名师一号北师大高中数学必修双基限时练利用函数性质判定方程解的存在

合集下载

【提高练习】《利用函数性质判定方程解的存在》(数学北师大必修一).doc

S>0 2
②加 H0 时，应有〃 K0 或$ 一亦°，
解得〃 K0 或 0501.综合①②可得，仍 W1. 9. 令 f{x) =lgx+x t 则 f 洁)= ］叼午 +命=—春 °， Al) = lgl + l = l>0.
Al)<0. 而 f(x)=lgx+x 在(0, + 8) 上单调递增 .
答案和解析【答案】 1.C2. B3. D 4. -2 5.3 6. C 7.A &刃 W1 9.( 令, 1) 10. -1W 日 W-#
【解析】 1. Vf(0)=-l<0, Al)=e-l>0,
即 f(0)f(l)<0, ???由零点定理知，该函数零点在区间
(0,1)内.
令 g3 = (|) ”，力 3 = I log|x|, 2 函数 f(x) 的零点个数 , 即方程 f(x)=0 的实数根个数 , 令 f3= 0 得, 21 logo.5x|=l,
f{x) 仅有一个零点 , 且在 ( ■— , 1)内.
10. 因为函数 fd)在［一 1,1］上存在零点，
所以 ,. If
——
或= If
即 A- 1) ? f(i)WO. 所以 ( 一白 +2 臼+1) ?( 臼+2@+l)W0,
即( 臼+1) (3a+1) W0.解得一 1 W&W —〒
, 若 A-4)=2, A-2)=-2, 则关于 x 的方程
6. 已知函数 f(0= ￡—log 以. 在下列区间中，包含代劝零点的区间是 ()
A. (0,1) C. (2,4)
B. (1,2) D. (4, +8)

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》4

方程的根与函数的零点的教学设计一．教材分析本节课是高中数学新课程（北师大版）必修1第四章函数的应用第一个课时。

函数与方程是中学数学的重要内容之一，函数与方程思想在新课程教学中有着不可替代的重要位置。

为什么要引进函数的零点？原因是要用函数的观点统帅中学数学，把解决方程问题纳入到函数问题中。

引入函数的零点，解方程的问题就变成了求函数的零点问题。

本节要求学生回顾二次函数的图像判断一元二次方程根的存在及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；通过探究的方式获得某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法。

它既是对函数的一个总结复习又是对函数知识的一种拓展，即体现了函数与方程的思想，又渗透了数形结合的思想。

二．教学目标⑴知识技能：理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件。

⑵过程与方法：通过学生自主探究求方程根的方法，渗透函数和方程思想。

⑶情感、态度、价值观：体验探究的乐趣，认识事物的联系与转化，学会用辩证与联系的观点看问题。

培养分析问题、解决问题和应用问题的能力。

三．教学重点、难点重点：函数零点与方程的根之间的联系，及连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：理解函数零点与方程的根之间的联系，探究发现函数存在零点的判定方法。

四．教学方法本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用启发式、探究式教学方法。

五．教学过程㈠回顾：一元二次方程的根与相应的一元二次函数图像的关系提问：以上一元二次方程的根与相应函数图像与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？设计意图：从学生熟悉的方程（一元二次方程）出发，很自然的归纳出一般方程根的问题，且可激发学生学习欲望，为理解函数的零点、了解函数零点与方程根的联系作准备，充分发挥学生主观能动性。

㈡形成概念归纳:方程的根与函数图像与x 轴交点的横坐标相同。

定义：函数=f 的图像和横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

引出课题：方程f =0有实数根0函数 =f 有零点0 函数 =f 的图像与轴有交点0,0 设计意图:让学生从熟悉环境中发现新知识，并与原来知识形成联系；利用方程与函数的联系，培养学生观察、归纳的能力，并渗透数形结合的数学思想。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》

第四章函数应用§利用函数性质判断方程解的存在教学设计制作人：张颖【教材分析】本节课是北师大版普通高中课程标准实验教科书《数学·必修1》第四章第一节函数与方程的第一课时，本节内容主要是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、探究函数零点存在性。

本节课是在学生学习了一次函数和二次函数等基本初等函数的基础上，通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判断，这些活动就是想让学生在了解基本初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图像，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》作准备。

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；函数零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还体现了“数形结合思想”、“转化与回归”和“函数与方程”的数学思想。

【学生分析】本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图像的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般的情形。

学生大多数都不知道为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接方程的根。

所以，教学时可首先考虑解决这一问题，通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多的方程的根，就有必要学习函数的零点。

如果带着这样的疑问学习，必然会激发学生的求知欲，从而提高学习的效率。

零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念，而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

【教学目标】1.知识与技能目标通过对二次函数图像的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系。

2过程与方法目标体会从特殊到一般的认识规律，通过合作探究理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辩证关系。

5_1_1利用函数性质判定方程解的存在性-高一数学综合训练(北师大版2019必修第一册)

1
10
3
2
< 0，
.
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
思考探究：函数零点的概念及求法
思考1：如果函数 = + 有一个零点是2 ，求函数 = 2
−的零点.
解：由题意知 f(2)＝2a＋b＝0，即 b＝－2a，
则 g(x)＝bx 2－ax＝－2ax 2－ax＝－ax(2x＋1)．
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
教材P131例题
例2 判定方程 − 2 − 5 = 1有两个不相等的实数根，且一个根大
于5，一个根小于2.
解：设函数 = − 2 − 5 − 1，显然有
2 = 5 = −1 < 0，函数图象如图所示，
观察得 2 = −1 × −4 − 1 = 3 > 0，
的零点，的零点就是函数 = 的图象与轴的交点的横坐标.
即方程(0 ) = 0的解
⇔函数()的零点
⇔函数的图象与轴交点的横坐标
2，零点存在定理：若函数 = 在闭区间 , 上的图象是一条连续的
曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即 ∙ < ，则在开区
②当 ∙ > 时，方程 = 也可能有解，如右图所示;
③在区间(, )内，方程() = 至少有一个解，只能说明方程 =
解的存在，并不能判断具体有多少个解;
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
教材P131例题
例1 方程3 − 2 = 0在区间 −1,0 内有没有解？为什么？
曲线必然穿过轴，即函数在区间 , 内必有
一点使 = ，同理，在区间 −, 内也
必有一点 ,使 = ，

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》0

4.1.1利用函数性质判定方程解的存在宿州二中武维一、教材中的地位与作用1方程的根与函数的零点是新课程中新增的内容，选自北师版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第四章第一节。

2 学生已经比较系统的学习了函数的概念，性质，图像及相关的初等函数模型，本节内容能把函数的图像与方程的根能更好的结合来,使数学中的数与形联系在一起。

3为“二分法求方程的近似解”以及之后知识的学习做好一个铺垫作用。

二、教学目标1知识与技能1 结合二次函数的图像，掌握零点的概念，会求简单函数的零点。

2 理解方程的根和函数零点的关系。

3 理解函数零点存在的判定条件。

2过程与方法1 观察能力：观察熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点定义。

以及观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。

2 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。

3情感态度与价值观(1)从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。

2 以学生为主体，营造学习氛围，学生产生热爱学习数学的积极心理。

三、教学重点与难点重点：函数零点与方程根之间的联系。

难点：（1）理解函数的零点就是方程的根。

（2）理解函数零点存在的判定条件。

四、学情分析本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。

特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生,刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

五、教法与学法新课程中强调以学生为主体，教师起引导作用，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力”是我进行教学的指导思想，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

利用函数性质判定方程解的存在性高中数学北师大版2019必修第一册

2．函数 f(x)＝x3＋2x－1 的零点所在的大致区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
A [∵f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且 f(x)在区间[0,1]上连续， ∴f(x)在(0,1)上至少有一个零点．又 f(x)在 R 上是增函数，则 f(x)有唯一零点．故选 A.]
至少有一个实数解．
思考：(1)函数的零点是点吗？ (2)若 f(a)·f(b)>0，则 y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示] (1)不是点，是数． (2)不一定，如 y＝x2－1，在区间(－2,2)上有两个零点．
1．下列各图像表示的函数中没有零点的是( )
D [选项 A，B 和 C 中，函数的图像与 x 轴有交点，而选项 D 中，函数图像与 x 轴没有交点，故该函数没有零点．]
3定理法：函数 y＝fx的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由 fa·fb<0 即可判断函数 y＝fx在区间a，b内至少有一个零点.若函数 y＝fx在区间a，b上是单调函数，则函数 fx在区间a， b内只有一个零点.
3．(1)函数 f(x)＝x3－12x 的零点个数是(
)
A．0 个
2．y＝x＋1 的图像与 x 轴的交点坐标及其零点分别是( )
A．－1，(－1,0)
B．(－1,0)，0
C．(－1,0)，－1
D．－1，－1
C [由 y＝x＋1＝0，得 x＝－1，故交点坐标为(－1,0)，零点是－1.]
3．若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则 ①函数 f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内； ②函数 f(x)在(3,5)内无零点； ③函数 f(x)在(2,5)内有零点； ④函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点； ⑤函数 f(x)的零点必在(1,5)内．以上说法错误的是________(将序号填在横线上)．

2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 Word版含解析

1.1 利用函数性质判定方程解的存在课后篇巩固提升A 组基础巩固1.下列图像表示的函数中没有零点的是( )解析:函数y=f (x )的零点就是函数图像与x 轴交点的横坐标.A 项中函数图像与x 轴没有交点,所以该函数没有零点.B 项中函数图像与x 轴有一个交点,所以该函数有一个零点;C,D 两项中的函数图像与x 轴有两个交点,所以该函数有两个零点.故选A . 答案:A2.设函数f (x )=x 2+1x-a (x ≠0),a 为常数,且a>2,则函数f (x )的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:令h (x )=x 2-a ,g (x )=-1x .因为h (1)=1-a<-1,g (1)=-1,所以h (1)<g (1),则函数h (x )及g (x )的图像如图所示.由图可知函数h (x )与g (x )有三个交点,即f (x )=x 2+1x-a 有三个零点.答案:C3.已知x 0是函数f (x )=2x +11-x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则( )A.f (x 1)<0,f (x 2)<0B.f (x 1)<0,f (x 2)>0C.f (x 1)>0,f (x 2)<0D.f (x 1)>0,f (x 2)>0解析:函数f (x )在(-∞,1)和(1,+∞)上是增加的.∵x 0是f (x )的一个零点,且x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞), ∴f (x 1)<0,f (x 2)>0. 答案:B4.已知定义在R 上的函数f (x ):则函数的零点至少有( )A .2个 B.3个 C.4个 D.5个解析:在(2,3),(3,4),(4,5)内均至少有1个零点,从而该函数的零点至少有3个. 答案:B5.设x 0是方程(13)x=√x 的解,则x 0所在的范围是( ) A .(0,13)B .(13,12)C .(12,23)D .(23,1)解析:构建函数f (x )=(13)x−√x ,则f (13)=(13)13−√13=(13)13−(13)12>0, f (12)=(13)12−(12)12<0, ∴函数f (x )的零点所在的区间是(13,12),∴解:x 0所在的区间是(13,12).故选B .答案:B6.函数f (x )=x-4x 的零点是 . 解析:令f (x )=0,即x-4=0,解得x=2或x=-2.答案:2,-27.若函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则a= . 解析:当a=0时,函数f (x )=-x-1有一个零点为-1;当a ≠0时,要使函数f (x )仅有一个零点,需Δ=1+4a=0,所以a=-14.故a=0或a=-14. 答案:0或-148.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数,-2是它的一个零点,在(0,2)内无零点,且在(2,+∞)上是增加的,则该函数有个零点,所有零点的和等于 . 解析:∵f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=0.∵-2是它的一个零点,∴2也是它的零点,故一共有3个零点,它们的和为0. 答案:3 09.求函数f (x )=-3x 2-7x+6的零点,并指出f (x )>0,f (x )<0时,x 的取值范围. 解:由方程-3x 2-7x+6=0,得x 1=-3,x 2=23,所以函数f (x )=-3x 2-7x+6的零点为-3,23. 配方得f (x )=-3(x +76)2+12112.作出函数的简图,如图所示,从图像可知,当-3<x<23时,f (x )>0,当x<-3或x>23时,f (x )<0.10.已知函数f (x )=x 3-x 2+x 2+14,求证:存在x 0∈(0,12),使f (x 0)=x 0.证明:令g (x )=f (x )-x=x 3-x 2-12x+14.∵g (0)=14,g (12)=f (12)−12=-18,∴g (0)·g (12)<0.∵函数g (x )的图像在[0,12]上是连续曲线,∴存在x 0∈(0,12),使g (x 0)=0,即f (x 0)=x 0.B 组能力提升1.函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的零点个数为( )A .0 B.1 C.2 D.3解析:当x ≤0时,由f (x )=x 2+2x-3=0,得x 1=1(舍去),x 2=-3;当x>0时,由f (x )=-2+ln x=0,得x=e 2,所以函数f (x )的零点个数为2. 答案:C2.已知函数f (x )=(x-a )(x-b )+1(a<b ),且m ,n 是方程f (x )=0的两个根(m<n ),则实数a ,b ,m ,n 的大小关系可能是( ) A.m<a<b<n B.a<m<n<b由函数f (x )=(x-a )(x-b )+1,可得f (a )=f (b )=1.又m ,n 是方程f (x )=0的两个根,故可画出函数的大致图像如图所示.所以a<m<n<b. 答案:B 3.函数f (x )={x 2-2|x |+12,x ≤0,|lgx |-1,x >0的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:方程|lg x|=1(x>0)有两个根10,110;方程x 2-2|x|+12=0(x ≤0)⇒x 2+2x+12=0(x ≤0)⇒x=-2±√22<0,所以函数f (x )有4个零点.故选D . 答案:D4.定义在R 上的奇函数y=f (x ),当x>0时,y=f (x )是增加的,且f (1)f (2)<0,则函数y=f (x )的零点个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .条件不足无法判断解析:由y=f (x )在(0,+∞)上是增加的,且f (1)f (2)<0,函数y=f (x )在(0,+∞)上有一个零点,由奇函数关于原点对称的性质知函数y=f (x )在(-∞,0)上也只有一个零点.又x=0时,f (0)=0,故函数y=f (x )在R 上有三个零点.故选C . 答案:C 5.已知y=x (x-1)(x+1)的图像如图所示,令f (x )=x (x-1)·(x+1)+0.01,则方程式f (x )=0, ①有三个实根;②当x<-1时,恰有一个实根(有且仅有一个实根); ③当-1<x<0时,恰有一个实根; ④当0<x<1时,恰有一个实根; ⑤当x>1时,恰有一个实根.函数f (x )的图像如图所示,由图像易知,当x<-1时,方程f (x )=0恰有一实根;当-1<x<0时,方程f (x )=0没有实根;当0<x<1时,恰有两个实根;当x>1时,没有实根. 答案:①②6.已知函数f (x )={|x |,x >0,-x 2-2x +1,x ≤0.若函数g (x )=f (x )+2m 有三个零点,则实数m 的取值范围函数f (x )的图像如图所示.由图可知,当g (x )=0有三个根时,对应y=f (x )与y=-2m 的图像有三个不同的交点,即1≤-2m<2,所以-1<m ≤-12. 答案:(-1,-12]7.已知二次函数f (x )的两个零点分别是-2和4,且其图像经过点(-1,-10),试求函数f (x )的最小值. 解:因为二次函数f (x )的两个零点分别是-2和4,所以设f (x )=a (x+2)(x-4). 又f (x )的图像经过点(-1,-10), 所以有-10=a (-1+2)(-1-4),得a=2, 于是f (x )=2(x+2)(x-4).又f (x )图像的对称轴是x=-2+42=1, 所以f (x )的最小值为f (1)=2(1+2)(1-4)=-18. 8.导学号85104088(拓展探究)对于函数f (x )=ax 2+(b+1)x+b-2(a ≠0),若存在实数x 0,使f (x 0)=x 0成立,则称x 0为f (x )的不动点. (1)当a=2,b=-2时,求f (x )的不动点;(2)若对于任何实数b ,函数f (x )恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a=2,b=-2时,f (x )=2x 2-x-4.令f (x )=x ,即2x 2-x-4=x , 整理得x 2-x-2=0. 解得x 1=-1,x 2=2,即f (x )的不动点是-1,2.(2)由f (x )=x ,得ax 2+bx+b-2=0. 由已知,此方程恒有两相异实根, 即Δ=b 2-4a (b-2)>0恒成立, 即b 2-4ab+8a>0恒成立.又b 2-4ab+8a>0对任意实数b 恒成立, ∴Δ=16a 2-32a<0,解得0<a<2,即实数a 的取值范围是{a|0<a<2}.。

学年高中数学课时练习25利用函数性质判定方程解的存在北师大版必修1

利用函数性质判定方程解的存在【基础全面练】 (20分钟 35分)1．函数f(x)＝x 3＋3x －1在以下哪个区间内一定有零点( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 【解析】选B.因为f(x)＝x 3＋3x －1，所以f(－1)f(0)＝(－1－3－1)(－1)>0，排除A. f(1)f(2)＝(1＋3－1)(8＋6－1)>0，排除C. f(2)f(3)＝(8＋6－1)(27＋9－1)>0，排除D ，f(0)f(1)＝(－1)(1＋3－1)<0，所以函数f(x)在区间(0，1)内一定有零点，故选B. 2．函数f(x)＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)【解析】选A.因为f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且f(x)在区间[0，1]上连续，所以f(x)在(0，1)上至少有一个零点．又f(x)在R 上是增函数，则f(x)有唯一零点．3．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1(a ∈R )，若函数f(x)有正数零点，则满足条件的实数a 的取值范围是( )A ．a>1B ．a≥1 C．a<1 D ．a≤1 【解析】选B.若函数f ()x 有正数零点，只需：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，a ＞0，解得a≥1. 4．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧log 2x ()x>0，3x ()x≤0，且关于x 的方程f ()x ＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是( )A ．()－∞，0B ．()0，1C ．()1，2D ．()1，＋∞【解析】选D.在同一坐标系中分别作出函数f ()x ＝⎩⎨⎧log 2x ()x>0，3x ()x≤0，y ＝－x ＋a 的图像，由图像可得a>1.5．若方程|x 2－4x|－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．【解析】由|x 2－4x|－a ＝0，得a ＝|x 2－4x|，作出函数y ＝|x 2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x|－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.答案：(0，4)6．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．【解析】令f(x)＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m>0，f （4）<0 或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m>0，26m ＋38<0 或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，26m ＋38>0，解得－1913<m<0.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0 . 【综合突破练】 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x≤1lg x ，x>1 ，g(x)＝3－x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．0 【解析】选A.函数h(x)的零点满足f(x)－g(x)＝0，所以f(x)＝g(x)，绘制函数f(x)与g(x)的图象，交点的个数即函数零点的个数，如图所示，观察可得：函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是2.2．方程4x 2＋()m －2 x ＋m －5＝0的一根在区间()－1，0 内，另一根在区间()0，2 内，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫53，5B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，53 ∪()5，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，53 【解析】选B.设f ()x ＝4x 2＋()m －2 x ＋m －5，又方程4x 2＋()m －2 x ＋m －5＝0的一根在区间()－1，0 内，另一根在区间()0，2 内，所以⎩⎨⎧f ()－1>0，f ()0<0，f ()2>0，即⎩⎨⎧4－()m －2＋m －5>0，m －5<0，16＋2()m －2＋m －5>0，解得－73<m<5.3．已知函数y ＝f(x)与函数y ＝2x－3的图像关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f(x)与直线y ＝x 的一个交点位于区间________内．( ) A ．(－2，－1) B ．(2，3) C ．(1，2)D ．(－1，0)【解析】选B.y ＝2x－3的反函数为y ＝log 2(x ＋3)，由图像得，交点分别位于区间(－3，－2)与(2，3)内．4．函数f(x)＝x 2－2|x|－m 的零点有两个，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥0或m ＝－1 B ．m≤0或m ＝1 C ．m>0或m ＝－1 D ．m<0或m ＝1【解析】选C.由题意可得y ＝x 2－2|x|的图像和直线y ＝m 有2个交点，如图所示：当函数y ＝x 2－2|x|的图像和直线y ＝m 有2个交点时，有m>0或m ＝－1.5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，0≤x≤1，log 2 016x ，x>1，若直线y ＝m 与函数y ＝f ()x 的三个不同交点的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( ) A ．()3，2 018 B ．()2，2 017 C ．()3，2 017 D ．()2，2 018【解析】选B.作出函数f(x)的图像(如图)，则可知当0≤x≤1时，函数f(x)关于直线x ＝12对称．若直线y ＝m 与函数y ＝f(x)三个不同交点的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则0<m<1，且x 1，x 2所对应的交点关于直线x ＝12 对称，则x 1＋x 2＝1.由log 2 016x ＝1，得x ＝2 016，则1<x 3<2 016，故2<x 1＋x 2＋x 3<2 017.【误区警示】用函数f(x)的图像解题时易错，原因是忽视了y ＝log 2 016x 图像一直单调上升的趋势，而只运用了一部分图像解题．二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f(x)＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________．【解析】由二次方程根与系数的关系得，方程的另一个根为1，故另一个零点为1. 答案：17．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x>0，则f(f(1))＝________；设g(x)＝f(x)＋x ＋a ，若函数g(x)存在2个零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】由题意得f(1)＝ln 1＝0，f(f(1))＝f(0)＝e 0＝1.函数g(x)＝f(x)＋x ＋a 存在2个零点等价于函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝－x －a 存在2个不同的交点，在平面直角坐标系内画出函数y ＝f(x)的图象及动直线y ＝－x －a ，平移直线l ，由图易得要使与两曲线有2个不同的交点，则有－a≤1，解得a≥－1. 答案：1 [－1，＋∞)【补偿训练】已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1).当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________．【解析】因为2＜a ＜3＜b ＜4，当x ＝2时f(2)＝log a 2＋2－b ＜0；当x ＝3时，f(3)＝log a 3＋3－b ＞0，所以f(x)的零点x 0在区间(2，3)内，所以n ＝2. 答案：28．函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋a －2的函数图像为开口向上的抛物线，且有两个零点，一个大于1，另一个小于1，则f(1)＝12＋(2a －1)×1＋a －2<0，解得a<23，故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a<23 .答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23 三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值；(2)当－4<k<－43时，函数有两个零点α和β，求α2＋β2的取值范围．【解析】(1)因为－1和－3是函数f(x)的两个零点，所以－1和－3是关于x 的方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×（－3）＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2. (2)因为函数f(x)的两个零点为α和β，则α和β是关于x 的方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k＋5＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，则α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6.又－4<k<－43，所以－k 2－10k －6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫509，18 ，故α2＋β2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫509，18 .10．定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上是增加的，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log 14x)≥0的x 的取值范围．【解析】因为－12是函数的一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝0. 因为y ＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，所以对于f(log 14x)≥0，当log 14x≤0，即x≥1时，有log 14x≥－12，解得x≤2，即1≤x≤2，由对称性可知，当log 14x>0时，有log 14x≤12 ，解得12≤x<1，综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 . 【应用创新练】函数零点有时是不易求或求不出来的，如f(x)＝lg x ＋x.但函数值易求，如我们可以求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110 ＝lg 110 ＋110 ＝－1＋110 ＝－910 ，f(1)＝lg 1＋1＝1.那么能判断f(x)＝lg x ＋x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫110，1 内有零点吗？【解析】能，因为f(x)＝lg x ＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1 内是连续的，函数值从－910 变化到1势必在⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1 内某点处的函数值为0.【补偿训练】已知函数y ＝f ()x 和y ＝g ()x 在[]－2，2 上的图像如图所示：给出下列四个结论：①方程f ()g ()x ＝0有且仅有6个根； ②方程g ()f ()x ＝0有且仅有3个根； ③方程f ()f ()x ＝0有且仅有5个根；④方程g ()g ()x ＝0有且仅有4个根．其中正确结论的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】选B.由图像可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.对于①，由于满足方程f ()g ()x ＝0的g ()x 有三个不同值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1到2之间，由g ()x 的图像可得每个g ()x 值对应了2个x 值，故满足f ()g ()x ＝0的x 值有6个，即方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．对于②，由图像可得满足g ()f ()x ＝0的f ()x 有两个，一个值处于－2与－1之间，由f(x)的图像可得此时对应一个x 值；另一个值处于0与1之间，由f ()x 的图像可得此时对应三个x 值，因此该方程有且仅有4个根．故②不正确．对于③，由于满足方程f ()f ()x ＝0的f ()x 有3个不同的值，从图中可知一个f ()x 等于0，一个f ()x ∈()－2，－1 ，一个f ()x ∈()1，2 .而当f ()x ＝0时，对应了3个不同的x 值；当f ()x ∈()－2，－1 时，只对应一个x 值；当f ()x ∈()1，2 时，也只对应一个x 值．故满足方程f ()f ()x ＝0的x 值共有5个，故③正确．对于④，由于满足方程g ()g ()x ＝0的g ()x 值有2个，而结合图像可得每个g ()x 值对应2个不同的x 值，故满足方程g ()g ()x ＝0的x 值有4个，即方程g ()g ()x ＝0有且仅有4个根，故④正确．综上得①③④正确．。

北师版数学高一-《函数与方程利用函数性质判定方程解的存在》名师导学案人教

【必修1】第四章函数应用第一节函数与方程（1）利用函数性质判定方程解的存在学时: 1学时[学习引导]一、自主学习1.阅读课本115116P -页2.回答问题：（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间有什么联系？（3）如何判断函数零点的存在性？（4）怎样求函数的零点？3.完成课本116P 页练习4.小结二、方法指导1. 本节内容的重点：理解方程的根与函数的零点的关系，体会函数与方程的思想及判断方程根的存在性．2. 阅读本节内容时，同学们注意你是否有＂问题－作图－观察－猜想－讨论－归纳＂的探究过程．3. 认真体会＂连续曲线＂的涵义．3. 阅读本节内容时，同学们要认真体会数形结合的数学思想方法.【思考引导】一、提问题1. 如何判定一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图像与X 轴交点的个数，它们之间有什么关系?2.函数的零点是什么？3.如何判断函数零点的存在性？二、变题目1.若函数()y f x =在区间[],a b 上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若()()0f a f b >，则不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =B ．若()()0f a f b <，则存在且只存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =C ．若()()0f a f b >，则有可能不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =D ．若()()0f a f b <，则有可能不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =2. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 12 3 ()f x6.1 2.9 -3.5 那么函数()f x 一定存在零点的区间是（）A ．(),1-∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,+∞3. 若函数2()f x x ax b =++的零点是2和-4，则a=,b= . 4. 若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（）A ．a<1B ．a>1C ．1a ≤D ．1a ≥.5.二次函数20y ax bx c a c =++⋅<中，，则函数零点个数是（）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定6．若函数()f x ax b =+有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是．7．若函数21y ax x =--只有一个零点，求实数a 范围的取值．8.判定方程(2)(5)1x x --=有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2．【总结引导】1．函数零点概念的理解应注意：a) 函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．b) 函数的零点也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．c) 一般只讨论函数的实数零点．2.体会数形结合的思想，3.零点个数问题与单调性相结合．【拓展引导】1.若函数2()f x x ax b =--的两个零点是2和3，求函数2()1g x bx ax =--的零点。

北师大版高中数学必修一学案用函数性质判断方程解的存在

1.求下列函数的零点.
(1)f(x)=-x2-2x+3 (2)f(x)=x4-1
2.判断方程解的存在.
(1)2x2-3x+1=0 (2)lnx-x+2=0
二师生互动
例1.方程lnx+2x-6=0的根一定位于区间（）
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
例2 (1)若方程在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围.
3.判断方程有两相异的实数解，且有一个大于5，一个小于。
3.若关于的方程在(0,1)内恰有一个解，求实数a的取值范围
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
第四章利用函数性质判定方程解的存在
授课时间
撰写人
学习重点
了解函数与方程之间的内在联系
学习难点
掌握函数零点的判定定理，会判定方程解的个数
学习目标
1.理解函数的零点与方程根的关系.
2.会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
3会判定方程在给定区间上解的个数.
教学过程
一自主学习
（2）已知函数，若在上存在使，则实数m的取值范围
三巩固练习
1.已知二次方程的两个根分布于和上，求m的取值范围
2.求证：函数恰有两个零点
3若函数在区间内有零点，则下列说法正确的是( )A Fra bibliotek C D无法确定
四课后反思
五课后巩固练习
1．设函数，若，
则方程的解的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4

2024-2025年北师大版数学必修第一册5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性(带答案)

1．1 利用函数性质判定方程解的存在性必备知识基础练知识点一函数零点的概念1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )2．函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为( )A．10 B．9 C．(10，0) D．(9，0)3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若f(x)有一个零点为x＝3，求a；(2)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．知识点二利用零点存在性定理判断方程的根所在区间4．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实数解D．方程f(x)＝0可能无实数解5．已知函数f(x)＝x3＋x－3，则f(x)的零点存在于下列哪个区间内( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 6．函数f (x )＝log 4(2x ＋4)－4x ＋1的一个零点所在的一个区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)知识点三判断函数的零点(或方程根)的个数7．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．08．方程log 2x －x ＋2＝0的根的个数为________．知识点四二次函数的零点问题9．关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a ＝1(a ≠0)，求a 为何值时： (1)方程有一个正根和一个负根； (2)方程的两个根都大于1.关键能力综合练1．下列关于函数零点的说法正确的是( ) A ．函数零点就是函数图象与x 轴的交点B ．函数f (x )有几个零点，其图象与x 轴就有几个交点C ．不存在没有零点的函数D ．若f (x )＝0有且仅有两个相等的实根，则函数f (x )有两个零点 2．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．设二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a (a ，b ∈R )的部分图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋2x －b 的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D ．(2，3) 4．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是方程f (x )＝0的两个根，则a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．α<a <β<bC ．α<a <b <βD ．a <α<β<b6．(探究题)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．a <1<bB ．a <b <1C ．1<a <bD ．b <1<a7．若方程2x－2x－a ＝0的一个根在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是________．8．(易错题)已知方程x 2－2ax ＋a 2－4＝0的一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．9．已知方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时： (1)方程有唯一实数根；(2)方程的一个根大于1，一个根小于1.核心素养升级练1．(多选题)若函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点，则实数m可取的值有( ) A．1 B．2C．4 D．62．(学科素养—逻辑推理与数学运算)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有两个零点，求实数a的取值范围．1．1 利用函数性质判定方程解的存在性必备知识基础练1．答案：A解析：通过函数图象与x轴的交点个数确定函数的零点，选A.2．答案：A解析：令f(x)＝log3(x－1)－2＝0，即log3(x－1)＝2＝log332，所以x－1＝32，因此x ＝10，所以函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为10，故选A.3．解析：(1)因为f(x)有一零点x＝3，所以32＋a ×3＋3＝0，所以a ＝－4.(2)因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，解得－6≤a ≤2，所以a 的取值范围是[－6，2]. 4．答案：D解析：因为函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f (－1)·f (3)<0，但函数y ＝f (x )在(－1，3)上未必有零点，即方程f (x )＝0可能无实数解．5．答案：B解析：∵f (x )＝x 3＋x －3，∴f (0)＝－3<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，f (3)＝27>0，f (4)＝65>0， ∴f (1)·f (2)<0，又y ＝x 3与y ＝x －3在R 上单调递增，所以f (x )在R 上单调递增， ∴函数f (x )的零点所在的一个区间为(1，2).故选B. 6．答案：C解析：函数f (x )的定义域为(－2，－1)∪(－1，＋∞)，易知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．f (1)＝log 46－2＝log 46－log 416＝log 438<log 41＝0，f (2)＝log 48－43 ＝log 4432 －43 ＝32 －43 ＝16>0，由零点存在性定理可知，函数f (x )的一个零点所在的一个区间是()1，2 .故选C. 7．答案：B解析：当x ≤0时，由x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3；当x >0时，由－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2.故函数f (x )有2个零点，选B. 8．答案：2解析：log 2x －x ＋2＝0，即log 2x ＝x －2.令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2. 画出两个函数的大致图象，如图所示．由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以方程log 2x －x ＋2＝0有两个根．9．解析：令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1(a ≠0).(1)当方程有一个正根和一个负根时，f (x )对应的草图可能如图①或②所示．因此f (x )＝0有一个正根和一个负根等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f （0）<0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f （0）>0，解得0<a <1.所以当0<a <1时，方程有一个正根和一个负根．(2)当方程的两个根都大于1时，f (x )对应的草图可能如图③或④所示．因此f (x )＝0的两个根都大于1等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ>0，2（a ＋1）2a >1，f （1）>0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0，2（a ＋1）2a >1，f （1）<0.解得a ∈∅.所以不存在实数a ，使方程的两个根都大于1.关键能力综合练1．答案：B解析：函数零点指的是使f (x )＝0的x 的值，即函数图象与x 轴交点的横坐标，所以A 不正确；并不是所有的函数都有零点，比如函数y ＝2，故C 不正确；两个相等的实根只算一个零点，所以D 不正确．故选B.2．答案：D解析：∵f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，f (6)f (7)<0，∴函数f (x )至少有4个零点，即方程f (x )＝0到少有4个实根．3．答案：A解析：由图可得，f (0)＝a ∈(0，1)，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以b ＝a ＋1∈(1，2)，因为g (x )＝ln x ＋2x －b 单调递增，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝ln 12 ＋1－b <0，g (1)＝2－b >0，所以g (x )＝ln x ＋2x －b 的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ，故选A.4．答案：B解析：令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝(12)x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝(12 )x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．5．答案：C解析：由题意得，f (a )＝f (b )＝－2<0，而f (α)＝f (β)＝0，借助图象可知(图略)，a ，b ，α，β的大小关系有可能是α<a <b <β，故选C.6．答案：A解析：令f (x )＝0，即e x＋x －2＝0，则e x＝2－x .令g (x )＝0，即ln x ＋x －2＝0，则ln x ＝2－x ，设y 1＝e x，y 2＝ln x ，y 3＝2－x . 在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝e x，y 2＝ln x ，y 3＝2－x 的图象如图．∵函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，∴y 1＝e x与y 3＝2－x 图象的交点的横坐标为a ，y 2＝ln x 与y 3＝2－x 图象的交点的横坐标为b ，由图象知a <1<b ，故选A. 7．答案：(0，3)解析：令f (x )＝2x －2x －a ，根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f (x )＝2x －2x－a 在区间(1，2)内是增函数，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，所以f (1)<0，且f (2)>0，求解可得0<a <3.8．答案：(1，2)解析：设f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－4，结合零点存在性定理，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3>0，a 2－4<0，a 2－4a <0，解得1<a <2. 9．解析：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即x ＝－12 ，符合题意；当a ≠0时，Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)＝0，解得a ＝－13 .所以当a ＝0或a ＝－13 时，方程有唯一实数根．(2)令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1.因为方程的一个根大于1，一个根小于1，故a ≠0，f (x )的草图可能如图①或②所示．所以必须有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f （1）<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f （1）>0. 解得a >0.所以当a >0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.核心素养升级练1．答案：BC解析：因为函数y ＝x 2－4|x |＋5－m 有四个不同的零点，所以关于x 的方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个不同的实数解，所以令f (x )＝|x |2－4|x |＋5＝(|x |－2)2＋1，h (x )＝m ，画出函数f (x )的图象，如图所示．因为要使f (x )的图象与h (x )的图象有四个交点，则直线h (x )＝m 应该在直线l 和直线n 之间，所以1＜m ＜5，故实数m 可取2，4.2．解析：当x ＝0时，f (0)＝a 2－2a ＋2＝(a －1)2＋1＞0，因此x ＝0不是f (x )的零点．当x ＝2时，f (2)＝16－8a ＋a 2－2a ＋2＝a 2－10a ＋18，由f (2)＝0，得a ＝5±7 .若a ＝5＋7 ，则另一根x 2＝5＋7 －2＝3＋7 ∉[0，2]，若a ＝5－7 ，则另一根x 2＝5－7 －2＝3－7 ∈[0，2]. ∴a ＝5－7 符合题意．若f (x )在(0，2)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝a 2－2a ＋2＞0，f （2）＝a 2－10a ＋18＞0，Δ＝16a 2－4×4（a 2－2a ＋2）＞0，⇒0＜a2＜2⎩⎨⎧a ＞5＋7或a ＜5－7，a ＞1，0＜a ＜4，解得1＜a ＜5－7 .综上所述，a 的取值范围是(1，5－7 ].。

北师版高中数学必修第一册课后习题第5章函数应用 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性

05§1方程解的存在性及方程的近似解1.1 利用函数性质判定方程解的存在性A级必备知识基础练1.[探究点二]下列图象表示的函数中没有零点的是( )2.[探究点一]函数f(x)=4x-2x-2的零点是( )A.(1,0)B.1D.-1C.123.[探究点四]函数f(x)=3x+e x的零点所在区间为( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)4.[探究点三](多选题)已知函数f(x)=13x-logd是函数f(x)的一个零点,给2x,0<a<b<c,f(a)·f(b)·f(c)<0,实数出下列四个判断,其中可能成立的是( )A.0<d<aB.c>d>bC.d>cD.a<d<c5.[探究点四]已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)6.[探究点二]已知函数f(x)={x (x +4),x <0,x (x -4),x ≥0,则该函数零点的个数为 .7.[探究点三]若函数f(x)=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .B 级关键能力提升练8.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( ) A.a<α<b<β B.a<α<β<b C.α<a<b<β D.α<a<β<b9.方程e x -x-2=0的一个实根所在的区间为(k-1,k)(k ∈N),则k 的值为( )A.1B.2C.3D.410.已知函数f(x)={1x ,x ≥1,x 3,x <1,若f(x 0)=-1,则x 0= ,若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则实数k 的取值范围为 .C 级学科素养创新练11.若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x 2+1,如果函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,求实数a 的值.参考答案第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1 利用函数性质判定方程解的存在性1.A2.B 由f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0得2x=2,解得x=1.3.B 函数f(x)=3x+e x为R上的增函数,且f(-2)=-6+e-2<0,f(-1)=-3+e-1<0,f(0)=1>0,所以f(-1)·f(0)<0,因此,函数f(x)=3x+e x的零点所在区间为(-1,0).故选B.4.ABD 由于y=13x在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=13x-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数,当0<a<b<c时,f(a)>f(b)>f(c),又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0,所以①当f(a),f(b),f(c)都为负值时,则a,b,c都大于d,②当f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0时,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c 不可能成立.5.C 由列表可知f(-1)=g(-1)+1-3=0.37-2=-1.63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2,f(1)=-1.28,f(2)=2.39,f(3)=14.39,∵f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).6.3 当x<0时,由f(x)=0,得x=-4,当x≥0时,由f(x)=0,得x=4或x=0.故函数共有3个零点.7.(0,2) 因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根.即|2x-2|=b 有两个实根.令y1=|2x-2|,y2=b,则y1与y2的图象有两个交点.由图可知当b∈(0,2)时,y1与y2有两个交点.8.C∵α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b 必在α,β之间.故选C.9.B 令f(x)=e x -x-2,在定义域R 上为连续函数,又f(1)=e-3<0,f(2)=e 2-4>0,所以方程e x -x-2=0的一个实根必在(1,2),所以k=2.故选B. 10.-1 (0,1) 由方程f(x 0)=-1得{x 0≥1,1x 0=-1或{x 0<1,x 03=-1,解得x 0=-1,关于x的方程f(x)=k 有两个不同零点等价于y=f(x)的图象与y=k 有两个不同的交点,观察图象可知,当0<k<1时,符合题意.11.解由f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),故函数f(x)为周期为2的周期函数.∵函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,∴f(x)-a|x|=0在(-∞,0)上有四个解,即f(x)的图象与直线y=a|x|在(-∞,0)上有4个公共点.又当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x 2+1,∴当直线y=-ax 与y=-(x+4)2+1相切时,即可在(-∞,0)上有4个公共点,∴x 2+(8-a)x+15=0.∴Δ=(8-a)2-60=0.∵a>0,∴a=8-2√15.。