北师大版七年级数学上册例题精讲及练习：第一讲 有理数(一)

第一讲有理数（一）第1—2课时有理数的意义及相关概念一、知识梳理1.正、负数的概念1、1.2，...这样的大于零的数叫做正数;在正数的像1、2前面加上" "号的数叫做负数.0既不是正数也不是负数.我们常常用正数和负数表示一些相反意义的量.2.有理数的定义及分类整数和分数统称为有理数.有理数的分类：按符号分:有理数12,3...1112:,5.2,3,45%...235:12 3...15:,, 3.5. ...56⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪---⎧⎪⎪⎪⎨---⎪⎪⎩⎩正整数：如，正有理数正分数如，负整数如，，负有理数负分数如按定义分:有理数1,2,3...14:,,5.2,89%...232:58%0.16...3⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩正整数：如整数负整数：如 -1,-2,-3...正分数如分数负分数如-，-，-3.数轴：画一条水平的直线，在直线上取一点表示零（叫做原点）选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

（三要素：原点、单位长度、正方向。

易混淆点：单位长度可任意选取。

）有理数与数轴的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

数轴的判断方法：要判断是否为数轴，应抓住它的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可。

数轴的表示方法：数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应点的上面，原点用O表出，它表示数0，数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要相同。

比较大小（数轴）：数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个（或多个）数的位置，然后按它的特点进行判断。

数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

比较两个负数的大小三大步骤：（1)先分别写出两负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小。

(3)绝对值大的反而小。

有理数大小的比较法则正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两负数绝对值大的反而小。

4.相反数代数定义：只有符号不同的两个数，我们称其中一个为另一个的相反数，这两数也互称为相反数。

0的相反数是0。

几何定义： 两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。

5.绝对值代数定义：一个 正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

用式子表示为：|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 。

几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作“|a|”。

二、易错知识辨析1.自然数,非负数,非正数,非零有理数所代表的数中零的位置;2.数轴上到任一点距离相等的点所表示的数有两个,他们不一定互为相反数;3.互为相反数的两个数不一定一正一负,绝对值等于本身的数是非负数,绝对值等于它的相反数的数是非正数.4.原点代表的有理数为零,并不代表没有,它代表的是一个基准值.三、课堂精讲例题例题组1 训练重点:关注零在有理数中的地位,强化有理数是带符号的数的思想.1.下列说法：①零是正数②零是整数③零是最小的有理数④零是最小的自然数⑤零是最大的负数⑥零是非负数⑦零是偶数其中正确的说法为（）.难度分级：A类解析：有理数分为正数、零、负数，整数分为正整数、零、负整数，自然数为零和正整数，偶数的相反数、零也是偶数。

故正确的说法为②④⑥⑦。

2．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“—”表示成绩小于18秒｡这个小组女生的达标率是( )A．25%B．37.5%C．50%D．75%难度分级：B类解析：达标成绩为18秒，即小于等于18秒为达标，以18秒为基准值，得到的有理数中的非负数的成绩达标，所以达标率等于75%，故选D。

3.七名同学的体重以48kg为标准,超过即为正,不足记为负,记录如下A. 最接近标准体重的学生体重是多少?并说明这个有理数的意义.B.按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学?难度分级：B类解析：A，最接近标准体重的学生体重为48kg,它表示的有理数为0，其意义为与标准体重的差值为零。

B，按体重排列，由小到大排列为：-3.0,0，+0.3，，+0.5,+0.8,+1.2,+1.5,故居中的是7号学生。

4．观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数, 并写出第150个数.(1)1,-12,13,-14,15,-16,17,-18,_______,________,_______,第150个数是________;(2)1,-12,-13,-14,15,-16,-17,-18______,_______,_______,第150个数是________;(3)1,12,-13,-14,1,12,-13,-14_______,_______,_______,第150个数是________.度分级：C类解析：本题主要关注三个部分，数的符号，分式的分子分母的变化。

（1）符号一正一负出现，偶数个数为负，分子均为1，分母为正整数，故答案为1150-，（2）符号四个数一循环，每个循环中第一个数为正，其余三个数为负，分子分母的规律与（1）相同，故答案为1150-，（3）循环出现，故答案为12搭配课堂训练题1．如果a表示有理数, 那么下列说法中正确的是（）(A) a+和a-一定不相等(B) a-一定是负数(C) )+一定相等(D) ||a一定是正数-和)(a-(a+难度分级：A类2.π是（）（A）整数（B）分数（C）有理数（D）以上都不对难度分级：A类3.大于–3.5，小于2.5的整数共有（）个。

（A） 6 （B） 5 （C） 4 （D） 3 难度分级：A类4.写出三个有理数，使它们满足：①是负数；②是整数；③能被2、3、5整除。

答：____________。

度分级：B类5.某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示（单位：万元）请问：(1)该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？(2)如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？(3)该公司第一季度利润为多少万元？难度分级：B类例题组 2 训练重点:数轴上的点与数的关系,点与点的距离与点的关系,初步形成数形结合的思想1．数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。

难度分级：B类解析：原点右边到原点4.8cm处的点表示的数为32，则该点到原点的距离为32个单位长度，则每个单位长度为cm,离原点18cm的点有个单位长度，该点又在原点左边，所以有理数为-120.2..一数轴上的A点到原点的距离为2.，那么数轴上到A点的距离为3的点所表示的数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个难度分级：B 类解析：数轴上到A 的距离相等的点有两个，到这两个点距离相等的点又分别有两个，且距离不相等，所以表示的数有4个。

故选D 。

3.借助数轴列式回答下列问题(1)与原点相距32的点表示的数是什么?(2)与-3相距32的点表示的数是什么?(3)一个点A 表示的数为-71,把A 点向左移动2个单位后所得的点对应的数为什么?(4)两个点A,B 分别表示的数为-1，41,有一个点C 到这两个点的距离相等,则点C 表示的数为什么? 难度分级：C 类解析：如图数轴（1） 该数为32（2） 该数表示的点在-3左边，则该数为323-；该数表示的点在-3右边，则该数为312-（3） 把A 向左移动2个单位，A 表示：712-。

（4） 到A 、B 两个点距离相等的点C 表示的数为：83-。

搭配课堂训练题1．画一条数轴,并在数轴上找出比-123大,且比122小的整数点.难度分级：A 类2．根据下面给出的数轴,解答下列问题:(1)A 、B 两点之间的距离是多少?(2)画出与点A 的距离为2的点(用不同于A 、B 的字母在所给的数轴上表示)｡(3)数轴上,线段AB 的中点表示的数是多少? 难度分级：B 类3. 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（ ）A.a>bB.-a>-bC.b >oD.a > o难度分级：B类例题组 3 训练重点:相反数,绝对值的意义,进一步理解有理数,提高运用数的能力.1. 已知，则a 是__________数；已知，那么a 是_________数。

难度分级：B 类解析：|-a|-a=0,即为|-a|=a,∴a ≥0，∵0b >,∴0a >，即，a 是正数2.(1).+5的相反数是–5，–5的相反数是5，那么数x 的相反数是______，数–x 的相反数是________；数的相反数是_________；数的相反数是____________。

（2）因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系，那么到点100和到点999距离相等的数是_____________；到点46,57距离相等的点表示的数是____________；到点m 和点–n 距离相等的点表示的数是0||=--a a ()01||<-=b abab ba 12+-n m 21+()62214+=________。

（3）已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系，那么点10和点之间的距离是____________；点m 和点n （数n 比m 大）之间的距离是_____________。

（4）数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。

由这句话，正数–a 的绝对值为__________；负数–b 的绝对值为________；负数1+a 的绝对值为________，正数–a+1的绝对值___________。

难度分级：B 类解析：（1）–x ；x ；ba 12-；n m 21--；求一个数的相反数就是给整体添一个负号即可。

（2）21099；3529；2n m -；求数轴上到两个数表示的点的距离相等的点表示的数为两数相加再除以2. （3）13.2 ；m n -； （4）a ；b ；a --1；a -1495-=2.3-正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数。

3．(1)如果︱x-2︱=2,求x,并观察数轴上表示x的点与表示1的点的距离｡(2)在(1)的启发下求适合条件︱x-1︱<3的所有整数x的值｡难度分级：C类解析：（1）∵绝对值等于2的数为±2∴0=x或4=x∴轴上表示x的点与表示1的点的距离为1或3（2）其意义为到表示1的点的距离小于3的所有的数1-3=-2与1+3=4这两个数之间的所有数，其中整数有-1，0，1，2，3。