八年级数学下培优卷因式分解
8年级(下)培优课程【4】因式分解
【4】因式分解考点一：应用因式分解恒等变形求值例1.若多项式x2﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），则a的值为．例2.已知二次三项式x2+ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为．变式1：若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝，b＝．变式2：若x2+2（m﹣3）x+16＝（x+n）2，则m＝．考点二：待定系数法、赋值法在因式分解中的运用例1.若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为．变式1：已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n＝17，试求m、n 的值．变式2：因为（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2，这说明x2+x﹣2能被x﹣1整除，同时也说明多项式x2+x﹣2有一个因式为x﹣1，另外当x＝1时，多项式x2+x﹣2的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）已知x﹣2能整除x2+kx﹣16，求k的值；（2）已知（x+2）（x﹣1）能整除2x4﹣4x3+ax2+7x+b，试求a、b的值．考点三：根据完全平方公式求值(配方法)例1.已知x2﹣2（m﹣3）x+25是完全平方式，则m＝；若关于x、y的多项式9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则常数k的值为．变式：若多项式x2+（m﹣1）x+25是一个完全平方式，那么m＝．考点四：根据完全平方公式求值(知二求二)例1.已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．变式：（1）已知a﹣b＝6，a2+b2＝10，求ab，（a+b）2的值；（2）x+＝3，求x2+．（3）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2与ab的值；（4）若a+b＝﹣3，ab＝2，求a2+b2与（a﹣b）2的值．考点五：运用配方法求最值例1.阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）求代数式x2+4x+2020最小值．（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．（3）设a＞0，求a2+的最小值，并求出此时a的值．（4）仿照上述方法求代数式﹣x2﹣14x+10的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．考点五：几何图形面积中运用因式分解例1.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解．变式：我们知道，对于一个图形通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请解答下列问题：（1）写出图2所表示的数学等式：；（2）已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝40，利用（1）中所得结论．求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片、若干个长为b宽为a 的长方形纸片，选用这些纸片拼出一个图形，使得它的面积是2a2+7ab+3b2．画出该图形，并利用该图形把多项式2a2+7ab+3b2分解因式．DM AP课堂练习1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．m2﹣2m﹣1 D．2．x2﹣5x+k中，有一个因式为（x﹣2），则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣63．不等式组：的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A．m≥4 B．m≤4 C．m＜4 D．m=44．如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．605．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＜1 D．a﹣b＜06．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图9所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定7．如图10，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA,点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B． C． D．8．若x2+mx﹣n能分解成（x﹣1）（x+4），则m= ，n= ．9．若x同时满足不等式2x+3＞0与x﹣2＜0，则x的取值范围是．10．已知：x2﹣y2=8，x ﹣y=4，则x+y= ．11．已知21012a b-=，20232024ab=，则2224a b ab-的值为．12. 已知12-=m , 则2023202220212m m m +-的值是 ．13．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为52°，则底角B 的大小为 ．14．如图，已知一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）的图象与x 轴相交于点A （3，0）．若正比例函数y mx =（m为常数，且0m ≠）的图象与一次函数的图象相交于点P ，且点P 的横坐标为1，则关于x 的不等式()0k m x b -+>的解集为 ，关于x 的不等式组0,0mx kx b <⎧⎨-<⎩的解集为 ．15．若关于x 的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m 的取值范围是 ．16．已知关于x 的不等式组只有4个整数解，则a 的取值范围是 ．17．解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．253(2)(1)123x x x x 523(1)(2)131522x x x x18. 分解因式.（1）4x 2（y ﹣2）+9（2﹣y ） （2）4﹣m 2+2mn ﹣n 2(3) 321025x x x -+； （4）()()224292m n m n ---．19．我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．物资种类 A B C每辆汽车运载量（吨）12 10 8每吨所需运费（元/吨）240 320 20020．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，已知AC=10，OA=8．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．21．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P 与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°（2）如图2、3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．22．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC ＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB ＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．。
初二因式分解练习题和答案
初二因式分解练习题和答案一、基础题型1. 将下列多项式进行因式分解：(1) $x^2 + 4x + 4$解析：观察多项式可知，常数项为4，且平方项系数为1，因此可以直接得出该多项式的因式分解形式为$(x+2)(x+2)$或$(x+2)^2$。
(2) $9a^2 - 16$解析：根据平方差公式可知，$9a^2 - 16$可以分解为$(3a+4)(3a-4)$。
2. 分解下列多项式：(1) $3x^2 + 12x + 9$解析：观察多项式可知，常数项为9，且平方项系数为3。
因此，这个多项式可以进行因式分解为$(x+3)(3x+3)$或$(x+3)^2$。
(2) $4x^2 - 5xy + y^2$解析：该多项式是一个二次三项式，根据二次三项式的平方公式，可以得到它的因式分解形式为$(2x-y)^2$。
二、综合题型1. 分解下列多项式：(1) $3x^2 - 8$解析：观察多项式可知，平方项系数为3，常数项为-8。
根据常数项为负数的特点，我们可以尝试将-8分解成两个因数的乘积。
考虑到平方项系数为3，我们可以写成$(3x)^2 - 2^2$。
利用二次差公式，得到$(3x+2)(3x-2)$。
(2) $6x^2 + 17x + 10$解析：我们可以使用因式分解法或求根法进行分解，为了简便起见，我们选择因式分解法。
将多项式划分为三个项，得到$(2x+5)(3x+2)$。
2. 分解下列多项式：(1) $4x^2 - 12xy + 9y^2$解析：观察多项式可知，平方项系数为4，常数项为$9y^2$。
考虑到常数项为平方形式，我们可以尝试进行“凑平方”的操作。
$(2x-3y)^2$即为所求解。
(2) $x^3 - 3x^2 + 2x$解析：观察多项式可知，这是一个三次多项式。
我们可以尝试提取公因式，并进行因式分解。
将每一项提取公因式，得到$x(x^2 - 3x + 2)$。
进一步分解，我们得到$x(x-1)(x-2)$。
八年级下期数学培优专题(1)因式分解
abx m1 acx m ax m 3
（2） a ( a b) 2a (b a ) 2ab(b a )
3
2
2
2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算 123 987 268 987 456 987 521 987
1368 1368 1368 1368
2
(3a1 )2
（2） x 5 ( x 2 y) x 2 (2 y x)
（ 3） a ( x y ) 2 a ( x y ) ( x y )
2
2
3
4
2. 已知： x
1 1 3 ，求 x 4 4 的值。 x x
3. 若 a，b，c 是三角形的三条边，求证： a b c 2bc 0
6、若 x 2 4 x 4 的值为 0，则 3 x 2 12 x 5 的值是____________。 2 7、若 x ax 15 ( x 1)( x 15) 则 a =____________。 8、若 x y 4, x y 6 则 xy _______________。 9、方程 x 4 x 0 ，的解是____________________。 10、多项式 a ( a x )( x b) ab ( a x )(b x ) 的公因式是（ A、－a、 B、 a(a x)( x b) C、 a (a x ) D、 a ( x a )
2
2
4/4
2
2 2
2
2
16 计算：
3 （1） 0.75 3.66 2.66 4
1 （2） 0
（3） 2 56 2 8 56 22 2 44 2
北师大版2018-2019学年下学期八年级数学《因式分解》培优检测试题
2018-2019学年下学期八年级数学《因式分解》培优检测试题姓名：班级：______________________ 考号：一、单选题(共10题；共30分)1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A. a2+ (-b) 2 ।B. 5m2-20mn 9.-x2-y2 । D. -x2+92.下列多项式能因式分解的是( )A. x2-yB. x2+1C. x2+xy+y2D. x2-4x+43.因式分解2x2-8的结果是( )A. (2x+4) (x-4) FB. (x+2) ( x-2)C. 2 (x+2) ( x-2) 卜D. 2 (x+4) (x-4)4.下列因式分解中正确的是( )-J 1 1 1A.串—8工+16=B.-仃2+口-彳三=三(2仃-1)，C. x ( a- b) - y (b - a) = (a- b) ( x - y)D. b" = ।fr > )5.把代数式ab:- 6ab十9n分解因式，下列结果中正确的是A. B. C'-Q T■-「I； .，) C.，屋8 T厂 D.6.下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为( )① x2-10x+25；② 4a2+4a - 1 ；③ x2-2x-1；④-m2+m-；；⑤ 4x4-x2+1 .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.若X-+tm-15=，，则mn 的值为()A. 5B. -5C. 10D. -108.若a , b , c是三角形的三边之长，则代数式a; -2ac+c二-b2的值()A.小于0B.大于0C.等于0 "D.以上三种情况均有可能9.下列多项式中能用提公因式法分解的是( )A. x2+y2B. x 2-y2C. x2+2x+1D. x 2+2x10.已知：a=2014x+2015, b=2014x+2016 , c=2014x+2017 ,则a2+b2+c2-ab- ac- bc 的值是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题(共8题；共24分)11.因式分解：一疝一/4忸一〃)=12.已知x- 2y= - 5, xy= — 2,贝U 2x2y - 4xy2= .13.分解因式：a3 - 4a2+4a=.14.若屋_a + l = U,那么屋叫1 一屋飒十型颊二.15.如果x+y=5 , xy=2 ,贝U x2y+xy 2=.16.已知= 而=2,求；门取岫'的值为17.多项式2ax2-12axy中，应提取的公因式是18.若x+y= 1,贝U x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy 3+y4的值等于。
八年级下数学《第四章因式分解》单元测试(含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列因式分解结果正确的是（）A. x2+3x+2=x（x+3）+2B. 4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C. x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D. a2﹣2a+1=（a+1）22.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A. （x+3）（x-2）=x2+x-6B. ax-ay-1=a（x-y）-1C. 8a2b3=2a2•4b3D. x2-4=（x+2）（x-2）3.若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形4.把多项式x2﹣x分解因式，得到的因式是（）A. 只有xB. x2和xC. x2和﹣xD. x和x﹣15.计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A. B. C. ﹣ D. 3×6.下列多项式能因式分解的是（）A. B. C. D.7.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. （x+1）（x﹣1）=x2﹣1B. x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1C. x2﹣4y2=（x﹣2y）2D. 2x2+4x+2=2（x+1）28.在实数范围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A. x（x4﹣64）B. x（x2+8）（x2﹣8）C. x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D. x（x+2）3（x﹣2）9.分解因式得正确结果为（）A. a2b（a2﹣6a+9）B. a2b（a﹣3）（a+3）C. b(a2﹣3)2D. a2b（a﹣3)210.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（）A. 100B. 0C. -100D. 50二、填空题11.分解因式：a3﹣ab2=________．12.分解因式：m2﹣16=________．13.分解因式x2-8x+16=________14. 分解因式：x2﹣9= ________.15.分解因式：a2﹣16=________.16.已知一个长方形的面积是a2﹣b2（a＞b），其中长边为a+b，则短边长是________ ．17.分解因式：x2y﹣4xy+4y=________．18. 分解因式：9x3﹣18x2+9x=________19.已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=________20.分解因式：9a﹣a3=________ ．三、解答题21.因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）22.化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．23.阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2x﹣3=________；a2﹣4ab﹣5b2=________；（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；（3）观察下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2] 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．请你说明这个等式的正确性．参考答案一、选择题C D D D D C D C D C二、填空题11.a（a+b）（a﹣b）12.（m+4）（m-4）13.（x-4）214.（x+3）（x﹣3）15.（a+4）（a﹣4）16.解：（a2﹣b2）÷（a+b）=（a+b）（a﹣b）÷（a+b）=a﹣b．故答案为a﹣b．17.y（x﹣2）218.9x（x﹣1）219.1820.a（3+a）（3﹣a）三、解答题21.解：（1）原式=2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）=（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式=x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）=x（x﹣y）（x﹣4）．22.解：﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005=﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a2（a2﹣2a﹣3）+2005=2005．23.（1）（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）（2）解：m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，因为（m+3）2≥0，所以代数式m2+6m+13的最小值是4（3）解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），= （a2﹣2b+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2），= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+⋯+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2例题3分解因式：a3+b3+c3－3abc．分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．对应练习题分解因式：(1)x2n x n1y21；94 (2)x10+x5－2422332232(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x52222(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2c2对应练习题分解因式：3、x2x 9y23y4、x2y2z22yz综合练习题 分解因式：（1）x 3x 2y xy 2 y 3 （2）ax 2 bx 2 bx ax a b（3）x 26xy 9y 2 16a 2 8a 1（4）a 26ab 12b9b 24a（5）a 42a 3 a 2 9 （6）4a 2x 4a 2y b 2x b 2y（7）x 22xy xz yz y 2（8）a 22a b 22b2ab1（9）y(y2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)（11）a 2(bc) b 2(a c) c 2(ab) 2abc（12）a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.（13）(axby)2 (ay bx)2 （14）xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3（15）x 4ax 2xa2a3 22（）x3x(a2)x2a16（17）(x1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式——x 2 (pq)xpq (x p)(x q)进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式： x 25x 6例题2分解因式： x 27x 6对应练习题 分解因式：(1)x 214x 24(2)a 215a 36(3)x 24x 5(4)x 2x 2(5)y 22y 15(6)x 210x 24（二）二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c条件：（1）aa 1a 2a 1 c 1 （2）cc 1c 2a 2 c 2 （3）ba 1c 2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc=(a 1xc 1)(a 2xc 2)例题3分解因式：3x 211x10对应练习题 分解因式：（1）5x 27x 6（2）3x27x2（3）10 x217 x32（）6y11y104（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2例题6分解因式：x2y23xy2对应练习题分解因式：（1）27xy4y2（）22ax6ax82综合练习题分解因式：（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y) 10（4）(a b)24a 4b3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n2（7）x24xy 4y22x 4y 3（8）5(a b)223(a2b2) 10(a b)2（9）4x24xy 6x 3y y210（10）12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：（1）A a1a2，C c1c2，F f1f2（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D即：a1c1f1a2c2f2a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)例题7分解因式：（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2x x∴原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xy xy，4y9y13y，2x3x x∴原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式：（1）x2xy 2y2x 7y 6（2）6x27xy 3y2xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y 1)(x21) x(2y22y1)例题9分解因式：ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x23xy 10y2x 9y2对应练习题分解因式：(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(x27x 6)(x2x 6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题62222分解因式：4(3x x1)(x2x3)(4xx4)提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(a b)4(a b)4(a2b2)2例题9分解因式：(y 1)4(y 3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习43－36x2－7x+6．分解因式：6x+7x例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）x42x3x2 1 2(x x2)（3）2005x2(200521)x2005（4）(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2（5）(x1)(x3)(x5)(x7)15（6）(a1)(a2)(a3)(a4)24（7）(2a 5)(a29)(2a 7) 91（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）(a21)2(a25)24(a23)2（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）(a 2b c)3(a b)3(b c)3（12）xy(xy1)(xy3)2(xy12)(x y1)2（13）(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时， 整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x 3－9x+8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x+1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）x 3 3x 2 4（2）x 22(a b)x 3a 2 10ab 3b 2（3）x 4 7x 2 1（4）x 4x 22ax1a 2（5）4442 22 2 2 2 444xy(xy)（）2ab2ac2bcab c6（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2（9）x 3+9x 2+26x+24 （10）x 4－12x+323（11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)x 2y 24x6y5(15)(1a 2)(1b 2)4ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy 6y2x 13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)对应练习题分解因式：（1）6x27xy 3y2x 7y 2（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20（3）x23xy 10y2x 9y 2（4）x23xy 2y25x 7y6例题2（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求a b的值.（3）已知：x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、f x 的意义：已知多项式fx ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为 fx 在x =c 的多项式值，用 fc 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx 除以gx 所得的商式为 qx ，余式为rx ，则：fx =gx ×qx +rxb3、余式定理：多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b)；多项式f(x)除以axb 之余式f( ).a例如：当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当f(x)9x26x 7除以 (3x1)时，则余数=f(1)9( 1)2 6(1)78.3334 a,bR ， a0， f(x) 为关于x 的多项式，则 xb为f(x)的因式、因式定理：设f(b)0；axb 为f(x)的因式f(b 0.)a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n 1x n1c 1xc 0 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b为整数,a 0,且a,b 互质)，则（1）ac n ,bc 0（2）(a –b)f(1), (a b)f( 1)例题1设f(x)3x 32x 2 19x 6，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x –1，(2)x –2，(3)3x –1，(4)4x ＋1，(5)x –1，(6)3x –4例题2把下列多项式分解因式：(1) x 35x4(2) x 34x 2x 6(3) 3x 35x 2 4x 2（4）x 4 9x 3 25x 227x10（5）x 45x 3 1x 2 1x 16223课后作业分解因式：（1）x4＋4（2）4x3－31x＋15（3）3x3－7x＋10（4）x3－41x＋30（5）x3＋4x2－9（6）x3＋5x2－18（7）x3＋6x2＋11x＋6（8）x3－3x2＋3x＋7（9）x3－11x2＋31x－21（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y33223（1412）x－9ax＋27ax－26a（15）4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2（16）(x26x8)(x214x48)12（17）(x2x4)28x(x2x4)15x2（18）2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2（19）x4＋x2y2＋y44224（20）x－23xy＋y（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2（22）a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24）（ab)2(ab1)1（25）x42(a2b2)x2(a2b2)2（26）(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)（27）x619x3y3216y6（28）x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz（29）3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.2、2n －1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8整除．3、已知2 481可以被 60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.24可被40 至50之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知7－15、求证： 817279 913能被45整除.66、求证：14+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证： 4x 2+7xy －2y 2能被9整除．8、已知x 2 xy 2y 2=7，求整数x 、y 的值．9、求方程6xy4x9y 7 0的整数解.10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解．11、求方程 4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为 a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a=______，b=_______.13、计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9 ×31.4＋180×0.314； 19953－219952－1993(2)．19953＋19952－1996＋ 1＋1＋ 1＋1 ＋1＋1的14、求积(11 )(14)(1)(14 )(1)(1)32 35 698 10099 101整数部分？15、解方程：（x 2＋4x)2－2(x 2＋4x)－15=02 2 2 216、已知ac ＋bd=0，则ab(c ＋d)＋cd(a ＋b)的值等于___________．17、已知a －b=3,a －c=3 26,求(c —b)[(a －b)2+(a －c)(a －b)+(a －c)2]的值．18、已知x 2x 1 0，求x 8x 41的值．19、若x 满足x 5 x 4 x1 ，计算x 1998x 1999x 2004.20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式a 3b 3c 33abc ，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题 分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题 分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题 分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题 分解因式：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题 分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题 分解因式：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +- 例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题 分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习题 分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式： （1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题 分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题 分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题 分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习 分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习 分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习 分解因式：144234+++-x x x x对应练习题 分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1 （2）)(2122234x x x x x +++++（3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++（5） (1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3； (2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题 分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4 （8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24 （10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1； （12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1 (14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1 分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题 分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a , b为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则 （1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x （4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x课后作业分解因式： （1）x 4＋4（2）4x 3－31x ＋15 （3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （ （25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、 计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯．14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。
初中数学因式分解综合训练培优练习2(附答案详解)
初中数学因式分解综合训练培优练习2（附答案详解）1．下列各式分解因式正确的是A ．()()2228244a b a b a b -=+- B ．()22693x x x -+=-C ．()22224923m mn n m n -+=-D ．()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+2．因式分解：a (n －1)2－2a (n －1)＋a.3．分解因式：412x 3y xy -+4．因式分解：（1）316x x - （2）221218x x -+5．因式分解：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2； （2）a 3-4ab 2．6．2221x x y ++-7．(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+18．分解因式：(1) 3a 3－6a 2+3a ．(2) a 2(x －y)+b 2(y －x)．9．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+10．因式分解： (1) x 2﹣36；(2) xy 2﹣x ；(3) ab 4﹣4ab 3+4ab 2；(4) （m +1）（m ﹣9）+8m ．11．已知ab ＝－3，a ＋b ＝2．求下列各式的值： (1)a 2＋b 2； (2)a 3b ＋2a 2b 2 ＋ab 3； (3)a －b ．12．（1）因式分解：3a 3+12a 2+12a ；2016+20162-20172（2）解不等式组：()263125x x x -<⎧⎨+≤+⎩，并将解集在数轴上表示出来．（3）解分式方程：2236x 1x 1x 1+=+--．13．观察下列式子：23(1)(1)1x x x x +-+=+;23(2)(24)8x x x x +-+=+;2233(2)(42)8m n m mn n m n +-+=+;……（1）上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含a 、b 的字母表示），并加以证明；（2）直接用你发现的公式写出计算结果：（2a +3b ）（4a 2﹣6ab +9b 2）= ；（3）分解因式：m 3 + n 3 + 3mn （m + n ）.14．分解因式：4322221x x x x ++++15．因式分解：(1)x 2y －2xy ＋xy 2； (2)422x -+．16．222---x xy y =__________17．分解因式212x 123y xy y -+-=___________18．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．19．在实数范围内分解因式：4244x x -+=_____________．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．21．分解因式：339a b ab -=_____________．22．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．23．分解因式：3x 2﹣3y 2＝_____．24．因式分解：2328x y y -=_________.25．分解因式：am 2﹣9a=_________________．26． 分解因式：（p+1）（p ﹣4）+3p ＝_____．27．因式分解：x 3﹣6x 2y +9xy 2＝____．28．分解因式：222x 2y -= ______.29．分解因式：22xy xy x -+-=__________．30．分解因式：a 3b +2a 2b 2+ab 3＝_____．31．分解因式：3a 2+6ab+3b 2=________________．32．分解因式：29y x y -=_____________．33．分解因式：4a 2b ﹣b ＝_____．34．分解因式：222m -=_________________________．35．分解因式：2a 2﹣18=________．36．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．37．因式分解：34x x -=____________________．参考答案1．B【解析】【分析】利用完全平方公式a 2-2ab+b 2=（a-b ）2和平方差公式以及提公因式法分别进行分解即可．【详解】A. ()()2222282(4)222a b a b a b a b -=-=+-，故该选项错误； B. ()22693x x x -+=-，分解正确；C. ()22224923m mn n m n -+≠-，故原选项错误；D. ()()()()2()x x y y y x x y x y x y -+-=--=-，故原选项错误. 故选B.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．2．a(n-2)2【解析】试题分析：根据题意，先提公因式a ，然后把n-1看做一个整体，利用完全平方公式分解即可.试题解析：原式=a[(n-1)2-2(n-1)+1]=a[(n-1)-1]2=a(n-2)2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 3．()()32121xy x x -+-【解析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式-3xy ，然后根据平方差公式因式分解即可. 试题解析：()()()4212x 334132121y xy xy x xy x x -+=--=-+- 4．（1）(4)(4)x x x +-；（2）22(3)x -【解析】试题分析：根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.试题解析：（1）原式=()216x x -=()()44x x x +-（2）原式=()2269x x -+=()223x -5．（1）-3x （x-y ）2；（2） a （a+2b ）（a-2b ）．【解析】试题分析：根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以直接接计算即可.试题解析：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2=-3x （x 2-2xy+y 2）=-3x （x-y ）2（2）a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 6．(1)(1)x y x y +++-【解析】解：原式=()221x y +-=()()11x y x y +++- 7．4(1)x +【解析】解：原式=()2221x x ++=()41x +8．(1) 3 a （a －1）2；(2) (x －y)（a －b)（a+b ）；(3)（a+7b ）（7a+b ）【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：(1) 原式=3 a （a 2－2a+3）=3 a （a －1）2；(2) 原式= (x －y)（a 2－b 2)= (x －y)（a －b)（a+b ）；(3) 原式=[4(a+b)－3(a －b)] [4(a+b)+3(a －b)]=（a+7b ）（7a+b ）．9．（1）（2）22(3)(3)x x +- 【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：（1）3349x y xy -=xy （2x-3y ）（2x+3y ）（2）()()2226669x x ---+ =（x 2-6-3）2=（x+3）2（x-3）210．（1）（x +6）（x ﹣6）．（2）x （y ﹣1）（y +1）．（3）ab 2（b ﹣2）2． （4）（m +3）（m ﹣3）．【解析】试题分析：（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；（3）先提公因式，再根据完全平方公式分解即可；（4）先根据乘法公式计算，再合并同类项，最后根据平方差公式分解即可.试题解析：（1）x 2﹣36=（x +6）（x ﹣6）．（2）xy2﹣x=x（y2﹣1）=x（y﹣1）（y+1）．（3）ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b2﹣4b+4）=ab2（b﹣2）2．（4）（m+1）（m﹣9）+8m=m2﹣9m+m﹣9+8m=m2﹣9=（m+3）（m﹣3）．点睛：此题主要考查了因式分解，解题的关键是灵活选用适当的方法进行饮食费解。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解培优题(超全面、详细分类)因式分解专题培优将一个多项式变形成几个整式的积的形式，这个变形过程称为因式分解。
初中阶段常用的因式分解方法如下：1.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。
2.常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。
3.考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法。
一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现在可以反向使用它们来进行因式分解，例如：1) a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)2) a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^23) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)4) a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)以下是几个常用的公式：5) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^26) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)7) an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b + an-3b^2 + … + abn-2 + bn-1)，其中n为正整数；8) an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … + abn-2 - bn-1)，其中n为偶数；9) an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … - abn-2 + bn-1)，其中n为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如：例题1：分解因式：-2x^5n-1yn+4x^3n-1yn+2-2xn-1yn+4；例题2：分解因式：a^3 + b^3 + c^3 - 3abc。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解自主学习培优训练(附答案详解)
北师大版八年级数学下册第四章因式分解自主学习培优训练（附答案详解）1．将多项式a （x-y ）+2by-2bx 分解因式，正确的结果是（ ）A ．（x-y ）（-a+2b ）B ．（x-y ）（a+2b ）C ．（x-y ）（a-2b ）D ．-（x-y ）（a+2b ）2．下列多项式能分解因式的是（ ）A ．2x +2y 2yB ．﹣2x ﹣2yC ．﹣2x +2xy ﹣2yD ．2x ﹣xy+2y3．计算所得的结果是（ ） A ． B ．- C ．-2 D ．2 4．下列从左到右分解因式正确的是（ ）A ．()322x x x x x x ++=+B ．()22251020524t t t t t t -+-=-++C ．()32246223p p p p p -=- D ．()()()()21x y y x y x y x ---=--- 5．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．（x ＋2）（x –2）＝x 2－4B ．.x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3xC ．x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）D ．x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－46．若a ，b ，c 是三角形的三边，则代数式（a-b ）2-c 2的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．等于零D ．不能确定7．若(x －3)(x －4)是多项式x 2－ax ＋12因式分解的结果，则a 的值是( )A ．12B ．－12C ．7D ．－78．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣1）＝x 2﹣1B ．x 2+2x +1＝x （x +2）+1C ．﹣4a 2+9b 2＝（﹣2a +3b ）（2a +3b ）D ．2x +1＝x （2+1x ） 9．下列多项中，能用完全平方公式分解的是：（ ） ①②③④⑤A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤10．下列分解因式正确的是（ ）A ．3x 2﹣6x=x （3x ﹣6）B ．﹣a 2+b 2=（b+a ）（b ﹣a ）C ．4x 2﹣y 2=（4x+y ）（4x ﹣y ）D ．4x 2﹣2xy+y 2=（2x ﹣y ）211．已知a +b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b +2a 2b 2+ab 3的值_____．12．分解因式：3a 2+6a +3=_____．13．分解因式：=____________．14．如果多项式9x 2﹣axy+4y 2﹣b 能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a= ，b= ．15．已知21x x -=，则代数式3222020x x -+=______.16．分解因式：224a b =-____________．17．化简：481a -=______.18．把多项式2m 2﹣8n 2分解因式的结果是 ．19．多项式14abx －8ab 2x +2ax 各项的公因式是________.20．分解因式：﹣xy 2+4x ＝_____．21．因式分解：2a （x 2+1）2 -8ax 222．在括号前面添上“＋”或“－”或在括号内填空．(1)－a ＋b ＝________(a －b )；(2)－m 2－2m ＋5＝－(______________)；(3)(x －y )3＝________(y －x )3.23．若关于x 的二次三项式212x px +-能分解成两个整系数的一次多项式的积，则p 有多少个可能的取值？24．已知2210x x +-=，求432441x x x ++-的值．25．（2015秋•潮南区月考）因式分解：a 2+a+．26．把下列多项式分解因式：（1）39x x -； （2）22242a ab b ++27．因式分解⑴24ax a -(实数范围内)⑵3269a a a -+28．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++，∴25n +=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2712x x -+可分解为(3)()x x a -+，则a =__________．（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =__________．（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值． 29．阅读材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴()20m n -=，()240n -=∴()()22228160m mn n n n -++-+=∴()()2240m n n -+-= ∴4n =，4m =根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知2245690x xy y y -+++=求x 、y 的值；（2）已知ABC ∆的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22614580a b a b +--+=，求ABC ∆的最大边c 的值.30．阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，由题意，得：()()243x x m x x n -+=++，则()22433x x m x n x n -+=+++{343n m n +=-∴=．解得：21m =-，7n =-，∴另一个因式为()7x -，m 的值为21-． 提出问题：()1已知：二次三项式25x x p +-有一个因式是()1x -，求p 的值． ()2已知：二次三项式223x x k +-有一个因式是()5x -，求另一个因式及k 的值．参考答案1．C【解析】试题分析：把（x-y ）看作一个整体，提取公因式（x-y ）即可。
因式分解训练题经典--题型很全
初二数学培优训练-------因式分解一、 填空题：（每小题2分，共24分） 1、把下列各式的公因式写在横线上：①= ； ②=2、 填上适当的式子，使以下等式成立：（1）（2）3、 在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立：（1）； （2）。
4、 直接写出因式分解的结果：（1）；（2）。
5、 若6、 若，那么m=________。
7、 如果8、简便计算：9、 已知，则的值是 。
10、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。
11、若是一个完全平方式，则的关系是 。
12、已知正方形的面积是 （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 。
二、 选择题：（每小题2分，共20分）1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、B 、C 、D 、1．如果，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )y x x 22255-n n x x 4264--()n x 232+)(222⋅=-+xy xy y x xy )(22⋅=+++n n n n a a a a 22)()(y x x y -=-)2)(1()2)(1(--=--x x x x =-222y y x =+-3632a a 。
＝，，则b a b b a ==+-+-01222()22416-=+-x mx x 。
，则=+=+-==+2222,7,0y x xy y x xy y x 。
－=2271.229.731=+a a 221a a +n mx x ++2n m 、2269y xy x ++bx ax b a x -=-)(222)1)(1(1y x x y x ++-=+-)1)(1(12-+=-x x x c b a x c bx ax ++=++)())((2b x a x q px x ++=+-2．如果，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．62、一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）A 、B 、C 、D 、3、下列各式是完全平方式的是（）A 、B 、C 、D 、4、把多项式分解因式等于（ ） A B C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1)5、因式分解的结果是（）A 、B 、C 、D 、6、下列多项式中，含有因式的多项式是（）A 、B 、C 、D 、7、分解因式得（）A 、B 、C 、D 、8、已知多项式分解因式为，则的值为（）A 、B 、C 、D、9、是△ABC 的三边，且，那么△ABC 的形状是（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、等边三角形10、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a>b ）。
因式分解培优训练题(培优篇)+答案
章节复习之因式分解（培优篇） 因式分解的方法一——基本方法知识要点：因式分解的基本方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。
在对一个多项式进行因式分解时，应根据多项式的特点选择合理的分解方法。
A 卷一、填空题1、分解因式：_______________419122=+-+y x x n n . 2、（河南省竞赛题）分解因式：_______________63522=++++y y x xy x . 3、已知242--ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的可能取值为 .4、（2000年第16届“希望杯”竞赛题）分解因式：()()__________122=++-+b a b a ab . 5、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）如果x 、y 是整数，且12005200422=-+y xy x ，那么_________=x ，_________=y .二、选择题6、如果多项式9142++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 、6- B 、6 C 、32或32- D 、34或34- 7、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）已知二次三项式c bx x ++22分解因式后为()()132+-x x ，则（ ）A 、3=b ，1-=cB 、6-=b ，2=cC 、6-=b ，4=cD 、4-=b ，6-=c8、（江苏省南通市2005年中等学校招生考试题）把多项式1222-+-b ab a 分解因式，结果为（ ）A 、()()11--+-b a b aB 、()()11-++-b a b aC 、()()11-+++b a b aD 、()()11--++b a b aB 卷一、填空题9、研究下列算式：252514321==+⨯⨯⨯；21112115432==+⨯⨯⨯；==+⨯⨯⨯36116543219；22984117654==+⨯⨯⨯，……用含n 的代数式表示此规律（n 为正整数）是 .二、选择题10、对于这5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③()x x 422+-；④()()m n n n m m -+-63；⑤()()b d c c b d y d c b x 222-+-----+其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）A 、①②⑤B 、②④⑤C 、③④⑤D 、①②④11、已知二次三项式10212-+ax x 可以分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ） A 、a 一定是奇数 B 、a 一定是偶数 C 、a 可为奇数也可为偶数 D 、a 一定是负数 三、解答题 12、分解因式：（1）（2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题）分解因式：()()()33322y x y x -----（2）122229227131+++--n n n x x x （3）2222222ab x b b a abx bx x a ax +-+-+- （4）()222224b a abx x b a +--- （5）()()()b a c a c b c b a -+-+-222 （6）613622-++-+y x y xy xC 卷一、解答题13、n （1 n ）名运动员参加乒乓球循环赛，每两人之间正好只进行一场比赛。
最新最全八年级数学培优十三套试题(因式分解,分式,二次根式,一元二次方程)
ED 八年级数学培优试题一一、填空1. 因式分解：（1）2235294x xy y x y +-++-= . （2）2236x x xy y y +---=___________________ （3）41x +=____________________________________ （4）3234x x -+=_______________________________2..若对于任何实数x ，分式214x x c-+总有意义，则c 的取值范围是___________________3.若a b a c b ck c b a+++===，则k =______________ 4.已知：115a b a b +=+，则b aa b+＝_______。
5.已知22431(1)(1)x x a x b x c -+=-+-+对任意数x 成立，则4a +2b +c ＝_______6.多项式22687x y x y +-++的最小值为_________。
7.已知实数,,a b c 满足10a b c ++=,且,则的值是______________ 8.已知实数,x y 满足224242x y x y +=+-，则2x y +=______________________9.已知2510m m --=，则22125m m m-+=__________________ 10.方程组：2222007x y z xy yz xzx y z ⎧++=++⎨++=⎩的解为_________________11.设100,x ==______________12.如图，已知五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=，2AB CD AE BC D E ===+=，则五边形ABCDE 的面积为_____ 二、选择题 13.设199819992000,,199920002001a b c ===，则下列不等关系中正确的是（ ） A 、a b c << B 、a c b << C 、b c a << D 、c a b <<1714111=+++++a c c b b a ba ca cbc b a +++++14.已知0,0a b ≠≠且1a +1b =4 则434323a ab b a ab b++-+-等于（ ） A ．114- B. 1910- C. 0 D. 191015.对于非负数a 1、a 2…a 5满足M=(a 1+a 2+a 3+a 4)(a 2+a 3+a 4+a 5)，N=(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)(a 2+a 3+a 4),则（ ）A. M ＞NB. M ≥NC. M ＜ND. M ≤N 三、解答题 16.若a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abcc b c a b a ))()((+++的值 17.已知：3x y z a ++=(0a ≠，且,,x y z 不全相等)，求()()()()()()()()()222a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值 18.已知2222014,2015,2018,a x b x c x +=+=+=且24=abc ， 求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
《因式分解》(原卷版)-2019-2020学年八年级数学下册培优冲关好卷(北师大版)
2019-2020学年北师大版数学八年级下册培优冲关好卷第四章《因式分解》一．选择题1．（2019春•西湖区校级月考）对于算式320182018-，下列说法错误的是( )A ．能被2016整除B ．能被2017整除C ．能被2018整除D ．能被2019整除2．（2019春•西湖区校级月考）已知2220x ax --=，给出下列结论：①当2x =时，1103a a +=；②当1a =时，2213x x+=；③当2a =时，32423x x x -+=-．其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③3．（2019春•东台市期中）已知：2262017a x =-+，2262018b x =-+，2262019c x =-+，请你巧妙的求出代数式222a b c ab bc ca ++---的值( )A ．3B ．2C ．1D ．04．（2019春•漳州期中）若多项式21x ax --可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为( )A ．2B ．1C ．2-D ．1-5．把多项式22x x +-分解因式，下列结果正确的是( )A ．(2)(1)x x +-B ．(2)(1)x x -+C ．2(1)x -D ．(21)(2)x x -+6．（2017秋•淅川县期末）已知4322125d x x x x =-+--，则当2250x x --=时，d 的值为( )A ．25B ．20C ．15D ．107．设a 为实数，且3220a a a +-+=，则201120122013(1)(1)(1)(a a a +++++= )A ．3B ．3-C ．1D ．1-8．（2014秋•博野县期末）设a 、b 、c 是三角形的三边长，且222a b c ab bc ca ++=++，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．（2015春•长安区校级月考）分解因式2(3)(3)b x b x -+-的正确结果是( )A ．2(3)()x b b -+B ．(3)(1)b x b -+C ．2(3)()x b b --D ．(3)(1)b x b --10．（2013•攀枝花模拟）若关于x 的多项式26x px --含有因式2x -，则实数p 的值为( )A ．5-B ．5C ．1-D ．1二．填空题11．（2019秋•海珠区期末）a 、b 、c 是等腰ABC ∆的三边长，其中a 、b 满足22410290a b a b +--+=，则ABC ∆的周长为12．（2019秋•松北区期末）若把多项式256x x +-分解因式为 ．13．（2019秋•田家庵区期末）已知269a a -+与|1|b -互为相反数，计算33222a b a b ab ++的结果是 ．14．（2020•建湖县模拟）若多项式24x mx ++能用完全平方公式分解因式，则m 的值是 ．15．（2019秋•思明区校级期中）计算：2403780722019-⨯= ．16．（2019秋•吴中区期中）若210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值是 ．17．（2019春•西湖区校级月考）已知2210x x --=，则236x x -= ；则322742019x x x -+-= ．18．（2019春•九龙坡区校级月考）若2xy =，1y x -=，则代数式2222x y xy -的值为 ．19．（2018春•成都期中）若20092007a x =+，20092008b x =+，20092009c x =+，则222a b c ab bc ca ++---的值为 ． 20．（2016春•龙泉驿区期中）已知222246140x y z x y z +++--+=，则x y z -+= ．三．解答题21．（2019秋•莱山区期末）将下列各式因式分解（1）22(2)(2)x m y m -+-（2）2215x x +-22．（2020春•沙坪坝区校级月考）（1）若1x -是关于x 的二次多项式2223x ax a +-的其中一个因式，求a 的值及另一个因式．（2）若2|6|(4)0a b ab +-+-=，求32232a b a b ab ---的值．（3）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三边长，且满足444222222220a b c a c b c ++--=，试确定ABC ∆的形状．23．（2019秋•天津期末）分解因式：（1）323812a b ab c +；（2）22(2)(2)x y x y +-+．24．（2019秋•正阳县期末）阅读下面的问题，然后回答，分解因式：223x x +-，解：原式22113x x =++--2(21)4x x =++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-(3)(1)x x =+-上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）243x x -+（2）24127x x +-．25．（2019秋•莱山区期末）阅读材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，2()0m n ∴-=，2(4)0n -=，4n ∴=，4m =．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知2222210x xy y y ++++=，求2x y +的值；（2）已知4a b -=，26130ab c c +-+=，求a b c ++的值．26．（2019秋•平山县期末）对于多项式32510x x x -++，我们把2x =代入此多项式，发现2x =能使多项式32510x x x -++的值为0，由此可以断定多项式32510x x x -++中有因式(2)x -，（注：把x a =代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式())x a -，于是我们可以把多项式写成：322510(2)()x x x x x mx n -++=-++，分别求出m 、n 后再代入322510(2)()x x x x x mx n -++=-++，就可以把多项式32510x x x -++因式分解．（1）求式子中m 、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式32584x x x +++．27．（2019春•西湖区校级期中）如图1，小明同学用1张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，3张边长分别为a 、b 的长方形纸片拼出了一个长方形纸片拼成了一个长为(2)a b +，宽为()a b +的长方形，它的面积为(2)()a b a b ++，于是，我们可以得到等式22(2)()32a b a b a ab b ++=++．请解答下列问题：（1）写出图2，写出一个代数恒等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知10a b c ++=，22240a b c ++=，求ab bc ac ++的值；（3）小明同学又用4张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，8张边长分别为a 、b 的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形的长为 ，宽为 ．28．（2019春•西湖区校级月考）因为223(3)(1)x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若3x -是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；（2）若(3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值．（3）在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．29．（2018秋•樊城区期末）阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：3234x x +-．解答：把1x =代入多项式3234x x +-，发现此多项式的值为0，由此确定多项式3234x x +-中有因式(1)x -，于是可设32234(1)()x x x x mx n +-=-++，分别求出m ，n 的值，再代入32234(1)()x x x x mx n +-=-++，就容易分解多项式3234x x +-．这种分解因式的方法叫“试根法”．（1）求上述式子中m ，n 的值；（2）请你用“试根法”分解因式：321616x x x +--．30．（2019春•市中区期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式 ；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，求222a b c ++的值；（3）图3中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片及若干个边长分别为a 、b 的长方形纸片， ①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为22252a ab b ++，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式22252a ab b ++分解因式．即22252a ab b ++= ．2019-2020学年北师大版数学八年级下册培优冲关好卷第四章《因式分解》一．选择题1．（2019春•西湖区校级月考）对于算式320182018-，下列说法错误的是( )A ．能被2016整除B ．能被2017整除C ．能被2018整除D ．能被2019整除【解析】32201820182018(20181)-=-2018(20181)(20181)=⨯+-201820192017=⨯⨯201820192017⨯⨯能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A ．2．（2019春•西湖区校级月考）已知2220x ax --=，给出下列结论：①当2x =时，1103a a +=；②当1a =时，2213x x+=；③当2a =时，32423x x x -+=-．其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③【解析】①把2x =代入2220x ax --=，得3a =，把3a =代入1101103333a a +==+=． 所以①正确．②把1a =代入2220x ax --=，得2220x x --=， 方程两边同时除以x ，得2210x x --=，221x x -=，112x x -=， 两边同时平方，得221124x x -+=，221934x x +=≠． 所以②错误．③把2a =代入2220x ax --=，得22220x x --=，210x x --=，21x x -=，21x x =+，方程两边同乘以x ，得32x x x =+，3222224242333()3x x x x x x x x x x x ∴-+=+-+=-+=--=-．所以③正确．故选：C ．3．（2019春•东台市期中）已知：2262017a x =-+，2262018b x =-+，2262019c x =-+，请你巧妙的求出代数式222a b c ab bc ca ++---的值( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】2262017a x =-+Q ，2262018b x =-+，2262019c x =-+，1a b ∴-=-，1b c -=-，2a c -=-，222a b c ab bc ca ∴++---2221(222222)2a b c ab bc ca =⨯++---2221[()()()]2a b b c a c =⨯-+-+-2221[(1)(1)(2)]2=⨯-+-+-1(114)2=⨯++162=⨯3=，故选：A ．4．（2019春•漳州期中）若多项式21x ax --可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为( ) A ．2 B ．1 C ．2- D ．1-【解析】222(2)()22(2)21x x b x bx x b x b x b x ax -+=+--=+--=--Q ， 2b a ∴-=-，21b -=-，0.5b ∴=， 1.5a =，2a b ∴+=．故选：A ．5．把多项式22x x +-分解因式，下列结果正确的是( )A ．(2)(1)x x +-B ．(2)(1)x x -+C ．2(1)x -D ．(21)(2)x x -+【解析】22(1)(2)x x x x +-=-+故选：A ．6．（2017秋•淅川县期末）已知4322125d x x x x =-+--，则当2250x x --=时，d 的值为() A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【解析】解法一：2250x x --=Q ，225x x ∴=+，4322125d x x x x ∴=-+--，22(25)2(25)125x x x x x =+-++--22242025410125x x x x x x =++--+--22525x x =--+25=．解法二：2250x x --=Q ，225x x ∴-=，4322125d x x x x ∴=-+--22(21)125x x x x =-+--26125x x =--26(2)5x x =--655=⨯-25=．故选：A ．7．设a 为实数，且3220a a a +-+=，则201120122013(1)(1)(1)(a a a +++++= ) A ．3 B ．3- C ．1 D ．1- 【解析】3220a a a +-+=Q ，32(1)(1)0a a a ++-+=，22(1)(1)(1)0a a a a a +-++-+=2(1)(11)0a a a -+++=，2(1)(2)0a a a -++=，20a ∴+=，或210a a -+=，（1）若210a a -+=时，△224(1)41130b ac =-=--⨯⨯=-<，a Q 为实数，∴此二元一次方程在实数范围内无解；（2）若20a +=时，变形得：11a +=-⋯①将①代入下列代数式得：201120122013(1)(1)(1)a a a +++++201120122013(1)(1)(1)=-+-+-11(1)=-++-1=-故选：D ．8．（2014秋•博野县期末）设a 、b 、c 是三角形的三边长，且222a b c ab bc ca ++=++，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】由已知条件222a b c ab bc ca ++=++化简得，则222222222a b c ab bc ca ++=++，即222()()()0a b b c a c -+-+-=a b c ∴==，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形故选：A ．9．（2015春•长安区校级月考）分解因式2(3)(3)b x b x -+-的正确结果是( )A ．2(3)()x b b -+B ．(3)(1)b x b -+C ．2(3)()x b b --D ．(3)(1)b x b --【解析】2(3)(3)b x b x -+-，(3)(1)b x b =-+．故选：B ．10．（2013•攀枝花模拟）若关于x 的多项式26x px --含有因式2x -，则实数p 的值为( ) A ．5- B ．5 C ．1- D ．1【解析】根据题意设226(2)()(2)2x px x x a x a x a --=--=-++，2p a ∴-=--，26a =-，解得：3a =-，1p =-．故选：C ．二．填空题11．（2019秋•海珠区期末）a 、b 、c 是等腰ABC ∆的三边长，其中a 、b 满足22410290a b a b +--+=，则ABC ∆的周长为 12【解析】22410290a b a b +--+=Q ，22(44)(1025)0a a b ∴-++-+=，22(2)(5)0a b ∴-+-=，20a ∴-=，50b -=，解得，2a =，5b =，a Q 、b 、c 是等腰ABC ∆的三边长，∴当2a c ==时，225+<，此时不能构成三角形，当5b c ==时，此时2a =，则ABC ∆的周长为：55212++=，故答案为：12．12．（2019秋•松北区期末）若把多项式256x x +-分解因式为 (1)(6)x x -+ ．【解析】256(1)(6)x x x x +-=-+，故答案为：(1)(6)x x -+．13．（2019秋•田家庵区期末）已知269a a -+与|1|b -互为相反数，计算33222a b a b ab ++的结果是 48 ． 【解析】2269(3)a a a -+=-．依题意得2(3)|1|0a b -+-=，则30a -=．10b -=，解得 3a =，1b =．所以33222222(21)(1)31648a b a b ab ab a b ab ab ab ++=++=+=⨯=，故答案为：48．14．（2020•建湖县模拟）若多项式24x mx ++能用完全平方公式分解因式，则m 的值是 4± ．【解析】224(2)x mx x ++=±Q ，即22444x mx x x ++=±+，4m ∴=±．故答案为：4±．15．（2019秋•思明区校级期中）计算：2-⨯=1．403780722019【解析】原式2=-⨯⨯40372403620192=-⨯4037403640382=--+4037(40371)(40371)22=--4037(40371)=1故答案为：116．（2019秋•吴中区期中）若210x x27+-的值是6-．+-=，那么代数式32x x【解析】210+-=Q，x x21∴+=x x3222x x x x x x∴+-=++-27()727=+-x x=-17=-6-．故答案为：617．（2019春•西湖区校级月考）已知2210x x-=3；则32--=，则236x x-+-=．2742019x x x【解析】2210x xQ，--=221-=，x xx x242∴-=，222∴-=-=．363(2)3x x x x322x x x x x x x-+-=-+-2742019(27)420192x x x x x=--+-(243)42019=-+-x x x(23)420192x x x=-+-23420192=-+-x x3620192=---3(2)2019x x=-⨯-312019=-．2022故答案为：3，2022-．18．（2019春•九龙坡区校级月考）若2xy =，1y x -=，则代数式2222x y xy -的值为 4- ．【解析】原式2()xy x y =-2()xy y x =--2xy =Q ，1y x -=∴原式221=-⨯⨯4=-19．（2018春•成都期中）若20092007a x =+，20092008b x =+，20092009c x =+，则222a b c ab bc ca ++---的值为 3 ．【解析】20092007a x =+Q ，20092008b x =+，20092009c x =+，1a b ∴-=-，1b c -=-，2c a -=，222a b c ab bc ca ∴++---2221(222222)2a b c ab bc ca =++---2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-1(114)2=++3=．故答案为3．20．（2016春•龙泉驿区期中）已知222246140x y z x y z +++--+=，则x y z -+= 0 ．【解析】222246140x y z x y z +++--+=Q ，2222144690x x y y z z ∴+++-++-+=，222(1)(2)(3)0x y z ∴++-+-=，10x ∴+=，20y -=，30z -=，1x ∴=-，2y =，3z =，故1230x y z -+=--+=．故答案为：0．三．解答题21．（2019秋•莱山区期末）将下列各式因式分解（1）22(2)(2)x m y m -+-（2）2215x x +-【解析】（1）原式22(2)(2)(2)()()x m y m m x y x y =---=-+-，（2）2215(5)(3)x x x x +-=+-．22．（2020春•沙坪坝区校级月考）（1）若1x -是关于x 的二次多项式2223x ax a +-的其中一个因式，求a 的值及另一个因式．（2）若2|6|(4)0a b ab +-+-=，求32232a b a b ab ---的值．（3）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三边长，且满足444222222220a b c a c b c ++--=，试确定ABC ∆的形状．【解析】（1）设另一个因式为()x m +，222()(1)(1)23x m x x m x m x ax a +-=+--=+-Q ，∴2123m a m a-=⎧⎨-=-⎩， 解得1313a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或13a m =⎧⎨=⎩． a ∴的值是13-，另一个因式是1()3x +或a 的值是1，另一个因式是(3)x +． （2）2|6|(4)0a b ab +-+-=Q ，60a b ∴+-=且40ab -=，则6a b +=，4ab =．32232a b a b ab ∴---22(2)ab a ab b =-++2()ab a b =-+246=-⨯144=-．（3）：444222222220a b c a c b c ++--=Q ，4224422444440a a c c b b c c ∴-++-+=，222222(2)(2)0a c b c ∴-+-=，2220a c ∴-=，2220b c -=，c ∴=，c =，a b ∴=，且222a b c +=．ABC ∴∆为等腰直角三角形．23．（2019秋•天津期末）分解因式：（1）323812a b ab c +；（2）22(2)(2)x y x y +-+．【解析】（1）323812a b ab c +224(23)ab a bc =+；（2）22(2)(2)x y x y +-+(22)(22)x y x y x y x y =++++--3()()x y x y =+-．24．（2019秋•正阳县期末）阅读下面的问题，然后回答，分解因式：223x x +-，解：原式22113x x =++--2(21)4x x =++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-(3)(1)x x =+-上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）243x x -+（2）24127x x +-．【解析】（1）243x x -+24443x x =-+-+2(2)1x =--(21)(21)x x =-+--(1)(3)x x =--（2）24127x x +-2412997x x =++--2(23)16x =+-(234)(234)x x =+++-(27)(21)x x =+-25．（2019秋•莱山区期末）阅读材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，2()0m n ∴-=，2(4)0n -=，4n ∴=，4m =．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知2222210x xy y y ++++=，求2x y +的值；（2）已知4a b -=，26130ab c c +-+=，求a b c ++的值．【解析】（1）2222210x xy y y ++++=Q ，222(2)(21)0x xy y y y ∴+++++=，22()(1)0x y y ∴+++=，0x y ∴+=，10y +=，解得，1x =，1y =-，221(1)1x y ∴+=⨯+-=；（2）4a b -=Q ，4a b ∴=+，∴将4a b =+代入26130ab c c +-+=，得2246130b b c c ++-+=，22(44)(69)0b b c c ∴+++-+=，22(2)(3)0b c ∴++-=，20b ∴+=，30c -=，解得，2b =-，3c =，4242a b ∴=+=-+=，2233a b c ∴++=-+=．26．（2019秋•平山县期末）对于多项式32510x x x -++，我们把2x =代入此多项式，发现2x =能使多项式32510x x x -++的值为0，由此可以断定多项式32510x x x -++中有因式(2)x -，（注：把x a =代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式())x a -，于是我们可以把多项式写成：322510(2)()x x x x x mx n -++=-++，分别求出m 、n 后再代入322510(2)()x x x x x mx n -++=-++，就可以把多项式32510x x x -++因式分解．（1）求式子中m 、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式32584x x x +++．【解析】（1）在等式322510(2)()x x x x x mx n -++=-++，中，分别令0x =，1x =，即可求出：3m =-，5n =-（2）把1x =-代入32584x x x +++，得其值为0，则多项式可分解为2(1)()x x ax b +++的形式，（7分）用上述方法可求得：4a =，4b =，（8分）所以322584(1)(44)x x x x x x +++=+++，（9分）2(1)(2)x x =++．（10分）27．（2019春•西湖区校级期中）如图1，小明同学用1张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，3张边长分别为a 、b 的长方形纸片拼出了一个长方形纸片拼成了一个长为(2)a b +，宽为()a b +的长方形，它的面积为(2)()a b a b ++，于是，我们可以得到等式22(2)()32a b a b a ab b ++=++．请解答下列问题： （1）写出图2，写出一个代数恒等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知10a b c ++=，22240a b c ++=，求ab bc ac ++的值；（3）小明同学又用4张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，8张边长分别为a 、b 的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形的长为 23a b + ，宽为 ．【解析】（1）如图2所示：Q 由图可知，外面边长为()a b c ++正方形的面积等于3个边长分别为a 、b 、c 小正方形的面积，2个边长分别为a 、b 的长方形，2个边长分别为a 、c 的长方形，2个边长分别为b 、c 的长方形构成，2222()222a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++；（2）10a b c ++=Q ，2()100a b c ∴++=，又2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++Q ，22221[()()]2ab bc ac a b c a b c ∴++=++-++ 1(10040)2=⨯- 30=；（3）依题意得：22438(23)(2)a b ab a b a b ++=++，∴长方形的长为23a b +，宽为2a b +，故答案为23a b +，2a b +．28．（2019春•西湖区校级月考）因为223(3)(1)x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0． 利用上述阅读材料求解：（1）若3x -是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；（2）若(3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值． （3）在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．【解析】（1）3x -Q 是多项式212x kx ++的一个因式3x ∴=时，2120x kx ++=93120k ∴++=321k ∴=-7k ∴=-k ∴的值为7-．（2）(3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式3x ∴=和4x =时，32120x mx x n +++=∴2793606416480m n m n +++=⎧⎨+++=⎩解得70m n =-⎧⎨=⎩ m ∴、n 的值分别为7-和0．（3）7m =-Q ，0n =，3212x mx x n ∴+++可化为：32712x x x -+32712x x x ∴-+2(712)x x x =-+(3)(4)x x x =--29．（2018秋•樊城区期末）阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：3234x x +-．解答：把1x =代入多项式3234x x +-，发现此多项式的值为0，由此确定多项式3234x x +-中有因式(1)x -，于是可设32234(1)()x x x x mx n +-=-++，分别求出m ，n 的值，再代入32234(1)()x x x x mx n +-=-++，就容易分解多项式3234x x +-．这种分解因式的方法叫“试根法”．（1）求上述式子中m ，n 的值；（2）请你用“试根法”分解因式：321616x x x +--．【解析】（1）把1x =代入多项式3234x x +-，多项式的值为0，∴多项式3234x x +-中有因式(1)x -，于是可设3223234(1)()(1)()x x x x mx n x m x n m x n +-=-++=+-+--，13m ∴-=，0n m -=，4m ∴=，4n =，（2）把1x =-代入321616x x x +--，多项式的值为0，∴多项式321616x x x +--中有因式(1)x +，于是可设322321616(1)()(1)()x x x x x mx n x m x n m x n +--=+++=++++-，11m ∴+=，16n m +=-，0m ∴=，16n =-，3221616(1)(16)(1)(4)(4)x x x x x x x x ∴+--=+-=++-30．（2019春•市中区期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，求222a b c ++的值；（3）图3中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片及若干个边长分别为a 、b 的长方形纸片， ①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为22252a ab b ++，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式22252a ab b ++分解因式．即22252a ab b ++= ．【解析】（1）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；故答案为：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=++---，211238=-⨯，45=；（3）①如图所示，②如上图所示的矩形面积(2)(2)a b a b =++，它是由2个边长为a 的正方形、5个边长分别为a 、b 的长方形、2个边长为b 的小正方形组成，所以面积为22252a ab b ++，则22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++，故答案为：22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++．。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题 分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题 分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题 分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题 分解因式：（1）3223y xy y x x --+（2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++（14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242（16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题 分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a =1a 1c（2）21c c c =2a 2c（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题 分解因式：(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +-例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题 分解因式：（1）224715y xy x -+（2）8622+-ax x a综合练习题 分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即：1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式： （1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5-2x y 21-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2-3x y 32- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题 分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题 分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题 分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习 分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习 分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习 分解因式：144234+++-x x x x对应练习题 分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1（2）)(2122234x x x x x +++++ （3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ （5）(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题 分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++（6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24（10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题 分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b为f(x)之因式(其中a , b 为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则（1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x（4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x 课后作业分解因式： （1）x 4＋4 （2）4x 3－31x ＋15（3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21 （10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （ （25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、 计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯． 14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。
北师大版数学八年级下第四章因式分解培优
第四章 因式分解因式分解一、知识点1、因式分解是：把 的形式。
2、定义解析：（1）等式左边必须是（2）分解因式的结果必须是以 的形式表示；（3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。
3、分解因式与整式乘法的关系是：公式类：()()a b a b +-= 2()a b += 2()a b -=(1)单⨯单：34a ab =(2) 单⨯多：(35)a a b -=(3) 多⨯多：(3)(2)x y x y -+=(4) 混合乘：(1)(1)a a a +-=二、 练习（一）下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=-（5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=-二、分解因式：1.若分解因式x 2+mx-15=(x+3)(x+n),则m 、n 的值是多少？2．把下列各式分解因式正确的是（ ）A ．x y 2－x 2y ＝x （y 2－xy ）；B ．9xyz －6 x 2y 2＝3xyz （3－2xy ）C ．3 a 2x －6bx ＋3x ＝3x （a 2－2b ）；D ．21x y 2＋21x 2y ＝21xy （x ＋y ）因式分解·提公因式法一 、知识点1、公因式的定义：我们把多项式各项都含有的 因式，叫做这个多项式各项的公因式；注意：公因式可以是单项式，也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式，一个多项式的公因式由两部分组成：系数部分和字母部分；2、确定公因式的方法：① 如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号取“-”；② 确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；③ 确定公因式的字母及其指数：把多项式各项都含有的相同字母（或因式），其指数取最低次的幂的积作为公因式的因式；3、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法；注意：提公因式法的依据是 ，它的实质是单项式乘多项式时的“逆用”，二、练习（一）：（1）–2x 2y +4xy 2–2xy 的公因式：（2）a （x –3）+2b （x –3）的公因式：（3）x n+1-5x n 的公因式：(4)-8x 2m+1y m+2+28x m+1y 2m+4的公因式：（二）分解因式：（1）c b a c ab b a 233236128+- （2）5335y x y x +-（3）x （a +b ）+y （a +b ） （4）3a （x －y ）－（x －y ）（5）3（m –n ）3–6（n –m ）2 （6）mn （m －n ）－m （n －m ）2（7）6（p +q ）2－12（q +p ） （8）a （m －2）+b （2－m ）（三）：分解因式：1.分解因式:x （a-b ）2n +y （b-a ）2n+1=_______________________.2.△ABC 的三边满足a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是__________.3.若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =_____4. 已知2x －y=81，xy=2，求2x 4y 3－x 3y 4的值. 5. 32003－4×32002+10×32001能被7整除吗？为什么？6. 已知4x 2+7x+2=4，求－12x 2－21x 的值.7. 求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方.8、求证：若a ，b 均为正数，且06363223=--+abc c a b a a ，则a=c.三、中考链接（2012北京，9，4）分解因式： ．（2012浙江省温州市，5，4分）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）（湖南株洲市3,9）因式分解：= .（2012四川成都，1l ，4分）分解因式：=________．（2012湖南湘潭，10，3分）因式分解：= .(2012广东汕头，9，4分)分解因式：2x 2﹣10x=(2012江苏苏州，12，3分)若a=2，a+b=3，则a 2+ab=（2012四川泸州，15，3分）分解因式= .（2013•泸州）分解因式：24x y y -= .（2013•沈阳）分解因式: _________．（2013•恩施州）把x 2y ﹣2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）（2013•威海）分解因式：=（2013•温州）因式分解：m m 52-=__________（2013•广州）分解因式：=+xy x 2_______________.（2013•深圳）分解因式：ax 2–2ax + a = _______________________。
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八年级数学下培优卷：因式分解知识点一、因式分解的意义1．下列由左边到右边的变形，是分解因式的有（ ）①a 2﹣9=（3）（a ﹣3） ②（2）（m ﹣2）2﹣4③a 2﹣b 2=（）（a ﹣b ）+1 ④2π2π2π（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ． a 2x ﹣（﹣1）B ． a 2﹣32（a ﹣3）+2C ． 2x （x ﹣1）=2x 2﹣22xD ． x 21=（1）2知识点二、提公因式法：1．观察下列各式：①2和； ②5m （a ﹣b ）和﹣；③3（）和﹣a ﹣b ；④x 2﹣y 2和x 22；其中有公因式的是（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④2．把多项式9a 2b 2﹣182分解因式时，应提出的公因式是（ ）A ． 9a 2bB ． 92C ． a 2b 2D ． 1823．分解因式﹣22+6x 3y 2﹣10时，合理地提取的公因式应为（ ）A ． ﹣22B ． 2C ． ﹣2D ． 2x 2y4．把多项式p 2（a ﹣1）（1﹣a ）分解因式的结果是（ ）A ． （a ﹣1）（p 2）B ． （a ﹣1）（p 2﹣p ）C ． p （a ﹣1）（p ﹣1）D ． p （a ﹣1）（1）5．下列多项式的分解因式，正确的是（ ）A ． 8﹣12a 2x 2=4（2﹣3）B ． ﹣6x 3+6x 2﹣12﹣6x （x 2﹣2）C ． 4x 2﹣622x （2x ﹣3y ）D ． ﹣3a 29﹣6﹣3y （a 2+3a ﹣2） 6、22)()(y x x y -=-； （2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x7．多项式10a （x ﹣y ）2﹣5b （y ﹣x ）的公因式是 ．8、不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++ 9、分解因式：(1)、322x x x ()()--- （2）412132q p p ()()-+-（3）-+-41222332m n m n mn （4）21222++x x知识点三、公式法：1．下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m2B．m2﹣1 C．m2﹣n D．m2﹣212．（3a﹣y）（3）是下列哪一个多项式因式分解的结果（）A．9a22B．﹣9a22C．9a2﹣y2D．﹣9a2﹣y23．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A．x2﹣B．x2C．x2﹣y2D．x224．若多项式x24能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A．4B．﹣4 C．±2 D．±45．把多项式x2﹣69分解因式，所得结果正确的是（）A．（x﹣3）2B．（3）2C．x（x﹣6）+9 D．（3）（x﹣3）6．将整式9﹣x2分解因式的结果是（）A．（3﹣x）2B．（3）（3﹣x）C．（9﹣x）2D．（9）（9﹣x）7．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（）A．（8）（1）B．（2）（x﹣4）C．（x﹣2）（4）D．（x﹣10）（8）8．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+4y2B．x2﹣2y2+1 C．﹣x2+4y2D．﹣x2﹣4y29．因式分解：x2﹣9y2= ．10．16﹣8（x﹣y）+（x﹣y）2= ．11．化简：（1）2﹣（a﹣1）2= ．12．分解因式：x（x﹣1）﹣34= ．13、因式分解：﹣9x2+4= ． 14、因式分解121（x－y）2－169（x＋y）2=15、将x4+8分解因式正确的是（）A．（x4﹣16） B．（x2+4）（x2﹣4）C．（x2+4）（2）（x﹣2） D．（x2+2）（x2﹣2）2知识点四、提公因式法与公式法综合1．一次课堂练习，小颖同学做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是（）A． x2﹣y2=（x﹣y）（） B．x2﹣22=（x﹣y）2C．x2y﹣2（x﹣y）D． x3﹣（x2﹣1）2．把多项式x3﹣2x2分解因式结果正确的是（）A．x（x2﹣2x）B．x2（x﹣2）C．x（1）（x﹣1）D．x（x﹣1）24．把代数式3x3﹣6x232分解因式，结果正确的是（）A．x（3）（x﹣3y）B．3x（x2﹣22）C．x（3x﹣y）2D．3x（x﹣y）25．分解因式：4x 2﹣84= ． 6．因式分解：x 3y 2﹣x 5= ．7．分解因式：= ．8．因式分解：（1）﹣x 2+12﹣36y 2 （2）x 4﹣9x 2．(3)（x 2+16y 2）2﹣64x 2y 2． （4）4322)()(2)(y x y x a y x a -+-+-知识点五、分组分解法1．因式分解：1﹣4x 2﹣4y 2+8，正确的分组是（ ）A 、（1-4x 2）+(84y 2)B 、（1-4x 2-4y 2）+8,C 、（1+8）-(4x 2+4y 2)aD 、1-（4x 2+4y 2-8）2．把多项式4x 2﹣2x ﹣y 2﹣y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）A ．（4x 2﹣y ）﹣（22）B ．（4x 2﹣y 2）﹣（2）C ．4x 2﹣（22）D ．（4x 2﹣2x ）﹣（y 2）3. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222--4．多项式x 2－－＋可分解因式为（ ）A ．－(x ＋a)(x ＋b)B ．(x －a)(x ＋b)C ．(x －a)(x －b)D ．(x ＋a)(x ＋b)5．分解因式：a 32﹣a ﹣1= ．6．将下列式子因式分解：x ﹣x 2﹣2． 7．分解因式：x 2﹣y 2﹣2y ﹣1= ．8．分解因式：1﹣a 2+6﹣9b 2= ．9．因式分解：3﹣32﹣2 ．知识点六、十字相乘法：（一）二次项系数为1； 公式: x 2+（）()()1．将多项式x 2+32分解因式，正确的结果是（ ）A ． （1）（2）B ． （x ﹣1）（2）C ． （1）（x ﹣2）D ． （x ﹣1）（x ﹣2） 2．把x 2－7x －60分解因式，得（ ）A ．(x －10)(x ＋6)B ．(x ＋5)(x －12)C ．(x ＋3)(x －20)D ．(x －5)(x ＋12)3．把多项式（x ﹣y ）2﹣2（x ﹣y ）﹣8分解因式，正确的结果是（ ）A 、（4）(2)B ． （x ﹣y ﹣4）（x ﹣y ﹣2）C ． （x ﹣y ﹣4）（x ﹣2）D ． （x ﹣4）（x ﹣y ﹣2）4．分解因式：a 2+2﹣3b 2= ．5．因式分解：m 2﹣710= ．6．分解因式：（x ﹣3）（x ﹣5）﹣3= 3)2(2)2(222-+-+a a a a =7．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－28．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x9、分解因式：（1）36524--x x ； （2）2265y xy x +-．（二）二次项系数不为1(1)2x 2+31； (2)2y 2－6； (3)6x 2－136 (4)3a 2－7a －6对应练习：(1)5x 2－8x －13； (2)4x 2+159； (3)15x 2－2； （4）261110y y --（5）2252310a b ab +- (6)7(x －1) 2+4(x －1)－20；知识点七、因式分解的应用1、若实数a、b满足5，a22=﹣10，则的值是（）A．﹣2 B．2C．﹣50 D．502．已知三角形三边的长为a、b、c，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值为（）A．正数B．负数C．0D．非负数4．三角形三边长a、b、c满足a2（b﹣c）2c﹣b3=0，则这个三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．△的三边为a，b，c且满足条件：a2c2﹣b2c24﹣b4，试判断三角形的形状．解：因为a2c2﹣b2c24﹣b4①，c2（a2﹣b2）=（a22）（a2﹣b2）②，所以c222③，所以△为直角三角形④．上述解答过程中，代码出现错误；正确答案应为△是 _三角形．知识点八、选择适当的方法分解因式: 1．把下列各式分解因式：（1）a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）（2）42﹣4m2n﹣n3． (3)（x2+9）2﹣36x2．（4）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）（x﹣y） (5）m2(p－q)－p＋q；（6）（2）2﹣y2．2．因式分解：（1）x3﹣25x （2）4x2423 （3）a2﹣b2+4b﹣4 （4）（x﹣2）2﹣8．（5）n 2（m ﹣2）﹣n （2﹣m ） （6）（x ﹣y ）2﹣221． (7)x 2﹣5x ﹣6．(8 )（a 2+4）2﹣16a 2． (9)（x ﹣7）2﹣7 （10）x 2﹣69y 2﹣1．拓展提高 ：1、 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x （2）120)8(22)8(222++++a a a a ． （3）(x 2－7x)2＋10(x 2－7x)－24；(4)x 2＋4＋4y 2－2x －4y －35 （5）2224)3(x x --； （6）2222)332()123(++-++x x x x ；2. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
3．计算：若x 2﹣1=0，求代数式x 3+2x 2﹣7的值． 4、 计算：200020012001200120002000⨯-⨯5：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
6．已知a 、b 、c 是△的三边的长，且满足a 2+2b 22﹣2b （）=0，试判断此三角形的形状．7. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值8、设a ＝21m ＋1＝21m ＋2＝21m ＋3,求代数式a 2＋2＋b 2－2－2＋c 2的值．9．已知：x 214，y 228，求的值．10、已知a，b，c是三角形的三边，且满足（）2=3（a222），试确定三角形的形状．。