离散数学本科期末复习题

1. 计算：2400 mod 319、2340 mod 11。

2. 设整数a 和b 不全为0，且a 和b 互素。请证明：ab 和a+b 互素。

3. 设n!的标准素因数分解式是

k k p p p εεεΛ2121

请证明：

∑∞=⎥⎥⎥⎦

⎥

⎢⎢⎢⎣⎢=1s s i p n i ε，i=1,2,…,k 4. 300！末尾0的个数是？。

5. 解同余方程组：x≡3(mod 8)，x≡11(mod 20)，x≡1(mod 15)。

6. 求p →(p ∧(q →p))的主析取范式和主合取范式。（真值表法和等值演算法）

7. 求谓词公式∀x ∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃x ∀yR(x,y)的前束范式。

8. 证明下面的推理：

“每个科研工作者都是努力工作的。每个努力工作而又聪明的人都取得事业的成功。某个人是科研工作者并且聪明。所以，某人事业取得成功。”

9. 设R={(1,2),(1,4),(3,3),(4,1)}是集合A={1,2,3,4}上的关系。

（1） R 是自反的吗？是对称的吗？是传递的吗？

（2） R 的自反对称闭包存在吗？

（3） R 的自反传递闭包存在吗？

（4） R 的对称传递闭包存在吗？

（5） R 的自反对称传递闭包存在吗？

（6） R 的反自反闭包存在吗？

（7） R 的反对称闭包存在吗？

10. 设A={x|x ∈N ，且x|54}，R={(x,y)|x,y ∈A ，且x|y }。

（1） 列出集合A 和R 中的元素；

（2） 给出R 的矩阵表示；

（3） 证明(A,R)是偏序集，画出哈斯图；

（4） 指出(A,R)中的最大元、最小元、极大元、极小元。

11. 设X={(x,y) | x 和y 是不为零的实数}，E 是X 上的关系：

(x 1,y 1)E(x 2,y 2)当且仅当1

212y y x x =且x 1·x 2>0。

证明E 是X 上的等价关系，并给出[(x,y)]E 的几何解释。

12. 设R 是X 上自反、传递的关系，S=R∩R -1。

（1）证明S 是X 上的等价关系。

（2）在X/S 上定义关系T ：([x]S,[y]S)∈T 当且仅当(x,y)∈R 。证明T 是X/S 上的偏序关系。

13. 设f ：X →Y ，g ：Y →Z 。下列命题是否成立？

（1） f ︒g 是一对一的当且仅当f 和g 都是一对一的；

（2） f ︒g 是到上的当且仅当f 和g 都是到上的；

（3） f ︒g 是一一对应当且仅当f 和g 都是一一对应。

14. 证明：[0, 1]与(0, 1)等势。

15. 下列图形可以几笔画？

16. 证明Q n 是偶图，也是哈密顿图。

17. 证明：若无向简单图G 有7个顶点、17条边，则G 必为哈密顿图。

18. 设G 是平面图，有n 个顶点、e 条边、r 个面、k 个连通分量。证明n-e+r=k+1。

19. 证明边数大于n-1的n 阶连通图必有长度大于0的基本回路。

20. 若一棵树有n i 个度为i 的顶点，2≤i≤k ，没有度大于k 的顶点，则它有几个度为1的顶点？

21. 证明连通图的割边一定是每棵生成树的边。

22. k n 与其生成树中各有多少条不同的基本通路（含长度为0的基本通路）？

23. 在边长为2的正三角形中任意取5个点，证明其中必有2个点，其距离不大于1。

24. 一个碗里有4个红球和10个篮球。一个女士不看着球而随机地选取。

（1）她必须选多少个球才能保证至少有3个球是同色的？

（2）她必须选多少个球才能保证至少有3个球是蓝色的？

（3）她必须选多少个球才能保证至少有6个球是同色的？

25. 食堂有6种不同的早点，买n 个有多少种不同的选法？

26. 求方程x 1+x 2+x 3=16满足下列条件的非负整数解的个数。

（1） x i ≥1，i=1,2,3；

（2） 9≥x i ≥1，i=1,2；

（3）x i均为偶数，i=1,2,3。

27.在r位的8进制串中，至少包含一个0、一个1和一个7的串有多少个？

28.由数字1、2和3组成的n位数中，相邻数字均不相同的数共有多少个？

29.

（1）用特征根的方法求解递推关系：s0＝2，s1＝1，s n＝2s n-1－3s n-2，n≥2；（2）用生成函数的方法求解递推关系：s0＝2，s1＝5，s n＝4s n-1－4s n-2+n2，n≥2。

30.用生成函数的方法证明组合恒等式：

n

2

k0

C(n,k)C(2n,n)

=

=

∑。

考试范围：第1—10章，但不包括以下章节：1.5、3.3.3、5.5.4、6.3、7.4、8.4.3、8.5.2、9.7、10.3.2。