北师大版八年级数学初二下册：因式分解小结(含答案)
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解含答案
北师大版八年级下册数学第四章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、把多项式x2﹣x分解因式，得到的因式是（）A.只有xB.x 2和xC.x 2和﹣xD.x和x﹣12、把2x -4x分解因式，结果正确的是( )A.( x+2)( x-2)B.2 x( x-2)C.2( x -2 x)D. x(2 x-4)3、若﹣2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是M，则M等于（）A.2a n﹣1B.﹣2a nC.﹣2a n﹣1D.﹣2a n+14、下列因式分解正确的是（）A. B. C.D.5、把10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，应提取的公因式是（）A.5aB.（x+y）2C.5（x+y）2D.5a（x+y）26、化简（﹣2）2015+22016，结果为（）A.﹣2B.0C.﹣2 2015D.2 20157、多项式﹣6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（）A.2abB.﹣6a 2bC.﹣6ab 2D.﹣6ab8、若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A.﹣15B.15C.2D.-89、多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A.x﹣1B.x+1C.x 2﹣1D.（x﹣1）210、若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A.-15B.15C.2D.-811、下列多项式中,能用提公因式法因式分解的是( )A.x 2-yB.x 2+2xC.x 2+y 2D.x 2-xy+y 212、因式分解：2a(x-y)+3b(y-x)正确的是( )A.(x-y)(2a-3b)B.(x+y)(2a-3b)C.(y-x)(2a+3b) D.(x+y)(2a+3b)13、多项式3x3﹣12x2的公因式是（）A.xB.x 2C.3xD.3x 214、多项式12m2n﹣18mn的公因式是（）A.mnB.m 2nC.6mnD.3mn15、下列因式分解正确的是（）A. x2﹣2 x+1＝x（x﹣2）+1B.﹣2 a2b2+4 ab2＝﹣2 ab2（a+2） C.（a+ b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D.（m﹣n）﹣4 a （n﹣m）＝（m﹣n）（4 a+1）二、填空题(共10题，共计30分)16、分解因式：a2b-2ab+b=________ .17、分解因式：a3﹣4a=________．18、分解因式：2m -32m5=________；19、计算的结果是________20、因式分解a﹣ab2=________ ．21、分解因式：a2-4a=________。
北师大版八年级数学下册同步精品第四章 因式分解(单元小结)
考点专练
例4：把多项式因式分解:ax2-ay2=
.
解析：先提取公因式a,再根据平方差公式进行二次分解.
注意平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),
则ax2-ay2=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y).
答案:a(x+y)(x-y)
考点专练
【知识点睛】 符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点: 1.有两项. 2.两项都能写成平方的形式. 3.符号相反.
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四、运用公式法分解因式
平方差公式 a2-b2=（a+b）（a-b）
完全平方公式 a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子称为完全平方式。 利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解 的方法叫做公式法。
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即：一个多项式 →几个整式的积
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二、分解因式的方法： （1）、提取公因式法 （2）、运用公式法 （3）、十字相乘法 （4）、分组分解法
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三、提公因式法分解因式
整式乘法： m（a+b+c）=ma+mb+mc， 逆变形得到 因式分解的第一种方法：ma+mb+mc=m（a+b+c）
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“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项 式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时, 则各个因式的值是:(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可 以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2, 取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码有哪些?
北师大版八年级下册 第四章 因式分解(包含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列从左到右的变形中,是分解因式的有()①(x+1)(x-2)=x2-x-2;②-x2+9=(3+x)(3-x);③ab-a+b-1=(a+1)(b-1);④a2-4+a=(a+2)(a-2)+a;).⑤(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1);⑥a2+1=a(a+1aA.1个B.2个C.3个D.4个答案B②③是分解因式.2.下面分解因式正确的是()A.x3-x=x(x-1)B.3xy+6y=y(3x+6)C.a2-2a-1=(a-1)2D.1-b2=(1+b)(1-b)答案D A的结果错误,B没分解彻底,C的左右两边不相等,只有D选项正确.3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9答案D A,C的两个平方项同号,B中两项提公因式5m后不是两式平方差的形式,只有D选项能用平方差公式.4.下列各组多项式中没有公因式的是()A.3x-2与6x2-4xB.3(a-b)2与11(b-a)3C.mx-my与ny-nxD.ab-ac与ab-bc答案 D ab-ac=a(b-c),ab-bc=b(a-c),两个多项式没有公因式.5.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值等于( ) A.-5 B.3 C.7 D.7或-1答案 D 因为x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,所以m-3=±4,所以m=7或-1.6.若a 2+b 2+4a-2b+5=0,则a+b a -b 的值为( ) A.3 B.13 C.-3 D.-13答案 B 由a 2+b 2+4a-2b+5=0得(a+2)2+(b-1)2=0,所以a=-2,b=1.所以a+b a -b =-2+1-2-1=13. 7.212-1可以被5~10之间的某些整数整除,它们是( ) A.7 B.9 C.6和7 D.7和9答案 D 212-1=(26+1)(26-1)=(26+1)(23+1)(23-1)=(26+1)×9×7,故有两个整数符合题意,即7和9.8.多项式x 2-4x+m 分解因式的结果是(x+3)(x-n),则m n 等于 ( ) A.3 B.-3 C.-13 D.13答案 B 由题意得x 2-4x+m=(x+3)(x-n), 即x 2-4x+m=x 2+(3-n)x-3n, 所以{3-n =-4,-3n =m,解得{n =7,m =-21,所以m n =-217=-3. 9.若xy=1,则(x+y)2-(x-y)2等于( ) A.-4 B.4 C.2 D.-2答案 B 当xy=1时,(x+y)2-(x-y)2=4xy=4,故选B. 10.已知1-x n =(1+x 2)(1-x)(1+x),则n 的值是( )A.2B.4C.6D.8答案 B (1+x 2)(1-x)(1+x)=(1+x 2)(1-x 2)=1-x 4=1-x n ,所以n=4.二、填空题11.因式分解:x 2-36= .答案 (x+6)(x-6)解析 根据平方差公式,得x 2-36=x 2-62=(x+6)(x-6). 12.分解因式:m 3n-4mn= .答案 mn(m+2)(m-2)解析 m 3n-4mn=mn(m 2-4)=mn(m+2)(m-2).13.分解因式:-2x 2y+12xy-18y= .答案 -2y(x-3)2解析 先提取公因式,再用完全平方公式分解因式.-2x 2y+12xy-18y=-2y(x 2-6x+9)=-2y(x-3)2.14.分解因式:(a-b)2-4b 2= .答案 (a+b)(a-3b)解析 (a-b)2-4b 2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).15.已知长方形的面积为9a 2-16,若一边长为3a+4,则与它相邻的边长为 . 答案 3a-4解析 S 长方形=9a 2-16=(3a+4)(3a-4),∴所求边长为3a-4. 16.因式分解:m(x-y)+n(x-y)= .答案 (x-y)(m+n)解析 m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n).17.计算:100992+198+1= .答案 1100解析 100992+198+1=100992+2×99+1=100(99+1)2=1001002=1100. 18.如图所示,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a>b),把剩下的部分剪拼成一个梯形,通过计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证公式 .答案 a 2-b 2=(a+b)(a-b)解析 在题图中,左图:S 阴影=a 2-b 2;右图:S 阴影=(2b+2a)(a -b)2=(a+b)(a-b), ∴ a 2-b 2=(a+b)(a-b).三、解答题19.把下列各式分解因式.(1)8a3b2-12ab3c+6a3b2c;(2)5x(x-y)2+10(y-x)3;(3)(a+b)2-9(a-b)2;(4)-4ax2+8axy-4ay2;(5)(x2+2)2-22(x2+2)+121.答案(1)原式=2ab2(4a2-6bc+3a2c).(2)原式=5x(y-x)2+10(y-x)3=5(y-x)2[x+2(y-x)]=5(y-x)2(2y-x).(3)原式=[a+b+3(a-b)][a+b-3(a-b)]=(4a-2b)(-2a+4b)=4(2a-b)(2b-a).(4)原式=-4a(x2-2xy+y2)=-4a(x-y)2.(5)原式=(x2+2-11)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2.20.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程: 解:设x2-4x=y,则原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2=(x 2-4x+4)2.回答下列问题: (1)该同学分解因式的结果是否彻底: (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出分解因式的最后结果: ;(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1进行因式分解. 答案(1)不彻底;(x-2)4. (2)设x 2-2x=y,则(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y 2+2y+1=(y+1)2=(x 2-2x+1)2=(x-1)4. 21.(1)一个等腰三角形的两边长a,b 满足条件:9a 2-b 2=-13,3a+b=13,求这个等腰三角形的周长; (2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三边长.①判断(a-c)2-b 2的正负; ②若a,b,c 满足a 2+c 2+2b(b-a-c)=0,判断△ABC 的形状. 答案 (1)因为9a 2-b 2=-13, 所以(3a+b)(3a-b)=-13,因为3a+b=13,所以3a-b=-1,由{3a +b =13,3a -b =-1,得{a =2,b =7.当a 为腰长时,2+2<7,不能构成三角形;当b 为腰长时,三角形的周长为7+7+2=16.综上,这个等腰三角形的周长为16.(2)①(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b).因为a,b,c分别是△ABC的三边长,所以a+b>c,b+c>a,所以a-c+b>0,a-c-b<0,所以(a-c+b)(a-c-b)<0,即(a-c)2-b2<0.②由a2+c2+2b(b-a-c)=0,得a2+c2+2b2-2ab-2bc=0,即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0,即(a-b)2+(b-c)2=0,所以a=b,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.22.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、20这三个数都是神秘数.(1)28和2 012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k和2k+2(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?答案(1)是.理由:28=2×14=(8-6)×(8+6)=82-62,2 012=2×1006=(504-502)×(504+502)=5042-5022,所以这两个数都是神秘数.(2)是.理由:(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.(3)不是.理由:由(2)知神秘数可表示为4的倍数,但一定不是8的倍数.设两个连续奇数为2k+1和2k-1(k取正整数),因为(2k+1)2-(2k-1)2=8k,8k是8的倍数,所以两个连续奇数的平方差一定不是神秘数.。
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解 小结与复习
四、公式法 —— 完全平方公式 1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2 2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_平__方__和__
的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的_乘__积___
考点三 利用提公因式法求值
例3 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积 的差， 而正方形的面积是其边长的平方， 则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
考点五 完全平方公式分解因式
例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
练一练
5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3的值.
2
2
解：1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3＝ 1 ab(a2＋2ab＋b2)
因式分解 北师大版数学八年级下册期末复习
(选做题)1.观察下列各式：3²-1²=8×1, 5²-3²=8×2,7²-5²=8×3，……，探索以上式子的规律， 试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写 式子的正确性.
解：规律：(2n+1)²-(2n-1)²=8n 验证： (2n+1)²-(2n-1)²
1、整式乘法与分解因式的概念易混 2、分解因式要彻底
3.(x 5)(x 3)是多项式x2 px 15分解因式的结果， 则5. p的值是 8 .
6.多项式 a(a x)(x b) ab(a x)(b x) 的公因式是（ B ）
A.－a B. a(a x)(x b) C. a(a x) D. a(x a)
7.若 mx 2 kx 9 (2x 3)2 ，则m，k的值分别是（ C ）
=3a(a+2b)
(2)原式=[(x²-5)+1]² (3)原式=(x²+y²)²-4(x²+y²)+4
=(x²-4)²
=[(x²+y²)-2]²
=[(x+2)(x-2)]²
=(x²+y²-2)²
=(x+2)²(x-2)²
2．已知：a,b,c是△ABC的三边长，且满足
a2b a2c b3 b2c 0 ,试判断三角形的形状.
2．下列各式中：①x2﹣6x+9； ②25a2+10a﹣1； ③x2﹣4x+4； ④a2+a+ ．其中能用完全平方公式
因式分解的个数为（ C ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.因式分解（1）a²-4a-b²+4=_(_a_-_2_+_b_)_(_a_-_2_-_b)
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解含答案(有解析)
北师大版八年级下册数学第四章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2、边长为a、b的长方形周长为12,面积为10,则的值为( )A.120B.60C.80D.403、多项式12ab3c﹣8a3b的公因式是（）A.4ab 2B.﹣4abcC.﹣4ab 2D.4ab4、如果257＋513能被n整除，则n的值可能是（）A.20B.30C.35D.405、将- a b-ab提公因式后，另一个因式是( )A. a+2 bB.- a+2 bC.- a- bD. a-2 b6、（﹣2）100+（﹣2）101的结果是（）A.2 100B.﹣2 100C.﹣2D.27、已知a-b=1，a=5，则a2-ab等于（）A.1B.4C.5D.68、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A. B. C.D.9、多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（）A.abB.2abC.4abD.4ab 210、多项式分解因式的结果是（）A. B. C. D.11、把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（）A.（a﹣2）（m 2+m）B.（a﹣2）（m 2﹣m）C.m（a﹣2）（m﹣1） D.m（a﹣2）（m+1）12、下列多项式能进行因式分解的是（）A.x 2﹣yB.x 2+1C.x 2﹣6xD.x 2+y+y 213、若实数ab=2满足a+b=3，计算：a b+ab的值是( )A.5B.6C.9D.114、分解因式－2xy2+6x3y2－10xy时，合理地提取的公因式应为（）A.－2xy 2B.2xyC.－2xyD.2x 2y15、多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（）A.3a 2b 2B.15a 3b 3cC. 3a 2b 2cD.﹣12a 2b 2c二、填空题(共10题，共计30分)16、因式分解：x3﹣25x________．17、若A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，则B﹣A的值________.18、一元二次方程x2=x的解为________．19、因式分解：x2-4y2=________ .20、因式分解：① ________② ________21、分解因式：2x2y﹣8y=________ ．22、多项式6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是________。
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幂的乘方法则可以逆用：即 a mn (a m )n (a n )m
如： 46 (42 )3 (43 )2
7、积的乘方法则： (ab)n a nbn （ n 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（ 2x3 y 2 z)5 = (2)5 (x3 )5 ( y 2 )5 z 5 32x15 y1_______________。
8、同底数幂的除法法则： a m a n a mn （ a 0, m, n 都是正整数，且 m n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： (ab)4 (ab) (ab)3 a3b3
9、零指数和负指数；
a 0 1 ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。
ap
1 ap
（a
0,
p 是正整数），即一个不等于零的数的
p 次方等于这个数的
p
次方的倒数。
如： 23 ( 1 )3 1 28
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初二因式分解 赵亮 2015-6-7 陈老师
10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式 里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
基本方法
⑴提公因式法 ⑵公式法
平方差公式 ：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式 ：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数 (或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数 (或式)的积的 2 倍。 立方和公式 ：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式 ：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式 ：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3．
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解含答案
北师大版八年级下册数学第四章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、多项式﹣6m3n﹣3m2n2+12m2n3分解因式时应提取的公因式为（）A.3mnB.﹣3m 2nC.3mn 2D.﹣3m 2n 22、把分解因式的结果为（）A. B. C.D.3、把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是（）A.a (a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)( a-2)D.(a－2 ) ²－44、将- a b-ab提公因式后，另一个因式是( )A. a+2 bB.- a+2 bC.- a- bD. a-2 b5、下列多项式中，可以提取公因式的是（）A. ab+ cdB. mn+ m2C. x2- y2D. x2+2 xy+ y26、多项式－5mx3+25mx2－10mx各项的公因式是（）A.5mx 2B.－5mx 3C.mxD.－5mx7、多项式12m2n﹣18mn的公因式是（）A.mnB.m 2nC.6mnD.3mn8、将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式的是（）．A. B. C. D.9、边长为a、b的长方形周长为12,面积为10,则的值为( )A.120B.60C.80D.4010、下列分解因式正确的是（）A. B. C.D.11、将多项式2a2-4ab因式分解应提取的公因式是( )A.aB.2aC.2abD.4a 2b12、多项式m2－m与多项式2m2－4m＋2的公因式是（）A.m－1B.m＋1C.m 2－1D.(m－1) 213、下面因式分解错误的是( )A.x 2-y 2=(x+y)(x-y)B.x 2-8x+16=(x-4) 2C.2x2-2xy= 2X(x-y) D.x 2+y 2=(x+y) 214、下列因式分解中，正确的是（）A.﹣2x 3﹣3xy 3+xy=﹣xy（2x 2﹣3y 2+1）B.﹣y 2﹣x 2=﹣（y+x）（y﹣x）C.16x 2+4y 2﹣16xy=4（2x﹣y）2D.x 2y+2xy+4y=y（x+2）215、下面四个运算，计算正确的一个是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、分解因式：8－2x2＝________．17、因式分解：5x2-2x=________．18、一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd=0，则这个四边形的形状是________19、因式分解：ax²-4ax+4a=________ 。
北师大版八年级数学下第四章因式分解含答案
北师大版八年级数学下第四章因式分解含答案一、选择题1.下列因式分解结果正确的是（）A. x2+3x+2=x（x+3）+2B. 4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C. x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D. a2﹣2a+1=（a+1）22.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A. （x+3）（x-2）=x2+x-6B. ax-ay-1=a（x-y）-1C. 8a2b3=2a2•4b3D. x2-4=（x+2）（x-2）3.若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形4.把多项式x2﹣x分解因式，得到的因式是（）A. 只有xB. x2和xC. x2和﹣xD. x和x﹣15.计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A. B. C. ﹣ D. 3×6.下列多项式能因式分解的是（）A. B. C. D.7.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. （x+1）（x﹣1）=x2﹣1B. x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1C. x2﹣4y2=（x﹣2y）2D. 2x2+4x+2=2（x+1）28.在实数范围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A. x（x4﹣64）B. x（x2+8）（x2﹣8）C. x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D. x（x+2）3（x﹣2）9.分解因式得正确结果为（）A. a2b（a2﹣6a+9）B. a2b（a﹣3）（a+3）C. b(a2﹣3)2D. a2b（a﹣3)210.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（）A. 100B. 0C. -100D. 50二、填空题11.分解因式：a3﹣ab2=________．12.分解因式：m2﹣16=________．13.分解因式x2-8x+16=________14. 分解因式：x2﹣9= ________.15.分解因式：a2﹣16=________.16.已知一个长方形的面积是a2﹣b2（a＞b），其中长边为a+b，则短边长是________ ．17.分解因式：x2y﹣4xy+4y=________．18. 分解因式：9x3﹣18x2+9x=________19.已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=________20.分解因式：9a﹣a3=________ ．三、解答题21.因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）22.化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．23.阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2x﹣3=________；a2﹣4ab﹣5b2=________；（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；（3）观察下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．请你说明这个等式的正确性．参考答案一、选择题C D D D D C D C D C二、填空题11.a（a+b）（a﹣b）12.（m+4）（m-4）13.（x-4）214.（x+3）（x﹣3）15.（a+4）（a﹣4）16.解：（a2﹣b2）÷（a+b）=（a+b）（a﹣b）÷（a+b）=a﹣b．故答案为a﹣b．17.y（x﹣2）218.9x（x﹣1）219.1820.a（3+a）（3﹣a）三、解答题21.解：（1）原式=2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）=（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式=x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）=x（x﹣y）（x﹣4）．22.解：﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005=﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a2（a2﹣2a﹣3）+2005=2005．23.（1）（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）（2）解：m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，因为（m+3）2≥0，所以代数式m2+6m+13的最小值是4（3）解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），= （a2﹣2b+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2），= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]。
北师大版八年级数学下册 因式分解
第四章 因式分解
1 因式分解
复习旧知
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)= am+an .
(3)多项式乘以多项式
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn .
复习旧知
2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式
(a+b)(a-b)= a2 - b2 .
解: 7652×17－2352 ×17 = 17(7652 －2352) = 17(765+235)(765 －235) = 17×1000×530 = 9010000
讲授新课
例3 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004 =2004(2004+1) =2004×2005
(3) (m+4)(m-4)= m2-16 ; y2-6y+9 =( y-3 )2
(4) ( y-3)2= y2-6y+9 . a3-a =( a )( a+1)( a-1 )
(5)a(a+1)(a-1)= a3-a .
讲授新课
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
讲授新课
善于辨析：因式分解与整式乘法有 什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
讲授新课
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法?
哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法
北师大版八年级数学下册第四章因式分解回顾与思考
考点六 分组分解法分解因式
1. 把下列多项式分解因式.
1 x3 x2 x 1
x2 x1x 1
x 1x2 1
2 ax bx ay by
axbxay by xab yab a bx y
6．分解下列因式：
(2)－ a2＋2a－2＝ － (a－2)2 .
7．把下列各式因式分解： (2)(a＋2b)2＋2(a＋2b－1)＋3.
解：原式＝(a＋2b＋1)2.
11．下列因式分解中，正确的是( D ) • A．x2y2－z2＝x2(y＋z)(y－z) • B．－x2y＋4xy＝－xy(x＋4) • C．9－12a＋4a2＝－(3－2a)2 • D．(x＋2)2－9＝(x＋5)(x－1)
C．x2－y2和x－y
D．a＋b和a2－2ab＋b2
4．下列各因式分解的结果正确的是( C )
A．a3－a＝a(a2－1) B．b2＋ab＋b＝b(b＋a) C．1－2x＋x2＝(1－x)2 D．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
考点二 运用提公因式法分解因式
8．因式分解： (1)3x2y－18xy2＋27y3；
• (2)(x+4y)(x-y)-3xy
5. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3的值．
2
2
1
1
1
解：2 a3b＋a2b2＋2 ab3＝ 2 ab(a2＋2ab＋b2)
＝ 1 ab(a＋b)2. 2
当a＋b＝5，ab＝10时，
原式＝1×10×52＝125. 2
2、简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
北师大版八年级数学下册第四章因式分解知识点归纳复习总结
因式分解一、 什么是因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做因式分解。
如例1、下列各式中，哪些是因式分解？（1）22)2(44-=+-a a a （2）)1)(1(3-+=-x x x x x （3）)11(1aa a +=+ （4）1))((122+-+=+-b a b a b a （5）)13(3392-=-x x x x 二、提公因式法（一）公因式多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
★确定一个多项式的公因式时，应从系数和字母进行分别考虑对于系数：如果各项系数都是整数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；如果各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数。
对于字母：首先取各项相同字母（或因式），之后取各项相同字母（或因式）的指数取其次数最低的。
注意：（1）公因式的系数的“+”“－”，一般由首相来决定。
（2）在因式分解时，经常应用下列关系：)(a b b a --=- 22)()(a b b a -=- 33)()(a b b a --=-偶偶)()(a b b a -=- 奇奇)()(a b b a --=-例2、指出下列各式的公因式（1）mx 2-，mx 3（2）xyz 12，z y x 329-，226z x （3）2)(3y x +，3)(6-y x +，)(9y x + （4）2)(n m -，2)(3m n - （5）2278xy ，yz 94（二）提公因式法如果一个多项式的各项式含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。
例3、把下列各式因式分解（1）)1()1(-+-x b x a =（2）m m m 24164-23-+=（3）32)(6)(3x y y x ---=（4）22)(6)(2m n m n m ---= （5）)2()2(m b m a ---=三、公式法根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
北师大版八年级下册第四章因式分解之因式分解
B
D x²-5x+6 =(x+2)(x+3)
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
(1)x²-x =x(x-1） 因式分解
(2)x²-1=(x+1)(x-1) 因式分解
(3) x(x-1）=x²-x 整式乘法
(4) (x+1)(x-1) =x²-1 整式乘法
判断下列各式哪些是整式乘法,
哪些是因式分解。
(1)x²-4y²=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2)(5a-1)²=25a²-10a+1 整式乘法
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
解这类题的步骤:第一利用整式的乘法得到 多项式;第二令得到的多项式与所求的多项 式相等;第三使其对应项的系数相等.
所以原式能被11整除.
试说明 32020 - 4 32019 7 32018
能被11整除.
32 52018 - 4332018 7 32018 32018 (32 - 4 3 7) 32018 4
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中考点拨： 例 1.在 ABC 中，三边 a,b,c 满足 a 2 16b2 c 2 6ab 10bc 0 求证： a c 2b 证明： a 2 16b2 c 2 6ab 10bc 0
a2 6ab 9 b2 c 2 10bc 25b2 0 即 (a 3b) 2 (c 5b )2 0 (a 8b c)( a 2 b c) 0
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：
（ 1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因 式可提，其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法， 的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
1)2
2 1]
x
x
21
2
说明：利用 x 2
1 x2
(x
1)2 x
2 等式化繁为易。
题型展示： 1. 若 x 为任意整数，求证： (7 x)( 3 x )(4 x 2) 的值不大于 100。
解： (7 x)(3 x)(4 x 2 ) 100
( x 7)(x 2 )( x 3)( x 2) 100 ( x 2 5x 14)( x 2 5x 6) 100 [( x 2 5x ) 8( x 2 5x ) 16] ( x 2 5x 4) 2 0 (7 x )(3 x )( 4 x 2 ) 100
因式分解小结
【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，
它和整式乘法互为逆运算， 在初
中代数中占有重要的地位和作用， 在其它学科中也有广泛应用， 学习本章知识时， 应注意以
下几点。
1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于
100，即要求它
们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2. 将 a 2 (a 1) 2 ( a2 a) 2 分解因式，并用分解结果计算 62 7 2 422 。
解： a 2 ( a 1) 2 ( a2 a) 2 a2 a 2 2a 1 (a 2 a) 2 2( a 2 a) 1 (a 2 a) 2 (a 2 a 1) 2
2. 通过变形达到分解的目的 例 1. 分解因式 x 3 3x 2 4 解一：将 3x 2 拆成 2x 2 x 2 ，则有 原式 x 3 2x 2 ( x 2 4) x 2 (x 2) ( x 2)( x 2 ) ( x 2)( x 2 x 2) ( x 1)( x 2) 2 解二：将常数 4 拆成 1 3 ，则有 原式 x 3 1 ( 3x 2 3) ( x 1)( x 2 x 1) (x 1)(3x 3) ( x 1)( x 2 4 x 4) ( x 1)( x 2) 2
3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式 (x 2 4)( x 2 10x 21) 100 的值一定是非负数
分析： 现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多 项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明： ( x 2 4)( x 2 10x 21) 100
(x 2)( x 2)( x 3)( x 7) 100 (x 2)( x 7)( x 2)( x 3) 100 (x 2 5x 14)( x 2 5x 6) 100
分组
（ 2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项 （添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。 【分类解析】
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1. 分解因式 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
x5 x4 x3和 x2 x 1分
62 7 2 422 (36 6 1) 2 432 1849
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
abc a 8b c，即 a 8b c 0 于是有 a 2 b c 0 即a c 2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例 2. 已知： x
解： x 3
1 x3
1 x
2，则 x 3
1 x3
__________
(x
1 )( x 2
1
1 )
x
x
-3-
(x
1 )[( x
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 寻找一种代换的方法。
a+b，b+c 与 a+2b+c 的关系，努力
解：设 a+b=A ， b+c=B ， a+2b+c=A+B 原式 ( A B) 3 A 3 B 3 A 3 3A 2 B 3AB 2 B3 A 3 B 3 3A 2 B 3AB 2 3AB ( A B) 3(a b)( b c)( a 2 b c)
别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式 ( x 5 x 4 x 3 ) (x 2 x 1)
-1-
x 3 (x 2 x 1) ( x 2 x 1) ( x 3 1)( x 2 x 1) ( x 1)( x 2 x 1)( x 2 x 1) 解二：原式 = ( x 5 x 4 ) (x 3 x 2 ) ( x 1) x 4 (x 1) x 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 4 x 1) ( x 1)[( x 4 2x 2 1) x 2 ] ( x 1)( x 2 x 1)( x 2 x 1)
设 y x 2 5x ，则
-2-
原式 ( y 14)(y 6) 100 y 2 8y 16 ( y 4) 2 无论 y取何值都有 ( y 4) 2 0 (x 2 4)( x 2 10x 21) 100的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式： (a 2 b c) 3 (a b) 3 (b c) 3