高考一轮复习教案一(7)指数、对数不等式的解法(教师)

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高考数学第一轮复习教案专题9不等式

专题九不等式一、考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．二、考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 三、命题热点高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。

高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。

四、知识回顾1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b ++（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域对于直线0=++C By Ax (A>0)当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.五、典型例题例1 在ΔABC 中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：3π≤B ＜2π. 这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA ·tgc ⇒tg 2B=tgA ·tgctgB=tg(π-(A+C))=-Btg 21tgCtgA -+∴tgA+tgC=tgB(tg 2B －１) ∵tgA+tgC ≥2tgC tgA ⋅=2tgB 即 tg 2B-1≥2∴tgB ≥3 ∵B ≥3π……这里，抓住了tg 2B=tgA ·tgC 这一相等关系及tgB=-tgCtgA ⋅-+1tgCtgA 隐含关系.通过tgA+tgC≥2tgC tgA ⋅这一恒成立的不等式得出关于tgB 的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等”的转化.ⅰ)由实数理论知：若a ≥b 且a ≤b 则必有a=b ，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y ＞0⇒y ＞-x 可含y=-x+t ，这里t ＞0，从而把x,y 的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2 已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax ２＋bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x ≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c ｜≤｜(2)证明：当｜x ｜≤1时，｜g(x)｜≤2(3)设a ＞0，当｜x ｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x ∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a ＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a 、b 、c 相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：∵a ＞0，∴g(x)=ax+b 是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max =g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1∵当-1≤x ≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-ab2=0，即b=0代入①得a=2 ∴f(x)=2x 2-12.“相等”与“不等”的构造从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：①利用重要不等式：ⅰ)a 2+b 2≥2abⅱ)a 、b 、c ∈R ＋，a+b ≥2ab ，a+b+c ≥33abc ⅲ)a b +ba≥2(a 、b ＞0)等等 ②利用函数单调性：f(x)是区间I 上的增函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x ２)＜f(x １)；f(x)是区间I 上的减函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x 1)＞f(x 2)；③利用等量关系中的隐含条件，如x ２-１≥0 ｜x ｜≤a y=1-x 2⇒ x 2+y 2=a 2⇒y ≥0 ｜y ｜≤a例3 已知a 、b ∈R 且a 21b -+b 21a -=1，求证a 2+b 2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：∵a21b-≤2b -1a 22+ b 21a -≤2a -1b 22+两式相加得a 21b -+b 21a - ≤1又已知a 21b -+b 21a - =1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b - ,b=21a -∴a 2+b 2=1例4 求满足(x 2+2x+3)(y 2+1)=2的实数x,y解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y 2+1≥1∴(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2 当且仅当x 2+2x+3=2,y 2+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等”关系中构造“相等”关系.x=rcos θ途径：①设元构造.例：x 2+y 2≤1⇒ (0≤r ≤1) y=rsin θ②数形结合，构造函数(或方程).例：x -4x -52≥x 可设y 1=x -4x -52,y 2=x例5 求证：nn 2＜1-n 2 (n ∈N ，n ≥2) 证明：∵2n =(1+1)n＝1+n+21)-n(n +…∴n ≥2，n ∈N,右端展开式中的各项为正∴2n＞21)-n(n即n n 2＜1-n 2例6 为使不等式x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b ＞0对任意实数x 、y 恒成立，求实数a 、b 应满足的条件.解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正增量t ，可令x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x 2+4xy+4y 2+2mx+4my+m 2+410=2m a=20 根据多项式相等的条件有： a=4m ⇒b=m 2+t(t ＞0) b=25+t ＞25 所以当a=20,b ＞25时，原不等式恒成立.例7 已知x 2+y 2≤1，求x+y 的最大值.分析：这里，量x+y 与x 2+y 2的直接关系可以通过2(x 2+y 2)≥(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos θ，y=rsin θ，则有r 2≤1∴0≤r ≤1∴x+y=rcos θ+rsin θ=2rsin(θ+4π)≤2 r ≤2 得出. 3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.x+y=6 例8 求解方程组z 2=xy-9这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy 进行估算，可知xy ＞9，否则z 2＜0,x+y ＞0∵x ＞0,且y ＞0且6=x+y ≥2xy ⇒xy ≤9故z 2=xy-9≤9-9=0∴z=0且x=y=34.由不等推出矛盾：反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.例9 已知锐角α，β满足βαsin cos +αβsin cos =2，求证α+β＝2π证明：假设α+β＞2π，则α＞2π-β，β＞2π-α ∵α，β，2π-2，2π-β∈(0，2π)∴cos α＜cos(2π-β)＝sin βcos β＜cos(2π-α)=sin α从而2=βαcos cos +αβsin log ＜ββsin sin +ααsin sin =2矛盾故α+β≤2π，同理α+β≥2π，∴α+β=2π(二)不等式与函数、方程的关系前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x 轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.例10 2x ２-3x=k 在［-1,1］内有实根，求实数k 的取值范围.此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k 的范围.解：设y=2x 2-3x-k=f(x)①若方程2x 2-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则 Δ≥0f(-1)≥0 9+8k ≥0f(1)≥0 ⇔ 2+3-k ≥0 解之得：-89≤k ≤-1 -1＜43＜1 2-3-k ≥0 ②若方程2x 2-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则 Δ＞0 k ＞-89 ⇔ ⇔ -1≤k ≤5 f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0 综上可知，k ∈［-89,5］ 2.不等式与函数最值(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x 、y 都为正数这个条件，就不能说x+y 有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x ＞0时，求y=x 2+x 1的最小值，若写成y=x 2+x1≥2xx 12⋅=2x (等号当且仅当x 2=x 1即x=1时y min =21=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于x 2·x 21·x 21=4为定值，故y=x 2+x 1=x 2+x 21+x 21≥3322121x x x ⋅⋅=2332，即y min ＝2332(显然(2332)3=427＜8 即2332＜2＝③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x ＜2π时求y=sinx+sinx 4的最小值，尽管y=sinx+sinx 4≥2xsin 4sin ⋅=4.但y min ＝４是错误的，因为当sinx=sinx4时可推出sinx=2(sinx ＞0)不成立，这只能说y ＞4恒成立，因此y min ＞4必成立，实际上由y=t+t4在(0，1］上是单调减函数可知，当sinx=1时y min =5(2)不等式与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最椎 x ∈R 时①当a ＞0时，x=-a b 2时，y min =a 4b -4ac 2；当a ＜0，x=-a b 2时y max =a4b -4ac 2②当x ∈［m,n ］(m ＜n ＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”. 例11 若a ＞0，y=ax 2+bx+c 的最值如下表当a ＜0时，可依上表写出类似结论.(3)重要函数y=x+c ，(a ＞0,x ＞0)的单调性.利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o ，a )上是减函数，在QS ［a ，+∞)上是增函数.例12 求y=4522++x x 的最值解：y=41422+++x x ＝4x 2++412+x令t=4x 2+≥2，于是y=t+t 1在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时y min =25 (三)不等式与几何的关系数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.1.构造几何图形证明不等式1)对于一些含有“A+B ≥C ”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明例13 x 、y 、z ∈R +，求证：-xy y x 22+ +yz -z y 22+＞xz y x -+22简析：x 2+y 2-xy=x 2+y 2-2xycos60°由 y 2+z 2-yz=y 2+z 2-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥z 2+x 2-xz=x 2+z 2-2xzcos60°o-ABC 得证(如图)，AB=xy -y x 22+ BC=yz -y 22z + CA=xz -x 22z +及ΔABC 中，AB+BC ＞AC2)对于一些含有“A ·B 或21(A+B)·C ”结构的不等式问题，可联想面积证明之例14 设a ＞c,b ＞c ＞0,求证：c)-c(a +)(c b c -≤ab 简析：∵(c -b )2+(c )2=(b )2(c -a )2+(c )2=(a )2即勾股定理，c)-c(a +)(c b c -=c (c -a +c -b )联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)3)对于含有“a 2+b 2=c 2”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.4)对于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或22C bB aA BA +++”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.5)对含有“a 2+b 2=R 2且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 2.运用不等式知识解决几何最值这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.(四)不等式与其它杂题 1.不等关系的探索.现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：例15 已知S n =1+21+31+…n1(n ∈N),设f(n)=S 2n+1-S n+1.试确定m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m 恒成立.分析：依题意f(n)=S 2n+1-S n+1=2n 1++3n 1++…+12n 1+ (n ∈N)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n 的函数，只须求出f(n)的最小值即可.略解：∵f(n)=2n 1++3n 1++…+12n 1+ f(n+1)=3n 1++…+32n 1+ 且f(n+1)-f(n)=22n 1++ 32n 1+-2n 1+=(22n 1+-42n 1+)+(32n 1+-42n 1+)＞0∴f(n+1)＞f(n) (n ＞1，n ∈N)∴f(2)是f(n)(n ＞1，n ∈N)的最小值f(2)=209 要使f(n)＞m 恒成立，只须f(2)＞m 恒成立，故m ＜209 例16 已知等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1,a 2=b 2,a 1≠a 2,a n ＞0,n ∈N (1)试比较a 3,b 3及a 4,b 4的大小.(2)推测a n 与b n 的大小，并证明你的结论. (结论：b n ＞a n 对任意n ∈N ，n ≥3成立)简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x 、y ∈(-1，1)有f(x)+f(y)=f(xyyx ++1) (ⅱ)当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)与f(21)的关系.简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数. f(13n n 12++)=f(1-2)1)(n (n 1++)=f(211111)21(11+-⋅+++-++n n n n ) =f(1n 1+)+f(-2n 1+)=f(1n 1+)-f(2n 1+)∴f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)=［f(21)-f(31)］+［f(31)-f(41)］+…+［f(1n 1+)-f(2n 1+)］=f(21)-f(2n 1+)＞f(21)(∵0＜2n 1+＜1，∴f(2n 1+)＜0)2.不等式问题中的思维策略1)反客为主当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.例18 当｜p ｜≤2时，不等式2x-1＞p(x 2-1)恒成立，求x 的取值范围x 2-1=0 x 2-1＞0 x 2-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为或或 2x-1＞0 1-x 1-2x 2＞2 1-x 1-2x 2＜-2 分别解三个不等式组获解，但太繁琐.若“反客为主”将原不等式化为关于P 的不等式：(1-x 2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x 2)p+2x-1 问题转化为对一切｜p ｜≤2，f(p)＞0恒成立当1-x 2=0时易得x=1f(-2)＞0 当1-x 2≠0时，当且仅当解之得217-＜x ＜231+且x ≠1 f(2)＞0 综上217-＜x ＜231+ 2)以退为进有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A 、B 的关系是否有sinA ＞sinB证明：∵A+B=π-C ＞2π ∴2π＞A ＞2π-B ＞0 ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB同理 sinB ＞cosCsinC ＞cosA三式相加得sinA+sinB+siC ＞cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题（一）二元一次不等式(组)与平面区域（1）求约束条件及平面区域的面积例20.双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y xB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3x 00y x 0y xC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3x 00y x 0y xD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3x 00y x 0y x【解题思路】依据平面区域的画法求解.[解析]双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角形区域时有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故选A 。

高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式

高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式一、引言指数与对数函数是高中数学中重要的内容之一，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本教案将重点介绍指数与对数函数的方程与不等式的求解方法和应用。

二、指数函数的方程与不等式1. 指数方程的求解指数方程是形如 a^x = b 的方程，其中 a 和 b 是常数，a 为底数，b 为指数函数的值。

求解指数方程的一般步骤如下：步骤1：将指数方程转化为等价的对数方程。

对于 a^x = b，可写成loga(b) = x。

步骤2：求解对数方程，即求 loga(b) 的值。

2. 指数不等式的求解指数不等式是形如 a^x ＞ b 或 a^x ＜ b 的不等式，其中 a 和 b 是常数。

求解指数不等式的一般步骤如下：步骤1：将指数不等式转化为对数不等式。

对于 a^x ＞ b，可写成loga(b) ＜ x。

步骤2：求解对数不等式，即求 loga(b) 的值范围。

三、对数函数的方程与不等式1. 对数方程的求解对数方程是形如 loga(x) = b 的方程，其中 a 和 b 是常数，a 为底数，x 为对数函数的自变量。

求解对数方程的一般步骤如下：步骤1：根据对数的定义，将对数方程转化为指数方程。

对于loga(x) = b，可写成 a^b = x。

步骤2：求解指数方程，即求 a^b 的值。

2. 对数不等式的求解对数不等式是形如 loga(x) ＞ b 或 loga(x) ＜ b 的不等式，其中 a 和b 是常数。

求解对数不等式的一般步骤如下：步骤1：根据对数的定义，将对数不等式转化为指数不等式。

对于loga(x) ＞ b，可写成 a^b ＜ x。

步骤2：求解指数不等式，即求 a^b 的值范围。

四、指数与对数函数方程与不等式的应用举例1. 人口增长模型根据人口增长的特点，可以建立指数函数方程来描述人口的增长情况。

通过求解指数函数方程，可以预测未来的人口数量。

高中数学指数对数解法教案

高中数学指数对数解法教案
主题：指数对数解法
目标：学生能够掌握指数对数的基本概念和解法方法，能够灵活运用指数对数解决实际问题。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引导学生回顾指数对数的基本概念，回顾指数对数的性质和解法方法。

2. 提出一个简单的指数对数问题，让学生思考如何解决。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解指数的基本概念和规律，引导学生理解指数的含义和运算法则。

2. 讲解对数的基本概念和规律，引导学生理解对数的含义和运算法则。

三、练习（20分钟）
1. 给学生一些简单的练习题，让他们灵活运用指数对数的解法方法，解决问题。

2. 分组讨论解题思路，引导学生相互学习和交流。

四、拓展（10分钟）
1. 给学生一些挑战性的问题，让他们尝试用指数对数的解法方法解决。

2. 引导学生思考指数对数在现实生活中的应用，并讨论其重要性。

五、总结（5分钟）
1. 总结本节课学习的内容，强调指数对数的重要性和灵活运用方法。

2. 鼓励学生多加练习，加深对指数对数的理解和掌握。

教学反思：在教授指数对数解法的过程中，需要引导学生理解其基本概念和操作规律，同时要注重培养学生的思维能力和解题思路，让他们能够独立解决复杂的指数对数问题。

2019-2020年高三数学第一轮总复习指数式与对数式教案

2019-2020年高三数学第一轮总复习指数式与对数式教案课题：指数式与对数式教学目标：1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明，指数及对数方程的解法．教学过程：（一）主要知识：1.n 次方根的定义及性质：n 为奇数时，，n 为偶数时，.2.分数指数幂与根式的互化：，3.指数式与对数式的互化：．4.对数的运算法则：（略）5.换底公式及换底性质：○1， ○2，○3， ○4. （二）主要方法：1．重视指数式与对数式的互化；2. 根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；3．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；4．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．（三）例题分析：例1．计算：（1）)0,0(3224>>⋅-b a ab b a（2）（3）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（4）；（5）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+．例2．○1已知，求的值；○2已知，求；○3设，求.例3．已知，且，求的值．例4．设，，且，求的最小值．例5．（xx 上海春）方程()()()x x x ++-=-3log 1log 13log 443 的解是（四）高考回顾：考题1（xx 湖北文）若则下列结论中不正确的是（）ab a b D a C a b B a b A b a b a b b a b a log log log log .,1).(log ,2log log .,1log log .2+>+<>+=⋅考题2（xx 上海）方程的解是考题3（xx 北京）方程lg(4x +2)=lg2x +lg3的解是考题4( 05全国卷III)若,则 ( )(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c考题5（xx 辽宁文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为．考题6（xx 北京春）已知二次函数()a x x a x f log 42log )(2++⋅=的最大值是3，求的值。

高中数学指数对数教案

高中数学指数对数教案一、教学目标：1. 了解指数和对数的定义和性质；2. 掌握指数和对数的运算方法；3. 能够应用指数和对数解决实际问题。

二、教学内容：1. 指数的概念与性质；2. 对数的概念与性质；3. 指数和对数的运算；4. 指数与对数的实际应用。

三、教学过程：1. 指数的概念与性质指数的定义：如果a是一个非零的实数，n是一个正整数，则a的n次方，记作a^n，表示n个a的乘积。

其中，a称为底数，n称为指数。

指数的性质：- a^m * a^n = a^(m+n)- a^m / a^n = a^(m-n)- (a^m)^n = a^(m*n)2. 对数的概念与性质对数的定义：如果a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正实数，则log_a(b) = c 表示a的c次方等于b。

其中，a称为底数，b称为真数，c称为对数。

对数的性质：- log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)- log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)- log_a(b^c) = c * log_a(b)3. 指数和对数的运算指数和对数的互为逆运算：- a^log_a(b) = b- log_a(a^b) = b指数和对数的换底公式：- log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)4. 指数与对数的实际应用通过实例分析指数和对数在实际问题中的应用，如利用指数和对数解决成本、增长、衰减等问题。

四、教学反馈：设置一些练习题，让学生进行练习并及时纠正错误。

可以在课堂上进行讨论和解答疑问，帮助学生确保掌握了知识。

五、作业布置：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

还可以布置一些应用题，让学生锻炼解决实际问题的能力。

六、教学总结：对本节课的重点内容进行总结，强调学生应该掌握的知识点。

鼓励学生勤加练习，加深理解，提高技能。

高考一轮复习教案一(7)指数、对数不等式的解法(学生) (2)

模块：一、集合、命题、不等式课题： 7、指数、对数不等式的解法教学目标：掌握指数、对数不等式的解法．重难点：指数、对数运算的应用．一、知识要点注：解指数、对数不等式，未指定底数的大小，要分和两种情况解．二、例题精讲例1、解下列不等式（1）2lg 12x <；（2）649x xx+>；（3）2216230xx+-+<．例2、解下列不等式（1）()()122log 21log 222x x +-⋅-<；（2）()3log 3log 01a a x x a a <>≠且；（32112log x>+．例3、解下列关于x 的不等式（1）()3log 101a x a x a a x --⎛⎫<>≠ ⎪⎝⎭且；（2）()()2log 12101a x a a a ->->≠且．*例4、（1）解不等式2231037290x x +-⋅+≤；（2）对满足（1）的x ，若函数()()22log log 1a a y a x x b =⋅-+的最大值为32，最小值为0，求a b 、的值．三、课堂练习1、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围是． 2、22xx+≥的解集为．3、不等式0.5log 1xxx<的解集为． 412log 1x <-的解集为．5、对于11a -≤≤，使不等式2211122x axx a ++-⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立的x 的取值范围是．6、不等式()222log 0x x ->的解集是．四、课后作业一、填空题 1、不等式21log 63x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集为． 2、函数y =的定义域是．3、不等式()()()2cos lg 2010,xx π>∈的解是．4、已知全集I R =，261|12x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}3|log 2B x x a =-<，当A B ⊆时，a 的取值范围是．5、不等式1402x->的解集为；若关于x 的不等式42x xa ->的解集为R （实数集），则实数a 的取值范围是．6、不等式2223122x axx a -+⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为R ，则实数a 的取值范围是．二、选择题7、已知关于x 的方程()4200x x a b c a ⋅+⋅+=≠中，常数a 和b 同号，而b 和c 异号．则下列结论中正确的是（） A 、此方程无实根 B 、此方程有两个互异的负实根C 、此方程有两个异号实根D 、此方程仅有一个实根8、若不等式220x ax a -+>对x R ∈恒成立，则关于t 的不等式221231t tt a a ++-<<的解为（） A 、12t <-∈⎨⎬⎩⎭，{}|2,T x x Z =<∈，则S T 中的元素个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个三、解答题10、解下列关于x 的不等式：（1）()()11241log 4log 1xxaa+-≥-（0a >且1a ≠）；（2）92log 2a xx x a>．11、（1）2121|13x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}3|log 32B x x a =-<；（2）(){}2|log 5832x A x x x =-+>，{}24|210B x x x a =--+≥，当A B ⊆时，分别求a 的取值范围．12、已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式：()()()231212log 4log 12log 2log log 3n nn a a a a a x x x n x x a ----+-+->-。

高中数学备课教案指数与对数函数的不等式与方程

高中数学备课教案指数与对数函数的不等式与方程教案：指数与对数函数的不等式与方程引言指数与对数函数是高中数学中重要的一部分内容。

掌握指数与对数函数的不等式与方程解法，对于学生理解函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。

本节课将重点介绍指数与对数函数的不等式与方程的解法及应用。

1. 指数与对数函数的基本特性说明：首先对指数与对数函数的基本特性进行简要介绍，让学生熟悉函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念。

2. 指数与对数函数的不等式2.1 指数函数的不等式说明：介绍指数函数不等式的基本解法，通过例题演示如何求解。

2.2 对数函数的不等式说明：讲解对数函数不等式的解法，引导学生理解对数函数不等式与指数函数不等式的关系。

3. 指数与对数函数的方程3.1 指数函数的方程说明：通过实例讲解指数函数方程的解法，帮助学生清晰地了解解方程的步骤和方法。

3.2 对数函数的方程说明：介绍对数函数方程的解法，重点讲解换底公式的应用。

4. 综合应用说明：结合实际问题，设计综合应用题，通过解答问题的过程帮助学生巩固所学的不等式与方程解法，并且培养学生的应用能力。

5. 拓展延伸说明：提供一些实际生活中与指数与对数函数相关的问题，鼓励学生进一步发散思维，探索更多的数学应用。

6. 总结与反思说明：对本节课的内容进行总结，并引导学生思考所学的知识在实际问题中的应用。

7. 作业布置说明：布置一些相关的练习题，巩固学生对指数与对数函数的不等式与方程解法的掌握程度。

结语指数与对数函数的不等式与方程是高中数学的重要概念，对学生的数学学习和思维能力有着重要的影响。

通过本节课的学习，相信学生们能够进一步理解并掌握这一知识点。

希望同学们能够在课后的学习中不断巩固和拓展这一内容，并能运用所学知识解决更多的实际问题。

以上为高中数学备课教案《指数与对数函数的不等式与方程》的学习内容安排。

希望本节课能够帮助学生掌握指数与对数函数的不等式与方程解法，并能够灵活应用于实际问题中。

高三数学一轮复习教学计划

高三数学一轮复习教学计划（精选10篇）什么是教学安排？教学安排（课程安排）是课程设置的整体规划，它规定不同课程类型相互结构的方式，也规定了不同课程在管理学习方式的要求及其所占比例，同时，对学校的教学、生产劳动、课外活动等作出全面支配，详细规定了学校应设置的学科、课程开设的依次及课时安排，并对学期、学年、假期进行划分。

高三数学一轮复习教学安排（精选10篇）时间是箭，去来迅疾，为了以后教学质量不断提高，不如为接下来的教学做个教学安排吧。

信任写教学安排是一个让很多人都头痛的事情，下面是我收集整理的高三数学一轮复习教学安排（精选10篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高三数学一轮复习教学安排1一、指导思想：加强学习、更新观念，确立新课程标准的基本理念，坚决不移地实施以培育学生创新意识，探究意识和实践实力为重心的素养教化，转变教研理念，改进教研方法，优化教研模式，主动探究在新课程改革背景下中学数学教学工作新体系二、工作目标：本学期是高三一轮复习的主要时间，在本学期的教学活动中，老师要狠抓备课，坚持说课，多参与听评课活动，为学生基础学问的扎实驾驭做出自己的贡献。

三、工作措施：1、狠抓集体备课，深化教材探讨。

2、各数学老师仔细拟定教学安排和辅导学生安排。

在教学中，要特殊重视对学生的学习方法指导和良好习惯培育，激励学生大胆创新，不卑视、压制、挖苦学生。

3、抓好学习，更新观念，各老师留意学习2006届《考纲》，依据改变刚好驾驭教学方向，把握高考的命题特点。

4、探讨学情，盯紧层面生。

各老师要多与层面生交谈，了解其学习状态。

层面生的辅导与试卷的批改要刚好到位。

四、详细支配：本备课组重点探讨开放题，应用题教学中学生创新实力培育的探讨与探究。

紧扣考纲，立足双基，编织网络，夯实基础，总结规律，不断提高运算实力，逻辑思维实力，空间想象实力，学习实力，探究实力，创新实力。

高三数学一轮复习教学安排2一、数学的“双基”是指数学的基础学问、基本技能和数学思想方法。

届高三数学一轮复习教案二章七节指数式与对数式

指数与对数陈海军【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+． 3.求值：（1）35log(84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____．4.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，则18lg25=___－0.14_____(结果保留2位小数)． 5.（1）方程342115x -=的解集为_____16________；（2）方程32142568x x +-=⨯的解集为79；（3）方程1)3(lg lg =++x x 的解集为_____2____．【范例解读】例1.化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x --++的值．分析：先化简再求值．解：（1）由13a a-+=，得11222()1a a --=，故11221a a --=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-．（2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x x x x ---+=-+=+．点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+；（2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56．分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=；（2）由2log 3m =，得31log 2m=；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn ++===++++．点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．例3.已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值．分析：将a ，b 都用c 表示．解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b +=，则log 3log 52c c +=，得215c =．0c >，c ∴=．点评：三个方程三个未知数，消元法求解．例4.设a ，b ，c 为正数，且满足222a b c +=．（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b+-+++=；（2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a ，b ，c 的值．分析：运用对数运算性质化简证明．（1）证明：左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=⋅ 2222()2log log 1a b c ab ab ab+-====右边．（2）解：由4log (1)1b c a ++=得30a b c -++=①；由82log ()3a b c +-=得4a b c +-=②；又222a b c +=③；联立①②③得6a =，8b =，10c =．点评：证明恒等式问题一般由复杂到简单．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg0.321=3a -．3．已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）． 5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7若正整数m 满足m m 102105121<<-，m =则155．)3010.02(lg ≈ 8若112511(,1)()11log log 33n n n Z +∈+∈，则n =_2___．9已知2lg lg lg 2x y x y -=+的值．解：由已知得2lg()lg()2x y xy -=，∴2()2x y xy -=，即2260x xy y -+=，2()610x x y y ∴-⋅+=，解得：3x y =±02x y ->，0x >且0y >，0x y ∴>>，从而3x y =+1=． 11．已知11223x x-+=，求22332223x x x x --+-+-的值．解：11223x x -+=，11222()9x x -∴+=，17x x -∴+=，2247x x -∴+=，又331112222()(1)18x x x x x x ---+=+⋅-+=，223322233x x x x --+-∴=+-． 12．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ．（1）求实数c 的值；（2）解不等式182)(+＞x f ．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．沁园春·雪北国风光，千里冰封，万里雪飘。

高中数学备课教案指数函数与对数函数的方程与不等式

高中数学备课教案指数函数与对数函数的方程与不等式高中数学备课教案指数函数与对数函数的方程与不等式一、引言指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其方程与不等式的解法对于学生的数学素养提升具有重要意义。

本教案将重点介绍指数函数与对数函数的方程与不等式的基本概念、求解方法和相关应用。

二、指数函数的方程1. 指数函数方程的基本性质指数函数方程是以指数函数为未知数的方程，一般形式为\[a^x = b\]其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。

指数函数方程的解即为\(x\)的取值，使得指数函数表达式等于常数\(b\)。

2. 指数函数方程的解法（1）对数法：将指数形式转化为对数形式，通过对数的性质求解。

（2）换底公式：当底数不同但为正实数时，可通过换底公式将方程化简为相同底数的形式，然后求解。

3. 指数函数方程的应用指数函数方程常见于各种科学问题中，如物质的自然衰变、人口增长问题等。

通过对指数函数方程的求解，能够帮助学生分析解决这些实际问题。

三、对数函数的方程1. 对数函数方程的基本性质对数函数方程是以对数函数为未知数的方程，一般形式为\(\log_a{x} = b\)其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。

对数函数方程的解即为\(x\)的取值，使得对数函数表达式等于常数\(b\)。

2. 对数函数方程的解法（1）指数与对数互逆性质：将对数形式转化为指数形式，通过指数函数的性质求解。

（2）换底公式：当底数不同但为正实数时，可通过换底公式将方程化简为相同底数的形式，然后求解。

3. 对数函数方程的应用对数函数方程常见于财务管理、生物科学等领域中，如利润的计算、酶的催化作用等。

通过对对数函数方程的求解，能够帮助学生应用数学解决实际问题。

四、指数函数的不等式1. 指数函数不等式的基本性质指数函数不等式是以指数函数为未知数的不等式，一般形式为\[a^x > b\]或\[a^x < b\]其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。

高中数学对数和指数教案

高中数学对数和指数教案教学目标：1. 理解对数和指数的概念及特性。

2. 掌握对数和指数的运算规律。

3. 能够解决涉及对数和指数的实际问题。

教学内容：1. 对数的定义和性质。

2. 对数运算规律。

3. 指数的定义和性质。

4. 指数运算规律。

5. 对数和指数的应用题解析。

教学步骤：一、引入通过引发学生思考问题：“如何表示一个数的倍数？”引出对数和指数的概念。

二、讲解1. 对数的定义和性质：介绍对数的概念，解释对数的意义和特性。

2. 对数运算规律：讲解对数的基本运算规律，如对数乘除法、对数幂次方等。

3. 指数的定义和性质：介绍指数的概念，解释指数的意义和特性。

4. 指数运算规律：讲解指数的基本运算规律，如指数乘除法、指数幂次方等。

三、练习学生进行对数和指数的练习，巩固所学知识，掌握运算技巧。

四、应用解析一些实际问题，让学生利用对数和指数知识进行求解，培养学生的应用能力。

五、拓展介绍对数和指数在科学、工程等领域的应用，拓展学生的知识视野。

六、总结总结本节课所学内容，强调对数和指数在数学中的重要性和应用。

七、作业布置布置相关的练习题作业，巩固学生的知识。

教学资源：1. 教科书《高中数学教材》2. 教学PPT3. 练习题和应用题材料评估方式：1. 课堂练习表现评定2. 作业提交评分3. 根据学生在应用题中的解答情况评估其对对数和指数的掌握程度。

教学反思：根据学生学习情况和反馈意见，及时调整教学方法和内容，确保学生能够深入理解对数和指数的概念和运用。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：对数与对数函数

§2.8对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念在表达式a b ＝N (a >0且a ≠1，N ∈(0，＋∞))中，当a 与N 确定之后，只有唯一的b 能满足这个式子，此时，幂指数b 称为以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 称为对数的底数，N 称为对数的真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N .以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N .2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域(0，＋∞)值域R性过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0质当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数一般地，如果在函数y ＝f(x )中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函数，这个函数称为y ＝f (x )的反函数．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m nab ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .(×)(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．(×)(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√)教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为()A ．[0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案A解析根据复合函数单调性同增异减可知f (x )在[0,1]上单调递增，因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，则log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22，即f (x )∈[0,1]．2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________．答案(3,2)解析∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3，y ＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．3．e ln 2＋log 202216log 20224＝________.答案4解析e ln 2＋log 202216log 20224＝2＋log 416＝2＋2＝4.题型一对数式的运算例1(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是()A ．－1 B.12C.710D ．1答案D解析由2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)计算：log 535＋122log －log 5150－log 514＝________.答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log ＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a－3b＝________.答案925解析因为2a ＝3，所以a ＝log 23，又b ＝log 85，所以b ＝13log 25，所以a －3b ＝log 235，4a －3b ＝232log 52＝925.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.答案－1解析原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋12lg 4－2lg 2lg 3×lg 3lg 2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －11.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a 0，所以0<a <1，b >1，所以－ln a ＝ln b ，所以ln a ＋ln b ＝ln(ab )＝0，所以ab ＝1，则b ＝1a ，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，令g (x )＝x ＋2x (0<x <1)，则g (x )在(0,1)上单调递减，所以g (x )>g (1)＝1＋2＝3，所以a ＋2b >3，所以a ＋2b 的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx的图象可能是()答案B解析∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，∴ab ＝1，∴a ＝1b，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．log∴函数f(x)＝a x与g(x)＝1b(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝a x的图象如图所示，则函数f(x)＝log a(－x＋1)的部分图象大致为()答案D解析由函数y＝a x的图象可得a>1.当a>1时，y＝log a x经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝log a x与y＝log a(－x)关于y轴对称，所以y＝log a(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝log a(－x＋1)可以看作y＝log a(－x)的图象向右平移一个单位得到的，所以f(x)＝log a(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．b<a<cC．a<clog33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b.命题点2解对数方程、不等式例4若log a(a＋1)<log a(2a)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案解析由题意log a(a＋1)<log a(2a)<log a1，>1，＋1<2a <1a <1，＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数函数的性质及应用例5(2023·郑州模拟)设函数f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|，则f (x )()A ．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B ．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C ．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D ．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案A解析函数f (x )的定义域为{x |x ≠±3}，f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|＝ln|x 2－9|，令g (x )＝|x 2－9|，则f (x )＝ln g (x )，函数g (x )的单调区间由图象(图略)可知，当x ∈(－∞，－3)，x ∈(0,3)时，g (x )单调递减，当x ∈(－3,0)，x ∈(3，＋∞)时，g (x )单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f (－x )＝ln|(－x )2－9|＝ln|x 2－9|＝f (x )得f (x )为偶函数．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案A解析令t (x )＝6－ax ，因为a >0，所以t (x )＝6－ax 为减函数．又由函数f (x )＝log a (6－ax )在(0,2)上单调递减，可得函数t (x )＝6－ax >0在(0,2)上恒成立，且a >1，>1，－2a ≥0，解得1<a ≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log 2－ax a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________．答案(1，2)解析令u (x )＝x 2－ax ＋12＝＋12－a 24，则u (x )有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log 2－ax ，－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f (x )＝log 0.5(2x －1)的定义域为()1 B.12，－∞，12D ．[1，＋∞)答案A解析由题意，要使函数f (x )＝log 0.5(2x －1)有意义，则满足log 0.5(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1，即函数f (x )1.2．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．3答案B解析依题意，函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数，即函数y ＝a x 的图象过点(1,3)，则a ＝3，f (x )＝log 3x ，于是得f (log 28)＝log 3(log 28)＝log 33＝1，所以f (log 28)＝1.3．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为()答案A解析函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B ，C ；由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：Ah)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式：C ＝I n ·t ，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝20A 时，放电时间t ＝20h ；当放电电流I ＝30A 时，放电时间t ＝10h ．则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A.43B.53C.83D ．2答案B解析根据题意可得C ＝20n ·20，C ＝30n ·10，两式相比得20n ·2030n ·10＝1，即23n ＝12，所以n ＝23321log log 22＝lg 2lg 32＝lg 2lg 3－lg 2≈0.30.48－0.3＝53.5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－|x |，则不等式f (x )>0的解集是()A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．∅答案B解析不等式f (x )>0⇔log 2(x ＋1)>|x |，分别画出函数y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象，由图象可知y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log 2(x ＋1)>|x |的解集是(0,1)，即不等式f (x )>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，下列说法正确的是()A ．函数f (x )的图象恒过定点(0,0)B ．函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减C ．函数f (x )在区间－12，1上的最小值为0D ．若对任意x ∈[1,2]，f (x )≥1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2]答案ACD解析将(0,0)代入函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，成立，故A 正确；当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1∈(1，＋∞)，又a >1，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)，由复合函数单调性可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)单调递增，故B 错误；当x ∈－12，1时，x ＋1∈12，2，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|≥log a 1＝0，故C 正确；当x ∈[1,2]时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log a 2≥1，解得1<a ≤2，故D 正确．7．(2023·淮北模拟)2＋log 4＝______.答案10解析2＋4log 2log 2422＝＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f (x )＝()log 2x 的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.9．已知f (x )＝()213log 5.x ax a －＋(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解(1)当a ＝2时，f (x )＝()213log 210x x －＋，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u (x )＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u (x )为减函数，∴u (x )＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a >0，解得－14<a ≤2，∴a －14，2.10．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋kx 是偶函数．(1)求k ；(2)解不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)．解(1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)－kx ＝log 3(9x ＋1)＋kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx ＝log 3(9－x ＋1)－log 3(9x ＋1)＝log 39－x ＋19x ＋1＝log 33－2x ＝－2x ，∴k ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ＝log 3(9x ＋1)－log 33x＝log 39x ＋13x ＝log 3(3x ＋3－x )，则不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)等价于3x ＋3－x ≥7·3x －1>0，由7·3x －1>0，解得x >－log 37；由3x ＋3－x ≥7·3x －1，得6·(3x )2－3x －1≤0，得0<3x ≤12，即x ≤－log 32，综上，不等式的解集为(－log 37，－log 32]．11．若非零实数a ，b ，c 满足2a ＝3b ＝6c ＝k ，则()A.1a ＋1b ＝1c B.2a ＋2b ＝1cC.1a ＋1b ＝2cD.2a ＋1b ＝2c答案A 解析由已知，得2a ＝3b ＝6c ＝k ，得a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，c ＝log 6k ，所以1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，1c＝log k 6，而2×3＝6，所以1a ＋1b ＝1c.12．(多选)关于函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )，下列说法正确的是()A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,2)上为增函数C ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．f (x )的图象关于点(2,0)对称答案BC 解析函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)，当x ＝2时，4x －x 2取到最大值4，故此时f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )取到最大值log 24＝2，A 错误；f (x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)可以看作是由函数y ＝log 2u ，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)复合而成，而y ＝log 2u 是定义域上的增函数，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故f (x )在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B 正确；因为函数f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )，故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，C 正确；因为f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )≠－f (x )，故f (x )的图象不关于点(2,0)对称，D 错误．13．已知函数f (x )的定义域为R ，图象恒过点(0,1)，对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)的解集为()A ．(ln 2，＋∞)B ．(－∞，ln 2)C ．(ln 2,1)D ．(0，ln 2)答案D 解析因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，不妨设x 1>x 2，则f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，令g (x )＝f (x )－x ，则g (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)，等价于f (ln(e x －1))－ln(e x －1)<1＝f (0)－0，即g (ln(e x －1))<g (0)，所以ln(e x －1)<0，则0<e x －1<1，解得0<x <ln 2.14．(多选)已知函数f (x )2x |，0<x <2，2－8x ＋13，x ≥2，若f (x )＝a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是()A ．0<a <1B ．x 1＋2x 2∈(3，＋∞)C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4D ．x 4∈[4，＋∞)答案AC解析作函数f (x )2x |，0<x <2，2－8x ＋13，x ≥2的图象如图所示，f (x )＝a 有四个解，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，可得0<a <1，故选项A 正确；由图象可得x 1·x 2＝1，则1x 1＝x 2，∴x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1，∵12<x 1<1，且1<x 2<2，对勾函数y ＝x ＋2x 在区间上单调递减，故当12<x 1<1时，x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1∈B 错误；x 1＋x 2＝1x 1＋x 1，∵12<x 1<1，∴1x 1＋x 1∵x 3＋x 4＝8，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4C 正确；令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±3，由图象可知x4∈(4＋3，6)，故选项D错误．。

第一轮高考数学复习方案

第一轮高考数学复习方案要想在考试中取得好成绩，绝对要做好第一轮复习。

那么你知道第一轮高考数学怎么复习吗？下面是小编整理的第一轮高考数学复习方案，欢迎大家阅读分享借鉴，希望对大家有所帮助。

复习计划进度表(第一轮复习)第一章集合 (1课时模拟考试1次)1、集合的概念及集合的运算2、绝对值不等式、一元二次不等式的解法3、简易逻辑第二章函数 (4课时模拟考试1次)1、函数的概念及表示方法2、函数的解析式及定义域,函数的值域3、函数的奇偶性及函数的单调性4、反函数5、指数函数与对数函数,幂函数6、二次函数及方程的根7、函数的最值 8、函数的图象9、函数综合应用第三章数列 (3课时模拟考试1次)1、数列的有关概念2、等差数列3、等比数列4、等差与等比数列5、数列求和6、数列的应用第四章三角函数 (2课时模拟考试1次)1、任意角的三角函数2、同角的三角函数关系式及诱导公式3、两角和与差的三角函数4、三角函数的图象5、三角函数的性质6、已知三角函数值求角7、解三角形 8、三角形中的有关问题第五章平面向量 (1课时模拟考试1次 )1、向量与向量的运算2、平面向量的坐标运算3、平面向量的数量积及运算4、线段的定比分点和图象的平移5、解斜三角形第六章不等式 (1天模拟考试1次)1、含绝对值不等式与一元二次不等式的解法2、不等式的性质3、不等式的证明4、不等式的解法举例5、不等式的应用第七章直线和圆的方程 (1课时模拟考试1次)1、直线的方程2、两条直线的位置关系3、简单的线性规划4、曲线与方程5、圆的方程第八章圆锥曲线方程 (2课时模拟考试1次)1、椭圆、双曲线、抛物线2、直线与圆锥曲线的位置关系3、圆锥曲线的综合问题第九章立体几何初步 (3课时模拟考试1次)1、空间几何体2、点.线.之间的位置关系第十章排列、组合、二项式定理 (1课时模拟考试1次)1、两个计数原理2、排列、组合3、二项式定理及其应用第十一章概率与统计 (2课时模拟考试1次)1、随机事件的概率2、互斥事件有一个发生的概率3、相互独立事件同时发生的概率 4.抽样方法第十二章导数及其应用 (2课时模拟考试1次)1、导数的概念及运算2、导数的应用复习策略1.吃透大纲，把握复习方向(1)全面复习，突出重点内容高考，能力立意，考察数学思想，倡导理性思维的基本指导思想不会改变，高考命题不会过分追求知识的覆盖率，所以教学时应做到既要紧扣新大纲，抓好三基，全面复习，又要突出高中数学的重点内容和主干知识。

高三数学第一轮复习教学计划内容归纳

高三数学第一轮复习教学方案内容归纳〔2021年〕书中自有黄金屋，学习是快乐的，下文是由查字典数学网为大家整理的高三数学第一轮复习教学方案内容，欢送大家参考阅读。

课题课时内容课时安排集合与简易逻辑：重点是集合的运算1.集合2.命题及其关系、充分条件与必要条件3.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词3函数、导数及其应用：重点是函数的性质。

1.函数及其表示2.函数的单调性与最值3.函数的奇偶性与周期性4.二次函数5.指数函数6.对数函数7.幂函数8.函数的图像9.函数与方程10.函数的模型及其应用11.变化率与导数、导数的运算12.导数在研究函数中的应用于生活中的优化问题举例12三角函数、解三角形：重点是三角函数的化简求值，三角函数的图象和性质。

要求学生熟记公式。

1.任意角的弧度制和任意角的三角函数2.三角函数的诱导公式3.三角函数的图象和性质4.函数的图象及三角函数模型的简单应用5.两角和与差的正弦，余弦和正切公式6.简单的三角恒等变换7.正弦定理和余弦定理8平面向量、数系的扩大与复数的引入：重点详讲向量的运算(数量积和坐标运算)。

1.平面向量的概念极其线性运算2.平面向量的根本定理及向量的坐标运算3.平面向量的数量积.4.数系的扩大与复数的引入5数列：重点讲解等差、等比数列和数列求和。

1.数列的概念与简单表示法2.等差数列极其前n项和3.等比数列极其前n项和4.数列求和5不等式、推理与证明：重点讲解不等式的性质、根本不等式、不等式的解法。

1不等关系与不等式2.一元二次不等式极其解法3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题4.根本不等式5.合情推理与演绎推理6.直接证明与间接证明6立体几何初步：重点是空间点、线、面的位置关系，空间角与间隔的计算与证明。

1.空间几何体的构造极其三视图2.空间几何体的外表积与体积3.空间点、直线、平面之间的位置关系4.直线、平面平行的断定极其性质5.直线、平面垂直的断定极其性质6.空间直角坐标系8平面解析几何：重点是圆锥曲线的方程和几何性质高考必考。

2019-2020学年高考数学一轮复习-对数和对数函数教案

2019-2020学年高考数学一轮复习对数和对数函数教案教学内容学习指导即使感悟【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。

2、理解对数函数的概念和性质。

并能利用对数函数的图像研究性质。

3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。

【学习重点】对数函数的图形和性质。

x【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。

【回顾预习】一回顾知识： 1、对数(1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做．（2）、几种常见对数对数形式特点记法一般对数以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数自然对数以为底的对数常用对数以为底的对数（3）对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝ ②nma log ＝； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④nm b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数图像 1>a 10<<a定义域值域过定点单调性回顾知识3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线对称．基础自测：1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1⑤()yaxa y x alog log log =-⑥()y x a yxa -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭⎫⎝⎛b则 ( D )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03已知111222log log log b a c <<,则 ( A )A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b>> 4、()2321log -=x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤⎝⎛1，32【自主合作探究】例1、计算：（1）222(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1（2）321lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066++++. =1例2、已知函数1()log 1axf x x+=-(0,1)a a >≠(1)求()f x 的定义域; (2)讨论()f x 的单调性;(3)求使()0f x 的x 的取值范围.解析：（1）(1+x)/(1-x)>0 (x+1)/(x-1)<0 ∴-1<x<1定义域为(-1,1)（2）f(x)+f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)+loga[(1-x)/(1+x)] =loga[(1+x)/(1-x)*(1-x)/(1+x)] =loga(1)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数t=(1+x)/(1-x)=[2-(1-x)]/(1-x) =-1+2/(1-x)=x ∈(-1,1)时，x 增大，1-x 递减， 1/(1-x)递增，-1+1/(1-x)递增 ∴t=(1+x)/(1-x)是增函数当a>1时，y=logat 递增，f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是增函数当0<a<1时，y=logat 是减函数∴ f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是减函数例3、已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)，求： (1)求函数的定义域（2）求函数f (x )的单调区间；解：（1）∵∴-1＜x ＜3∴函数f （x ）的定义域为（-1，3）（2）函数f （x ）在（-1，1）上单调递增；函数f （x ）在（1,3）上单调递减。

高三数学第一轮复习对数与对数函数教案文教案

对数与对数函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。

（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN. （3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N（5）、对数的运算性质：如果，M>0,N>0 ，那么=+==n（n）换底公式：=对数恒等式：=N2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。

（2）、对数函数的图象及性质图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究探究一：对数的运算例1：（15年安徽文科）=-+-1)21(2lg225lg。

【答案】-1【解析】试题分析：原式＝12122lg5lg2lg22lg5lg-=-=-+=-+-考点：对数运算.例2：【2014辽宁高考】已知132a-=，21211log,log33b c==，则（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>例3：【2015高考浙江】若4log3a=，则22a a-+=．【答案】334.【考点定位】对数的计算探究二：对数函数及其性质例4：【2014江西高考】函数)ln()(2xxxf-=的定义域为（）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞例5：下列关系中，成立的是（A ）、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题例7：【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()xm f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b(log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（）(A) b c a(B) b c a (C) b a c (D) b c a【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.例8：【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升：1、处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中【最后的导数题】，一定要首先考虑函数的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域出现错误；2、在2015年高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系，中档难度。

2019-2020学年高三数学一轮复习对数运算教学案.doc

2019-2020学年高三数学一轮复习对数运算教学案一、考纲要求对数运算（B 级要求）. 对数函数的图像与性质B二、复习目标理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

理解对数函数的概念和对数函数的图像和性质；掌握对数函数图像通过的特殊点。

三、重点难点对数恒等式、对数换底公式在解题中的灵活运用。

对数函数的图像与性质。

四、要点梳理1．对数的概念：如果(0,1,0)b a N a a N =>≠>，那么b 叫作记作：。

（1）常用对数；（2）自然对数（3）对数的性质：①零和负数没有对数；②=1log a （1,0≠>a a 且）；③=a a log （1,0≠>a a 且）；④=N a a log （0,1,0>≠>N a a 且） ⑤指数式与对数式的相互转化_____________________(0,1,0)b a N a a N =⇔>≠>.2．对数的运算性质：如果0,0,1,0>>≠>N M a a ，那么（1）log ()a MN =_____________ _；（2）=NM alog ；（3）=n a M log ；（4）)1,0(log log log ≠>=b b a M M b b a ；（5）log a N a =__________ ；（6）log n m a b =___ __log a b .3．对数函数的概念：：一般地，函数___________________________叫对数函数，它的定义域是__________，它的值域是__________，它的图象恒过定点_________。

4．对数函数的性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）过点；（4）当1>a 时，在),0(+∞上是函数；当10<<a 时，在),0(+∞上是函数。

高三一轮复习对数及对数函数教案

对数与对数函数1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)：①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式基本公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域 (0，＋∞)值域 R 定点过点(1,0)单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值正负当x >1时，y >0；当0<x <1，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >04．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． [试一试]1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________．1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点(1)当a >1时，对数函数的图像“上升”；当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限． [练一练]1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________．2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________．考点一对数式的化简与求值计算下列各题：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245[类题通法]对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二对数函数的图像及应用[典例] (1)(2014·南通期末)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．若本例(2)变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________.[类题通法]应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． [针对训练]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．考点三对数函数的性质及应用[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[类题通法]求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”． [针对训练]已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．[课堂练通考点]1．(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.2．(2013·广东高考改编)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是________．。

高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式的应用

高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式的应用高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式的应用一、引言指数与对数函数是高中数学中的重要内容，通过学习指数与对数函数的方程与不等式的应用，可以帮助学生更好地理解与应用这两种函数。

本篇教案将从方程和不等式两个方面进行讲解与实践。

二、方程的应用1. 指数方程的解法指数方程是指以指数形式表示的方程，例如a^x=b，其中a和b为已知数。

解这类方程的基本思想是利用对数的定义，即a^x=b可以转化为x=log(a)b。

在具体的教学过程中，可通过举例和习题练习的方式，让学生熟悉指数方程的解法。

2. 对数方程的解法对数方程是指以对数形式表示的方程，例如log(a)x=b，其中a和b为已知数。

解这类方程的基本思想是利用指数函数与对数函数的互逆关系，将对数方程转化为指数方程，然后使用指数方程的解法来求解。

在教学过程中，可以通过讲解基本的对数性质和解题技巧，让学生灵活运用对数方程的解法。

三、不等式的应用1. 指数不等式的解法指数不等式是指以指数形式表示的不等式，例如a^x<b，其中a和b为已知数。

解这类不等式的基本思想是利用指数函数的递增性质，关于指数的不等式可以通过将不等式转化为指数相等的形式，再进行讨论，最后得到不等式的解集。

在教学中，可以通过实例演示和练习题的方式，帮助学生理解和掌握指数不等式的解法。

2. 对数不等式的解法对数不等式是指以对数形式表示的不等式，例如log(a)x>b，其中a和b为已知数。

解这类不等式的基本思想是利用对数函数的递增性质，关于对数的不等式可以通过将不等式转化为指数不等式或利用对数函数的性质直接求解。

在实际教学中，可以通过讲解对数的性质和解题方法，让学生学会分析和解决对数不等式。

四、综合应用指数与对数函数的方程与不等式的应用不仅仅局限于单独的方程或不等式问题，还可以与其他数学内容进行综合应用。

例如，在函数与图像的应用中，可以通过指数与对数函数的方程与不等式解决实际问题；在数列与数学归纳法的应用中，可以利用指数与对数函数的性质进行数列求和等问题。

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模块：一、集合、命题、不等式课题：
7、指数、对数不等式的解法
教学目标：掌握指数、对数不等式的解法．重难点：指数、对数运算的应用．
一、
知识要点
1、指数不等式的解法
2、对数不等式的解法
注：解指数、对数不等式，未指定底数的大小，要分1a >和01a <<两种情况解．
二、例题精讲
例1、解下列不等式
（1）
2
lg 12
x <
；（2）649x x
x
+>；（3）22162
30x
x
+-+<．
答案：（1）11,00,1010⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2
31,log 2⎛⎫
-∞ ⎪ ⎪⎝
⎭
；（3）()40,log 3．
例2、解下列不等式
（1）()()
122log 21log 222x x +-⋅-<；（2）()3log 3log 01a a x x a a <>≠且；（3
21
12log x
>
+．答案：（1）2
25log ,log 34⎛⎫ ⎪⎝
⎭
；（2）当01a <<
时，()()
3
,a
-+∞；当
1a >时，
(()
3
0,1,a a
；（3）()0,1,22⎛ ⎝⎭
例3、解下列关于x 的不等式（1）()3
log 1
01a x a x
a a x --⎛⎫<>≠ ⎪⎝⎭
且；
（2）()()2
log 12101a x a a a ->->≠且．
答案：（1）当1a >时，解集为()
3,a a ；当01a <<时，解集为()()30,,a a +∞；
（2）当102a <<
时，解集为()0,+∞；当12a =时，解集为()110,,22,22⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
；
当
1
12
a <<时，解集为(
()
(
)
()()
212120,,,a a a
a
a
a
----+∞；当1a >时，
(()
20,,a
a a
+∞
*例4、（1）解不等式22
3103
7290x
x +-⋅+≤；
（2）对满足（1）的x ，若函数()(
)
2
2
log log 1a a y a x x b =⋅-+的最大值为3
2
，最小值为0，求a b 、的值．
答案：（1）[]2,4；（2）2a =或12a =，32
b =．
三、课堂练习
1、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围是．
答案：[)10,3,3
⎛⎤+∞ ⎥
⎝
⎦
2
、22x
x
+≥的解集为．
答案：)
21|log 12x x x ⎧⎫
≤≥⎨⎬⎩
⎭
或
3、不等式0.5log 1
x
x
x
<
的解集为．答案：()()0,12,+∞
4
12
log 1x <-的解集为．
答案：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
5、对于11a -≤≤，使不等式221
1122x ax
x a ++-⎛⎫
⎛⎫< ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
恒成立的x 的取值范围是．
答案：0x <或2x >
6、不等式()
222log 0x x ->的解集是．答案：()(
)0,12,+∞
四、课后作业一、填空题 1、不等式21log 63x x ⎛⎫
+
+≤ ⎪⎝⎭
的解集为．
答案：({}331---+
2
、函数y =的定义域是．
答案：[)22log 3,3--
3、不等式()()()2cos lg 2010,x
x π>∈的解是．
答案：0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
4、已知全集I R =，2
6
1|12x x A x --⎧⎫⎪⎪
⎛⎫
=>⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
，(){}3|log 2B x x a =-<，当A B ⊆时，a 的取值范围是．答案：[]6,2--
5、不等式1402
x
-
>的解集为；
若关于x 的不等式42x x
a ->的解集为R （实数集），则实数a 的取值范围是．
答案：1,2⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭；1,4⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
6、不等式22
2312
2x ax
x a -+⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
的解集为R ，则实数a 的取值范围是．
答案：34a >
二、选择题
7、已知关于x 的方程()4200x
x
a b c a ⋅+⋅+=≠中，常数a 和b 同号，而b 和c 异号．则
下列结论中正确的是（） A 、此方程无实根 B 、此方程有两个互异的负实根 C 、此方程有两个异号实根 D 、此方程仅有一个实根
答案：D
8、若不等式2
20x ax a -+>对x R ∈恒成立，则关于t 的不等式2
21
23
1t t
t a a ++-<<的解为
（） A 、12t <-∈⎨⎬⎩
⎭
，{
}
|
2,T x x Z =<∈，则S T 中的元素个
数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
答案：B
三、解答题
10、解下列关于x 的不等式：（1）(
)()
112
4
1log 4log 1x
x
a
a
+-≥-（0a >且1a ≠）
；（2）92
log 2
a x
x
x
a >
．答案：（1）当1a >时，解集为{}|log 2log 4a a x x ≤<；当01a <<时，解集为
{}|log 4log 2a a x x <≤；
（2）当1a >时，解集为1
42|0x x a x a ⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭或；当01a <<时，不等式的解集为1
42
|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
．
11、（1）2
12
1|13x x A x --⎧⎫⎪⎪
⎛⎫
=>⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
，(){}3|log 32B x x a =-<；（2）(
){
}
2
|log 5832x A x x x =-+>，{}
24|210B x x x a =--+≥，当A B ⊆时，分别求a 的取值范围．答案：（1）423
a -≤≤-
（2
）55
a -≤≤
12、已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式：
()
()()
231
212log 4log 12log 2log log 3
n n
n a a a a a x x x n x x a ----+-
+->
-
答案：⎫
+∞⎪⎪⎝⎭。