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蚊香设计

题目：蚊香设计

目前市场上销售一种“雷达牌”蚊香，每盘蚊香如图1所示，图中a，b数值的单位：毫米。使用时拆成两片，如图2所示。经过实验发现，该蚊香的燃烧速度约为每小时120毫米。请用近似的方法解决下列问题：

（1）每一片蚊香大约可以燃烧多长时间；

（2）根据市场需求，请设计持续燃烧时间分别为4小时、8小时、10小时的蚊香，蚊香燃烧速度不变。分别计算出它们的a，b值。

摘要：该题由于不能用常规方法求蚊香条纹长度，所以采用面积近似法求蚊香燃烧时间。因为两片蚊香可以无缝镶嵌成一个近似椭圆，所以求一片蚊香可燃烧的时间只需求出一盘蚊香（两片蚊香）可燃烧的时间，再除以二即可。所以本题的求解思路为将蚊香近似看成一个椭圆，通过面积公式求出

椭圆面积。由于椭圆的长和宽题目均已给出，数出长和宽方向的条纹数，就可以求出每条条纹的宽度。条纹宽度再乘以条纹的燃烧速度，得单位时间蚊香燃烧的面积。再由一盘蚊香的面积以及该蚊香的面积燃烧速度即可求出一盘蚊香的燃烧时间。该时间再除以二即为一片蚊香可燃烧的时间。关键词：近似，椭圆，面积，燃烧速度，条纹。

引言：通过面积近似以及面积燃烧速度巧妙地求解燃烧时间，从而避免了难求的条纹长度，间接地求出蚊香可燃烧的时间。

问题分析：该蚊香呈螺旋状，蚊香条纹宽度和蚊香条纹间的间隙相等。由于该蚊香每圈构成的条纹既不是椭圆也不是圆，所以不能按正常的几何图形周长求解，需另辟蹊径，避开求解蚊香条纹长度。

模型假设：1.忽略蚊香条纹构成的圈由于宽度造成的靠外一边的长度与靠内边的长度的差值。

2.将一盘蚊香看成规则椭圆，忽略每片蚊香两头突出来的不平滑部分造成的面积误差。

3.忽略蚊香中心不再是等宽条纹造成的燃烧时间计算误差。

模型建立：将该一盘蚊香看成规则椭圆，椭圆长轴为a，短轴为b。蚊香条纹始终看成等宽处理。

模型的求解及结果：

1. 蚊香面积：

)(9902* (b/2)*(a/2)s 2mm =∏= 蚊香条纹宽度： )(44.716/119d 1mm ==

)(07.715/106d 2mm ==

)(26.72/)(d 21mm d d =+=

蚊香燃烧面积速度：

)/(2.871120*26.7*d 2h mm v v s ===

一盘蚊香可燃烧的时间：

)(37.112.871/9902/h v s t s ===

所以，一片蚊香可以燃烧的时间为：

)(68.52/37.112/0h t t ===

2.①4小时的蚊香：)(6.69692**s 24

4mm t v s == 又因为长轴方向条纹数比短轴方向条纹数多一条。

设横向条纹数为n ，纵向条纹即为（n+1）条。 有方程：∏+=**2/)1(**2/4d n d n s

解得49.12n = 所以)(9.97*)1(mm d n a =+=

)(7.90*mm d n b ==

②8小时的蚊香：)(2.139392**s 28

8mm t v s == 又因为长轴方向条纹数比短轴方向条纹数多一条。

设横向条纹数为n ，纵向条纹即为（n+1）条。 有方程：∏+=**2/)1(**2/8d n d n s

解得9.17n =

所以)(9.136*)1(mm d n a =+=

)(0.130*mm d n b ==

②10小时的蚊香：)(174242**s 210

10mm t v s == 又因为长轴方向条纹数比短轴方向条纹数多一条。

设横向条纹数为n ，纵向条纹即为（n+1）条。 有方程：∏+=**2/)1(**2/10d n d n s

解得0.20n = 所以)(7.152*)1(mm d n a =+=

)(2.145*mm d n b ==

结果的分析及检验：该结果为近似求解，和实际情况肯定有差别。误差主要来自于一盘蚊香不是标准的椭圆，面积求解不够准确。中心条纹宽度不一，导致求解蚊香条纹宽度时有误差。中间条纹的燃烧速度可能也会不同。第二问中由于求得条纹数不为整数，所以实际生产蚊香过程中也需要有所调整。

结论：⑴.该蚊香可燃烧5.68小时。

⑵所设计的蚊香a 和b 的值：

4小时蚊香：a=97.9(mm) b=90.7(mm)

8小时蚊香：a=136.9(mm) b=130.0(mm)

10小时蚊香：a=152.7(mm) b=145.2(mm)

参考文献：无