1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3正切函数的性质与图象

教学目的：

知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；

教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 教学过程：

一、复习引入：

问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：

．

下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课：

1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠

z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫

+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭

且，

∴π是tan ,,2y x x R x k k z π

π⎛

⎫

=∈≠+

∈ ⎪⎝

⎭

且的一个周期。 π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫

⎝

⎛-2,2ππ的图象

说明： （1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；

（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠

ππ

2

的图象，称“正切曲线”

。

（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2

x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠

z k k x x ,2|ππ

； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2

π

π，2

π+π−→−k x 时，tan x −−

→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ

2

，ππ

k x +−→−

2

时，-∞−→−

x tan 。 （3）周期性：π=T ；

（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

5.讲解范例：

例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-

413tan π与⎪⎭

⎫

⎝⎛-517tan π的大小解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

π 4π，52tan 5

17tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

，⎪⎭

⎫

⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单

调递增， ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ

517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan

4tan

即 例2：求下列函数的周期： （1）3tan 5y x π⎛

⎫

=+ ⎪⎝

⎭

答：T π=。 （2）tan 36y x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

答：3

T π

=

。

说明：函数()()

tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω

=

．

例3：求函数⎪⎭⎫

⎝

⎛

-

=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，所求定义域为⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈+≠

∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 y

2、值域为R ，周期3

π

=

T ，

3、在区间()z k k k ∈⎪⎭

⎫

⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。 思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数）， 练习1：求函数⎪⎭⎫

⎝⎛+=32

tan ππ

x y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。

略解：定义域：⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

∈+

≠∈z k k x R x x ,4|π

π且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在)4

,43(π

πππ+-

k k 上是增函数 思考2

：你能用图象求函数y =的定义域吗？

解：

由tan 0x ≥ 得

tan x ≥利用图象知，所求定义域为(),

k k k Z ππππ⎡

⎫++∈⎪⎢，

亦可利用单位圆求解。

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2

,|{Z k k x R x x ∈+

≠∈π

π，所以它的图象被

, (2)

3

,2ππ

±±

=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。 2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。