初三复习-全等三角形+相似三角形

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(完整版)初中相似三角形基本知识点和经典例题

初三相似三角形知识点与经典题型知识点 1 相关相似形的看法(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 若是两个边数同样的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比率线段的相关看法（ 1）若是采用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是a mbn ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要一致。

的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比率线段，（）在四条线段a, b, c, d 中，若是a 和b 的比等于c 和d 2简称比率线段．注：①比率线段是有次序的，若是说 a 是 b, c, d 的第四比率项，那么应得比率式为：bd ．②在比率式ac(a ： bcac ： d)中，a 、d 叫比率外项， b 、c 叫比率内项 , a 、c 叫比率前项， b 、d 叫比率后b d此时有 b 2项， d 叫第四比率项，若是 b=c ，即a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比率中项， ad 。

（ 3）黄金切割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比率中项，即AC 2AB BC ，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中AC5 1 AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为：长＝短＝5 1ABAC 2全长2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3比率的性质（注意性质立的条件：分母不能够为0）（ 1）基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项 )cd（ 2）更比性质 ( 交换比率的内项或外项) ：ac d()c ，交换外项b db ad b．同时交换内外项)ca（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b dac（ 4）合、分比性质：a c ab cd ．b d bd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比率仍建立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：若是ac e m(bdfn 0) ，那么 acem a ．b d fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样能够减少未知数的个数，这种方法是相关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母可否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也建立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比率线段的相关定理1. 三角形中平行线分线段成比率定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比率 .A由 DE ∥ BC 可得：ADAE 或 BD EC 或 ADAE DB ECADEAABACDE注：BC①重要结论：平行于三角形的一边, 而且和其他两边订交的直线, 所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比．．．．．．．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理：若是一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比率式证平行线 .③平行线的应用：在证明相关比率线段时，辅助线经常做平行线, 但应依照的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比率定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比率 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,B E可得AB DE AB DE BC EFBC EFAB BCCFBC EF或DF或或AC 或DE 等.AC AB DE DFEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理：两条直线被三条平行线所截，若是在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

九年级二轮专题复习材料全等三角形、相似三角形

相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形的判定方法有： 1.平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
EF AB=a、BC=b，求的值． EG
2．（2012•临沂 T18）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90，BC=2cm，CD⊥AB，在 AC 上取一点 E，使 EC=BC，过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF=5cm，则 AE=
九年级二轮专题复习材料
专题四：全等三角形、相似三角形【近 3 年临沂市中考试题】 1. （2011•临沂，T25，11 分）如图 1，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角扳的一边交 CD 于点 F．另一边交 CB 的延长线于点 G．
【知识点】全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 1. 一般三角形全等的判定（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。（2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)。（3）角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)。（4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。 2.直角三角形全等的判定（1）利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”)．相似三角形的性质 1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于

中考专题复习—三角形(相似三角形、特殊三角形、全等三角形)

三角形（相似三角形、特殊三角形、全等三角形）三角形（一）一、知识点回顾二、错题重做如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，-3），反比例函数y=（k≠0）的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．如图，已知直线m x y 1+=与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 与双曲线x k y 2=（x<0）分别交于点C 、D ，且点C 的坐标为（－1，2）.（1）分别求出直线AB 及双曲线的解析式；（2）求出点D 的坐标；（3）利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，21y y >.3、（2010广州）已知反比例函数y=（m 为常数）的图象经过点A （﹣1，6）．（1）求m 的值；（2）如图，过点A 作直线AC 与函数y=的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB=2BC ，求点C 的坐标．三、内容讲解（二）相交线与平行线1、同位角、内错角、同旁内角2、平行线、相交线3、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

（三）三角形1、三角形的边、角、三边关系|b−c|<a<b+c2、三角形的角平分线、中线、高（可能在外部）3、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一等边三角形判定：2个内角是60°、三边相等、1个角是60°的等腰直角三角形的性质：30°所对直角边等于斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半4、外角、内角和、外角和、多边形内角和和外角和、平面镶嵌（四）全等三角形1、全等形、全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、面积相等、周长相等2、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL3、角的平分线的判定和性质4、线段垂直平分线的判定和性质5、作图：角平分线、垂直平分线6、轴对称和轴对称图形（将军饮马）（五）勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方：c b a =+222、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系： 222c b a =+（四）相似1、比、比的前项、比的后项、比例、比例外项、比例内项、比例线段、比例的基本性质2、合比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a +=+ 等比性质：如果n m d c b a === ，（0≠+++m d b ），那么b a n d b m c a =++++++ 3、黄金分割：215-倍、黄金分割点。

初中三角形全等、相似提高及动点——超全

三角形专题(一)【等腰三角形】1.等腰三角形的性质（1）定理：等腰三角形有两边相等；（2）定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（“三线合一”）（3）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60o.它是轴对称图形，有三条对称轴。

4.等边三角形的判定：（1）有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形课堂练习：1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°4．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°5．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状7．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长分别是20cm和16cm，•求AD的长．8．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF9. 已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

全等三角形和相似三角形的判定定理

全等三角形和相似三角形的判定定理示例文章篇一：哎呀呀，亲爱的小伙伴们，你们知道啥是全等三角形和相似三角形不？今天我就来和你们好好唠唠！咱先来说说全等三角形。

全等三角形就像是一对双胞胎，长得那叫一个一模一样！每一条边、每一个角都完全相同。

那怎么才能判断两个三角形是不是全等呢？这可得好好说道说道。

比如说“边边边”定理，就是如果两个三角形的三条边都对应相等，那它们就是全等三角形。

这就好比你有两双一模一样长的筷子，那不就是完全一样嘛！再比如“边角边”定理，要是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，那这两个三角形也全等。

这就像你有两个形状一样的风筝，骨架长度一样，中间的夹角也相同，那能不一样嘛？还有“角边角”定理，两个三角形的两个角和它们夹的边对应相等，那就是全等三角形啦！这就好像你有两个同样的三角板，角的大小一样，夹着的边也一样长，能不全等嘛！说完全等三角形，咱再聊聊相似三角形。

相似三角形就像是表兄弟，长得有点像，但大小可能不一样。

判断相似三角形也有几个厉害的定理呢！“两角对应相等的两个三角形相似”，这就好比两个小伙伴笑起来的样子很像，那整体感觉不就像了嘛！还有“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，这就好像两根粗细不一样的橡皮筋，长度的比例一样，中间弯曲的角度也相同，能不相似嘛？“三边对应成比例的两个三角形相似”，这就跟三把不同长度的尺子，它们的长度比例都一样，那能不相似嘛？在学习这些定理的时候，我一开始也有点迷糊，但是多做几道题，多和小伙伴们讨论讨论，慢慢地就搞清楚啦！我觉得呀，数学虽然有时候有点难，但只要咱们肯用心，就一定能战胜它！所以说，小伙伴们，只要咱们认真学，这些定理都不在话下，你们说对不对？示例文章篇二：嘿，同学们！今天我来和大家聊聊全等三角形和相似三角形的判定定理，这可有意思啦！你们想啊，三角形就像我们身边各种各样的东西。

全等三角形呢，就好比两个一模一样的玩具人偶，哪儿哪儿都相同。

初三数学提高(内容：全等三角形相似三角形三个二次：二次根式一元二次方程二次函数)

内容：全等三角形相似三角形三个二次：二次根式一元二次方程二次函数考点一、全等三角形（3~8分） 1、全等三角形的概念能够的两个图形叫做全等形。

能够的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

就是三角形中相邻两角的公共边，就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定（1SAS ”）（2ASA ”）（3”）。

4（1（2（3基础1. ∴AB ＝DE （）2.如图, 已知AB=AC, BE ⊥AC 于E, CF ⊥AB 于F, BE 、CF 交于点D. 求证: (1)△ABE ≌△ACF; (2)点D 在∠BAC 的平分线上.3. 已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF求证：AC 与BD 互相平分A BEO F巩固如图∠ABC=900，AB=BC ，AE 是角平分线，CD ⊥AE 于D 。

求证：CD = 21AE 提高１.如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边①DFE △③DE A ．①②③２.３. （1）（2）FDECB AC４.如图甲，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．如果AB AC =，90BAC =∠，解答下列问题：①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF BD ，之间的位置关系为，数量关系为．②当点D 在线段BC 的延长线时，请画出图形，①中的结论是否仍然成立，为什么？1234512、计算： (1) 25341122÷⨯3．2(-C（三）精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22(0)(0)a a a a =≥=≥与（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2a a （30,0)0,0)a b a b =≥≥≥≥（40,0)0,0)a b a b =≥>=≥>（5）(a 12、已知1（1（2A 4-≥x B 2>x C 24≠-≥x x 且 D 24≠->x x 且（3）下列各运算，正确的是（）A 565352=⋅B 532592519==⎪⎭⎫⎝⎛-⨯- C ()12551255-⨯-=-⨯- D y x y x y x +=+=+2222（40)y >是二次根式，化为最简二次根式是（）0)y >B0)y >0)y > D ．以上都不对（5）化简2723-的结果是（）33A B C D --2、计算．(1)453227+-(3)3、已知a 1（1）=a A a,b（2A35（3）把(A B CD-2、计算：（1）5426362+-- （2）（3）22(-3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：= = (1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想1544的变化结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n 为任意自然数，且n ≥2)表示的等式并进行验证．1.通常数项23 例如：不解方程，判断下列方程根的情况：(1) x(5x+21)=20 (2) x 2+9=6x (3)x 2—3x = —54．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2 则x 1 +x 2= ；x 1 ²x 2= ____________ 例如：方程2x 2+3x —2=0的两个根分别为x 1，x 2 则x 1+x 2= ；x 1 ²x 2= _________交流提高请形成本章的知识结构。

(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

数学人教版九年级下册相似三角形与全等三角形的综合

《相似三角形与全等三角形的综合》教学设计
原创：左自金
．定义
________斜边和一条直角边对应成比例，两
图（1）图（2）
为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m
15 m，则树的高度为
图（2）
，AC 是⊙O 的直径，
2、问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.
甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．
可采用等式
如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都ED的延长线交AB于点F.
ACB∽△DCE；(2)EF⊥AB.。

经典：相似三角形判定复习(一)

Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A ∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC.
M为斜边BC中点
又 ∵ ∠DMA=
∴AM=BM=BC/2
∠AME
∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
AA'BB'BB'CC'CC'AA'△ABC∽△A'B'C'
思考：对于两个直角三角形，我们还
可以用“HL”判定它们全等。那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗？
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
AC = A B A'C' A ' B '
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
A
2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜
D
B
E
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. D A

全等三角形和相似三角形

全等三角形和相似三角形
1.全等三角形：
-定义：如果两个三角形的对应边相等，对应角也相等，那么这两个三角形就称为全等三角形。

换言之，两个三角形经过平移、旋转或翻折后能完全重合，我们就称它们全等。

-符号表示：通常用“≌”表示全等，例如△ABC≌△DEF。

-判定方法：主要有SSS（三条边对应相等）、SAS（两边夹一角对应相等）、ASA（两角夹一边对应相等）和AAS（两角及其中一角的对边对应相等）四种判定方法。

2.相似三角形：
-定义：如果两个三角形的对应角相等，而且对应边成比例（即长度比相同），那么这两个三角形就称为相似三角形。

-符号表示：通常用“∽”表示相似，例如△ABC∽△DEF。

-判定方法：主要有AAA（三个角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例但不等长，因为全等三角形也是一种特殊的相似三角形）三种判定方法。

-相似三角形的性质：对应高的比等于对应边的比；对应中线的比等于对应边的比；对应角平分线的比也等于对应边的比；周长比等于对应边的比；面积比等于对应边的比的平方。

全等三角形强调的是形状和大小完全相同，而相似三角形强调的是形状相同但大小不一定相同，两者之间的关系是全等三角形是相似三角形的一种特殊情况，当相似比为1时，相似三角形就变成了全等三角形。

三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形-中考数学专题复习试题

三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教学准备一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。

（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。

（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。

难点是综合应用这些知识解决问题的能力。

三. 知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点2 三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。

知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。

2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。

考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=．合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

初三-相似三角形的判定

知识精要一、相似三角形的概念一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

对应边的比值叫做相似比。

即△AB C ∽△DEF ，我们可以得到：【注意事项1、2、】相似具有连贯性：即两个三角形分别与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似。

相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（∥）【请用所上节课所学习的知识+定义证明】基本图形之一：(请添加条件，使之相似)2、判定定理:(1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两三角形相似。

已知：∠A=∠A ’ ;∠B=∠B ’ 求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’CBB'基本图形之二：(请给图标上字母，并写出所有的相似三角形)角1=角221角1=角221（2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两三角形相似。

已知：∠A=∠A ’ ;''''AB ACA B A C求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’ CBB'基本图形之三：(请给图标上字母及条件，并写出所有的相似三角形)（3）如果一个三角形的三边与另外一个三角形的三边对应成比例，那么这两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个三角形的斜边及直角边对应成比例，那么这两直角三角形相似。

（HL）【自己画图，写出已知、求证，并证明】【二、相似三角形的性质1、性质一：相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比及周长比都等于相似比。

【要求自行证明】、【总结】2、性质二：相似三角形的面积的比等于相似比的平方【自行证明】热身练习1、下列条件中，不能判断ABC ∆与DEF ∆相似的是（） A ．∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠F=70°B ．2,3AB BC ==,∠B=40°，4,9DE EF ==,∠E=40° C ．4,5,6,6,7.5,9AB BC AC DE EF DF ======D ．,AB AC =∠A=50°，DE DF =,∠E=50°2、下列命题正确的是（）A ．有一个角是40°的两个等腰三角形B ．有一个角是100°的两个等腰三角形C ．面积相等的两个直角三角形D ．两边之比为3:5的两个直角三角形3、如图：△ABC 中，∠ACB=90°,C D ⊥AB,垂足为D ，且 2.5,0.9AD cm DB cm ==，求：（1）CD 的长（2）:ACD CBD S S ∆∆BD A4、如图：D 是△ABC 的AB 边上一个动点，D E ∥BC 交AC 于E ，D F ∥AC 交BC 于F ，已知AD:DB=1:2，求三角形ADE 、三角形DBF 、平行四边形DFCE 的面积之比BDA5、如图：平行四边形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，EC 交AD 于F ，已知:1:2EA AB =,2AEF S ∆=,求平行四边形ABCD 的面积BD6、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知9,25AOF COB S S ∆∆==,求梯形ABCD 的面积CB7、已知梯形的两底边长分别为4和6，高是3，求梯形两腰的延长线的交点到较长底边的距离【要求自己画图】精解名题1、已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足2AB DB CE =⋅(1)求证：△ADB ∽△EAC(2)若∠BAC=40°，求∠DAE 的度数B D2、已知G 是△AB C 的重心，且在中线AD 上，延长AD 到H ，使得DH=GD ，K 是BG 的中点求证：△FK G ∽△GHC【析】注意从对应点所给于的信息。

中考数学复习·几何基础+三角形(全等、相似、作图、证明)名校名师全解全练精品课件

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互为补角、互为余角是相对两个角而言，它们都是由数量关系来定
义，与位置无关.
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考点三相交线
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1．对顶角及其性质
对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫
做对顶角．相等性质：对顶角______. 2．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条
90°＝135°. (4)B ∵DE∥AB，∴∠A＝∠ACD.又∠ACD＝50°，∴∠A＝50°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－50°＝40°. (5)D 如图，延长AB交直线m于C.∵l∥m， ∴∠4＝∠1＝115°. ∵∠2＋∠3＋∠4＝360°， ∴∠3＝360°－115°－95°＝150°.
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中考典例精析
(1)(2011·日照)如图，已知直线AB∥CD， ∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E的大小为( )
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A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
(2)(2011·陕西)如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E.若∠1＝64°，则∠2＝______. 【点拨】把平行线的性质与判定有机地结合起来，可以解决许多计算和推理问题．【解答】(1)B 假设AB与EC交于F点，∵AB∥CD，∴∠EFB＝ ∠C.∵∠C＝125°，∴∠EFB＝125°. 又∵∠EFB＝∠A＋∠E，∠A＝45°，∴∠E＝125°－45°＝80°.
则∠3＝______.(
A．120°
)
C．145° D．150°
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3第三节三角形的全等和相似

第三节三角形的全等和相似全等三角形的性质及判定1．全等三角形的概念能够的两个三角形叫的全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等、周长相等、面积相等；(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都分别相等．3．全等三角形的判定4．全等三角形的常见模型比例线段及其性质1．平行线分线段成比例(1)成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．(2)平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．(3)基本事实：两条线段被一组所截，所得的对应线段成比例．(4)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 2．比例的性质(1)基本性质：若a b ＝cd ⇔ (b ≠0，d ≠0)．(2)合比性质：若a b ＝c d ⇔a ±bb＝ (b ≠0，d ≠0)．(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝mn (b ·d ·…·n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝．3．黄金分割若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，且使AC 是BC 和AB 的比例中项，即AC 2＝AB ·BC ，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 为黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比，即ACAB ＝5－12≈0.618.相似三角形的概念、性质与判定1．相似三角形及相关概念(1)形状完全相同的图形称为相似形．(2)对应角，对应边的三角形叫做相似三角形．(3)如果△ABC 和△A ′B ′C ′相似，且AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′＝k ，那么这个比值k 就叫做这两个相似三角形的． 2．相似三角形的性质(1)相似三角形的相等．(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例，且等于相似比． (3)相似三角形的周长比等于，面积比等于 . 3．相似三角形的判定 (1)一般三角形a ．平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．b ．两组角对应相等，两三角形相似．c ．两边对应成比例且相等，两三角形相似．d ．三边对应成比例，两三角形相似． (2)直角三角形a ．一组对应相等，两三角形相似．b ．两直角边对应成比例，两三角形相似．c ．斜边和一条直角边对应成比例，两三角形相似． (3)判定三角形相似的思路及几种常见类型一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角顶点在同一直线上，其中∠1＝∠2＝∠3，可根据∠1＝180°－∠4－∠5，∠2＝180°－∠4－∠6，得∠5＝∠6，可得图中两阴影部分三角形相似．全等三角形判定方法的合理选择从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，我们可以利用题目中的已知边(角)确定要补充的边(角)，完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路． (1)已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS ，找直角→HL ，找第三边→SSS.(2)已知一边、一角⎩⎪⎨⎪⎧一边为角的对边→找另一角→AAS ，一边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS ，找夹边的另一角→ASA ，找边的对角→AAS. (3)已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA ，找其中一角的对边→AAS.(2019·沙坪坝区校级月考)已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC .如图，若D ，E是AC 边上两点，且AD ＝CE ，AF ⊥BD 交BD ，BC 于F ，G ，连接BE ，GE ，求证：∠ADB ＝∠CEG.相似三角形的判定和性质的综合运用利用相似三角形的判定方法得出两个三角形相似后，可以推得成比例线段，求出未知线段的长度；利用对应角相等得出未知角的度数；也可以利用周长比、面积比的关系求图形的周长、面积等．(2019·广元一模)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE .下列结论：①OE ·OB ＝OD ·OC ；②DE BC ＝12；③S △DOE S △BOC ＝14；④S △DOES △DBE＝13.其中正确的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三角形全等判定方法易混淆(2019·市北区期末)如图，在△ABC 与△ADE 中，点E 在BC 上，AC ＝AE ，且EA平分∠CED ，请你添加一个条件使△ABC ≌△ADE ，你添加的条件是：．利用三角形相似解题时，注意应将对应字母写在对应位置上，如果未明确，应分类讨论在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．1．(2019·绍兴)如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为( )A.245B.325C.123417D.2034172．(2019·顺庆区校级自主招生)在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1，0)，点D 的坐标为(0，2)，延长CB 交x 轴于A 1，作第一个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第二个正方形A 2B 2C 2C 1；…按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为( )A ．5×(32)2018B ．5×(32)4036C ．5×(94)2019D ．5×(32)40383．(2019·潍城区期末)如图，平面内若干个边长相等的正方形依次相邻排列，顶点C ，A 1，A 2，A 3，…均在同一直线上，点M 1，M 2，M 3，…分别是边B 1B 2，B 2B 3，B 3B 4，…的中点，连接M 1C ，M 2C ，M 3C ，…，分别与边B 1A 1，B 2A 2，B 3A 3，…，相交于点C 1，C 2，C 3，…，若边BC ＝1，则B 10C 10的长为．耐人寻味的0.618古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比为5－12＝0.6180339….人们把5－12称为黄金分割数．在三角形中，顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形．如图(1)，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，作∠ABC 的平分线BD ，那么可以证明：点D 是AC 的黄金分割点．宽与长的比值是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图(2)，在矩形ABCD 中，若AB BC ＝5－12，则矩形ABCD 就是黄金矩形．1．如图，某种乐器上的一根弦AB ＝80c m ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B 的黄金分割点，支撑点O 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为 c m.《海岛算经》《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元263年)所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》．《海岛算经》都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数进行计算，从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论．《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的．“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母．所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸：1里＝150丈；1丈＝10尺；1步＝6尺；1尺＝10寸．2.刘徽的《海岛算经》里提到的第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度AH ，立两根高3丈的标杆BC 和DE ，两杆之间的距离BD ＝1000步，点D ，B ，H 成一线，从B 处退行123步到点F 处，人的眼睛贴着地面观察点A ，点A ，C ，F 成一线，从D 处退行127步到点G 处，人的眼睛贴着地面观察点A ，点A ，E ，G 也成一线，则AH ＝ 753 丈，HB ＝步．(注：1步＝6尺，1丈＝10尺)相似三角形的判定和性质(2019年安徽7-4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF，交AB于点G，若EF＝EG，则CD的长为()A．3.6B．4C．4.8D．5(2016年安徽8-4分)如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC 的长为()A．4 B．4 2 C．6 D．4 3全等三角形和相似三角形的综合证明(2019年安徽20-10分)如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，连接AE，DE. (1)求证：△BCE≌△ADF；(2)设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST的值．（2019年安徽23-14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°，(1)求证:△P AB∽△PBC；(2)求证:P A=2PC；(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证:h12=h2·h3.（2018年安徽23-14分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB 于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.(1)求证：CM＝EM；(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；(3)如图②，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.图①图②（2017年安徽23-14分）已知正方形ABCD ，点M 为边AB 的中点．(1)如图1，点G 为线段CM 上的一点，且∠AGB ＝90°，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD 交于点E ，F .①求证：BE ＝CF ；②求证：BE 2＝BC ·CE .(2)如图2，在边BC 上取一点E ，满足BE 2＝BC ·CE ，连接AE 交CM 于点G ，连接BG 并延长交CD 于点F ，求tan ∠CBF 的值．图1 图2 （2015年安徽23-14分）如图1，A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且∠MON 为钝角．现以线段OA ，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．(1)求证：△PCE ≌△EDQ ；(2)延长PC ，QD 交于点R .①如图2，若∠MON ＝150°，求证：△ABR 为等边三角形；②如图3，若△ARB ∽△PEQ ，求∠MON 大小和AB PQ的值．（2015年安徽23-14分）如图①，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接GA 、GB 、GC 、GD 、EF ，若∠AGD ＝∠BGC .(1)求证：AD ＝BC ；(2)求证：△AGD ∽△EGF ；(3)如图②，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值．图① 图② （2013年安徽23-14分）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图①，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”，其中∠B ＝∠C .(1)在图①所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；(2)如图②，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B ＝∠C ，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC .求证：AB DC ＝BE EC； (3)在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB ＝EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图③所示情形)，四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)图① 图② 图③（2012年安徽22-12分）如图①，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB 上，△BDG与四边形ACDG的周长相等．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分∠EDF；(3)连接CG，如图②，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.（2011年安徽22-12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．（2010年安徽23-14分）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c＝a1，求证：a＝kc；(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．（2009年安徽22-12分）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A ＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．。

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE

三角形、三角形相似及全等

三角形、三角形相似及全等一、三角形的边例1：①3、4、x 为三角形的三边，求x 的取值范围。

②3、4、x 为直角三角形的三边，求x 的取值。

③3、4、x 为等腰三角形的三边，求x 的取值。

例2：a 、b 、c 为三角形的三边，它们存在如下关系：a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=0，请问三角形为什么三角形？并说明理由。

课堂练习1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（） A ．1cm ，2cm ，4 cm B ．8 cm ，6cm ，4cm C ．12 cm ，5 cm ，6 cm D ．2 cm ，3 cm ，6 cm2.若线段AB=6，线段DC=2，线段AC= a ，则（） A ．a =8 B ．a =4 C ．a =4或8 D ．4＜a<83.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（） A ．15cm B ．20cm C ．25 cm D ．20 cm 或25 cm4．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，则它的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．若3，m ，5为三角形三边，化简：()()8222---m m二、三角形的角例1：三角形的三个角的比值为1：2：3，求三角形三个角的度数及三角形的三边比。

例2：△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 32sin 30B A +=（），则△ABC 是（）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形三、三角形的线（一）角平分线：过三角形的顶点引一条射线，把这个角分成二等分，这条线就叫做三角形的角平分线。

角平分线上的点到三角形的两边相等。

例1：如图，OE 是∠AOB 的平分线，CD ∥OB 交OA 于C ，交OE 于D ， ∠ACD=50o ，则 ∠CDE 的度数是课堂练习1．已知：如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且D 为AC 的中点，DE ∥BC 交AB 于点E ，若BC=4，则EB 长为______.2．已知△ABC 中，∠B=∠C ，D 为BA 延长线上的点，AM 是∠CAD 的平分线，求证：AM ∥BC.（二）中线、高、垂直平分线（1）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（3）线段的垂直平分线：垂直并平分这条线段的线叫做这条线段的垂直平分线。

2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型对角互补模型(从全等到相似)(解析版)

专题04 对角互补模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.对角互补模型（全等模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。

该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB . 则可得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠234CODCOESS+=. 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB . 则可以得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠212ODCE OCDCOES SSOC =+=. 3）全等型—2α和1802α︒-：如图3，已知∠AOB ＝2α，∠DCE ＝1802α︒-，OC 平分∠AOB . 则可以得到以下结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝2OC ·cos ，∠2sin cos OCDCOESSOC αα+=⋅⋅.1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＝∠ADC ＝90︒．求证：AD ＋AB ＝AC ；（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＋∠ADC ＝180︒．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）①AD ＋AB ＝AC ，见解析；②【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，然后根据直角三角形中30o 是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ，构造AAS 证明∠CFB ≅∠CED ，根据全等的性质得到FB ＝DE ，结合第一问结论即可写出数量关系； ②根据题意应用60o 的正弦值求得CE 的长，然后根据()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋的数量关系即可求解四边形ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ，∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ， ∠∠ADC ＝∠ABC ＝90o ，，∠∠ACD ＝∠ACB ＝30o ，∠AD ＝1122AC AB AC ，＝．∠AD ＋AB ＝AC ，（2）①AD ＋AB ＝AC ，理由：过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ．∠AC 平分∠BAD ，∠CF ＝CE ，∠∠ABC ＋∠ADC ＝180o ，∠EDC ＋∠ADC ＝180o ，∠∠FBC ＝∠EDC ，又∠CFB ＝∠CED ＝90o ，∠∠CFB ≅∠CED ()AAS ，∠FB ＝DE ， ∠AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ，在四边形AFCE 中，由∠题知：AE ＋AF ＝AC ，∠AD ＋AB ＝AC ； ②在Rt ∠ACE 中，∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，又∠AC ＝10，∠CE ＝A sin 10sin 60o DAC ∠＝＝∠CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，∠()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋＝111022AC CE ⨯⨯⨯＝．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到'DAB △，则'BDB △的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角为120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．）将BDM 绕点，得到DCP ，则DCP =∠，NPD ≅△，证得AMN 的周长【详解】解：（1）将DCB 绕点顺时针方向旋转60︒，得到'DAB ， ∠DCB ∠'DAB △，'BD B D =，60BDB ∠=︒， 'BDB △是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）过B ′于E ，2224）解：将BDM 绕点，得到DCP ， CDP △，，CP BM =PDC ∠， ∠BDC 是等腰三角形，且BD CD =DBC ∠=∠又∠ABC 等边三角形，ABC ACB ∠=∠MBD ACB ∠=∠同理可得NCD ∠PCD NCD =∠DCN NCP +∠在NMD △和NPD 中，MD PD MDN PDN DN DN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∠()NMD NPD SAS ≅△△， ∠MN PN NC CP NC BM ==+=+，∠AMN 的周长224AM AN MN AM AN NC BM AB AC =++=+++=+=+=．故AMN 的周长为4．【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特殊角锐角三角函数，掌握三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特别是利用图形旋转进行图形的转化特殊角锐角三角函数，是解题关键． 3．（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，120MAN ∠=︒，AC 平分,,MAN CD AM CB AN ∠⊥⊥，求证：AB AD AC +=．【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的DCB ∠绕点C 逆时针旋转，CD 交MA 的延长线于点D ，CB 交射线AN 于点B ，写出线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．【应用】（3）如图3，ABC 为等边三角形，4AB =，P 为BC 边的中点，120MPN ∠=︒，将MPN ∠绕点P 转动使射线PM 交直线AC 于点M ，射线PN 交直线AB 于点N ，当8AM =时，请直接写出AN 的长．的结论可得PEM PFN ≌，根据含FN AF EM AF =+=） AC 平分MAN ∠，60DAC BAC ∠=∠=1AC =，∴AB AD +∠MAN ∠=BAD ∠+∠CED ∠=CED CFB ∴≌，ED ∴,AE ED AD AF =-AE AF ED AD ∴+=-又AE AF AC +=，∴（3）①如图，当M P 是BC 的中点，ABC 是等边三角形，∠B =∠C =60°）可得PEM PFN ≌，EM ∴AB 1122CP BC AB ∴===FPB =90°-60°=30°，1，3AE AF ∴==，AM AN AF FN AF ∴=+=模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

初中数学总复习【三角形】(包括全等相似)

第七讲三角形复习教案教学目标1、理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念； 2、掌握三角形的三边间的关系；3、会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度。

难点重点1、熟练掌握三角形的三条重要线段； 2、会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度一、知识点梳理(1) 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.(2) 三角形的分类.⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形(3) 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4) 三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)（5）三角形具有稳定性（6）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

（7）多边形的外角和恒为360°。

二、典例分析例1 一个三角形的两边长分别为2和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系）针对性练习：若一个等腰三角形的周长为17cm ，一边长为3cm ,则它的另一边长是。

思考：若n A =∠，则BOC ∠的度数为多少？例3 如图，BP 平分∠FBC ，CP 平分∠ECB ，∠A=40°求∠BPC 的度数。

例4 如图,AD 是ABC ∆的中线,DE=2AE.若ABE ABC S cm S △△求,242=三角形 (按角分)三角形 (按边分)例5：已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的1/4，求这个多边形的边数。