《4.3.2空间两点间的距离公式》导学案

4.3.2空间两点间的距离公式

一、学习目标

1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.

2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引

1. 预习课本136-137页，做138页练习.

2. 重点：空间两点间的距离公式及应用.

3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现 1. 空间两点间的距离公式

空间中两点),,(1111z y x P ，),,(3222z y x P 之间的距离是=21P P . 说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例.

2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的21x x -，21y y -，21z z -，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换.

3. 空间两点间距离的求法 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离.

4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：

a

x=表示平行于yOz面的平面，且与yOz面的距离为a.

b

y=表示平行于xOz面的平面，且与xOz面的距离为b.

c

z=表示平行于xOy面的平面，且与xOy面的距离为c.

,0

,0=

=

=z

y

x分别表示yOz，xOz，xOy三个坐标平面.

5. 空间两点间距离公式的推导方法

剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点)

,,(z

y

x

P，求点P到原点O的距离.

如图所示，设点P在xOy平面上的射影是B，

则点B坐标是(,,0)

x y，在xOy

平面上有OB=.

在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得

OP=

因为BP z

=

，所以OP=

这说明，在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点

(,,)

P x y z与原点之间的距离是OP=

（2）下面再看一般的情况：如图所示，设点

1111

(,,)

P x y z，2222

(,,)

P x y z是空间任意两点，且两点在xOy平面上的射影分别为,

M N，那么,

M N的坐标为

11

(,,0)

M x y，

22

(,,0)

N x y.

在xOy平面上，MN=

过点

1

P作

2

P N的垂线，垂足为H，则

11

MP z

=，

22

NP z

=，所以

212

HP z z

=-.

在直角三角形

12

PHP中，

1

PH MN

==

根据勾股定理，得12PP =

=.

因此空间中两点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 间的距离公式可以表示成下面形式：

12PP =

五、课堂练习 1.

点)632

P 到原点的距离是（ ）

A

6

B 1

C 6

D 6

2. 点(,,)P a b c 到坐标平面xOz 的距离是（ ）

A

B a

C b

D c

3. 点(2,3,4)P 到y 轴的距离是（ ）

A

B C 5

D

4. 若(4,7,1)A -，(6,2,)B z ，11AB =，则z = .

5. 已知点(1,2,1)A -关于坐标平面xOy 的对称点为1A ，则A ，1A 两点间的距离为 .

6. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，已知3AB =，

2BC =，12AA =，用空间两点间的距离公式计算对

角线1B D 的长为 .

7.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，

,//,CD AB CD AD ⊥AB = AD 4,2==CD ，M 为CE 的中点。 (1)求证：//BM 平面ADEF ； (2)求证：平面⊥BDE 平面BEC

F

M

A

B

C

D

E

8.求过点P（1，1），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程