2016年沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)(有答案)
2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
辽宁省高考数学一诊试卷(文科)
辽宁省高考数学一诊试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一上·临川期中) 已知集合A={x|y=2x+1}，B={y|y=x2+x+1，x∈R}，则A∩B=（）A . {（0，1）∪（1，3）}B . RC . （0，+∞）D . [ ，+∞）2. （2分）复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·长春期末) 某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（）A . 5B . 6C . 7D . 84. （2分）(2019高一上·郑州期中) 若函数为偶函数，为奇函数，且满足，则（）A . -3B . 3C . 5D . -55. （2分）(2019·定远模拟) “ ”是“ ”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则=（）A . 36B . 32C . 24D . 227. （2分） (2016高一下·湖南期中) 下列各式的大小关系正确的是（）A . sin11°＞sin168°B . sin194°＜cos160°C . tan（﹣）＜tan（﹣）D . cos（﹣）＞cos8. （2分）设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·新乡模拟) 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A . 为了计算B . 为了计算C . 为了计算D . 为了计算10. （2分） (2019高二上·岳阳月考) 若不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为（）A . 0≤a≤4B . ﹣4＜a＜0C . ﹣4≤a＜0D . ﹣4≤a≤0二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2015高三上·苏州期末) 己知{an}是等差数列，a5=15，a10=﹣10，记数列{an}的第n项到第n+5顶的和为Tn；，则|Tn|取得最小值时的n的值为________ ．12. （1分） (2019高三上·深圳月考) 若，则 ________13. （2分） (2018高二上·福建期中) 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝________，估计该小学学生身高的中位数为________14. （1分）(2020·茂名模拟) 已知实数，满足，则的最小值为________.15. （1分） (2019高一上·鲁山月考) 如果定义在上的奇函数在内是减函数，又有，则的解集为________.三、解答题 (共6题；共50分)16. （5分）(2017·北京) 已知函数f（x）= cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（13分）（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x∈[﹣， ]时，f（x）≥﹣．17. （10分）随机抽取某高中甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示．（1）甲班和乙班同学身高数据的中位数各是多少？计算甲班的样本方差；（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于175cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．18. （10分） (2018高一下·金华期末) 已知各项为正的数列满足， .（1）若，求，，的值；（2）若，证明： .19. （5分） (2018高三上·丰台期末) 在中，．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的值.20. （5分）为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？21. （15分） (2017高二下·枣强期末) 已知函数，( 为自然对数的底数).（1）设曲线在处的切线为，若与点的距离为，求的值；（2）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（3）当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、第11 页共11 页。
2016年东北三校高三数学文科第一次高考模拟试卷(带答案)
2016年东北三校高三数学文科第一次高考模拟试卷（带答案）哈尔滨师大附中 2016年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．若集合，，则 A． B． C．2 D．2．若复数z满足zi = 1 + i，则z的共轭复数是 A．-1 - i B．1 + i C．-1 + i D．1 - i 3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 A． B．100 C．10 D．1 4．已知向量a，b满足，， A．-12 B．-20 C．12 D．20 5．若函数，则的值为A．-10 B．10 C．-2 D．2 6．设，若，，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若点在直线上，则的值等于 A． B． C． D．8．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表 x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根据上表可得回归直线方程为，则 A．-104.4 B． 104.4 C．-96.8 D．96.8 9．若函数为偶函数，则函数在区间上的取值范围是 A． B． C． D．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B．C．13 D．11．双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为 A． B．2 C． D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知，，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷(文科)
2016年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={x|x≥-1}，B={x|y=}，则A∩∁R B等于（）A.{x|-1≤x＜}B.{x|-＜＜}C.{x|-1}D.{x|-}【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x≥-1}，B={x|y=}={x|3x-1≥0}={x|x≥}，∴∁R B={x|x＜}，∴A∩∁R B={x|-1≤x＜}．故选A．化简集合B，求出∁R B，再求A∩∁R B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.若复数z=（a＜0），其中i为虚数单位，|z|=，则a的值为（）A.-2B.-3C.-4D.-5【答案】D【解析】解：∵z==，∴|z|=，又a＜0，解得a=-5．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.已知函数f（x）=，＜，＜，则f（f（））等于（）A.-1B.1C.-2D.2 【答案】C【解析】解：∵f（x）=，＜，＜，∴f（）=-tan=-1，∴f（f（））=f（-1）=-2×（-1）2=-2．故选：C．利用分段函数的性质求解．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数性质的合理运用．4.命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0-1-lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.p∨（￢q）C.（￢p）∧qD.（￢p）∧（￢q）【答案】C【解析】解：命题p：若a＜b，则ac2＜bc2，c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x0=1，满足x0-1-lnx0=0，因此是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧q，故选：C．命题p：取c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x0=1，满足x0-1-lnx0=0，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.30B.120C.360D.720【答案】C【解析】解：模拟执行程序，可得a=6，S=1S=6，a=5满足条件a≥3，有S=30，a=4满足条件a≥3，有S=120，a=3满足条件a≥3，有S=360，a=2不满足条件a≥3，退出循环，输出S的值为360．故选：C．执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，S的值，当a=2时，不满足条件a≥3，退出循环，输出S的值为360．本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体1200名学生中抽取80名学生做视力检查．现将1200名学生从1到1200进行编号，在1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从46～60这15个数中应抽取的数是（）A.47B.48C.51D.54【答案】C【解析】解：因为采取系统抽样，每15人随机抽取一个人，在1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是6，所以在k组抽到的是6+15（k-1），所以46～60这15个数中应抽取的数是6+15×3=51故选：C．根据系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．7.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x2+y2的取值范围是（）A.[，4]B.[，5]C.[，6]D.[，5]【答案】B【解析】解：解：画出满足条件的平面区域，如图示：z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，显然A（2，1）到原点的距离最大，此时z=5，点O到直线BC的距离最小，设原点到直线x+2y-2=0的距离是d，则d==，故z的取值范围是：[，5]．故选：B．画出满足条件的平面区域，根据z=x2+y2的几何意义求出z的范围即可．利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用以及点到直线距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．8.已知θ为第一象限的角，sinθ-2cosθ=-，则sinθ+cosθ等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵sinθ-2cosθ=-，则（2cosθ-）2+cos2θ=1，∴5cos2θ-cosθ-=0，即（cosθ-）（5cosθ+）=0，又∵θ为第一象限的角，∴cosθ=，sinθ=，从而sinθ+cosθ=．故选：C．由已知等式移项，平方，整理可得5cos2θ-cosθ-=0，结合θ为第一象限的角，即可求cosθ的值，由同角三角函数基本关系式即可求sinθ的值，即可得解sinθ+cosθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．9.半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（）A.16（）B.16（）C.8（2）D.8（2）【答案】B【解析】解：设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球的半径r==2，∴h2+2a2=16≥2ah，∴ah≤4．∴S侧=4ah≤16．球的表面积S=4π×22=16π．∴当四棱柱的侧面积最大值时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π-16=16（）．故选B．设底面边长为a，高为h，根据球的半径使用勾股定理列出方程，得出a，h的关系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出侧面积的最大值，做差即可．本题考查了四棱柱与外接球的关系，基本不等式的应用，属于中档题．10.若函数f（x）=4sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（-，-），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A.4B.2C.2D.2【答案】B【解析】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=4sin（2x+），∴由2x+=kπ+，k∈Z，可得其对称轴方程为：x=+，k∈Z，∵x1，x2∈（-，-），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2∈（-，-），且（x1，0），（x2，0）关于点（-，0）对称，∴x1+x2=-，∴f（x1+x2）=4sin（-+）=2．故选：B．由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=-，代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．本题主要考查了正弦函数的图象和性质，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．11.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2=a2的一条切线与双曲线的渐近线在第二象限内交于点A，同时这条切线交双曲线的右支于点B，且|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线的斜率为（）A.±2B.±C.±3D.±5【答案】A【解析】解：由双曲线的定义可得，|BF1|-|BF2|=2a，由|AB|=|BF2|，|BF1|=|AB|+|AF1|，可得|AF1|=2a，由点F1作圆x2+y2=a2的切线，可得：|OF1|2=|OA|2+|AF1|2，即有c2=a2+（2a）2=5a2，可得b2=c2-a2=4a2，即b=2a，即有渐近线的斜率为±=±2．故选：A．由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a，结合条件可得|AF1|=2a，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到渐近线的斜率．本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.若关于x的方程|x4-x3|=ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：当x=0时，0=0，∴0为方程的一个根．当x＞0时，方程|x4-x3|=ax等价为a=|x3-x2|，令f（x）=x3-x2，f′（x）=3x2-2x，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x ＞，∴f（x）在，上递减，在 ，，，上递增，又f（1）=0，∴当x=时，函数f（x）取得极小值f（）=-，则|f（x）|取得极大值|f（）|=，∴设，＞，＜的图象如下图所示，则由题可知当直线y=a与g（x）的图象有3个交点时0＜a＜，此时方程|x4-x3|=ax在R上存在4个不同的实根，故，．故选：A．根据方程和函数的关系转化为函数，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及导数法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.命题“∀x∈R，e x-x＞0”的否定为______ ．【答案】∃x∈R，e x-x≤0【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x∈R，e x-x≤0，故答案为：∃x∈R，e x-x≤0根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.已知O为△ABC外心，AC⊥BC，AC=3，∠ABC=，则•= ______ ．【答案】-9【解析】解：O为△ABC外心，AC⊥BC，可得：O为直角△ABC斜边AB的中点，由AC=3，∠ABC=，可得AB==2AC=6，由AC=OC=AO=3，可得∠AOC=60°，即有＜，＞=120°，则•=||•||•cos120°=3×6×（-）=-9．故答案为：-9．由题意可得O为直角△ABC斜边AB的中点，由AC=3，∠ABC=，可得AB=6，求得向量OC，AB的夹角，由向量的数量积的定义计算即可得到所求值．本题考查向量的数量积的定义，注意运用直角三角形的外心的性质，考查运算能力，属于基础题．15.已知点A是抛物线y2=4x上一点，F为其焦点，以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，则点A到抛物线准线的距离为______ ．【答案】4【解析】解：抛物线的交点F（，0），准线方程为：x=-，设准线与x轴交点为D，则BD=2，∵△FBC是正三角形，∴|BF|=4，∴|AF|=|BF|=4．∵A在抛物线上，∴点A到抛物线准线的距离为|AF|=4．故答案为：4．根据抛物线的性质计算F到准线的距离，根据等边三角形的性质得出BF即AF的长，在利用抛物线的性质得出点A到抛物线准线的距离．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．16.如图，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2，求cos A= ______ ．【答案】【解析】解：∵C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，DE=2，∴∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A，设AD=BD=x，∴在△BCD中，∠=，可得：°，①在△AED中，=∠，可得：，②∴联立可得：=，解得：cos A=．故答案为：．由已知可得∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A，设AD=BD=x，由正弦定理在△BCD中°，在△AED中，可得，联立即可解得cos A的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设数列{a n}满足：a n+1=4+a n，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n为a n与a n+1的等比中项，求数列{}的前n项和T n．【答案】解：（1）∵a n+1=4+a n，且a1=1，∴a n=1+4（n-1）=4n-3；（2）由（1）可知=a n a n+1=（4n-3）（4n+1），∴==（-），∴T n=（1-+-+…+-）=（1-）=．【解析】（1）直接利用等差数列的通项公式即得结论；（2）通过（1）裂项可知=（-），进而并项相加即得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．18.据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3000人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06．（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1个人为在校学生的概率．【答案】解：（Ⅰ）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，∴=0.06，解得x=60．∴持“无所谓”态度的人数共有3000-2100-500-120-60=220．∴应在“无所谓”态度抽取220×=22人．（Ⅱ）由（Ⅰ）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为×6=4人，分别记为1，2，3，4，社会人士为×6=2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），这2人中恰好有1个人为在校学生：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），共8种．故这2人中恰好有1个人为在校学生的概率为P=【解析】（Ⅰ）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，由已知条件求出x，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数．（Ⅱ）先根据分层抽样，求出在校学生和社会人士的人数，再计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰好有1个人为在校学生的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法．还考查了分层抽样的定义和方法，属于基础题19.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．（1）求证：AC⊥平面ABEF；（2）求三棱锥D-AEF的体积．【答案】解：（1）在△ABC中，AB=1，BC=2，∠，由余弦定理得AC=∠=．∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面ABEF．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵CD⊄平面ABEF，AB⊂平面ABEF，∴CD∥平面ABEF，∴V D-AEF=V C-AEF====．【解析】（1）在△ABC中使用余弦定理解出AC，利用勾股定理的逆定理得出AC⊥AB，根据面面垂直的性质得出AC⊥平面ABEF；（2）由CD∥AB可得CD∥平面ABEF，于是V D-AEF=V C-AEF=．本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为-．（1）求椭圆E的离心率；（2）过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点，点C 为椭圆E上一点，且满足=（λ≠0），求λ的值．【答案】解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠a）是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，∴，∵M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率的乘积等于-，∴，∴a2=4b2，c2=3b2，得e=；（2）联立方程组，得5x2+8cx+8b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，再设C（x3，y3），由=，得x3=λx1+x2，y3=λy1+y2，由于C为椭圆上的点，即，则（λx1+x2）2+4（λy1+y2）2=4b2，整理得：（x1x2+4y1y2）=4b2①，由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，即，，又x1x2+4y1y2=x1x2+4（x1+c）（x2+c）=5x1x2+4c（x1+x2）+4c2==，代入①得，即，解得：λ=0，或λ=-．【解析】（1）由已知得，，由此能求出椭圆E的离心率e的值；（2）联立方程组，得5x2+8cx+8b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由此利用韦达定理、点差法，结合已知条件能求出λ值．本题考查椭圆E的离心率e的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量法在求解圆锥曲线问题中的应用，考查运算能力，是中档题．21.设函数f（x）=x2+ax-2lnx（a∈R）（I）当a=0时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞4时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（4，6）及任意x1，x2∈[1，2]，ma+2ln2＞|f（x1）-f（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+ ），当a=0时，f（x）=x2-2lnx，f′（x）=2x-=，令f′（x）=0，解x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值；（Ⅱ）f′（x）=（2-a）x+a-==，∵a＞4，∴＜1，令f′（x）＜0，得0＜x＜或x＞1，函数单调递减，令f′（x）＜0，得＜x＜1，函数单调递增，故当a＞4时，f（x）在（0，）∪（1+ ）单调递减，在（，1）上单调递增，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（4，6）时，f（x）在[1，2]上单调递减，∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值，|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（2）=-3+2ln2，∴ma+2ln2＞-3+2ln2，∵a＞0，∴m＞-，∵4＜a＜6，∴-＜-＜0，∴m≥0故实数m的取值范围[0，+ ）．【解析】（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+ ），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值；（Ⅱ）求导函数，并分解，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；（Ⅲ）确定f（x）在[1，2]上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数m的取值范围本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．（1）若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=，=，求的值．【答案】解：（1）∵⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，∴由割线定理得AB•AC=AD•AE，∴AE===8，DE=AE-AD=8-3=5，又BD⊥AE，∴BE为直径，∴∠C=90°，在R t△ACE中，由勾股定理得CE2=AE2-AC2=28，∴CE=2．（2）∵∠AEC=∠ABD，∠A=∠A，∵=，=，∴AC=2AB，AE=3AD，∵AD•AE=AB•AC，∴3AD2=2AB2，∴AD=，∴△ABD∽△AEC，∴=，∴=．【解析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．（2）由已知AC=2AB，AE=3AD，从而AD=，由△ABD∽△AEC，能求出的值．本题考查线段长的求法，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x-4）2+（y-5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2-8x-10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2-2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．【解析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．24.已知函数f（x）=|x-a|-|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=-1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=-1时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1．当x≤-3时，不等式化为-（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当-3＜x＜-1时，不等式化为-（x+1）-（x+3）≤1，解得-≤x＜-1；当x≥-1时，不等式化为（x+1）-（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[-，+ ）．…（5分）（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x-a|≤x+7，由此得a≥-7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[-7，7]．…（10分）【解析】（Ⅰ）当a=-1时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）依题意知，|x-a|≤x+7，由此得a≥-7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．。
辽宁师大附中2016年高考数学模拟精品卷(文科) 含解析
2016年辽宁师大附中高考数学模拟精品卷（文科）一.选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。
）1．已知集合P={x｜x2≤1｝，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（)A．(﹣∞,﹣1]B．[1,+∞）C．［﹣1，1］D．(﹣∞，﹣1］∪[1,+∞）2．设m、n是平面α内的两条不同直线,l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是(）A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1,m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2D．m∥n，l1⊥n3．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．185．已知sin（﹣α）=，则cos(+2α)的值是（）A．﹣B．﹣C．D．6．已知函数对称，现将f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g（x）的图象，则y=g(x)的表达式为（）A．B．C．D．7．阅读程序框图，运行相应的程序,则输出i的值为(）A．3 B．4 C．5 D．68．已知x，y满足且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣29．设点A(1,0)，B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为10．下列说法错误的是（)A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．命题“若a=0，则ab=0"的否命题是:“若a≠0，则ab≠0”C．“"是“θ=30°”的充分不必要条件D．若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题11．双曲线C:﹣=1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，P为C上任意一点,则以｜PF1｜或|PF2|为直径的圆与以实轴为直径的圆一定(）A．相交 B．相离 C．相切 D．内含12．已知f(x)是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1,0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7）B．(9，25) C．（13，49）D．(9,49)二。
2016届高考模拟试题及答案_辽宁省沈阳市东北育才学校2016届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题
10．已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的增函数，函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对 任意的 x，y∈R，不等式 f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0 恒成立，则当 x>3 时，x2＋y2 的取值 范围是
( B．(9,25)
)． C．(13,49) D．(9,49)
A．(3,7)
2 2 2
2 2
1 …..（2） 2
由（1） （2）解得 a 5, b 1 S ABC
1 1 3 5 3 . …………12 分 ab sin C 1 5 2 2 2 4
19．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合 于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上，是被切去的一个 等腰直角三角形斜边的两个端点． 设 AE＝FB＝x(cm)．
的解析式为 x⊗2－2 ( )．
2⊕x
A．f(x)＝
4－x2 x2－4 ，x∈[－2,0)∪(0,2]B．f(x)＝ ，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) x x x2－4 4－x2 ，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．f(x)＝－ ，x∈[－2,0)∪(0,2] x x
C．f(x)＝－ 解析
∵2⊕x＝ 4－x2，x⊗2＝ x－22＝|x－2|， 4－x2 . |x－2|－2 4－x2≥0， |x－2|≠2 ⇒ －2≤x≤2， x≠0 且 x≠4 ⇒x∈[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝－ 4－x2 ， x
“∃x∈R，使得 2x2－1<0”的否定是“∀x∈R，均有 2x2－1≥0”，所以 C 错；命题“若 cos x＝cos y，则 x＝y”为假命题，故其逆否命题也假，故 D 错；“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”显然正确．所以应选 B. 4.下列函数中，不满足 f(2x)＝2f(x)的是 A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1 解析 B．f(x)＝x－|x|
辽宁省沈阳市第二中学2016届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)
沈阳二中2015—2016学年度下学期第一次模拟考试高三（16届）数学(文科)试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合{}33Αx x =-<<，{}|(4)(2)0Βx x x =+->，则ΑΒ=（ ）（A ）{}|32x x -<< （B ）{}|23x x << （C ）{|32}x x -<<-（D ）{|4x x <-或3}x >- 【知识点】集合的运算 【试题解析】因为所以，故答案为：B 【答案】B2.已知i 是虚数单位，复数()21,i z i =-+则z 的共轭复数是（ ）（A ）1i -+（B ）1i -（C ） 1i --（D ）1i + 【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为所以，z 的共轭复数是故答案为：D【答案】D3. 已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m 的值为（ ） （A ）2- （B ）2（C ）12（D ）12- 【知识点】数量积的定义 【试题解析】因为,得故答案为：C【答案】C4. 在等比数列{}n a 中，11,a 则“24a =”是“316a =”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为还可为-4所以，能得出，但反之不成立故答案为：A【答案】A5. 已知倾斜角为的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为( ) （A ）45（B ）45-（C ）2（D ）12-【知识点】诱导公式两条直线的位置关系 【试题解析】因为由已知得，故答案为：B 【答案】B 6. 已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )（A ）35-（B ）45 （C ）35 （D ）45-【知识点】诱导公式 【试题解析】因为函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，得，故答案为：D【答案】D7. 右面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，12]内则输入的实数x 的取值范围是( )（A ） (],1-∞- （B ） 1,24⎡⎤⎢⎥⎣ （C ）1(,1],24⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦（D ）1(,0),24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为若；若。
2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。
2016年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则=a（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 33. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ ）A.13 B.12 C. 23D. 564. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A.B.C. 2D. 35. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 C. 23D. 346. 将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. 2sin(2)4y x π=+ B. 2sin(2)3y x π=+ C. 2sin(2)4y x π=-D. 2sin(2)3y x π=-7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. cca b <D. ab c c>9. 函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D10. 执行如图的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足 （ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 4y x =D. 5y x =11. 平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.1312. 若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 设向量a 1(),x x =+，b (1,2)=，且a ⊥b ，则x = .14. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 15. 设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =则圆C的面积为 .16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2C y px =(0)p >于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求||||OH ON ；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点,C D 在⊙O 上，且,,,A B C D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.{3,5}A B=a-=，由已知，得213/ 13数学试卷 第10页（共39页）数学试卷 第11页（共39页） 数学试卷 第12页（共39页）平面ABB1D平面1n所成角等于所成角的正弦值为5/ 13数学试卷 第16页（共39页）数学试卷 第17页（共39页） 数学试卷 第18页（共39页）【解析】由题意，0a b x =+，3【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出0a b =，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于的值.【考点】向量的数量积，坐标运算7/ 13作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7z77z数学试卷第22页（共39页）数学试卷第23页（共39页）数学试卷第24页（共39页）18.【答案】（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB PD⊥.9/ 13数学试卷第29页（共39页）数学试卷第30页（共39页）11 / 13))(1,)+∞时，(,ln(2)),1,+a -,1)(ln(2),)a -+∞时，单调递增，在1,ln((2))a -单调递减)在(,1)-∞ln 2a ，则f数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）同理可证，'OO CD ⊥，所以//AB CD .13/ 13。
辽宁省沈阳市东北育才学校2016届高三上学期第一次模考数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于( ) A．M∪N B．M∩N C．M D．N2．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={3，4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A．{5} B．{4} C．{1，2} D．{3，5}3．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”B．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1＜0”D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题4．下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是( )A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=|x| D．f（x）=﹣x5．定义两种运算：，则函数的解析式为( )A．f（x）=﹣，x∈[﹣2，0）∪（0，2]B．f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．f（x）=﹣，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．f（x）=，x∈[﹣2，0）∪（0，2]6．已知函数f（x）=若y=f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是( )A．[2，4]B．[2，4]C．（2，+∞）D．[2，+∞）7．有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．48．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣9．设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的( )A．充分必要条件 B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件10．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是( )A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）11．已知，则下列结论中正确的是( )A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象12．设x1，x2是函数f（x）=（a+1）x3+bx2﹣x（a≥0，b＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2，则实数b的最小值为( )A．4 B． C．3D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=，则f[f]=__________．14．若f（x）=1+lgx，g（x）=x2，那么使2f[g（x）]=g[f（x）]的x的值是__________．15．f（x）=，函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为__________．16．若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax 对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．19．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．20．已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）•sin（x﹣）．（1）若tanα=2，求f（a）的值；（2）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．21．已知函数在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），（1）求θ的值；（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．22．已知函数f n（x）=ax n+bx+c（a，b，c∈R），（Ⅰ）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（Ⅱ）若对任意实数x，不等式2x≤f2（x）≤恒成立，求f2（﹣1）的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求实数b的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于( ) A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={3，4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A．{5} B．{4} C．{1，2} D．{3，5}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={3，4，5}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={3，5，6}，∴（C U A）∩B={3，5}．故选D．【点评】本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．3．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”B．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1＜0”D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用；四种命题；特称命题．【专题】综合题．【分析】若xy=0，则x=0的否命题为：若xy≠0，则x≠0；若x+y=0，则x，y互为相反数的逆命题为真命题为若x，y互为相反数，则x+y=0；∃x∈R，使得2x2﹣1＜0的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1≥0；若cosx=cosy，则x=y为假命题，则根据互为逆否命题的真假相同可知逆否命题为假命题．【解答】解：若xy=0，则x=0的否命题为：若xy≠0，则x≠0，故A错误若x+y=0，则x，y互为相反数的逆命题为真命题为若x，y互为相反数，则x+y=0，为真命题∃x∈R，使得2x2﹣1＜0的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1≥0，故C错误若cosx=cosy，则x=y为假命题，则根据互为逆否命题的真假相同可知逆否命题为假命题，故D错误故选B【点评】本题主要考查了命题真假相同的判断，解题中主要涉及到了，命题的逆命题、否命题、逆否命题的写法及互为逆否命题的真假关系的应用．4．下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是( )A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=|x| D．f（x）=﹣x【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】代入选项直接判断正误即可．【解答】解：对于A，f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2f（x）=2x+2，A不正确；对于B，f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2f（x）=2x+2|x|，B正确；对于C，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，C正确；对于D，f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2f（x）=﹣2x，D正确；故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的值的求法，基本知识的考查．5．定义两种运算：，则函数的解析式为( )A．f（x）=﹣，x∈[﹣2，0）∪（0，2]B．f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．f（x）=﹣，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．f（x）=，x∈[﹣2，0）∪（0，2]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；新定义；函数的性质及应用．【分析】根据中的新定义，化简得f（x）=，由此解出函数定义域为{x|﹣2≤x≤2且x≠0}，再将函数解析式去绝对值化简，可得本题答案．【解答】解：根据题意，可得∵，∴，=|x﹣2|，因此，函数=，∵，∴函数的定义域为{x|﹣2≤x≤2且x≠0}．由此可得函数的解析式为：f（x）===﹣，（x∈[﹣2，0）∪（0，2]）．故选：A【点评】本题给出新定义域，求函数的解析式．着重考查了函数的定义域求法、不等式组的解法和求函数解析式的一般方法等知识，属于中档题．6．已知函数f（x）=若y=f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是( )A．[2，4]B．[2，4]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，根据二次函数、指数函数的单调性以及增函数的定义便可得到，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围．【解答】解：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；∴；解得2≤a≤4；∴实数a的取值范围为[2，4]．故选：A．【点评】考查分段函数单调性的判断，二次函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义．7．有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①，利用两角和与差的余弦公式及二倍角公式可将化为y=cos2x，再利用余弦函数的性质可判断①；②，由函数y==1+的图象关于点（1，1）对称，可判断②；③，利用“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，可判断“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分又不必要条件，可判断③；④，利用全称命题与特称命题之间的关系可判断④；⑤，在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1可得到角C等于30°或150°，分类讨论后可判断⑤．【解答】解：对于①，在函数=（cosx+sinx）（cosx ﹣sinx）=cos2x的图象中，其周期T=π，相邻两个对称中心的距离为=，故①错误；对于②，函数y==1+的图象关于点（1，1）对称，故②错误；对于③，因为“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，所以，其逆否命题“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，故③错误；对于④，已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正确；对于⑤，在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则（3sinA+4cosB）2+（4sinB+3cosA）2=62+12=37，整理可得sin（A+B）=，所以C=30°或150°．当C=150°时，A+B=30°，3sinA+4cosB＜×3+4＜6，与已知矛盾，故C≠150°，故⑤错误．综上所述，正确命题为④．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查两角和与差的余弦公式及余弦函数的性质，考查充分必要条件、全称命题与特称命题的应用与解三角形，考查转化思想．8．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f （x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选C【点评】本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键．9．设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的( )A．充分必要条件 B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．【点评】本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．10．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是( )A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f （x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜49故选C【点评】本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用．11．已知，则下列结论中正确的是( )A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】常规题型．【分析】先将函数f（x），g（x）根据诱导公式进行化简，再求出f（x）g（x）的解析式，进而得到f（x）g（x）的最小正周期和最大值可排除A，B；再依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证即可．【解答】解：∵，∴f（x）=cosx，g（x）=sinx∴f（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，，排除B；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=﹣sinx≠g（x），排除C；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x﹣）=sinx=g（x），故选D．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式和平移变换．三角函数的平移变换第一步先将函数化为同名函数，然后根据左加右减上加下减的原则平移．12．设x1，x2是函数f（x）=（a+1）x3+bx2﹣x（a≥0，b＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2，则实数b的最小值为( )A．4 B． C．3D．2【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由题意求导f′（x）=3（a+1）x2+2bx﹣1，从而可得x1，x2是方程3（a+1）x2+2bx﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而可化简|x1|+|x2|=|x1﹣x2|=2，从而解得．【解答】解：∵f（x）=（a+1）x3+bx2﹣x，∴f′（x）=3（a+1）x2+2bx﹣1，∴x1，x2是方程3（a+1）x2+2bx﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∵a≥0，b＞0，∴两根一正一负，∴|x1|+|x2|=|x1﹣x2|=2，即（﹣）2+4=8，故b2=18（a+1）2﹣3（a+1）≥18﹣3=15；故b≥；故选B．【点评】本题考查了导数的综合应用及二次方程中根与系数的关系应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=，则f[f]=1．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值．【解答】解：函数f（x）=，则f[f]=f=f（1913）=2cos=2cos（638π﹣）=2cos=1．故答案为：1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．14．若f（x）=1+lgx，g（x）=x2，那么使2f[g（x）]=g[f（x）]的x的值是．【考点】函数的零点；函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式，列出方程，求解即可．【解答】解：∵2f[g（x）]=g[f（x）]，∴2（1+lg x2）=（1+lgx）2，∴（lg x）2﹣2lgx﹣1=0，∴lgx=1±，x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，对数运算法则的应用，考查计算能力．15．f（x）=，函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为．【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数y=f[f（x）]+1的零点，即求方程f[f（x）]+1=0的解，下面分：当x≤﹣1，﹣1＜x≤0，0＜x≤1，x＞1时4中情况，分别代入各自的解析式求解即可．【解答】解：当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，∴f[f（x）]+1=x+1+1+1=0，∴x=﹣3；当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0，∴f[f（x）]+1=log2（x+1）+1=0，∴x=﹣；当0＜x≤1时，f（x）=log2x≤0，∴f[f（x）]+1=log2x+1+1=0，∴x=；当x＞1时，f（x）=log2x＞0，∴f[f（x）]+1=log2（log2x）+1=0，∴x=所以函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为：{ }故答案为：{ }．【点评】本题考查函数的零点、方程的解法以及分类讨论的思想．属基础题．16．若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的取值范围为．【考点】函数最值的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】将不等式转化为k2≥．只要求得最大值即可．【解答】解：显然k＞0，故k2≥．令t=＞0，则k2≥令u=4t+1＞1，则t=．可转化为：s（u）=，于是，≤（1+2）=．∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立（当x=4y＞0时等号成立）．故答案为：【点评】本题考查将不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，求最值时一般是转化为基本函数解决，或用基本不等式，或用导数求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】分别求出命题P，Q为真命题时的等价条件，利用命题P或Q为真命题，P且Q为假命题，求a的范围即可．【解答】解：当命题p为真命题即f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，即ax2﹣x+a＞0对任意实数x均成立，∴解得a＞2，当命题q为真命题即﹣1＜ax对一切正实数均成立即a＞==对一切正实数x均成立，∵x＞0，∴＞1，∴+1＞2，∴＜1，∴命题q为真命题时a≥1．∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，∴p与q有且只有一个是真命题．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，a∈[1，2]．综上知a∈[1，2]．【点评】本题考查复合命题与简单命题真假的关系，利用条件先求出命题p，q为真命题的等价条件是解决这类题的关键，属于一道中档题．18．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x，由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．【点评】考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．20．已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）•sin（x﹣）．（1）若tanα=2，求f（a）的值；（2）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+）+，由tanα=2可得sin2α=，cos2α=﹣，代值计算可得f（a）的值；（2）由x∈[，]结合三角函数的性质可得f（x）的取值范围．【解答】解：（1）化简可得f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）•sin（x﹣）=（1+）sin2x﹣2sin[（x﹣）+]•sin（x﹣）=sin2x﹣2cos（x﹣）sin（x﹣）=sinx（sinx+cosx）﹣sin（2x﹣）=sin2x+sinxcosx+cos2x=+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，同理可得cos2α==﹣∴f（α）=sin2α+cos2α+=；（2）∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴sin（2x+）∈[﹣，]，∴sin（2x+）+∈[0，]，∴f（x）的取值范围为[0，]．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及二倍角公式和三角函数的值域，属中档题．21．已知函数在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），（1）求θ的值；（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（1）先对函数g（x）进行求导，根据g′（x）≥0 在x≥1时成立可得≥，根据θ∈（0，π）可知sinθ＞0，所以sinθ=1求得θ的值．（2）对函数f（x）﹣g（x）进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0 成立m不等于0时对于h（x）可变为K（x）=mx2﹣2x+m=0的形式求解进而根据对称轴求得所以使K（1）≥0则成立的条件求得m的范围．m＜0时，使K（1）≤0，所以m≤﹣1．综合可得答案．【解答】解：（1）求导得到g′（x）=﹣+≥0 在x≥1时成立∴≥∴1≥∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0∴sinθx≥1∴sinθ=1 θ=（2）（f（x）﹣g（x））′=m+﹣+﹣=m+﹣使其为单调∴h（x）=m+﹣=，在x≥1时m=0时h（x）＜0恒成立．m≠0时对于h（x）=，令K（x）=mx2﹣2x+m=0的形式求解因为[1，+∞）上函数为增函数，所以m＞0时对称轴x=所以使K（1）≥0则成立所以m﹣2+m≥0所以m≥1m＜0时使K（1）≤0 所以m≤1综上所述m≥1或m≤0【点评】本题主要考查了方程与函数的综合运用．考查了用导数法研究函数的单调性问题．22．已知函数f n（x）=ax n+bx+c（a，b，c∈R），（Ⅰ）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（Ⅱ）若对任意实数x，不等式2x≤f2（x）≤恒成立，求f2（﹣1）的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求实数b的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用偶函数的定义和一次函数的解析式，即可得到a，b，c；（Ⅱ）令x=1，则a+b+c=2，再由二次不等式恒成立，结合抛物线开口向上，且判别式不大于0，即可得到a的范围，进而得到所求范围；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[﹣1，1]都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4等价于在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，对b讨论，分b＞2时，0＜b≤2时，﹣2≤b≤0时，分别求出最大值和最小值，计算即可得到．【解答】解：（Ⅰ）由f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数得∴a=3，b=0，c=1；（Ⅱ）由题意可知f2（1）≥2，f2（1）≤2，∴f2（1）=2，∴a+b+c=2，∵对任意实数x都有f2（x）≥2x，即ax2+（b﹣2）x+c≥0恒成立，∴，由a+b+c=2，∴（a+c）2﹣4ac≤0，可得a=c，b=2﹣2a，此时，∵对任意实数x都有成立，∴，∴f2（﹣1）=a﹣b+c=4a﹣2的取值范围是（﹣2，0]；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[﹣1，1]都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4等价于在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：（ⅰ）当，即b＞2时，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．（ⅱ）当，即0＜b≤2时，恒成立．（ⅲ）当，即﹣2≤b≤0时，恒成立．综上可知，﹣2≤b≤2．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查二次不等式的恒成立问题，注意运用图象和判别式的符号，考查函数的最值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．。
2016年辽宁省沈阳二中高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|（x+4）（x﹣2）＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜﹣2}D．{x|x＜﹣4或x＞﹣3}2．（5分）i是虚数单位，复数2i＝z（﹣1+i），则z的共轭复数是（）A．﹣1+i B．﹣i+1C．i+1D．﹣i﹣13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（﹣1，m），若⊥，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．4．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，则cos（﹣2α）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣6．（5分）已知sinφ＝，且φ∈（，π），函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[，]C．（﹣∞，0）∪[，]D．（﹣∞，﹣1]∪[，]8．（5分）若x，y满足且z＝2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．79．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点处航行．若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间[50，100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（）A．20.7%B．29.3%C．58.6%D．41.4%11．（5分）过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，] 12．（5分）x是函数f（x）＝2sin x﹣πlnx（x∈（O，π））的零点，x1＜x2①x0∈（1，e）；②x0∈（e，π）；③f（x1）﹣f（x2）＜0；④f（x1）﹣f（x2）＞0．其中正确的命题为（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13．（5分）函数y＝log a（x﹣2）一定过的定点是．14．（5分）各项均为正数的等差数列{a n}中，a4a9＝36，则前12项和S12的最小值为．15．（5分）如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为．16．（5分）已知曲线f（x）＝x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cos A＝，a sin A+b sin B ﹣c sin C＝a sin B．（1）求B的值；（2）设b＝10，求△ABC的面积S．18．（12分）据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：男性消费情况：（Ⅰ）计算x，y的值；在抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”附：（k2＝，其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC 的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若P A＝AD，且平面P AD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）20．（12分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2＝16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0，满足f（x0）＜0，求实数a的取值范围．四.考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AF是圆E切线，F是切点，割线ABC，BM是圆E的直径，EF交AC于D，，∠EBC＝30°，MC＝2．（Ⅰ）求线段AF的长；（Ⅱ）求证：AD＝3ED．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ＝8+2距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b＝m，求a2+b2的最小值．2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|（x+4）（x﹣2）＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜﹣2}D．{x|x＜﹣4或x＞﹣3}【解答】解：由B中不等式解得：x＜﹣4或x＞2，即B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}，故选：B．2．（5分）i是虚数单位，复数2i＝z（﹣1+i），则z的共轭复数是（）A．﹣1+i B．﹣i+1C．i+1D．﹣i﹣1【解答】解：由2i＝z（﹣1+i），得，∴z的共轭复数是i+1．故选：C．3．（5分）已知向量＝（1，2），＝（﹣1，m），若⊥，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵向量＝（1，2），＝（﹣1，m），⊥，∴＝﹣1+2m＝0，解得m＝．故选：C．4．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列{a n}中，a1＝1，若a2＝4，则公比q＝，则a3＝a2q＝4×4＝16．若a3＝16，则a3＝1×q2＝16，即q＝±4，当q＝﹣4时，a2＝a1q＝﹣4，此时a2＝4不成立，即“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，则cos（﹣2α）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣【解答】解：直线x+2y﹣3＝0的斜率为，∵倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，∴tanα＝2．则cos（﹣2α）＝cos（1007π+）＝﹣cos（）＝﹣sin2α＝＝．故选：B．6．（5分）已知sinφ＝，且φ∈（，π），函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得＝＝，∴ω＝2．由sinφ＝，且φ∈（，π），可得cosφ＝﹣，∴则f（）＝sin（+φ）＝cosφ＝﹣，故选：B．7．（5分）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[，]C．（﹣∞，0）∪[，]D．（﹣∞，﹣1]∪[，]【解答】解：由程序框图可知：f（x）＝∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，∴必有当x≤0时，；当x＞0时，．解得x≤﹣1或．故答案为．故选：D．8．（5分）若x，y满足且z＝2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．7【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，显然直线y＝﹣2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3＝6，解得：k＝1，故选：B．9．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x＝﹣2时，f′（x）＝0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x＝﹣2时，xf′（x）＝0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选：A．10．（5分）一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点处航行．若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间[50，100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（）A．20.7%B．29.3%C．58.6%D．41.4%【解答】解：AB＝＝100．∴点O到直线AB的距离d＝＝50．∴轮船会遭受台风影响的概率P＝＝2﹣≈58.6%．故选：C．11．（5分）过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【解答】解：由题意，直线l的方程为y＝x+2b，即bx﹣ay+2ab＝0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay＝0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．是函数f（x）＝2sin x﹣πlnx（x∈（O，π））的零点，x1＜x212．（5分）x①x0∈（1，e）；②x0∈（e，π）；③f（x1）﹣f（x2）＜0；④f（x1）﹣f（x2）＞0．其中正确的命题为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：∵f（1）＝2sin1﹣πln1＝2sin1＞0，f（e）＝2sin e﹣π＜0，∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在零点，又∵f′（x）＝2cos x﹣，当x∈（0，]时，2cos x＜2，＞2，∴f′（x）＜0；当x∈（，π）时，cos x＜0，∴f′（x）＜0，∴函数在（0，π）上是减函数，故①④正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13．（5分）函数y＝log a（x﹣2）一定过的定点是（3，0）．【解答】解：由对数函数的定义，令x﹣2＝1，此时y＝0，解得x＝3，故函数y＝log a（x﹣2）的图象恒过定点（3，0）故答案为（3，0）．14．（5分）各项均为正数的等差数列{a n}中，a4a9＝36，则前12项和S12的最小值为72．【解答】解：设各项均为正数的等差数列{a n}的公差为d＞0，∵a4a9＝36，∴a 1+a12＝a4+a9≥＝2＝12，当且仅当a4＝a9＝6时取等号．则前12项和S12＝≥＝72．故答案为：72．15．（5分）如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为2．【解答】解：根据三视图得到该几何体的直观图如图：其中△ABC是直角三角形，四边形ACDE是直角梯形，侧面BCD，ACDE垂直底面ABC，且AB＝BC＝2，AE＝2，CD＝1，则AC＝2，过B作BF⊥AC，则F是AC的中点，则BF＝，则五棱锥B﹣ACDE的体积V＝＝2，故答案为：2．16．（5分）已知曲线f（x）＝x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【解答】解：f（x）＝x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）＝2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a＝3，即2x2﹣2x+a﹣3＝0有两个不相等的正根，则△＝4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cos A＝，a sin A+b sin B ﹣c sin C＝a sin B．（1）求B的值；（2）设b＝10，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵，∴．∴．又∵A、B、C是△ABC的内角，∴．∵，又∵A、B、C是△ABC的内角，∴0＜A+C＜π，∴．∴．（2）∵，∴．∴△ABC的面积．18．（12分）据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：男性消费情况：（Ⅰ）计算x，y的值；在抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”附：（k2＝，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名…（1分）∴x＝80﹣（5+10+15+47）＝3…（2分）y＝20﹣（2+3+10+2）＝3…（3分）抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为A，B，C；两位男性设为a，b，从5人中任选2人的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10件…（4分）设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件A事件A包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b）共6件…（5分）∴p（A）＝＝，（Ⅱ）（Ⅱ）2×2列联表如下表所示则k2＝＝≈9.091…（10分）∵9.091＞6.635且P（k2≥6.635）＝0.010…（11分）答：我们有99%的把握认为“是否为‘网购达人’”与性别有关…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC 的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若P A＝AD，且平面P AD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，所以AB∥EF．…（5分）（Ⅱ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面P AD．又AF⊂平面P AD所以CD⊥AF．由（Ⅰ）可知AB∥EF，又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．在△P AD中，因为P A＝AD，所以AF⊥PD．又因为PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD．…（11分）（Ⅲ）解：不存在．…（14分）20．（12分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2＝16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2＝16上，∴a＝4．又离心率为，∴，则，∴b2＝a2﹣c2＝4，∴W的方程为；（Ⅱ）法一：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率，设直线AP的方程为y＝k（x+4），与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16＝0，∵﹣4为上面方程的一个根，∴，则．由，代入得到，解得k＝±1，∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．显然，∴不存在直线AP，使得．法二：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率且不为0，设直线AP的方程为x＝my﹣4，与椭圆方程联立得，化简得到（m2+4）y2﹣8my＝0，显然﹣4上面方程的一个根，∴另一个根，即，由，代入得到，解得m＝±1．∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．若，则m＝0，与直线AP存在斜率矛盾，∴不存在直线AP，使得．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0，满足f（x0）＜0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝e x（2x﹣1）﹣x+1，导数f′（x）＝e x（2x+1）﹣1，当x＞0时，e x＞1，2x+1＞1，可得f′（x）＞0；当x＜0时，0＜e x＜1，2x+1＜1，可得f′（x）＜0．即有f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）；（2）①由f（x）＜0可得e x（2x﹣1）＜a（x﹣1），当x＝1时，不等式显然不成立；当x＞1时，a＞；当x＜1时，a＜；记g（x）＝，g′（x）＝，可得g（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上递增；在（0，1），（1，）递减；可得当a＞1时，a＞g（）＝4e；当x＜1时，a＜g（0）＝1，综上可得，a的取值范围是（﹣∞，1）∪（4e，+∞）；②由①可得0＜a＜1时，x0∈（﹣∞，1），由f（x0）＜0，代入不等式可得得a＞＝g（x0），得g（x0）＜a，又g（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，且g（0）＝1＞a，则g（﹣1）≤a，即a≥，故≤a＜1，检验不成立；当a＞4e，x0∈（1，+∞），由f（x0）＜0，得g（x0）＜a．又g（x）在（1，）递减，（，+∞）上递增，且g（）＝4e＜a，在区间[，2]上，存在x0＝2这个唯一的整数，使g（2）＞g（），f（2）＜0，所以a∈[4e，3e2]．四.考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AF是圆E切线，F是切点，割线ABC，BM是圆E的直径，EF交AC于D，，∠EBC＝30°，MC＝2．（Ⅰ）求线段AF的长；（Ⅱ）求证：AD＝3ED．【解答】（本题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲解：（Ⅰ）∵BM是圆E直径，∴∠BCM＝90°，…（1分）又MC＝2，∠EBC＝30°，∴BC＝2，…（2分）又AB＝AC，∴AB＝，∴AC＝3，…（3分）根据切割线定理得：＝9，…（4分）解得AF＝3．…（5分）证明：（Ⅱ）过E作EH⊥BC于H，…（6分）则△EDH∽△ADF，…（7分）从而有，…（8分）又由题意知CH＝BC＝，EB＝2，∴EH＝1，…（9分）∴，即AD＝3ED．…（10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ＝8+2距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（t为参数），∴曲线C1的普通方程为：（x﹣4）2+（y+3）2＝1，…（1分）∵曲线C2：（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：，…（2分）曲线C1为圆心是（4，﹣3），半径是1的圆．…（3分）曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．…（4分）（Ⅱ）当t＝时，P（4，﹣4），…（5分）设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），…（6分）∵直线C3：ρcosθ﹣，∴直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）＝0，…（7分）M到C3的距离d＝…（8分）＝＝＝3﹣．…（9分）从而当cos（）＝1时，d取得最小值3﹣．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b＝m，求a2+b2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）不等式m﹣|x﹣2|≥1可化为|x﹣2|≤m﹣1，…（1分）∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，即3﹣m≤x≤m+1，…（2分）∵其解集为[0，4]，∴，∴m＝3．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b＝3，∵（a2+b2）（12+12）≥（a×1+b×1）2＝（a+b）2＝9，∴a2+b2≥，∴a2+b2的最小值为．…（10分）。
2016年沈阳高三一模 数学(文)试题及答案
2016年沈阳市高中三年级教学质量检测（一）数学（文科）2016年沈阳高三一模第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知i 为虚数单位，则复数21i-所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第三象限 2、设集合2{0,1,2},{|320}P B x x x ==-+≤，则P Q = （ ） A ．{1} B ．{}2 C ．{}0,1 D ．{}1,2 3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =（ ） A ．325 B ．2 C．．5324、已知()12log ,03,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，则((4))f f 的值为A ．19-B ．-9C ．19D ．9 5、 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个凸多面体 的三视图（另个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能是 A ．三棱台 B ．三棱柱 C ．四棱柱 D ．四棱锥6、已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为 A ．20x y +-= B ．20x y -+= C ．30x y +-= D ．30x y -+= 7、执行如图所示的程序框图，如果输入1,2a b =-=-，则输出的a 的值为 A ．16 B ．8 C ．4 D ．28、从某小学随机抽取100名同学，现已两他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若从身高在[)[)[]120,130,130,140,140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应是A ．2B ．3C ．4D ．59、若函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是10、已知正四面体ABCD 的棱长为a ，其外接球表面积为1S ，内切球的表面积为2S ，则12:S S 的值为A ．3B ．．9 D ．49411、 已知抛物线24y x =的焦点为,,F A B 为抛物线上两点，若3,AF FB O =为坐标原点，则AOB ∆的面积为A ．3 B ．3C ．3D ．312、已知偶函数()(0)fx x ≠的导函数为()f x '，且满足()10f =，当0x >时，()()2x f x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(1,0)(0,1)-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
辽宁省沈阳市大东区2016年高三质量监测(一模)数学(文)试题带答案
2016年沈阳市大东区高三质量监测数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定区域．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．4．柱体体积公式：V Sh =柱体，锥体体积公式13V Sh =锥体． 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0,1,2M =，{}2320N x x x =-+>，则()M N R ð= （ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}0,1D ．{}1,22．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a = （ ）A ．2BCD ．13．已知向量(4,3)a =- ，(5,6)b = ，则23||4a a b -⋅= （ ） A ．83 B ．63 C ．57 D ．234. 设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若18423a a a =-，则816SS =（ ）A ．310B ．13C ．18D ．195．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 （ ） A ．1030020(())a x a x a a x +++的值B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 到'C 位置.折叠后三棱锥'C ABD -的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是 （ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C的等腰三角形 D ．的等腰三角形7．设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+<⎨⎪+-≤⎩，则目标函数34z x y =-的取值范围是（ ）A ．[11,3)-B ．[11,3]-C ．(11,3)-D ．(11,3]- 8．已知,x y 取值如下表：（ ）A ．0.95B ．1C ．1.1D ．1.159．设函数()2122,29log ,24x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,2][1,)-∞-+∞D ．[2,1]-10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为 （ ）A B C ．12 D ．111．设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-，若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =，则 （ ）A ．0()()g a f b <<B ．()0()g a f b <<C ．()()0f b g a <<D ．()0()f b g a <<12．已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q 两点，1||F P 、2||F P 、1||FQ成等差数列，且∠12120F PF =︒，则双曲线C 的离心率是（ ）A B C D 1图（）2图（）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上． 13．过原点向圆222440x y x y +--+=引切线，则切线方程为____________.14．已知在△ABC 中，4AC AB ==，6BC =，若点M 在△ABC 的三边上移动，则线段AM 的长度不小于____________.15．若4cos()55πα+=，则9sin(2)10πα+=____________.16．已知{}n a 为各项为正数的等比数列，其中53S =，1521S =，则20S =____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()()3a b c a b c ab +++-=.（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）()222sin 212C f x x x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm 的同学中选取两人，求身高176cm 的同学被抽中的概率. 19．（本小题满分12分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，G 、F 分别为EO 、EB 中点，且AB =. （Ⅰ）求证：//DE 平面ACF ； （Ⅱ）求证：CG ⊥平面BDE ；（Ⅲ）若1AB =，求三棱锥F ACE -的体积.ABDCOEFG椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，且2F 在线段1PF 的中垂线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(2,0)A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于D 、E 两点，点2F 为椭圆的右焦点，求证:直线2DF 与直线2EF 的斜率之和为定值. 21．（本小题满分12分）已知函数2()xe f x e=，()ln (1)g x x x a x =--．（Ⅰ）求函数()f x 在点(4,(4))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值的集合M ； （Ⅲ）当a M ∈时，讨论函数()()()h x f x g x =-的单调性．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E ，（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠； （Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1)2M π，， 以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到A 、B 两点的距离之积． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a =---∈R ， （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．2016年沈阳市大东区高三质量监测 数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中横线上.13.34y x =或0x = 14.67- 15.72516.45三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()()3a b c a b c ab +++-=，得222a b c a b +-= ………………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴在ABC ∆中，3C π= ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3C π=，∴()222sin 612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 2166x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ………………8分∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴12sin 2133x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭ ………………11分∴函数()f x 的值域为1⎡⎤⎣⎦………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高； ……………… 3分（Ⅱ）15817010x +++++++++==cm ………………5分甲班的样本方差为：2s =()()()()()2222221[(158170)16217016317016817016817017017010-+-+-+-+-+- ()()()()2222171170179170179170182170]=57.2+-+-+-+- ………………8分（Ⅲ）身高不低于173cm 的情况分别是173cm 、176cm 、178cm 、178cm 、181cm . 取出两人的基本事件空间为：{(173,176),(173,178),(173,178),(173,181),(176,178),Ω=(176,178),(176,181),(178,178),(178,179),(179,181)}，共10种情况. …………10分身高176cm 同学被抽到的事件空间为：{(173,176),(176,178),(176,178),(176,181)}，共4中情况.∴所求事件的概率为42105P ==. ………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明: 连结OF ，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ， 则O 为BD 的中点，又∵F 是EB 中点， ∴OF 是BDE ∆的中位线，∴//OF DE ， ………………2分∵DE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ，∴//DE 平面ACF ； ………………4分（Ⅱ）证明∵EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴EC BD ⊥，∵BD AC ⊥，且AC CE C = ，∴BD ⊥平面ACE ， ∵CG ⊂平面ACE ，∴CG BD ⊥， ………………6分在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，且AB =，∴12CO AC CE ==， 在OCE ∆中，G 是EO 中点，∴CG EO ⊥， ∵EO BD E = ，∴CG ⊥平面BDE ； ………………8分（Ⅲ）解：∵1AB =，∴EC =， ∵F 是EB 中点，且EC ⊥底面ABCD ，ABD COE FG∴11111111222362224F ACE B ACE E ABC ABC V V V S CE ---∆===⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=…………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c ，则()2,0F c 且222a b c =+，由点P ，且2F 在线段1PF 的中垂线上，得212PF F F =， 则2c=，解得1c=， ………………2分又∵2c e a ==，∴a =1b =， ∴所求椭圆C的方程为2212x y +=； ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()21,0F ，由题意可设直线():2l y k x =-与椭圆的交点()11,D x y 、()22,E x y ………………5分由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222212x k x +-=，整理得()2222128820k x k x k +-+-=， 则22181602k k ∆=->⇒<，且212221228128212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ……………… 8分()()2212121212221111DF EF k x k x y y k k x x x x --+=+=+---- ()()()()()()122112212111k x x x x x x --+--⎡⎤⎣⎦=--()()()12121223411k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=-- ………………9分∵()1212234x x x x -++22228282341212k k k k -=⨯-⨯+++ ()22221642448012k k k k--++==+ ………………11分∴220DF EF k k +=，即直线2DF 与直线2EF 的斜率之和为定值0. ………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2'()xe f x e=，∴2'(4)f e =，又∵2(4)f e =，∴函数()f x 在点(4,(4))f 的切线方程为22(4)y e e x -=-，即223y e x e =-； ……………………3分（Ⅱ）由(1)0g =及题设可知，对任意(0,)x ∈+∞，不等式()()1g x g ≥恒成立， ∴函数()ln (1)g x x x a x =--必在1x =处取得极小值，即(1)0g '=， ………………4分∵()ln 1g x x a '=+-，∴(1)10g a '=-=，即1a =， ……………………5分当1a =时，()ln g x x '=，∴(0,1)x ∈，()0g x '<；(1,)x ∈+∞，()0g x '>，∴()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增， 则()()10min g x g == ……………………6分∴对任意(0,)x ∈+∞,不等式()(1)0g x g ≥=恒成立，符合题意，即1a =， ∴{1}M =； ……………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）1a =，∴函数2()()()ln 1xe h xf xg x x x x e=-=-+-，其定义域为(0,)+∞，求得22()(ln 1)ln x xe e h x x x x x e e''=-+-=-， (8)分令()()m x h x '=，21()x e m x e x'=-为区间()0,+∞上的增函数， ……………………9分设0x 为函数()m x '的零点，即0201x e e x =，则020x e x e =，∵当00x x <<时，()0m x '<；当0x x >时，()0m x '>，∴函数()()m x h x '=在区间0(0,)x 上为减函数，在区间0(,)x +∞上为增函数，∴00200020011()()ln ln 20x x e e h x h x x x e x e x ''≥=-=-=+-≥，所以函数()h x 在区间(0,+∞上为增函数． ……………………12分请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22．证明：（Ⅰ）∵BE 为圆O 的切线，∴∠EBD =∠BAD ， ……………………2分又∵AD 平分∠BAC ，∴∠EBD =∠CAD ， ……………………4分又∵∠CBD =∠CAD ，∴∠EBD =∠CBD ， ……………………5分（Ⅱ）在△EBD 和△EAB 中，∠E =∠E ，∠EBD =∠EAB ，∴△EBD ∽△EAB ， ……………………7分 ∴BE BD AE AB=， ∴AB BE AE BD ⋅=⋅， ……………………9分又∵AD 平分∠BAC ，∴BD DC =，故AB BE AE DC ⋅=⋅． ……………………10分23．解：（Ⅰ）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2s i n c o s 0ρθθ-=得22sin cos ρθρθ=，∴2y x=即为曲线C 的直角坐标方程， ……………………2分点M 的直角坐标为(0,1)， ……………………3分直线l 的倾斜角为34π，故直线l 的参数方程为： 3cos 431sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， ……………………5分（Ⅱ）把直线l的参数方程212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）代入曲线C 的方程得：2(1)22+=-，即220t ++=， ……………………7分242100∆=-⨯=>，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则12122t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩， ……………………8分又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得：点M 到A 、B 两点的距离之积12||||||2MA MB t t ⋅=⋅=． ……………………10分24．解：（Ⅰ）当3a =时，1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ ……………………2分当2x >时，由10x ->，解得1x <，∴()0f x >的解集为∅， 当322x ≤≤时，由530x ->，解得53x <，∴3523x ≤<， 当32x <时，由10x ->，解得1x >，∴312x <<， ……………………5分综上所述，当3a =时，不等式()0f x >的解集为513x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． ……………6分（Ⅱ）∵(,2)x ∈-∞，∴()2|2|f x x x a =---，由()0f x <，得2|2|0x x a ---<，∴2|2|x x a -<-在(,2)x ∈-∞恒成立，即2a x >+或32a x <-在(,2)x ∈-∞恒成立，∴4a ≥．……………………10分。
辽宁省2016届高三考试精品试卷数学文Word版含答案
高三数学精品卷（文科）（总分值：150分 考试时刻：120分钟） 命题人：杨悦一.选择题：（此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项最符合题目要求的.）1.已知集合{}21P x x =≤，{}M a =．假设PM P =，那么a 的取值范围是（ ）．A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[]1,1-D ．(][),11,-∞-+∞2.设n m ,是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内两条相交直线，那么βα⊥的一个充分没必要要条件是（ ）A ．11,l m l n ⊥⊥B ．12,m l m l ⊥⊥C ．12,m l n l ⊥⊥D ．1//,m n l n ⊥ 3.在复平面内，复数431iz i+=+对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4.如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，那么几何体的体积为（ ）． A ． 63 B ．93 C ． 123 D ．1835.已知1sin ,63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．13-C ．13D ．796.已知函数)0,4()4sin()(ππP x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称，现将)(x f 的图象向左平移4π个单位后，再将取得的图象上各点的横坐标伸长到原先的4倍，纵坐标不变，取得函数)(x g y =的图象，那么)(x g y =的表达式为（ ） A ．xy 41sin-= B ．1cos 4y x =-C ．)44sin(π--=x y D ．)44cos(π--=x y7.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i 的值为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．68.已知y x ,知足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ,记目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值 为1，那么a b c a ++= （ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-29.设点(1,0)A ，(2,1)B ，若是直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（ ）A ．最小值为15 B ．最小值为55 C ．最大值为15 D ．最大值为5510. 以下说法错误的选项是（ ）A ．假设命题2:,10p x R x x ∃∈-+=，那么2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠ B ．命题“假设0a =，那么0ab =”的否命题是：“假设0a ≠，那么0ab ≠”C ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分没必要要条件 D ．假设命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 必然是真命题11.双曲线C:)0,0(12222>>=-b a bx a y 的核心为21,F F ,P 为C 上任意 一点，那么以||||21PF PF 或为直径的圆与以实轴为直径的圆必然( )A.相交B.相离C.相切D.内含12.已知函数y =f (x )是概念在R 上的增函数，函数y =f (x -1)的图象关于点(1,0)对称，假设任意的x ,y ∈R ,俯视图侧视图正视图111122323不等式f (x 2-6x +21)+f (y 2-8y )<0恒成立，那么当x >3时，x 2+y 2的取值范围是( ) A ．(3,7) B. (9,25) C. (9,49) D. (13,49)二.填空题：(此题共4小题，每题5分,共20分.)13.已知向量,a b 知足2,1,(2),==-⊥+=a b b a b a b 则___________.14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，假设a 、b 、c 成等比数列，且2c a =， 则cos B = .12a xx >关于(0,1)x ∀∈恒成立，那么实数a 的取值范围是_______________.16.函数24()22x x f x x -=--.给出函数()f x 以下性质：⑴函数的概念域和值域均为[]1,1-；⑵函数的图像关于原点成中心对称；⑶函数在概念域上单调递增；(4)A 、B 为函数()f x 图象上任意不同两点，那么2<2AB ≤.请写出所有关于函数()f x 性质正确描述的序号 .三.解答题：(此题共6道大题，共70分.) 17．（本小题总分值12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且知足)2(02,2111≥=+=-n S S a a n n n ． （Ⅰ）}1{nS 是不是为等差数列？证明你的结论；（Ⅱ）求n S 和n a ； （Ⅲ）求证：222121124n S S S n+++≤-． 18.（本小题总分值12分）为了研究“教学方式”对教学质量的阻碍，某高中数学教师别离用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩.（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同窗中随机抽取两名同窗，求成绩为87分的同窗至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的22⨯列联表，并判定有多大把握以为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班 乙班 合计 优秀 不优秀合计下面临界值表仅供参考：)(2k x P ≥k（参考公式：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=）19．（本小题总分值12分）（本小题总分值12分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,别离是BC PC PD ,,的中点． （1）求平面EFG ⊥平面PAD ；（2）假设M 是线段CD 上一动点，试判定三棱锥EFG M -的体积是不是为定值，假设是，求出该三棱锥的体积；假设不是，请说明理由。
辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-a≤0}，B={1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为（）A. （-∞，1]B. [1，+∞）C. （-∞，3]D. [3，+∞）2.设a为i-1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b=（）A. -1B. -2C. -3D. 03.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=2x；②f（x）=-2x；③f（x）=x+x-1；④f（x）=x-x-1．则输出函数的序号个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 14.函数的图象大致是（）A. B.C. D.5.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A. B. C. D.6.若sin（）=，则cos（）=（）A. B. C. D.7.已知双曲线的一条渐近线与圆（x-4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.8.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（）A. B. C. D.9.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A. f（x）是奇函数B. f（x）的一条对称轴为直线C. f（x）的最小正周期为2πD. f（x）在上为减函数10.将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成角为（）A. B. C. D.11.若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（）A. B. C. 8 D. 4812.设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，若关于x的方程f（x）-1og a（x+2）=0（a＞1）在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是（）A. （，）B. （，2）C. （，2]D. （，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y最小值为______．14.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（a，b），=（sin A，cos B），且∥，若点D是△ABC外接圆O的劣弧上的点，AB=3，BC=2，AD=1，则四边形ABCD的面积为______．15.若直线y=2x-1是曲线y=ax+ln x的切线，则实数a的值为______．16.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为（x0，y0），若l1⊥l2，则下列结论序号正确的有______．①+＜1②+＞1③+＜1 ④4x02+3y02＞1三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且1，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n•b n=1+2na n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若AD=4，BC=2，设AC∩BD=O，且∠PDO=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．19.某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位：cm）的情况如表1：（1）设，若x与y之间是线性关系，试根据表1的数据求出y关于x的线性回归方程；（2）小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3：根据表估计小李的洗车店年月份每天的平均收入．附参考公式：=x+，其中=，=-．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|•|MB|，求λ的取值范围．21.已知：函数（其中常数a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及单调区间；（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立，求a的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ•sinθ•tanθ=2a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M、N．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|PM|=|MN|，求实数a的值．23.已知函数f（x）=|x+m|-|2x-2m|（m＞0）．（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意的实数x，存在实数t，使得不等式f（x）+|t-3|＜|t+4|成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x-a≤0}={x|x≤a}，B={1，2，3}，A∩B≠∅，∴a≥1，∴a的取值范围为[1，+∞）．故选：B．求出集合A={x|x≤a}，B={1，2，3}，由A∩B=∅，能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：i-1==-i，则a=-1．（1+i）2=1-1+2i=2i．∴b=0，则a+b=-1+0=-1．故选：A．利用复数的运算法则、有关概念即可得出．本题考查了复数的运算法则、有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：①f（x）=2x＞0恒成立，不存在零点，②f（x）=-2x＜0恒成立，不存在零点，③f（x）=x+x-1=x+=不存在零点，④f（x）=x-x-1=x-=，当x=1或x=-1时，满足f（x）=0，即存在零点，故只有④满足条件．故选：D．根据条件分别判断四个函数是否存在零点即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件判断函数是否存在零点是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的图象的识别，掌握函数的定义域，属于基础题．先求出函数的定义域，结合函数在不同范围的正负值，即可判断．【解答】解：由1-x2≠0，解得x≠±1，排除C，∵函数，当时，，排除D，当时，，排除A，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查古典概型概率的求法，属于基础题，先写出所有的可能事件，再找出满足要求的事件即可．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共6个.两卡片和为奇数的有（1,2），（1,4），（2,3），（3,4），∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵sin（）==cos（+x），则cos（）=2-1=2×-1=-，故选：C．利用诱导公式求得cos（+x）的值，再利用二倍角公式求得cos（）的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属基础题.求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x-4）2+y2=4相切，可得：=2，可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c2-4a2=c2，解得e==．故选：B．8.【答案】C【解析】解：设十等人，将每等人按顺序排成一排，构成等差数列a1，a2…a9，a10，由已知有a1+a2+a3=4，a8+a9+a10=3，由等差数列的性质有a5+a6=a1+a10=a2+a9=a3+a8=，故选：C．由等差数列的性质及简单的合情推理得：将每等人按顺序排成一排，构成等差数列a1，a2…a9，a10，由已知有a1+a2+a3=4，a8+a9+a10=3，则a5+a6=a1+a10=a2+a9=a3+a8=，得解．本题考查了等差数列的性质及简单的合情推理，属中档题．9.【答案】D【解析】解：向量，向量，函数=sin4+cos4=（sin2+cos2）2-2sin2cos2=1-（2sin cos）2=1-sin2x=1-•（1-cos2x）=（3+cos2x），由f（-x）=（3+cos（-2x））=（3+cos2x）=f（x），可得f（x）为偶函数，则A错；由2x=kπ，可得x=kπ（k∈Z），则B错；f（x）的最小正周期为T==π，则C错；由x∈（，）可得2x∈（，π），则f（x）在上为减函数，D正确．故选：D．运用向量数量积的坐标表示，以及二倍角的正弦公式、余弦公式，化简函数f（x），再由奇偶性和对称轴、周期性和单调性，计算可得所求结论．本题考查向量数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式、余弦公式的运用，考查余弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：设O是正方形对角线AC、BD的交点，将正方形ABCD沿对角线AC折起，可得当BO⊥平面ADC时，点B到平面ACD的距离等于BO，而当BO与平面ADC不垂直时，点B到平面ACD的距离为d，且d＜BO由此可得当三棱锥B-ACD体积最大时，BO⊥平面ADC．设B'是B折叠前的位置，连接B′B，∵AD∥B′C，∴∠BCB′就是直线AD与BC所成角设正方形ABCD的边长为a∵BO⊥平面ADC，OB'⊂平面ACD∴BO⊥OB'，∵BO'=BO=AC=a，∴BB′=BC=B′C=a，得△BB′C是等边三角形，∠BCB′=60°所以直线AD与BC所成角为60°故选：C．将正方形ABCD沿对角线AC折起，可得当三棱锥B-ACD体积最大时，BO⊥平面ADC．设B′是B折叠前的位置，连接B′B，可得∠BCB′就是直线AD与BC所成角，算出△BB′C的各边长，得△BB′C是等边三角形，从而得出直线AD与BC所成角的大小．本题将正方形折叠，求所得锥体体积最大时异面直线所成的角，着重考查了线面垂直的性质和异面直线所成角求法等知识，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由||=|3|=2，得9+6•+=4，∴9×4+6•+=4，∴•=--；显然||＞0，否则|3+|=2不成立；则在方向上的投影为：=--≤-×2=-，当且仅当||=4时取等号；所以在方向上投影的最大值为-．故选：A．由题意用||、||表示出•，计算在方向上的投影，利用基本不等式求出它的最大值．本题考查了平面向量的数量积与投影的计算问题，是中档题．12.【答案】B【解析】解：∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3，解得：＜a＜2，故选：B．由已知中可以得到函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[-2，0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f（x）-log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．13.【答案】-2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-经过点B时，直线y=-的截距最小，此时z最小．由，解得B（-，1），代入目标函数得z=2×（-）+1=-2．即z=2x+y的最小值为-2．故答案为：-2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】2【解析】解：∵向量=（a，b），=（sin A，cos B），且∥，∴=，即，即tan B=，得B=60°，∵ABCD四点共圆．∴∠ADC=120°，∵AB=3，BC=2，∴由余弦定理得AC2=32+22-2×=9+4-6=7，∵AD=1，∴设CD=x，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD cos120°=1+x2+x=7，即x2+x-6=0，得x=2或x=-3（舍）则四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD=AB•BC sin60°+AD•CD sin120°=+==2，故答案为：2根据向量共线结合正弦定理求出B的大小，结合余弦定理以及三角形的面积公式进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合向量共线的坐标公式求出B的大小，结合正弦定理余弦定理即三角形的面积公式进行求解是解决本题的关键．15.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于中档题．设切点为（m，n），求得函数y=ax+ln x的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得m，n的方程组，解方程可得a的值．【解答】解：设切点为（m，n），y=ax+ln x的导数为y′=a+，可得切线的斜率为a+=2，又2m-1=n=am+ln m，解得m=a=1，故答案为：1．16.【答案】①③④【解析】解：由椭圆=1，可得：a=2，b=，c=1．∴左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），设A（0，），则tan∠AF1F2=，可得：∠AF1F2=，∴∠F1AF2=．∵l1⊥l2，∴直线l1与直线l2交点M在椭圆的内部．∴①+＜1正确；②+＞1不正确；③直线=1与椭圆=1联立，可得：7y2-24y+27=0无解，因此直线=1与椭圆=1无交点．而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，∴满足+＜1，正确．④∵+=1，0≤≤1，∴4x02+3y02=4（1-）+3=4-＞1，因此正确．综上可得：正确的序号为：①③④．故答案为：①③④．由椭圆=1，可得：左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），设A（0，），可得∠F1AF2=．由l1⊥l2，可得直线l1与直线l2交点M在椭圆的内部．进而判断出①正确；②不正确；③直线=1与椭圆=1联立，可得直线=1与椭圆=1无交点．而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，即可判断出正误．④根据+=1，0≤≤1，代入化简即可判断出正误．本题考查了椭圆与圆的标准方程位置关系及其性质、方程与不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）由已知1，a n，S n成等差数列得2a n=1+S n①当n=1时，2a1=1+S1=1+a1，∴a1=1，当n≥2时，2a n-1=1+S n-1②①─②得2a n-2a n-1=a n，∴，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．（2）由a n•b n=1+2na n得，∴==．【解析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用拆项求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，求出通项公式以及数列求和，考查计算能力．18.【答案】（本题满分（12分）证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC．而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．…………（4分）解：（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，由（1）知，BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，因为∠PDO=60°，所以∠DPO=30°，得PD=2OD．、（6分）又因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，于是梯形ABCD的面积S=×（4+2）×3=9．（9分）在等腰直角三角形AOD中，OD=AD=2，所以PD=2OD=4，PA==4．故四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×9×4=12．…………（12分）【解析】（1）推导出PA⊥BD．AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC，从而BD⊥PC．（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，推导出BD⊥平面PAC，BD⊥PO．推导出AC⊥BD，从而△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．进而梯形ABCD的高为AD+BC=3，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）根据表中数据，计算，，00，=92+72+32+12=140；∴，，∴y关于x的线性回归方程为；（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为8000×3）=2400（元）．【解析】（1）根据表中数据计算平均数与回归系数，写出线性回归方程；（2）根据表3，计算洗车店2017年11月份每天的平均收入即可．本题考查了线性回归方程与加权平均数的计算问题，是基础题．20.【答案】解：（1）原点到直线的距离为d==，所以（b＞0），解得b=1，又，得a=2，所以椭圆C的方程为；（2）当直线l的斜率为0时，直线l：y=0即x轴，λ=|MA|•|MB|=12；当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（m2+4）y2+8my+12=0，由△=64m2-48（m2+4）＞0，得m2＞12，所以，λ=|MA|•|MB|=•|y1|••|y2|==12（1-），由m2＞12，得，所以．综上可得：，即．【解析】（1）求得原点到直线的距离，运用弦长公式可得b，再由椭圆的离心率公式可得a，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率为0，求得|MA|，|MB|，可得λ；当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，考查方程思想，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}．（1分）．（3分）由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），单调递减区间为（-∞，a），（a，a+1）；（6分）（Ⅱ）由题意可知，a＜0，且在（a，0]上的最小值小于等于时，存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立．（7分）若a+1＜0即a＜-1时，∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e a+1．则，得．（10分）若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为．由得a≤-2（舍）．（12分）综上所述，．则a的取值范围是（-∞，-ln2-1]【解析】（1）分式函数使分母不为零即{x|x≠a}，先求导数fˊ（x），然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；确定出单调区间．（2）转化成在（a，0]上的最小值小于等于，利用导数求出函数在（a，0]上的最小值，注意讨论．本题考查了函数的定义域、单调性以及利用导数求解恒成立问题，是高考中的热点问题．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程：x-y-1=0，∵曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a（a＞0），∴ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），∴曲线C的普通方程：y2=2ax；（2）∵y2=2ax；∴x≥0，设直线l上点M、N对应的参数分别为t1，t2，（t1＞0，t2＞0），则|PM|=t1，|PN|=t2，∵|PM|=|MN|，∴|PM|=|PN|，∴t2=2t1，将（t为参数），代入y2=2ax得t2-2（a+2）t+4（a+2）=0，∴t1+t2=2（a+2），t1t2=4（a+2），∵t2=2t1，∴a=．【解析】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．（1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．23.【答案】解：因为m＞0，所以．……………………1分（1）当时，…………………………………………………………2分所以由，可得或或，…………………………3分解得或，………………………………………………………………………………4分故原不等式的解集为．………………………………………………………………………5分（2）因为f（x）+|t-3|＜|t+4|⇔f（x）≤|t+4|-|t-3|，令g（t）=|t+4|-|t-3|，则由题设可得f（x）max≤g（t）max． (6)分由，得f（x）max=f（m）=2m． (7)分因为||t+4|-|t-3||≤|（t+4）-（t-3）|=7，所以-7≤g（t）≤7． (8)分故g（t）max=7，从而2m＜7，即，………………………………………………………………9分又已知m＞0，故实数m的取值范围是．…………………………………………………………10分【解析】（1）代入m的值，求出f（x）的分段函数，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max≤g（t）max，分别求出f（x）和g（t）的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题．。
辽宁省沈阳市2016届高三数学一模试卷(文科) 含解析
2016年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合M=｛0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0｝,则M∩N=(）A．｛1} B．｛2｝C．{0，1} D．｛1,2｝3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=32，则a3=（）A．B．2 C．D．4．已知函数，则f（f(4））的值为（）A．B．﹣9 C．D．95．如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（)A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥6．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是()A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=07．执行如图所示的程序框图，如果输入a=﹣1，b=﹣2，则输出的a的值为(）A．16 B．8 C．4 D．28．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），［140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［140，150]内的学生中选取的人数应为（）A．2 B．3 C．4 D．59．若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A．B．C．D．10．已知正四面体ABCD的棱长为a，其外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1：S2的值为(）A．3 B．C．9 D．11．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（)A．B．C．D．12．已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f(x),则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．(﹣∞，﹣1）∪（0,1) B．（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）C．（﹣1，0)∪（1,+∞）D．（﹣1，0)∪(0，1）二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件：，若z=x﹣y，则z的最大值为．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．函数f（x）=2x﹣lnx的单调增区间是．16．已知双曲线的右焦点为F,双曲线C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF,BF．若|AF｜=6，|BF｜=8，,则该双曲线的离心率为．三.解答题:（本大题共5小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数．（Ⅰ)求函数f（x）的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；（Ⅱ）若，求f（α)的值．18．如图所示，三棱锥D﹣ABC中,AC，BC,CD两两垂直，AC=CD=1,，点O为AB中点．（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．19．为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：未发病发病合计未注射疫苗20 x A注射疫苗30 y B合计50 50 100现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为．(Ⅰ）求2×2列联表中的数据的值;（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效?（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？附:0.05 0。
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2016年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2016年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+ 2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0 ⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…2016年7月29日。