相角裕度幅值裕度知识讲解
幅值裕度和相角裕度计算
幅值裕度和相角裕度计算幅值裕度和相角裕度计算，这可真是个有趣又烧脑的事儿啊。
我在实验室里研究控制系统的时候，就老得琢磨这俩玩意儿。
周围那些仪器啊，闪着小灯，嗡嗡响着，就像一群小虫子在叫。
我的搭档，是个眼睛小小的家伙，戴着个黑框眼镜，那镜片厚得像酒瓶底儿。
他拿着计算草稿，眉头皱得像麻花，嘟囔着：“这幅值裕度和相角裕度可真不好算呐。
”咱先说这幅值裕度计算。
这就像在走迷宫，得找到那个关键的出口。
你得先把开环传递函数搞清楚，那函数就像一团乱麻，得一点点梳理。
这函数里的参数啊，有的像调皮的小鬼，稍不注意就把你带偏了。
我们在计算的时候，拿着计算器按个不停，那计算器的按键声，哒哒哒的，就像小马蹄在跑。
有次我算着算着，算错了一个数，结果那数值差得离谱，我气得直拍脑袋，像个傻瓜一样。
相角裕度计算也不简单。
它和幅值裕度就像一对难兄难弟。
得先找到截止频率，这就像在大海里找一颗珍珠一样。
要画出伯德图，那伯德图的线啊，弯弯绕绕的，就像山路一样。
我拿着尺子在纸上比划着，想把线画准，眼睛都看花了。
我问搭档：“你看这线对不？” 他凑过来，眼睛瞪得老大，看了半天说：“好像不太对，再量量。
”这幅值裕度和相角裕度计算啊，得细心又细心。
要是算错了，那控制系统可就出大问题了，就像火车跑错了轨道一样。
不过呢，当你好不容易算对了，那种感觉就像打了胜仗一样，心里美美的。
而且这俩概念在实际中用处可大了，就像给控制系统上了保险，让它稳稳当当的，不会出乱子。
咱搞这行的，就得把这些计算吃透，就像老虎咬住猎物不松口一样，这样才能把控制系统设计得更好，让那些机器啊、设备啊都乖乖听话。
第六章-5-相角裕度和幅值裕度以及闭环频率特性指标
1/h < 1,
h>1
LmG(jω) ωΦ 幅值裕度, Lm (+) ) h(
Lmh Lm G ( j x ) 0
1/h -1 ωx
-90°
Φ γ(+) ω ωΦ G(jω)
-135 135° -180° -225 225° -270°
ωx 相位裕度, γ(+)
ω→
G(jω)的极坐标图 G(jω)的对数幅频曲线和相频曲线 9
1 h 1.25 0.8
1
1 h
Im j
GH
1 Re
x
0
A
j
0
例6-20 的极坐标图
浙江大学控制科学与工程学系
15
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——Bode图法 Bode图法
（三）Bode图法 画出系统的Bode图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即 轴）的交 点频率 ，求出对应的相频特性与－ 求出对应的相频特性与 1800线的相移量，即为相角裕度 线的相移量 为相角裕度
G(jω)
ω
-225° -270°
G(jω)的极坐标图
G(jω)的对数幅频曲线和相频曲线 6 浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于闭环稳定系统，如果系统的开环相频特性再滞后 相角裕度γ 度，则系统将处于临界稳定状态. 滞后该角度将使得极坐标图穿越–1 1点 对于最小相位系统来说，相角裕度为正，系统稳定，负的相角裕 度表示系统是不稳定的. 相角裕度与系统阻尼比 有关，一般来讲，相角裕度在 有关 一般来讲 相角裕度在45°到 到 60°之间的系统响应是能令人满意的。
一、幅值裕度
为了获得满意的过渡过程，通常要求系统有 45°－70°的相角裕度。这可以通 过减小开环增益K的办法来达到。
但是，减小K一般会使斜坡输入时稳态误差变大。因此有必要应用校正技术，使 系统兼顾稳态误差和过渡过程的要求。
L 对数幅值稳定裕度或对数增益稳定裕度。 g
二、相角裕度
定义 : 在幅相曲线上，相角180 加开环幅相曲线幅值等于1时的
相角, 称为控制系统的相角裕度。
即
＝1 8 0 ＋ (c）
式中c－截止频率或剪切频率。在c处，A(c）＝1。
物理意义 : 如果系统在频率c处的相角迟后再增大度，则系统
将处于临界稳定状态。
求ωc 和相角裕度γ的另一种方法
由已知的开环传递函数得
A()
K
1 2 1 ( )2
5
按定义由 A (ω)＝1就可以求出ωc来，但系统阶数高时，由A (ω)＝1求 ωc是很麻烦的。可以采用近似处理的办法求ωc 。
由图可知因1＜ωc＜5，故可取1 2 ，(认为 2 1)
c
c
c
1
( )2 1 [认为( )2。则 1]
§5-5 控制系统的相对稳定性
一、幅值裕度
定义 : 在幅相曲线上，相角等于－180 时对应幅值的倒数, 称为
控制系统的幅值裕度。
1
即
h
A( g )
式中 g－相角交接频率。在 g 处， ( g）
180。
物理意义 : 稳定系统在相角交界频率 g 处, 若幅值增大h倍，系统
将处于临界稳定状态。
令
L g 20 log h(dB)
由曲线2和3可知，K ＝2时，相角裕度和幅值裕度分别是
24 , L 20 log h 10(dB)
相位裕度和幅值裕度
相位裕度和幅值裕度
相位裕度和幅值裕度是指给出的测量目标值可以有一定的上下
浮动范围，而不用考虑准确到每一个值。
这种浮动的范围被称为相位裕度和幅值裕度。
相位裕度是指当测量的相位结果偏离给定的测量目标值时，可以接受的最大上下浮动范围，通常以弧度来表示，例如目标相位是-90°，而测量值为-90.01°，则可以接受的相位浮动范围为0.01°。
幅值裕度是指当测量的幅值结果偏离给定的测量目标值时，可以接受的最大上下浮动范围，通常以分贝来表示，例如目标幅值是
-20dBm，而测量值为-19.9dBm，则可以接受的幅值浮动范围为0.1dB。
相位裕度和幅值裕度的设定一般取决于测量设备的精度、测量任务的要求等，在实际测量中也应该根据实际情况具体调整相位裕度和幅值裕度的值。
- 1 -。
伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度
0.01
0.1
1.0
10
增益穿 越点
相位穿
图16.1 例子系统的伯德图
越点
增加K 将使幅值曲线向上平移动，从 而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点 保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。
▽ 计算临界不稳定时系统的幅值。
20 lg NK 20 lg K 20 lg N
20 lg NK KdB NdB
渐近线的延长线求出。
M db
20 log10 Kv
-
20d
b/d
log10
eca1
图.16.6 1 型系统的另一种伯德图
2型系统
GHs
Kb s2
GH
j
Ka
j 2
如果 ka=1。对数幅频特性在当ω =1时，其低频段或它的延长线会以– 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。
Ka 的值可以通过测量ω = 1 处的 增益值来获得。
PM 54
▽ 在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间
的差值(用分贝表示) 。 相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。
M db
0 d b
1800
log10
G M
P
log10
M
图.16.3 增益裕度和相位裕度
线性控制系统工程
第16章
伯德图分析，稳 定性，
及幅值和相角 裕度
第16章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度
伯德图中的增益裕度和相角裕度
g c
(g c)
(g c)
GM Kc
相位裕量和幅值裕量算法
5.5 稳定裕量（度）
5.5.1 幅值裕量相角裕量
相对稳定性——稳定裕量
L() dB
幅值裕量 相角裕量
0dB
( )
00
kg>0 rad / s
kg<0
( )
00
-1800
0
( )
g
00
g
rad / s
-1800
c
rad / s
rad / s
0
稳定
不稳定 4
稳定裕量概念:只适合于开环稳定的系统。
实际中避免振荡的方法：(1)减小开环放大倍数K值
L() dB
0dB
c
'c
( )
系统稳定
9
26dB K=20
0dB 1
40(lgc2 lg1) 26dB
-40
40lg c2 26dB, c2 4.47
ωc2
(c2 ) 900 tg 1(c2 ) tg 1(0.1c2 ) 191.50
77.40
24.10
1800 (c2 ) 11.50 0 系统不稳定
L(ω) — 幅频特性
用开环Bode图判系统稳定： 曲线Φ(ω) — 相频 特性曲线
1，若L(ω)穿越0dB线时，Φ(ωc) > -1800，则闭环系
统稳定，否则不稳定。
2，若Φ(ω)穿越-1800线时，L(ωg) < 0，则闭环系统
稳定，否则不稳定。
相角裕度和幅值裕度定义
相角裕度和幅值裕度定义
相角裕度和幅值裕度是电路稳定性和控制系统设计中常用的概念。
相角裕度是指系统的相位差与临界相位差之间的差距，幅值裕度是指系统的增益与临界增益之间的差距。
相角裕度和幅值裕度的目的是保证系统在不同工作条件下仍能保持稳定性和良好的性能。
在控制系统设计中，相角裕度和幅值裕度是非常重要的概念。
相角裕度是指系统相位差与临界相位差之间的差距，临界相位差是系统稳定的临界条件。
相角裕度越大，系统的稳定性就越好。
在频率响应曲线上，相角裕度可以通过相角裕度曲线来表示。
相角裕度曲线是系统传递函数的相角与频率的函数。
幅值裕度是指系统增益与临界增益之间的差距，临界增益是系统稳定的临界条件。
幅值裕度越大，系统的稳定性就越好。
在频率响应曲线上，幅值裕度可以通过幅值裕度曲线来表示。
幅值裕度曲线是系统传递函数的幅值与频率的函数。
在电路稳定性分析中，相角裕度和幅值裕度也是非常重要的概念。
相角裕度和幅值裕度可以通过极点和零点的位置来判断系统的稳定性。
如果系统的极点或零点在右半平面，那么系统就是不稳定的。
如果系统的极点或零点在虚轴上，那么系统就是边缘稳定的。
如果系统的极点或零点在左半平面，那么系统就是稳定的。
综上所述，相角裕度和幅值裕度是控制系统设计和电路稳定性分析中非常重要的概念。
通过相角裕度和幅值裕度的分析，可以确保系统在不同工作条件下仍能保持稳定性和良好的性能。
相位裕量和幅值裕量算法PPT课件
用开环Bode图判系统稳定： 线Φ(ω) — 相频特性 曲线
1，若L(ω)穿越0dB线时，Φ(ωc) > -1800，则闭环系
统稳定，否则不稳定。
2，若Φ(ω)穿越-1800线时，L(ωg) < 0，则闭环系统稳
定，否则不稳定。
.
3
L ( ) dB
0 dB
L ( ) dB
c
0 dB
k g< 0
k g >0 rad / s
( )
00
-180 0
0
( )
g
00
g
rad / s
-180 0
c
rad / s
rad / s
0
稳定
.
不稳定 4
稳定裕量概念:只适合于开环稳定的系统。
实际中避免振荡的方法：(1)减小开环放大倍数K值
L ( ) dB
0 dB
c
'c
( )
00
-180 0
6
例5.5
G0(s)s(s1)k(0.1s1)
K=5和 k=20
判系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量
(1)低频段:
ω＝1 k=5 L(1) = 20lg5 = 14dB -20dB/dec k=20 L(1) = 20lg20 = 26dB -20dB/dec
(2)转折频率： ω1＝1 －20dB/dec ω2＝10 －20 dB/dec
.
5
对数频率特性与系统的稳定性
(2)错开各环节的时间常数
+
k1
-
T1s 1
k1 T2s 1
k1 T3s 1
L( )
自动控制原理稳定边界知识点总结
自动控制原理稳定边界知识点总结自动控制原理是现代控制工程学中最重要的一门课程之一，它研究的是系统的稳定性和稳定性边界。
稳定性边界是指系统在稳定与不稳定之间的边界，也是系统在不同参数设置下的临界点。
了解和掌握稳定边界知识点对于理解和设计控制系统至关重要。
本文将对自动控制原理稳定边界的相关知识点进行总结。
一、稳定性概念与判据在自动控制系统中，稳定性是指系统在任何初始状态下，经过一段时间的调整后，能够达到平衡状态或者在有限范围内波动。
稳定性判据有两种常见的方法：时域法和频域法。
1. 时域法时域法是根据系统输出的响应来判断系统的稳定性。
根据系统的传递函数，可以通过判断系统的极点位置来得出稳定性的结论。
稳定的系统应该具有所有极点的实部为负的特性。
2. 频域法频域法是通过分析系统函数在复平面上的极点和零点的位置来判断系统的稳定性。
常用的频域法有奈奎斯特准则和Nyquist图。
二、稳定边界的相关概念稳定边界是指系统在参数变化的过程中，从稳定到不稳定的过程中的临界点。
与稳定性判据相比，稳定边界更能揭示系统的稳定性特性。
1. 临界稳定系统临界稳定系统是指系统的稳定边界上一种特殊的情况，此时系统刚好处于稳定与不稳定之间。
临界稳定系统的特点是系统的相角频率特性在临界点处有90°的相移。
2. 相角裕度和增益裕度相角裕度和增益裕度是用来衡量系统稳定边界的两个重要指标。
相角裕度是指系统阶跃响应曲线的相位与稳定边界的相位差，增益裕度是指系统在稳定边界上下降3dB时的增益余量。
三、改善系统稳定性的方法为了提高系统的稳定性和降低稳定边界，可以采取一些改善措施。
1. 增加系统的阻尼通过增加系统的阻尼，可以减小系统的振荡幅值，提高系统的稳定性。
常用的增加阻尼的方法有增加阻尼器和减小系统的增益等。
2. 设计合适的控制器合理的控制器设计是提高系统稳定性的关键。
可以采用比例控制器、积分控制器和微分控制器等来控制系统的响应特性，进而改善系统的稳定性。
第五章5 5 相角裕度和幅值裕度以及闭环频率特性自动控制原理 浙江大学考研资料
-90° -135° -180°
-225° -270°
ωΦ ωc
ω→
Phase margin angle, γ(–)
G(jω)的对数幅频曲线和10相频曲线
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——解析法
通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标 图法和伯德图法。下面通过实例进行说明。
则系统将处于临界稳定状态。可以用频率点ωx处的传递函数来表示，
即 G( jx ) h 1
在G(jω)极坐标图上，频率点 ωx对应的幅值
G(
jx )
1 h
在对数幅频曲线上, Lmh Lm G( jx )
8
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
如果稳定性不够？？－－校正。
2
主要内容
Phase Margin and Gain Margin
简介 Bode 图 (对数坐标图) 极坐标图 Nyquist稳定判据- 1 Nyquist稳定判据- 2 相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系 闭环频率特性 补偿 ………
LmG(jω)
ωΦ
-1 γ(–) Φ
G(jω) ω G(jω)的极坐标图
-90°
-135° -180° -225° -270°
ωΦ
ω→ Phase margin
angle, γ(–)
G(jω)的对数幅频曲线6 和相频曲线
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
（一） 解析法 根据系统的开环频率特性，由 G( j )H ( j ) 1 (0 )
自动控制原理 第五章(第六次)
• 指开环幅相特性曲线在截止频率 附c 近的区段。
22
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
(1)截止频率 的c 斜率为-20dB/dec 宽度2 c 3
系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-20dB/dec
则，开环传递函数为 G(s) K c
ss
相位裕度约为90°，幅值裕度为无穷大，超调量 为零，调节时间 3 。
n2
1
c2 4 2n2
29
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
A(c ) c
n2
1
c 2
4
2 2 n
n4 c2 (c2 4
2 2 n
)
1
n4
c4
1
4
2
n2 c2
1
c ( 4 2 1 2 2 )1/ 2 n
阻尼比一定，截止频率随自然频率的增大 而增大。
30
从开环频率特性研究闭环系统性能
A( jc )
(
K 1
1 c2 )3
c
K
1/
3
1
1.233, K 1.908, K
4 10
相角裕度:
180
K=4时:
() 180 3arctgc Kg>1, γ>0 闭环系统稳定
27.1 7.0
K=10时: Kg<1,γ <0 闭环系统不稳定
K 4 K 10
பைடு நூலகம்10
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
幅值裕度为
Kg
1
G jg H jg
1 4
0.34
0.98 1 0.982
该闭环系统不稳定。
幅值裕量和相位裕量
一般来说，)(ωj G 的轨迹越接近与包围-1+j001j +-点，系统响应的震荡性越大。
因此，)(ωj G 的轨迹对01j +-点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。
在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。
64ωLog ωLog ωLog ωLog ︒-90︒-270︒-180Positive Gain MarginPositive Phase Margin Negative Gain MarginNegative Phase Margin Stable SystemUnstable SystemdB ︒-90︒-270︒-1800dBRePositive Phase MarginNegative Gain MarginNegative Stable SystemUnstable System(ωj G图1 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度相位裕度、相角裕度(Phase Margin)γ设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c ω 1)()()(==c c c j H j G j A ωωω 定义相角裕度为)()(180c c j H j G ωωγ+︒=相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后γ度，则系统将变为临界稳定。
当0>γ 时，相位裕量相位裕度为正值；当0<γ时，相位裕度为负值。
为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。
在极坐标图上的临界点为0分贝和-180度。
︒-180增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h 设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency)πωωωϕ)12()()()(+==k j H j G x x x ， ,1,0±=k定义幅值裕度为)()(1x x j H j G h ωω=幅值裕度h 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h 倍，则系统将变为临界稳定状态。
幅值裕度和相角裕度
幅值裕度和相角裕度
幅值裕度和相角裕度是控制系统设计中非常重要的两个指标。
幅值裕度是指系统增益的变动范围，即输入信号变化时系统输出信号的最大变化范围与输入信号幅值的比值。
相角裕度是指系统相位的变动范围，即输入信号变化时系统输出信号相位的最大变化范围与输入信号相位的比值。
幅值裕度和相角裕度的大小直接影响系统的稳定性和性能。
幅值裕度越大，系统对于幅度变化的容忍度也就越大，系统的稳定性越好；相角裕度越大，系统对于相位变化的容忍度也就越大，系统的稳定性也越好。
因此，在系统设计中，需要根据具体的要求和控制目标，合理地选择幅值裕度和相角裕度的大小，以确保系统的稳定性和性能。
在实际的控制系统中，一般采用控制理论中的方法来计算幅值裕度和相角裕度，并根据计算结果进行系统设计和调节。
同时，也需要进行系统的实验和测试，以验证系统的稳定性和性能是否符合设计要求。
- 1 -。
相角裕度和幅值裕度
相角裕度和幅值裕度
通过实验，确定了电机励磁级的相角裕度和幅值裕度。
可利用这些参数进行电机参数优化，降低电动机运行中的失速概率，提高运行稳定性和可靠性；可以修正电机损耗，改善满负荷时的功率损失，从而提高电机运行时的效率；可以根据工况变化实时调节电机励磁级，改善电机负荷变化的影响。
此外，可通过更改电机励磁级，改变电机特性从而满足特定应用需求，如改善行程控制精度或者改变电机的旋转方向等。
通过相角裕度和幅值裕度的调整，可以大大降低电机的振荡，提高电机的功率密度、性能和可靠性，从而改善整个系统的性能。
此外，可以通过相角裕度和幅值裕度的调整，较为精确的检测出各类故障状态，如漏电流，过热电机和电机控制器故障等，从而更有效的排除问题，提高电机系统故障诊断精度。
通过调整相角裕度和幅值裕度参数，实时优化电机参数，可使被控电机在变化的工况下保持最佳的工作性能，从而为用户节约能源，缩短预热时间和延长运行时间。
简述幅值裕度的概念
简述幅值裕度的概念幅值裕度是一个工程学术语，它是指在幅值的基础上再留有一定余地的程度，即允许存在的最大偏差。
这个概念常用于数学、物理等学科以及电流、电磁、机械等领域。
幅值就是幅度，指的是偏离平衡位置的最大距离。
例如，在一个周期内，交流电出现的最大绝对值，称为交流电的幅值，也叫最大值、振幅、峰值。
幅值裕度表示了系统在幅值方面的稳定储备量。
它与系统的稳定性密切相关。
在开环系统中，如果幅值裕度h大于2（h(dB)大于0），则系统是稳定的；如果h小于2（h(dB)小于0），则系统是不稳定的。
在相角裕度方面，一般要求相角裕度γ大于40°（γ大于0），表示奈奎斯特曲线未包围(-1,j0)点，系统是稳定的；如果γ小于0，表示奈奎斯特曲线包围了(-1,j0)点，系统是不稳定的；如果γ等于0，表示奈奎斯特曲线通过了(-1,j0)点，系统是临界稳定的。
在设计控制系统时，为了使系统具有足够的稳定裕度和获得良好的动态性能，一般要求相角裕度γ=30~70度，幅值裕度h=2~2.5或h(dB)=6~8。
在电路设计中，幅值裕度也是一个重要的概念，它可以用来描述信号的稳定性和可靠性。
幅值裕度越大，信号的稳定性和可靠性就越高。
幅值裕度在工程领域中具有重要的应用价值。
首先，它代表了系统在面对外部扰动时的稳定性。
当系统受到外部干扰时，幅值裕度可以保证系统不会立即失去稳定性，而是会在一定范围内波动。
其次，幅值裕度可以用来衡量系统的鲁棒性。
具有较大幅值裕度的系统，通常更加稳定。
1.在控制系统设计中，幅值裕度是一个关键的性能指标。
它表示了系统在幅值方面的稳定储备量，是评估系统稳定性的重要依据。
为了使系统具有足够的稳定裕度和获得良好的动态性能，一般要求相角裕度γ=30~70度，幅值裕度h=2~2.5或h(dB)=6~8。
2.在电路设计中，幅值裕度也是一个重要的概念，它可以用来描述信号的稳定性和可靠性。
幅值裕度越大，信号的稳定性和可靠性就越高。
相角裕度幅值裕度
P199 例5-13
已知二阶系统的开环传递函数为G(s)
2 n
试计算相位裕量与阻尼比 的关系。 s(s 2n )
解：
G( j)
2 n
j( j 2 n )
2
2 n
2 n 2
exp
j
900
arctan
2 n
A(c ) G( jc )H( jc ) 1
n2
1
c c2 2 n 2
1800 G jc H jc
0.04
0.1 0.2 0.4
-20
-40
( )0
0
-90
-180
-270
1
2
4
10 20 40
lg
100
rad
s
[-60]
x n
lg rad
s
5-5 从开环频率特性研究闭环系统性能 1 开环对数幅频特性“三频段”概念
L( ω) 20lg GH dB
-20
40
-40
20
1 2
0 0.1
A(c ) c
n2
1
c2 4 2n2
23
A(c ) c
2 n
1
c2
4
2 2 n
n4
1
c2
(c2
4
2 2 n
)
4 n
4 c
1
4
2
2 n
2 c
1
c n( 4 2 1 2 2 )1/ 2
阻尼比一定，截止频率随自然频率的增大而增大。
24
180 (c )
90 tg-1
c 2 n
tg-1 2n tg-1[2 ( c
相角裕度和幅值裕度以及闭环频率特性自动控制原理 浙江大学考研资料
例5-20的Bode图如右图所示。 从图中，可直接得到
Lm( )
dB
幅值穿越频率 2 相角穿越频率 c 5
相角裕度： 80 0
幅值裕度： h 2dB
度 （）
90 0
180 0
20dB / dec
c
2
5
2700 例5-20 Bode图
1/ a (dB) 60dB / dec
相 角 裕 度 等 于 180° 加 上 截 止 频 率 处 的 负 相 角 ， 用 γ 来 表 示 , γ=180°+Φ, 其中 ∠G(jωΦ)=Φ 是负值.
4
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于稳定系统γ=180°+Φ>0
LmG(jω)
获得相角裕度 和幅值裕度 h，而且还可直接得到相应的幅值穿越频
率 和相位穿频率 x 。同时Bode图较极坐标图方便，因此在工程 实践中得到更为广泛的应用。
18
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度与稳定性的关系
注意： • 对于非最小相位系统，不能简单地用系统的相角裕度 和幅值裕度的大小来判断系统的稳定性。
17
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法
比较上述三种解法不难发现： 解析法 比较精确，但计算步骤复杂，而且对于三阶以上的高阶系统， 用解析法相当困难。 图解法 以极坐标图和Bode图为基础的图解法，避免了繁锁的计算， 具有简便、直观的优点，对于高阶系统尤为方便。不过图解法是一种 近似方法，所得结果有一定误差，误差的大小视作图的准确性而定。 Bode图法和极坐标法虽然都是图解法，但前者不仅可直接从Bode图上
相位裕量和幅值裕量算法
L ( ) dB
0 dB
c
'c
( )
00
-180 0
相位裕量和幅值裕量算法
5
对数频率特性与系统的稳定性
(2)错开各环节的时间常数
+
k1
-
T1s 1
k1 T2s 1
k1 T3s 1
L( )
0 dB
0
c
111 T1 T2 T3
-60
( )
00
-180 0 相位裕量和幅值裕量算法 -270 0
1
10
8
(3)计算相角裕量：求穿越0dB线的ωc和(ωc)
14d
K=5 B
0d B1
-40
40(lgc1lg1)14dB
ωc1 40lgc114dB, c12.24
(c1)90 0t g1(c1)t g1(0.1c1)16.68 0
660
12.60
180 0(c1)1.1400 系统稳定
相位裕量和幅值裕量算法
(g ) 90 0 t g 1 (g ) t g 1 (0 .1g ) 10 8
求穿越－1800的ωg g 3 (3) 178 0
g 3.3 (3) 181 .4 0
取ωg ＝3.2
g 3.2 (3) 180 .4 0 ωg
k5 kg140(lg3.2lg2.24)6.2dB
位滞后角。 1800(c)1800Gk(jc)
0 系统稳定 0 系统不稳定
为负值
幅值裕量表示系统在变到临界稳定时，系统的增益能增大多少。
kg
20lg
1
Gk( jg)
20lgGk( jg)
kg 0 系统稳定
kg 0 系统不稳定
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h2l0g
20
2l0g 20
x 1x2 10.0•1x2
x 0x2
2l0g3.212 066.0d2B
P198
5-13
已知系统的开环传递函数 G(s 试计算K=4、10的稳定裕度。
A (c)G (jc)H (jc)1
n2
1
c c2 2n2
10 8 G 0 jc H jc
1800 900 arctan c 2n
＝arctan2n c
cn 14422
arctan 2 144 22
P200 例5-14（图解法、近似计算法、精确计算法）
已知系统的开环传递函数，试计算 G(s)
为了使最小相位系统稳定，相角裕度必须为正。 在对数坐标图上的临界稳定点为0dB和－1800
幅值裕度又称增益裕度(Gain Margin)
相角为-180°点所对应的频率为穿越频率
(x ) G jx H jx 10 80
定义幅值裕度为
h
1
GjxHjx
幅值裕度h的物理意义：
对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h
4
h 1 2l0 g G (j x) 2l0 g 3 6 (d)B (31 )2
G (j)j K 1 3(2 K 1 )2 3ex j( 3 p t g 1 )
K=10时：
10
( c21)2 3 1,
c1
1
03011.9
1
2 1 0 8 c 0 1 0 3 8 t 1 1 g . 9 0 7 1 0
=0+
G(j)j(jT 1K 1)(jT 21)
1 =0
幅值裕度: hdB=－20lgG(jx)
c
0dB
20lg G(jx )
c
x
∠ G(jc)
-180o
相角裕度: =1800+ ∠ G(jc)
稳定裕度的定义续2
2l0gG (jc)H (jc)0dB (x ) G jx H jx 10 80
工程（实践）上满足: 控制系统的性能要求:
相角裕度: 300 ~ 600
幅值裕度: h 6～10dB
对数幅频 2d 0 曲 B de穿 c线0越 分 以贝
P199 例5-13
已知二阶系统的开环传递函数为G(s) n2 s(s2n)
试计算相位裕量与阻尼比 的关系。
解G ：(j )j (j n 2 2 n ) 2 n 2 2 n 2e x j p 90 0 ar2 c n t a
相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对(-1,j0)点 靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。
只用相角裕度或幅值裕度，都不能说明系统的相对 稳定性。系统的相对稳定性必须同时给出这两个量。
最小相位系统的相位裕度和增益裕度都是正值时， 系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。
适当的相角裕度和幅值裕度可以防止系统参数变化 造成的影响，并且指明了频率值。
倍，则系统将变为临界稳定状态。h 值越大，保证系统稳
定工作的前提下，允许开环增益值变化越大。若以分贝表
示，则有：
1
h20lgGjxHjx
20lgGjxHjx(dB)
系统临界稳定，见右图：
j
G(j )曲线过(-1,j0)点时
G(j) =1
-1
∠ G(j) = -180o G(j)
0
同时成立！
此时，截止频率等于穿越频率
)
s
K
13
G (j
K=4时：
) j
K
1 3 (
2 K 1 )2 3ex j( p 3 t g 1 )
j
4
(c2
3
1)2
1
0 4 0 10
c
1
163 1 1.23
-1
11800 c
G ( j )
1800 3tg11.2327 .10
(x ) 3 t 1 g x 10 8 , x 0 3
10 8 G 0 jc H jc h20 lgG(jx)dB
00
dB h 0 dB
00
dB h 0 dB
0
c
负幅值裕度 h
0
正h 幅值裕度
c
90 180 270
＋
x
正相角裕度
(a)稳定系统
90
180 270
x －
负相角裕度
（b）不稳定系统
相角裕度和幅值裕度小结：
相角裕度幅值裕度
▪相角裕度又称相位裕度(Phase Margin)
设系统的截止频率为 c
A (c) G (jc)H (jc) 1 , L (c) 0 dB
定义相角裕度为 GjcHjc1800
1800 GjcHjc
相位裕度的物理意义：
对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将由稳定变为临界稳定。
(x ) 3 t g 1x 10 8 , 0 x3
h2
1
G(jx)
8 0.8 10
h2 20lgG(jx) 20lg
10
3
2(dB s2
试确定相角裕量为450时参数a的值
K
s(s1)(0.11s)
试分别计算K=5、20的相角裕度和幅值裕度。
解：G (j )
K
e j 90 0 a rc a ta r0 c n .1ta
1 2 1 0 .01 2
计算K=5：由图读出相角裕度和幅值裕度; 辅助计算
5
55
A () 1 21 0 .02 1 1 2 0 2 1 , c 5
1 0 8 9 0 a 0 0 r 5 a c 0 r . 1 • t 5 c a 9 0 t n 6 a . 0 9 0 n 1 5 . 6 0 1 2 . 5 0
(x ) 9 0 a 0r x a c0 r t . 1 x a c 1 t n 0 8 a x 3 0 . 1 n r s a 6
5
5
5
h 2 l0 g x1 x 21 0 .0 1 •x 2 2 l0 g x0 x 2 2 l3 0 g .1 2 6 6 .0 d 2
计算K=20：由图读出相位裕量和幅值裕量 辅助计算
20 20 20
A ()
1 ,
1 21 0 .02 11 2 0 2
c2
1 0 8 9 0 a 0 0 r 2 a c 0 0 . r 1 • t 2 c a 9 0 t 0 n 7 a . 0 4 0 n 2 7 . 1 0 4 1 . 5 0