第六节旋转曲面和二次曲面
第六节__旋转曲面和二次曲面
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面: ( p, q 同号)
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
z 2 a2 ( x2 y2 )
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
o x
y
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
6. 二 次 曲 面
§6 二 次 曲 面一、 球面的切面.直线MG 称为球面在点M 的法线.设球面方程为x y z px qy rz d 2222220++++++=则球面在点M (x y z 000,,)的切面方程为x x y y z z p x x q y y r z z d 0000000+++++++++=()()() 球面在点M (x y z 000,,)的法线方程为x x x p y y y q z z z r-+=-+=-+000000 [两个球面的交角] 设两个球面S x y z p x q y r z d 12221111222++++++=0 S x y z p x q y r z d 22222222222++++++=0两个球面的交角是指它们在交点的两个切面的夹角,记作θ,则cos θ=++--++-++-22221212121212121212222222p p q q rr d d p q r d p q r d 因公式中不包含交点的坐标,所以在两个球面的交线上的各点的交角必相等.两个球面的正交条件为222012121212p p q q r r d d ++--=[球面束·两个球面的根面] 设S S S λλ120+=式中S 1和S 2如(1)式定义,λ为参数,则有)()(2)(2)(2))(1(21212121222=+++++++++++d d z r r y q q x p p z y x λλλλλ对λλ()≠-1的一个确定值,S λ表示一个球面,当λ取一切值()λ≠-1时,S λ所表示的球面的全体称为球面束.λ=-1时为一平面,称为两个球面S S 12,的根面,其方程为()()()222012121212()p p x q q y r r z d d -+-+-+-=根面与S 1和S 2的连心线垂直,束中任一球面λS 的中心在连心线上,且分连心线的比为λ.[球面汇·三个球面的根轴] 设S 1和S 2如(1)式定义,又设S x y z p x q y r z d 322233332220++++++=设 S S S S λμλμ1230++= 式中λμ,为二独立参数,则有()()()()()()12220222123123123123++++++++++++++++=λμλμλμλμλμx y z p p p x q q q y r r r z d d d对λμ,()λμ+≠-1的一对确定值,S λμ表示一个球面,当λμ,取一切值()λμ+≠-1时,S λμ所表示的球面的全体称为球面汇.三个球面中每对球面的根面分别为S S S S 122300-=-=,,和S S 210-=这三个平面交于一条直线,称为S S S 123,,的根轴.二、 椭球面三、双曲面a b c [双叶双曲面]x aybzc222222+-=-a=b时,为旋转双曲面]在Oxz平面上的曲线当a=b时,为旋转抛物面五、锥面与柱面当a=b时, 为圆锥面在Oxz平面上a b当a=b时,为圆柱面渐近锥面] 二次锥面 六、 一般二次曲面1. 二次曲面的一般性质上面所列举的椭球面、双曲面、抛物面等,它们的方程关于x,y,z 都是二次的.关于x,y,z 的一般二次方程的形式是ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d 2222222220+++++++++= 它表示的曲面称为一般二次曲面.这里列举这些曲面的一些共同性质.[直线与二次曲面的交点] 一直线与一个二次曲面交于两点(实的,虚的,重合的).或者这直线全在曲面上,此时称它为二次曲面的直母线或母线.[平面与二次曲面的交线] 任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线.[二次曲面的直径平面与中心] 一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面上,称为直径平面,它平分某一组平行弦.设已知方向的方向数为l ,m ,n ,则直径平面的方程为()()()()0=+++++++++++rn qm pl z cn fm gl y fn bm hl x gn hm al或改写为()()()ax hy gz p l hx by fz q m gx fy cz r n +++++++++++=0当l ,m ,n 变动时,这个方程表示一个平面把,由此二次曲面的直径平面组成一个平面把.把内任一平面都通过下列三个平面的交点:ax hy gz p hx by fz q gx fy cz r +++=+++=+++=000如果交点不在曲面上,则称它为二次曲面的中心,如果交点在曲面上,则称它为二次曲面的顶点.凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面,其余的都称为无心二次曲面.[二次曲面的主平面与主轴] 如果直径平面垂直于被它所平分的弦,则称为主平面(对称平面),每个二次曲面至少有一个实主平面,非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的,它们的交线为主轴.[二次曲面的切面与法线] 二次曲面在一点M (x y z 000,,)的切面方程为()()()()()()ax x by y cz z f y z z y g z x x z h x y y x p x x q y y r z z d 0000000000000+++++++++++++++=在点M 与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M 的法线,它的方程可写为x x ax hy gz p y y hx by fz q z z gx fy cz r-+++=-+++=-+++000000000000 [二次曲面的圆截面] 如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆,则称该平面为曲面的圆截面.如果二次曲面不是球面,则通过空间中一点,二次曲面有六个圆截面;其中一般有两个实圆截面,四个虚圆截面;而且六个圆截面中有几个是重合的.2.二次曲面的不变量 由二次曲面的一般方程ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d 2222222220+++++++++= (1)的系数组成的下列四个函数:222,,h g f ca bc ab J c b a I cf g f b h gh a D dr q p rc f g q f b h pg h a ---++=++===∆ 称为二次曲面的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式∆称为二次方程(1)的判别式.。
解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面
x z （2）xOz 面上双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c x x
绕 x 轴旋转
2
2
x2 y2 z2 1 2 2 a c
旋转双叶双曲面
y
o
z
o y
z
x z （1）xOz 面上双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴； a c
绕 z 轴旋转
z y o
H x, y 0 R y, z 0 T x, z 0 或 或 z0 x0 y0
例 已知两球面的方程为
x y z 1 及 x y 1 z 1 1
2 2 2 2 2 2
求它们的交线C在xOy面上的投影方程．
z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 2 b c x2 y2 2 1 2 a b 2 x 2 pz
2
2
椭圆柱面 母线// x 轴 双曲柱面母线// z 轴 抛物柱面母线// y 轴
1. 椭圆柱面
x y 2 1 2 a b
z
2 2
2. 双曲柱面
又由于M1在母线上，所以又有：
x1 y1 z1 1 2 1 0
即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程： 2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。
下面特殊的旋 转曲面
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
2
2
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
旋转单叶双曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面一、旋转曲面定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。
l 称为轴，C 称为母线。
设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为⎩⎨⎧==00),(x z y f ，则旋转曲面的方程为0),(22=+±zy x f 。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例1 母线⎩⎨⎧==02:2x pzy C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。
例 2 母线⎪⎩⎪⎨⎧==-01:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=+-cz y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。
l 称为母线，C 称为准线。
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x 抛物柱面：px y 22=三、二次曲面(1) 椭圆锥面：22222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++cz b y a x(3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x(5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z by a x =-2222。
旋转曲面公式
旋转曲面公式旋转曲面公式是数学中常见的一类曲面方程。
在平面上，旋转曲面是通过绕着直线或点旋转形成的曲面。
旋转曲面公式是表达这类曲面的数学方程形式，非常有用且广泛应用于工程、物理和计算机图形学领域。
本文将介绍旋转曲面公式的定义、种类、基本特性和应用。
一、定义旋转曲面是指在平面上绕一个直线或一个点旋转所形成的曲面。
旋转曲面通常是由一条曲线绕着一定的轴或点旋转而生成。
旋转曲面公式是表达这类曲面的方程形式。
二、种类1. 绕x轴旋转当曲线绕x轴旋转时，生成的曲面被称为“圆锥面”或“圆锥体”（如果包含了内部）。
2. 绕y轴旋转当曲线绕y轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转椭球面”或“旋转椭球体”（如果包含了内部）。
3. 绕z轴旋转当曲线绕z轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转双曲面”，“旋转抛物面”或“旋转超球面”等。
三、基本特性1. 参数化形式旋转曲面可以用参数化的形式表示。
考虑曲线在xy平面上的表示形式r(t)。
为了将曲线绕z轴旋转，定义参数u表示绕z轴旋转的角度，曲面上每个点的坐标可以用下列参数化方程表示：x(u,t) = r(t)cos(u)y(u,t) = r(t)sin(u)z(u,t) = h(u)其中，r(t) 和 h(u) 是曲线在xy平面上和在z轴上的函数表示。
2. 等距线和平行线旋转曲面上的等距线是该曲面上的一条线，该线上的所有点到轴线（旋转轴）的距离相等。
相比之下，平行线是该曲面上的两条直线，它们不相交且距离相等。
对于圆锥面和旋转椭球面，等距线是从顶点或焦点到曲面上各点所在直线；对于旋转双曲面和旋转抛物面，等距线是与两极相切的曲面上的一条曲线。
3. 对称性旋转曲面具有一些特殊的对称性质。
根据对称平面或对称点的位置，旋转曲面可以被分为各种对称类型。
例如，对于绕x轴旋转的圆锥体，它有一个顶点和一条中心轴，因此它具有中心对称性；对于绕y轴旋转的旋转椭球体，它具有两个焦点和一条中心轴，具有反演和中心对称性。
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
旋转曲面知识点总结
旋转曲面知识点总结一、旋转曲面的概念旋转曲面是通过将一个曲线或者一个封闭曲线绕着某个轴进行旋转而形成的曲面。
简单来说，就是用一个曲线或者曲线围成的区域来绕着一条直线或者曲线旋转，就可以得到一个旋转曲面。
通常来说，绕直线旋转得到的曲面称为旋转抛物面，绕曲线旋转得到的曲面称为旋转曲线面。
二、旋转曲面的性质1. 旋转曲面是旋转对称的。
这意味着旋转曲面上的每一点都具有旋转对称性，即曲面上的任意一点和以曲面为轴的旋转曲面上的另一点关于曲面旋转中心对称。
2. 旋转曲面具有定向性。
这表示曲线或者曲线围成的区域旋转后得到的曲面具有确定的方向。
3. 旋转曲面是连续的。
这就是说曲线或者曲线围成的区域绕着轴旋转后，曲面上的点是连续的，并且形成了一个完整的曲面。
三、旋转曲面的参数方程求解旋转曲面的参数方程通常可以分为两种情况：一种是绕直线旋转得到的旋转抛物面，一种是绕曲线旋转得到的旋转曲线面。
1. 绕直线旋转得到的旋转抛物面设直线为z轴，旋转曲面为曲线y=f(x)绕z轴旋转得到的曲面。
则可得到参数方程如下：x = r*cosθy = r*sinθz = f(r)其中，r为y轴到曲线f(x)的距离（注意r与polar coordinates中的r不同，不要混淆），θ为极角。
2. 绕曲线旋转得到的旋转曲线面如果是曲线y=f(x)绕曲线y=g(x)旋转得到的曲面，则参数方程如下：x = g(x)*cosθy = g(x)*sinθz = f(x)其中，g(x)是旋转曲线的参数方程，f(x)是曲面的参数方程，θ为极角。
四、旋转曲面的表面积和体积1. 旋转曲面的表面积计算旋转曲面的表面积通常可以使用定积分进行求解。
对于绕x轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫a^b f(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx对于绕y轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫c^d x*g(x)*sqrt(1+(g'(x))^2)dx2. 旋转曲面的体积计算旋转曲面的体积同样可以使用定积分进行求解。
高等数学-几种常见的二次曲面
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
(7.6) 第六节 旋转曲面与二次曲面(少学时第三版简约型)
有两个变量为二次幂且它们的系数相同，则可判别其为 旋转曲面。例如，形如 f( y ,z 2 + x 2 )= 0 的方程所表示的就是旋转曲面。
判别方程是否表示旋转曲面的基 本原理依然是截口法原理，只是将这 一原理转化为相应的代数运算。
只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此只需将该旋转椭球面
沿 y 轴方向伸缩 b/a 倍即可。
C:
x2 a2
z2 c2
1
z
旋 ： ax22 ay22 cz22 1
OO
y
xx
:
x2 a2
by22
cz22
1
(3) 单叶双曲面
单叶双曲面的归纳定义为:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1.
易看出，若 a = b，则该曲面就是单叶旋转双曲面
的点是否都在所论曲面 上。
• 旋转曲面Σ上的点所满足的方程
设 M( x ,y ,z )为旋转曲面 上的任意一点，考虑点
M 所满足的方程。 考察点 M( x ,y ,z )
坐标满足的方程，应考
z C: fy,z0, x0.
虑将点 M 与已知条件
发生联系。
由于旋转曲面 是
O
M
y
曲线 C 绕 y 轴旋转而得 x 的，故考虑建立点 M 的
程所表示的图形及其性质呢？ 由于三元方程所表示的图形一般是空间图形，而描
绘空间图形却只能在平面上进行。因此，讨论方程所表 示的空间图形通常采用“截口法”， 即用一些特殊平面与所论曲面相 截，通过对截口曲线形状的研究 来了解曲面形状。
(1) 椭圆锥面
椭圆锥面的归纳定义为
旋转曲面_精品文档
旋转曲面引言旋转曲面是3维几何中常见的一类曲面形式，它由一个曲线绕着一个轴进行旋转所生成。
旋转曲面在数学、几何学和计算机图形学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍旋转曲面的定义、性质和应用，并举例说明其在现实生活中的实际应用。
定义旋转曲面是由一个曲线绕着一个轴旋转一周所形成的曲面。
具体地说，给定一个曲线 C 和一个轴线 L，如果将 C 绕着 L 旋转一周，相当于将曲线 C 中的每个点沿着一条与 L 垂直的直线移动，然后将所有移动后的点连接起来，就得到了旋转曲面。
旋转曲面的方程可以用参数方程或者隐式方程表示。
如果使用参数方程来表示旋转曲面，可以将旋转曲面上的点表示为 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中 (u, v) 是某个参数的取值。
常见的参数方程包括球坐标系和柱坐标系等。
性质旋转曲面具有许多有趣的性质。
首先，旋转曲面是一个连续的曲面，没有任何突变或断裂。
其次，旋转曲面具有对称性，即对于曲面上的每个点，如果对应于某一参数值的点旋转180度，那么这两个点关于轴线对称。
此外，旋转曲面也具有轴对称性，即曲面上的每个点关于轴线对称。
旋转曲面的形状取决于曲线和轴线的选择。
如果曲线是一个闭合曲线，如一个圆，那么旋转曲面将是一个闭合曲面，如一个球体。
如果曲线是一个直线段，那么旋转曲面将是一个圆柱体。
而如果曲线是一个非闭合曲线，如一个抛物线，那么旋转曲面将是一个卷曲曲面。
应用旋转曲面在许多领域中都有重要的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 几何学：旋转曲面是几何学研究中的重要工具。
它可以用来描述和分析平面几何、立体几何和曲线几何等问题。
通过研究旋转曲面的性质和变化，可以推导出许多几何学定理和结论。
2. 工程学：旋转曲面在工程学中有广泛的应用。
例如，工程师可以使用旋转曲面来描述和分析机械零件的形状和运动。
另外，在产品设计中，旋转曲面也常用于建模和制造。
3. 计算机图形学：旋转曲面是计算机图形学中常用的建模技术之一。
7-6旋转曲面和二次曲面解析
旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y, z ),
o
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
x
y
d
x y | y1 |
2 2
将 z1 z , y1 x y 代入 f ( y1 , z1 ) 0
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上两例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面的形状,求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
2 2
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,
x 2 z 2 0.
例 3 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为 的圆锥面方程． z
x
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
高等数学第七章第六部分
一、旋转曲面 二、二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
一、旋转曲面
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0)的交线为椭圆.
x2
2
pz
1
y2 2qz1
1
z z1
当 z 1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z轴上.
z
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xo(yz0)与曲面相截
截得抛物线
x2
2 pz
z
z
o y
x
p0, q0
xo
y
p0, q0
特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z (p0) 旋转抛物面 2p 2p （由 xo面z 上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2
y2
2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z轴上.
z
x a
2 2
z c
2 2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
o x
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
二次曲面
z
与平面 y = y1 的交线为 （2’） ）
2 y 其轴 轴 x = 2 p z − 其轴//z 抛物线 2q y12 顶点 0, y1 , y = y 1 2q
2 1
x
y
与曲面相截， （3）用坐标面 yoz ( x = 0)，x = x1 与曲面相截，均得抛物线 ）
z
L
α
M(0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
2 2 2
11
x2 z2 eg2:求坐标面 xoz 上的双曲线 2 − 2 = 1 分别绕 x a c
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 + z2 − =1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 + y2 z2 − 2 =1 2 a c
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面 旋转双曲面. 旋转双曲面
12
三、椭球面
x y z + 2 + 2 = 1 (1)范围： x ≤ a, a2 b c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 2 + 2 =1 , b a z = 0
2
2
2
y ≤ b,
16
四、抛物面 1. 椭圆抛物面
x y + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
a ) p > 0, q > 0 z
b) p < 0, q < 0
2
2
z o x y
x
o
y
17
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
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思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
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f ( y, z ) 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x0
f ( x y , z ) 0
2 2
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2. 二次曲面
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
l1
z l 2
y
方程 G( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
z
x
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
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y
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内容小结
三元方程 F ( x , y , z ) 0 1. 空间曲面 2 2 2 2 • 球面 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R • 旋转曲面
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
2
2
2
x
a c2
2
2 2 z1 )
(c
2
y
b c2
2
2 2
z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2
2
2
xห้องสมุดไป่ตู้
y
z
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二、二次曲面
三元二次方程
Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0 (二次项系数不全为 0 )
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c 平面 z z1 上的截痕为椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
x
y
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2 2 y1 2
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2 2
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
• 椭球面 • 抛物面: ( p, q 同号)
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 1 1 2 2 2 a b a b x2 y2 2 • 椭圆锥面: z a2 b2
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 z 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C, 则有
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
M ( x, y, z )
y
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(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 x x1 上的截痕为双曲线
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
o x
y
x
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P316 )
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5.柱面
引例. 分析方程
z
M
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上， 表示圆C, C 在圆C上任取一点 M1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x y R
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2 2
o
M1
y
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x y R 表示圆柱面
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2
2
2
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
表示抛物柱面,
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
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x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
母线平行于 z 轴;
z
准线为xoy 面上的抛物线. x 2 2 x y 2 2 1表示母线平行于 a b z z 轴的椭圆柱面. x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
o
y
o
y
z
C
o x
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y
x
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一般地,在三维空间
z
y
方程 F ( x, y) 0 表示柱面, 母线 平行于 z 轴;
的截痕
2. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） z
y
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
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y
结束
3. 双曲面 (1)单叶双曲面
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2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2
z
x
z
y
y12 2
0
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
机动
x
y
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
P18 目录
图形
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4. 椭圆锥面
z
z
x2 y2 2 z ( a, b 为正数) 2 2 a b 在平面 z t 上的截痕为椭圆 x2 y2 1, z t ① 2 2 ( at ) (bt )
的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c