《等腰三角形的判定》证明教材课件ppt
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1等腰三角形的判定PPT课件
1、根据等腰三角形的定义
2、由等腰三角形的性质，猜想： 有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
Part 2 论证猜P想art 1
新课探索
如图，在△ABC中， ∠B=∠C， 请说明△ABC是等腰三角形。
只有这一种方法吗？
Part 2 论证猜P想art 1
如图，在△ABC中，∠B=∠C， 请说明△ABC是等腰三角形。
新课探索
O
新课探索
例题1：如图，在△ABC中，
已知BD、CE分别是AC、AB上的高，
且∠DBC=∠ECB，
说明△ABC是等腰三角形的理由。
O
新课探索
Part 3 课BC中，BD平分∠ABC， 过点D作BC的平行线DE，交AB于E， 试说明DE=BE的理由。
E
新课探索
D
Part 2 论证猜P想art 1
如图，在△ABC中，∠B=∠C， 请说明△ABC是等腰三角形。
解： 取BC的中点D，联结AD ∵点D是BD的中点（已作） ∴BD=DC（线段中点的意义） 思考： 还能继续证明下去吗？
新课探索
D
Part 2 论证猜P想art 1
新课探索
等腰三角形的判定方法：
14.6(1)等腰三角形的判定
Part 1 课前练P习art 1
课前回顾
A
B
D
如图，在△ABC中AB=AD=DC，
∠BAD=26º， 则∠B=_7_7 度，∠C=_3_8_.5度。
C
思考：在计算过程中，主要运用了什么性质？
等边对等角
Part 1 猜想 Part 1
新课探索
想判定一个三角形是等腰三角形，你有些什么方法？
∴OB=OC（等角对等边） ∵CE⊥AB（已知） ∴∠CEB=90°（垂直意义） 同理 ∠BDC=90° ∴∠CEB=∠BDC（等量代换） 在△OEB和△ODC中
13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)
两角相等 的三角形
互为逆命题
等腰三角形的判定 方法
基本模型
A
B
C
等腰三角形的判定定理是证明 线段相等的一种重要 的方法
等腰三角形性质与判定 的区分
等
腰
变式模型
三 角 形 的 判
A
3
D
21
定
B
C
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：A⊿BA=BACC等腰三角形
证明：经过点A作AD⊥BC，垂足为D. A
∴ ∠1= ∠2=90°
练习 在ΔABC中,OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC.
A （2）线段BM、CN与MN 的长度有什么关系？
M 3 1
O
6
N
∴MN=BM+CN
5
2
4
B
C
（3） ΔAMN的周长=AB+AC吗？为什么？
∵ ΔAMN的周长= AM+MN+AN
=AM+
+AN
=AB +AC
两边相等 的三角形
∵ AD∥BC
E
）
A1 2
D
∴ ∠1=∠B ( 两直线平行， 同位角相等 )
∠2=∠C ( 两直线平行，内错角相等) B
C
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
即 AD平分∠CAE ( 角平分线的定义 )
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD. 分析：
(1)从求证看： 要证 OC=OD
需证 ∠D=∠C
(2)从已知看：
由OA=OB 得到 ∠B=∠A 由AB∥DC得到∠D= ∠B ∠C= ∠A
所以：∠D=∠C
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD.
等腰三角形的判定（课件ppt）
∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形． B
C
新知讲解
练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的 延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形.
证明： ∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB， ∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.
已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°． 求证：△ABC是等边三角形．
证明： ∵∠C=∠B =60°，
A
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
B
C
新知讲解
等边三角形的判定1
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
A 几何语言：在△ABC中，
相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠DBC= 1 ABC，∠ECB= 1 ACB
A
2
2
又∵ △ABC是等腰三角形，
E
D
∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB，
O
B
C
∴ △OBC是等腰三角形.
新知讲解
思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？
等的三角形是等腰三角形吗？
现了什么！
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么AB 与AC 相等.
新知讲解
等腰三角形的判定二(共6张PPT)
思∵∠考A：=1例001°与（例已2知都）是，要∠证AB明D等=4腰0三°（角已形知，）那它们有什么共同点和∴区∠别A？DB=180°-∠A-∠ABD=40°
复∵∴∴如处∠∠∠习图，ADC回 ， 测+=B∠∠C顾轮得AD=：船灯B∠BDCA我由塔+B（∠们ACC等处A在-上∠D量以北A节B代B每偏=课D1换小东8=学02）时8过°00（°2°等（0的三海腰等方角里三式向形的角性（的速形质即内度的）∠角向N判和B正定C为北方=18方8法00°向，°））航那，行这求，个轮此判船时定在，∴∴方B∠测处A法A得时B是D灯与=什BA塔灯么=DC塔呢∠在（C？A北的B等偏距D东离角（4。0等对°的量等方代向边（换）即）∠NAC=40°），半小时后，轮船航行到B
如图，轮船由A处以每小时20海里的速度向正北方向航行，此时， 测得灯塔C在北偏东40°的方向（即∠NAC=40°），半小时后， 轮船航行到B处，测得灯塔C在北偏东80°的方向（即 ∠NBC=80°），求轮船在B处时与灯塔C的距离。
要证明一个三角形为等腰三角形，可以利用等角对 等边的判定方法，其关键就在于如何找出这一三角 形中两个相等的角。
复思习考回 ：顾例：1与我例们2上都节是课要学证过明等等腰腰三三角角形形的，判那定它方们法有，什那么这共个同判点定和∴方区△法别是？A什B么D呢为？等腰三角形
例共复例2同习2是 是点 回通通：顾过过例：把把1我每与每们个个例上角角2节都的的课是度 度学通数数过过求求等等出出腰角来来三对从从角等而而形边得得的的到到判判了了定定相相方方等等法法的的，来角角那证，，这明再再个某通通判一过过定个等等∵方三角角∠法角对对A是形等等B什是C边边么等=的的呢腰6判判0？三定定°角定定（形理理。已证证明明知了了）等等，腰 腰三三∠角角AB形形D。。=40°（已知） 例∵∠2A是+通∠A过B把D+每∠个AD角B的=1度80数°（求三出角来形从的而内得角到和了为相1等80的°）角，再通过等∴角∠对D等B边C的=判∠定AB定C理-证∠明A了B等D腰=三20角°形。（等式性质）
等腰三角形ppt课件
02
等腰三角形的判定
定义与判定方法
定义：有两边长度相等的三角形称为等 腰三角形。
3. 角平分线法：若一个三角形一个角的 平分线等于其对应边的高线，则该三角 形为等腰三角形。
2. 中线法：若一个三角形中线等于其一 半长度，则该三角形为等腰三角形。
判定方法
1. 定义法：根据等腰三角形的定义，只 需判断一个三角形有两边长度相等即可 。
等腰三角形性质定理的推广与拓展主要涉及以下几个方面：一是推广到更复杂的几何图形中，如平行四边形、菱 形等；二是拓展到三角函数中，用于研究三角函数的对称性和周期性等问题；三是拓展到物理学中，用于研究力 矩平衡等问题。
04
等腰三角形的实际应用
建筑中的等腰三角形
总结词
建筑美学与等腰三角形的完美结合
详细描述
性质定理的应用举例
总结词
等腰三角形性质定理的应用场景及实例
详细描述
等腰三角形性质定理的应用场景广泛，例如在几何、三角函数、建筑等领域都有 应用。以几何为例，通过等腰三角形的性质定理可以证明一些重要的几何定理， 如勾股定理、余弦定理等。
性质定理的推广与拓展
总结词
等腰三角形性质定理的推广及拓展方向
详细描述
等腰三角形在实际VS
详细描述
等腰三角形在实际问题中有着广泛的应用 ，它是解决问题的重要工具。例如，在物 理学中，等腰三角形可以用来解决力臂平 衡的问题；在生物学中，可以用来解释 DNA分子的结构；在经济学中，可以用 来分析股票市场的波动等。
05
等腰三角形的相关练习题及 解析
边角关系在判定中的应用
等边对等角
在等腰三角形中，相等的两边所对的角也相等。
三角形内角和定理
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
复习回顾
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的判定(课堂PPT)
a
b
M A
作法：（1）作线段BC，使BC=a； B （2）作BC的垂直平分线MN，交BC于D；
D N
C
（3）在MN上截取DA=h,得A点；
（4）连结AB、AC，则△ABC即为所求等
腰三角形。
9
A
问题：1.如右图所示△ABC是等腰三角形,AB=AC,倘
若一不留心.它的一部分被墨水涂没了,只留下一条
底边BC和一个底角∠C.同学们想一想,有没有办法
三角形吗?(提供两种以上不同的作图方案)
A
A
A
E
B
CB
D CB
D
E
C
15
A
A
A
B
CB
C
B
C
16
3、如图，把一张矩形的纸沿对角线
折叠，重合的部分是一个等腰三角
形吗？为什么？ 解：理重由合：部由分A是B等DC腰是三矩角形形知。A
E G 3C
AC∥BD
B 12
D
∴∠ 3= ∠ 2
由沿对角线折叠知
∠1=∠2 ∴ ∠ 1= ∠ 3
A ∴BC=40 答：B处到达灯塔C40海里 19
五、综合运用
1、如图△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、 E分别是BC边上两点，且 ∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角 形有（ ）个。
共有6个。即△ABC、△ ABD、 A
△ ADE、 △ ADC、△ AEC、
△ ABE。
B
DE
C
已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角，
AD平分∠CAE ， AD∥BC。 求证：AB=AC
E
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行,同位角相等）
《等腰三角形的判定》轴对称PPT课件 (共13张PPT)
2如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合 部分是一个等腰三角形吗？为什么？
3.如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD. 证明： ∵AB∥DC D C ∴∠A=∠C ∠B=∠D 又∵OA=OB O ∴∠A=∠B（等边对等角） ∴∠C=∠D A B ∴ OC=OD（等角对等边）
E
M
C F D
N
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
B
等腰三角形的判定：
如果一个三角形中有两个角 相等,那么这两个角所对的边也相 等.(等角对等边)
等腰三角形的性质与判定有区别吗? 性质是:等边 等角
判定是:等角
等边
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行 于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角 形. 已知：∠CAE是ΔABC的外 E 角，∠1=∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC. A 1 D 证明：∵AD∥BC 2 ∴ ∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠B=∠C ∴ AB=AC（ 等边对等角 ） B C
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
《等腰三角形的判定》PPT课件-2024鲜版
形。
在△ABC中，D是BC的 中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E、 F，且DE = DF。求证： △ABC是等腰三角形。
因为D是BC的中点，所 以BD = CD（中点的定 义）。又因为DE⊥AB， DF⊥AC，且DE = DF，
所以△BED ≌ △CFD （HL）。因此，∠B = ∠C（全等三角形的对应 角相等）。所以，AB = AC（等角对等边），即 △ABC是等腰三角形。
20
利用中线判定等腰三角形
判定定理：如果一个三角形的一条中线同 时也是该三角形的高和角平分线，那么这 个三角形是等腰三角形。
3. 如果满足上述条件，则三角形为等腰三 角形。
2. 验证该中线是否同时是高和角平分线。
2024/3/27
判定步骤 1. 确定三角形中的一条中线。
21
实例分析
2024/3/27
13
实例分析
• 例题1：在三角形$ABC$中，已知$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = \angle C$，求$\angle B$和 $\angle C$的度数。
• 解析：由于$\angle A = 50^\circ$，且$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$，可以求出$\angle B + \angle C = 130^\circ$。又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle B = \angle C = 65^\circ$。
注意事项
在判定一个三角形是否为等腰三角形时， 必须严格按照定义进行验证，确保两腰确 实相等。同时，要充分利用等腰三角形的 性质来解决问题。
2024/3/27
在△ABC中，D是BC的 中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E、 F，且DE = DF。求证： △ABC是等腰三角形。
因为D是BC的中点，所 以BD = CD（中点的定 义）。又因为DE⊥AB， DF⊥AC，且DE = DF，
所以△BED ≌ △CFD （HL）。因此，∠B = ∠C（全等三角形的对应 角相等）。所以，AB = AC（等角对等边），即 △ABC是等腰三角形。
20
利用中线判定等腰三角形
判定定理：如果一个三角形的一条中线同 时也是该三角形的高和角平分线，那么这 个三角形是等腰三角形。
3. 如果满足上述条件，则三角形为等腰三 角形。
2. 验证该中线是否同时是高和角平分线。
2024/3/27
判定步骤 1. 确定三角形中的一条中线。
21
实例分析
2024/3/27
13
实例分析
• 例题1：在三角形$ABC$中，已知$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = \angle C$，求$\angle B$和 $\angle C$的度数。
• 解析：由于$\angle A = 50^\circ$，且$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$，可以求出$\angle B + \angle C = 130^\circ$。又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle B = \angle C = 65^\circ$。
注意事项
在判定一个三角形是否为等腰三角形时， 必须严格按照定义进行验证，确保两腰确 实相等。同时，要充分利用等腰三角形的 性质来解决问题。
2024/3/27
等腰三角形的判定PPT课件
4:1
13. (易错题)用粗细均匀的电热丝烧水，通电10 min可烧
开一壶水，若将电热丝对折起来接在原来的电路中,
知1－讲
1.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对 等边”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC.
2. 等腰三角形的性质与判定的异同： 相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”. 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰 三角形的性质； 由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.
知2－练
1
(中考·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线
于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给
出下列结论：①DE＝DF；②DB＝DC；
③AD⊥BC；④AC＝3BF，
其中正确的结论共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知2－练
2
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB
三角形是等腰三角形”来证明． (3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形
时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等”来证明．
1.必做: 完成教材P138 T2 2.补充: 请完成《点拨》剩余部分习题
第十五章 电能与电功率
15.4 探究焦耳定律
第1课时 认识焦耳定律
(1)图乙是等质量的水和煤油温度随加热时间变化的图象， 为了使图甲中温度计示数变化更明显，则烧瓶内的液体
电流大小
9．在如图所示的电路中，电阻丝R1＝R3＝10 Ω，R2＝R4 ＝5 Ω，电源电压相等且不变。闭合开关S1、S2后， 电路都正常工作，则在相同时间内产生热量最少的 电阻丝是_____。若电阻丝R1、R2都由同种材料制成 且长度相同R，2 则电阻 丝_____比较细。
13. (易错题)用粗细均匀的电热丝烧水，通电10 min可烧
开一壶水，若将电热丝对折起来接在原来的电路中,
知1－讲
1.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对 等边”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC.
2. 等腰三角形的性质与判定的异同： 相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”. 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰 三角形的性质； 由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.
知2－练
1
(中考·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线
于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给
出下列结论：①DE＝DF；②DB＝DC；
③AD⊥BC；④AC＝3BF，
其中正确的结论共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知2－练
2
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB
三角形是等腰三角形”来证明． (3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形
时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等”来证明．
1.必做: 完成教材P138 T2 2.补充: 请完成《点拨》剩余部分习题
第十五章 电能与电功率
15.4 探究焦耳定律
第1课时 认识焦耳定律
(1)图乙是等质量的水和煤油温度随加热时间变化的图象， 为了使图甲中温度计示数变化更明显，则烧瓶内的液体
电流大小
9．在如图所示的电路中，电阻丝R1＝R3＝10 Ω，R2＝R4 ＝5 Ω，电源电压相等且不变。闭合开关S1、S2后， 电路都正常工作，则在相同时间内产生热量最少的 电阻丝是_____。若电阻丝R1、R2都由同种材料制成 且长度相同R，2 则电阻 丝_____比较细。
等腰三角形的判定 课件
三角形是等腰三角形”来判定． (2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角
形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 来证明． (3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形 时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证 明．
∴△BAD ≌△CAD (AAS).
∴ AB=AC.
归纳
由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判 定方法：
如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角 所对的边也相等（简写成 “等角对等边”).
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角 形的一边，那么这个 三角形是等腰三角形. 已知： ∠CAE是△ABC 的外角， ∠1=∠2，AD//BC (图 13.3-5). 求证： AB=AC. 分析：要证明AB=AC,可先证 明∠B=∠C.因为∠1 = ∠2,所以可以设法找出∠B，∠C与∠1， ∠2的关系.
等腰三角形——等腰三角形的定
思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，
那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角 形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
如图13.3-4，在△ABC中，∠B=∠C.
作△ABCபைடு நூலகம்角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C
，
AD=AD,
证明： ∵ AD//BC ，
∴∠1＝∠B ( 两直线平行同位角相等 ),
∠2＝∠C( 两直线平行内错角相等 ),
而已知∠1＝∠2，所以
∠B＝∠C.
∴AB=AC( 等角对等边
).
例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长 为h, 求作这个等腰 三角形.
作法： (1)作线段AB=a. (2) 作线段AB的垂直平分线 MN，与AB相交于点D. (3) 在MN上取一点C，使 DC=h. (4) 连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 来证明． (3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形 时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证 明．
∴△BAD ≌△CAD (AAS).
∴ AB=AC.
归纳
由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判 定方法：
如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角 所对的边也相等（简写成 “等角对等边”).
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角 形的一边，那么这个 三角形是等腰三角形. 已知： ∠CAE是△ABC 的外角， ∠1=∠2，AD//BC (图 13.3-5). 求证： AB=AC. 分析：要证明AB=AC,可先证 明∠B=∠C.因为∠1 = ∠2,所以可以设法找出∠B，∠C与∠1， ∠2的关系.
等腰三角形——等腰三角形的定
思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，
那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角 形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
如图13.3-4，在△ABC中，∠B=∠C.
作△ABCபைடு நூலகம்角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C
，
AD=AD,
证明： ∵ AD//BC ，
∴∠1＝∠B ( 两直线平行同位角相等 ),
∠2＝∠C( 两直线平行内错角相等 ),
而已知∠1＝∠2，所以
∠B＝∠C.
∴AB=AC( 等角对等边
).
例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长 为h, 求作这个等腰 三角形.
作法： (1)作线段AB=a. (2) 作线段AB的垂直平分线 MN，与AB相交于点D. (3) 在MN上取一点C，使 DC=h. (4) 连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
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△ABD≌△ACD即可.由公理(SAS)易证. 证明: 在△ABD与△ACD中 ∵ AB=AC （已知）,
∠1=∠2 （已知） AD=AD（公共边）, ∴ △ABD≌△ACD（SAS）.
B
C
D
∴ BD=CD,∠ADB=∠ADC=900 （全等三角形的对应边,对应角相等）. ∴ AD⊥BC（垂直意义）.
∵∠A=∠A′ （已知）,
A′ ●
● ● C′
∠C=∠C′ （已知）,
AB=A′B′ （已知）,
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
驶向胜利 的彼岸
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议P2 1
你还记得我们探索过等的腰等腰三三角角形形 的性质A
的性质吗?
定等腰理三: 角形的两个底角相等(等边对等B角1 ). 2 C
A′ ●
C′
BC=B′C′ （已知）,
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
驶向胜利
的彼岸
回顾与思考 4
几何的三种语言 B
●●
公理:
两角及其夹边对应相等的 ●
两个三角形全等（ASA）. A
C B′
●●
′
在△ABC与△A′B′C′中 ∵∠A=∠A′ （已知）,
A′ ●
AB=A′B′ （已知）,
∠B=∠B′ （已知）,∴
九年级数学（上册）第一章 证明(二)
你能证明它们吗
等腰三角形的性质
学好几何标志是会
回顾与思考 1
“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）, AB=A′B′（已知）,
驶向胜利 的彼岸
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
回顾与思考 6
几何的三种语言 B
推论:
两角及其一角的对 边对应相等的两个三
角形全等（AAS）.
●
A
●●
C B′
′
在△ABC与△A′B′C′中
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理 驶向胜利
清晰地写出证明过程;
的彼岸
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程中的具 体做法.
回顾与思考 2
几何的三种语言 B
公理:
三边对应相等的两个三 角形全等（SSS）.
A
C B′
′
在△ABC与△A′B′C′中
∵AB=A′B′（已知）,
BC=B′C′ （已知）,
A′
AC=A′C′ （已知）,
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 3
几何的三种语言 B
公理:
两边及其夹角对应相等的 ●
两个三角形全等（SAS）. A
C B′
′
在△ABC与△A′B′C′中
∵AB=A′B′（已知）, ∠A=∠A′ （已知）,
●●
● C′
（全等三角形的对应边相等）;
∠A=∠A′ ,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 5
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的两个
三角形全等（AAS）.
B
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
议一议P2 3
几何的三种语言
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,
底边上的中线,底边上的高
12
互相重合(三线合一).
如 ∵ ∴ 如 ∵ ∴ 如 ∵ ∴AAAB∠ B图 图 图DDBBB==1===,,,CC=AAA在 在 在∠CCCDD,,,,,△ △ △A2D∠,∠ BAAAA⊥ADDBBBD1=⊥1CCCB⊥==C中中中C∠B∠DB（C,,,22C(((三已（已已（线三知知三知合线))线)..一合.合）一一）.）..∠ BB合 不 运DC轮B1=同可 一 用=C换D形的 .得∠,条D式三 三A2D,件的⊥线 种C
求证:△ABC≌△A′B′C′.
分析: 要证明△ABC≌△A′B′C′
,只要能满足
A
●
公理（SSS）、（SAS）、（ASA）中的
●●
C B′
′
一个即可.根据三角形内角和定理易知,
第三个角必对应相等.
证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）
A′ ●
● ● C′
∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）.
∵AB=AC(已知),
B
C
∴∠B=∠C(等角对等边).
证明后的结论,以后可以直接运用.
想一想P4 1
命题的证明
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上
的已高知:互相重合(三线合一).
A
如图,在△ABC中, AB=AC, ∠1=∠2.
求证:BD=CD,AD⊥BC.
分析:
12
要证明BD=CD,AD⊥BC,只要能证明
证明后的结论,以后可以直接运用.
隋堂练习P4 1
成功者的摇篮
1.证明:等边三角形的三个角都相等并且每个角都 等于600. 2. 如图,在△ABD中, C是BD上的一点,且 AC⊥BD,AC=BC=CD. (1).求证:△ABD是等腰三角形; (2). 求∠BAD的度数.
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
C′
驶向胜利 的彼岸
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回顾与思考 4
几何的三种语言 B
公理:
●●
全等三角形的对应边、对
应角相等.
●
A
●●
●C
B′
′ 在△ABC与△A′B′C′中
●●
∵ △ABC≌△A′B′C′（已知） ∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′ A′ ●
在Rt△ABD与Rt△ACD中 ∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）, ∴ △ABD≌△ACD（HL）.
B
C
D
你还有其 它证法吗? 胜利属于 敢想敢干 的人.
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
议一议P2 3
几何的三种语言
定理:
等腰三角形的两个底角相等
(等边对等角).
A
如图,在△ABC中,
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,
底边上的高互相重合(三线合一).
你能利用已有的公理和定理证明 这些结论吗?
B DC
议一议P2 2
命题的证明
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
已知:
A
如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
分析:
要证明∠B=∠C,只要能使∠B、∠C为 两个全等三角形的一对对应角即可.因 此，需要作辅助线“过点A作高线AD”. 证明: 过点A作AD⊥BC,交BC于点D.
∠1=∠2 （已知） AD=AD（公共边）, ∴ △ABD≌△ACD（SAS）.
B
C
D
∴ BD=CD,∠ADB=∠ADC=900 （全等三角形的对应边,对应角相等）. ∴ AD⊥BC（垂直意义）.
∵∠A=∠A′ （已知）,
A′ ●
● ● C′
∠C=∠C′ （已知）,
AB=A′B′ （已知）,
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
驶向胜利 的彼岸
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议P2 1
你还记得我们探索过等的腰等腰三三角角形形 的性质A
的性质吗?
定等腰理三: 角形的两个底角相等(等边对等B角1 ). 2 C
A′ ●
C′
BC=B′C′ （已知）,
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
驶向胜利
的彼岸
回顾与思考 4
几何的三种语言 B
●●
公理:
两角及其夹边对应相等的 ●
两个三角形全等（ASA）. A
C B′
●●
′
在△ABC与△A′B′C′中 ∵∠A=∠A′ （已知）,
A′ ●
AB=A′B′ （已知）,
∠B=∠B′ （已知）,∴
九年级数学（上册）第一章 证明(二)
你能证明它们吗
等腰三角形的性质
学好几何标志是会
回顾与思考 1
“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）, AB=A′B′（已知）,
驶向胜利 的彼岸
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
回顾与思考 6
几何的三种语言 B
推论:
两角及其一角的对 边对应相等的两个三
角形全等（AAS）.
●
A
●●
C B′
′
在△ABC与△A′B′C′中
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理 驶向胜利
清晰地写出证明过程;
的彼岸
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程中的具 体做法.
回顾与思考 2
几何的三种语言 B
公理:
三边对应相等的两个三 角形全等（SSS）.
A
C B′
′
在△ABC与△A′B′C′中
∵AB=A′B′（已知）,
BC=B′C′ （已知）,
A′
AC=A′C′ （已知）,
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 3
几何的三种语言 B
公理:
两边及其夹角对应相等的 ●
两个三角形全等（SAS）. A
C B′
′
在△ABC与△A′B′C′中
∵AB=A′B′（已知）, ∠A=∠A′ （已知）,
●●
● C′
（全等三角形的对应边相等）;
∠A=∠A′ ,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 5
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的两个
三角形全等（AAS）.
B
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
议一议P2 3
几何的三种语言
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,
底边上的中线,底边上的高
12
互相重合(三线合一).
如 ∵ ∴ 如 ∵ ∴ 如 ∵ ∴AAAB∠ B图 图 图DDBBB==1===,,,CC=AAA在 在 在∠CCCDD,,,,,△ △ △A2D∠,∠ BAAAA⊥ADDBBBD1=⊥1CCCB⊥==C中中中C∠B∠DB（C,,,22C(((三已（已已（线三知知三知合线))线)..一合.合）一一）.）..∠ BB合 不 运DC轮B1=同可 一 用=C换D形的 .得∠,条D式三 三A2D,件的⊥线 种C
求证:△ABC≌△A′B′C′.
分析: 要证明△ABC≌△A′B′C′
,只要能满足
A
●
公理（SSS）、（SAS）、（ASA）中的
●●
C B′
′
一个即可.根据三角形内角和定理易知,
第三个角必对应相等.
证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）
A′ ●
● ● C′
∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）.
∵AB=AC(已知),
B
C
∴∠B=∠C(等角对等边).
证明后的结论,以后可以直接运用.
想一想P4 1
命题的证明
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上
的已高知:互相重合(三线合一).
A
如图,在△ABC中, AB=AC, ∠1=∠2.
求证:BD=CD,AD⊥BC.
分析:
12
要证明BD=CD,AD⊥BC,只要能证明
证明后的结论,以后可以直接运用.
隋堂练习P4 1
成功者的摇篮
1.证明:等边三角形的三个角都相等并且每个角都 等于600. 2. 如图,在△ABD中, C是BD上的一点,且 AC⊥BD,AC=BC=CD. (1).求证:△ABD是等腰三角形; (2). 求∠BAD的度数.
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
C′
驶向胜利 的彼岸
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回顾与思考 4
几何的三种语言 B
公理:
●●
全等三角形的对应边、对
应角相等.
●
A
●●
●C
B′
′ 在△ABC与△A′B′C′中
●●
∵ △ABC≌△A′B′C′（已知） ∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′ A′ ●
在Rt△ABD与Rt△ACD中 ∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）, ∴ △ABD≌△ACD（HL）.
B
C
D
你还有其 它证法吗? 胜利属于 敢想敢干 的人.
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
议一议P2 3
几何的三种语言
定理:
等腰三角形的两个底角相等
(等边对等角).
A
如图,在△ABC中,
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,
底边上的高互相重合(三线合一).
你能利用已有的公理和定理证明 这些结论吗?
B DC
议一议P2 2
命题的证明
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
已知:
A
如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
分析:
要证明∠B=∠C,只要能使∠B、∠C为 两个全等三角形的一对对应角即可.因 此，需要作辅助线“过点A作高线AD”. 证明: 过点A作AD⊥BC,交BC于点D.