02324离散数学200710
离散数学基础
离散数学基础
离散数学是一门研究离散对象的数学学科，它研究的对象在时间和空间上都是离散的，不是连续的。
离散数学是理论计算机科学的基础，也常常用于解决实际问题。
离散数学包含了许多基础概念和工具，其中包括集合论、逻辑、关系和图论等。
在离散数学中，集合论用于描述和研究元素的集合和它们之间的关系。
逻辑是研究命题、命题连接词和命题逻辑等的数学学科。
关系在离散数学中是一个重要的概念，它描述了元素之间的关联性。
图论研究图的性质和图之间的关联，它在计算机科学和网络分析中具有重要的应用。
离散数学的一些应用领域包括网络传输、密码学、数据库设计和算法分析等。
在网络传输中，离散数学的工具被用于处理和优化信息的传输问题。
密码学利用离散数学中的数论和组合学等知识来构建安全的加密算法。
数据库设计中，离散数学的关系和图论等概念被应用于数据的组织和查询。
算法分析利用离散数学的工具来研究算法的效率和复杂性。
总之，离散数学是一门重要的数学学科，它的基础概念和工具被广泛应用于计算机科学和其他领域。
通过学习离散数学，我们可以理解和解决各种离散对象的问题，并应用于实际情境中。
离散数学1
离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。
与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。
离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。
基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。
集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。
数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。
代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。
常见的代数结构有群、环、域等。
图论图论研究图的性质和应用。
图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。
它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。
应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。
例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。
信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。
编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。
密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。
公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。
数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。
总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。
离散数学文档第一章
离散数学引论《离散数学》是现代数学的一个重要分支，是计算机科学基础理论的核心课程，其内容一直随着计算机科学的发展而不断地扩充与更新。
它所研究的对象是离散数据结构及相互关系。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着对离散结构建立相应的数学模型、将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化问题。
在计算机科学中由于普遍采用了离散数学中的基本概念、基本思想和方法，从而使得离散数学成了不可少的理论工具。
离散数学的主要内容为：集合论、数理逻辑、近世代数、图论和组合数学等。
离散数学不仅为数据结构、操作系统、编译原理、算法分析、人工智能、形式语言与自动机提供了重要的数学理论基础，而且通过对它的学习可以使我们熟悉和习惯抽象的符号表示和演算形式，培养和训练我们掌握使用数学语言或符号系统处理问题的基本方法，提高我们的抽象思维和逻辑推理的能力。
参考书目：《离散数学》，耿素云等著，清华大学出版社；《离散数学》，陈莉等著，高等教育出版社；《离散数学》，孙吉贵等著，高等教育出版社；《离散数学及其应用》，傅彦等著，电子工业出版社；第一章数理逻辑数理逻辑又称符号逻辑，是逻辑学的一个重要分支。
逻辑学是研究人的思维形式的科学。
数理逻辑是用数学方法研究推理、利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系。
1.1 命题符号化及联结词1.1.1命题命题是一个非真即假的陈述句。
因此不能判断真假的陈述句、疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。
（1）一个命题的真或假称为命题的真值。
真用T或1表示，假用F或0表示；（2）原子命题(简单命题)：最简单的命题，通常用大写字母p,q,r表示；几个简单命题用联结词连接起来得到的命题叫复合命题。
（3）一个陈述句有真值与是否知道它的真假是两回事。
［例1.1.1］判断下列语句是不是命题？若是，给出命题的真值：(1)2是素数。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学复习要点
离散数学复习要点离散数学是数学的一个分支领域，主要研究离散的结构和离散情形下的数学对象及其相关性质。
它与连续数学不同，离散数学的对象是离散的，如集合、图、布尔代数等。
在计算机科学、信息科学、通信工程等领域中，离散数学的理论和方法被广泛应用。
以下是离散数学的一些重要的复习要点：1.集合论：集合是离散数学的基础，集合的基本运算如交、并、差等，以及集合的基本性质如并集和交集的结合律、分配律等，都是需要复习的内容。
此外，还需要了解集合的基数和幂集等概念。
2.命题逻辑：命题是一个可以判断真假的陈述句，命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数学体系。
需要复习的内容包括命题的逻辑运算，如非、与、或、异或等，以及逻辑等价、逻辑推理等。
3.谓词逻辑：谓词逻辑是对自然语言中的谓词进行形式化表示和推理的系统。
复习重点包括一阶谓词逻辑的基本概念，如谓词、量词、域、项等，以及谓词的合取、析取、全称量词和存在量词等逻辑联结词的语义。
4.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
需要复习的内容包括图的基本概念，如顶点、边、路径、圈等，以及图的表示方法、图的遍历算法、连通图、树等。
5. 网络流模型：网络流模型是研究流动网络的数学方法，主要包括最大流、最小割等问题。
需要复习的内容包括网络的基本概念，如容量、割、流等，以及Ford-Fulkerson算法等解决网络流问题的方法。
6.布尔代数：布尔代数是一种关于逻辑运算的代数系统，常用于电路设计和逻辑推理。
需要复习的内容包括布尔代数的基本运算，如与、或、非等，以及布尔函数的最小项与最大项表示、卡诺图等。
7.组合数学：组合数学是研究离散中的计数问题的数学分支。
需要复习的内容包括排列、组合、多元排列组合等的计数方法，如乘法原理、加法原理、排列组合的顺序问题等。
8.代数系统：代数系统是研究代数结构及其性质的数学分支，包括群、环、域等。
需要复习的内容包括群的基本概念和性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
离散数学基础知识
离散数学基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的数学基础学科，它研究离散对象的性质和关系，主要涉及逻辑、集合论、图论、代数结构等方面的内容。
具备扎实的离散数学基础知识对于计算机科学领域的学习和研究都具有重要的意义。
本文将重点介绍离散数学的一些基础知识。
1. 逻辑逻辑是离散数学的基础，它研究判断和推理的规则。
在计算机科学中，逻辑常常用于描述程序的正确性和推理的过程。
逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑两个分支。
命题逻辑研究命题与命题之间的关系，它使用命题变量和逻辑运算符来构造复合命题。
常见的逻辑运算符有非（¬）、与（∧）、或（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。
通过逻辑运算符的组合，可以构建出复杂的逻辑表达式，并通过真值表来确定表达式的真值。
谓词逻辑是对命题逻辑的扩展，它引入了量词和谓词，用于描述对象之间的关系。
谓词逻辑包括一阶逻辑和二阶逻辑两个分支。
一阶逻辑主要研究命题中包含变量的情况，而二阶逻辑则允许变量代表集合或者谓词。
2. 集合论集合论是离散数学的另一个重要分支，它研究集合及其运算和关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于描述数据类型、数据结构和算法等方面。
集合是由一些确定的对象组成的整体，可以用罗素概念公理或者包含-属于公理来描述。
常见的集合运算有并（∪）、交（∩）、差（-）和补（\）等。
通过这些运算，可以构建出各种复杂的集合。
集合论中的函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数可以用来描述计算机程序中的算法和操作。
常见的函数类型有单射、满射、双射等。
3. 图论图论是离散数学的一个重要分支，它研究图的性质和关系。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络、算法和人工智能等方面。
图是由顶点和边组成的结构，可以用来描述对象之间的关系。
图的类型包括有向图和无向图，以及它们的变种如加权图和带标签的图等。
图的常见概念有度、路径、连通性和环等。
图的表示方法有邻接矩阵和邻接表两种。
邻接矩阵使用二维数组来表示顶点之间的连接关系，邻接表则使用链表来表示边的信息。
大学数学离散数学
大学数学离散数学离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。
离散数学在计算机科学、信息科学、工程学以及许多其他领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍离散数学的基本概念、主要内容和应用领域。
一、概述离散数学是数学中的一个分支，研究的对象是离散的、离散化的数学结构。
它关注的是非连续、离散的数学概念和算法，与连续数学不同，离散数学是离散化的、离散性质的研究。
离散数学的主要内容包括集合论、逻辑、关系、图论、代数结构和组合数学等。
二、集合论集合论是离散数学中的基石，它研究的是集合这一基本概念及其性质。
集合是指具有确定特征的对象的整体，集合论主要研究集合的运算、集合的关系、集合的划分等基本问题。
集合论的基本公理包括空集公理、对偶公理、包含公理等。
三、逻辑逻辑是研究正确推理和证明的数学学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑分为命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等不同的分支。
离散数学中的逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑，它们用于描述命题的真值和命题之间的关系。
四、关系关系是数学中的一种基本概念，描述了事物之间的联系和相互作用。
离散数学中的关系论主要研究二元关系和等价关系。
二元关系是指一个集合上的二元对组成的集合，它描述了两个元素之间的某种联系。
等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的二元关系，它将集合划分为不同的等价类。
五、图论图论是离散数学中的一门重要学科，研究图及其性质和应用。
图是由顶点和边组成的数学对象，它是描述许多实际问题的有效工具。
图论主要研究图的连通性、图的着色、最短路径、最小生成树等基本问题，并在网络、电路设计、运筹学等领域有广泛的应用。
六、代数结构代数结构是离散数学中的一个重要分支，研究的是集合上的运算和结构。
常见的代数结构包括群、环、域等，它们用于描述抽象代数系统的性质。
代数结构在计算机科学中有广泛的应用，例如密码学中的置换群、编码理论中的线性空间等。
七、组合数学组合数学是离散数学中的一门重要学科，研究离散对象的组合与排列问题。
自考离散数学02324课后答案：[5]1.6章节
![自考离散数学02324课后答案：[5]1.6章节](https://img.taocdn.com/s3/m/9a0ebb0c03d8ce2f00662390.png)
似若来生愿.想一起去看星星,那最亮一颗是我心大雨
(3)|W∨|QT(2) (4)Q→|WT(3) (5)W→|WT(1)(4) (6)|W∨|WT(5) (7)|WT(6) (8)|(W∧Q)→|WCP (9)W→(W∧Q)T(8) d)
证明 (1)R∨SP (2)|R→ST(1) (3)|RP (4)ST(2)(3) (5)S→|QP (6)|QT(4)(5) (7)|W←→QP
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似若来生愿.想一起去看星星,那最亮一颗是我心大雨
前提 P→|Q,R→Q,|P→||S,R 结论||S 证明(1)P→|QP (2)Q→|PT(1) (3)R→QP (4)R→|PT(2)(3) (5)|P→||SP (6)R→||ST(4)(5)
(7)RP (8)||ST(6)(7)自考离散数学 02324 课后答 案(共 5 篇)上一篇：1.5 章节
丙说“是乙”，丁说“不是我”，四人的回答只有 一人符合实际，问成绩最好是哪些？只有一人成 绩最好的是谁。
解： 设 P 甲成绩最好 Q 乙成绩最好 R 丙成绩最好 S 丁成绩最好
似若来生愿.想一起去看星星,那最亮一颗是我心大雨
如果甲说的是正确的，则|P,|S,|Q,S|S 与 S 矛盾
如果乙若来生愿.想一起去看星星,那最亮一颗是我心大雨
结论：如果我在看书，则天在下雨。 解： 设 P 天晴； Q 下雨； R 我去看电影； S 我在看书； 已知|P→Q∧|Q→P,P→R,R→|S,S 结论 Q
证明(1)P→RP (2)R→|SP (3)P→|ST(1)(2) (4)SP (5)|PT(3)(4) (6)|P→Q∧|Q→PP (7)|P→QT(6) (8)QT(5)(7)
(3)|A∨BP (4)A→BT(3) (5)AP(附加前提) (6)BT(4)(5) (6)|CT(2)(6) (6)A→|CCP b)证明(1)(C∧D)→EP (2)|(C∧D)∨ET(1)
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学知识点总结同时要善于总结，在学习《离散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。
本文就来分享一篇离散数学知识点总结，希望对大家能有所帮助！一、认知离散数学离散数学是计算机科学基础理论的核心课程之一，是计算机及应用、通信等专业的一门重要的基础课。
它以研究量的结构和相互关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，充分体现了计算机科学离散性的特点。
学习离散数学的目的是为学习计算机、通信等专业各后续课程做好必要的知识准备，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，为计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
1．定义和定理多离散数学是建立在大量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中有一部分内容是考查学生对定义和定理的识记、理解和运用，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念的真正的含义。
比如，命题的定义、五个基本联结词、公式的主析取范式和主合取范式、三个推理规则以及反证法；集合的五种运算的定义；关系的定义和关系的四个性质；函数（映射）和几种特殊函数（映射）的定义；图、完全图、简单图、子图、补图的定义；图中简单路、基本路的定义以及两个图同构的定义；树与最小生成树的定义。
掌握和理解这些概念对于学好离散数学是至关重要的。
2. 方法性强在离散数学的学习过程中，一定要注重和掌握离散数学处理问题的方法，在做题时，找到一个合适的解题思路和方法是极为重要的`。
如果知道了一道题用怎样的方法去做或证明，就能很容易地做或证出来。
反之，则事倍功半。
在离散数学中，虽然各种各样的题种类繁多，但每类题的解法均有规律可循。
所以在听课和平时的复习中，要善于总结和归纳具有规律性的内容。
在平时的讲课和复习中，老师会总结各类解题思路和方法。
作为学生，首先应该熟悉并且会用这些方法，同时，还要勤于思考，对于一道题，进可能地多探讨几种解法。
2020年8月自考02324离散数学试题及答案含评分标准
绝密★启用前2020年8月高等教育自学考试全国统一命题考试离散数学试题答案及评分参考（课程代码 02324）一、单项选择题：本大题共15小题，每小题1分，共15分。
1. D2. B3. D4. A5. B6. C7. B8. D9. A 10. C11.B 12.A 13.D 14.C 15.D二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
16. 317.{1,5,9}18.T19.1120.{〈1,2〉}21.∀x∀y∃z�F(x)∨¬G(y)∨H(z)�22.1123.∅24.825.{〈3,1〉,〈9,2〉,〈6,3〉}三、简答题：本大题共7小题，第26~30小题，每小题6分；第31~32小题，每小题7分，共44分。
26.解：命题公式(P∧Q)∨(¬Q→R)的真值表如下P Q R P∧Q¬Q→R(P∧Q)∨(¬Q→R)(1分)F F F F F FF F T F T T (1分)F T F F T TF T T F T T (1分)T F F F F FT F T F T T (1分)T T F T T TT T T T T T (1分) 由上表可知，命题公式为非重言式的可满足式。
(1分)离散数学试题答案及评分参考第1页（共4页）离散数学试题答案及评分参考第2页（共4页） 27. 解：(P ∨¬Q )∧(¬R →Q )⇔(P ∨¬Q )∧(R ∨Q ) (2分) ⇔(P ∨¬Q ∨R )∧(P ∨¬Q ∨¬R )∧(P ∨Q ∨R )∧(¬P ∨Q ∨R )(1分) 主合取范式为 (P ∨Q ∨R )∧(P ∨¬Q ∨R )∧(P ∨¬Q ∨¬R )∧(¬P ∨Q ∨R )， (1分)成假赋值为000，010，011和100。
(2分) 28. 解：集合A ={a ,b ,c ,d }的二元关系R ={〈a ,b 〉,〈b ,d 〉,〈c ,a 〉,〈c ,c 〉,〈d ,c 〉}，(2分) R 的关系矩阵M R =�0100000110001010�，(2分) 对称闭包的关系矩阵M s (R )=M R ∨M R −1=�0110100110011110�。
离散数学2023年10月真题
2023年10月高等教育自学考试全国统一命题考试离散数学试题(课程代码02324)注意事项：1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2.应考者必须按试题顺序在答题卡(纸)指定位置上作答，答在试卷上无效。
3.涂写部分、画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。
第一部分选择题一、单项选择题：本大题共15小题，每小题1分，共15分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.令p:今天我上班，q:今天我休息。
命题“今天我要么上班要么休息”的符号化形式为A.p V qB.q→pC.¬ p∧qD.(¬ q∧p)V(q∧¬ p)2.设令F(x):x是火车，G(x):x是汽车，L(x,y):x比y快。
命题“有的火车比有的汽车快”的符号化形式为A.∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y)))B.∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y)))C.¬∃y(G(y)∧∀x(F(x)→L(y,x)))D.¬∀y(G(y)→∀x(F(x)→L(x,y)))3.下列关于小项和大项的性质表述正确的是A.任意两个不同小项的合取式必为真B.任意两个不同大项的析取式必为假C.任意两个不同小项的析取式必为假D.大项的否定是小项下图中是欧拉图的为4.B. C. D.A.5.设有非空集合A上的全域关系S，则关系S不是A.自反关系B.对称关系C.传递关系D.反对称关系6.简单无向图G有9条边，每个结点都是3度结点，则G的结点数为A.5B.6C.7D.87.下列谓词恒等式，不正确的是A.∀x(P(x)V Q(x))⇔∀xP(x)V∀xQ(x)B.∃x(P(x)V Q(x))⇔∃xP(x)V∃xQ(x)C.∀x(P→Q(x))⇔P→∀xQ(x)D.∃x(P→Q(x))⇔P→∃xQ(x)8.下列度数序列中，不能构成简单无向图的是A.{1,1,1,2,3}B.{1,2,2,3}C.{6,2,2,2,4}D.{3,3,3,3}9.设A={3z|z∈Z),运算为实数加法+和乘法*,则<A,+,*>构成的代数系统是A.环B.整环C.域D.格10.集合A上的自反关系R的关系矩阵为M,则M的元素必定A.对角线上全是0B.关于反对角线对称C.关于对角线对称D.对角线上全是111.已知A、B、C、D是任意集合，则下列各式成立的是A.(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)B.(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)C.(A⊕B)×(C⊕D)=(A×C)⊕(B×D)D.(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)12.要从完全图K4中得到一棵生成树，需要删除的边数为A.1B.2C.3D.413.设有集合A上的关系R1和R2,下列命题为真的是A.若关系R1和R2是自反的，则R₁⁰ R2也是自反的B.若关系R1和R2是对称的，则R₁⁰ R2也是对称的C.若关系R1和R2是传递的，则R₁⁰ R2也是传递的D.若关系R1和R2是反自反的，则R₁⁰ R2也是反自反的14.下图中4个偏序集的图形，能构成格的是d e e g a afb c b d b fc db c c ea ea dA. B. C. D.15.设有穷集合A的元素个数为m，则A到A的不同单射函数的个数为A.m！B.m mC.m2D.2m第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
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集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是一门研究离散对象的数学分支，它涵盖了离散数学的许多基本概念、定理和技巧。
离散数学在计算机科学、信息技术、电子工程等领域中有广泛的应用，因此对离散数学的理解和掌握对于这些领域的学习者非常重要。
本文将整理和总结离散数学中的一些重要知识点。
集合与命题逻辑集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合由元素组成，可以用各种方式表示，如列举法、描述法、集合运算等。
对于集合的运算，常见的有并集、交集、差集和补集等。
集合的性质可以用集合的关系来描述，如包含关系、相等关系等。
命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的一门学科。
命题是陈述某种陈述句（可以是真，也可以是假），命题逻辑研究如何通过逻辑运算来组合命题以及如何根据已知命题的真假来推导其他命题的真假。
在命题逻辑中，常见的逻辑运算有非运算、合取运算和析取运算等。
谓词逻辑谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的形式系统，用于研究涉及变量的陈述。
在谓词逻辑中，除了命题变量外，还引入了个体常量、谓词和量词等概念。
谓词逻辑可以用于描述关于个体和关系的陈述，进一步扩展了逻辑的表达能力。
组合数学组合数学是研究离散结构中的“选择”问题的数学分支。
在组合数学中，常见的概念有排列、组合和二项式系数等。
排列是从给定元素中选择若干元素并按照一定顺序排列的方式，组合是从给定元素中选择若干元素并不考虑顺序的方式。
二项式系数是组合数学中的重要概念，它是组合的一种。
图论图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图论中的重要概念包括有向图和无向图、路径和回路、连通性等。
图论在计算机科学中有广泛的应用，如网络设计、图像处理、路由算法等。
数理逻辑数理逻辑是数学在逻辑方面的研究。
它研究计算和推理的准确性，包括形式推理、证明检验和模型理论等。
数理逻辑对于构建正确的推理是重要的，它通过形式系统、语义模型和推理规则等工具来分析和证明命题的真假。
概率论概率论是研究随机现象的可能性和规律的数学分支。
离散数学自学考试真题附答案打印版
离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G ，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G 是连通简单平面图，G 中有11个顶点5个面，则G 中的边是( )3.在布尔代数L 中，表达式(a ∧b)∨(a∧b ∧c)∨(b ∧c)的等价式是( )∧(a ∨c)B.(a ∧b)∨(a ’∧b)C.(a ∨b)∧(a ∨b ∨c)∧(b ∨c)D.(b ∨c)∧(a ∨c)4.设i 是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z ，+，/〉B.〈Z ，/〉C.〈Z ，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q ，*〉Q 是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n 阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z ，ο〉，Z 是整数集，ο定义为x οxy=xy,∀x,y ∈ZD.〈Z ，+〉，Z 是整数集，+是数的加法运算 7.设A={1,2,3}，A 上二元关系R 的关系图如下： R 具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) ∪I A ∪{〈c,a 〉} ∩I A 9.设X={a,b,c},Ix 是X 上恒等关系，要使Ix ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( ) A.｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C.{〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ∅∈∅ B.∅⊆∅ C.{∅}⊆∅ D.{∅}∈∅11.设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( ) A.( ∀ x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z)) B.( ∀x)A(f(a,x),a) C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x)) D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a)) 12.设B 是不含变元x 的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( ) A.(∃x)A(x)→B B.(∀x)A(x)→B (x)→B D.(∀x)A(x)→(∀x)B 13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )∨Q ∧┐Q →┐Q ∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )→(p ∨q ∨r)B.(p →┐p)→┐pC.┐(q →q)∧pD.┐(q ∨┐p)→(p ∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。
02324离散数学200704
A．{〈4，1〉 ， 〈2，3〉 ， 〈4，2〉} C．{〈4，1〉 ， 〈2，3〉 ， 〈2，4〉}
10．设有代数系统 G=〈A，*〉 ，其中 A 是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则 G 的幺元是（ A．矛盾式 C．可满足式 B．重言式 D．公式 p∧q ）
11．在实数集合 R 上，下列定义的运算中不 可结合的是（ ． A．a*b=a+b+2ab C．a*b=a+b+ab 12．下列集合关于所给定的运算成为群的是（ B． a*b=a+b D．a*b=a-b ）
2007 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试
离散数学试题
课程代码： 2324
一、单项选择题（本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选 均无分。 1．下列命题公式中不 是重言式的是（ ． A．p→(q→r) C． p→( p→ p) 2．下列语句中为命题的是（ A．这朵花是谁的？ C．这朵花是你的吗？ ） B．这朵花真美丽啊！ D．这朵花是他的。 ） ） B．p→(q→p) D．(p→(q→r)) (q→(p→r))
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）
9．设 A={1，2，3，4，5}，A 上二元关系 R={〈1，2〉 ， 〈3，4〉 ， 〈2，2〉}，S={〈2，4〉 ， 〈3，1〉 ， 〈4，2〉}，则
-1 -1 S R 的运算结果是（
） B．{〈2，4〉 ， 〈2，3〉 ， 〈4，2〉} D．{〈2，2〉 ， 〈3，1〉 ， 〈4，4〉} ）
5．设论域 D={a,b}，与公式 xA（x）等价的命题公式是（ A． A（a）∧ A（b） C．A（ a）∨ A（b）
自考离散数学02324课后答案：[1]1.2章节
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c)我既不看电视，也不去看电影，我准备做作
/show_21.html
业。 d)四边形 ABCD 是平行四边形，当且仅当它的 对边平行。
答案：
a)原子命题为：今天天气炎热；今天有雷阵雨 b)原子命题为：你去比赛；我去比赛； c)原子命题为：我看电视；我看电影；我做作
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k)火星上有生物。 答案： a)的真值为 T;
b)的真值为 T；
c)不是命题； d)的真值为 F； e)F；
f)不是命题；
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g)F； h)不是命题； i)T；
j)不是命题；
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c)设 P:天下大雨；Q：他在体育馆内锻炼则本
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例符号化为：P→Q d)设 P:天下大雨；Q：他在室内运动则本例符 号化为：|P→|Q
e)设 P:经一事；Q:长一智则本例符号化为： |P→|Q
4.将下列复合命题分成若干原子命 a)今天天气炎热，且有雷阵雨。 b)如果你不去比赛，那么我也不去比赛。
业；
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d)原子命题为：四边形 ABCD 是平行四边形； 四边形的对边平行； 另外要注意的是，一些悖论因为是无法辨别真 假的，所以不是命题，如
P:我在说谎。
看上去像是一个命题，但这是个愽论（如果 P 为 T,则我就不是在说谎了，如果 P 为 F 则我就是 在说谎了。所以无法辨别真假。） 自考需要坚持，为自己加油！自考离散数学 02324 课后答案(共 5 篇)下一篇：1.3 章节
k)F。 3.将下列命题符号化 a)小李不但聪明而且用功。
b)昨天晚自习时小赵做了二三十道数学题。
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离散数学(命题逻辑的基本概念)
pq
(2)吴颖不仅用功而且聪明.
pq
(3)吴颖虽然聪明，但不用功. pq
(4)张辉与王丽都是三好生.
设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生 pq
22
合取联结词的实例
p ：今天下雨 q：明天下雨 p q：今天下雨并且明天下雨 今天与明天都下雨 这两天都下雨
p ：我们唱歌 q：我们跳舞 p q：我们一边唱歌一边跳舞
等价联结词实例
如果两个三角形全等,则它们的三组对应边 相等；反之亦然.
当王晓红心情愉快时，她就唱歌；反之，当 她唱歌时，一定心情愉快.
•表示 p q 的常用词： •p当且仅当q. •p是q的充要条件. •如果p则q;反之亦然.
39
小结
本小节中p, q, r, … 均表示命题. 联结词集为{, , , , }，p, pq, pq,
p: 你努力 q: 你成功➢q是p的必要条件
p → q 或 q → p ➢如果（若）p，则q
p q p ➢➢只因q 要为ppq，所就以p qqpq
0 0 1 ➢1p仅当q1
1
0 1 1 ➢0只有q 才0 p 0
1 0 0 ➢1除非q,1才p 1
1 1 0 ➢0除非q，1 否则非p1
34
15
命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 是有理数. (2) 2 + 5 = 7.
假命题 真命题
(3) x + 5 > 3.
不是命题
(4) 你去教室吗？
不是命题
(5) 这个苹果真大呀！
不是命题
(6) 请不要讲话！
不是命题
(7) 2050年元旦下大雪. 命题(真值现在未知）
[理学]离散数学
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~是同余关系 吗？24来自2.4 陪 集 拉 格 朗 日 定 理
陪集性质2
设<H,*>是<G,*>的子群,∀a,b∈G则aH=bH aH∩bH=Ф 证: 若aH∩bH1≠Ф,设∃x∈aH∩bH 于是，∃h1，h2∈H，使x=a*h1=b*h2 从而，a=b*h2*h1-1∈bH 对于∀x∈aH， ∃h3∈H,使得x=a*h3=b*h2*h1-1*h3∈bH 故aH⊆bH. 同理bH⊆aH. 所以 aH=bH. 综上，命题得证。
16
9 元素的周期(阶,Order)？
2.2 元 素 的 阶
——有限阶、无限阶。
示例5
(1) 群的单位元e的阶为1, (2) <I,+>中除以0外,其余元素的阶为无限阶
9 性质
设a是群〈G；*〉中的一个周期为r的元素，k是一 个整数，则有 (1) ak=e当且仅当k为r的倍数。 (2) a与a-1的周期相同。 (3) r小于或等于群〈G；*〉中元素的个数。
25
2.4 陪 集 拉 格 朗 日 定 理
陪集性质3
设G是一个有限群，H是G的子群，则G可以分解 为两两不同的H的陪集的并，即存在一个正整数 n，使得： G=Ha1∪Ha2∪…∪Han 其中：Hai∩Haj=Φ(i≠j,i,j=1,2,…,n)
2 拉格朗日定理
H为有限群G的子群，则|H| | |G| 教材Th7.14
20
定理7.11（教材p151）
设<G，*>是一个群,T⊆G,T是个有限集,若a,b∈T, 有a*b∈T,则<T,*>是<G,*>的子群
2.3 子 群
分析：
显然，封闭性、结合律是成立的，需要证明逆 元存在性、单位元存在性： 设<G;*>的单位元为e. 对∀a∈T, i)若a=e， 即a=e∈T，此a的逆元为a∈T. ii)若a!=e,由题设有a,a2,...，an,an+1 ,...∈T， 而T有限，故必∃i,j∈Z+ ，j>i,有 ai=aj, 于是可以进一步得到：aj-i=e,即a* aj-i-1=e 显然，j-i>1（否则，若j-i=1,则aj-i=a=e，矛盾）。 则(1) aj-i ∈T，即e∈T;(2)aj-i-1 ∈T,即为a的逆元； 于是，综合i)、ii)可知，T中存在单位元，且对∀a∈T,其 逆元存在且在T中. 所以，<T,*>是<G,*>的子群
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2007年7月高等教育自学考试全国统一命题考试
离散数学试卷
课程代码2324
一、单项选择题(本大题共15小题．每小题1分．共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）A．
B．
C．
D．
2．下列命题公式为重言式的是（）
A．
B．
C．
D．
3．下列4个推理定律中，不正确的是（）
A．
B．
C．
D．
4．谓词公式中量词的辖域是（）A．
B．
C．
D．
5．设个体域A={a，b}，公式在A中消去量词后应为（）A．
B．
C．
D．
6．下列选项中错误的是（）
A．
B．
C．
D．
7．设A={a。
b，c，d}，A上的等价关系R：f<a，b>，<b，a>，<C，d>，<d．C>)，则
对应于R的A的划分是（）
A．
B．
C．
D．
8．设R为实数集，函数，则f是（）
A．满射函数
B．入射函数
C．双射函数
D．非入射非满射
9．设R为实数集，，*是数的乘法运算，是一个群，则下列集合关于数的乘法运算构成该群的子群的是（）
A．
B．
C．
D．
10．下列运算中关于整数集不能构成半群的是（）
A．
B．
C．
D．
11．设z是整数集，+，别是普通加法和乘法，则(z，+，)是（）
A．域
B．整环和域
C．整环
D．含零因子环
12．设A=fa，b，C)，R是A上的二元关系，，那
么R是（）
A．反自反的
B．反对称的
C．可传递的
D．不可传递的
13．设D=<V，E>为有向图，V={a，b，c，d，e，f}，E={<a，b>，<b，c>，<a，d>，<d，e>．<f，e>}是（）
A．强连通图
B．单向连通图
C．弱连通图
D．不连通图
14．在有n个结点的连通图中，其边数（）
A．最多有n—l条
B．至少有n—l条
C．最多有n条
D．至少有n条
15．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）
A．有些边不是割边
B．每条边都是割边
C．无割边集
D．每条边都不是割边
二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
16．任意两个不同的小项的合取为______________式，全体小项的析取式必为______________式。
17．公式中的自由变元为______________，约束变元为______________。
18．设集合，则=______________，=______________。
19．设x=，
，则f=______________，=______________。
20．设A={a，b，c}，R是A上的二元关系，且给定R={<a，b>．<b，C>，<C，a>}，则R 的自反闭包r(R)= ______________，对称闭包r(R)= ______________。
21．设Q为有理数集，笛卡尔集是s上的二元运算，，
，则*运算的幺元是______________。
22．设*是集合S上的二元运算，若运算*满足______________且存在______________，则称<S，*>为独异点。
23．令A={a，b，c}，<A，*>是循环群，a是单位元，则b2=______________，c的阶是______________。
24．如下无向图剖点是______________，割边是______________。
25．无向图G具有生成树．当且仅当______________。
C的所有生成树中______________的生成树称为最小生成树。
三、计算题(本大题共5小题，第26、27小题各5分．第28、29小题各6分．第30小题8
分．共30分)
26．集合A={a，b．C，d，e)上的二元关系R为
R。
f<a，a>，<a，b>，<a．C>，<a，d>，<a，e>，<b，b>，<b，C>，<b，e>．
<C，C>，<C，d>，<C，e>，<d，d>．<d，e>，<e．e>)
(1)写出R的关系矩阵；
(2)判断R是不是偏序关系，为什么？
27．利用真值表判断公式是否为重言式。
29．求下列公式的主析取范式和主合取范式：
30．设A为54的因子构成的集合，。
画出偏序集<A，R>的哈斯图。
并求A中的最大元，最小元，极大元，极小元。
四、证明题（本大题共3小题。
第3l、32小题各6分。
第33小题8分。
共20分) 31．设R是A上的一个自反关系，证明：R是一个等价关系，当且仅当若<a，b>∈R，
<a，c>R，则<b，C>R。
32．设<G，*>是一个群，x G，定义：。
证明；也是一个群。
33．设图G是具有6个结点，12条边的无向简单图，证明图G是汉密尔顿图。
五、应用题(本大题共2小题，第34小题8分，第35小题7分，共15分)
34．构造下面推理的证明。
如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园去玩。
如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩。
今天是星期六，颐和园游人太多，所以我们去圆明园玩。
35．n个城市用k条公路的网络连结。
一条公路定义为两个城市问的一条不穿过任何中间
城市的道路。
任意两个城市之间至多修一条公路。
证明如果，则
人们总能通过连结的公路，在任何两个城市间旅行。