2019年复旦附中自招数学试卷

2019年复旦附中自招数学试卷

（一）

1. 两个非零实数a 、b 满足ab a b =-，求

a b ab b a

+-的值.

2. 已知|211||3||8|m m m -=-+-，求m 的取值范围.

3. 若关于x 的不等式020192018ax ≤+≤的整数解为1、2、3、…、2018，求a 的范围.

4. 已知ABC 、A BC ''边长均为2，点D 在线段BC '上，求AD CD +的最小值.

5. 已知x 、y 为实数，求2254824x y xy x +-++的最小值.

6. 在ABC 中，2B C ∠=∠，AD 为A ∠的角平分线，若

2AB BD BD AB

-=，求tan C ∠的值.

（二）

1. 等腰梯形ABCD 中，13AB CD ==，6AD =，16BC =，CE ⊥AB .

（1）求CE 的长；（2）求BCE 内切圆的半径.

2. 定义当0x x =时，0y x =，则称00(,)x x 为不动点.

（1）若5x a y x b

+=+有两个不动点(6,6)、(6,6)--，求a 、b 的值； （2）若5x a y x b +=

+有关于原点对称的不动点，求a 、b 满足的条件.

3. 已知()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.

（1）当19502019n ≤≤时，找出所有满足[()]4S S n =的n ；

（2）当n 为正整数时，找出所有满足()[()]2019n S n S S n ++=的n .

（三）

1. 平行四边形两条邻边为7和8，两条对角线为m 、n ，求22m n +的值.

2. 已知正整数x 、y 满足2127xy x y ++=，求x y +的值.

3. 斐波那契数列为{1,1,2,3,5,8,}n a =⋅⋅⋅，记数列n b 为n a 中每一项除以4的余数，问{}n b 中第2019次出现1时的序数（即第几个数）.

参考答案

（一） 1. 222()22a b a b a b ab ab b a a b a b a b

+-+-=-==--- 2. 结合绝对值意义或者图像，3m ≤或8m ≥

3. 由101a <-≤，201920182019a ≤-<可得，201912018

a -≤<- 4. 4AD CD AD A D AA ''+=+≥=，即最小值为4

5. 配方，224()(1)33x y x -+++≥，即最小值为3

6.

求出1AB BD

=+sin()sin 223sin sin()22C AB ADB C BD BAD ππ-

∠==∠-，结合诱导公式、三

倍角公式、化切，可求得tan 12

C =，由二倍角公式可求tan 1C = （二）

1.（1）锐角三角比，

19213；（2）在13、12、5的三角形中求得内切圆半径2r '=，结合相 似比，213321613r r =⇒=，即所求内切圆半径为3213

2.（1）36a =，5b =；（2）0a ≥且25a ≠，5b =

3.（1）找规律，()22S n =或()4S n =，符合的有1957、1966、1975、1984、1993、2002、2011；（2）先确定范围，()28S n ≤，[()]10S S n ≤，∴1981n ≥，再分析讨论，符合的有1987、1990、1993、2005、2008、2011

（三）

1. 由余弦定理，22226m n +=

2. 127121

x y x -=≥+，可得42x ≤，结合正整数的条件，分析可得，有(1,42)、(2,25)、(7,8)这些解（x 、y 可换）

，∴x y +的值为43、27、15 3. 分析可得，{}n b 周期为6，且前六项为1、1、2、3、1、0，每个周期出现3次“1”，20193673÷=，即第2019次出现1时，在第673个周期内最后一个“1”，即序数为672654037⨯+=