利用导数探究方程根的个数问题(课堂PPT)
第2部分专题6第6讲利用导数解决函数零点或方程根问题课件共40张PPT
因为h(x)在1，e上单调递增，故h(x)在1，e上仅有1个零点． 当－2<a≤0时，h(x)min＝h(1)>0，此时h(x)在1，e上无零点． ③当0<a≤e－1， 即1<a＋1≤e时， 当x∈(1，a＋1)时，h′(x)<0，当x∈(a＋1，e)时，h′(x)>0， 则函数h(x)在(1，a＋1)上单调递减，在(a＋1，e)上单调递增， 故h(x)min＝h(a＋1)＝a＋2－aln (a＋1).
所以x＞1时，f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＞(x－1)(x＋1)－1 2x2＋b＝
1 2
x2－1＋b，
所以当x＞1且12x2－1＋b＞0时，f(x)＞0，
又f(x)在(0，＋∞)上递增，且f(0)＝b－1≤2a－1＜0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，所以f(x)只有一个零点．
命题规律：以函数零点个数的判定为纽带，考查导数在研究函 数图象变化中的作用，考查学生的逻辑推理能力及数学运算的素 养．
xx
e2·e2－a(x＋2)
>eln(2a)·2x＋2－a(x＋2)＝2a>0. 故f(x)在(ln a，＋∞)存在唯一零点．从而f(x)在(－∞，＋∞)有两个
零点．综上，a的取值范围是1e，＋∞.
命题规律：选取两类基本初等函数，借助参数相互融合，考查 学生的分类讨论的意识，逻辑推理的能力及数学运算的素养，难度 较大．
当x＞ln 2a时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
由f(x)在(－∞，0)上单调递增且f(0)＝b－1＞2a－1＞0，f
－
ab＝－
ba－1e－
b
a＜0，
可得f(x)在(－∞，0)上有唯一零点，
由f(x)在(0，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，＋∞)上单调递增，
利用导数探究方程根的个数问题优秀课件
又因为f (1) 3, f (2) 1,所以方程 2x3 6x2 70
在1，2内有且只有一个实根 7y 。
21.10.2020
O1 2
x
练习
3：解： h (x )构 f(x ) 5 造 x b l函 n x 1 ) ( x 数 2 3 x b
21.10.2020
新课 思考4：方程x3-3x2 -a=0的根的个数 函数y=x3-3x2 -a的零点个数. 函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.
解：易知函数的定义x域 R
f ' (x) 3x2 6x 3x(x 2) 令f'(x)0x0或x2
令f'(x)00x2 即f(x)在（ ， 0） ,(2,)上单调递增
当4a0时，方3个 程不 有相等的
21.10.2020
新课 思考5：若方程x3-3x2-a=0在[-1,1]有
解.
2Hale Waihona Puke .10.2020新课 思考5：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有解.
分析：方 f( x ) 程 a 有 a 解 { f( x ) |x D }
即 yf(x)x , D 的图 y像 a有与 交
解： f(x)易 在知 2 （ ,0 ） ，0,2 （ ） （ 2,3 ） f( 2) 2,0 f(0)0,f(2) 4,f(3)0
4a0时，在 [2,3]区 上间 有三
21.10.2020
练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不 同的公共点，求实数a的取值范围. 2.判断2方 x3程 6x270在区1间 ,2）（
内根的 . 个数 3:已知f (x) ln(x 1) x2 x,若关于
利用导数解决方程根的问题说课课件ppt课件
（二）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、 总结、运用，培养学生发现问题，研究问题 和解决问题的能力。让学生利用图形直观启 迪思维，来完成从感性认识到理性思维的一 个飞跃。
10
2005年全国2文21
设a为实数，函数f (x) x3 x2 x a 当a在什么范围内取值时，曲线y f (x)与x轴仅有一个交点。
解：f (x) 3x2 2x 1若f (x) 0,则x 1 ,或x 1 3
当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表：
x , 1 1
1 ,1
1
3 3 3
f (x)
+
0
-
0
1, +
f (x) 极大值 极小值
所以f (x)的极大值是f ( 1) 5 a,极小值是f (1) a 1. 3 27
在2，3内x lg x 1 0有且仅有一个实根。
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[设计意图]通过练习让学生掌握利用导数的应 用判断函数零点的解题方法。并引导学生探索 利用导数判断方程根的情况的理论根据，如果 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函 数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点也就是方 程f（x）＝0在区间（a，b）上有且只有一根
掌握函数零点存在性的判断。
②通过对问题的分析，体会用函数的角度
去思考方程的根的问题，使学生理解动与静的
辨证关系。
③在函数与方程的联系中体验数形结合思
想和转化思想的意义和价值，体会函数知识的
核心作用。培养学生发现问题、分析问题、解
决问题的能力
返回5
3．情感态度与价值观： 在学习过程中，使学生体验数学的科学价值
解法一：将方程等价变形为lg x 1 ,在坐标系内画出函数f (x) lg x x
导数解决根的个数问题
导数--根的个数问题题型一：原函数根的个数问题第一步：画岀 “趋势图”，如画岀三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ；主要看极大值和极小值与 0的关系；第三步：解不等式(组)即可； 例1、已知函数f(x) - x3-(k^x 2, g(x) - kx ，且f(x)在区间(2,)上为增函数. 32 3(1) 求实数k 的取值范围； (2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.2解：(1 )由题意f (x) x(k 1)x - •- f (x)在区间(2,)上为增函数， ••• f (x) x 2 (k 1)x0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k 1 x 恒成立，又x2，• k 1 2，故k 1 • k 的取值范围为k 1(2)设 h(x) f(x) g(x) — 坐 ©x2kx -, 3 2 3h(x)x 2 (k 1)x k(x k)(x 1)令 h (x) 0得x k 或x 1由( 1 )知 k 1，①当k 1时, h (x ) (x 1)2 0，h(x)在R 上递增，显然不合题意②当k 1时，h(x)， h (x)随x 的变化情况如下表：k 1由于0，欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程 h(x) 0有三个不同的实根，故需 2k 3 k 2 12k 10，即(k 1)(k 2k 2) 02，解得 k 1 、3623k 2 2k 2 0综上，所求k的取值范围为k 1 再3 1 2例2、已知函数f(x) ax x 2x c2(1 )若x 1是f (x)的极值点且f (x)的图像过原点，求f (x)的极值；1 2(2)若g(x) bx x d，在(1 )的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数2像恒有含x 1的三个不同交点？若存在，求岀实数b的取值范围；否则说明理由。
导数的综合应用(方程的根的问题)
导数的综合应用（方程的根的问题）
锦囊妙计：1、方程的根就是函数的零点，也就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，因 此研究方程的根的问题，可以转化为函数的零点问题，通过研究函数的图象加以解决。
2、在讨论函数的大致图像时，利用导数，得到函数的单调性；以及极值和最值的情况，然后讨论交点的情况，从而得到方程根的情况。
1、设函数b x x x x f +-+-
=3
43431)(23，关于x 的方程)(x f =0在区间1[，]3上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围
2、已知函数23)(23+-=x x x f ，关于x 的方程)(x f =c 在区间1[，]3上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围
3、设a 为实数，函数
a x x x f ++-=3)(3
（1）求)(x f 的极值
（2）是否存在实数a ，使得方程)(x f =0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由
4、设函数56)(3+-=x x x f R x ∈
（1）求函数)(x f 的单调区间和极值
（2）若关于x 的方程)(x f =a 有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围
作业：
1、求方程04962
3=-+-x x x 的根的个数。
3.若函数f(x)=x3-x2-x 与直线y=a 有3个不同的公共点，求实数a 的取值范围.
.]2,0[2
5)(,)1ln()(:32的取值范围求实数有两个不等的实数根，在区间的方程若关于已知b b x x f x x x x x f +-=--+=
.2,10762.223）内根的个数在区间（判断方程=+-x x。
高中数学导数与不等式的证明及函数零点方程根的问题精品PPT课件
热点一 利用导数证明不等式 【例 1】 (2014·潍坊模拟)已知函数 f(x)＝x3－x－ x.
(1)令 g(x)＝faxx2＋＋axx＋ln x，若函数 y＝g(x)在0，1e内有极值， 求实数 a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，对任意 t∈(1，＋∞)，s∈(0,1)，求证：g(t) －g(s)＞e＋2－1e.
• 第5讲 • 导数与不等式的证明及函数零点、方程根的问题
真题感悟·考点
热点聚焦·题
归 专纳题总训结练·思对
• 高考定位 以解答题的形式考查利用导数证 明不等式或利用导数解决有关函数零点、方 程根的个数问题，难度较大．
真题感悟·考点
热点聚焦·题
归 专纳题总训结练·思对
[真题感悟] (2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝aexln x＋bexx－1，曲线 y＝ f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝e(x－1)＋2. (1)求 a，b； (2)证明：f(x)>1.
热点聚焦·题
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• 又当x∈(0，x1)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增 ，x∈(x1,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
真题感悟·考点
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由(1)可知 x1＋x2＝2＋a，x1x2＝1，x1∈0，1e，x2∈(e，＋∞)， 因此：g(t)－g(s)≥g(x2)－g(x1)， ＝ln x2＋x2－a 1－ln x1－x1－a 1＝ln xx21＋x2－a 1－x1－a 1 ＝lnx22＋x2－x12(x2＞e)， 设 k(x)＝ln x2＋x－1x＝2ln x＋x－1x，k′(x)＝2x＋1＋x12＞0， ∴k(x)在(e，＋∞)单调递增，故 k(x)＞k(e)＝2＋e－1e， 即 g(t)－g(s)＞e＋2－1e.
利用导数探究方程根的个数问题共27页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
利用导数探究方程根的个数问题
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题(解析版)
第9讲利用导数解决整数解及方程根的个数问题【典例例题】题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()()1e 21xa x x ->-（其中1a ≥-），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．235,43e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．235,2e 3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据给定不等式，构造函数(()e 21)x f x x =-和()(1)g x a x =-，作出函数图象，结合图象分析求解作答.【详解】由不等式()()1e 21xa x x ->-（1a ≥-），令(()e 21)x f x x =-，()(1)g x a x =-，(()e 21)x f x x '=+，当12x <-时，()0f x '<，当12x >-时，()0f x '>，即函数()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，()min 12f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭12x <时，恒有()0f x <，函数()(1)g x a x =-，1a ≥-表示恒过定点(1,0)，斜率为a -的直线，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象和直线(1)y a x =-，如图，因不等式()()1e 21xa x x ->-（1a ≥-）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式()()g x f x >解集中的两个整数，于是得o −1)>o −1)o −2)≤o −2)，即2>−3e3≤−5e2，解得2352e 3e a -<≤-，所以实数a 的取值范围是235(,]2e 3e--.故选：D 【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.【例2】（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知不等式e (3)20(1)+--<<x a x x a 恰有2个整数解，则a 的取值范围为（）A ．2324e 3e ≤<a B ．2324e 3e<≤a C ．324e 3≤<a D ．324e 3<≤a 【答案】C 【解析】【分析】首先通过不等式分析，排除3x ≤-的可能性，对于3x >-,将不等式分离参数，得到()23e x x a x +<+，分析排除0a ≤的情况，然后令()()23e x x g x x +=+，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为()()01g a g a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，进而求解.【详解】当3x =-时，e (3)20(1)+--<<x a x x a 即为0320+-<,即10<,不成立；当3x <-时不等式等价于()321111·e e 13e 3e ex x x xx a x x -+⎛⎫>=->> ++⎝⎭,由于1a <，故不成立；当3x >-时，不等式等价于()23e x x a x +<+，若0a ≤，则不等式对于任意的2x >-恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意；当0a >时，令()()2,(3)3e x x g x x x +=>-+，则()()22553e xx x g x x ++'=-+，在53,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上()0g x '>，∴()g x 单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上()0g x '<，∴()g x 单调递减，且在(3,2)--上()0g x <,在()2,-+∞上()0g x >,又∵在x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，∴()g x 在()3,-+∞上的图象如图所示：∵21-<<-，∴当3x >-时，不等式等价于()23e x x a x +<+有两个整数解，这两个整数解必然是1-和0，充分必要条件是()()01g ag a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩,即2334ea a⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,∴324e 3≤<a ，故选：C 【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤.【例3】（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数()()1ln f x kx x x =+-，若()0≤f x 有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（）A ．ln 5ln 2,3010⎛⎤⎥⎝⎦B ．ln 5ln 2,3010⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 2ln 3,1012⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．ln 2ln 3,1012⎛⎫⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将问题化为ln (1)x k x x+≤有且只有两个整数解，利用导数研究ln ()xg x x =的性质，并画出()g x 与(1)y k x =+的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k 的范围.【详解】由题设，()f x 定义域为(0,)+∞，则()0≤f x 可得ln (1)xk x x+≤，令ln ()x g x x=，则21ln ()xg x x -'=，所以0e x <<时()0g x '>，即()g x 递增，值域为(1,)e-∞；e x >时()0g x '<，即()g x 递减，值域为1(0,)e；而(1)y k x =+恒过(1,0)-，函数图象如下：要使ln (1)xk x x+≤有且只有两个整数解，则(1)y k x =+与()g x 必有两个交点，若交点的横坐标为12x x <，则121234x x <≤<≤<，所以ln 232ln 343ln 454k k k ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎪⎩，即ln 2ln 31012k <≤.故选：C 【点睛】关键点点睛：首先转化为ln (1)xk x x+≤有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断ln ()xg x x=、(1)y k x =+交点横坐标范围，即可求参数范围.【题型专练】1.（2022·福建·莆田二中高二期中）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数()e ,()x g x x h x ax a ==-，将问题转化为存在唯一的整数0x 使得00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，再借助导数探讨求解作答.【详解】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当1x =-时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得1(1,2)2t =，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e(2e ,]2.故选：D 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f (x )的切线问题，先设出切点坐标00(,)x y ，求导并求出切线方程000()()y y f x x x '-=-，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.2.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】将()0f x <转化为2(2)ex x a x +<，再分别求导分析2()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象，再分别求得()()1,1g ，()()2,2g ，()()3,3g 到()20-，的斜率，分析临界情况即可【详解】由()0f x <且0x >，得2(2)exx a x +<，设2()e x x g x =，()(2)h x a x =+，22()e xx x g x '-=，已知函数()g x 在（0，2）上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-，(1)11(2)3e g =--，2(2)12(2)e g =--，3(3)93(2)5eg =--，结合图象，因为329115e 3e e <<，所以3915e 3ea ≤<．。
利用导数探究方程根的个数问题ppt课件
思考7：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有两解.
2a0,f(x)a有两解
09.03.2021
精选ppt
11
新课
思考8：若方程x3-3x2-a=0在区间[-2,3]有三解
解： f(x)易 在知 2 （ ,0 ） ，0,2 （ ） （ 2,3 ） f( 2) 2,0 f(0)0,f(2) 4,f(3)0
4a0时，在 [2,3]区 上间 有三
09.03.2021
精选ppt
12
练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不 同的公共点，求实数a的取值范围. 2.判断2方 x3程 6x270在区1间 ,2）（
内根的 . 个数 3:已知f (x) ln(x 1) x2 x,若关于
x的方程f (x) 5 x b在区间[0,2] 2
由 f (x) 0 得， x 1 或 x 1 3
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：
x (, 1) 1 ( 1 ,1) 1 (1,)
3
3
3
f (x)
0
－
0
f (x)
↗
5 a ↘ a 1 ↗
27
故函数 f (x) 的极大值是 f ( 1) 5 a, 极小值是 f (1) a
2、解这类题的关键是利用导数对函数的单调性， 函数的极值讨论.
3、注意分类讨论的思想、函数与方程的思想、 数形结合的思想的应用.
09.03.2021
精选ppt
19
09.03.2021
精选ppt
20
知识总结
1. 方程的 f (x) 0 根
函数 y f (x) 的零点 函数 y f (x)的图象与x轴的交点
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当x
1, 3
f
(x)极大值
5 27
当x 1, f (x)极小值1
即： f(x)极小值 a f(x)极大值
1a 5 27
15.09.2020
.
15
练习
2 ：方 2x36 程 x270在 1 ， 2内根.的
解：设f (x) 2x3 6x2 7,则f (x) 6x2 12x 若f (x) 0,则x 0,或x 2
导数的综合应用
-----利用导数研究方程根
的个数问题
香城中学高二数学备课组 唐红梅
15.09.2020
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复习
一、如何利用导数判断函数的单调性？
若函数y=f(x)在 （a,b） 内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数
二、如何利用导数求函数的极值与最值？
求函数极值的一般步骤
（1）确定定义域
（2）求导数f’(x)
f(x)在（ 0,2）上单调递减
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新课 思考4：方程x3-3x2 -a=0的根的个数 函数f(x)=x3-3x2 -a的零点个数. 函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.
当x0时f(x)极大值 0 当x2时f(x)极小值 4
当 a0或 a4,方程 1个有 根
当a0或a4，方程 2个有 不相等的
2
2
h'(x)(4x5)(x1) 2(x1)
x (0 ,1 )h ,'(x)0 ,即 h (x)在 0 ,1 ） （
x (1 ,2 )h ,'(x)0 ,即 h (x)在 1 ,2 ） （
h(0) b0
由题意得 h(1)
ln2
1 2
b
0
lhn3(2)1lnb3l1n2b10
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内根的 . 个数 3:已知f (x) ln(x 1) x2 x,若关于
x的方程f (x) 5 x b在区间[0,2] 2
有两个不等的实数根求，实数b的
取值范围.
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练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不同的
公共点，求实数a的取值范围.
函数 f(x)x3x2x与 ya有 3个不同的
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新课 思考5：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有解.
4a0时f(， x)a有解
思考6：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有一解.
4a2或 a0,f(x)a有一
思考7：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有两解.
2a0,f(x)a有两解
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新课
当4a0时，方3个 程不 有相等的
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新课 思考5：若方程x3-3x2-a=0在[-1,1]有
解.
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新课 思考5：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有解.
分析：方 f( x ) 程 a 有 a 解 { f( x ) |x D } 即 yf(x)x , D 的图 y像 a有与 交
思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？ 思考4：讨论方程x3-3x2 -a=0 (a∈R)的根的个数. 思考5：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有解. 思考6：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有一解. 思考7：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有两解. 思考8：若方程x3-3x2-a=0在区间[-2,3]有三解.
（3）求f’(x)=0的根（4）列表 （5）判断
求f(x)在闭区间[a,b]上的 最值的步骤：
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(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,
从而确定函数的最值。
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新课 例：已知函数 f(x)= x3-3x2 +1
思考1：画出函数的草图. 思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？
当x1，2时，f (x) 0,所以f (x)在1，2上单调递减
又因为f (1) 3, f (2) 1,所以方程 2x3 6x2 70
在1，2内有且只有一个实根 7y 。
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O1 2
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x
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练习
3：解： h (x )构 f(x ) 5 造 x b l函 n x 1 ) ( x 数 2 3 x b
思考8：若方程x3-3x2-a=0在区间[-2,3]有三解
解： f(x)易 在知 2 （ ,0 ） ，0,2 （ ） （ 2,3 ） f( 2) 2,0 f(0)0,f(2) 4,f(3)0
4a0时，在 [2,3]区 上间 有三
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练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不 同的公共点，求实数a的取值范围. 2.判断2方 x3程 6x270在区1间 ,2）（
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新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考1： 画出函数的草图？
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新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？
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新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？
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思考题
1. 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅
有一个交点，求实数a的取值范围.
2.已知f (x) lnx, g(x) a ,(a 0) x
是否存在实数m,使得y
g(
2a
x2
) 1
m
1,
与y f (1 x2)的图像恰有4个不同的交点，
解：由题意得：
即求函 f(x)数 x33x2在 [1,1]的值域
又由 4 知 f思 (x ， )在 考 1 ,0 （ ） ,(0 ,1 )
又 f( 1 ) 4 ,f( 0 ) 0 ,f( 1 ) 2
f ( x ) m f a ( 0 ) x 0f ( x ) m f i ( n 1 ) 4 4a0时f(， x)a有解
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新课 思考4：方程x3-3x2 -a=0的根的个数 函数y=x3-3x2 -a的零点个数. 函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.
解：易知函数的定义x域 R
f ' (x) 3x2 6x 3x(x 2)
令f'(x)0x0或x2
令f'(x)00x2 即f(x)在（ ， 0） ,(2,)上单调递增