点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法(转载)

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已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法

证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为

B A

解得交点22

00002222

(

,)B x ABy AC A y ABx BC

Q A B A B ----++

22222

000000

2222

222200002222

2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B

A Ax By C

B Ax By

C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=

++

+|PQ ∴=

二、 函数法

证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得：

22220022222222000022

0000220000()[()()]

()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=

当且仅当00()B A y y x -=-（x ）

时取等号所以最小值就是d =

三、不等式法

证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不

等式：222222

000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++

B 0,Ax y

C ++=≥

当且仅当00()B A y y x -=-（x ）

时取等号所以最小值就是d =

四、转化法

证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M

11(,)

x y 显然

10

x x =所以

01Ax C

y b

+=-

x

0000||||||Ax C Ax By C

PM y B B

+++∴=+

=

易得∠MPQ ＝ α（图2）或∠MPQ ＝0180α-（图3）

在

两

种

情

况

下

都

有

2

2

2

2

tan tan A MPQ B

α∠==所以

cos MPQ ∠=

=

00||||cos ||

Ax By C

PQ PM MPQ B

++=∠==

五、三角形法

证：P 作PM ∥ y 轴交l 于M ，过点P 作PN ∥ x 轴交l 于N （图4） 由解法三知00|||

|Ax By C PM B ++=；同理得 00||||Ax By C

PN A

++=

在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高

||PQ ∴=

=

六、参数方程法

证：过点00(,)P x y 作直线 0'0cos :sin x x t l y y t θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩交直线l 于点Q 。(如图1)

由直线参数方程的几何意义知||||t PQ =，将 'l 代入

l 得

00cos sin 0Ax At By Bt C θθ++++=

整理后得 00|||

|...........(1)cos sin Ax By C

t A B θθ

++=--

当 'l l ⊥时，我们讨论 θ与 l 的倾斜角α的关系：

当 α为锐角时 （tan 0,A B α=->不妨令A>0,B<0）有0

90θα=+（图2）

cos sin sin cos θαθα=-=======

当 α为钝角时 （tan 0,A B

α=-<不妨令A>0,B>0）有0

90θα=-（图3）

得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得

0022|||||

|

Ax By C t ++=

= 七、向量法

证：如图五，设直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠的一个法向量

(1,)B

n A

=，Q 直线上任意一点，则1010(,)PQ x x y y =--。从而点P 到直

线的距离为：

n Q

1010

11

|()|

||

||

0,

B

x x y y

n PQ

d

n

P Ax By C d

-+-

⋅

===

∴++===点在直线l上,从而

附：

方案一：

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ

⊥l可知，直线PQ的斜率为

A

B

（A≠0），根据点斜式

写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的

坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P

到直线l的距离为d

方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都

相交，过点P作x轴的平行线，交l于点)

,

(

1

y

x

R；作y轴的平行线，交l于点)

,

(

2

y

x

S，

由

⎩

⎨

⎧

=

+

+

=

+

+

2

1

1

C

By

Ax

C

By

x

A

得

B

C

Ax

y

A

C

By

x

-

-

=

-

-

=0

2

1

,.

所以，｜PＲ｜＝｜

1

x

x-｜＝

A

C

By

Ax+

+

｜PS｜＝｜

2

y

y-｜＝

B

C

By

Ax+

+

｜ＲS

｜＝

AB

B

A

PS

PR

2

2

2

2

+

=

+×｜C

By

Ax+

+

｜由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜

所以

2

2

B

A

C

By

Ax

d

+

+

+

=

可证明，当A=0时仍适用