解三角形专题强化训练及答案

∠B=30°， △ABC 的面积为 3 ，那么 b 等于
．
2
【解析】法一（传统解法）：a、b、c 成等差数列 a c 2b ， S 3 1 ac sin B 1 ac ac 6 ；故
22
4
根据余弦定理 cos B a2 c2 b2 3 a c2 2ac b2 3b2 2ac b2 4 b 3 1.
2ac
2
2ac
2ac
4
法二（利用灵动椭圆面积公式）：
S

1 4
a

c 2

b
2

1
sin B cos B

1 4
4b 2 b 2
1 2
3b
1
3 2
2
3 1.
【例 8】（2010•浙江卷）在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为 △ABC 的面积，满足
ab
a b2 c2 21 cos C ，又S =
1 ab sin C 2
公式二： S

1 4
a

b
2

c
2

1
sin C cos
C

1 4

a

b
2
c 2
tan C 2
.（椭圆灵动焦点三角形面积公式）
同理 2ab 1 cos C
c2 ) tan C

3 (a2 b2 c2 ) tanC 4
3 ，Βιβλιοθήκη BaiduC 60 ；
（2） sin A sin B sin A sin 120 A 3sin A 3cos A 3 sin A 30 ，
2
2
当 A 60 ， sin A sin B 取得最大值 3 ．
．
【解析】 (a b c)(a b c) 2ab 1 cos C 3ab ，故1 cos C 3 ， cos C 1 ， C 600
2
2
【例 5】（2010•辽宁卷）在 △ABC 中， a ，b ，c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且
2asin A 2b csin B 2c bsin C ．
所以， a DC BD b cos C (c cos B) b cos C c cos B ．
【例 1】（2013•陕西）设 △ABC ， b cosC C cos B a sin A ，则 △ABC 的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
图1
图2
图3
几何解释：（1）当 △ABC 为直角三角形时（如图 1），不妨设角 B 为直角，由直角三角形的边角关系得
a bcosC ，又 cos B 0 ，所以 a b cosC c cos B .
（2）当 △ABC 为锐角三角形时（如图 2）过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D.由直角三角形的边角关系得
D． ，
33
3 A . 3
acosB bcosA c csinC sinC 1 C ，故 B .
2
6
77
学习数学，领悟数学，秒杀数学。
第三章 解三角形
秒杀秘籍：二板斧之灵动面积周长公式
1．余弦定理推导式： (a b c)(a b c) a b 2 c 2 2ab 1 cos C ，（把 a+b 当做一个整体）
且 a b ，则 B （ ）
A．
6
B．
3
C． 2 3
D． 5 6
【解析】 a sin B cos C c sin B cos A 1 b a cos C c cos A R b sin B b 1 B ，故选 A ．
2
2R 2
6
【例 4】（2017•浙江模拟）在 △ABC 中，已知三边 a、b、c 满足 (a + b + c)(a + b - c) = 3ab ，则∠C 等于
（1）求 A 的大小； （2）求 sin B sin C 的最大值．
【解析】根据正弦定理得 2a2 2(2b c)b (2c + b)c ，即 a2 b2 c2 bc ，故 cos A 1 A 120 ． 2
sin B sin C sin B sin(60 B) 3cos B 1sin B sin(60 B)
a
b 2
c2

ab


2
a
1
b2
cos
c2
C
，代入
S
=
1 2
ab
sin
C
公式三： S

1 4

a

b
2
c 2
sin C 1 cos C

1 4
c
2
a b 2
1 tan C
.（双曲线灵动焦点三角形面积公式）
2
【例 3】（2013•辽宁）在 △ABC ，内角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a ，b ，c ，a sin B cos C c sin B cos A 1 b ， 2
2
三角形，故选 B．由于是选填，此题可以直接利用射影定理 a b cosC c cos B a sin A sin A 1 ，会更快.
【例 2】（2008•山东）△ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，向量 m ( 3 , 1) ，n (cosA , sinA) ，
cos 5 ) 所以 AB 2BC 的最大值为 2 27
7 ．故答案为 2
7.
注意：此题属于万能辅助角模型题，通常只需要用到 c 2a 2R 22 2 2 cos B 1sin A 2 7 即可．
【例 7】（2004•贵州卷） △ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，如果 a、b、c 成等差数列，
S 3 (a2 b2 c2 ) ． 4
（1）求角 C 的大小； （2）求 sin A sin B 的最大值．
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学习数学，领悟数学，秒杀数学。
第三章 解三角形
【解析】（1）
S

1 2
cos C
ab sin C a2 b2
2ab
c
2

S

1 (a2 4
b2
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专题 1
第三章 解三角形 解三角形之三板斧
秒杀秘籍：一板斧射影定理
在 △ABC 中，求证： a = b cosC + c cos B ， b = c cos A + a cosC ， c = a cos B + b cos A . 证明： 在 ABC 中，由 A B C ，得 A (B C) .
2
2
证明： sin A + sin B = sin A + sin (A + C )= sin A (1 + cos C )+ cos Asin C
= 2sin Acos2 C + 2 cos Asin C cos C = 2 cos C sin Acos C + cos Asin C = 2 cos C sin A + C
2．面积公式推导式：
公式一： S 1 ab sin C 1 (a2 b2 c2) sin C 1 (a 2 b 2 c 2) tan C .
2
2 2 cos C
4
2ab cos C
a2
b2
c2
2ab 1 cos C
a b 2 c2


sin C cos C
，故
sin
A


sinB

2 2 cos C 1
a - lb = 2R(sin A- lsin B) = 2R sin A(cosC - l)+ cos AsinC ，注意 cosC - l = 0的情况.
【例 6】（2011•新课标）在 △ABC 中， B 60 ， AC 3 ，则 AB 2BC 的最大值为
若 m n ，且 a cos B b cos A c sin C ，则角 A、B 的大小分别为 （ ）
A． ，
63
B．
2
，
36
C． ，
36

【解析】 m n x1x2 y1y2 3cosA sinA 0 sinA 3cosA tanA
3
sin A
式
y

S

1 2
bc
sin
A

1 2

4 sin
x

4 sin

2 3

x

34 2
3
sin
x
sin

2 3

x


6
sin
x
cos
x

2
3 sin 2x
2
3
sin

2
x

6


3
，
x


0,
2 3

；当
2x

6

2

．
【解析】 AB BC AC 3 2 ， AB 2BC c 2a 2 sin C 2sin A 2sin A B 4s in A ，
sin C sin A sin B sin 60
2(sin 60cos A cos 60sin A) 4sin A 3 cos A 5sin A 2 7 sin( A ) ，（ 其 中 sin 3 ， 27
所以 sin A sin(B C) sin B cos C cos B sin C .
设 △ABC 的外接圆半径为 R，由正弦定理得， a sin(B C) b cos C c cos B ，
2R
2R
2R
即 a b cos C c cos B .同理可证， b c cos A a cosC ， c a cos B b cos A .
【例 9】（2007•全国卷）在 △ABC 中，已知内角 A ，边 BC 2 3
3 .设内角 B x ，面积为 y .
（1）求函数 y f (x) 的解析式和定义域；
（2）求 y 的最大值.
【解析】 A ， BC 2 3 ， 2R a 4 ，b 2R sin B 4sin B ，c 2R sin C 4sin C ，根据面积公
2
22
2
2
2
2
2
故：
a
+
b
=
4R
cos
C 2
sin
A+ C 2
sin A sinB sin B C sin B sin B cos C cos B sin C cos C 2 sin2 C sin B ，其中
tan
x

3
时，
y
取得最大值 3
3.
【例
10】（2019•佛山质检）在 △ABC 中，角
A、B、C、所对的边分别是 a、b、c
，且 a = 1，A =
2p 3
.当 b、c
变化时， b + lc 存在最大值，则正数 l 的取值范围是
．
【解析】根据万能辅助角公式， b + lc = 2R (sin B + l sin C )=
2
2
故当 B 30 时， sin B sin C 取得最大值 1.
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学习数学，领悟数学，秒杀数学。
第三章 解三角形
秒杀秘籍：万能辅助角公式
已知三角形的一个内角 C，求 sin A sinB 或者 sin A sinB
公式四： a + b = 4R cos C sin A + C ， a + lb = 2R l2 + 2l cosC +1sin(B +j)£ 2R l2 + 2l cosC +1(l > 0)
【解析】 △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，∵ b cosC C cos B a sin A ，则由正弦定理
可得 sin B cos C sin C cos B sin 2 A ，即 sin B C sin 2 A ，可得 sin A 1，故 A ，故三角形为直角
BD c cos B ， CD b cosC ，所以 a BD DC b cos C c cos B .
（3）当 △ABC 为钝角三角形时（如图 3），不妨设角 B 为钝角，过点 A 作 AD⊥BC，交 CB 的延长线于
点 D，由直角三角形边角关系得， DC b cosC ， BD c cos ABD cos( B) c cos B ，