新经济地理学中心外围模型推导(一)

(3.5)
(3.5)式是对 xi 的需求函数。从这里也可以看出
1 是部门内产品之间的替代弹性。 1
迪克西特和斯蒂格利茨另外建立了 2 个指标：
n y x i i 1
1
1 n q p i i 1
(3.6)
EK
Y
K
Y
Y
K
L

Y K
Y K
(1.3)
EL
Y
L

Y Y L L
一般情况下，要素的产出弹性大于 0 小于 1。
下面进入生产函数模型。柯布道格拉斯函数（C-D）的解析式为：
Y AK L
根据要素产出弹性的定义可得：
(1.4)
EK
Y K
K Y A K 1L K Y
三 迪克西特-斯蒂格利茨垄断竞争模型（D-S 模型）
在一个规模报酬递增的模型中，我们通常假设它是外生变量，也就是说可以使用市场 完全竞争的假设前提。但是这种模型是很不现实的，我们必须要建立一个存在垄断竞争的 市场结构。空间的 D-S 模型很大程度上解决了这一问题。 因为规模经济效应，产品种类越少每种产品的产量越大，从而使成本降低。但是差异 商品的减少会降低消费者的效用水平（没有人愿意商场里只卖一种衣服） 。因此我们假设： 1 消费者偏爱多样化的产品组合； 2 同一部门内产品之间具有良好的替代性，但对于部门以外产品的替代性较差。 将其他产品记为 x 0 ，具有良好替代性的产品记为 x x1 ,x2 ,... ，则效用函数为：
pi
1
n
1
I
1
xi i 1 n
1 n
p i 1
i 1

n p 1 I x i i 1 i 1 n i
1
1
将

1 代入上式可得： 1
其中， 1 -

， 0 1。
由之前的推导可知， y 描述产品数量， q 描述价格水平。(3.5)式的需求函数可以改写为：
xi y p i
q
1 1-
y I
s(q) q
(3.7)
其中， s(q) 是关于 q 的函数，由函数 U(3.3)式的形式决定。 由上述推导过程还可以求出 x 0 ，这里省略。


u U x0 ,V(x1 ,x2 ,... ）
其中，函数 V 为对称函数（即效用函数对行业内每种产品都是对称的） ，且同一组中的产 品具有相同的固定成本和边际成本，所有产品的收入弹性为 1。 迪克西特和斯蒂格利茨使用 CES 函数来描述消费者对于一组有差异产品的选择关系， 这个做法可以方便地表示组内产品之间的相互替代性，即“异质性”的思想。效用函数为：
AK 1 (1 K 2 L )
MPL AL1 (1 K 2 L )
1 1
1
1 1
2
MPL 2 K 1 ( ) MPK 1 L
所以
d ( l n ( )) d (ln(
K L
2 K 1 ( ) )) 1 L
1 ，0 1 u U x 0 , xi i
(3.1)
其中，
1 为产品的替代弹性。 1-
预算约束为：
x0
i 1
p i xi I
n
(3.2)
p i 为产品价格。考虑部门内部，根据效用最大化原则，可以推导出最优消费数量，即
1
(3.4)
x i 1
n i
1
1

1
xi
n

p i xi
n
求和得：
n x i i 1
1
xi p i xi I i i
1 1

x i i 1
n
1

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将 代回(3.4)可得：
MPL K d (ln( )) d (ln( )) L MPK K K d (ln( )) d (ln( )) L L K K d (ln( )) d (ln( ) ln( )) L L 1
即 C-D 生产函数要素替代弹性为 1。
二 不变替代弹性(CES)函数模型
替代弹性始终为 1 的假设明显是与实际不符的。 例如， 劳动密集型的农业与资本密集型 的现代工业，资本与劳动之间的替代性质显然是不同的。 下面引入不变替代弹性生产函数模型，即 CES 模型(Constant Elasticity of Substitution)：
f K f MPL L MPK
在一般情况下，边际产量满足：
MPK 0,MPL 0
即边际产量不为负。一般情况下，边际产量服从递减规律。 2 要素的边际替代率 当两种要素可以互相替代时， 就可以采用不同的要素组合生产相同数量的产量。 要素的边际 替代率指的是在产量一定的情况下，某一种要素的增加与另一种要素的减少之间的比例。 用 MRS K L 表示 K 对 L 的边际替代率， 即在保持产量 Y 不变的情况下， 替代 1 单位 L 所需要增加的 K 的数量，表示为：
一 从柯布-道格拉斯生产函数（C-D）说起
我们知道，生产过程中投入的要素主要来自技术、资本和劳动，不同的要素投入组合 会对产量造成不同影响。即
Y f ( A, K , L,)
(1.1)
其中， Y 为产量， A 、 K 、 L 分别为技术、资本、劳动。生产函数就是用于反映投入要素 与产量之间的关系。 在生产函数模型中， 要素替代弹性是一个很重要的概念， 它是描述投入要素之间替代性 质的一个量，也就是要素之间替代的难易程度。所以，在建立生产函数模型之前，需要对要 素替代弹性做出假设。先引入几个概念： 1 要素的边际产量 边际产量是指，某一种投入要素增加一个单位时导致产量的增加量，表示为：
，则 PQ
I
n x x 1 Q p P 1 p i i i i 1 I i
1
1
Q 1 xi
1
P 1 p i

1
pi xi Q P
1
pi Q P


P Q p i
EL
Y Y L AK L 1 L L Y
1， 0 1 ）
即参数 、 分别是资本与劳动的产出弹性。（ 0
现在来看 C-D 生产函数的要素替代弹性，根据(1.2)式可得：
K d( ) L K ( ) L
d(
MPL ) MPK MP ( L) MPK
3 要素替代弹性 要素替代弹性是指，两种要素的比例的变化率与边际替代率的变化率之比，用 表示：
K d( ) L K ( ) L
d(
(1.2)
显然， 为一个正数，表明要素之间具有有限的可替代性。 若要素之间不可替代， K 不变，则分子为 0，替代弹性 为 0；
L
若要素的数量如何变化，其边际产量都不变，则分母为 0，替代弹性 为∞，表明要素 之间具有无限可替代性。 4 要素产出弹性 某要素的产出弹性是指， 当其它投入要素不变时， 该要素增加 1%所引起产量的变化率。 用 E K 表示资本的产出弹性， E L 表示劳动的产出弹性，则：
2 K K d (ln( )) d (ln( ) (1 ) ln( ) ) L 1 L
1 1
(2.2)
由于 为正数，所以参数 的数值范围为： 1 ，且 不为 0 若 为 0，则要素替代弹性 的估计值为 1，此时 CES 生产函数将退化为 C-D 生产函数。 CES 函数不仅可以用来描述生产过程，也可以用作效用函数，因为和投入要素类似， 商品之间也具有差异和替代作用。 CES 最大的特点就是不变的价格弹性， 在克鲁格曼的 “中 心-外围”模型中，综合价格指数与消费不同产品的效用都是通过需求的价格弹性表示的。
MRS K L
K L
因为边际产量也可以表示为：
Y K Y MPL L
MPK
所以有
MPL Y MPK L
Y K K L
所以要素的边际替代率可以表示为要素的边际产量之比，即
MRS K L MRS L K
MPL MPK MPK MPL
MPL ) MPK MP ( L) MPK
K d( ) L K ( ) L
d(
MPL ) MPK MP ( L) MPK
MPL K d (ln( )) d (ln( )) L MPK
因为
MPK
Y K
1 1 1 A( )(1 K 2 L ) .1 ( ) K 1

A(1K 2L )
1

，假设规模报酬不变，后
在实际应用中考虑到规模报酬的存在将其改进）
对(2.1)式，有：
A[1(K ) 2(L ) ]
m
m[A(1K 2L ) ]
m
即当要素投入增加 倍，产量也增加 倍时，我们就称规模报酬不变。 可以看出规模报酬可以递增，也可以递减，取决于参数 m 。 m=1 时，规模报酬不变； m>1 时，规模报酬递增； m<1 时，规模报酬递减。 现在来看模型的要素替代弹性。令 m=1，根据(1.2)式可得：
Y A( 1K 2L )
m
(2.1)
其中，参数 A 依然反应技术进步的水平，显然 A >0；
1 和 2 为分配系数， 0 1 1， 0 2 1 ，且 1 + 2 =1；
为替代参数； m 为规模报酬参数。
（最初的 CES 模型的形式为Y
1
I xi p i n n
1
i 1
i 1

i
1 1
可设数量指数为Q 代入(3.4)式可得：
x i 1
n
1

，价格指数为 P
1 pi i 1
n
1 1
每个厂商只生产一种产品，且都追求利润最大化，当“边际厂商”出现收支相抵时， 进出行业的均衡状态便形成了。因此，这样的市场均衡就是垄断竞争情形下的市场均衡。 假设边际成本为 c，固定成本为 a，则厂商的成本函数为：
1
I
x x 1 i i i 1
n
1
1
x i i 1 p i
n
I
1 x i
1
n
i
xi
1

1
I
pi
两边同时
1
次方可得：
1 x i i 1
n 1
xi
1
I
1
p i 1 ， i 1,2,, n

求和可得：
1 n x 1 i i 1

xi i 1
n
1
I

1 i 1
p i 1
n

1 x i i 1
n
1 1
1
I
1 i 1
新经济地理学“中心-外围”模型详细推导过程（一） ——垄断竞争中的价格
张剑锋
克鲁格曼作为新经济地理学的创始人，他的论文《收入递增与经济地理》成为这门学 科的开山之作。由于其后的诸多贡献如《发展、地理学与经济理论》和《空间经济学—— 城市、区域与国际贸易》 ，他被评为诺贝尔经济学奖获得者。 “中心-外围”模型是新经济地 理学中最著名的模型之一，相关不再赘述。 定性理解中心-外围模型建议参考梁进社老师的课件《经济因素与功能空间》 。 下面从计量经济学角度出发，逐步进入数学推导过程。
U x
n
1
i 1
i


，0
1
1， 替代弹性
1 1
(3.3)
求
n max xi i 1
，
预算约束为：
p i xi I i
1
n
一阶情况下，对任意的 xi 有
1 1 n 1 p i xi xi i 1