向量函数ppt课件

合集下载

1.2 向量函数

1.2 向量函数

v b (t )

cv
v 是常向量,b(t)
cv
v 0.
从而
av(t) av(t)
v 0.
“ ” 由条件知
vv b(t) b(t)

0v,故
v b(t
)

v
(t )b (t ),只需内积
v b (t ).
储亚伟
二、三类特殊向量函数
证明:(3)设 av(t) 与某定方向垂直,则存在单位常向量 ev1 使得
定理2.1
(Leibniz法则)

av(t),
v b (t ),
cv(t
)
为可微的向量函数,则
(1)
av(t)
v b (t)


av(t )

v b (t)

av(t )
v b(t );
(2)
av(t
)

v b (t )


av(t)

v b (t )

av(t)

v b(t);
球面曲线
v (2)0

av(t
)
定向当且仅当
av(t
)

av(t
)

v 0;
过原点直线
(3)av(t) 二阶可微,若它垂直于定方向,则
av(t), av(t), av(t)
反之,若上式成立,且处处有
0. av(t)

av(t)

0v,则
av(t
)
必定与
某定方向垂直
过原点平面.
储亚伟
(3)
av(t),

8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用

8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用
M
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解: x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T

M

利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为

向量值函数的导数与积分

向量值函数的导数与积分

v (t ) r (t ),
速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,
v(t ) r (t ) 是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
条曲线为分段光滑曲线.
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
3 2 r ( t ) {1 t , t }是否为光滑曲线? 例2 判断曲线
解 因为 r (t ) (3t 2 , 2t ), r (0) (0,0), 所以,该曲线不是 光滑的.曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向,
对于二维向量值函数与三维向量值函数,dr 是一个与
曲线的切向量 T (t ) r (t ) 平行的向量,当 dt >0 时, dr与 与切向量 r (t ) 同向; 当dt <0 时, dr与切向量 r (t ) 反向.
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci.
r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k.
三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k 的二阶导数为
r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k.
同样,对于可导的二维向量值函数有类似的结论.

向量函数

向量函数

u r 定理2. 设α (t)是一个非零连续可微的向量函数,则 u r u r u r ( i ) |α (t)|=C ⇔ α (t) ⋅ α ' (t)=0 u r u r u r r (ii) α (t)方向不变 ⇔ α (t) × α ' (t)=0 ur u r ur u u r r u r (iii) 存在常向量 β , 并且 α (t) ⊥ β ⇔ ( α (t),α ' (t),α''(t))=0 u r u r u 2 2 r u r u r proof: (i) α (t) ⋅ α (t)=|α (t)| =C ⇔ ( α (t) ⋅ α (t))'=0 u r u r 由定理1中(i) ⇔ α (t) ⋅ α ' (t)=0 u r u u r r (ii) ( ⇒ ) 设 α (t)=f(t)α , α是常向量 u r u r u r u r r α'(t)=f'(t)α , 则 α (t) × α ' (t)=0 u r u r ur ur α (t) r ( ⇐ ) 由α (t)非零, 可令 β (t)= u 则 |β (t)|=1 |α (t)| 由定理1中的(i)得
u u r r u r ( ⇐ ) 如果 ( α (t),α ' (t),α''(t))=0 我们可分为两种情形 u r u r r u r 情形(a) α (t) × α ' (t)=0 由(ii) 可知 α (t)方向不变, ur u r ur 必存在常向量β s.t. α (t) ⊥ β u r u r r u r u r u r 情形(b) α (t) × α ' (t) ≠ 0 设α''(t)=u(t)α (t)+v(t)α'(t) u r u r u r u r u r u r 由定理1中(ii) ( α (t) × α ' (t))'=α'(t) × α ' (t)+α (t) × α '' (t) u r u r =v(t)α (t) × α ' (t) u r u r u r u r r 于是 () × α ' (t))'=0 由(ii)可知 u r u r ur u r ur ur α (t) × α ' (t)=f(t)β α (t) ⊥ β , β 是常向量

随机向量精品PPT课件

随机向量精品PPT课件

二、协方差矩阵
❖ 协方差定义为
Cov x, y E x E x y E y
❖ 若Cov(x,y)=0,则称x和y不相关。 ❖ 两个独立的随机变量必然不相关,但两个不相关的
随机变量未必独立。 ❖ 当x=y时,协方差即为方差,也就是
Cov x, x V x
❖ x x1, x2, , xp 和y y1, y2, , yq 的协方差矩阵 (简称协差阵)定义为
x1 | x2
f2
x2
六、独立性
❖ 两个连续型随机向量的独立
f x, y fx x fy y
❖ n个连续型随机向量的独立
f x1, , xn f1 x1 fn xn
❖ 在实际应用中,若随机向量之间的取值互不影响,
则认为它们之间是相互独立的。
数字特征
❖ 一、数学期望(均值) ❖ 二、协方差矩阵 ❖ 三、相关矩阵
❖ 当p=1时,上述等式就是我们熟知的如下等式:
V ax b a2V x
❖ 例2.3.2 设随机向量x=(x1,x2,x3)′的数学期望和 协方差矩阵分别为
5
4 1 2
μ
2 7

Σ
1 2
9 3
253
令y1=2x1−x2+4x3, y2=x2−x3, y3=x1+3x2−2x3, 试求y=(y1,y2,y3)′的数学期望和协方差矩阵。
一、数学期望(均值)
❖ 随机向量 x (x1, x2, , xp )的数学期望
E x E x1 , E x2 , , E xp
记为μ=(μ1,μ2,⋯,μp)′。
❖ 随机矩阵X=(xij)的数学期望
E
x11
E X E xij

1. 向量函数

1.  向量函数

向量函数的微分学向量函数的微分学内容提要1. 预备知识:向量与矩阵范数2. 向量函数的极限与连续3. 向量函数的导数与微分4. 向量函数导数的计算与中值定理5. 向量函数的应用:证明开普勒(Kepler)定律教学要求准确掌握向量函数的极限、连续、一致连续的定义以及向量函数微分的计算向量函数()3333()=-,,,,,MmGMmGx MmGy MmGz F X r r x y z r r r r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭向量函数应用问题1:引力场:3()=-MmG F X r r()A r向量函数:梯度场()() 222/2()==++⇒梯度场:,,f x y z F X x y z向量函数向量函数:梯度场()() 226/2()=3 =++⇒梯度场:,,f x y z F X x y向量函数向量函数:梯度场()()2=++⇒梯度场:,,24/2()=12f x y z F X z向量函数:梯度场()梯度场:,,=++⇒=23()123f x y z F X()11221212,:,,(,,,)(,,,)()(,,,)()(),,1,2,3,,.n m mn n m n i D R F D R F D R f x x x f x x x F X f x x x F X D F f i m ⊂→→⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=设称为的映射记为称为向量函数映射为向量定函数的定义域.为:分量函数义()3()sin ,cos ,sin ,:F x x x x x F R R =→()23()sin ,cos ,sin ,:F x,y xy xy y x F R R =→()34(,,)sin ,cos ,sin ,,:F x y z z x y x x xz xyz F R R =→()()34(,,),cos ,sin ,,:0F x y z xy z y x x xz xyz F R z R =≥→()12,,,mf f f(){}(4sin(20))cos (4sin(20))sin cos(20)F t t t t t t =++,,向量函数向量函数应用:函数曲线()()cos4,,sin 4F t t t t =向量函数向量函数应用:函数曲线()()cos10,sin10,t t t F t e t e t e ---=向量函数向量函数应用:函数曲线向量函数向量函数应用:曲面方程()()22=,,,F u v u v u+2v向量函数向量函数应用:曲面方程()()=F u v u v u v v,cos,sin,()()()(),sin cos ,1cos sin ,F u v u u v u v u =--向量函数应用:曲面方程向量函数。

1.1 向量函数课件

1.1  向量函数课件
1、 a b a b 0 x1x2 y1 y2 z1z2 0
x1 y1 z1 2、 a // b a b 0 x2 y2 z2
3、 a, b , c共面 (abc ) (a b ) c 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
相关定理
定理1. 已知两个非零向量 a {x1 , y1 , z1}, x y z b {x2 , y2 , z2}, 则 a, b 共线的充要条件是 x y z 定理2. 已知三个非零向量 a {x1 , y1 , z1}, b {x2 , y2 , z2}, c {x3 , y3 , z3} ,则 a, b, c 共面的
的数量积的坐标表达式
则 a, b
a b x1 y1 x2 y2 x3 y3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、向量的向量积
定义2 两个向量 a 和 b 的叉积 (也称为向量积) 是一个向量,记作 a b ,并由下述规则确定: (1) a b a b sin(a, b ) (2) a b 的方向规定为: 注: a b 既垂直于 a 又垂 直于 b ,并且按顺序 a , b , a b 符
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
或 M1 M 2 以 M 1 为起点,M 2 为终点的有向线段. a 向量的模: 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
或 e 单位向量: 模为1的向量. ea M M
零向量: 模为0的向量. 0
1
2
定义. 如果两个向量的模相等且方向相,那么 叫做相等向量.记为 a b

§1.5、向量函数的积分

§1.5、向量函数的积分
则:S SnS
所以:
f (x) dS f (x) nSdS
S
S
fx (x) cos fy (x) cos fz (x) cos dS
S
fx (x) cosdS fy (x) cos dS fz (x) cos dS
S
fx (x)dydz fy (x)dxdz fz (x)dxdy
线段,定义 li Mi1Mi ,记 l maxl1, , ln,任取点
xi li,作和
n
f (xi ) li
i 1
当 l 0, n ,和式的极限存在且和曲线的划分与 xi 的 选取无关,则称这个极限为 f (x) 沿曲线 l 的曲线积分,记作
f (x) dl
l
在R3空间, f (x)可以表示为:
S4
S4
S4
1
1 y
1
1
ydydz 0 ydy0
S4
dz 0 y(1 y)dy
6
1
1 y
1
zdydz 0 dy0
S4
zdz 6
1
1 y
1
dydz 0 dy0
S4
dz 2
所以:
111 1
xdydz
S4
266 6
同理:
1
ydzdx zdxdy
S4
S4
6
最后得:
S
r
(3) 设 a 为常向量,f (x)为向量函数,则:
a f (x)dV a f (x)dV
V
V
例1:设V是平面 x y z 1 和三个坐标平面x=0,y=0
z=0所围的区域,求 r (x, y, z)T在V上的体积分。
解: V如图表示,则:

向量函数极限

向量函数极限
(1)
r t s t a b r t a s t b
r t a s t b
r t a 0
s t b 0
当 t t0 时由已知条件 有 即
r t s t a b 0
的微商 仍为 的一个向量函数,如果函数 r (t ) 也是 向量函数 r (t ) t r (t ) 连续的和可微的,则r (t ) 的微商r (t ) 称为r (t ) 的二阶微商。类似地可以定 义三阶、四阶等等的微商。在区间 [t1 , t 2 ] 上有直到k阶连续微商的函数 k 称为这区间上的k次可微函数或 C 类函数,连续函数也称为 C 0 类函数, 无限可微的函数记为 类函数。解析函数记为 类函数。 C C
r t s t a b
(4)作出向量差
r t s t a b r t a s t a s t b
由此得出
r t s t a b r t a s t a s t b
t 0 存在,则称 r (t ) 在点 t 0 是可微分的,这个极限
lim
r (t0 t ) r (t0 ) t
dr 称为 r (t )在 t 0 点的微商(或导矢),用 dt 或 t 表示,即
0
r (t0 )
r (t0 t ) r (t0 ) dr . r (to ) lim t dt to t 0
设如果极限是可微分的这个极限称为如果在某个开区间的每一点都有微商存在则我们说在此区间内是可微的或简称向量函数都是可微的并且这些公式的证明和数学分析中实函数的对应公式的证明相似但是应该注意的是向量的向量积和混合积跟向量的次序有关不能把次序任意交换

【向量值函数】图解高等数学-下02

【向量值函数】图解高等数学-下02

【向量值函数】图解⾼等数学-下02 9.3 向量 - 值函数
平⾯曲线
当⼀个质点在时间区间 I 在平⾯内运动时, 可以把质点的坐标看做在 I 上的函数
点(x,y) = (f(t), g(t)) 形成平⾯上的曲线, 称它为质点的路径. 从原点到质点在时刻 t 的位置
P(f(t),g(t)) 的向量
分量函数(分量). 质点的路径是在时间区
是位置向量的分量函数
是质点的位置向量
位置向量, 函数f和g是位置向量的
间I由r绘制的曲线. 观察下⾯的向量函数
三维空间中的向量函数:
极限和连续
通过数值分量来定义向量函数的极限.
在⼀点的连续性
导数
假定 r(t)=f(t)i+g(t)j 是沿⼀平⾯曲线运动的质点的位置向量, ⽽ f 和 g 是 t 的可微函数. 则质点位置再时刻 t+△x 和时刻 t 的差是△r=r(t+△t)-r(t), ⽤分量表⽰为:
观察下图
导数
从上⾯动图可以看到, 当△t 趋于 0 时, 有三件事情同时发⽣:⾸先, Q 沿着曲线趋于 P:割线 PQ 看来趋于点 P 与曲线相切的位置;△r△t趋于极限;
如果 dr/dt 是连续且从不为 0 , 则 r 描绘的曲线是光滑的.
因为向量函数的导数是按分量逐个计算的, 对可微向量函数的求导法则对标量函数的求导法则有同样的形式.
运动
再观察下⾯的图形
不定积分
r 对 t 的不定积分是 r 的所有反导数的集合. ⽤∫r(t)dt 表⽰, 若 R 是 r 的任⼀反导数, 则
定积分
如果 r(t)=f(t)i+g(t)j 的分量在 [a,b] 上是可积的, 则 r 也如此, 并且从 a 到 b 的 r 的定积分是
(完)。

第6节随机向量函数的分布

第6节随机向量函数的分布

例:设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为 X0 1
11
p
22
试求 Z maxX ,Y的分布律.
解:Z 可能取的值为 0,1,而 P Z 0 P max X ,Y 0 P X 0,Y 0
P X 0 P Y 0 1 1 1
步骤
2.
fZ

z

FZ'
0,
z , FZ存在
FZ不存在
y
例(和的分布):设 X ,Y 的联合概率密度为
f x, y ,求 Z X Y 的概率密度 fZ z .
z
解: FZ z P X Y z f x, ydxdy D
第 6 节.随机向量函数的分布
本节讨论已知 X ,Y 的联合分布, g x, y 为实值函数,求 Z g X ,Y
的分布,基本方法:分布函数法,即根据事件相等概率相等原则,将函数的 概率转化为随机自变量的相应概率.
一. 离散型随机向量函数的分布:
例:设 X ,Y 的联合分布律为
X+Y -2
0
1
1
3
4
X-Y 0
-2
-3
3
1
0
从而得到
(1) X+Y -2 0 1 3 4
P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20
X-Y -3 -2 0 1 3
(2)
P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20
例:设 X,Y 离散相互独立, X ~ P 1 ,Y ~ P 2 ,求 Z X Y 的分布律.
i 1

微分几何第一章曲线论第一节向量函数第5小节

微分几何第一章曲线论第一节向量函数第5小节

即 微商的分量等于分量的微商
3
定义 (C k类函数) rr((tt))称称为为rr((tt))的的二三阶阶微微商商;;
二阶
及二
阶以
上的
微 商叫r(t
)的 高
阶微
商.
在区间[t1, t2 ]上有直至k阶连续微商的函数称为C k类函数. 连续函数称为C 0类函数. 无限可微的函数称为C 类函数.
命解题析4函r数(t)称 {为xC(t)类, y函(t)数 , z.(t)} C k[t1, t2 ]
a
a
即 积分的分量等于分量的积分
命题5
若r
r (t
)在[a,
b]上

续,
则r(t
)在[a,
b]上


,而且
(1)
b
r (t
)dt
c r (t)dt
b r (t)dt
a
(2) b
mr (t)dt
a
m
b
c r (t)dt
(m为

数);
a
(3) b
m
r (t)dt
a m
b
r (t)dt
x(t) y(t) z(t)
a1 a2 . a3
即 极限的分量等于分量的极限
命 命题题23..且rr((rtt))(t){{xx{((txt)),(,tyy)(,(tyt),)(z,t(z)t(,)t}z)}(可连t)}微续.
x(t), y(t), z(t)均连续.
x(t), y(t), z(t)均可微.
4
定定注对义义于若则设二r对 rrrru(uv(u元于 u,,v{llv向二x)uivi)mm u,00量元{yrr{xu((x向 函(uu,(uz,uu量 ,v数 },vv,)也函)u,r,,vy,yvv可 (数uv(ur))u{,定,xvvrrv)r),(,(义(,uzuyuz(,,v(u,v偏 v,uv,z)),v)v},v微 )}).},商urvr是.. 、定全义微在分平等面概区念域. D

曲线的向量方程与参数方程1向量函数

曲线的向量方程与参数方程1向量函数

3:证明:三向量 mb nc, nc la, la mb
必共面(两种方法证明)
有向角 定义 平面上,若 a, b 不共线,则称由 a 到 b 的角为有向角,记做 (a, b)
[注 ]
① 若 a 到 b 为逆时针方向,则
b
(a, b) (a, b)
ห้องสมุดไป่ตู้

a
② 若 a 到 b 为顺时针方向,则
练习 1.已知 a 3, b 26, a b 72, 则 a b 2.已知 a 2i 3 j k , b i j 3k , c i 2 j 则
(1)(a b)c (a c)b (2)(a b) (b c) (3)(a b) c
r(u, v) x(u, v)e1 y(u, v)e2 z(u, v)e3
叫做曲面的向量式参数方程
(1)
§2.2 曲面的方程
x x(u , v) 定义4 称 y y (u , v) (a u b, c v d ) z z (u , v)
为曲面的坐标式参数方程
a y 2 x a arccos 2ay y (0 ) a
§2.1 平面曲线的方程
用向量函数建立曲线方程的步骤
① 建立恰当的坐标系; ② 设曲线上任意一动点P的向径为 r ,即
r OP ,将 r 表示为其它向量的代数和;
③ 求各向量与x轴正向的方向角; ④ 求出每一个向量在坐标轴上的投影, 并写出分解式; ⑤ 利用上述结果求出 r 的表达式,并写出 曲线的向量式参数方程或坐标式参数方程
y C B P A
O
x
§2.1 平面曲线的方程

向量函数

向量函数
3
r r r (t ) − r (t 0 ) r ′( t 0 ) = lim 根据定义, r t → t0 t − t0 { x ( t ), y( t ), z ( t )} − { x ( t 0 ), y( t 0 ), z ( t 0 )} = lim t →t t − t0
0
x ( t ) − x( t 0 ) y( t ) − y( t 0 ) z ( t ) − z ( t 0 ) , , = lim t →t0 t − t0 t − t0 t − t0
切线 :
x −1 y −1 z −1 = = 2 1 4
法平面 :
2( x − 1) + ( y − 1) + 4( z − 1) = 0
7
曲线 Γ 上一小段弧长记为 ∆ s , r r r 则 ∆ s ≈ r (t 2 ) − r (t1 ) = ∆ r ,
曲线 Γ 的弧微分
r r r ′( t ) d t = r ′ ( t ) d t ds= dr = r
8.02
向量函数
r 三元函数 u = f ( r ) 是空间向量 R 3 到实数 R 上的一
个映射 , 反过来 , 实数 R到空间向量 R 3 的一个映射定义
r r r 向量函数 : r = r ( t ), 或 r = { x ( t ), y( t ), z ( t )} .
r 如果把自变量 t 视为时间, 则向量函数 r ( t ) 就是随 r 时间 t 而变化的变向量 , 随着时间 t 的推移, 变向量 r ( t ) r 的终端在空间画出一条 曲线( r ( t )的始端固定 ).这曲线的 r 方程就是 r == { x ( t ), y ( t ), z ( t )}, 这是我们熟知的

2-向量基础及处理向量常用函数

2-向量基础及处理向量常用函数

mean()
求均值
abs()
取绝对值
var();sd()
求方差;求标准差
exp()
指数
median()
求中位数
sin();cos()
正弦函数、余弦函数
quantile()
求分位数
tan()
正切函数
IQR()
求四分距
choose (n ,k)
组合数
sort()
向量排序
factorial ()
阶乘函数
which () summary()

■向量为一系列元素的组合,用于存储数值型、字符型、逻辑型的一维数组,执行可以用函数 c(
)
创建。
如:
a<-c(1,2,3,5)
##数值型
b<-c(“one”,“yeah”,“R”) ##字符型
c<-c(TRUE,FALSE,TRUE)
##逻辑型
■ 其他创建向量函数:
seq( 造从from值
向量的创建方法
3. 函数rep(x......)的应用
4.函数assign(x, value)应用:
• times:向量重复次数。 • each:向量每个元素重复次数 • length.out:向量重复最大总长
度。
向量的创建方法
5.逻辑向量
• 逻辑向量元素可以被赋予的值有TRUE,FALSE 和NA (\不可得到“,) • 逻辑向量可以由条件式(conditions)产生 • R的逻辑运算符有>,>=,<,<=以及判断严格相等的==和判断不等的!=。若C1和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求符合条件下标 综合分析

1-1向量函数

1-1向量函数
定义1.1
19/42
微分几何
1.1
向量函数的极限
是所给的实 函数 , a 是常数,
定义 设
若 0 , 0 , 当 0 t t0 时, 有
x(t ) a
则称当 时,
t t0
的极限为 a, 记作
lim x(t ) a
20/42
微分几何
1.1
向量函数的极限
7 拉格朗日( )恒等式 Lagrange
(a b) (c d ) (a c)(b d ) (a d )(b c)
8 三重向量积
(a b) (c d ) (a,b, d )c (a,b,c)d 9 雅可比(Jacobi) 恒等式 (a b) c (b c) a (c a) b 0
24/42
微分几何
1.2 向量函数的连续性
命题2 如果向量函数r (t ), s(t ) 和实函数 (t )
都在
点连续, 则向量函数
r(t ) s(t ), (t )r(t ), r(t ) s(t ) 和实函数 r (t ) s(t ) 也在点 连续。
(1) lim(r (t ) s(t )) a b t t0 (2) lim (t )r (t ) a t t0 (3) lim r (t )s(t ) a b t t0 (4) lim r (t ) s(t ) a b
是常向量, 是所给的一元向量函数 , a
定义1.2. 设
若 0 , 0 , 当 0 t t0 时, 有 r (t ) a 则称当 时,

§1.4、向量函数的导数

§1.4、向量函数的导数

(2) 令:h(x)a(x)f(x)
则:
h i( x ) a ( x ) f i( x ) ,i 1 ,2 , ,m
显然 h ( x )在 x 点可微,且:
h ix(jx) ax (x j)fi(x)a(x)fix (x j)
若令:
显然A :[aij][f ix (x j)], C[cij]h ix (jx) h '(x ) a x (x j)fi(x ) a (x ) f ix (x j) f(x )a '(x ) a (x )A f(x )a '(x ) a (x )f'(x )
2、向量函数的导数的求解
若令:
a ij

fi(x 0 ) x j
a 1 ,1
A


a m ,1
a 1,n
a m , n
则: f(x0)Am nx
显然,由定理1的证明有:

f1( x x1
0
)
A


f
m
(
x
0
)
x1
f1( x xn
0
)

hi(x)fi(x)gi(x)
xj
xj
xj
若令:
A [ a ij] [ f ix ( x j)] ,B [ b ij] [ g i x ( j x )] ,C [ c ij] h ix ( j x )
显然:
h '( x ) C A B f'( x ) g '( x )
为在 x 0 的梯度。
x y z
*注意:
由于对多元函数来说,偏导数存在与可微并不等价,所以
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
为 E3中全体向量构成的向量空间. 定义映射 : 3 3 : AB ( A) (B).如果 (O) O,证明 是线性映射.
3. 设向量函数 r (t) 有任意阶导(函)数. 用 r (k) (t) 表示 r (t) 的 k 阶导数,
并设 r (k) (t) r (k 1) (t) 处处非零. 试求 r (k) (t), r (k 1) (t), r (k 2) (t) 0 的充要条件.
向量函数的求导、积分、可微性、可积性等归结 为其分量函数的求导、积分、可微性和可积性.
一、向量函数的相关概念及运算
(二)、运算法则
定理2.1 (Leibniz法则) 设a(t),b(t), c(t) 为可微的向量函数,则
(1) a(t) b(t) a(t) b(t) a(t) b(t); (2) a(t) b(t) a(t) b(t) a(t) b(t); (3) a(t),b(t), c(t) a(t),b(t), c(t) a(t),b(t), c(t)
第一章 预 备 知 识
§1.2 向量函数
.
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、向量函数的相关概念及运算
(一)、相关概念
引入:函数 VS 向量函数 1. 向量函数:指从其定义域 D 到 3 的映射:
r : D 3 : p r ( p). 例如: r (t) { x(t) , y(t) , z(t) }, ( R1 R3 );
二、三类特殊向量函数
证明:(3)设 a(t) 与某定方向垂直,则存在单位常向量 e1 使得 a(t) e1 0. 求导得 a(t) e1 0,a(t) e1 0. 从而 a(t), a(t), a(t) 共面.
反之,设 a(t), a(t), a(t) 0. 令
b(t) a(t) a(t)(需假定 b(t) 0) b(t) b(t)=0 ?
r (u, v) { x(u, v) , y(u, v) , z(u, v) }, (R2 R3); f (x, y, z) { P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) }, (R3 R3).
一、向量函数的相关概念及运算
(一)、相关概念
2. 分析性质 设有定义在区间 [a,b] 上的向量函数 r (t) (x(t), y(t), z(t)), a t b, 1)连续性:r (t) 连续 x(t), y(t), z(t) 连续. 2)可微性:r (t) 可微 x(t), y(t), z(t) 可微. Ck 性质.
微分几何 慕课邀请码
a(t), a(t), a(t) 0.
反之,若上式成立,且处处有 a(t) a(t) 0,则 a(t) 必定与
某定方向垂直
过原点平面.
二、三类特殊向量函数
证明:(1)因 | a(t) |2 a(t)a(t) 2a(t)a(t), 故
a(t) 定长 | a(t) |2 定长 a(t) a(t) 0. (2)因 a(t) 处处非零,取 a(t) 方向的单位向量 b (t) | a(t) |1 a(t), 则 a(t) f (t)b(t), 其中 f (t) | a(t) | 连续可微.于是
a(t),b(t), c(t) .
二、三类特殊向量函数
定理2.2 设 a(t)为二阶连续可微的向量函数,则 (1)a(t) 定长当且仅当 a(t) a(t) 0;
球面曲线
(2)0 a(t) 定向当且仅当 a(t) a(t) 0;
过原点直线
(3)a(t) 二阶可微,若它垂直于定方向,则
a(t) a(t) f (t)b(t) f (t)b(t) f (t)b(t) f 2(t)b(t) b(t), t.
“ ”由条件知 b(t) c 是常向量,b(t) c 0. 从而 a(t) a(t) 0.
“ ”由条件知 b(t) b(t) 0,故 b(t) (t)b(t),只需内积 b(t).
根据已经证明的(2),b (t) 的方向不变,设为 e1,则 b(t) | b(t) | e1.内积
a(t) | b(t) | a(t) e1 a(t) b(t) a(t) a(t) a(t) 0.
由b(t) 0 知,a(t) e1 0.

课外作业:
1. 证明定理2.1.
2. 设 : E3 E3 为等距变换,在 E3 中取定一个正交标架 O;i , j, k,令 3
相关文档
最新文档