，其前n 项和为n S ，则（1）5a = ； （2）2n S = ．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共9分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 6sin A C =，3c =．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）如果3cos 3A =，求b 的值及△ABC 的面积．18.（本小题共9分）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组[)80,75，第2组[)85,80，第3组[)90,85，第4组[)95,90，第5组[]100,95，得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生座谈，求每组抽取的学生人数；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组（只需写出结论）．19.（本小题共9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，点E 是棱PA 的中点，PB PD =，平面BDE ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：PC //平面BDE ； （Ⅱ）求证：PC ⊥平面ABCD ；(Ⅲ) 设AB PC λ=,试判断平面PAD ⊥平面PAB 能否成立；若成立，写出λ的一个值（只需写出结论）．20.（本小题共9分）设数列{}n a 满足12a =，12nn n a a +-=；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且21(3)2n S n n =-． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）把数列{}n a 和{}n b 的公．共项．．从小到大排成新数列{}n c ,试写出1c ，2c ，并证明{}n c 为等比数列．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区第二学期期末高一数学参考答案一、选择题（本题共10小题，共40分）二、填空题（本题共6小题，共24分）11．0.3 12．1 13．第三组14．②③ 15．16．（1）4；（2）122n +-（第16题第一空2分，第二空2分）三、解答题（本题共4小题，共36分） 17. （本小题9分）解：（Ⅰ）因为sin sin a cA C=以及sin A C =， …………2分所以a =，因为c =……………3分所以a = ……………4分（Ⅱ）因为2222cos a b c bc A =+-以及cos 3A =……………5分 所以22150b b --=，因为0b >， ……………6分 所以5b = ……………7分因为cos 3A =，0π<<A ，所以sin A =……………8分所以1sin 22ABC S bc A ∆==. ……………9分 18．（本小题9分）解：（1）因为各组的频率之和为1，(0.010.020.060.07)51a ⨯++++⨯=，解得0.04a = …………3分（2）由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3:2:1． …………4分所以，每组抽取的人数分别为： 第3组：3636⨯=；第4组：2626⨯=；第5组：1616⨯=． 所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学 生． …………7分 （3） 第3组 …………9分19．（本小题9分）证明：（Ⅰ）证明：设AC BD O =，连接OE ， 因为底面ABCD 为正方形，所以O 是AC 的中点，又点E 是棱PA 的中点， 所以EO 是的PAC ∆中位线，所以EO // PC …………………1分 因为EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以PC //平面BDE ； …………………3分（Ⅱ）证明：(法一）在PAB ∆和PAD ∆中， 因为AB AD =，PB PD =，PA PA =，所以PAB ∆≌PAD ∆，又点E 是棱PA 的中点，所以EB ED =， ………………5分 所以EO BD ⊥，因为平面BDE ⊥平面ABCD ，平面BDE 平面ABCD BD =，EO ⊂平面BDE所以EO ⊥平面ABCD ， ………………7分 所以EO ⊥AC ,EO ⊥BD , 因为EO //PC所以PC ⊥AC ,PC ⊥BD ,又AC ∩BD=O所以PC ⊥平面ABCD ． …………………8分（法二）连接PO因为底面ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，BD ⊥AC ,又PB=PD ,所以PO ⊥BD ,又PO ∩AC =O ,PO ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC 所以BD ⊥平面PAC又OE ⊂平面PAC , 所以BD ⊥OE ， …………………5分 因为平面BDE ⊥平面ABCD ，平面BDE 平面ABCD BD =， EO ⊂平面BDE所以EO ⊥平面ABCD ， …………………7分 所以EO ⊥AC ,EO ⊥BD , 因为OE ∥PC,所以PC ⊥AC ,PC ⊥BD ,又AC ∩BD=O所以所以PC ⊥平面ABCD ． …………………8分 (Ⅲ) 不能成立 …………………9分20．（本小题9分） 解：（Ⅰ）由已知，当2n ≥时，112211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+12(222)2n n --=++++2n =． …………………2分又因为12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．因为21(3)2n S n n =-，所以，211[3(1)(1)](2)2n S n n n -=---≥ 两式做差可得32n b n =-，且111b S ==也满足此式，所以32n b n =-. …………………4分（Ⅱ）由2nn a =，32n b n =-，可得1224c a b ===，24616c a b ===.…………………5分假设2kn m k c b a ===,则32=2k m -.所以112222(32)3(21)1k kk a m m ++==⋅=-=--,不是数列{}n b 中的项；2+2=2424(32)k k k a m +=⋅=-=3(42)2m --，是数列{}n b 中的第42m -项.所以+142=n m c b -=222k k a ++=，从而2+1242k n k n c c +==.所以{}n c 是首项为4,公比为4的等比数列. …………………9分（若用其他方法解题，请酌情给分）北京市东城区高一年级下学期期末考试数学试卷本试卷共100分，考试时长120分钟。
北京市通州区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷含答案
2024北京通州高一（下）期末数学（答案在最后）2024年7月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复平面内点(1,2)A -所对应复数的虚部为（）A.1 B.2- C.iD.2i-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由复数的几何意义即可得到点A 对应的复数，从而得到结果.【详解】复平面内点(1,2)A -所对应复数为12i -，其虚部为2-.故选：B2.样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是（）A.7 B.6C.4D.2【答案】C 【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：2，2，3，5，7，10．位于最中间的数是3，5，所以这组数的中位数是3542+=．故选：C ．3.已知向量(1,2)a =- ，a b ⊥ ，那么向量b可以是（）A.(2,1)B.(2,1)- C.(2,1)- D.()1,2-【答案】A 【解析】【分析】由a b ⊥ 可得0a b ⋅=，逐个验证即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，对于A ，若(2,1)b = ，则220a b ⋅=-+=r r，所以A 正确，对于B ，若(2,1)b =-，则220a b ⋅=--≠r r，所以B 错误，对于C ，若(2,1)b =- ，则220a b ⋅=+≠r r，所以C 错误，对于D ，若(1,2)b =-，则140a b ⋅=--≠r r，所以D 错误.故选：A4.在三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知π,1,6A a b ===B =（）A.π3B.π4C.π4或3π4D.π3或2π3【答案】C 【解析】【分析】由b a >得B A >，再由正弦定理计算即可.【详解】由题意，π,1,6A a b ===,因为b a >，所以B A >,由正弦定理得sin sin a bA B=,即1sin 2sin 12b A B a ===，因为()0,πB ∈,所以π4B =或3π4.故选：C.5.已知圆锥的底面半径是1，则圆锥的侧面积是（）A.πB.C.4πD.2π【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可求得答案.【详解】因为圆锥的底面半径是1，2=，所以圆锥的侧面积为ππ221⨯⨯=.故选：D6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，则11AC 与1B C 所成角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】连接1,AC AB ，根据定义，得到1ACB ∠即为11A C 与1B C 所成角，即可求解.【详解】如图所示：连接1,AC AB ，由正方体的性质可得，11//AC AC ，则1ACB ∠即为11A C 与1B C 所成角，又11AC B C AB ==，所以1π3ACB ∠=.故选：C.7.在下列关于直线l m 、与平面αβ、的命题中，真命题是（）A.若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥B.若l β⊥，且//αβ，则l α⊥C.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l β⊥，且αβ⊥，则//l α【答案】B 【解析】【分析】利用线面垂直的判定条件说明、推理判断AB ；利用面面平行的判定说明判断C ,利用线面平行的判定说明判断D.【详解】对于A ，αβ⊥，当平面,αβ的交线为l 时，满足l β⊂，此时l ⊂α，A 错误；对于B ，由l β⊥，得存在过直线l 的平面,γδ，,a b γβδβ== ，由于//αβ，则平面,γδ与平面α必相交，令,a b γαδα''== ，于是//,//a a b b ''，显然,l a l b ⊥⊥，而,,l a a γ'⊂，则l a ⊥'，同理l b ⊥'，又,a b ''是平面α内的两条相交直线，因此l α⊥，B 正确；对于C ，//αβ,l ⊂α,m β⊂,//l m 或,l m 异面，C 错误；对于D ，αβ⊥，令⋂=c αβ，当直线l 在平面α内，且l c ⊥时，满足l β⊥，此时//l α不成立，D 错误.故选：B8.一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球恰有一个红球B.2个小球至多有1个红球C.2个小球中没有绿球D.2个小球至少有1个红球【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由互斥事件的定义依次分析选项，即可得到结果.【详解】2个小球恰有一个红球包括2个小球1个红球1个黄球和2个小球1个红球1个绿球，与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意，故A 正确；2个小球至多有1个红球包括2个小球都不是红球和2个小球恰有1个红球，则2个小球至多有1个红球与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故B 错误；2个小球中没有绿球包括2个小球都为红色，2个小球都为黄色和2个小球1个红球1个黄球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球中没有绿球的子事件，故C 错误；2个小球至少有1个红球包括2个小球都是红球和2个小球1个红球1个不是红球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球至少有1个红球的子事件，故D 错误；故选：A9.一个长为，宽为2的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为A ，B ，C ，D ，依次沿AB ，BC ，CD ，DA ，DB 折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如下图，则这个四面体的体积为（）A.12B.23C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得⊥AE 平面BCD ，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，BC CD AD AB ====2==AC BD ，取BD 中点E ，连接,AE CE ，又AB AD =，所以AE BD ⊥，且AE ===CE ===则222AE CE AC +=，所以AE CE ⊥，且CE BD E = ，,CE BD ⊂平面BCD ，所以⊥AE 平面BCD ，则111223323A BCD BCD V S AE -=⋅=⨯⨯ .故选：B10.达⋅芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体（具有接触面）移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为（）A.14B.13C.512D.712【答案】D 【解析】【分析】，根据题意，由全概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，一个小球从图中阴影小正方体出发，可以向上，向下或水平移动，设小球向上移动为事件A ，小球水平移动为事件B ，小球向下移动为事件C ，小球回到阴影为事件D ，则()()()()()()11111,,,1,,42423P A P B P C P D A P D B P D C ======，则()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C=++1111174224312=+⨯+⨯=.故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设复数z 满足()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则z 的模为________．【答案】2【解析】【分析】由复数的除法、乘法运算以及模的计算公式即可得解.【详解】()()()()222i 1i 1i,1121i 1i z z +==-+=-+-+2.12.从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是________．【答案】425【解析】【分析】根据条件，求出样本空间及事件B 包含的样本点，再利用古典概率公式，即可求出结果..【详解】用(,)x y 中的x 表示第一次取到的卡片数字，y 表示第一次取到的卡片数字，由题知，样本空间为{Ω(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),=}(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)，共25个，记事件B ：两次抽取的卡片数字和为5，事件B 包含的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4个，所以两次抽取的卡片数字和为5的概率是425，故答案为：425.13.已知,,a b c 分别是ABC 的角,,A B C 的对边，若5b =，4c =，10⋅=-AB AC ，则A =______，ABC 的面积为______．【答案】①.2π3②.【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得A ，再利用三角形面积公式求出面积.【详解】依题意，10101cos 202||||AB AC A bcAB AC ⋅-===-=-，在ABC 中，0πA <<，所以2π3A =；ABC 的面积11sin 20222S bc A ==⨯⨯=.故答案为：2π3；14.在正方形ABCD 中，E 是DC 边上一点，且2DE EC =，点F 为AE 的延长线上一点，写出可以使得AF AB AD λμ=+成立的λ，μ的一组数据(),λμ为________．【答案】()2,3（答案不唯一）【解析】【分析】根据向量的线性运算表示出AE，再结合向量的共线即可求得答案.【详解】由题意知DC AC AD =-，而2DE EC =，故2()3DE AC AD =- ,则()212122()333333AE AD DE AD AC AD AD AC AD AB AD AB AD =+=+-=+=++=+，又点F 为AE 的延长线上一点，故,(1)A t AE t F =>,可取3t =，则(23)233AB F A AB A D AD +=+=，故使得AF AB AD λμ=+成立的,λμ的一组数据(),λμ为(2,3)，故答案为：()2,3.15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为BC 的中点，F 为线段1CC 上的动点，过点A ，E ，F 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是________．①直线1D D 与直线AF相交；②当102CF <<时，S 为四边形；③当F 为1CC 的中点时，平面AEF 截正方体所得的截面面积为98；④当34CF =时，截面S 与11A D ，11C D 分别交于,M N ，则MN ．【答案】②③④【解析】【分析】①，由1//D D 平面11ACC A ，可知直线1D D 与直线AF不可能相交，即可判断；②，由102CF <<可得截面S 与正方体的另一个交点落在线段1DD 上，即可判断；③，由E 为BC 的中点，F 为1CC 的中点，可得截面为等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面积，即可判断；④，当34CF =时，延长1DD 至R ，使112D R =，连接AR 交11A D 于M ，连接RF 交11C D 于N 连接MN ，取AD 的中点S ，1DD 上一点Q ，使34DQ =，连接SE SQ QF 、、，可求得11,D N D M ，再利用勾股定理求出MN ，即可判断.【详解】①，因为F 为线段1CC 上的动点，所以AF ⊂平面11ACC A ，由正方体可知1//D D 平面11ACC A ，所以直线1D D 与直线AF 不可能相交，故①错误；②，当102CF <<时，截面S 与正方体的另一个交点落在线段1DD 上，如图所示：所以截面为四边形；又1A G ⊂面1A MG ，故1A G //面AEF ，故②正确；③，连接111,,,AD D F AE BC ，如下所示：因为E 为BC 的中点，F 为1CC 的中点，则11////EF BC AD ，故面1AEFD 即为平面AEF 截正方体所得截面；在11Rt D C F 和Rt ABE △中，又12D F AE ===，故该截面为等腰梯形，又1122EF BC ===，1A D ==，故截面面积()111922248S EF AD ⎛=+⨯⨯+⨯ ⎝，故③正确；④，当34CF =时，延长1DD 至R ，使112D R =，连接AR 交11A D 于M ，连接RF 交11C D 于N 连接MN ，取AD 的中点S ，1DD 上一点Q ，使34DQ =，连接SE SQ QF 、、，如图所示：因为//SE DC 且SE DC =，//QF DC 且QF DC =，所以//SE QF 且SE QF =，所以四边形SEFQ 是平行四边形，则//SQ EF ，由112D R =，34DQ =，所以111134QR QD D R DD DQ D R =+=-+=，则Q 为DR 中点，则//SQ AR ，所以//EF AR ，又1111,RD N FC N RD M AA M ，可得11111111111222,31214D N D R D M D R C N C F A M A A ======-，所以1111112211,3333D N D C D M D A ====，则在1Rt MD N中3MN ===，故④正确；故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知向量(1,0)a =-，(2,1)b =- ．（1）求|2|+a b ；（2）若AB a b =+ ，2BC a b =- ，CD a =-，求证：A ，C ，D 三点共线．【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；（2）结合向量共线的性质，即可求解．【小问1详解】解：(1,0)a =-，(2,1)b =-，则()()()21,04,23,2a b +=-+-=-，故|2|a b +==【小问2详解】证明：AB a b =+，2BC a b =-，则23AC AB BC a b a b a =+=++-= ；13CD a AC =-=-，所以CD AC ∥ ，所以A ，C ，D 三点共线．17.在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求：（1）两人都通过体质健康测试的概率；（2）恰有一人通过体质健康测试的概率；（3）至少有一人通过体质健康测试的概率．【答案】（1）0.48（2）0.44（3）0.92【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件的概率乘法公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】根据题意，记甲通过体能测试为事件A ，乙通过体能测试为事件B ，且事件A 与事件B 相互独立，则两人都通过体能测试的概率()()()10.60.80.48P P AB P A P B ===⨯=.由事件A 与事件B 相互独立，则恰有一人通过体能测试的概率为()()()()()20.40.80.60.20.44P P AB AB P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=.【小问3详解】由事件A 与事件B 相互独立，则至少有一人通过体能测试的概率为()()()30.480.440.92P P AB AB AB P AB P AB AB =++=++=+=.18.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11,BB DD 的中点．求证：（1）BD ∥平面1C EF ；（2）EF ⊥平面11ACC A ；（3）求三棱锥11B C EF -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】【分析】（1）先证明四边形BDFE 为平行四边形，得出BD EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据线面垂直的判定与性质定理即可得证；（3）利用F 到平面11BCC B 距离为三棱锥的高2h CD ==，结合等体积法求解即可．【小问1详解】证明：E ，F 分别为1BB ，1DD 的中点，11BB DD =，11BB DD ∥，BE DF ∴∥且BE DF =，∴四边形BDFE 为平行四边形，BD EF ∴∥，又EF ⊂平面1C EF ，BD 不在平面1C EF ，BD ∴∥平面1C EF ；证明： 四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，BD EF ∥ ，AC EF ∴⊥，1AA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ∴⊥，BD EF ∥ ，1AA EF ⊥，又1AC AA A = ，AC ，1AA ⊂平面11ACC A ，EF ∴⊥平面11ACC A ；【小问3详解】F 到平面11BCC B 距离为三棱锥的高2h CD ==，1111121122BC E S B C B E =⋅=⨯⨯= ，故三棱锥11B C EF -的体积11111111212333B C EF F B C E B C E V V S h --==⋅=⨯⨯= ．19.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070（1）已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；（2）现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；（3）假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）【答案】（1）80人（2）45（3）6【解析】【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【小问1详解】解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．【小问2详解】解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．【小问3详解】解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S ，且2224a b c S +-=．（1）求角C ；（2）若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．【答案】（1）π4C =（2）等腰直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【小问1详解】在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.【小问2详解】由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴==ABC 是等腰直角三角形.21.如图，七面体ABCDEF 中，菱形ABCD 所在平面与矩形ACEF 交于AC ，平面CDF 与平面ABF 交于直线l ．（1）求证：//AB l ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当BDAF为何值时，平面DEF ⊥平面BEF 并证明你的结论．条件①：ABCD ACEF ⊥平面平面；条件②：CE AB ⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由于//AB 平面CDF ，由线面平行的性质定理可证//AB l ；（2）若选①，设AC BD O = ，取EF 的中点M ，连结,,OM BM DM 如图所示，由平面ABCD ⊥平面ACEF ，可得AF ⊥平面ABCD ，从而AF AD ⊥，进一步由CDE ADF ≅△△，得DM EF ⊥，假设平面DEF ⊥平面BEF ，可得DM EF ⊥，DM BM ⊥，从而2BDAF=；若选②，可得CE ⊥平面ABCD ，可得,CE AF ⊥平面ABCD ，从而AF AD ⊥，进一步由CDE ADF ≅△△，得DM EF ⊥，假设平面DEF ⊥平面BEF ，可得DM EF ⊥，DM BM ⊥，从而2BDAF=.【小问1详解】菱形ABCD 中，//AB CD ，又CD ⊂平面CDF ，AB ⊄平面CDF ，//AB ∴平面CDF ，又AB ⊂平面ABF ，平面ABF 平面CDF l =.AB//l ∴；【小问2详解】若选①当2BDAF=时，平面DEF ⊥平面BEF ，设AC BD O = ，取EF 的中点M ，连结,,OM BM DM 如图所示，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEFAC =，矩形ACEF 中AF AC ⊥，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂ 平面ABCD ，AF AD ∴⊥，同理可得：CE CD ⊥，90DCE DAF ∴∠=∠= ，因为菱形ABCD 中CD AD =，矩形ACEF 中CE AF =，CDE ADF ∴≅ ，DE DF ∴=，M 是EF 的中点，DM EF \^，假设平面DEF ⊥平面BEF 成立，平面DEF ⋂平面BEF EF =，且DM EF ⊥，DM ∴⊥平面BEF ，BM ⊂ 平面BEF ，DM BM ∴⊥，矩形ACEF 中M 是EF 的中点，菱形ABCD 中O 是AC 的中点，//,OM AF OM AF ∴=，OM ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，OM BD ∴⊥，又DMBM ⊥ ，O 是BD 的中点，可知△BDM 为等腰直角三角形，,22OM OB OD BD OB OD OM AF ∴==∴=+==，2BD AF ∴=，故当2BDAF =时，平面DEF ⊥平面BEF ；若选②当2BDAF=时，CE AB ⊥ ，矩形ABEF 中，⊥ CE AC AC AB A ⋂=，,AC AB ⊂平面ABCD ，CE ∴⊥平面ABCD ，矩形ACEF 中//CE AF ，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂ 平面ABCD ，AF AD ∴⊥，同理可得：CE CD ⊥，90DCE DAF ∴∠=∠= ，因为菱形ABCD 中CD AD =，矩形ACEF 中CE AF =，CDE ADF ∴≅ ，DE DF ∴=，M 是EF 的中点，DM EF \^，假设平面DEF ⊥平面BEF 成立，平面DEF ⋂平面BEF EF =，且DM EF ⊥，DM ∴⊥平面BEF ，BM ⊂ 平面BEF ，DM BM ∴⊥，矩形ACEF 中M 是EF 的中点，菱形ABCD 中O 是AC 的中点，//,OM AF OM AF ∴=，OM ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，OM BD ∴⊥，又DMBM ⊥ ，O 是BD 的中点，可知△BDM 为等腰直角三角形，,22OM OB OD BD OB OD OM AF ∴==∴=+==，2BD AF ∴=，故当2BDAF=时，平面DEF ⊥平面BEF .【点睛】关键点点睛：第（2）问求当BDAF为何值时，平面DEF ⊥平面BEF ，在解析时先假设平面DEF ⊥平面BEF 成立，从而利用面面垂直的性质定理进一步推理.。
2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期末检测数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期末检测数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知一组数据3，4，4，6，6，7，8，8，则这组数据的分位数是()A.6B.7C.D.83.正方体中，直线和直线所成的角为()A. B. C. D.4.一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是()A.至多有一次中靶B.至少有一次中靶C.两次都中靶D.只有一次中靶5.某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表．则此样本的平均数为()样本量平均数第1层2030第2层3020A.20B.24C.25D.306.已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得，，在点C处测得塔顶A的仰角为，则塔高()A. B. C. D.8.甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是()A. B. C. D.9.已知平面向量，则下列说法错误的是()A.B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为或D.若向量与非零向量共线，则10.有下列说法：①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是；②数据的方差为0，则所有的都相同；③某运动员连续进行两次飞碟射击练习，事件“两次射击都命中”的概率为；④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件A与B互斥但不对立．则上述说法中，所有正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2024届北京市海淀区市级名校数学高一第二学期期末统考试题含解析
2024届北京市海淀区市级名校数学高一第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113a =，312S S =，则8a 的值为（ ） A ．137-B ．0C ．137D ．1822．设等差数列{a n }的前n 项的和S n ，若a 2+a 8＝6，则S 9＝（ ） A ．3B ．6C ．27D ．543．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2x π=-B ．4πx =-C ．8x π=D ．54=x π 4．若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，则l 的方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y +-= C ．2210x y -+=D ．220x y +-=5．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．63B ．62C ．61D ．607．下列关于函数()sin 1f x x =+（[0,2]x π）的叙述，正确的是（ ）A ．在[0,]π上单调递增，在[,2]ππ上单调递减B ．值域为[2,2]-C ．图像关于点(,0)()k k Z π∈中心对称D ．不等式3()2f x >的解集为15|66x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 8．设,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则43z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．9C ．12D ．159．如图是函数sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><的部分图象２，则该解析式为（ ）A ．2sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 10．已知数列满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年北京市高一下学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年北京市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，且，则集合可以是{}1,2,3,4,5A =A B A = B A ．B ．C ．D ．{}|21xx >{}2|1x x >{}2|log 1x x >{}1,2,3A【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.A B A = A B ⊆【详解】由可知，，A B A = A B ⊆对于A ：＝，符合题意.{|212}x x >={|0}x x A ⊇＞对于B ：＝，没有元素1，所以不包含A ；2{|1}x x >{|11}x x x <->或对于C ：＝，不合题意；22{|log 1log 2}x x >={|2}x x >D 显然不合题意，本题选择A 选项.本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知（为虚数单位），则（ ）,,3i (i)i a b a b ∈+=+R i A ．B ．C ．D ．1,3a b ==-1,3a b =-=1,3a b =-=-1,3a b ==B【分析】利用复数相等的条件可求.,a b 【详解】，而为实数，故，3i 1i a b +=-+,a b 1,3a b =-=故选：B.3．已知是第一象限角，且角的终边关于y 轴对称，则( )3cos ,5αα=,αβtan β=A ．B ．C ．D ．3434-4343-D【分析】根据cos α求出tan α，根据角的终边关于y 轴对称可知．,αβtan β=tan α-【详解】∵是第一象限角，∴，，3cos ,5αα=4sin 5α==sin 4tan cos 3ααα==∵角的终边关于y 轴对称，∴．,αβ4tan tan 3βα=-=-故选：D ．4．在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）ABC 2BD DA =CA m CD n == ，CB =A ．B ．C ．D ．32m n-23m n-+32m n + 23m n+ B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，，所以，即2BD DA =2BD DA =，()2CD CB CA CD-=- 所以．CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ 故选：B ．5．已知，，，则（ ）0.53a =3log 2b =2tan3c π=A ．B ．a b c >>b a c >>C ．D ．c a b >>a c b>>A【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 与0或1比较，分析即可得答案.【详解】由题意得，，所以，0.50331a =>=3330log 1log 2log 31=<<=01b <<又2tan3c π==所以.a b c >>故选：A 6．已知向量，若的夹角与的夹角相等，则()()3,4,1,0,a b c a tb===+,a c ,b c （ ）t =A ．B ．C ．5D ．66-5-C【分析】由题可得，即，即可出.cos ,cos ,a c b c <>=<>a cbc a c b c⋅⋅=⋅⋅【详解】因为，所以，()()3,4,1,0a b ==()3,4c a tb t =+=+因为的夹角与的夹角相等，所以，,a c ,b ccos ,cos ,a c b c <>=<> 则，所以，解得.a c b c a c b c⋅⋅=⋅⋅ ()3344351t t ++⨯+=5t =故选：C.7．设，则“”是“”的（ ）x ∈R sin 1x =cos 0x =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：22sin cos 1x x +=当时，，充分性成立；sin 1x =cos 0x =当时，，必要性不成立；cos 0x =sin 1x =±所以当，是的充分不必要条件.x ∈R sin 1x =cos 0x =故选：A.8．设等差数列的前n 项和为．若，则下列结论中正确的是（ ）{}n a n S 230S S <<A ．B ．30a <210a a -<C ．D ．230a a +<4a >D【分析】根据，可得，，从而可判断AB ，举出反例即可判断230S S <<30a >20a <C ，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断D.【详解】解：因为，230S S <<所以，故A 错误；3230S S a -=>，所以，3230S a =<20a <则公差，故B 错误；32210d a a a a =-=->所以等差数列为递增数列，{}n a 则，，450,0a a >>35a a ≠则35a a +>所以4352a a a =+>所以D 正确；4a >对于C ，当时，13,2a d =-=，。
2023-2024学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知向量，，若向量，则()A.2B.C.8D.3.在中，，，，则()A. B. C. D.4.平面向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为l，则()A.B.0C.1D.25.已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中不正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则6.在平面直角坐标系xOy中，已知，，，则的取那值范围是()A. B. C. D.7.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，，则点Q所形成区域的面积为()A.B.C.D.8.已知函数和，的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为()A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒9.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域.理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号.如就是一种近似情况，则()A.函数是最小正周期为的奇函数B.函数的对称轴为C.函数在区间上单调递增D.函数的最大值不大于2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数，则______.12.已知函数若非零实数a，b，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是______，______只需写出一组13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______，表面积为______.14.在中，，，，则______，______.15.如图，在棱长为2的正方体中，点M为AD的中点，点N是侧面上包括边界的动点，点P是线段上的动点，给出下列四个结论：①任意点P，都有；②存在点P，使得平面MPC；③存在无数组点N和点P，使得；④点P到直线的距离最小值是，其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。
2022-2023学年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 1．计算（2i ）2＝（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．42．已知A （3，2），B （﹣5，﹣1），若 AC →=CB →，则点C 的坐标为（ ） A ．(−1，12)B ．(−1，32)C ．(1，12)D ．(1，32)3．在如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1C 1与BD 所成角的大小为（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°4．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（ ） A ．“都是白球”与“至少有一个白球” B ．“恰有一个白球”与“都是红球” C ．“都是白球”与“都是红球”D ．“至少有一个白球”与“都是红球”5．已知两条不同的直线a ，b 和平面α，若a ⊥α，则“b ⊥α”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.67．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0、|φ|＜π）的部分图象如图所示，则 f(π6)=（ ）A ．√32B ．−√22C ．0D ．√228．已知数据 x 1，x 2，x 3 …，x n 的平均数为x ，方差为s 2，在这组数据中加入一个数x 后得到一组新数据，其平均数为x ′，方差为s ′2，则（ ） A ．x ′＞xB ．s '2＞s 2C ．x ′＜xD ．s ′2＜s 29．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术•商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．2310．设M 为平面四边形ABCD 所在平面内的一点，MA →=a →，MB →=b →，MC →=c →，MD →=d →．若a →+c →=b →+d →且a →•c →=b →•d →，则平面四边形ABCD 一定是（ ） A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，复数z ＝1+i 对应的点为Z ，则|OZ →|＝ ．12．某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了 人．13．在△ABC 中，a ＝8，b ＝7，c ＝3，则∠B ＝ ；tan （A +C ）＝ ．14．把函数 f(x)=sin(2x +π3) 图象上的所有点向右平行移动π6个单位长度得到函数g （x ）的图象，则g（x ）的一个对称中心坐标为 ．15．如图，在△ABC 中，设AB ＝4，BC ＝a ，∠B 的平分线和AC 交于D 点，点E 在线段BC 上，且满足BE ：EC ＝3：2，设 AE →=k 1AB →+k 2AC →( k 1，k 2∈R ），则k 1+k 2＝ ；当a ＝ 时，DE ∥AB ．16．如图1，四棱锥P﹣ABCD是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面ABCD为平行四边形，现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过CDEF，其中E，F分别为棱P A，PB的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：①没有水的部分始终呈棱锥形②有水的部分始终呈棱柱形③棱AB始终与水面所在平面平行④水的体积与四棱锥P﹣ABCD体积之比为5：8其中所有正确结论的序号为．三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或让明过枉。
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北京101中学高一年级下学期期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合M={x|x2-4x+3<0}，N={x|3-x>1}，则M N=（）A. {x| 1<x<3}B. {x| 1<x<2}C.D. {x| x<3}2. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A. 90B. 100C. 180D. 3003. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A. 9B. 18C. 20D. 354. 重庆市2016年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是（ ）A. 19B. 20C. 21.5D. 235. 在区间[0，2]上随机取一个实数x ，若事件“3x-m<0”发生的概率为61，则实数m 的值为（） A. lB.21C.31D.61 6. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥--,3,03,01y y x y x 则2x+y 的最小值为（ ）A. 11B. 5C. 4D. 27. 已知实数x ，y 满足a x<a y（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（ ） A.111122+>+y x B. ln （x 2+1）>ln （y 2+1） C. sinx>sinyD. x 3>y 38. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=21，有下列结论：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD ；③平面ACC 1A 1⊥平面BEF ；④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等。
正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题共6小题。
9. 已知函数f （x ）=x+x8-3（x>0），则f （x ）的最小值是__________。
10. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 9l 90 89 93 乙 8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_______。
11. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是_______。
（填序号）①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④对立不互斥事件。
12. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_______。
13. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题，其中正确命题的序号是_______。
①α∥β⇒l ⊥m；②α⊥β⇒ l ∥m；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β。
14. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影。
由区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤-043,0,02y x y x x 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB|=_________。
三、解答题共5小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. 某儿童乐园在“六一儿童节推出了一项趣味活动。
参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数。
设两次记录的数分别为x ，y 。
奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个;②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶。
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀。
小亮准备参加此项活动。
（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由。
16. 如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点。
求证：（1）VB∥平面MOC；（2）OC⊥平面VAB。
17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组。
制成了如图所示的频率分布直方图。
（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85％的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由。
18. 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E 分别是AA 1，AC ，AB 的中点，求证：（1）平面MEN ∥平面A 1BC ； （2）A 1C ⊥C 1D ；（3）平面A 1EC ⊥平面A 1CD 。
19. 已知a ∈R ，函数f （x ）=log 2（x1+a ）。
（1）当a=5时，解不等式f （x ）>0；（2）若关于x 的方程f （x ）-log 2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围； （3）设a>0，若对任意t ∈[21，1]，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围。
参考答案1. B 2 C 3. B 4. B 5. A 6. B 7. D 8. C 9. 42-3 10. 2 11. ③ 12.3113. ①③ 14. 32 15. （1）用数对（x ，y ）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S={（x ，y ）| x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，l ≤y ≤4}一一对应。
因为S 中元素的个数是4×4=16，所以基本事件总数为n=16。
记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共有5个， 即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）， 所以P （A ）=165，即小亮获得玩具的概率为165。
（2）记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy<8”为事件C 。
事件B 包含的基本事件共有6个，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），所以P （B ）=166=83。
事件C 包含的基本事件共有5个，即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），所以P （C ）=165。
因为83>165， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。
16. （1）因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB 。
又因为OM ⊂平面MOC ，VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC 。
（2）因为AC=BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB 。
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面VAB=AB ，所以OC ⊥平面VAB 。
17. （1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5）中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02。
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=l ， 解得a=0.30。
（2）由（1）100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12。
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000。
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3，由0.3×（x-2.5）=0.85-0.73，解得x=2.9，所以估计月用水量标准为2.9吨时，85％的居民每月的用水量不超过标准。
18. （1）因为M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，所以MN∥A1C，ME∥A1B。
又因为MN ME=M，所以平面MEN∥平面A1BC。
（2）因为BC⊥平面CDD1C1，C1D⊂平面CDD1C l，所以BC⊥C1D。
又在平面CDD l C l中，C1D⊥CD1，BC CD1=C，所以C1D⊥平面BCD1A l，又因为A1C⊂平面BCD l A l，所以A1C⊥C1D。
（3）连结A1D，取A1D中点F，取A1C中点O，连结AF，OF，OE，则AF⊥A1D。
因为C1D⊥平面A A DD l，AF⊂平面A A DD l，所以AF ⊥CD ， 又C 1D A 1D=D ， 所以AF ⊥平面A 1CD ， 因为OF21CD ，EA 21CD ， 所以OF EA ，所以四边形OFAE 为平行四边形， 所以EO ∥AF ， 所以EO ⊥平面A 1CD ， 又EO ⊂平面A 1EC ， 所以平面A 1EC ⊥平面A 1CD 。
19. （1）log 2（x 1+5）>0⇔x 1+5>1⇔xx 14+>0⇔x （4x+1）>0， 所以不等式的解为{x| x>0或x<-41}。
（2）依题意，log 2（x1+a ）=log 2[（a-4）x+2a-5]，所以x1+a=（a-4）x+2a-5，①可得（a-4）x 2+（a-5）x-1=0， 即（x+1）[（a-4）x-1]=0， ②当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①式，成立。
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①式，成立。
当a ≠3且a ≠4时，方程②的解为x=-l 或x=41-a 。
若x=-1为方程①的解，则x1+a=a-1>0，即a>1。
若x=41-a 为方程①的解，则x1+a=2a-4>0，即a>2。
要使得方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2。