2001年高考.上海卷.理科数学试题及答案

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(详细解析)2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0cos sin >θθ，则θ在A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【答案】B【解析】0cos sin >θθ，则sin θ与cos θ同号，B 正确．2．过点(1,1)(1,1)A B --,且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 A ．()()41322=++-y x B ．()()41322=-++y xC ．()()41122=-+-y x D ．()()41122=+++y x【答案】C【解析】显然过A B ,两点的直线与已知直线平行，过A B ,两点分别作,x y 轴的垂线，与已知直线相交于点(1,1)M ，则(1,1)M 为圆心，半径为2，C 正确．3．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】B【解析】由已知得12312313212,48,2a a a a a a a a a ++==+=，解得12a =．4．若定义在区间(10)-，内的函数()2log (1)a f x x =+满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 A ．1(0,)2 B ．1(0,]2C ．1(,)2+∞ D ．(0,)+∞【答案】A【解析】当(10)x ∈-，，则1(0,1)x +∈，由0)(>x f ，则021a <<，则1(0,)2a ∈．5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是【答案】C【解析】化为直角坐标方程为2222((122x y -+-=，只有C 正确．6．函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 【答案】A【解析】∵0x π-≤≤，∴02y ≤≤，又0x π≤-≤，∴1cos cos()y x x -==-， ∴cos(1)x arc y -=-，即cos(1)x arc y =--，反函数为)20)(1arccos(≤≤--=x x y ．7．若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 【答案】C【解析】易知椭圆的中心为(2,0)，且2,1a c ==，则12c e a ==．8．若0,sin cos ,sin cos 4a b παβααββ<<<+=+=，则A ．b a <B ．b a >C ．1<abD ．2>ab 【答案】A【解析】由题设sin(),sin()44a b ππαβ=+=+，又4442ππππαβ<+<+<，所以b a <．9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为A ．60︒B ．90︒C ．105︒D ．75︒【答案】B则【解析】如图，取11A B 的中点D ，连接1,BD C D ，若12AB BB =，1111,,AB BD AB C D BD C D D ⊥⊥=，∴1AB ⊥平面1C DB ，而1C B ⊂面1C DB ，∴11AB C B ⊥，故答案为90︒．10．设()()f x g x ,都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】C【解析】若)(x g 单调递减，则()g x -单调递增，所以)()(x g x f -单调递增，②正确；同理③正确．11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为123P P P ,,．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．123P P P >>B ．123P P P =>C ．123P P P >=D ．123P P P ==【答案】D【解析】本题考查平面图形在另一平面内的射影理解与有关计算，其斜面与房屋的底面所成的角都是α，又有cos S S α=底斜，故有123P P P ==．【编者注】此公式《新课标》不作要求．12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为A ．26B ．24C ．20D ． 19 【答案】D【解析】从A 到B 有四条线路，从上到下记为1234,,,l l l l ，且123412,12l l l l +≤+≤，在单位时间内可以通过的最大信息量分别为3,4,6,6，D 正确．第II 卷（非选择题 90分）注意事项：1．第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是．【答案】2π【解析】由已知可得圆锥的的底面半径和母线长分别为1和2，侧面积为2rl ππ=．14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为12F F ,，点P 在双曲线上．若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为．【答案】516 【解析】方法一：设(,)P x y ，12(5,0)(5,0)F F -,，由12PF PF ⊥得00155y y x x --⋅=-+-，即 2225x y +=，与双曲线方程联立得225625y =，则165y =．方法二：设12,PF m PF n ==，由抛物线定义和题设222126,100m n m n FF -=+==，可得32mn =，利用面积相等关系12121122P PF PF F F y ⋅=⋅得165y =．15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和．若{}n S 是等差数列，则=q ．【答案】1【解析】若{}n S 是等差数列，则1322S S S +=，11231223()2()a a a a a a a a +++=+⇒=，所以1q =．16．圆周上有2n 个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．【答案】2(1)n n -【解析】由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有2n 个等分点，∴共有n 条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形， ∴可做22n -个直角三角形，根据分步计数原理知共有(22)2(1)n n n n -=-．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，11,2SA AB BC AD ====．（Ⅰ）求四棱锥ABCD S -的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．【解】本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．（I ）直角梯形ABCD 的面积是()110.531224M BC AD AB +=+⋅=⨯=底面， ……2分 ∴四棱推ABCD S -的体积是113113344V SA M =⨯⨯=⨯⨯=底面．……4分（II ）延长,BA CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵//,2AD BC BC AD =，∴EA AB SA ==，∴SE SB ⊥． ∵SA ⊥面ABCD ，得面AEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC EB ⊥，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴CS SE ⊥，所以BSC ∠是所求二面角的平面角． ……10分222,1,SB SA AB BC BC SB ∴=+==⊥．2tan 2BC BSC SB ∴∠==．即所求二面角的正切值为22． ……12分18．（本小题满分12分）已知复数31)1(i i z -=．（Ⅰ）求1arg z 及1z ；（Ⅱ）当复数z 满足1=z ，求1z z -的最大值．【解】本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）31(1)22z i i i =-=-， ……3分将1z 化为三角形式，得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴47arg 1π=z ，221=z ． ……6分（Ⅱ）设cos sin z i αα=+，则1(cos 2)(sin 2)z z i αα-=-++，()()22212sin 2cos ++-=-ααz z942sin()4πα=+-， ……9分当sin()14πα+=时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分19．（本小题满分12分）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ,两点．点C 在抛物线的准线上，且//BC x 轴．证明直线AC 经过原点O ．【解】本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线)0(22>=p px y 的焦点为(,0)2pF ，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p my x +=，代人抛物线方程得2220y pmy p --=，若记1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2(,)2py -，故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD l ⊥，D 是垂足．则////AD FE BC ．……2分连结AC ，与EF 相交手点N ，则||||||||||,||||||||||EN CN BF NF AF AD AC AB BC AB === ……6分根据抛物线的几何性质，||||,||||AF AD BF BC == ……8分||||||||||||||||AD BF AF BC EN NF AB AB ⋅⋅∴===，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．…12分20．（本小题满分12分）已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1．（Ⅰ）证明：in i i m i P m P n <；（Ⅱ）证明：mn n m )1()1(+>+．【解】本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1i m <≤有(1)im p m m i =⋅⋅-+，⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…mi m 1+-⋅，同理 11...i n i p n n n i n n n n--+=⋅⋅⋅…， ……4分由于m n <，对整数1,2,,1k i =-，有mkm n k n ->-，所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明：由二项式定理有()inni inCm m ∑==+01，()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由（Ⅰ）知i n i p m ＞(1)i im n p i m n <≤<，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以，(1)i i i in m m C n C i m n ><≤<．因此，∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22．又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0．即(1)(1)nmm n +>+． ……12分21．（本小题满分12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元．写出n n b a ,的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【解】本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．（I ）第1年投入为800万元．第2年投入为1800(1)5⨯-万元，……，第n 年投入为11800(1)5n -⨯-万元．所以，n 年的总收入为111111800800(1)800(1)800(1)555n n k n k a --==+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⨯-∑44000[1()]5n =⨯-． ……3分第1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 1400(1)4⨯+万元，……，第n 年旅游业收人为11400(1)4n -⨯+万元．所以，n 年内的旅游业总收入为111111400400(1)400(1)400(1)444n n k n k b --==+⨯++⋅⋅⋅+⨯+=⨯+∑51600[()1]4n =⨯-． ……6分（Ⅱ））设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此0n n b a ->，即541600[()1]4000[1()]045n n ⨯--⨯-> 化简得455()2()7054n n ⨯+⨯->， ……9分设4()5n x =，代入上式得25720x x -+>，解此不等式，得2,15x x <>（舍去）．即 42()55n <，由此得 5n ≥．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分22．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21∈x x ，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且0)1(>=a f ．（Ⅰ）求)21(f 及)41(f ；（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数；（Ⅲ）记)212(nn f a n +=，求)(ln lim n n a ∞→．【解】本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．（Ⅰ）因为对121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=+，所以()()()0,[0,1]22x xf x f f x =⋅≥∈．∵211111(1)()()()[()]22222f f f f f =+=⋅=，2111111()()()()[()]244444f f f f f =+=⋅=． ……3分0)1(>=a f ，∴112411(),()24f a f a ==． ……6分（Ⅱ）证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(11)f x f x =+-，即()(2),f x f x x R =-∈， ……8分又由()f x 是偶函数知()(),f x f x x R -=∈，∴()(2),f x f x x R -=-∈，将上式中x -以x 代换，得()(2),f x f x x R =+∈．这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知()0,[0,1]f x x ≥∈．∵111111()()((1))()((1))222222f f n f n f f n n n n n n =⋅=+-⋅=⋅-⋅ 111()()()222f f f n n n ==⋅⋅⋅1[()]2n f n=，121()2f a =，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 ----完整版学习资料分享---- ∴121()2n f a n=． ∵()f x 的一个周期是2， ∴11(2)()22f n f n n+=，因此12n n a a =， ……12分 ∴1lim(ln )lim(ln )02n n n a a n→∞→∞==． ……14分。

2001年高考全国卷理科数学试题及答案

面积分别为 P1、P2、P3 .
①
②
③
若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则
（A） P3 P2 P1 （B） P3 P2 P1 （C） P3 P2 P1 （D） P3 P2 P 1
（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段
网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同
.
（16）圆周上有 2n 个等分点（ n 1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .
三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
(17)(本小题满分 12 分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD 中， ∠ ABC 90°， SA⊥面 ABCD ， SA AB BC 1，
（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个椭圆的侧面积是
x2 （14）双曲线 9
y2 16
1 的两个焦点为 F 、F ，点 P 在双曲线上.若 PF ⊥ PF ，则点 P 到 x 轴的距离
1
2
1
2
为
.
（15）设 a n 是公比为 q 的等比数列， S n 是它的前 n 项和.若 S n 是等差数列，则 q
(5)极坐标方程 2 sin(
) 的图形是
4
o
1
x
o 1
x o1
x
1 ox
（A）
（B）
（C）
（6）函数 y cos x 1( x 0) 的反函数是
（D）
（A） y aΒιβλιοθήκη ccos(x 1)(0 x 2) （B） y

(详细解析)2001年上海高考数学(理科)

2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知812,(,1]()log ,(1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则满足1()4f x =的x 值为 ___ ．【答案】3【解析】1x ≤时，1()24xf x -==，2x =，不合题意，舍去；1x >时，81()log f x x = 14=，14813x ==，综上可得3x =．【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．2．设数列{}n a 的通项为27,n a n n N =-∈，则1215a a a ++⋅⋅⋅+= ____ ．【答案】153【解析】由270n a n =-≥，解得72n ≥，所以数列的前3项为负数，则1215123(531)(13523)9121532a a a +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+=+⨯=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 _____ ．【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求．【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素个数为 _____ 个．【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ．【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ．【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示）【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在2521(425)(1)x x x --+的展开式中，常数项为 _____ ．【解析】由于25200122455521(425)(1)(425)(x x x x C x C x C x x----+=--⋅+⋅+⋅+ 3648485105555)C x C x C x C x ----⋅+⋅+⋅+⋅，故展开式中，常数项为10554(5)15C C +-=．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 _____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．直线122y x =-与曲线sin cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的交点坐标是 _____ ．【答案】11(,)22【解析】∵2cos 212sin ϕϕ=-，∴曲线方程化为212y x =-，与直线122y x =-联立，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由1sin 1ϕ-≤≤，故3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22．【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域．．，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里），平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图．【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，111,A D b A A c ==．则下列向量中与1B M 相等的向量是A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是 A ．若//a b ，则//αβ B ．若αβ⊥，则a b ⊥ C ．若,a b 相交，则,αβ相交 D ．若,αβ相交，则,a b 相交【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg3(0,]3 C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值 D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈ 【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe xx y x x ⋅--'==，∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<．可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===c 的长度．【解】∵1sin 2S ab C =，∴sin 2C =， ......（4分）于是60C ∠=︒，或120C ∠=︒， ......（6分）又2222cos c a b ab C =+- ......（8分）当60C ∠=︒时，222c a b ab =+-，c = ...... （10分）当120C ∠=︒时，222c a b ab =++，c = ...... （12分）故c【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题．18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值．【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+，得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分）若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(5,0),(5,0)F F -． ......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4(5,)3P ，于是12144,33PF PF ==，故1272PF PF =；...（9分）若12F PF ∠为直角，则22194155x y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+-⎩，解得3545,x y ==，即3545(,)P ，于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示）【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--．......（4分）∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=，∴A F C E ''⊥． ......（6分）（II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=，三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=，当且仅当2ax y ==时，等号成立．因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分）过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角．在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高，∴,tan 4B B BD a B DB BD''=∠==，故二面角B EF B '--的大小为tan arc ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w z n N -==∈|．（Ⅰ）设α是方程1x x+=的一个根．试用列举法表示集合M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【解】（Ⅰ）∵α是方程210x +=的根，∴1)i α=+或2)i α=-． ......（2分）当1)i α=+时，∵222111111(),n n n i i ααααα-===，∴1111111,,,(1),(1),(1),)2222i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪==+---+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．当2)2i α=-时，∵22i α=-，∴21222211,,,ii M M αααααα⎧⎫--==⎨⎬⎩⎭．因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即),(1),),(1)2222M i i i i α⎫⎪=+---+-⎬⎪⎪⎩⎭． ......（8分）于是，24213P C ==． ......（10分）（Ⅱ）证明：∵z M ω∈，∴存在m N ∈，使得2(1)m z ω-=．......（12分）于是对任意2(1)(21)(21),n m n n N z ω---∈=，由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，所以z M M ω⊆．......（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设21()1f x x=+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分）（Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==，在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+，清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分）则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++．于是，当22a >时，12f f >；当22a =时，12f f =；当022a <<时，12f f <．因此，当22a >时，清洗两次后残留在农药量较少；当22a =时，两种清洗方法具有相同的效果；当022a <<时，一次清洗残留的农药量较少． ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力． 22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+．（Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；数据0x 的（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞，∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分）（Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =．即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+．故当01x =时，1n x =；word 格式-可编辑-感谢下载支持当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分）（Ⅲ）解不等式421x x x -<+，得1x <-或12x <<．要使12x x <，则11x <-或112x <<． ......（12分）对于函数426()411x f x x x -==-++，若11x <-，则21322()4,()x f x x f x x =>=<． ......（15分）当112x <<时，21()x f x x =>，且212x <<，依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()n n x x n N +>∈．综上所述，1(1,2)x ∈．由10()x f x =，得0(1,2)x ∈．. .....（18分）【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．。

【高考数学试题】2001年高考.全国卷.理科数学试题及答案

【高考数学试题】2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式 ()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x （C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x （3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21）（B ）（0，21] （C ）（21，+∞）（D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（A ）（B ）（C ）（D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π（C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75°（10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题：○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

2001年高考数学试题(全国理)及答案

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是 (A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是 (A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y(B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π(C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π(7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为 (A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8)若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b(A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为 (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°(10)设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：①若f (x )单调速增，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递增; ②若f (x )单调速增，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递增; ③若f (x )单调速减，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递减;④若f (x )单调速减，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递减; 其中，正确的命题是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 (A)P 3>P 2>P 1 (B) P 3>P 2=P 1 (C) P 3=P 2>P 1 (D) P 3=P 2=P 1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26； (B)24； (C)20； (D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF ⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为_________。

2001年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是(A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是(A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y (B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π (7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为(A) 43(B) 32 (C) 21 (D) 41(8)若ba =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b (A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调速增，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递增;②若f(x)单调速增，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递增;③若f(x)单调速减，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递减;④若f(x)单调速减，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递减;其中，正确的命题是(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则(A)P3>P2>P1 (B) P3>P2=P1(C) P3=P2>P1(D) P3=P2=P1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26(B)24(C)20(D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+yx的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。

2001年高考数学试题及答案(全国理)

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ,则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1,-1),B(-1,1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1,0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0,则 a 的取值范围是 (A)(0,21) (B) (0,21] (C) (21,+∞) (D) (0,+∞) (5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是 (A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y (B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y(D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π(7)若椭圆经过原点,且焦点为F 1(1,0),F 2(3,0),则其离心率为 (A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8)若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40,则(A)a <b(A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中,若AB =2BB 1,则AB 与C 1B 所成的角的大小为 (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°(10)设f (x )、g (x )都是单调函数,有如下四个命题：①若f (x )单调速增,g (x )单调速增,则f (x )-g (x ))单调递增; ②若f (x )单调速增,g (x )单调速减,则f (x )-g (x ))单调递增; ③若f (x )单调速减,g (x )单调速增,则f (x )-g (x ))单调递减; ④若f (x )单调速减,g (x )单调速减,则f (x )-g (x ))单调递减; 其中,正确的命题是(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 (A)P 3>P 2>P 1 (B) P 3>P 2=P 1 (C) P 3=P 2>P 1 (D) P 3=P 2=P 1(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26 (B)24 (C)20 (D)19二．填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上．若PF ⊥PF 2,则点P 到x 轴的距离为_________。

2001年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是(A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是(A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y (B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π (7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为(A) 43(B) 32 (C) 21 (D) 41(8)若ba =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b (A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调速增，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递增;②若f(x)单调速增，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递增;③若f(x)单调速减，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递减;④若f(x)单调速减，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递减;其中，正确的命题是(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则(A)P3>P2>P1 (B) P3>P2=P1(C) P3=P2>P1(D) P3=P2=P1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26(B)24(C)20(D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+yx的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。

2001年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是(A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是(A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y (B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π (7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为(A) 43(B) 32 (C) 21 (D) 41(8)若ba =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b (A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调速增，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递增;②若f(x)单调速增，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递增;③若f(x)单调速减，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递减;④若f(x)单调速减，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递减;其中，正确的命题是(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则(A)P3>P2>P1 (B) P3>P2=P1(C) P3=P2>P1(D) P3=P2=P1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26(B)24(C)20(D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+yx的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。

2001年高考理科数学试题及答案

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x（C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x（3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21）（B ）（0，21] （C ）（21，+∞）（D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（A ）（B ）（C ）（D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π （C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π （7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75° （10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题： ○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

2001年高考.上海卷.理科数学试题及答案

方程为
.
4.设集合 A={x|2lgx=lg(8x—15)，x∈R}B={x|cos ＞0，x∈R}，则 A∩B 的元素个数
为个.
5.抛物线 x2－4y－3=0 的焦点坐标为
.
6.设数列是公比 q＞0 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和. Sn＝7，则此数列的首
项 a1 的取值范围是
.
7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种.
x0 的值；（3）若输出 x0 时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数 n 均有
xn＜xn+1，求 x0 的取值范围.
第 4页（共 6页）
参考答案一、1.3 2.153 3.x2－4y2=1 4.1 5.（0，） 6.（0，7） 7.7
8.15 9.[0， ] 10.（，）
11.设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2 ① 由①－②，得两圆的对称轴方程.
，x∈（1，+∞）的值域为
ห้องสมุดไป่ตู้
0,
lg3 3
C. y= lgx ，x∈（1，+∞）有最小值 x
lin D.
lgn =0 ，n∈N
n n
三、解答题 17.已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若 a=4，b=5，
S=5 ，求 c 的长度.
第 2页（共 6页）
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为：f1=
，
清洗两次后残留的农药量为：f2=
=
则由 f1－f2 可得：
①当 a＞2 时，f1＞f2；②当 a＝2 时， f1＝f2；③当 0＜a＜2 时，f1＜f2.

2001年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案

2001年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点)1,1(-A 、)1,1(-B 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x（C ）4)1()1(22=-+-y x （D ）4)1()1(22=+++y x（3）设}{n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间)0,1(-内函数)1(log )(2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）)21,0( （B ）]21,0( （C ）),21(+∞ （D ）),0(+∞（5）极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)1arccos(--=x y (20≤≤x ) （B ） )1arccos(--=x y π(20≤≤x )（C ）)1arccos(-=x y (20≤≤x ) （D ）)1arccos(-+=x y π(20≤≤x )（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,1(1F ，)0,3(2F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（A ）︒60 （B ）︒90 （C ）︒105 （D ）︒75（10）设)(x f 、)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >> （B ）123P P P => （C ）123P P P >= （D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线肤表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26 （B ）24（C ）20 （D ）19二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填空在题中横线上.（13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 . （14）双曲线116922=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上.若21PF PF ⊥，则迠P 到x 轴的距离为 .（15）设}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和.若}{n S 是等差数列，则q ＝（16）圆周上有n 2个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，21=AD . （1）求四棱锥ABCD S -的体积；（2）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（18）（本小题满分12分）已知复数31)1(i i z -=.（1）求1arg z 及||1z ；（2）当复数z 满足1||=z ，求||1z z -的最大值.（19）（本小题12分）设抛物线px y 22=（0>p ）的焦点F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。

2001年春季高考.上海卷.数学试题及答案

绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学试卷考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．1．函数)0(1)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f ______．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z =________．3．函数xx y cos 1sin -=的最小正周期为________． 4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为________． 5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：n n n n )13(lim ++∞→=________． 8．若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________． 9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_______11．关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题：（1）对任意的φ，)(x f 都是非奇非偶函数；（2）不存在φ，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数；（3）存在φ，使)(x f 是奇函数；（4）对任意的φ，)(x f 都不是偶函数其中一个假命题的序号是_______因为当φ=_______时，该命题的结论不成立12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13．若a 、b 为实数，则0>>b a 是22b a >的（）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既非充分条件也非必要条件．14．若直线1=x 的倾斜角为α，则α（）（A ）等于0 （B ）等于4π （C ）等于2π （D ）不存在 15．若有平面α与β，且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,, ，则下列命题中的假命题为（）（A ）过点P 且垂直于α的直线平行于β．（B ）过点P 且垂直于l 的平面垂直于β．（C ）过点P 且垂直于β的直线在α内．（D ）过点P 且垂直于l 的直线在α内．16．若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（）（A ）}{12+k a （B ）}{13+k a （C ）}{14+k a （D ）}{16+k a三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知R 为全集，}125|{},2)3(log |{21≥+=-≥-=x x B x x A ，求B A 18．（本题满分12分）已知)24(12sin sin 22π<α<π=α+α+αk tg ，试用k 表示ααcos sin -的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．（1）求a 关于h 的函数解析式；（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别1BB 、1DD 上，且B A AE 1⊥，A AF 1⊥（1）求证：AEF C A 平面⊥1；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试根据上述定理，在4=AB ，3=AD ，51=AA 时，求平面AEF 与平面BD B D 11所成的角的大小（用反三角函数值表示）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分已知椭圆C 的方程为1222=+y x ，点),(b a P 的坐标满足222≤+b a 过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数． 22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 为它的前n 项和．（1）用n S 表示1+n S ；（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS c S k k 成立．数学试卷答案要点及评分标准说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．给分或扣分均以1分为单位．答案及评分标准一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分．1．)1(1≥--x x ．2．i -1．3．π2．4．20．5．116922=-y x ．6．1)1()1(22=-+-y x ． 7．2e ．8．90°．9．54．10．),(*)()*(c a b a c b a ++=+ . 等)()(,)()()()(),()()*(c b*a c a*b *b c a *a c b *c b a c b a*b*c a*c c b a +=++=+=+=++=+11．（1），)(Z k k ∈π；（1），)(2Z k k ∈π+π；（4），)(2Z k k ∈π+π等（两个空格全填对时才能得分，其中k 也可以写成任何整数）12．219.01二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分13．A 14．C 15．D 16．B三、（第17至22题）17．解由已知4log )3(log 11≥-x 因为x y 21log =为减函数，所43≤-x由⎩⎨⎧>-≤-0343x x 解得31<≤-x所以}31|{<≤-=x x A 由125≥+x ，解得2≤<-x 所以}32|{≤<-=x x B 于是3}1|{≥-<=x x x A 或故}312|{=-<<-=x x x B A 或18．解因为αα=α+α+αcos sin 2tg 12sin sin 22 所以αα=cos sin 2k因而k -=αα-=α-α1cos sin 21)cos (sin 2又24π<α<π，于是0cos sin >α-α 因此k -=α-α1cos sin19．解（1）设'h 为正四棱锥的斜高由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'h a 41h ,2a 'h 214a 2222 解得)0(112>+=h h a（2）)0()1(33122>+==h h h ha V 易得)h 1h (31V +=因为2121=⋅≥+h h h h ，所以61≤V 等式当且仅当hh 1=，即1=h 时取得故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米． 20．证（1）因为B A CB 1平面⊥，所C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1由B A AE AE B A 11,平面⊂⊥，得AE C A ⊥1，同理可证AF C A ⊥1因为AE C A AF C A ⊥⊥11,所以AEF C A 平面⊥1解（2）过A 作BD 的垂线交CD 于G ，因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥ 设AG 与C A 1所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角．由已知，计算得49=DG ．如图建立直角坐标系，则得点(0,0,0)A ， )0,3,4(),5,0,0(),0,3,49(1C A G ， }5,3,4{},0,3,49{1-==C A AG ，因为AG 与C A 1所成的角为α 所以25212||||cos 11=⋅⋅=αC A AG C A AG25212arccos =α 由定理知，平面AEF 与平面CEF 所成角的大小为25212arccos21．解（1）设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，点Q 的坐标为),(y x Q ．当21x x ≠时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为b a x k y +-=)( 由已知12,1222222121=+=+y x y x （1） b a x k y b a x k y +-=+-=)(,)(2211（2）由（1）得0))((21))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，（3）由（2）得b ak x x k y y 22)(2121+-+=+，（4）由（3）、（4）及221x x x +=，221y y y +=，2121x x y y k --=，得点Q 的坐标满足方程 2222=--+by ax y x （5）当21x x =时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴上，即Q 的坐标为（a ，0）显然点Q 的坐标满足方程（5）综上所述，点Q 的坐标满足方程 2222=--+by ax y x设方程（5）所表示的曲线为L ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+=--+,12,0222222y x by ax y x 得24)2(2222=-+-+b ax x b a 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∆128222b a b ，由已知1222≤+b a ，所以当1222=+b a 时，△=0，曲线L 与椭圆C 有且只有一个交点P （a ，b ）当1222<+b a 时，△＜0，曲线L 与椭圆C 没有交点因为（0，0）在椭圆C 内，又在曲线L 上，所以曲线L 在椭圆C 内故点Q 的轨迹方程为02222=--+by ax y x（2）由⎩⎨⎧==--+,0,02222x by ax y x 解得曲线L 与y 轴交于点（0，0），（0，b ）由⎩⎨⎧==--+,0,02222y by ax y x 解得曲线L 与x 轴交于点（0，0），（a ，0）当a =0，b =0，即点P （a ，b ）为原点时，（a ，0）、（0，b ）与（0，0）重点，曲线L 与坐标轴只有一个交点（0，0）当a =0且20≤<b ，即点P （a ，b ）不在椭圆C 外且在除去原点的y 轴上时，点（a ，0）与（0，0）重合，曲线L 与坐标轴有两个交点（0，b ）与（0，0）同理，当b =0且10≤<a ，即点P （a ，b ）不在椭圆C 外且在除去原点的x 轴上时，曲线L 与坐标轴有两个交点（a ，0）与（0，0）当10<<a 且)1(202a b -<<，即点P （a ，b ）在椭圆C 内且不在坐标轴上时，曲线L 与坐标轴有三个交点（a ，0）、（0，b ）与（0，0）22．解（1）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114，得 (221211411N n S S n n n ∈+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++ （2）要使21>--+c S c S k k ，只要223<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--kk S c S c 因为42114<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k S ，所以N)(k S S S k k k ∈>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--0212223，故只要(k S c S k k ∈<<-223 ① 因为)(1N k S S k k ∈>+，所以12232231=-≥-S S k ，又4<k S ，故要使①成立，c 只能取2或3当c =2时，因为21=S ，所以当k =1时，k S c <不成立，从而①不成立因为c S >=-252232，由)(1N k S S k k ∈<+，得2232231-<-+k k S S ，所以当2≥k 时，c S k >-223，从而①不成立当c =3时，因为21=S ，32=S ，所以当k =1，2时，k S c <不成立，从而①不成立因为c S >=-4132233，又2232231-<-+k k S S ，所以当3≥k 时，c S k >-223，从而①不成立故不存在自然数c 、k ，使21>--+cS c S k k 成立。

(详细解析)2001年上海高考数学(理科)

2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知812,(,1]()log ,(1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则满足1()4f x =的x 值为 ___ ．【答案】3【解析】1x ≤时，1()24xf x -==，2x =，不合题意，舍去；1x >时，81()log f x x = 14=，14813x ==，综上可得3x =．【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．2．设数列{}n a 的通项为27,n a n n N =-∈，则1215a a a ++⋅⋅⋅+= ____ ．【答案】153【解析】由270n a n =-≥，解得72n ≥，所以数列的前3项为负数，则1215123(531)(13523)9121532a a a +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+=+⨯=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 _____ ．【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求．【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素个数为 _____ 个．【答案】1【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ．【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ．【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示）【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在2521(425)(1)x x x--+的展开式中，常数项为 _____ ．【答案】15【解析】由于25200122455521(425)(1)(425)(x x x x C x C x C x x----+=--⋅+⋅+⋅+ 3648485105555)C x C x C x C x ----⋅+⋅+⋅+⋅，故展开式中，常数项为10554(5)15C C +-=．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 _____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．直线122y x =-与曲线sin cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的交点坐标是 _____ ．【答案】11(,)22【解析】∵2cos 212sin ϕϕ=-，∴曲线方程化为212y x =-，与直线122y x =-联立，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由1sin 1ϕ-≤≤，故3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22．【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域．．，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里），平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图．【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，111,A D b A A c ==．则下列向量中与1B M 相等的向量是 A ．1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是A ．若//a b ，则//αβB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg3(0,]3C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe xx y x x⋅--'==， ∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<．可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===，求c 的长度．【解】∵1sin 2S ab C =，∴sin 2C =， ......（4分）于是60C ∠=︒，或120C ∠=︒， ......（6分）又2222cos c a b ab C =+- ......（8分）当60C ∠=︒时，222c a b ab =+-，c =...... （10分）当120C ∠=︒时，222c a b ab =++，c =． ...... （12分）故c．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题． 18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值．【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+，得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分）若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(F F ． ......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4)3P ，于是12144,33PF PF ==，故1272PF PF =；...（9分）若12F PF ∠为直角，则221941x y ⎧+=⎪⎪⎨=-，解得,55x y ==，即(,55P ，于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示）【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--．......（4分） ∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=，∴A F C E ''⊥． ......（6分）（II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=，三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=，当且仅当2ax y ==时，等号成立．因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分）过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角．在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高， ∴2,tan 224B B BD a B DB BD''=∠==，故二面角B EF B '--的大小为tan 22arc ． ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w z n N -==∈|．（Ⅰ）设α是方程1x x+=M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【解】（Ⅰ）∵α是方程210x +=的根，∴1(1)2i α=+或2(1)2i α=-． ......（2分）当1(1)2i α=+时，∵222111111(),n n n i i ααααα-===，∴1111111,,,),),)i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪==+-+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．当2)i α=-时，∵22i α=-， ∴21222211,,,ii M M αααααα⎧⎫--==⎨⎬⎩⎭．因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即),(1),),(1)2222M i i i i α⎫⎪=+---+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭． ......（8分）于是，24213P C ==． ......（10分）（Ⅱ）证明：∵z M ω∈，∴存在m N ∈，使得2(1)m z ω-=．......（12分）于是对任意2(1)(21)(21),n m n n N z ω---∈=，由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，所以z M M ω⊆．......（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设21()1f x x =+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分）（Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==，在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+，清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分）则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++．于是，当a >12f f >；当a =12f f =；当0a <<12f f <．因此，当a >当a =当0a << ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+．（Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞， ∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分）（Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =．即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+．故当01x =时，1n x =；当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分）（Ⅲ）解不等式421x x x -<+，得1x <-或12x <<．要使12x x <，则11x <-或112x <<． ......（12分）对于函数426()411x f x x x -==-++，若11x <-，则21322()4,()x f x x f x x =>=<． ......（15分）当112x <<时，21()x f x x =>，且212x <<，依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()n n x x n N +>∈．综上所述，1(1,2)x ∈．由10()x f x =，得0(1,2)x ∈．. .....（18分）【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试上海卷理科

2001年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）物理第Ⅰ卷－、（40分）选择题，本大题共8小题，每小题5分，每小题给出的四个答案中，至少有一个是正确的，把正确答案全选出来，并将正确答案前面的字母填写在题后的方括号内，每小题全选对的得5分；选对但不全，得部分分；有选错或不答的，得0分。

填写在方括号外的字母，不作为选出的答案。

1．跳伞运动员在刚跳离飞机、其降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法中正确的是A．空气阻力做正功 B．重力势能增加C．动能增加 D.空气阻力做负功．2．卢瑟福原子核式结构理论的主要内容有A．原子的中心有个核，叫做原子核B．原子的正电荷均匀分布在整个原子中C．原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里D．带负电的电子在校外绕着核旋转3．A、B两点各放有电量为十Q和十2Q的点电荷，A、 B、C、D四点在同一直线上，且AC＝CD＝DB．将一正电荷从C点沿直线移到D点，则A．电场力一直做正功 B．电场力先做正功再做负功B．电场力一直做负功 D．电场力先做负功再做正功4．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动。

由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T。

下列表达式中正确的是A．T＝2π B．T＝2πC．T＝ D．T＝5．如图所示，有两根和水平方向成。

角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为及一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下。

经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度几，则A．如果B增大，v m将变大B．如果α变大，v m将变大C．如果R变大，v m将变大D．如果m变小，v m将变大6．如图所示是一种延时开关，当S1闭合时，电磁铁F将衔铁D吸下，C线路接通。

当S1断开时，由于电磁感应作用，D将延迟一段时间才被释放。

2001年普通高等学校招生全国统一考试上海卷理科

2001年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）化学第I 卷相对原子质量:二、选择题（本题共36分）,每小题3分，只有一个正确选项，答案涂写在答题纸上。

6. 下列物质属于分子晶体的化合物是A .石英B .硫磺C .干冰D .食盐7. 铜片和锌片用导线连接后插入稀硫酸中，锌片是A .阴极B .正极C .阳极D .负极第28届国际地质大会提供的资料显示，海底有大量的天然气水合物，可满足人类 1000年的能源需要。

天然气水合物是一种晶体，晶体中平均每46个水分子构建成8个笼，每个笼可容纳五个CH 4分子或1个游离H 2O 分子。

根据上述信息，完成第 8、9题： &下列关于天然气水合物中两种分子极性的描述正确的是H-l C- 12 N-14 O — 16 Mg — 24 S-32K-39Fe- 56I-127Cl-35.5、选择题（本题共 10分）,每小题2分，只有一个正确选项，答案涂写在答题纸上。

1. 漂粉精的有效成分是A . Ca (OH ) 2B . Ca (ClO ) 2C . CaCbD . CaCO 32. 美国科学家将两种元素铅和氟的原子核对撞，获得了一种质子数为元素，该元素原子核内的中子数与核外电子数之差是 118、中子数为175的超重3. A . 57B . 47C . 61D . 293 F 列物质不属于城市空气质量日报”报道的是 A .二氧化硫B. 氮氧化物C. 二氧化碳D .悬浮颗粒4. F 列分子的电子式书写正确的是A .氨B .四氯化碳 ClC1：C ：C)D .二氧化碳5. F 列科学家中，为我国化学工业作出重大贡献的是A .邓稼先B .李四光C .华罗庚D .侯德榜A .两种都是极性分子B .两种都是非极性分子C. CH4是极性分子，H2O是非极性分子 D . H20是极性分子，CH4是非极性分子9. 若晶体中每8个笼只有6个容纳了CH4分子，另外2个笼被游离H2O分子填充，则天然气水合物的平均组成可表示为A . CH4 •14H2OB . CH4 •8H2O C. CH4 •(23/3)H2O D . CH4 •6H2O10. 标准状况下H2S和O2混合气体100mL，经点燃后反应至完全，所得气体经干燥后，恢复到原来状况时体积为10mL，该10mL气体可能是A . H2S、SO2 B. O2 C. H2S D. SO311 .碱金属与卤素所形成的化合物大都具有的性质是①高沸点②能溶于水②水溶液能导电④低熔点⑤熔融状态不导电A .①②③B .③④⑤C.①④⑤ D .②③⑤12.下列离子在溶液中因发生氧化还原反应而不能大量共存的是A . H3O+> NO3「、FeU Na+B . Ag +> NO3：C「、K+C . K*、Ba2： OH「、SO42一D . Cu"、NH4S Br「、OH一13 .下列反应的离子方程式错误的是A .向碳酸氢钙溶液中加人过量氢氧化钠Ca2+ + 2HCO3「+ 2OH ―CaCO? J + 2出0+ CO32「B. 等体积等物质的量浓度的氢氧化钡溶液与碳酸氢按溶液混合Ba2+ + 2OH「+ NH + + HCO 3^^ BaCO s J+ NH 3 • H2O + H2O+ 2 +C. 氢氧化铝与足量盐酸反应Al (OH ) 3+ 3H T Al + 3H2OD .过量CO2通入氢氧化钠溶液中CO2+ 2OH CO32_+ H2O14 .氯化铁溶液与氢氧化铁胶体具有的共同性质是A. 分散质颗粒直径都在I〜100 nm之间B.能透过半透膜C.加热蒸干、灼烧后都有氧化铁生成D.呈红褐色15 .下列实验中用错试剂的是A. 用稀盐酸清洗做焰色反应的镍铬丝B. 用酒精萃取碘水中的碘C. 用稀硝酸洗去残留在试管壁上的铜D .用碱石灰吸收氨气中的水蒸气16 .设N A为阿佛加德罗常数，下列说法不正确的是A. 标准状况下的22.4L辛烷完全燃烧，生成二氧化碳分子数为8N A22.B. 18g 水中含有的电子数为 10N AC. 46g 二氧化氮和46g 四氧化二氮含有的原子数均为 D .在1L2mol/L 的硝酸镁溶液中含有的硝酸根离子数为A . 2种B . 3种C . 4种D . 5种选择题（本题共20分）,每小题4分，每小题有一个或两个正确选项。

2001年高考全国卷理科数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x（C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x（3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21）（B ）（0，21] （C ）（21，+∞）（D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（A ）（B ）（C ）（D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π （C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π （7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75° （10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题： ○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

2001高考试题——数学理(全国卷)

绝密★启用前2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1．答第Ⅰ卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）,0cos sin >θθ则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（3）设{a n }逆增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）极坐极方程)4sin(2πθρ+=的图形是)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长. 台体的体积公式h s s s s V )(31+'+'=台体其中s ′、s 分别表示上、下底面的面积，h 表示高.（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π （C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y（D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π（7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（A ）43（B ）32（C ）21（D ）41（8）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（9）在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=- （A ）60°（B ）90°（C ）105°（D ）75°（10）设)(),(x g x f 都是单调函数，有如下四个命题：①若;)()(,)(,)(单调递增则单调递增单调递增x g x f x g x f - ②若;)()(,)(,)(单调递增则单调递减单调递增x g x f x g x f - ③若;)()(,)(,)(单调递减则单调递增单调递减x g x f x g x f - ④若;)()(,)(,)(单调递减则单调递减单调递减x g x f x g x f - 其中,正确的命题是（A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（A ）P 3＞P 2＞P 1（B ）P 3＞P 2＝P 1（C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ）24（C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．（13）若一个园锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 .（14）双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2,则点P 到x 轴的距离为 .（15）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q = .（16）圆周上有2n 个等分点（n>1）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）得分评卷人如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，⊥︒=∠SA ABC ,90面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（18）（本小题满分12分）已知复数.)1(31ii z -=（Ⅰ）求1arg z 及|z 1|；（Ⅱ）当复数z 满足|z|=1，求||1z z -的最大值.（19）（本小题满分12分）设抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC//x 轴.证明直线AC 经过原点O.DSABC（20）（本小题满分12分）已知n m i ,,是正整数，且.1n m i <≤<（Ⅰ）证明;i n i im i P m P n <（Ⅱ）证明.)1()1(mn n m +>+（21）（本小题满分12分）某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少51.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.41 （Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（22）（本小题满分14分）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0，21]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f （1）=a ＞0．（Ⅰ）);41(),21(f f 求（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数；（Ⅲ）记),212(nn f a n +=求).(ln lim n n a ∞→。

： 2001年春季高考上海理科答案

数学试卷答案要点及评分标准说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．给分或扣分均以1分为单位．答案及评分标准一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分． 1．)1(1≥--x x ． 2．i -1． 3．π2． 4．20．5．116922=-yx．6．1)1()1(22=-+-y x ．7．2e ． 8．90°．9．54．10．),(*)()*(c a b a c b a ++=+. 等)()(,)()()()(),()()*(c b*a c a*b *b c a *a c b *c b a c b a*b*c a*c c b a +=++=+=+=++=+11．（1），)(Z k k ∈π；（1），)(2Z k k ∈π+π；（4），)(2Z k k ∈π+π等。

（两个空格全填对时才能得分，其中k 也可以写成任何整数） 12．219.01二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。

13．A 14．C 15．D 16．B 三、（第17至22题）17．解由已知4log )3(log 2121≥-x因为x y 21log =为减函数，所43≤-x由⎩⎨⎧>-≤-0343x x解得31<≤-x所以}31|{<≤-=x x A 由125≥+x ，解得32≤<-x 。

所以}32|{≤<-=x x B于是3}1|{≥-<=x x x A 或故}312|{=-<<-=x x x B A 或18．解因为αα=α+α+αcos sin 2tg 12sin sin22所以αα=cos sin 2k因而k -=αα-=α-α1cos sin 21)cos (sin 2 又24π<α<π，于是0cos sin >α-α因此k -=α-α1cos sin19．解（1）设'h 为正四棱锥的斜高由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'h a 41h ,2a 'h 214a 2222解得)0(112>+=h h a（2）)0()1(33122>+==h h h haV易得)h1h (31V +=因为2121=⋅≥+h h hh ，所以61≤V等式当且仅当hh 1=，即1=h 时取得。

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2001年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试题（理工农医类）
一、填空题：
1.设函数f(x)= (]⎩⎨⎧+∞∈∞∈-)
,1(x ,x log ,1-x ,281x ，则满足f(x)= 41
的x 值为 .
2.设数列
的通项为a n =2n －7(n ∈N)，则|a 1|＋|a 2|……＋|a 10|= .
3.设P 为双曲线－y 2
=1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹
方程为 .
4.设集合A={x|2lgx=lg(8x —15)，x ∈R}B={x|cos ＞0，x ∈R}，则A ∩B 的元素个数
为个.
5.抛物线x 2
－4y －3=0的焦点坐标为 . 6.设数列
是公比q ＞0的等比数列，S n 是它的前n 项和.S n ＝7，则此数列的首
项a 1的取值范围是 . 7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种种.（结果用数值表示）
8.在代数式(4x 2
－2x －5)(1+
)5
的展开式中，常数项为 .
9.设x=sin α，α∈［－，］，则arccosx 的取值范围为 .
10.直线y=2x －与曲线
（φ为参数）的交点坐标为 .
11.已知两个圆：x 2
+y 2
=1①与x 2
+(y －3)2
=1②，则又①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 . 12. 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况.由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为 .
二、选择题
13.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a －1)y=a －7平行且不重合的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件 14.如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若
＝、
＝
、
＝，则下列向量中与
相等的向量是（）
A.－＋＋
B.＋＋
C.－＋
D.－－＋
15.已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是（）
A. 若a ∥b ，则α∥β
B.若α⊥β，则a ⊥b
C.若a 、b 相交，则α、β相交
D.若α、β相交，则a 、b 相交
16. 用计算器验算函数y=x
lgx
（x ＞1）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（） A. y=
x lgx 在（1，+∞）上是单调减函数 B. y=x lgx ，x ∈（1，+∞）的值域为⎥⎦⎤
⎝⎛3lg3,0 C. y=
x lgx ，x ∈（1，+∞）有最小值 D. n
lgn lin n ∞→=0 ，n ∈N
三、解答题
17.已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5，S=5，求c 的长度.
18.设F 1、F 2为椭圆＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点.已知P 、F 1、F 2是一个
直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|,求的值.
19.在棱长为a 的正方体OABC －O'A'B'C'中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF. （1）求证：A'F ⊥C'E ；
（2）当三棱锥B'－BEF 的体积取得最大值时，求二面角B'－EF －B 的大小.（结果用反三角函数表示）
20.对任意一个非零复数z ，定义集合M z ={ω|ω=z 2n-1
，n ∈N}.
（1）设a 是方程x+＝的一个根，试用列举法表示集合M a .若在M a 中任取两个数，
求其和为零的概率P ；
（2）设复数ω∈M z ，求证M ωM z .
21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的
2
1
，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次．．．．以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数f （x ）.
（1）试规定f （0）的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f （x ）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f （x ）=
2
x 11
，现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平
均分成2份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由. 解答:
22. 对任意函数f （x ），x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f （x 0）；
②x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入断，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去.现定义f（x）=.
（1）若输出x0=，则由数列发生器产生数列{x n}.请写出数列{x n}
的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据
x0的值；
（3）若输出x0时，产生的无穷数列{x n}满足：对任意正整数n均有
x n＜x n+1，求x0的取值范围.
参考答案
一、1.3 2.153 3.x2－4y2=1 4.1 5.（0，） 6.（0，7） 7.7
8.15 9.[0，] 10.（，）
11.设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2① (x－c)2+(y－d)2=r2②（a≠c或b≠d），
由①－②，得两圆的对称轴方程.
12.
二、CADD
三、17.或.
18.2或.
19.（1）利用空间直角坐标系证明；
（2）arctan2.
20.（1） M a={(1+i)，－(1－i)，－(1+i)，(1－i)}.
∴P==.
（2）∵ω∈M z，∴存在m∈N，使得ω=z2m－1.于是对任意n∈N，ω2n－1=z(2m－1)(2n－1)，
由于(2m－1)(2n－1)是正奇数，ω2n－1∈M z，所以MωM z .
21.（1）f（0）＝1表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持原样；
（2）函数f（x）应满足的条件和具有的性质是：
f（0）＝1， f（1）＝，在[0，＋∞）上 f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1；
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为：f1=，
清洗两次后残留的农药量为：f2==
则由f1－f2可得：
①当a＞2时，f1＞f2；②当a＝2时， f1＝f2；③当0＜a＜2时，f1＜f2.
22.（1）x1=，x2=，x3=－1.
（2）当x0=1时，x n=1，当x0=2时，x n=2.
（3）x0∈（1，2）,
2001年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）。