点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线距离公式的另外几种推导方法
点到直线距离公式的另外几种推导方法“点到直线的距离公式”是新课标人教版必修2数学的重点内容，教材在推到公式之后给出“请研究一下，如何用其它方法推导上面的距离公式”的伏笔，所以，作者给出另外几种推导方法，供大家参考。
1 点到直线的距离公式在平面直角坐标系中，已知点P （x 0,y 0），直线l ：Ax+By+C=0(A ﹒B ≠0).设点P （x 0,y 0）到直线l 的距离为d，则d =设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？解：设过点0P 且与已知直线l 垂直的直线为l '，垂足为(),D x y ，点到l 点距离为d ，则0d P D =202022000220002200222002000000/)()()()(;00,0),(;,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x ABy y A Bk l l B A k C By Ax l l -+-=∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=⎩⎨⎧=-+-=++=-+--=-=⊥-=⇒=++，，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由.)()()(2200222002220022200BA C By AxB AC By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为：.2200BA CBy Ax d +++=当A=0或B=0，上面的公式依然适用。
当然，也能够不用上面的距离公式，即当A=0且B ≠0时，直线l ：y=－BC，d =0y B C --=B C y +0；当A ≠0，B=0时，直线l ：x=－AC，d =0x A C --=A C x +0证法二：如图1，过P 作直线'l ∥l ，设直线'l 和l 分别交x 轴于点M 、N ，过M 作MH ⊥直线l 于点H ，则MH 就等于点P 到直线l 的距离，记为d ．设直线'l 的方程为'0Ax By C ++=，因为点图1'lH00(,)P x y 在直线'l 上，00'0Ax By C ∴++=， 00'()C Ax By ∴=-+．∴直线'l ：Ax By +00()0Ax By -+=．令0y =，得00M Ax By x A+=；在直线l ：0Ax By C ++=中，令0y =，得N Cx A=-．00M N Ax By CMN x x A++∴=-=．设直线l 的倾斜角为θ，则tan ABθ=-，且MNH πθ∠=-，222222222222222tan ,sec 1tan 1.cos ,sin ,sin A A A B B B B B A B A A B θθθθθθ+=-∴=+=+=∴=+∴=∴=+0000sin sin()sin Ax By C d MH MN MNH MN A Ax By C A πθθ++∴==∠=-=⋅++==说明：在证法二中，先将点P 到直线l 距离转化成过点P 的且与l 平行的直线'l 与l 的距离，并通过特殊位置——x 轴上的线段MN 的长，利用三角函数解决了问题，表达化斜为直的思想．当然，也能够对证法二实行适当的变化来证明点到直线的距离公式，由兴趣的读者不妨去试一试．2 公式的另外几种推导方法方法1 利用直角三角形的面积公式A ﹒B ≠0，∴ 直线l 必与两坐标轴相交，如图1，作PM ‖x 轴交直线l 于M ，作PN ‖y 轴交直线l 于N ， 作P Q ⊥l 于Q ，则d =∣PQ ∣，d 既是点P 到直线l 的距 离，又是R t △MPN 的高.∴d =MNPN PM . (※)设M （x 1,y 0），N （x 0,y 2），∵ M 、N ∈l ，易求出x 1=A C By --0,y 2=BCAx --0. ∴∣PM ∣=∣x 1-x 0∣=∣A CBy Ax ++00∣……①∣PN ∣=∣y 2-y 0∣=∣BCBy Ax ++00∣……②∣MN ∣=22PNPM+=ABB A 22+﹒∣Ax 0+By 0+C ∣……③将①②③代入（※）得：d =2200B A CBy Ax +++ (A 2+B 2≠0).方法2 利用两点间的距离公式教材指出，由P Q ⊥l 可知直线PQ 的斜率为AB，可求出PQ 所在直线的方程，从而可求出交点P 的坐标，再用两点间的距离公式求∣PQ ∣。
点到直线的距离公式解析几何
点到直线的距离公式解析几何在解析几何中，点到直线的距离可以使用以下公式进行计算：假设直线方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0, y0)。
1. 首先，计算直线上任意一点P(x1, y1)到点的距离d，公式为：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)2. 然后，将直线上任意一点P(x1, y1)替换为点(x0, y0)：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)即为点到直线的距离。
该公式的推导过程如下：点P到直线的距离可以看作点P到直线的垂足H的距离。
将垂足H的坐标设为(xh, yh)。
由于直线上的任意一点P(x1, y1)满足Ax1 + By1 + C = 0，所以垂足H的坐标应满足Axh + Byh + C = 0。
由于垂足H在直线上，所以垂足H到点P的向量与直线的方向向量垂直，即向量HP与直线的法向量垂直。
向量HP为(Px - xh, Py - yh)，直线的法向量为(A, B)。
根据向量的垂直关系，有：(A, B) · (Px - xh, Py - yh) = 0化简得：A(Px - xh) + B(Py - yh) = 0展开得：APx - Axh + BPy - Byh = 0移项得：APx + BPy = Axh + Byh对比直线方程Ax + By + C = 0，可知：Axh + Byh = -C代入上式，得：APx + BPy = -C由于点P的坐标为(x0, y0)，所以有：APx0 + BPy0 = -C展开得：Ax0 + By0 + C = 0移项得：Ax0 + By0 + C = 0取绝对值，得：|Ax0 + By0 + C| = 0所以，点到直线的距离为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)即为所求公式。
点到直线距离公式的七种推导方法
点到直线距离公式的七种推导方法
张晓静
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2009(000)002
【摘要】已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C=0（A≠0，B≠0），则点P 到直线l的距离｜Axo＋Byo＋C｜/√A2＋B2.
【总页数】3页(P12-14)
【作者】张晓静
【作者单位】河北省乐亭县第二中学,063600
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.点到直线距离公式的6种推导方法 [J], 吴志坚
2.点到平面距离公式的七种推导方法探讨 [J], 陆世标;朱家荣
3.“点到直线距离公式”的三角形推导方法 [J], 孙国泰
4.点到直线距离公式的多种推导方法 [J], 李桂珍;王全牢
5.平面内点到直线距离公式的推导方法 [J], 于利合
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点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。
（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、 定义法证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为B A'l ∴的方程：00()B y y x x A-=-与l 联立方程组 解得交点2200002222(,)B x ABy AC A y ABx BCQ A B A B ----++ 2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=+++|PQ ∴= 二、 函数法证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得：222200222222220000220000220000()[()()]()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=当且仅当00()B A y y x -=-（x ）时取等号所以最小值就是d =三、不等式法证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
【免费下载】十二种方法推导点到直线的距离公式
《6，用三角形面积公式推导》
6
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
点到直线距离公式的十种推导方法
点到直线距离公式的十种推导方法一、点到直线距离公式的介绍与基础证法点到直线距离公式是高中解析几何中的基础公式，通过点到直线距离这一几何关系的代数化，我们可以使用代数方法描述或者证明更多的几何问题。
而在这一公式的证明层面，实际上价值十分深厚，其推导方法所涉及范围之广，是令人惊叹的，同时也处处生动地表现着数学的连贯性与灵活度，是值得中学生研究的问题。
点到直线距离公式表述：设直线 L 的方程为 Ax+By+C=0 ，点 P 的坐标为（x0,y0），则点 P 到直线 L 的距离为：同理可知，当 P(x0，y0），直线 L 的解析式为 y=kx+b 时，则点 P 到直线 L 的距离为：在人教新版教材中，课本对于该公式的介绍依旧占有很大的篇幅，提到了两种证法，分别是十分直截的垂线段法和结合前面所学的向量方法。
这两种方法具有很强的象征，体现了不同流派的不同处理思路。
我们首先介绍简洁明了的垂线段方法，虽然计算量交大，但思维难度可以说是极小的。
法一：垂线段法①首先解出直线 AB 的方程;②联立 L 与直线 AB，解出垂足 B 的坐标；③利用两点间距离公式得到 AB 距离，即点到直线距离下面我们来探索一下向量的方法，实际上在空间向量章节我们已经学习过如何求一个点到一条直线的距离，主要方法和点到平面距离思路一致，法向量都是十分关键的一点，这也是中学阶段空间向量部分的核心。
法二：向量法①首先求出直线 L 的方向向量，再求出其法向量；②在直线上任取一点 M，求出向量 MP 与法向量的夹角；③利用模长公式即可求解。
二、其余方法展示接下来采用的额外七种方法，分别从面积、设而不求、函数、几何等视角加以展开，每一种方法都可以提炼出不同的核心思路。
等面积的方法和法一十足相似，主要是计算量都偏大，但都比较容易想到；当我们看到高的时候，最能直接想到的或许就是面积了。
法三：等面积法①由点 P 向两坐标轴分别作平行线交直线 L 于点 R、S；②分别利用两点间距离公式得到 PR、PS 的距离；③利用等面积方法求出三角形 PRS 的高，即点到直线的距离下面的方法应该说是解析几何味道十分浓重的，考虑到圆锥曲线中常用的设而不求想法，我们巧妙地构造对称点来解决这个问题。
十二种方法推导点到直线的距离公式.docx
十二种点到直线距离公式证明方法用高中数学知识推导 点到直线的距离公式 的方法.已知点 P(X o ,Y o )直线I : Ax+By+C=0 (A 、B 均不为0)，求点P 到直线I 的 距离。
(因为特殊直线很容易求距离，《1.用定义法推导》 点P 到直线I 的距离是点P 到直线 I 的垂线为垂足为Q 由I 垂直I 'ZlA二f 的方⅛ ：y-y 0-^ (X-XO 15X∩ 方程组 解紹交点O (虽竺孕欝.A Lr 4 D JA⅛tcΔθV 卫 CjA= B 3IPQ 岸 t B%世百FAC -Xo jj(A⅛{r*-ABX C - BC U <.2[A 铀 VO)Nf X U 严卑(TAC -ABx⅛-BC F_ A'(A 査 + BYQ ∙÷ CF ★ B'(A>⅛+B⅛]+CF皿B 爭(Ax⅛+By 0+O p 一 A 7+B 7二IPcI I 』冷唱√A J V B r这里只讨论一般直线 ) I 的垂线段的长，设点P 到直线可知I '的斜率为B/A«2,用设而不求法推导》过已知点P (x0,y c>作已知直线上Ax+By⅜C⅛O ES垂线,设垂足Q(X t y)»则IyH i Xy-¼>j-AJ=S-I×->⅛ B ,化简得Ax⅛By+C≈OA{y-y(j)—B(X-Xe)=O',A(X-X C⅛+ B(y*y c)⅛ - (Ax0÷By0÷C} 由上式衔：(A⅛ B j>[0t-xJ1+{y-y∏p]^(AX0+By(I+CF 二h SSFGv卩JAdBY叮CL«3?用目标函数法推导》点P(XoY fi)到育线/:A^BPC=O 上圧尊一点的距离的最小値就是总P到亘线/的左f上取圧意点M(K,y),爲两点的距离公式有IPMl i≡(x-x0}≈+Cy-VJ I 为了利用条件AX起卅OS将上式变形一下,配凑系数愛理需，(A3÷B j}[k-+(V-Vn)1I=A a(X-XJ?(v *y⅛j÷A2(y-y0)j+ B:<x-xj? ={A{χ-xJ+B(y-y⅛P+IA(y-γJ*B(x- XJ l? ⅛ ∣A(χ-χ0) 4 B(y-y0)Γ=(AX c+Bvo+C)7 ∖t(Ax o+BVβ+C^O)Λ√{^¾⅛<γ-v^ ⅛B⅛tBy tt±C∣V z A j÷B2当旦仅当AW-旳-BOC-Z=O旳取等号斷以最小值就是d=∣A3⅛*¾⅛÷¾VA2*B34,用柯西不等式推导》“求证：(a2 +b2 )(c 2+d2) ≥(ac+bd) 2 ,当且仅当ad=bc，即a∕c=b∕d 时等号成立。
点到直线距离公式推导方法
点到直线距离公式推导方法一、引言。
1.1 点到直线距离公式是数学中一个非常重要的公式。
它在很多几何问题、实际应用场景里都起着关键的作用。
就像一把万能钥匙，能打开很多和距离相关问题的大门。
咱们今天就好好唠唠这个公式是怎么推导出来的。
二、准备知识。
2.1 首先得知道直线方程的一般式，Ax + By + C = 0。
这就像是游戏里的基本规则一样，是推导这个公式的基础。
这里的A、B、C都是常数，x和y是直线上点的坐标。
2.2 再就是点的坐标，假设有点P(x₀,y₀)，咱们就是要求这个点到直线Ax + By + C = 0的距离。
这就好比在地图上，咱们知道一个地方的坐标，想知道这个地方到某条路线的距离。
三、推导思路。
3.1 过点P作直线的垂线，设垂足为Q(x₁,y₁)。
这垂线就像从点P到直线搭的一座桥，是解决问题的关键。
根据两直线垂直，斜率相乘等于 1的性质。
直线Ax + By + C = 0的斜率是 A/B，那垂线的斜率就是B/A。
3.2 利用点斜式方程可以写出过点P且斜率为B/A的直线方程，y y₀ = (B/A)(x x₀)。
这就像顺着线索找到的一条新路径。
然后联立这个方程和直线Ax + By + C = 0，就像两条线索交汇一样，求出垂足Q的坐标。
这过程就像侦探破案，一步一步寻找真相。
3.3 求出Q的坐标后，根据两点间距离公式来求PQ的距离，也就是点P到直线的距离。
两点间距离公式就像一个老朋友，在这个时候就派上用场了。
这个距离d = √[(x₁ x₀)²+(y₁ y₀)²]。
四、推导过程详细计算。
4.1 联立方程求解垂足Q的坐标。
把y y₀ = (B/A)(x x₀)变形为y=(B/A)(x x ₀)+y₀，代入Ax + By + C = 0中，得到Ax + B[(B/A)(x x₀)+y₀]+C = 0。
这一步就像把两个拼图拼在一起，然后展开式子Ax + (B²/A)(x x₀)+By₀+C = 0。
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式直线是平面几何中的基本概念，我们可以通过两点来确定一条直线。
而点到直线的距离是指从给定点到直线上最近的点之间的距离。
一、向量法设直线的方程为Ax+By+C=0，点P(x0,y0)离直线的距离为d，直线上任意一点Q(x1,y1)离点P的向量为v。
过点P的垂线与直线相交于点Q，向量v与直线垂线的向量w垂直，所以v·w=0。
（其中·表示向量的点乘）点P在直线上，所以Ax0+By0+C=0，所以垂线的方程为Bx-Ay+Bx0-Ay0=0，即Bx-Ay+D=0（其中D=Bx0-Ay0）。
根据向量的表达式，可以得到点Q相对于P的向量v=(x1-x0)i+(y1-y0)j。
（其中i和j分别为x方向和y方向的单位向量）直线垂线的向量w=Ai+Bj。
所以v·w=(x1-x0)A+(y1-y0)B=0。
解得A(x1-x0)+B(y1-y0)=0，即Ax1+By1+C=0，所以点Q也在直线上。
因此，直线上任意一点Q与向量v相乘的结果为0，即v·w=0。
展开等式可得(A(x1-x0)+B(y1-y0))-AD-BD=0，所以(A(x0-x1)+B(y0-y1))=AD+BD。
根据向量的定义可得，A(x0-x1)+B(y0-y0)，=，D(A^2+B^2)^(1/2)，即，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)=d。
所以点到直线的距离公式为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
二、坐标法设直线的方程为y = mx + n，点P的坐标为(x0, y0)。
点P到直线的距离可以通过点到直线的垂线和点到垂足的距离来表示。
直线的斜率为m，所以垂线的斜率为-1/m。
过点P的直线的方程为y - y0 = (-1/m)(x - x0)，即mx + y0 = x0 + y。
垂线和直线相交的点的坐标为(x1,y1)，代入垂线的方程可以得到y1=(-1/m)x1+(x0/m+y0)。
点到直线距离公式的七种推导方法
点到直线距离公式的七种推导方法点到直线的距离公式是解析几何中常用的公式之一，它可以通过多种推导方法得到。
本文将介绍七种推导方法，包括直线的一般方程法、直线的截距法、垂直平分线法、斜率法、向量法、几何法和矢量法。
1.一般方程法：设直线的一般方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0，y0)。
将点坐标代入直线方程得到点到直线的距离公式：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)2.截距法：设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，点的坐标为(x0，y0)。
根据截距的几何意义，可以得到点到直线的距离公式：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)3.垂直平分线法：设直线的方程为y = kx + c，其中k为斜率，c为截距，点的坐标为(x0，y0)。
垂直平分线的斜率为-1/k，过点(x0，y0)的垂直平分线方程为y = (-1/k)(x - x0) + y0。
将垂直平分线方程与直线方程联立，解方程组得到交点的坐标(xp, yp)，然后计算点到交点的距离：d = √((x0 - xp)^2 + (y0 - yp)^2)4.斜率法：设直线的斜率为k，截距为c，点的坐标为(x0，y0)。
设直线上一点为(x，y)，则有y - y0 = k(x - x0)。
将直线方程和垂直平分线方程联立，解方程组得到交点的坐标(xp, yp)，然后计算点到交点的距离：d = √((x0 - xp)^2 + (y0 - yp)^2)5.向量法：设直线上一点为M(a,b)，点的坐标为(x0，y0)。
可以用向量来表示直线上的点，直线的方向向量为v=(p,q)。
设点M到点的向量为u=(x0-a,y0-b)，则直线上的点满足u∙v=0。
将向量点积的几何意义应用到点M和点的向量u上，得到点到直线的距离公式：d = ，pu + qv，/ √(p^2 + q^2)6.几何法：根据几何意义，点到直线的距离等于点到直线所在直角三角形的高。
d=h=√(l1^2-h^2)7.矢量法：设直线上一点为M(a,b)，点的坐标为(x0，y0)。
《点到直线的距离公式》推导
《点到直线的距离公式》推导点到直线的距离公式是数学中的一个重要概念，它可以用于计算点与直线之间的最短距离。
下面我将详细介绍如何推导点到直线的距离公式。
首先，假设我们有一个平面直角坐标系，其中直线的方程为Ax+By+C=0，而点的坐标为(x0,y0)。
我们需要计算点到直线的距离d。
我们可以将直线方程转化为斜截式方程y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
为了将直线方程转化为斜截式方程，我们可以通过将Ax + By + C = 0两边同时除以B来实现。
这样，我们得到的直线方程为y = (-A/B)x - (C/B)。
当一条直线的斜率为m时，过这条直线上任意一点(x1,y1)且垂直于该直线的直线方程可以表示为y=(-1/m)x+c，其中c是该直线的截距。
因此，直线方程y=(-A/B)x-(C/B)的垂线方程为y=B/Ax+c。
我们知道，两条垂直直线的斜率乘积为-1、因此，(-A/B)*(B/A)=-1，所以斜率-m和B/A是互为相反数。
这样，我们可以得到通过点(x0,y0)垂直于直线Ax+By+C=0的直线方程为y=(B/A)x+c。
为了计算点到直线的距离d，我们需要求取点(x0,y0)与直线Ax+By+C=0的交点，然后计算该点到(x0,y0)的距离。
首先，我们可以将直线y=(B/A)x+c代入直线Ax+By+C=0，得到(Ax+B(B/A)x+cB-C=0)，简化为(A+B^2/A)x+cB-C=0。
移项后，我们可以得到一个关于x的一次方程，即Ax+BA^2/A^2*x=C-cB。
将该方程化简后，我们可以得到x=(CA-cAB)/(A^2+B^2)。
接下来，我们将x带入y=(B/A)x+c，可以得到y=(B/A)((CA-cAB)/(A^2+B^2))+c。
同样的，我们可以将该方程化简为y=(AC-cB^2)/(A^2+B^2)。
因此，点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d可以计算为y-y0=((AC-cB^2)/(A^2+B^2))-y0。
十二种方法推导点到直线的距离公式
{十二种点到直线距离公式证明方法}
用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法．已知点P(Xo，Yo)直线l：Ax+By+C=0 (A、B均不为0)，求点P到直线I 的距离。
(因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线) 《1．用定义法推导》
点P到直线l的距离是点P到直线l 的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为垂足为Q，由l垂直l’可知l’的斜率为B/A
《2，用设而不求法推导》
《3，用目标函数法推导》
3
《4，用柯西不等式推导》
“求证：(a2 +b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc，即a/c=b/d 时等号成立。
”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式。
《5．用解直角三角形法推导》
设直线l 的倾斜角为，过点P作PM∥y轴交l于G(x1 ，y1)，显然X l=x。
，所以
5
《6，用三角形面积公式推导》
《7．用向量法推导》
7
《8．用向量射影公式推导》
《9．利用两条平行直线间的距离处处相等推导》
9
《10．从最简单最特殊的引理出发推导》
{11．通过平移坐标系推导】
11
【12，由直线与圆的位置关系推导】
感谢以下挚友，俺其实只是负责编辑整理了一下，证明下，感受下数学滴博大精深。
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点到直线的距离公式的七种推导方法(转载)
很有用哦
已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。
（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法
证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为
B A
解得交点22
00002222
(
,)B x ABy AC A y ABx BC
Q A B A B ----++
22222
000000
2222
222200002222
2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B
A Ax By C
B Ax By
C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=
++
+|PQ ∴=
二、 函数法
证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得：
22220022222222000022
0000220000()[()()]
()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=
当且仅当00()B A y y x -=-（x ）
时取等号所以最小值就是d =
三、不等式法
证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
由柯西不
等式：222222
000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++
B 0,Ax y
C ++=≥
当且仅当00()B A y y x -=-（x ）
时取等号所以最小值就是d =
四、转化法
证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M
11(,)
x y 显然
10
x x =所以
01Ax C
y b
+=-
x
0000||||||Ax C Ax By C
PM y B B
+++∴=+
=
易得∠MPQ ＝ α（图2）或∠MPQ ＝0180α-（图3）
在
两
种
情
况
下
都
有
2
2
2
2
tan tan A MPQ B
α∠==所以
cos MPQ ∠=
=
00||||cos ||
Ax By C
PQ PM MPQ B
++=∠==
五、三角形法
证：P 作PM ∥ y 轴交l 于M ，过点P 作PN ∥ x 轴交l 于N （图4） 由解法三知00|||
|Ax By C PM B ++=；同理得 00||||Ax By C
PN A
++=
在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高
||PQ ∴=
=
六、参数方程法
证：过点00(,)P x y 作直线 0'0cos :sin x x t l y y t θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩交直线l 于点Q 。
(如图1)
由直线参数方程的几何意义知||||t PQ =，将 'l 代入
l 得
00cos sin 0Ax At By Bt C θθ++++=
整理后得 00|||
|...........(1)cos sin Ax By C
t A B θθ
++=--
当 'l l ⊥时，我们讨论 θ与 l 的倾斜角α的关系：
当 α为锐角时 （tan 0,A B α=->不妨令A>0,B<0）有0
90θα=+（图2）
cos sin sin cos θαθα=-=======
当 α为钝角时 （tan 0,A B
α=-<不妨令A>0,B>0）有0
90θα=-（图3）
得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
0022|||||
|
Ax By C t ++=
= 七、向量法
证：如图五，设直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠的一个法向量
(1,)B
n A
=，Q 直线上任意一点，则1010(,)PQ x x y y =--。
从而点P 到直
线的距离为：
n Q
1010
11
|()|
||
||
0,
B
x x y y
n PQ
d
n
P Ax By C d
-+-
⋅
===
∴++===点在直线l上,从而
附：
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ
⊥l可知，直线PQ的斜率为
A
B
（A≠0），根据点斜式
写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的
坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P
到直线l的距离为d
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都
相交，过点P作x轴的平行线，交l于点)
,
(
1
y
x
R；作y轴的平行线，交l于点)
,
(
2
y
x
S，
由
⎩
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
2
1
1
C
By
Ax
C
By
x
A
得
B
C
Ax
y
A
C
By
x
-
-
=
-
-
=0
2
1
,.
所以，｜PＲ｜＝｜
1
x
x-｜＝
A
C
By
Ax+
+
｜PS｜＝｜
2
y
y-｜＝
B
C
By
Ax+
+
｜ＲS
｜＝
AB
B
A
PS
PR
2
2
2
2
+
=
+×｜C
By
Ax+
+
｜由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜
所以
2
2
B
A
C
By
Ax
d
+
+
+
=
可证明，当A=0时仍适用。