高考向量精选练习题
高考向量难题精选及详解
1.设D 、E 、F 分别是△的三边、、上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直2.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b +=3.设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是A 112λ≤≤ B 11λ≤≤ C 112λ≤≤+11λ≤≤+ 4.已知向量a ≠e ，e ＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －e ≥|a －e |，则A a ⊥eB a ⊥(a －e )C e ⊥(a －e )D (a ＋e )⊥(a －e )5..已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形6.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的A 重心 外心 垂心B 重心 外心 内心C 外心 重心 垂心D 外心 重心 内心7. 已知＝＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为( )8.平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．29.若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b)⊥a ，(2a ＋b)⊥b ，则＝( )A ．2C ．110. 已知向量a ，b 满足＝1，b ＝(2,1)，且λ a＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝.11.如图，在△中，为边上的中线，＝2，若∥，且＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为．12.在△所在的平面上有一点P 满足＋＋＝，则△与△的面积之比是．答案1.由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++ 12,33BE BC BA =+12,33CF CA CB =+以上三式相加得 1,3AD BE CF BC ++=-所以选A. 2.选A ．由OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，可得：OA OC OB OC ⋅=⋅即 4585a b +=+，453a b -=．3. (1)(1,),(1)(1,1),(,)AP AB OP OA OB PB AB AP AB AP AB λλλλλλλλλλλ=⇒=-+=-=-=-=--==-解得: 11λ≤≤+,因点P 是线段AB 上的一个动点,所以01λ≤≤,即满足条件的实数λ的取值范围是112λ-≤≤,故选择答案B. 4.由|a －e ≥|a －e |得|a －e 2≥|a －e |2展开并整理得222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤由得,得()0e a e -=,即()a a e ⊥-,选(C)5. 已知非零向量与满足(||||AB AC AB AC +)·=0，即角A 的平分线垂直于，∴ ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅= ，∠3π，所以△为等边三角形，选D ．6. 解析：,0由知为的外心；由知，为的重心;OA OB OC O ABC NA NB NC O ABC==∆++=∆7. 解析由(a＋2b)·(a－b)＝2＋a·b－22＝－2，得a·b＝2，即〈a，b〉＝2，〈a，b〉＝.故〈a，b〉＝.答案B8.解析∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c与a 的夹角等于c与b的夹角，∴〈c，a〉＝〈c，b〉．∴＝.即＝，解得m＝2.答案D9 ∵(a＋b)⊥a，＝1，∴(a＋b)·a＝0，∴2＋a·b＝0，∴a·b＝－1.又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0.∴2a·b＋2＝0.∴2＝2.∴＝，选B.10. ＝＝，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故＝|－λ＝|λ，所以|λ|＝＝＝.答案11.因为∥，所以存在实数k，使得＝＝－＝＋(λ－1)，又由是△的边上的中线，＝2，得点G为△的重心，所以＝(＋)，所以＋(λ－1)＝(＋)，由平面向量基本定理可得解得λ＝.答案12. 因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是边上靠近A点的一个三等分点，故＝＝.答案。
高考数学平面向量多选题专项练习及答案
高考数学平面向量多选题专项练习及答案一、平面向量多选题1．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()2112PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1PQ ∴==，故D 错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．2．已知向量(22cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数【答案】ABD 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确； 当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确；当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确.故选：ABD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BD 【分析】可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，则()0,0E ，()1,0A -，()10B ,，(3C ， 由2AD DC =可得222333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,2O ⎛ ⎝⎭， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；对于C ，31,2OA ⎛=-- ⎝⎭，31,2OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,36OD ⎛=- ⎝⎭，所以13,3OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭，所以23OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(3BC =-，123,33ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ED在BC 方向上的投影为127326 BC EDBC+⋅==，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.6．在ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，AE与BD交于O，且AB BC BC CA CA AB⋅=⋅=⋅，2AB AC AE+=，2CD DA=，1AB=，则（）A．0AC BD⋅=B．0OA OE⋅=C ．34OA OB OC++=D．ED在BA方向上的正射影的数量为712【答案】BCD【分析】根据AB BC BC CA CA AB⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cosC B B C⋅=⋅，从而求出B C=，进一步得到B C A==，ABC等边三角形，根据题目条件可以得到E为BC 的中点和D为AC的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】由AB BC BC CA CA AB⋅=⋅=⋅得cos cosAB BC B CA BC C⋅=⋅，||cos||cosAB B CA C⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cosC B B C⋅=⋅，()0sin B C=-，B C=，同理：A C=，所以B C A==，ABC等边三角形.2AB AC AE+=，E为BC的中点，2CD DA=，D为AC的三等分点.如图建立坐标系，3A⎛⎝⎭，1,02B⎛⎫-⎪⎝⎭，1,02C⎛⎫⎪⎝⎭，136D⎛⎝⎭，解得3O⎛⎝⎭，O为AE的中点，所以，0OA OE+=正确，故B正确；1323,,,223AC BD ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=12331=0236⨯-⨯-≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 13,6ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.7．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，10cos ,10AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出10cos ,10AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE→=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-， 故10cos ,225AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⨯⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=， 对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<， 故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.8．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题9．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】 通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确．【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立；对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形， a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ）A ．a 为单位向量B ．//b BC C ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥ 【答案】ABD 【分析】 求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。
最新高中向量题集(含答案)【强烈推荐】
高中向量题集(含答案)【强烈推荐】------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx平面向量测试题一、选择题（本题有１0个小题,每小题５分，共50分)1.“两个非零向量共线”是这“两个非零向量方向相同”的( ）A．充分不必要条件B. 必要不充分条件Ｃ.充要条件D．既不充分也不必要条件２.如果向量(,1)a n=与(4,)b n=共线，且方向相反，则n的值为（ )A.2±B．2-C.2D．0３．已知向量a、b的夹角为60,||3a =，||2b =，若(35)()a b ma b+⊥-，则m的值为（)A。
3223B。
2342C.2942D。
4229４.已知a=（１，-2),ｂ=(１,x),若a⊥b,则ｘ等于( ）A.21Ｂ。
21- C． 2D. -2５.下列各组向量中,可以作为基底的是( ）Ａ)1,2(),0,0(21-==ee B)9,6(),6,4(21==ee C.)4,6(),5,2(21-=-=ee)43,21(),3,2(21-=-=ee6．已知向量a，ｂ的夹角为120,且|a|=2,|ｂ|=5,则（2a —b）·a= ( )A．3 Ｂ。
9C 。
12 Ｄ． 13７．已知点O为三角形ABＣ所在平面内一点,若=++OCOBOA,则点Ｏ是三角形ABC的( )Ａ.重心 B。
内心Ｃ。
垂心D。
外心2 / 253 / 25８．设a ＝(2,-3)，b =(x,2ｘ),且3a ·b=４，则x 等于 ( )A.-3B. 3C. 31-D 。
319.已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥,则ｘ+2ｙ的值为 ( ）A.０ B 。
2 C 。
21D 。
-２10.已知向量a+3b,ａ—4ｂ分别与7ａ-５ｂ,7ａ-2b 垂直,且｜ａ|≠0，｜b|≠０,则a 与b 的夹角为( )Ａ.6π Ｂ。
平面向量高考试题精选(含详细答案)
平面向量高考试题精选(一)一．选择题（共14小题）1．（2015•XX）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．2．（2015•XX）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．213．（2015•XX）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2015•XX）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥5．（2015•XX）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣26．（2015•XX）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（2015•XX）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．8．（2014•XX）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值X围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1] 9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．110．（2014•XX）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．11．（2014•XX）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．012．（2014•XX）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．213．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．14．（2014•XX）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4二．选择题（共8小题）15．（2013•XX）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．16．（2013•）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．17．（2012•XX）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=．18．（2012•）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．19．（2011•XX）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．20．（2010•XX）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值X围是．21．（2010•XX）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．22．（2009•XX）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=．三．选择题（共2小题）23．（2012•XX）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值X围．24．（2007•XX）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值X围．平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•XX）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．解：由已知得到如图由===；故选：A．2．（2015•XX）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．3．（2015•XX）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=•（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C4．（2015•XX）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．5．（2015•XX）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B6．（2015•XX）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A7．（2015•XX）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．8．（2014•XX）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值X围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值X围是．故选：D．9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．1解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A10．（2014•XX）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．11．（2014•XX）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．12．（2014•XX）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D13．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A14．（2014•XX）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．二．选择题（共8小题）15．（2013•XX）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．16．（2013•）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF与其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：317．（2012•XX）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= 18．【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：1818．（2012•）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【解答】解：因为====1．故答案为：119．（2011•XX）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．20．（2010•XX）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值X围是（0，]．解：令用=、=，如下图所示：则由=，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得：||=≤∴||∈（0，]故||的取值X围是（0，]故答案：（0，]21．（2010•XX）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．22．（2009•XX）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=﹣2．解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）•（，）=﹣2．故答案为：﹣2．三．选择题（共2小题）23．（2012•XX）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值X围．【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．则||==．（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．令m=，则tan2x0=，m∈[﹣，0）∪（0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．24．（2007•XX）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值X围．】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值X围是．。
高考向量问题专题复习
高考向量问题专题复习一、向量选择题1、已知三点)0,0(O ，(,2)A k -，)4,3(B ，若AB OB ⊥，则=kA ．317-B ．38 C ．7 D ．11 (11年高职)2、已知向量)4,1(-=，向量)1,3(==A ．10B ．17C ．29D ．5 (11年高职)3、把向量(1,2)n =- 按(1,1)a =- 平移得到向量m ,求m 的模m. 1, A B C D (10年高职)4. 已知(2,), (,1)a K b m =-= 且a 和b 平行，则K 与m 满足关系式 (10年高职). 20, . 20, . 20, . 20A k m B k m C km D km -=+=-=+=5、下列向量中与向量(2,3)a =- 平行的是（ ） （A ）(4,6)- （B ）(4,6) （C ）(3,2)- （D ）(3,2) (09年高职)6、将函数sin y x =的图像按向量(1,1)a = 平移得到的图像对应的一个函数解析式是（A ） 1sin(1)y x =-++ （B ）1sin(1)y x =++（C ） 1sin(1)y x =-+- （D ）1sin(1)y x =+- (09年高职)7、已知平面向量a 与b 的夹角为 30，且 15sin 2=a ， 15cos 4=b ，则b a ∙的值为A .32B .3C .23 D .21 (08年高职) 8、若向量)1,2(),1,1(-=-=b a ，则向量b a -3的模b a -3=（ ） A. 5 B. 5 C. 523- D. 523+ (07年高职)9、对任意的两个平面向量),(),,(2121b b b a a a == ，定义1221b a b a b a -=⊗ 。
若0),5(),1,2(=⊗=-=b a m b a 满足，则m=( ) A. 10 B. 25 C. 25- D. 10- (07年高职)10、设M(-2,1),N(1,2)为平面直角坐标系中的两点，将M 和N 按向量)1,1(=a 平移到点M '和N '，则N M '的坐标是（ ）A. (4,2)B. (3,1)C. (2,0)D. (-1,3) (07年高职)11、若向量),3(m a -= 和)1,2(-=b 向量垂直，则m=( )A. –6B. –1C. 1D. 6 (06年高职)12、若向量b a c b a +=-==2),1,1(),1,1(，则=c （ ）A.(2,0)B.(3,-1)C.(3,0)D.(3,1) (05年高职)13、设向量),3(),2,1(y b a =-= ，且b a //，则y=( )A.–6B.0C.23 D.6 (05年高职) 14、设向量)2,1(=a 与向量),4(y b = 垂直，则y= ( )A 8B -8C 2D -2 (04年高职)15、为了得到函数)62sin(2π++=x y 的图象，只须将函数x y 2sin =的图象平移向量 A )2,6(-π B )2,12(π C )2,12(--π D )2,12(π- (04年高职) 16、函数)42sin(π+=x y 的图象平移向量)0,4(π后，新位置图象的函数为=y A.)42sin(π-x B.x 2sin C.)43x 2sin(π+ D.x 2cos (03年高职) 17、向量)6,2(),3,4(-==与的数量积=⋅A.1010B.18C.11D.10 (02年高职)18、已知向量a=(2,1),b=(3,-2),则=⋅b aA 、3B 、4C 、8D 、-12 (01年高职)19、函数)443sin(π+=x y 的图象平移向量)0,3(π-=a 后，新图象对应的函数为y= A 、x 43sin B 、-x 43sin C 、x 43cos D 、-x 43cos (01年高职) 二、向量填空题20、已知(3,1), (2,1)AB n =-= 且7n AC ⋅= ,则n BC ⋅= . (10年高职)21、已知向量(3,4)a =- , 则向量a 的模a = 。
高三空间向量练习题
高三空间向量练习题1. 已知向量a = 2i + 3j - k，向量b = i - j + 4k，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量a与向量b的数量积可以通过向量的内积公式计算得出。
内积的计算方式为将两个向量对应分量相乘后相加。
a ·b = (2i + 3j - k) · (i - j + 4k)= 2i · i + 3j · (-j) - k · j + 2i · (-j) + 3j · (4k) - k · (4k)= 2 + 3 + 0 - 2 - 12 + 4= -5所以，向量a与向量b的数量积为-5。
2. 已知向量c = 3i + 2j + 4k，向量d = 5i + 6j + 2k，求向量c与向量d的向量积。
解析：向量c与向量d的向量积可以通过向量的叉乘公式计算得出。
叉乘的计算方式为以行列式形式表示，按照i、j、k的顺序展开。
c ×d = |i j k ||3 2 4 ||5 6 2 |= (2 × 2 - 4 × 6)i - (3 × 2 - 4 × 5)j + (3 × 6 - 2 × 5)k= -20i + 7j + 8k所以，向量c与向量d的向量积为-20i + 7j + 8k。
3. 已知向量e = 3i + 4j - 6k，向量f = 2i - 5j + k，求向量e与向量f 的夹角的余弦值。
解析：向量e与向量f的夹角的余弦值可以通过向量的内积和模长的乘积计算得出。
计算公式为：cosθ = (e · f) / (|e| × |f|)。
|e| = √(3^2 + 4^2 + (-6)^2) = √(9 + 16 + 36) = √61|f| = √(2^2 + (-5)^2 + 1^2) = √(4 + 25 + 1) = √30e ·f = (3i + 4j - 6k) · (2i - 5j + k)= 3i · 2i + 4j · (-5j) - 6k · j + 3i · (-5j) + 4j · k - 6k · k= 6 - 20 - 0 - 15 + 4 - 6= -31cosθ = (-31) / (√61 × √30) ≈ -0.283所以，向量e与向量f的夹角的余弦值约为-0.283。
向量高考经典试题（附详细答案）
向量⾼考经典试题（附详细答案）向量⾼考经典试题⼀、选择题1．（全国1⽂理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r，则a r 与b rA ．垂直B ．不垂直也不平⾏C ．平⾏且同向D ．平⾏且反向解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。
2、（⽂5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ?-=-+=?= 2=a 。
3、（⽂4理10）若向量,a b r r 满⾜||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为60°，则a a a b ?+?r r r r =______；答案：3 2；解析：1311122a a ab ?+?=+??=r r r r ，4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2mb m α=+r其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则mλ的取值围是C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2m b m α=+r 2,a b =r r 可得2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ=代⼊⽅程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα??-=+ ?--??，再化简得22422cos 2sin 022k k αα??+-+-= ?--??再令12t k =-代⼊上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因⽽11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（理11）在直⾓ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，则下列等式不成⽴的是（A ）2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA BC =?u u u r u u u r u u u r（C ）2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =-=??=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，通过等积变换判断为正确.6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上⼀点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+332(B)31(C) -31(D) -32 解．在?ABC 中，已知D 是AB 边上⼀点，若AD =2DB ，=CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1233CA CB +u u u r u u u r ，4 λ=32，选A 。
高考数学专题：平面向量练习试题、答案
高考数学专题：平面向量练习试题 1．已知(3,4)a =，(8,6)b =-，则向量a 与b （ ）A ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为30°D ．夹角为60° 2．已知向量(5,3)a =-，(2,)b x =，且//a b ，则x 的值是（ ） A ．65 B ．103 C ．-65 D ．-103 3．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =，且()()a b a b λ+⊥-，则λ等于（ ） A ．35 B ．35- C ．3- D ．3 4．如果a 、b 都是单位向量，则a b -的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(0,2)C ．[1,2]D ．[0,2] 5．已知在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，则O 为ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 6．已知(7,1)A ，(1,4)B ，直线ax y 21=与线段AB 交于点C ，且2AC CB =，则a 等于（ ） A ．2 B ．35 C ．1 D ．54 7．已知直线2y x =上一点P 的横坐标为a ，有两个点(1,1)A -，(3,3)B ，那么使向量PA 与PB 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（ ）A ．12a -<<B ．01a <<C ．22a -<< D ．02a <<8．已知向量(4,2)a =，(1,1)b =-，则b 在a 方向上的射影长为_________． 9．已知点(2,3)A ，(0,1)C ，且2AB BC =-，则点B 的坐标为_____________．10．已知||2a =，||2b =，a 与b 的夹角为45︒，则()b a a -⋅=________． 11．已知向量(3,1)OA =--，(2,3)OB =，OC OA OB =+，则向量OC 的坐标为____________，将向量OC 按逆时针方向旋转90︒得到向量OD ，则向量OD 的坐标为______________12．已知向量a 、b 的夹角为45︒，且满足||4a =，1()(23)122a b a b +⋅-=，则||b =_________；b 在a 方向上的投影等于_____________． 13．平面上有三个点(2,)A y -，(0,)2y B ，(,,)C x y ，若AB BC ⊥，则动点的轨迹方程为______________．14．将函数2y x =的图象F 按向量(3,2)a =-平移到'F ，则'F 对应的函数解析式为_________________．15．把点(2,2)A 按向量(2,2)a =-平移到点B ，此时点B 分OC （O 为坐标原点）的比为2-，则点C 的坐标为____________．16．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，||1AC =，||4AB =，则ABC ∆的面积为____，||BC =_____________．答案1．B2．C3．B4．D5．B6．A7．B8．59．(2,1)-- 10．2- 11．(1,2)-，(2,1)--12 1 13．28y x =14．2(3)2y x =-- 15．(0,2)16。
向量专题练习(高考复习)
向量专题练习1、已知向量)21,23(),23,21(==BC BA ,则=∠ABC ( ) A 、 30 B 、 45 C 、 60 D 、 1202、设D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC,CA,AB 的中点，则=+FC EB ( )A 、BCB 、ADC 、BC 21D 、AD 213、已知向量b a ,满足b a b a b a -+==⊥λ与且23,32垂直，则实数λ的值为（ ）A 、23B 、23-C 、23± D 、14、已知平面向量=-==b a x b a ，如果,//)1,(),6,3( ( )A 、5B 、25 C 、3 D 、23 5、已知向量共线与，如果b a b n a m b a +--==2)3,2(),2,1(（其中R n m ∈,且0≠n ）则=nm ( ) A 、2- B 、2 C 、21-D 、21 6、在凸四边形OABC 中，)1,2(),4,2(-==AC OB ,则该四边形的面积为 ( )A 、5B 、52C 、5D 、107、已知向量垂直与，如果b a a m b a 2),2(),3,1(+-==，则m 的值为 ( )A 、1B 、1-C 、21-D 、218、若向量b a ,=⊥+⊥+=b b a a b a ,)3(,)(,1（ ）A 、3B 、3C 、1D 、33 9、过点M （2，0）作圆122=+y x 的两条切线MA,MB(A,B 为切点)，则=⋅MB MA （ ）A 、235B 、25C 、233 D 、2310、已知向量=+=-=b a )1,0(),1,2( ( )A 、5B 、22C 、2D 、411、已知向量b a m b a //),3(),2,1(，若-==，则实数=m ( )A 、6B 、6-C 、6±D 、312、0,21=⋅==AC AB ,点D 在CAB ∠内，且 30=∠DAB ，设=∈+=μλμλμλ则),,(R AC AB AD （ ） A 、3 B 、33 C 、332 D 、3213、已知平面向量b a ,)2()2(,36b a b a -⊥+==，那么b a 与的数量积等于 ( )A 、2-B 、1-C 、2D 、2314、设21,e e 是夹角为 60的两个单位向量，若212132e e b e e a -=+=与λ垂直，则=λ15、已知向量b a , 的夹角为=-⋅==)2(,2243b a a 则π 16、若向量b a b a -==，则与)2,7(),1,3(同向的单位向量为17、已知向量)3,1(),1,3(--=--=+b a b a ，则b a 与的夹角为182==，若函数))(R x x f ∈+=的最小值为1，则=⋅b a19、已知向量AC AB 与 的夹角为AC AB AP +===λ若,23,120 ,且BC AP ⊥，则实数=λ20、若向量b a ,a b a ⊥+==)(,21，则向量b a 与的夹角为二项式定理1、522)11)(3(+-xx 的展开式的常数项是 ( ) A 、2- B 、2 C 、3- D 、32、若6)(x a x -展开式的常数项为20，则常数a 的值为3、在201543)1()1()1(x x x ++++++ 展开式中，含2x 项的系数为 ( )A 、22016CB 、122016-C C 、32016CD 、132016-C 4、52)21)(2(xx +-的展开式中1-x 的系数为 ( ) A 、60 B 、50 C 、40 D 、205、10)1(xx +-的展开式中2x 的系数等于( ) A 、45 B 、20 C 、30- D 、90-6、若92)(xa x +的二项式展开式中的常数项是84，则实数a = 7、若n xx )13(-展开式中各项系数之和为16，则该展开式中含2x 项的系数为 8、在52)(x a x -的二项式展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 9、已知⎰-=22cos ππxdx a ，则二项式62)(x a x +的展开式中3x 的系数为( ) A 、20 B 、20- C 、160 D 、160-10、5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 11、已知1010221010)1(,0x a x a x a a mx m ++++=+> ，若10231021=+++a a a ，则实数=m12、二项展开式62)12(x x -中，常数项为 ( ) A 、240 B 、240- C 、15 D 、不存在13、)()1(2*∈+N n x xn 的展开式中，只有第5项的系数最大，则其2x 项的系数为 14、已知6)13(xx -的展开式中常数项为a ，则=-⎰102)(dx ax x ( ) A 、1 B 、2- C 、21- D 、41-15、若n xx )1(32-的展开式中有常数项，则当正整数n 取最小值时，该常数项为 ( ) A 、21- B 、7- C 、7 D 、21 16、3)1)((x x m ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为16，则=⎰-11dx x m17、设⎰=20sin πxdx a ，则6)2(xa x +展开式的常数项为。
高考数学空间向量例题15页
高考数学空间向量例题15页一 、单选题(本大题共 8小题，共 40分)1.(5分) 如图,点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点, OA ⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗ =c ,则 为()A.12(a +b ⃗ )−c B.12(c +a )−b ⃗ C.12(b ⃗ +c )−a D.a +12(b ⃗ +c ) 2.(5分)在三棱锥O-ABC 中, OA ⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗ =c ,AM⃗⃗⃗⃗ =2MO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,N 为BC 中点,则 MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.12a −23b ⃗ +12c B.−13a +12b ⃗ +12cC.12a +12b ⃗ −12c D.13a +23b ⃗ −12c 3.(5分) 已知点M(0,1,3), N(-1,- 2,4), 则 ()A.(1,3,- 1)B.(1,3,1)C.(-1,-3,1)D.(1,-3,- 1)4.(5分) 已知A, B, C 三点不共线,对空间内任意一点O,若( ,则P,A, B, C 四点()A.不共面B.共面C.不一定共面D.无法判断是否共面5.(5分) 如图已知正方体ABCD -A'B'C'D'中,E 是CC'的中点, a=12AA ⃗⃗⃗ ′,b =12AB ⃗⃗⃗ , c =13AD ⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗ =xa +yb +zc ,则( )A. x=1, y=2, z=3B.x =12,y =1,z =1 C. x=1, y=2, z=2 D.x =12,y =1,z =326.(5分)如图所示，在平行六面体 ABCD -A ₁B ₁C ₁D ₁中, ()A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1B.DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.BA ⃗⃗⃗⃗⃗7.(5分)在正四面体PABC 中，点O 为4ABC 的中心，N 为棱PC 上靠近点C 的三等分点,则 NO ⃗⃗⃗=()A.13PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PC⃗⃗⃗⃗⃗ C.13PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.13PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(5分)如图,在平行六面体ABCD -A ₁B ₁C ₁D ₁中,M 为A ₁C ₁与B ₁D ₁的交点,若(则下列向量中与 相等的向量是()A.−12a +12b ⃗ +c B.−12a −12b ⃗ +c C.12a +12b ⃗ +c D.12a −12b ⃗ +c 二 、多选题(本大题共5小题，共 25分)9.(5分) 在长方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中,则 ()A.A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1−D 1C 1⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1D.B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 10.(5分)在四面体PABC 中，下列说法正确的是()A.若 AD ⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗ ,则 BC ⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗B.若点 Q 为△ABC的重心,则.C.若则 0D.若四面体PABC 的各棱长都为2, M, N 分别为PA, BC 的中点,则|11.(5分) 在平行六面体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中, ∠BAD =∠A 1AB =∠A 1AD =π3,各棱长均为1，则下列命题中正确的是( )不是空间的一个基底B.⟨AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1⟩=23π C.|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1|=√2 D. BD⊥平面ACC ₁A ₁12.(5分)对于向量 和实数，下列命题中的假命题是()A.若 0 则 0或 0B.若 0则λ= 0或 0C.若 则 或D.若 则 是锐角13.(5分)如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A.(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2B.AC⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0 C.向量 与 的夹角60° 与 所成角的余弦值为 √三 、填空题(本大题共5小题，共 25分)14.(5分)已知A, B, C, D 为空间中任意四点,化简( ( )( ) .15.(5分)如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M, N 分别为OA, BC 的中点，点G 在线段MN 上，且 若 则x+y+z= .16.(5分)已知空间向量 a =(1,2,3),b =(3,−1,2),c=(−1,0,1),则 . 17.(5分)在四面体O-ABC 中, OA ⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗ =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，则 (用 表示)18.(5分)已知向量( {,,} {,0,} 若 则实数k= .四 、解答题(本大题共5小题，共 60分)19.(12分)如图,四棱锥P-OABC 的底面OABC 是矩形, PO⊥平面OABC,设( , E, F 分别是PC, PB 的中点,试用{ { , , }表示20.(12分)已知四棱锥P-ABCD 的底面是平行四边形,E 为棱PC 上的点,且CE =2 EP,试用 表示向量(21.(12分)已知 a =(1,0,−1),b=(−1,1,2). (1)求 与a 的夹角的余弦值.(2)若 与 平行，求k 的值.(3)若 与 垂直，求k 的值.22.(12分)如图,在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中,D是棱B₁C₁的中点,设=a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗,AA⃗⃗⃗⃗⃗ 1=c.(1)试用向量表示向量.(2)石AD=AL=AA1=3, ∠BAL=∠A1AD=∠A1AL=60°, 水|BE|.23.(12分)在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中,AB=4,AD=6,AA′=8,∠BAD= 90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,P是CC₁的中点.(Ⅰ)用'表示(Ⅱ)求AP的长.。
高中数学向量专项练习(含答案)
高中数学向量专项练习一、选择题1. 已知向量若则（）A. B. C. 2 D. 42. 化简+ + + 的结果是（）A. B. C. D.3．已知向量, 若与垂直, 则（）A. -3B. 3C. -8D. 84．已知向量, , 若, 则（）A. B. C. D.5．设向量, , 若向量与平行, 则A. B. C. D.6．在菱形中, 对角线, 为的中点, 则（）A. 8B. 10C. 12D. 147．在△ABC中, 若点D满足, 则（）A. B. C. D.8．在中, 已知, , 若点在斜边上, , 则的值为（）．A. 6B. 12C. 24D. 489．已知向量若, 则（）A. B. C. D.10．已知向量, , 若向量, 则实数的值为A. B. C. D.11．已知向量, 则A. B. C. D.12．已知向量, 则A. B. C. D.13．的外接圆圆心为, 半径为, , 且, 则在方向上的投影为A. 1B. 2C.D. 314．已知向量, 向量, 且, 则实数等于（）A. B. C. D.15．已知平面向量, 且, 则实数的值为（）A. 1B. 4C.D.16．是边长为的等边三角形, 已知向量、满足, , 则下列结论正确的是（）A. B. C. D.17．已知菱形的边长为, , 则（）A. B. C. D.18．已知向量, 满足, , 则夹角的余弦值为( )A. B. C. D.19．已知向量=（1, 3）, =（-2, -6）, | |= , 若（+ ）·=5, 则与的夹角为（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°20．已知向量, 则的值为A. -1B. 7C. 13D. 1121．如图, 平行四边形中, , 则（）A. B. C. D.22．若向量 , , 则 =（ ）A. B. C. D.23．在△ 中, 角 为钝角, , 为 边上的高, 已知 , 则 的取值范围为（A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424. 已知平面向量 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.25．已知向量 , , 则A. （5,7）B. （5,9）C. （3,7）D.（3,9） 26．已知向量 , 且 , 则实数 ＝（ ）A. －1B. 2或－1C. 2D. －227．在 中, 若 点 满足 , 则 （ ）A. B. C. D.28．已知点 和向量 , 若 , 则点 的坐标为（ ）A. B. C. D.29．在矩形ABCD 中, 则 （ ）A. 12B. 6C.D.30. 已知向量 , ,则 （ ）.A. B. C. D.31．若向量 与 共线且方向相同, 则 （ ）A. B. C. D.32．设 是单位向量, 且 则 的最小值是（ ）A. B. C. D.33．如图所示, 是 的边 上的中点, 记 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.34．如图, 在 是边BC 上的高, 则 的值等于 （ ）ADCB35．已知平面向量的夹角为, （）A. B. C. D.36．已知向量且与共线, 则（）A. B. C. D.二、填空题37. 在△ABC中, AB＝2, AC＝1, D为BC的中点, 则＝_____________.38．设, , 若, 则实数的值为（）A. B. C. D.39．空间四边形中, , , 则（）A. B. C. D.40. 已知向量, , 满足, , 若, 则的最大值是 .41. 化简: = .42. 在中, 的对边分别为, 且, , 则的面积为 .43. 已知向量=（1, 2）, •=10, | + |=5 , 则| |= .44．如图, 在中, 是中点, , 则．45. 若| |=1, | |=2, = + , 且⊥, 则与的夹角为________。
高三数学向量专项练习题及答案
高三数学向量专项练习题及答案一、选择题1. 设向量a = (2, 3)、b = (4, -1)，则a + b的坐标表示为：A. (6, 2)B. (2, 2)C. (6, -2)D. (2, -2)答案：A. (6, 2)2. 设向量a = (3, 2)，则2a的坐标表示为：A. (3, 2)B. (6, 4)C. (2, 3)D. (6, 2)答案：B. (6, 4)3. 已知向量a = (5, -3)和b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 5B. 1C. -7D. -1答案：C. -74. 向量a, b的夹角θ满足sinθ = 1/2，则θ的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C. 60°5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的面积为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：B. 6二、填空题1. 设向量a = (2, 5)，则|a|的值为________。
答案：sqrt(29)2. 设向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = 1/√2，则θ的大小为________。
答案：45°3. 平面直角坐标系中，若点A(3, 4)到点B(-2, -3)的距离为√k，则k= ________。
答案：504. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，则向量a - b = (_______,_______)。
答案：(-2, 4)5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的周长为________。
答案：约9.21三、解答题1. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积为：a·b = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5。
向量高考真题doc
向量高考真题一、选择题1、（2004广东1）已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．32、（2004重庆文理6）若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为 （ ） A ．2B ．4C ．6D ．123、（2004浙江文4）已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且∥，则αtan = （ ） (A)43(B)43-(C)34(D)34-4（2004福建文理8）已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是 （ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 5、（2004天律文理3）若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是︒180，且53||=b ，则=b A ． )6,3(-B ． )6,3(-C ． )3,6(-D ． )3,6(-6、（2004湖北文理4）已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7、（2004辽宁6）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 8、（2004全国文理3）已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．49、（2004全国理9）已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ='A O e ，其中λ=（ ） A ．511 B ．511-C ．2D ．－210、（2004全国文9）已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |= （ ）A ．1B ．2C ．5D ．611、（2003天律文理4）O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||(+∞∈⋅++=λλAC AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题1、（2004浙江文理14）已知平面上三点A 、B 、C 满足,5,4,3===CA BC AB 则AB· BC+BC ·CA+CA·AB 的值等于 .2、（2004天律文14）已知向量(1,1),(2,3),a b ==-若2ka b -与a 垂直，则实数k 等于_______________3、（2004江苏16）平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________.4、（2004上海理6）已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向,AB =213,则点B 的坐标为 .5、（2004全国文理14）向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 .三、解答题1、（2004广东省18） 如右下图,在长方体ABCD —A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1=2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.2、（2004浙江理19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点.（Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角A —DF —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.3、（2004浙江文19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点. （Ⅰ）求证AM∥平面BDE ； （Ⅱ）求证AM⊥平面BDF ；（Ⅲ）求二面角A —DF —B 的大小；D 1C 1B 1CD BA A 1EF4、（2004福建文理17）（本小题满分12分）设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ， 3sin2x )，x ∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c =(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.5、（2004福建文理19）（本小题满分12分）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.6、（2004天律理19）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小.AB D CEFP7、（2004天律理22）（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明λ-=.8、（2004湖北理18）（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点.（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）.9、（2004湖北理19）（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.10、（2004湖北文18）（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点E ，CB 与CB 1交于点F.（I ）求证：A 1C ⊥平BDC 1；（II ）求二面角B —EF —C 的大小（结果用反三角函数值表示）.11、（2004全国理20）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 12、（2004全国文21）（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 13、（2004全国文理20）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.14、（2004全国理21）（本小题满分12分）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
高考数学复习-向量练习试题、参考答案
高考数学复习-向量练习试题第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案代号填在下面的答题框内.)1.在边长为1的等边△ABC 中，若BC =a ，CA =b ，AB =c ，则a ·b +b ·c +c ·a 等于 A.23 B .-23 C.3 D.0 2.已知AP =(x +5，y )，BP =(x -5，y )，且|AP |+|BP |=6，则|2x -3y -12|的最大值为 A.12+62 B.12-62 C.6 D.123．下列五个命题：(1)所有的单位向量相等；(2)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；(3)若a 、b 满足|a |>|b |且a 、b 同向，则a >b ;(4)由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；(5)对于任何向量a 、b ，必有| a +b |≤| a |+|b |.其中正确命题的序号为A.(1)，(2)，(3)B.(5)C.(3)，(5) A.(1)，(5)4．已知向量a 与b 的夹角为3π2，如果向量2 a +k b 与3 a -2b 共线，则实数的k 的值为 A.34 B.-34 C. 32 D.-32 5.设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形6．在△ABC 中G 为边BC 中线AH 上一点，若AH =2，则AG ·(BG +CG )的A.最大值为-2B.最大值为2C.最小值为-2D.最小值为27．已知P 1(2，-1)，P 2(0，5)，且点P 在21P P 的延长线上，|P P 1|=2|2PP|，则点P 的坐标为A.(-2，11)B.(34，3)C.(32，3) D.(2，-7)8.已知△ABC三顶点A，B，C的坐标分别为（a1，a2），(b1，b2)，(c1，c2)，在边BC、CA、AB上分别取D、E、F使之满足：|BD|∶|BC|=|CE|∶|EA|=|AF|∶|FB|=m∶n，则A.△DEF与△ABC的重心重合B.△DEF与△ABC的外心重合C.△DEF与△ABC的内心重合D.△DEF与△ABC的垂心重合第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在下面的横线上.)9.已知点M是△ABC的重心，则MA+MB+MC= .10.已知点A(1，-2)，若向量AB与a ={2，3}同向，|AB|=213，则点B的坐标为.11．已知△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是.12.已知a =(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)，且|λa+μb|=|μa-λb|(λμ≠0)，则β-α= .三、解答题(本大题4小题，共48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)13. (本小题满分12分)设e1，e2是两个垂直的单位向量，且a= -(2 e1 + e2)，b= e1-λe2.(1)若a∥b，求λ的值；（2）若a⊥b，求λ的值.14.(本小题满分12分)如图，在△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，点D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA=a，OB=b.（1）用a和b表示向量OC、DC；（2）若OE=λOA，求实数λ的值.15.(本小题满分12分)(1)已知|a |=4，|b |=3，(2a -3b )·(2a +b )=61，求a 与b 的夹角θ; (2) OA =(2，5)，OB =(3，1)，OC =(6，3)，在OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.16.(本小题满分14分)已知点H （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ·PM =0，PM = -23MQ . （Ⅰ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（Ⅱ）过点T （-1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E (x 0，0)，使得△ABE 是等边三角形，求x 0的值.参考答案1.B 依题意，得a ·b +b ·c +c ·a =3|a |2·cos120°= -23，选B. 2.A 显然有P (x ，y)，A (-5，0)，B (5，0).由|AP |+|BP |=6知，动点P 的轨迹为以A （-5，0），B （5，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为92x +42y =1，令x= 3cos θ，y=2sin θ，则|2x -3y -12|=|62cos(θ+4π)-12|，当cos(θ+4π)=-1时|2x -3y -12|取最大值为12+62.3.B 单位向量可能方向不同，所以不一定相等，（1）不正确；只要方向相同或相反的向 量都是共线向量，（2）不正确；向量是不能比较大小的，（3）不正确；按人教版课本规定零向量与任意向量是平行向量，(4)不正确；(5)中为向量模的不等式，正确，故选B.4.B 2a +k b 与3a -2b 共线，存在实数t ，使2a +k b = t(3a -2b )，∵a 与b 的夹角为3π2，则a 与b 不共线.∴2=3t ，k = -2t ，解得k = -34，选B. 点评：本题考查向量的夹角的概念、夹角的求法、向量共线的条件.利用方程思想是求参数的主要方法.5.C ∵DC =21AB ，∴DC ∥AB 且|DC |≠|AB |，即四边形ABCD 为梯形，又|AD |=|BC |，∴四边形ABCD 为等腰梯形.6.C AG ·(BG +CG )=AG ·(BH +HG +CH +HG )=2AG ·HG = -2|AG |·|HG |≥-2(2||||HG AG )2= -2，故选C. 7.A 由定比分点公式可求得P (-2，11)，选A.8.A 由题意有BD =n m DC ，即点D 分有向线段BC 所成的比为λ=nm ，设点D 的坐标为（x ，y)，则由定比分点坐标公式有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+=++=+=.1122221111m n nb mc n m c n m b y n m nb mc n m c n m b x ∴D (n m nb mc ++11，nm nb mc ++22). 同理可求E （n m nc ma ++11，n m nc ma ++21），F (n m na mb ++11，n m na mb ++22). 设△DEF 的重心坐标为（x ′，y ′），则由重心坐标公式有：x '=31(n m nb mc ++11+n m nc ma ++11+n m na mb ++11)=31 (a 1+b 1+c 1)， 同理可求y ′=31(a 2+b 2+c 2)，这也是△ABC 的重心坐标. 故△DEF 的重心与△ABC 的重心重合.点评：由重心坐标公式，只要求出△DE F 的各个顶点坐标即可.三角形的五心中，有四个心在高考中经常出现，需要特别加以关注.一是重心，即各边的中线交点，其重心坐标公式为：x =3321x x x ++，y =3321y y y ++，(其中(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是三角形的三个顶点的坐标）重心分对应的中线所成的比为1∶2的关系.二是外心，即外接圆圆心，也就是中垂线的交点，外心到三个顶点的距离相等.三是内心，即内切圆圆心，也就是角平分线的交点，内心到三边的距离相等.四是垂心，即三角形的三条高的交点.9．解：设D 为AB 的中点，则MA +MB =2MD ，又M 为△ABC 的重心，则MC = -2MD ，所以MA +MB +MC =0.10.解：设B (x ，y )，则AB =(x -1，y +2)，AB 与同a 同向，∴3(x -1)=2(y +2)，又|AB |=22)2()1(++-y x =213，解得x =5，y =4或x = -3，y = -8，而当x = -3，y = -8时，AB 与a 反向，故B 为(5，4). 11.（2，22） 如图，当A ′C =2时， 三角形有且只有一解，此时BC =22，∴x <22.又∵三角形有两解，∴x >2，综合得x ∈(2，22).12.解：∵|λ a +μ b |=|(λcos α+μcos β，λsin α+μsin β)|=)cos(222βαλμμλ-++， 同理|μa -λb |=)cos(222βαλμμλ-++，由|λa +μb |=|μa -λb |得cos(β-α)=0. ∵0<α<β<π，∴β-α=2π. 13.解：（1）∵a ∥b ，∴a =m b ，即-2e 1- e 2=m e 1 -m λe 2∴⎩⎨⎧-=-=-λm m 12 解得：m= -2，λ= -21. (2)∵a ⊥b ，∴a ·b =0，(-2e 1- e 2)·(e 1-λe 2)=0即 -2 e 12+2λe 1·e 2- e 2·e 1+λe 22=0，-2 +λ=0，∴λ=2.点评：本题考查两个向量垂直、平行的充要条件、向量的数量积的意义.14.解：（1）依题意，A 为BC 中点，则2OA =OB +OC .OC =2OA -OB =2a -b ∴DC =OC -OD =OC -32OB =2 a -b -32b =2 a -35b . （2）若OE =λOA ，则CE =OE -OC =λ a -(2a -b )=(λ-2)a +b .∵CE 与DC 共线，∴存在实数k ，使CE =k DC .∴(λ-2)a +b =k(2a -35b ) ∴解得λ=54. 15.(1)∵ (2a -3b )·(2a +b )=61，∴4a 2-4a ·b -3b 2=61.又|a |=4，|b |=3，∴4×16-4a ·b -3×9=61，∴a ·b = -6，∴cos θ=||||b a b a •• = -21，∴θ=120°.(2)设存在点M ，且OM =λOC =(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴MA =(2-6λ，5-3λ)，MB =(3-6λ，1-3λ).∴45λ2-48λ+11=0，解得：λ=31或λ=1511，∴OM =(2，1)或OM =(522，1511)满足题意.∴存在M （2，1）或M （522，1511）满足题意. 16．解（Ⅰ）设点M 的坐标为(x ，y )，则PM = -23MQ ，得P (0，-2y )，Q (3x ，0)，由HP ·PM =0，得(3，-2y )·(x ，23y )=0，所以y 2=4x ，由点Q 在x 轴的正半轴上，得x >0，所以，动点M 的轨迹C 是以(0，0)为顶点，以(1，0)为焦点的抛物线，除去原点.（Ⅱ）设直线l ：y =k (x +1)，其中k ≠0代入y 2=4x ，得k 2x 2+2(k 2-2)x+k 2=0，(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(1)的两个实数根，由韦达定理得x 1+x 2= -1,)2(22122=-x x k k ， 所以，线段AB 的中点N 坐标为(222kk -，k 2)， 线段AB 的垂直平分线方程为y -k 2= -k 1(x -222k k -)， 令y =0，x 0=22k +1，所以，点E 的坐标为(22k+1，0). 因为△ABE 为正三角形，所以，点E (22k +1，0)到直线AB 的距离等于23|AB |，而|AB |=221221)()(y y x x -+-=2214k k -·21k +，|NE |=||122k k +，∴24132k k - =||122k k +，解得k =±23，所以，x 0=311.。
2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题(附答案)
A ．B ．223．若直线的方向向量为，平面l bA ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-()(0,2,1,1,0,1b n ==--A ．B ．5136．如图，在平行六面体ABCDA．1122a b c -++C．1122a b c --+7．如图，在四面体OABC中，1-16．已知四棱锥P ABCDPC棱上运动，当平面1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.()1,2,3a b a+=---=-14a =又，()7a b c +⋅= 所以，即有，7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=所以，.1cos ,2a c =-又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l bαn 若可能，则，即.//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，；()1220b n =⨯-⋅=-≠B 选项，；11305160b n =⨯⨯⋅+⨯+=≠C 选项，；()()01201110b n =⨯-+⨯+⨯-⋅=-≠D 选项，；()1013310b n =⨯+-⨯=⋅+⨯因为，，3AB =4BC =2PA =所以()()(0,0,2,3,0,0,0,0,1P B Q 设平面的法向量为BQD (m x =()(),,3,0,1m BQ x y z ⎧设，2AB AD AS ===则()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,A S C P 设，()0,,2M t t -(1,1,2OM t =--所以1120OM AP t t ⊥=-+-+-=点到平面与平面的距离和为为定值，D 选项正确.M ABCD SAB 22t t -+=，，()2,0,0B ()()2,0,2,0,2,0SB BC =-=设平面的法向量为，SBC (),,n x y z =则，故可设，22020n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩()1,0,1n = 要使平面，又平面，//OM SBC OM ⊄SBC 则，()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=---⋅=-+-=-=解得，所以存在点，使平面，B 选项正确.1t =M //OM SBC 若直线与直线所成角为，又，OM AB 30︒()2,0,0AB =则，()()222213cos3022661122OM ABOM ABt t t t ⋅-︒====⋅-++-+-⨯ 整理得，无解，所以C 选项错误.23970,8143730t t -+=∆=-⨯⨯=-<故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A 正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B 错误；根据共线向量的定义可知，C 错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D 错误．【详解】对A ，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B ，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要,a b a b a b+=+ 性不成立，错误；对C ，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；,a b对D ，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x +y +z =1，才有P 、A 、B 、C 四点共面，错误．故选：BCD ．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A ，C ，利用空间向量法ABAD AA 可得面，再用向量法表示，即可判断B ，利用割补法判断D ；1AC ⊥PMN AH【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，ABAD AA 则，，11AC AB AD AA =++ ()1122MN BD AD AB ==-因为棱长均为2，，11π3A AD A AB ∠=∠=所以，，224AB AD == 11π22cos 23AA AD AA AB ⋅=⋅=⨯⨯= 所以()()1112D A A C MN AD A A B AA B++⋅⋅=- ，()2211102AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅-+-⋅+==⋅+⋅故，即，故A 正确；1AC MN ⊥1AC MN ⊥同理可证，，面，面，PN AC ⊥MN PN N ⋂=MN ⊂PMN PN ⊂PMN 所以面，即面，即为正三棱锥的高，1AC ⊥PMN AH ⊥PMN AH A PMN -所以()()1133AH AN NH AN NP NM AN AP AN AM AN=+=++=+-+- ，()13AP AM AN =++又，，分别是，，的中点，，P M N 1AA AB AD π3PAM PAN MAN ∠=∠=∠=所以，则三棱锥是正四面体，1PA AM AN PM MN PN ======P AMN -所以()11111133222AH AP AM AN AA AB AD ⎛⎫=++=⨯++ ⎪⎝⎭ ，()111166AA AB AD AC =++=所以，故B 正确；116AH AC =因为()211AC AB AD AA =++ ()()()222111222AB ADAA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ ，2426==()21111111=AC AA AB AD AA AA AB AA AD AA AA ⋅=++⋅⋅+⋅+ ，11222222=822=⨯⨯+⨯⨯+⨯设直线和直线所成的角为，1AC 1BB θ则，故C 错误；1111111186cos cos ,cos ,3262AC AA AC BB AC AA AC AA θ⋅=====⨯ ，11111111111111A B D C ABCD A B C D A B D A C B D A B ABC D ADCV V V V V V ------=----其中，1111111111116ABCD A B C D A B D A C B D C B ABC D ADC V V V V V -----====所以，故D 错误.1111113A B D C ABCD A B C D V V --=故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A ，根据即可算出的值；对于B ，根据计算；对于C ，根据||2a = m a b ⊥ m 计算即可；对于D ，根据求出，从而可计算出.a b λ= 1a b ⋅=- m a b + 【详解】对于A ，因为，所以，解得，故A 正确；||2a = 2221(1)2m +-+=2m =±对于B ，因为，所以，所以，故B 错误；a b ⊥ 2120m m -+-+=1m =对于C ，假设，则，a b λ= (1,1,)(2,1,2)m m λ-=--所以，该方程组无解，故C 正确；()12112m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩对于D ，因为，所以，解得，1a b ⋅=- 2121m m -+-+=-0m =所以，，所以，故D 错误.(1,1,0)a =- (2,1,2)b =-- (1,2,2)+=-- a b 故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，l α⊥u n ∥ 3123a b ==6,9a b ==∴，15a b +=故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.()0a a b λ⋅-= 2λ=【详解】，()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=--- 因为，所以，()a a b λ⊥- ()0a a b λ⋅-= 即，()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=解得.2λ=故215．17【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.CD CA AB BD =++ 【详解】因为.CD CA AB BD =++ 所以()22CD CA AB BD =++ 222222CA CA AB AB AB BD BD CA BD=+⋅++⋅++⋅ 222132022042342⎛⎫=+⨯++⨯++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭17=所以.17CD = 故答案为.1716．33【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂MBD PCD 直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.M 【详解】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标A ,,AB AD AP ,,x y z 系，设，2AD AP ==，，，，()2,0,0B ()0,2,0D ()002P ,,()2,2,0C 设,()()()0,2,22,2,22,22,22DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=-- ，，，()2,2,0BD =-u u u r ()2,0,0DC =u u u r ()0,2,2DP =- 设平面的法向量为，MBD ()111,,m x y z =r ，()()11111222220220DM m x y z DM m x y λλλ⎧⋅=+-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩33故。
向量高考经典试题(附详细答案)
向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+= ，则a 与b 垂直，选A 。
2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。
3、（广东文4理10）若向量,a b满足||||1a b == ，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______； 答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯= ，4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+- 和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b = 则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+- ,(,sin ),2mb m α=+2,a b = 可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅（D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅ ，通过等积变换判断为正确.6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，=CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+- =1233CA CB + ，4 λ=32，选A 。
(完整word版)高考向量精选练习题
向量的分解与向量的坐标运算1. 若向量a (1,1),b (2,5),c (3,x)满足条件(8a b) c 30,则xA. 6 B . 5 C . 4 D . 3 r r i i2. 设向量a (1,0). b (-,-).则下列结论中正确的是2 2r r r r-J2A.|a| |b|B. a b -2C. a b 与b 垂直D. a〃b7.已知平面向量a (x,1). b ( x,x2"贝U向量a bA. 平行于x轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y轴D. 平行于第二、四象限的角平分线8. 已知向量r r r a (1,0),b (0,1),c k<3 b(k R),dA . k 1且c与d同向 Br rC . k 1且c与d同向 Dr r r 9. 已知向量a、b不共线,c ka b(k R), dr rA . k 1且c与d同向B C. k 1且c与d同向D3.已知向量(1,1),b(2, x),若a+b与4b 2a平行.则实数x的值是( )A . -2 B4.已知向量A，(9,3)9 3C (3,9)3 9 .0 C(1,2) . b.1(2,73,79 ,D . 23).若向量c 满足(c a)//b.c (a b).则c ()5.已知向量2,1 ,a b310」a b | 52，则|b|A. 5B. .10C.D. 256.设a、c是单位向量 b = 0则a c ? b c的最小值为()(A) 2(B)(C) 1 (D) 1 ,'2r ra b •如果c//d.那么.k 1且c与d反向r r.k 1且c与d反向r ra b "如果c //d .那么()r r.k 1且c与d反向.k 1且c与d反向1 310.已知平面向量a (1,1), b (1,1).则向量丄a 3b ()2 2A. (2, 1)B. ( 2,1)C. ( 1,0)D. ( 1,2)11.已知向量a (5,6) . b (6,5)侧 a 与 b(A )垂直 (C )平行且同向(B )不垂直也不平行(D )平行且反向12.若向量a 、b 满足| a |=| b |=1 . a 与b 的夹角为60 .则aga +ag )3 C . 114. 对于向量A .若 acb 0 侧 a = 0或 b = 015.对于向量a 、b 、c 和实数.下列命题中真命题是r r r rrA .若a b =0,贝y a 0或b 0B .若则=o 或a 0r r r r rC .若a 2b 2,则a b 或ab D . 若a b a •，则 b c16. 已知向量 a ( 5,6) . b (6,5).则 a 与 b A .垂直 B .不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向17. 设 ABC 的三个内角 代 B,C "向量 m ( .3 s in A,si n B). n (cos B, 一 3 cos A), 若 mgi 1 cos(A B)，则 C =()2 5 A . — B . - C .D .6336uun uuu uuir r 18.已知O 是厶ABC 所在平面内一点.D 为BC 边中点.且2OA OB OC 0那么()uuu A. AO uuir ODB.u uur Auuur 2OD uuiT C. AO uuu3ODD. uuur 2AO uui TOD 19.设a ,b 是非零向量.若函数 f (x) (xab)g(a xb)的图象是-」条直线.则必有()A . a 丄 bB . a // bC .|a| |b| D . |a| |b|20.设向量舌(1,0) , b (丄，丄)，则下列结论中正确的是2 213.已知向量 a (1, n), 1, n) ■若2a b 与b 垂直*则aA . 1 B.2 C . 2a , b, c 和实数.下列命题中真命题是())B .若a = O 则 0或a 0 C.若 a 2b 2「则 a b 或 a = b.若 ag^ = aop.贝U b =c| a | ib | B. _2A.2c. a 〃b D. a b 与b 垂直二、填空题r r r r r r r r21. 已知向量a”b满足a 1「b 2. a与b的夹角为60°则a b ________________22. 若平面向量a . b满足a b a b平行于x轴* b (2, 1).则a23.在平面直角坐标系中.正方形OABC勺对角线OB的两端点分别为0(0, 0) .B(1. 1),则AB • AC24.若向量a,b满足|a| |b| 1 A,b的夹角为60° .则a a- umu 1 uuu 2 uur25.若等边ABC的边长为2、3 .平面内一点M满足CM - CB -CA.则6 3UULT uuur26. ABC的外接圆的圆心为O两条边上的高的交点为H OH m(OA OB OC).则实数m = ________三、解答题32. 已知向量OA (2,3) , OB (6, 3)，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标。
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向量的分解与向量的坐标运算1.若向量),3(),5,2(),1,1(x c b a ===满足条件==⋅-x c b a 则,30)8(A ．6B ．5C ．4D ．32.设向量(1,0)a =11(,)22b =则下列结论中正确的是A.||||a b =B.22a b ⋅=C.a b -与b 垂直D.//a b3.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2 4.已知向量(1,2)=a (2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ()⊥+c a b 则c = （）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--5.已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=则||b =A. 5B. 10C.5D. 256.设a 、b 、c 是单位向量且a ·b ＝0则()()a c b c -•-的最小值为 ( )（A ）2- （B ）22- （C ）1- (D)12-7.已知平面向量(,1)a x =2(,)b x x =- 则向量+a bA ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线8.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-如果//c d 那么A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向9.已知向量a b 、不共线c (R),ka b k =+∈d a b =-如果//d c 那么 （）A ．1k =且d c 与同向B ．1k =且d c 与反向C ．1k =-且d c 与同向D ．1k =-且d c 与反向10.已知平面向量(11)(11)==-，，，a b 则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)-， 11.已知向量(5,6)a =-(6,5)b =则a 与b（A ）垂直 （B ）不垂直也不平行（C ）平行且同向 （D ）平行且反向12.若向量a 、b 满足|a |=|b |=1a 与b 的夹角为60︒则a a +a b =A ．12B ．32 C. 312+ D ．213.已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b 若2-a b 与b 垂直则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．414.对于向量，，a b c 和实数λ下列命题中真命题是（ ）A ．若=0a b 则0a =或0b =B ．若λ0a =则0λ=或=0aC ．若22=a b 则=a b 或-a =bD ．若a b =a c 则b =c15.对于向量a b c 、、和实数λ下列命题中真命题是A.若·000a b a b ==＝，则或B.若则λ＝0或0a =C.若22,a b a b a b ===-则或D.若·a b a c b c -==，则16.已知向量(5,6)a =-(6,5)b =则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向17.设ABC ∆的三个内角,,A B C 向量(3sin ,sin )A B =m (cos ,3cos )B A =n若1cos()A B =++m n 则C =（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π18.已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=那么（） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD=19.设，a b 是非零向量若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线则必有（ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b20.设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是A.||||a b =B.22a b ⋅=C.//a bD.a b -与b 垂直二、填空题21.已知向量a b 满足1a =2b = a 与b 的夹角为60°则a b -=22.若平面向量a b 满足1=+b a b a +平行于x 轴)1,2(-=b 则=a .23.在平面直角坐标系中正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O(00)B(11)则AB ·AC ＝ ．24.若向量,a b 满足||||1a b ==,a b 的夹角为60°则a a a b ⋅+⋅=______；25.若等边ABC ∆的边长为23平面内一点M 满足1263CM CB CA =+则 MA MB •=_________26.ABC ∆的外接圆的圆心为O 两条边上的高的交点为H )(OC OB OA m OH ++=则实 数m =三、解答题32．已知向量)3,2(=OA ，)3,6(-=OB ，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标。
33．已知A （2，3），B （4，-3），点P 在线段AB 的延长线上，且||23||PB AP =，求点P 的坐标。
34．已知A （7，8），B （3，5），C （4，3），M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于F ，求DF 。
35．在平行四边形ABCD 中，(11)(71)(46)A B D ，，，，，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，求点P 的坐标．36．已知点(23)(54)(108)A B C ，，，，，，若()AP AB AC λλ=+∈R ，求当点P 在第二象限时，λ的取值范围．平面向量的分解与向量的坐标运算答案解析一、选择题1.解)3,6()5,2()8,8()8(=-=-b a430336)8(=⇒=+⨯=⋅-x x c b a 选C2.答案C 解析用排除法易排除ABD ；只能选C.或通过计算11(,)22a b --=()0a b b -⋅=所以a b -与b 垂直选C. 3.D解法1因为(1,1),(2,)a b x ==所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行得6(1)3(42)0x x +--=解得2x =解法2因为a b +与42b a -平行则存在常数λ使(42)a b b a λ+=-即(21)(41)a b λλ+=-根据向量共线的条件知向量a 与b 共线故2x =4.D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算通过平面向量的平行和垂直关系的考查很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．【解析】不妨设(,)C m n =则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-对于()//c a b +则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+则有30m n -=则有77,93m n =-=- 5.222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=故选C 6.,,a b c 是单位向量()()2()a c b c a b a b c c ∴-•-=-++|||12cos ,121|a b c a b c +=-<=-+>≥-故选D.7.+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知, C 正确. 8.D 【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.∵a ()1,0=b ()0,1=若1k =则c =a +b ()1,1=d =a -b ()1,1=-显然a 与b 不平行排除A 、B.若1k =-则c =-a +b ()1,1=-d =-a +b ()1,1=--即c //d 且c 与d 反向排除C 故选D.9.D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a ()1,0=b ()0,1=若1k =则c =a +b ()1,1=d =a -b ()1,1=-显然a 与b 不平行排除A 、B.若1k =-则c =-a +b ()1,1=-d =-a +b ()1,1=--即c //d 且c 与d 反向排除C 故选D. 10.1322-=a b (12).-， 答案D11.A12.a ﹒a+ a ﹒b=12+1×1×21=23,故选B 答案B 13.C 【试题解析】(1)(1)a n b n ==-，，， 2(3,)a b n ⇒-=2a b -与b 垂直22(2)0303a b b n n ⇒-⋅=⇒-+=⇒=21312a n ∴=+=+=【高考考点】:向量的坐标运算向量垂直的条件向量的模【易错提醒】: 由(1)(1)a n b n ==-，，，2(1,)a b n ⇒-=从而错选B 【备考提示】: 向量问题在新课程高考中所占分量比重在加大,向量的概念,运算及几何意义以及作为工具来处理其他数学问题是考查的方向.14.B15.解析 a ⊥b 时也有a ·b ＝0故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c 得不到b =c 如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时选B16.A 【解析】已知向量(5,6)a =-(6,5)b =30300a b ⋅=-+=则a 与b 垂直选A17.A18.C【解析】3sin cos cos sin m n A B A B ⋅=⋅+⋅3sin()1cos()A B A B =+=++,3sin 1cos 3sin cos 1A B C C C C C π++==-+=所以即，2sin 16C π+=（）152sin(62663C C C ππππ⇒+=+==），由题，即 19.因为0)(22=⋅⋅-=⋅→→→→→→→→b a b a a a c a 所以向量 a 与c 垂直选D20.【标准答案】A【试题分析】O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点∴ 2OB OC OD +=且20OA OB OC ++=∴ 220OA OD +=即AO OD =选A【高考考点】向量加法的平行四边形法则相反向量的概念【易错提醒】不能得出2OB OC OD +=而将条件20OA OB OC ++=转化为()()0OA OB OA OC +++=使问题复杂化若D 为ABC △边BC 的中点【备考提示】 根据向量加法的平行四边形法则可得若D 为ABC △的边BC 的中点则有1()2AD AB AC =+注意这一结论在解题中的应用 21.A. 解析: 本题考查平面向量的数量积, 向 量共线, 垂直的充要条件及一次函数的图象等知识. 由f(x)=(x a +b )·(a －x b )=－a ·b x 2+(a 2－b 2)x+a ·b , 它的图象是一条直线, ∴－a ·b =0 , 即 a ⊥b . a 与非零向量b 共线的充要条件是: 存在非零常数λ,使a =λb 成立, 两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是: a ·b =0.22.B【解析】若a 与b 共线则有a b=mq-np=0故A 正确；因为b a pn-qm =而a b=mq-np 所以有ab b a ≠故选项B 错误故选B【命题意图】本题在平面向量的基础上加以创新属创新题型考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力23.答案C解析用排除法易排除ABD ；只能选C.或通过计算11(,)22a b --=()0a b b -⋅=所以a b -与b 垂直选C.二、填空题24.【答案】 3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式以及向量三角形法则、余弦定理等知识如图,,a OA b OB a b OA OB BA ==-=-=由余弦定理得3a b -=25.)0,1(=+b a 或)0,1(-则)1,1()1,2()0,1(-=--=a 或)1,3()1,2()0,1(-=---=a . 26.127.a ﹒a+ a ﹒b=12+1×1×(-21)=21 答案21 28.2【解析】合理建立直角坐标系因为三角形是正三角形故设)3,3(),0,32(),0,0(B A C这样利用向量关系式求得M )21,233(然后求得)25,23(),21,23(--=-=→→MB MA 运用数量积公式解得为-2. 【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用也体现了向量的代数化手段的重要性考查了基本知识的综合运用能力29.130.设BC b =、BA a =则 12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =-代 入条件得2433u u λλ==∴+= 【答案】4/3三、解答题32．)1,310(或)4,38(- 33．)6,5(-34．)2,47(35．解：∵在平行四边形ABCD 中，点M 是线段AB 的中点， MPB CPD ∴△△，12MB PB DC DP ==∴． 23DP DB =∴，23DP DB =∴． 设()P x y ，，∴DP (46)x y =--，，而(35)DB =-，． 2(46)(35)3x y --=-，，∴．解得863x y ==，． ∴点P 的坐标为863⎛⎫ ⎪⎝⎭，．36．解：设点P 的坐标为()x y ，，则(23)AP x y =--，，(5243)(10283)AB AC λλ+=--+--，，(31)(85)(3815)λλλ=+=++，，，．AP AB AC λ=+∵，(23)(3815)x y λλ--=++，，∴．即238315x y λλ-=+⎧⎨-=+⎩，．解得580450λλ+<⎧⎨+>⎩，． 即当4558λ-<<-时，点P 在第二象限内． 37证明（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴= 即22a b a b R R⋅=⋅其中R 是三角形ABC 外接圆半径a b = ABC ∴∆为等腰三角形解（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=即a b ab ∴+= 由余弦定理可知 2224()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去 11sin 4sin 3223S ab C π∴==⋅⋅= 38 (1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--当c=5时(2,4)AC =-6161cos cos ,5255A AC AB -+∠=<>==⨯进而225sin 1cos 5A A ∠=-∠= (2)若A 为钝角则AB ﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0解得c>325 显然此时有AB 和AC 不共线故当A 为钝角时c 的取值范围为[325+∞）。