《4.3.2空间两点间的距离公式》导学案
高中数学必修二《空间两点间的距离公式》导学案
问题
问题猜想
答疑
在平面上任意两点A ，B 之间距离的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ，B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
（2）空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
[1]
问题
问题设计意图
答疑
（3）如果 是定长r,那么 表示什么图形？
类比平面直角坐标系中，方程 表示的图形。
作业：习题4.3 A组2 . 3题
（4）如果是空间中任意一Βιβλιοθήκη 到点 之间的距离公式会是怎样呢？
[2]
练习
1.先在空间直角坐标系中标出A,B两点，再求他们之间的距离：
（1）A (2，3，5），B (3，1，4)
（2）A（6，0，1），B (3，5，7)
2.在Z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。
3.求证：以点A(10，-1，6),B(4，1，9),C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形。
4.3.2空间两点间的距离公式导学案
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式
4.3.2 空间两点间的距离素材1教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式2学情分析学生已经学过平面两点间距离公式。
这一课是通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程。
3重点难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
4教学过程 4.1 第一课时教学活动活动1【导入】复习引入在平面上任意两点A (x1，y1)，B (x2，y2)之间的距离的公式为|AB| = ，那么对于空间中任意两点A (x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：回答活动2【讲授】概念形成（2）空间中任间一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出|OP| = .活动3【讲授】概念深化（3）如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由（4）如果是空间中任间一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：|P1P2| =活动4【讲授】例题讲解应用举例:例1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；（2）A(6，0，1)，B(3，5，7)例2．已知两点 A(1, 0, 2)和B(1, -3, 1)，点M在z轴上，若|M A|=|M B|，求点M的坐标.教师引导学生作答例1．解析（1），图略（2），图略例2．解：设点M的坐标是(0，0，z).依题意，得 =.解得z = –3.所求点M的坐标是(0，0，–3)活动5【练习】巩固练习练习：1．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形. 2．如图，正方体OABD – D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长. 活动6【作业】课外练习P138 习题： B.1。
高中数学：4.3.2《空间两点间的距离公式》教案(新人教A版2)
生：猜想说出理由
（4)如果是空间中任意一点 到点 之间的距离公式会是怎样呢？
［2]
人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导.
得出结论:
www。
［1］
从特殊的情况入手，化解难度
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生:在教师的指导下作答
得出
问题
问题设计意图
师生活动
（3）如果 是定长r,那么 表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程 表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
4.3.2空间两点间的距离公式
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
4、情景设计
问题
问题设计意图
师生活动
在平面上任意两点A ，B 之间距离的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ,B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜?
通过类比，充分发挥学生的联想能力。
师：、只需引导学生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ胆猜测，是否正确无关紧要。
生:踊跃回答
（2）空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
4.3.2 空间两点间的距离公式参考答案
14.3.2空间两点间的距离公式【学习探究】【预习提纲】222zy x ++ ；221221221)()()(z z y y x x -+-+-.【处理方式】类比平面上的两点间的距离公式得出空间两点间的距离公式. 【基础练习】1．6.2. )3,0,0(-.3. 29.4.求证：以)3,4,2(),9,1,4(),6,1,10(C B A -三点为顶点的三角形是等腰三角形. 证明：根据空间两点间距离公式，得7)96()11()410(||222=-+--+-=AB ，7)39()41()24(||222=-+-+-=BC ，98)36()41()210(||222=-+--+-=AC .因为,9877>+且||||BC AB =，所以ABC ∆是等腰三角形.【典型例题】例1【审题要津】建立如图坐标系，易求点1B ，D B ,的坐标，借助中点坐标公式可求出点E 的坐标，利用两点间的距离坐标公式即可解答此类问题.解：由题意得：)2,4,3(),0,4,0(),0,0,3(1B C A .设)0,,(y x E ，在ADC Rt ∆中，5||,4||,3||===AC CD AD ， 512||=∴DE ，在ADE Rt ∆中，2548325144|,|||2==∴⋅=x AD x DE .在CDE Rt ∆中，2536425144|,|||2==∴⋅=y AD y DE .)0,2536,2548(E ∴. 52934)25364()25483(||221=+-+-=∴E B .【方法总结】结合具体图形建立适当的空间直角坐标系，可以求图形中一些特殊点之间的距离，与平面直角坐标系中一样，在空间直角坐标系中，也可以求满足一定条件的点的轨迹方程.例2 【审题要津】（1）点P 为对角线的中点，易求点P 的坐标，而点Q 在棱CD 上运动，其坐标是随Q 点的位置变化，它的横、纵坐标不变，而竖坐标在变化，设出点Q 的坐标，建立||PQ 与竖坐标的函数关系，借助代数思想解决即可（2）同（1）的解法. 解：设正方体的棱长为a ，（1）当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是)2,2,2(aa a .2点Q 在线段CD 上，设),,0(z a Q ，2221)2(||aa z PQ +-=∴.∴当2a z =时，||PQ 的最小值为a 22，即当Q 为棱CD 的中点时，||PQ 有最小值a 22.（2） 点P 在对角线AB 上运动，Q 为定点， ∴当AB PQ ⊥时，||PQ 最短.当点Q 为棱CD 的中点时，QAB BQ AQ ∆=|,|||是等腰三角形， ∴点P 是AB 的中点时，||PQ 取得最小值a 22.【方法总结】建立空间直角坐标系，用点的坐标表示给定的点的位置，将空间几何问题转化为代数问题，借助函数的知识加以解决是一种重要的思想方法.【自我检测】1.D2.C3.C4.D 5．球面 ；6.230;7. 解：由已知，得点N 的坐标为)0,32,3(a a ，点M 的坐标为)32,,,3(a a a .所以a a a a a a MN 35)320()32()33(||222=-+-+-=.8. 解：由题意得：)1,0,0(),0,1,1(1D B ，故1BD 的中点为)21,21,21(P . 点Q 在棱1CC 上，Q ∴的坐标可设为)10)(,1,0(≤≤a a . ||||21QC Q C =，)32,1,0(,32||Q QC ∴=∴.从而619)3221()121()021(||222=-+-+-=PQ .9.解： 面⊥ABCD 面ABEF ，面 ABCD 面,,BE AB AB ABEF ⊥=⊥∴BE 面ABC .BE BC AB ,,∴两两垂直.∴以B 为原点，分别以BC BE BA ,,所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,22,22(),221,0,22(a a N a a M -.3222)0221()220()2222(--+-+-=∴a a a a MN21)22(1222+-=+-=a a a .∴当22=a 时，MN 最短，最短为22，此时，N M ,恰好为BF AC ,的中点.。
人教A版高中数学必修二4.3空间直角坐标系学案含教学反思
4.3空间直角坐标系4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O xyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标．[点睛] 空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.4．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2＋y 2＋z 2.预习课本P134～137，思考并完成以下问题(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手](2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P 1P 2|＝－22＋02＋22＝2 2.答案：2 2空间中点的坐标的求法[典例] 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点． 故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．[活学活用]如图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．空间两点间距离公式及应用[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝3－12＋2－02＋1－52＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：x －32＋y －22＋z －12＝x －12＋y －02＋z －52，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[活学活用]已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)． 因为M 为BC 1的中点， 所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎪⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝2－22＋2－02＋2－42＝2 2.空间中点的对称[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________． (2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)；(2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)；(3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)；(4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)；(5)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)；(6)关于yOz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)；(7)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x，－y，z)．其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A |AB|＝1＋32＋1＋32＋1＋32＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋－12＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)． 答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)． 10.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223， 且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋2－42＝533. 层级二 应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.132 B.534 C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋3－02＝532. 4．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝0－42＋2－02＋3－02＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________． 解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝0－02＋4－52＋3＋72＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P (x,0,0)． 由题意，得|P 0P |＝x －42＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)． 则|MN |＝x 0－62＋1－x 0－52＋0－12＝2x 0－12＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51.此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为123－12＋1－02＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2， 则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y－a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋12＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 124－02＋6－02＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －22＋y －32＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－2－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋4－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5a －22＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5a －22－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分， 所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形． 法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3k k 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。
空间中两点间距离公式(学案)
空间中两点间距离公式（学案）教学目标：（1） 复习已知长方体长，宽，高时，对角线的求法（2）复习平面上两点间的距离公式（3）掌握空间中两点间的距离公式，并能灵活运用所需旧识：① 若已知长方体的长 宽 高分别是a,b,c,则长方体的对角线长d=＿ ② 若点),,(000z y x p 在xoy 平面上，则可确定P 的＿坐标，P 的坐标可表示为 ；若点),,(000z y x p 在yoz 平面上，则可确定P 的＿坐标，P 的坐标可表示为若点),,(000z y x p 在x 轴上，则可确定P 的＿坐标，P 的坐标可表示为 ；若点),,(000z y x p 在y 轴上，则可确定P 的＿坐标，P 的坐标可表示为 ；若点),,(000z y x p 在z 轴上，则可确定P 的＿坐标，P 的坐标可表示为③ 在空间直角坐标系中，有点),,(1111z y x p ，),,(2222z y x p 。
若21p p ∥x 轴，则=||21p p ；若21p p ∥y 轴，则=||21p p ；若21p p ∥z 轴，则=||21p p④ 平面直角坐标系中两点),(111y x p ，),(222y x p 间的距离d=＿ 学生预习：问题1：长方体的体对角线是长方体中的哪一条线段？问题2：能否利用直尺直接测量出长方体砖块的体对角线的长？ 问题3：若给你一块长方体砖块和 一把尺子，你能否通过测量某些数据而进一步计算出体对角线的长？（需测量什么？又如何计算）问题4：已知平面上两点),(111y x p ，),(222y x p 则两点间距离=||21p p问题5：给出空间两点),,(1111z y x p ，),,(2222z y x p 能否类比平面上两点间距离公式, 猜想出空间中两点21p p 间的距离 =||21p p问题6：已知空间直角坐标系中有两点)0,0,0(o ,),,(000z y x p ,O 在原点.为了求O,P 两点间的距离,需要作一个以O,P 为体对角线,各面和坐标面平行的长方体(如下面左图所示).则:|OA|= |AB|= |BP|=|OP|=问题7：已知空间直角坐标系中有两点, 都不在原点。
高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.4.3.2 空间两点间的距离公式（2）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便． 课 型： 新授课教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用． 教学重点：空间两点的距离公式的应用． 教学难点：空间两点的距离公式的应用． 教学过程：一．复习提问：1．两点间的距离公式． 二．例题讲解：1．例题1．在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离．解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0，0，0)，A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，0，a ）.过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．PA=PB=PC ，∴H 为∆ABC 的外心，又∆ABC 为正三角形，∴H 为∆ABC 的重心．由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3,3,3(aa a ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-．∴点P 到平面ABC 的距离为a 33． 2．例题2．在棱长为a 的正方体ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离．解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x ， y ， z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称性，显然有x=y ．要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离．xHA BCD xyz1A 1B 1C 1D P Q H设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆!BDD 中，BDBH D D PH =1，所以a x a a z -=，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z ， a-z ， z)∴|PQ|=2122)()(z z z z a -++-=2)2(2)(2221a a z z z +-+-∴当21a z z ==时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22． ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22． 3．例题3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？分析：因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线． 解：设点P 的坐标为(x ， y ， z)． 点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0|PA|=5，∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ，即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1，2，0)．点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3．∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9，z=0．小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决． 三：巩固练习：1．课本139P 习题4.3 B 组 第2题2．点P 在坐标平面xOz 内，A 点的坐标为(1，3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹方程．答案：点P 的轨迹方程是2)1(-x 2)2(++z =16，y=0． 四．小结１．空间两点的距离公式的应用． 五．作业１．课本139P 习题4.3 Ｂ组 第3题课后记:。
高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(1)教案 新人教A版必修2
课题： 2.4.3.2 空间两点间的距离公式（１）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课 型： 新授课教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．教学重点：空间两点的距离公式．教学难点：空间两点的距离公式的推导教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P - 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0，0，0）的距离？2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2． 讨论：如果OP 是定长r ，那么2222x y z r ++=表示什么图形？2．例题1：求点P 1(1， 0， -1)与P 2(4， 3， -1)之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x ，2，3)、B(5，4，7)，且|AB|=6，求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A(2，5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0，2，0)或B(0，8，0)．4．思考：1.在z轴上求与两点A(-4， 1， 7)和B(3， 5， -2)等距离的点．2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1，-1，5)、B(3，4，4)和C(4，6，1)各点的距离相等．三．巩固练习：P练习 1、31．1382．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业P练习第2，4题1．课本138P习题4.3 A组第3题Ｂ组第１题2．课本138课后记:。
学案9：4.3.1 空间直角坐标系~4.3.2 空间两点间的距离公式
4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式学习目标1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.知识梳理知识点一 空间直角坐标系1.空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴： ，这时我们说建立了一个 .(2)相关概念： 叫做坐标原点， 叫做坐标轴，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用 来表示， 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点M 的横坐标， 叫做点M 的纵坐标， 叫做点M 的竖坐标.知识点二 空间两点间的距离1.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2.(2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.2.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是 ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.题型探究题型一求空间中点的坐标例1(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则①顶点A，C的坐标分别为________________；②棱C1C中点的坐标为________；③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________.(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.反思感悟(1)建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝14|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.题型二空间中点的对称问题例2在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.反思感悟(1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.跟踪训练2已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz 的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________.题型三空间中两点间的距离例3已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段MN的长度；(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.反思感悟(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.跟踪训练3已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.课堂小结1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.达标检测1.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是()A.1B.2C.3D.142.已知点A(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|P A|＝|PB|，则P点坐标为()A.(6,0,0)B.(6,0,1)C.(0,0,6)D.(0,6,0)3.在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P关于z轴的对称点P2的坐标为________.5.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标为________.6.在空间直角坐标系中，已知点P(1,0,1)，Q(4,3，－1)，在z轴上是否存在一点M，使|MP|＝|MQ|？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案知识点一空间直角坐标系1.空间直角坐标系及相关概念(1)x 轴、y 轴、z 轴 空间直角坐标系Oxyz(2)点O x 轴、y 轴、z 轴 每两个坐标轴2.右手直角坐标系x 轴 y 轴 z 轴3.空间一点的坐标有序实数组(x ，y ，z ) 有序实数组(x ，y ，z ) M (x ，y ，z ) x y z题型探究题型一 求空间中点的坐标例1 (1)【答案】①(0,0,0)，(1,1,0) ②⎝⎛⎭⎫1，1，12 ③⎝⎛⎭⎫12，0，12 (2)解 ∵正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为223.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223). 跟踪训练1 解 建立如图所示的空间直角坐标系.点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，由平面几何知识知|FM |＝12，|FN |＝12，故F 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0.因为|CG |＝14|CD |，G ，C 均在y 轴上， 故G 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG ，可得|DK |＝78，|HK |＝12， 故H 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12. 题型二 空间中点的对称问题例2 解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 1(－2，－1，－4).(2)由点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴，y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 2(－2,1，－4).(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3的坐标为(6，－3，－12).跟踪训练2 【答案】(2，－3,1)【解析】点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1). 题型三 空间中两点间的距离例3 解 (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝(3－1)2＋(2－0)2＋(1－5)2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等， 所以有下面等式成立：(x －3)2＋(y －2)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2， 化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0. 跟踪训练3 解 如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4).因为M 为BC 1的中点，所以由中点坐标公式得M ⎝⎛⎭⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4).所以由两点间的距离公式得|MN |＝(2－2)2＋(2－0)2＋(2－4)2＝2 2.达标检测1.【答案】A2.【答案】A【解析】设P (x,0,0)，|P A |＝(x －1)2＋1＋1，|PB |＝(x －3)2＋9＋9，由|P A |＝|PB |，得x ＝6.3.【答案】2【解析】由点(x ，y ，z )关于y 轴的对称点是(－x ，y ，－z )可得－1＝－a ，b ＝－1，c －2＝ －2，所以a ＝1，c ＝0，故所求距离|PO |＝12＋(－1)2＋02＝ 2.4.【答案】(1,1，－1) (－1，－1,1)【解析】点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为(1,1，－1)，点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为(－1，－1,1).5.【答案】(0，－1,0)【解析】设点M 的坐标为(0，y,0)，由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0).6.解 假设在z 轴上存在点M ，设为M (0,0，z ).由|MP |＝|MQ |，得12＋0＋(1－z )2＝42＋32＋(－1－z )2，两边平方整理得z 2－2z ＋2＝z 2＋2z ＋26，即z ＝－6.所以在z轴上存在一点M(0,0，－6)，使|MP|＝|MQ|.。
数学《空间两点间的距离公式》教案
数学《空间两点间的距离公式》教案教学目标：1. 掌握空间两点间的距离公式推导和运用。
2. 能够用公式计算空间两点间的距离。
教学重点：掌握空间两点间的距离公式推导和运用。
教学难点：如何运用公式计算空间两点间的距离。
教学过程：一、引入问题教师向学生提出问题：小明从学校里走到家里，走了多远？学生思考后，可能有不同的答案，有的学生可能会说：“我不知道，学校到家里的路线不同，走的距离也不一样。
”这时教师提出两个问题：1. 学校和家在平面内的情况，如何确定小明走的距离？2. 学校和家不在一个平面内的情况，如何确定小明走的距离？二、引入概念教师引导学生思考，提出一些问题：1. 对于平面上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离如何计算？2. 对于空间中两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离如何计算？引入概念：空间两点间的距离公式三、推导过程教师通过展示幻灯片或板书的方式，给学生讲解推导过程：在三维空间中，两点的坐标为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，它们之间的距离AB可以表示为：AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]四、示例练习1. 已知A(-2, 3, 1)和B(3, -1, 4)，求AB的长度。
解：AB = √[(3 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2 + (4 - 1)^2] = √(25 + 16 + 9) = √50 = 5√22. 已知A(1, 0, -2)和B(1, -4, 3)，求AB的长度。
解：AB = √[(1 - 1)^2 + (-4 - 0)^2 + (3 - (-2))^2] = √(0 + 16 + 25) = √41五、课堂练习1. 已知点A(-2, 1, 4)和点B(5, 3, -2)，求它们之间的距离。
2. 已知点A(0, 2, 3)和点B(1, -1, 2)，求它们之间的距离。
高中数学4.3.2空间两点间距离公式导学案新人教A必修2
浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 4.3.2 空间两点间距离公式导学案新人教A版必修2一、预案知识点1：1．在空间直角坐标系中，给定两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|＝ .分外地：设点A(x，y，z)，则A点到原点的距离为：|OA|＝ .2．若点P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，则|P1P2|＝ .3．若点P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，则|P1P2|＝ .二、导案1、学习方针：1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．问题2：在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？问题3 如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|，|OM|的值分别是什么？问题4 基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？扶引在空间中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求点P1、P2之间的距离|P1P2|?1 / 3问题5 设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M，N.那么M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？问题6 若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1，P2之间的距离如何？若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？对于空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点P的坐标是什么？例题分析：例1：求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．例2：如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求MN的长．变式练习1：在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1，－3,1)的距离相等．三、当堂检测:1．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A. 6B. 5 C．2 D. 32．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为( )A．2 5 B．5 2 C．3 2 D．2 32 / 33．点A(1,1,2)与点B(0，－1,3)间的距离为________．4．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.四、小结与反思:1.怎样获得空间中两点的距离公式?2.获得距离公式过程中运用怎样的数学思想？五、课后作业：1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为( )A.61 B．25 C．5 D.572．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( ) A．9 B.29 C．5 D．2 63．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )A.534B.532C.532D.1324．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( ) A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝43 / 3。
人教课标版高中数学必修二《空间两点间的距离公式》教案(1)-新版
4.3.2空间两点间的距离公式一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习,理解空间两点间距离的概念、体会平面点的距离与空间点的距离之间的关系,会用距离公式表示空间中两点间的距离,在直观想象、数学抽象中感受距离的几何意义.(二)学习目标1.了解平面两点间的距离与空间两点间的距离之间的关系.2.理解空间两点间的距离公式的概念.3.掌握用距离公式计算空间两点间的距离的方法.(三)学习重点1.不同维度下距离公式的特点.2.两点间的距离公式的含义.3.空间中两点间的距离的计算方法.(四)学习难点1.平面距离与空间距离的差别.2.距离公式的几何意义.3.建立适当的空间直角坐标系计算空间两点间的距离.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第136页至第137页,填空:在空间中,点P (x ,y ,z )到坐标原点O 的距离|OP |在空间中,P 1(x 1,y 1,z 1)与P 2(x 2,y 2,z 2)的距离|P 1P 2|(2)写一写:线段中点的坐标是什么？在空间直角坐标系中,若已知点A (x 1,y 1,z 1)与点B (x 2,y 2,z 2),则线段AB 的中点坐标是121212(,,)222x x y y z z +++. 2.预习自测1.已知空间三点的坐标为A (1,5,2-),B (2,4,1),C (p ,3,q +2),若A 、B 、C 三点共线,则p 、q 的值分别为( )A.3,2B.2,3C.3-,2D.3,2-答案：A.2.正方体不在同一平面上的两顶点为A (1-,2,1-),B (3,2-,3),则正方体的体积是()A.16B.192C.64D.48答案：C.3.点P (1,2,3)关于点Q (4,5,6)的对称点的坐标为()A.(7,8,9)B.(9,8,7)C.(5,7,9)D.(9,7,5)答案：A.(二)课堂设计1.知识回顾（1）空间一点M 的坐标可以用三元有序实数组(x ,y ,z )来表示,有序实数组(x ,y ,z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作M (x ,y ,z ).（2）点(x ,y ,z )关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(x ,y ,-z );关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为(-x ,y ,z );关于坐标平面zOx 的对称点的坐标为(x ,-y ,z ).（3）中点公式：1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点的坐标为(122x x +,122y y +,122z z +). 2.问题探究探究一 重温平面距离,认识空间距离●活动①数形结合,重温平面距离平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.【设计意图】回忆点与线段之间的关系,体会数形结合的思想.●活动②数形结合,重温平面距离设A (x ,y ,z )是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算?图1如图1,设A (x ,y ,z )是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B ,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D ,E .根据坐标的含义知,AB =z ,BD =x ,BE =OD =y ,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d 【设计意图】回忆点的投影关系,体会数形结合的思想.●活动③类比推广,认识空间距离给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性. 探究二 探究两点间的距离的计算方法●活动①类比推广,认识空间在空间直角坐标系中,空间两点之间的距离应怎样计算？由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d =212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 ●活动②类比推广,认识空间平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？图2平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 ●活动③类比推广,认识空间试根据②③推导两点之间的距离公式.如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M ,N ,则M (x 1,y 1,0),N (x 2,y 2,0),于是可以求出|MN |=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N ,垂足为H ,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H |=|MN |=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 探究三 结合实例、探究空间两点间距离的表示方法●活动①归纳梳理、理解提升例1.已知A (3,3,1),B (1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M (x ,y ,z )是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得x =213+=2,y =203+=23,z =215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得d (A ,B )=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P (x ,y ,z )到A ,B 的距离相等, 所以有等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0,因此,到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练：1.在z 轴上求一点M ,使点M 到点A (1,0,2),B (1,-3,1)的距离相等.解:设M (0,0,z ),由题意得|MA |=|MB |,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z =-3,所以M (0,0,-3).【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识.●活动②互动交流、初步实践例2.证明以A (4,3,1),B (7,1,2),C (5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB |,|BC |,|CA |的长,根据边长来确定.证明:由两点间距离公式得：|AB |=,72)12()31()47(222=-+-+-|BC |=6)23()12()75(222=-+-+-,|CA |=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC |=|CA |=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练2.三角形△ABC 的三个顶点坐标为A (1,-2,-3),B (-1,-1,-1),C (0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动:学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB |,|BC |,|CA |的长,利用勾股定理的逆定理来判定.证明:因为三个顶点坐标为A (1,-2,-3),B (-1,-1,-1),C (0,0,-5),所以|AB |=222)13()12()11(+-++-++=3,|BC |=23)15()10()10(222=+-++++,|CA |=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB |2+|CA |2=|BC |2,所以△ABC 是直角三角形.【设计意图】通过几何的直观性与代数的严谨性,培养数形结合的基本功.3.课堂总结知识梳理(1)空间两点间的距离公式的推导与理解.(2)空间两点间的距离公式的应用.(3)建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.重难点归纳(1)结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ,y ,z ),培养立体思维,增强空间想象力.(2)学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则,切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.(3)在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用,突出化空间为平面的解题思想.(三)课后作业基础型自主突破1.若A (1,3,-2)、B (-2,3,2),则A 、B 两点间的距离为( ) A.61B.25C.5D.57答案：C.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.=.5点拨：根据距离公式进行计算.2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3),则对角线AC1的长为( )A.9B.29C.5D.2 6答案：B.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】由已知求得C1(0,2,3),∴|AC1|＝29.点拨：根据距离公式进行计算.3.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足( )A.x＋y＋z＝－1B.x＋y＋z＝0C.x＋y＋z＝1D.x＋y＋z＝4答案：B.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】|AC|＝|BC|⇒(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2.即x＋y＋z＝0. 点拨：根据距离公式进行计算.4.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法中正确的是( )A.A、B、C三点可以构成直角三角形B.A、B、C三点可以构成锐角三角形C.A、B、C三点可以构成钝角三角形D.A、B、C三点不能构成任何三角形【知识点】两点间距离与勾股定理.【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB|＝2,|BC|＝3,|AC|＝1,∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.故构成直角三角形. 点拨：根据距离公式进行计算.答案：A.5.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x-2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为( )A.19B.-8 7C.8 7D.19 14答案：C.解析：【知识点】两点间距离与二次函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB|＝14x2－32x＋19,∴当x＝－－322×14＝87时,|AB|最小.点拨：先转化为二次函数,再求函数最值.6.点P(x,y,z)2=,则点P在( )A.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上B.以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体内C.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上D.无法确定答案：C.解析：【知识点】两点间距离与球面公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】视为动点P (x ,y ,z )到定点(1,1,-1)的距离为2.点拨：根据几何意义进行判断.能力型师生共研7.在空间直角坐标系中,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3,-1,2),其中心M 的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________.【知识点】立方体的对称性.【数学思想】数形结合.=点拨：根据几何意义进行计算. 答案：2393.8.已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3,其中A (3,5,-7),B (-2,4,3),则z ＝________. 答案：0或-4.解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】利用中点坐标公式,则AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2,|PC |＝3,即3=,解得z ＝0或z ＝-4. 点拨：根据距离公式进行计算.探究型多维突破9.在空间直角坐标系中,已知点A (1,0,2),B (1,-3,1),点M 在y 轴上,且M 到A 与到B 的距离相等,则M 的坐标是________.答案：(0,-1,0).解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】设M 的坐标为(0,y,0),由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2,整理得6y ＋6＝0,∴y ＝-1,即点M 的坐标为(0,-1,0).点拨：根据距离公式进行计算.10.在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ,使它到点N (6,5,1)的距离最小. 答案：(1,0,0).解析：【知识点】两点距离与二次函数最值.【数学思想】数形结合.【解题过程】∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上,∴可设M (x,1-x,0).∴|MN |=≥当且仅当x ＝1时取等号,∴当点M 坐标为(1,0,0)时,|MN |min ＝51.点拨：先转化为二次函数,再求最值.自助餐1.已知A (x ,5-x ,2x -1),B(1,x +2,2-x ),则|AB |的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 答案：B.解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB |=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x =78时,|AB|的最小值为735.故正确选项为B. 点拨：先转化为二次函数,再求最值.2.已知点A (1-t,1-t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为( )B.答案：A.解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB≥当t＝15时，|AB|取最小值，最小值为355.故正确选项为A.点拨：先转化为二次函数,再求最值.3.已知A(1,2,3)、B(6,5,4),到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件为_________.答案：10x＋6y＋2z-63＝0.解析：【知识点】两点间的距离公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】因为点P(x,y,z)到A、B的距离相等,=,化简得10x＋6y＋2z-63＝0,即到A、B距离相等的点P的坐标(x,y,z)满足的条件是10x＋6y＋2z-63＝0.点拨：先根据几何意义写出恒等式,再化简得到轨迹方程.4.如图所示,BC＝4,原点O是BC的中点,点A的坐标为(32,12,0),点D在平面yOz上,且∠BDC＝90°,∠DCB＝30°,面积AD的长度为_______.6.解析：【知识点】解三角形.【数学思想】数形结合.【解题过程】由题意得B (0,-2,0),C (0,2,0),设D (0,y ,z ),则在Rt △BDC 中,∠DCB ＝30°,∴BD ＝2,CD ＝23,z ＝3,y ＝-1.∴D (0,-1,3).又∵A (32,12,0),∴|AD |＝=点拨：根据距离公式进行计算.5.已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,且平面ABCD ⊥平面ABEF ,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2).(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时,MN 的长最小.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12;(2)当a ＝22时,|MN |最短. 解析：【知识点】立方几何与二次函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ,AB ⊥BE ,∴BE ⊥平面ABCD ,∴AB 、BC 、BE 两两垂直.过点M 作MG ⊥AB ,MH ⊥BC ,垂足分别为G 、H ,连接NG ,易证NG ⊥AB .∵CM ＝BN ＝a ,∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ,∴以B 为原点,以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0. (1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12, (2)由(1)得,当a ＝22时,|MN |最短,最短为22,这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点.点拨：先转化为二次函数,再求函数最值.6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,|AB |＝|AD |＝3,|AA 1|＝2,点M 在A 1C 1上,|MC 1|＝2|A 1M |,N 在D 1C 上且为D 1C 中点,求M 、N 两点间的距离.答案：212.解析：【知识点】立方体的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知C (3,3,0),D (0,3,0),∵|DD 1|＝|CC 1|＝2,∴C 1(3,3,2),D 1(0,3,2),∵N 为CD 1的中点,∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点,∴M (1,1,2).由两点间距离公式,得|MN |＝212. 点拨：根据立方体的对称性进行计算.。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案一、教学目标：1. 让学生理解空间两点间的距离公式的概念和意义。
2. 引导学生掌握空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 培养学生运用空间两点间的距离公式解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 空间两点间的距离公式的定义和表达式。
2. 空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 空间两点间的距离公式的应用实例。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程，应用实例。
2. 教学难点：空间两点间的距离公式的推导过程。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 利用几何模型和实物模型，帮助学生形象直观地理解空间两点间的距离公式。
3. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固空间两点间的距离公式的应用。
五、教学过程：1. 导入：通过简单的例子，引入空间两点间的距离公式的概念。
2. 新课：讲解空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程。
3. 应用：提供一些实际问题，让学生运用空间两点间的距离公式进行解决。
4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固空间两点间的距离公式的应用。
5. 小结：总结本节课的主要内容和知识点。
6. 作业：布置一些作业题，让学生进一步巩固空间两点间的距离公式的应用。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对空间两点间距离公式的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置一些针对性强的练习题，评估学生对空间两点间距离公式的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中解决问题的能力。
七、教学资源：1. 几何模型：使用三维几何模型，帮助学生直观理解空间两点间的距离。
2. 教学软件：利用多媒体教学软件，展示空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 练习题库：准备一定量的练习题，供学生课后巩固所学知识。
八、教学拓展：1. 空间几何其他知识点：引导学生探索空间几何其他知识点，如空间角度、立体几何等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.3.2空间两点间的距离公式
一、学习目标
1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.
2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引
1. 预习课本136-137页，做138页练习.
2. 重点：空间两点间的距离公式及应用.
3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现 1. 空间两点间的距离公式
空间中两点),,(1111z y x P ，),,(3222z y x P 之间的距离是=21P P . 说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例.
2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的21x x -，21y y -，21z z -，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换.
3. 空间两点间距离的求法 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离.
4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：
a
x=表示平行于yOz面的平面，且与yOz面的距离为a.
b
y=表示平行于xOz面的平面，且与xOz面的距离为b.
c
z=表示平行于xOy面的平面，且与xOy面的距离为c.
,0
,0=
=
=z
y
x分别表示yOz，xOz，xOy三个坐标平面.
5. 空间两点间距离公式的推导方法
剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点)
,,(z
y
x
P，求点P到原点O的距离.
如图所示，设点P在xOy平面上的射影是B，
则点B坐标是(,,0)
x y，在xOy
平面上有OB=.
在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得
OP=
因为BP z
=
，所以OP=
这说明，在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点
(,,)
P x y z与原点之间的距离是OP=
（2）下面再看一般的情况：如图所示，设点
1111
(,,)
P x y z，2222
(,,)
P x y z是空间任意两点，且两点在xOy平面上的射影分别为,
M N，那么,
M N的坐标为
11
(,,0)
M x y，
22
(,,0)
N x y.
在xOy平面上，MN=
过点
1
P作
2
P N的垂线，垂足为H，则
11
MP z
=，
22
NP z
=，所以
212
HP z z
=-.
在直角三角形
12
PHP中，
1
PH MN
==
根据勾股定理，得12PP =
=.
因此空间中两点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 间的距离公式可以表示成下面形式：
12PP =
五、课堂练习 1.
点)632
P 到原点的距离是（ ）
A
6
B 1
C 6
D 6
2. 点(,,)P a b c 到坐标平面xOz 的距离是（ ）
A
B a
C b
D c
3. 点(2,3,4)P 到y 轴的距离是（ ）
A
B C 5
D
4. 若(4,7,1)A -，(6,2,)B z ，11AB =，则z = .
5. 已知点(1,2,1)A -关于坐标平面xOy 的对称点为1A ，则A ，1A 两点间的距离为 .
6. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，已知3AB =，
2BC =，12AA =，用空间两点间的距离公式计算对
角线1B D 的长为 .
7.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，
,//,CD AB CD AD ⊥AB = AD 4,2==CD ，M 为CE 的中点。
(1)求证：//BM 平面ADEF ； (2)求证：平面⊥BDE 平面BEC
F
M
A
B
C
D
E
8.求过点P（1，1），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。