利用导数探究方程根的个数问题(课堂PPT)

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h'(x)(4x5)(x1) 2(x1)
x (0 ,1 )h ,'(x)0 ,即 h (x)在 0 ,1 ） （
x (1 ,2 )h ,'(x)0 ,即 h (x)在 1 ,2 ） （
h(0) b0
由题意得 h(1)
ln2
1 2
b
0
lhn3(2)1lnb3l1n2b10
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思考题
1. 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅
有一个交点，求实数a的取值范围.
2.已知f (x) lnx, g(x) a ,(a 0) x
是否存在实数m,使得y
g(
2a
x2
) 1
m
1,
与y f (1 x2)的图像恰有4个不同的交点，
内根的 . 个数 3:已知f (x) ln(x 1) x2 x,若关于
x的方程f (x) 5 x b在区间[0,2] 2
有两个不等的实数根求，实数b的
取值范围.
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练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不同的
公共点，求实百度文库a的取值范围.
函数 f(x)x3x2x与 ya有 3个不同的
解：由题意得：
即求函 f(x)数 x33x2在 [1,1]的值域
又由 4 知 f思 (x ， )在 考 1 ,0 （ ） ,(0 ,1 )
又 f( 1 ) 4 ,f( 0 ) 0 ,f( 1 ) 2
f ( x ) m f a ( 0 ) x 0f ( x ) m f i ( n 1 ) 4 4a0时f(， x)a有解
思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？ 思考4：讨论方程x3-3x2 -a=0 (a∈R)的根的个数. 思考5：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有解. 思考6：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有一解. 思考7：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有两解. 思考8：若方程x3-3x2-a=0在区间[-2,3]有三解.
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新课 思考4：方程x3-3x2 -a=0的根的个数 函数y=x3-3x2 -a的零点个数. 函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.
解：易知函数的定义x域 R
f ' (x) 3x2 6x 3x(x 2)
令f'(x)0x0或x2
令f'(x)00x2 即f(x)在（ ， 0） ,(2,)上单调递增
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新课 思考5：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有解.
4a0时f(， x)a有解
思考6：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有一解.
4a2或 a0,f(x)a有一
思考7：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有两解.
2a0,f(x)a有两解
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新课
导数的综合应用
-----利用导数研究方程根
的个数问题
香城中学高二数学备课组 唐红梅
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复习
一、如何利用导数判断函数的单调性？
若函数y=f(x)在 （a,b） 内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数
二、如何利用导数求函数的极值与最值？
求函数极值的一般步骤
（1）确定定义域
（2）求导数f’(x)
（3）求f’(x)=0的根（4）列表 （5）判断
求f(x)在闭区间[a,b]上的 最值的步骤：
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(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,
从而确定函数的最值。
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新课 例：已知函数 f(x)= x3-3x2 +1
思考1：画出函数的草图. 思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？
f '(x) 3x2 2x1(3x1)(x1)
当x
1, 3
f
(x)极大值
5 27
当x 1, f (x)极小值1
即： f(x)极小值 a f(x)极大值
1a 5 27
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练习
2 ：方 2x36 程 x270在 1 ， 2内根.的
解：设f (x) 2x3 6x2 7,则f (x) 6x2 12x 若f (x) 0,则x 0,或x 2
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新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考1： 画出函数的草图？
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新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？
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新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？
f(x)在（ 0,2）上单调递减
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新课 思考4：方程x3-3x2 -a=0的根的个数 函数f(x)=x3-3x2 -a的零点个数. 函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.
当x0时f(x)极大值 0 当x2时f(x)极小值 4
当 a0或 a4,方程 1个有 根
当a0或a4，方程 2个有 不相等的
思考8：若方程x3-3x2-a=0在区间[-2,3]有三解
解： f(x)易 在知 2 （ ,0 ） ，0,2 （ ） （ 2,3 ） f( 2) 2,0 f(0)0,f(2) 4,f(3)0
4a0时，在 [2,3]区 上间 有三
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练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不 同的公共点，求实数a的取值范围. 2.判断2方 x3程 6x270在区1间 ,2）（
当x1，2时，f (x) 0,所以f (x)在1，2上单调递减
又因为f (1) 3, f (2) 1,所以方程 2x3 6x2 70
在1，2内有且只有一个实根 7y 。
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O1 2
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x
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练习
3：解： h (x )构 f(x ) 5 造 x b l函 n x 1 ) ( x 数 2 3 x b
当4a0时，方3个 程不 有相等的
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新课 思考5：若方程x3-3x2-a=0在[-1,1]有
解.
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新课 思考5：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有解.
分析：方 f( x ) 程 a 有 a 解 { f( x ) |x D } 即 yf(x)x , D 的图 y像 a有与 交