清华 微积分A期中考试
2011-2012第二学期微积分期中考试试卷参考答案_7481_1628_20120411115551
北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。
（A ）连续，且可偏导。
（B ）沿任何方向的方向导数都存在。
（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。
2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。
（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。
（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。
（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。
（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。
【清华】2013年大一下微积分A2期中样卷答案
14. 设 F (x) 2x esin(xy)dy ，则 F(x) x
答案： F (x) 2x y cos(xy)esin(xy)dy 2esin(2x2 ) esin x2 x
。
。 。 。
1 ey
11
e1
15. 交换积分次序： dy f (x, y)dx = dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy 。
证毕。
2 . （ 8 分 ） 设 f (u) 是 连 续 函 数 ， 证 明 ：
D (x, y) x y 1 。
1
f (x y)d f (u)du ， 其 中
D
1
x y u
证：做变换
x
y
v
……………………………………………………………………..3 分
3. 设函数 f (u, v) 可微，函数 z z(x, y) 由方程 f (x y z, x2 y2 z2 ) 0 确定，则偏
导数 z x
。答案： fu 2xfv fu 2zf v
4. 函数 x 2 2 y 2 3z 2 在点 (1,1,1) 处函数值递增最快的方向为
x y z 0
7.
y
y(x), z z(x)
为由方程组 xຫໍສະໝຸດ 2y2
z2
1
确定的隐函数，
y
z
，则
dy
。答案： dy z x
dx
dx z y
8. 函数 f (x, y) x y 在点 (x, y) (1,1) 处带 Peano 余项的二阶 Taylor 展式为
清华大学微积分A(1)期中考试样题
一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。
21 3. 31 4。
34 5. 1 6．第一类间断点 7。
()dx x x x ln 1+ 8。
22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。
0 10。
11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。
13 13。
0 14。
)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。
…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。
…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。
清华大学微积分试题库完整
.word 格式,(3343) ．微分方程y ytanx cosx 0的通解为y (x C)cosx。
1y(4455) ．过点( ,0)且满足关系式y arcsin x 1的曲线方程为2 1 x21 y arcsin x x 。
2C2 (4507) ．微分方程xy 3y 0 的通解为y C1 22。
x2(4508) ．设y1(x), y2 (x), y 3 (x )是线性微分方程y a(x)y b(x)y f (x) 的三个特解，且y2(x) y1(x)C ，则该微分方程的通解为y3(x) y1(x)y C1(y2(x) y1(x)) C2((y3(x) y1(x)) y1(x)。
2 2 x(3081) ．设y1 3 x2,y2 3 x2 e x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3 x ，则该微分方程的通解为y 3 x2 C1x C2e x。
(4725) ．设出微分方程y 2y 3y x xe x e x cos2x 的一个特解形式* x xy* Ax B x(Cx D)e x e x(Ecos2x F sin2x) 。
(4476) ．微分方程y 2y 2y e x的通解为y e x(1 C1cosx C2 sinx)。
2x 1 2x(4474) ．微分方程y 4y e2x的通解为y C1e 2x C2x e2x。
4(4477) ．函数y C1cos2x C2sin2x 满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y 4y 0 。
2x t 2x(4532) ．若连续函数f (x) 满足关系式f(x) f(2)dt ln2，则f (x) e2x ln2。
(6808) ．设曲线积分[ f (x) e x]sin ydx f ( x) cosydy与路径无关，其中f(x) 具有一阶连续导数，且f (0) 0，则f(x) 等于[ ]11(A) 1(e x e x) 。
(B) 1(e x e x) 。
2023-2024学年清华附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年清华附中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．复数z ＝i （1－i ）的模|z |＝（）A B ．2C ．1D ．32．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，则该椭圆的方程为（）A ．2213616x y +=B ．212x +28y =1C ．28x +24y=1D ．212x +24y =13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（）A ．12-B ．16-C ．16D ．124．直线10x +=的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．120°D ．150°5．过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（）A ．20x y -=B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=6．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）A ．B ．6C ．D ．127．设数列{}n a 是等比数列，则“21a a >”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．椭圆()222210x y a b a b +=>>的两焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率是（）A ．12B ．312C ．D 19．直线()2200ax by a b a b +--=+≠与圆2220xy +-=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则下列结论中正确的是（）A ．与三条直线111,,AB CCD A 所成的角都相等的直线有且仅有一条B ．与三条直线111,,AB CC D A 所成的角都相等的平面有且仅有一个C ．到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等的点恰有两个D ．到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等的点有无数个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知直线:50l x y --=，圆C:()()22221x y -++=，则直线l 被圆C 所截得的线段的长为.12．在平面直角坐标系中，经过()0,0，()2,0-，()0,4-三点的圆的标准方程为.13．在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c === ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE＝(用,,a b c表示)．14．圆1O ：()2224x y ++=和圆2O ：()()22214x y -+-=的位置关系是.15．已知数列{}n a 满足()*,01n n a n k n k =⋅∈<<N 下面说法正确的有.①当12k =时，数列{}n a 为递减数列；②当14k =时，数列{}n a 为递减数列；③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；④当1kk -为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16．如图.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．(1)求证：1//BD 平面ACE ；(2)求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．17．已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}n b 满足14b =，422b =，设n n n c a b =-，且{}n c 是等差数列.(1)求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；(2)求{}n b 的通项公式和前n 项和nT.18．在ABC 中，1cos 7C =，8c =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)b 的值；(2)角A 的大小和ABC 的面积.条件①：7a =；条件②：11cos 14B =.19．如图,四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面ABP ,//BC AD ,90PAB ∠=o.2PA AB ==,3AD =,BC m =,E 是PB的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥平面PBC ;(Ⅱ)若二面角C AE D --的余弦值是3,求m 的值;(Ⅲ)若2m =,在线段AD 上是否存在一点F ,使得PF ⊥CE .若存在,确定F 点的位置;若不存在,说明理由.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1P ，离心率为.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点定点()0,3G -作斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B ，直线PA ，PB 的斜率分别记为1k ，2k .求12k k⋅的值21．设{}1,2,3,,10D =⋅⋅⋅，如果函数f ：D D →的值域也是D ，则称之为一个泛函数，并定义其迭代函数列(){}nf x ：()()1f x f x =，()()()()*1N n n f x f f x n +=∈.(1)请用列表法补全如下函数列；x 12345678910()1f x 217534910()2f x (2)求证：对任意一个i D ∈，存在正整数10i N ≤（iN 是与i 有关的一个数），使得()i N f i i=；(3)类比排序不等式：a b <，c d ac bd ad bc <⇒+>+，把D 中的10个元素按顺序排成一列记为()1210,,,x x x ⋅⋅⋅，使得10项数列A ：()252011f x ⋅，()252022f x ⋅，()252033f x ⋅，…，()25201010f x ⋅的所有项和S 最小，并计算出最小值minS 及此时对应的()1210,,,x x x ⋅⋅⋅.1．A【分析】直接计算模即可【详解】1i z =+，z 故选：A 2．C【分析】利用长轴长及焦距求出,a c ，结合222b ac =-可得答案.【详解】由题意可设所求椭圆方程为22221x y a b +=，又因为长轴长为4，所以2a =24c =，即a =2c =，再由2224b a c =-=，故所求椭圆方程为22184x y +=，故选：C ．3．A【解析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a .【详解】因为1n S n =，所以11111a S ===，因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-.故选：A 4．A【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式tan θk =可求得结果.【详解】∵10x +=∴33y x =+∴tan 3k θ==又∵[0,)θπ∈∴30θ=故选：A.5．A【分析】由题意，设所求直线为240x y m -+=，代入A 点坐标，求得m 值，即可得答案.【详解】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =，所以所求直线为240x y -=，即20x y -=.故选：A6．C【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆23x ＋y2＝1知，该椭圆的长半轴a =A 是椭圆的一个焦点，设另一焦点为F ，而点F 在BC 边上，点B ，C 又在椭圆上，由椭圆定义得2,2BA BF a CF CA a+=+=，所以ABC 的周长4l AB BC CA AB BF CF CA a =++=+++==C7．B 【分析】当10,0a q <<时，可得210a a q =>，但此时数列{}n a 不单调，根据数列的单调性，结合充分、必要条件的判定方法，即可得答案.【详解】当10,0a q <<时，210a a q =>，虽然有12a a <，但是数列{}n a 为摆动数列，并不是递增数列，所以不充分；反之当数列{}n a 是递增数列时，则必有12a a <，因此是必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，数列的单调性，着重考查推理分析的能力，属基础题.8．D【分析】利用题干可得1211212ππ2,,,32F F c BF c AF F F BF ==∠=∠=，则2BF =，构建,a c 的等量关系即可求离心率.【详解】由题可知等边12AF F △的边1AF 的中点为B ，所以可得1211212ππ2,,,32F F c BF c AF F F BF ==∠=∠=，所以2BF =，由椭圆定义可得122BF BF a+=，即2c a =，则离心率1ce a=.故选：D 9．C【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆2220x y +-=的圆心为（0，0所以圆心到直线()2200ax by a b a b +--=+≠因为222ab a b≤+，所以()()2222a b a b +≤+≤，所以直线与圆相交或相切；故选：C ．10．D【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A 错误，成的角相等的平面有无数个，B 错误，距离相等的点有无数个，C 错误，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：根据对称性知1AC 与三条直线的夹角相等，则与1AC 平行的直线都满足条件，有无数条，错误；对选项B ：根据对称性知平面1A BD 与三条直线所成的角相等，则与平面1A BD 平行的平面都满足条件，有无数个，错误；对选项C ：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，()1,0,0A ，()1,1,0B ，1DB 上一点(),,P a a a ，则()0,1,0AB = ，()1,,PA a a a =- ，cos ,AB PA AB PA AB PA ⋅==⋅ P 到直线AB的距离为PA==，同理可得P 到直线1CC 和11D A，故1DB 上的点到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等，故有无数个，错误；对选项D ：1DB 上的点到三条直线111,,AB CC D A的距离都相等，故有无数个，正确；故选：D 11【分析】先求得圆心到直线:50l x y --=的距离为22d =，再利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意，圆()()22:221C x y -++=的圆心坐标为(2,2)C -，半径为1r =，圆心到直线:50l x y --=的距离为22d =，由圆的弦长公式，可得==即直线l 被圆C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的弦长公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．()()22125x y +++=【分析】设所求圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，代入各点坐标求出,,a b r 的值即可.【详解】由题意设所求圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，代入各点坐标得，()()()222222222204a b r a b r a b r ⎧+=⎪⎪--+=⎨⎪-+--=⎪⎩，解得2125a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为()()22125x y +++=.故答案为：()()22125x y +++=.13．111244a b c ++【详解】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD O OE A OD ∴=+=+()111222a OB OC=+⨯+ ()1111124244a b c a b c =++=++，故答案为111244a b c ++.14．外离【分析】根据圆的位置关系直接得出.【详解】根据两圆的方程可知()()122,0,2,1O O -，得12O O =，12r =，22r =，所以12124O O r r >=+，所以两圆外离.故答案为：外离.15．②③④【分析】通过求出数列的递推式，找出,1kn k -之间的关系，即可得出结论.【详解】由题意，在数列{}n a 中，()*,01nn a n k n k =⋅∈<<N ，∴11n n a n ka n ++=，∵01k <<，∴当1k n k <-时，11n n a a +>,即1;n n a a +>当1k n k >-时，11n n a a +<，即1n n a a +<.当12k =时，212121,,112222a a a a ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，故数列{}n a 不是递减数列，故①不正确.当14k =时，11411314k n k ==<--，1n n a a +<，故数列{}n a 是递减数列，故②正确.当102k <<时，(0,1)1k k ∈-，所以数列{}n a 是递减数列，故③正确.当1k k -为正数时，令*N 1k n k =∈-,所以1,112n k n ⎡⎫=∈⎪⎢+⎣⎭.12k =时，1212a a ==,数列{}n a 从第二项起递减，所以此时数列{}n a 有两项相等的最大值；112k <<时，数列从第一项到第n 1-项递增，从第1n +项起递减，22111111n n a n n n n k a n n n n -===>--+-，所以1n n a a ->，11111n n a n n nk a n n n +++===+,所以1n n a a +=,所以此时数列{}n a 有两项相等的最大值，故④正确.选答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推式，递增递减数列的判断，考查学生数学思维和理解题意的能力，计算的能力，具有很强的综合性.16．(1)证明见详解(2)【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O ，根据中位线定理可知1//OE BD ，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算AD，平面ACE 的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，因为O ，E 为中点，所以1//OE BD ,又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系令2AB =，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1A D C E ()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1AD AC AE ===设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =所以2200200x y n AC y z n AE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，令1,1,2y x z =-==所以()1,1,2n =- ，所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值6n AD n AD ⋅=⋅ 17．(1)13·2n n a -=，2n c n =-(2)1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.（2）因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.18．(1)5b =(2)3A π=，ABC S = 【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得b ，若选②，先由同角三角函数的关系求出sin ,sin B C ，然后由正弦定理可求出b ，（2）若选①，先求出sin C ，再利用正弦定理可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于cos cos()A B C =-+，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，【详解】（1）选择条件①因为1cos 7C =，8c =，7a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得216449147b b =+-⨯，化简得22150b b --=，解得5b =或3b =-（舍）.所以5b =；选择条件②因为11cos 14B =，0B π<<，所以sin B =，因为1cos 7C =，0C π<<，所以sin 7C ==，由正弦定理得sin sin b cB C =，得=，解得5b =；（2）选择条件①因为1cos 7C =，0C π<<，所以sin 7C =.由正弦定理sin sin ac A C =，得7sin A =，所以sin A ，因为c a >，所以C A >，所以A 为锐角，所以3A π=，所以11sin 75227ABC S ab C ==⨯⨯ 选择条件②由（1）知sin B =，sin 7C =，又因为11cos 14B =，1cos 7C =，在ABC 中，()A B C π=-+，所以cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C=-+=-+11111472=-⨯+因为0A π<<所以3A π=，所以11sin 5822ABC S bc A ==创△19．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)1m =.(Ⅲ)不存在，见解析【分析】（I ）通过证明,AE BC AE PB ⊥⊥，证得⊥AE 平面PBC .（II ）建立空间直角坐标系，利用二面角C AE D --的余弦值列方程，解方程求得m 的值.（III ）设出F 点的坐标，利用0PF CE ⋅= 列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的F 点不存在.【详解】(Ⅰ)证明:因为AD ⊥平面PAB ,//BC AD ,所以BC ⊥平面PAB .又因为AE ⊂平面PAB ,所以AE BC ⊥.在PAB ∆中,PA AB =,E 是PB 的中点,所以AE PB ⊥.又因为BC PB B = ,所以⊥AE 平面PBC .(Ⅱ)解:因为AD ⊥平面PAB,所以AD AB ⊥,AD PA ⊥.又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,2,)C m ,(1,1,0)E ,(2,0,0)P ,(0,0,3)D ,(0,2,)AC m = ,(1,1,0)AE = .设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z = .则0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩令1x =,则1y =-,2z m =,于是2(1,1,)n m =- .因为AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥.又PB AE ⊥,所以PB ⊥平面AED .又因为(2,2,0)PB =- ,所以取平面AED 的法向量为1,)0(1,m =- .所以cos ,3n m n m n m⋅〈〉==⋅ ,,解得21m =.又因为0m >,所以1m =.(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:证明:设(0,0,)F t (03)t ≤≤.当2m =时,(0,2,2)C .(2,0,)PF t =- ,(1,1,2)CE =-- .由PF CE ⊥知,0PF CE ⋅=,220t --=,1t =-.这与03t ≤≤矛盾.所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．(1)2212x y +=(2)1【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的标准方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设直线l ：3y kx =-，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）22212b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩得11a b c ⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）设直线l ：3y kx =-，则22322y kx x y =-⎧⎨+=⎩，消y 得：()221212160k x kx +-+=，()22Δ14464120k k =-+>，所以()(),22,k ∈-∞-⋃+∞，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以1221212kx x k +=+，1221612x x k =+，因为()0,1P ，所以1111y kx -=，2221y k x -=，()()12121212124411kx kx y y k k x x x x ----⋅==()2121212416k x x k x x x x -++=2222222164816321212121612k k k k k k k +-++++=+1=21．(1)列表见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据函数的定义以及定义域与值域的定义，可得答案；（2）利用分类讨论的思想，结合题意，可得答案；（3）根据（2）的结论，化简数列，根据运算，可得答案.【详解】（1）12345678910()1f x 2175349108/66/8()2f x 1293758/66/810/44/10（2）按泛函数的定义，()()(),i j f i f j i j D ≠⇔≠∀∈①任取i D ∈，则()()()1210,,,,D i f i f i f i ⋅⋅⋅∈，所以，其中必有两个相等.情形一，存在()()110j f i i j =≤≤，则取i n j =即可；情形二，存在()()(110)j k f i f i j k =≤<≤，由①，得()()11j k f i f i --=，连续应用①j 次，即得()k j f i i -=，取正整数i n k j =-即可.综上，命题得证.（3）因为3225202357=⨯⨯⨯，所以2520是1,2,3,,10⋅⋅⋅的公倍数，从而2520是（2）中每个i n 的倍数，因此()2520f i i =，i D ∀∈，故()()()()2520125202252032520101,2,3,,10S f x f x f x f x =⋅⋅⋅1231012310x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，由排序不等式，可知当()10,9,8,7,6,5,4,3,2,1π=时，S 最小，并且min 1102938101S =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()2222111231012310=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+10111011211122026⨯⨯⨯=⨯-=.。
2007级《微积分A》期中试卷
课程编号：A 071001 北京理工大学2007-2008学年第一学期2007级《微积分A 》期中试卷班级 学号 姓名 成绩一、 填空（每小题3分，共30分）1．设0≠a . 当0→x 时，335a x a -+是x 的n 阶无穷小，其中=n 5 .2．设函数)(x y y =由方程x y x e xy cos 22=-确定， 则=')0(y 1 .3．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的斜渐近线为 e x y 1+=. 4．设⎩⎨⎧>≤++=0)arctan(02)(2x ax x b x x x f 在0=x 点处连续且可导，则=a 2 ，=b 0 .5．若)(x ϕ'存在，22arcsin )(sec x x y +ϕ=，则=dy dx xx x x )1tan sec (242-+ϕ'. 6．若曲线b ax x y ++=2与y x y 212+-=在点)1,1(-处相切，则=a -4 ，=b 2 .7．已知)(x f 在0=x 处可导，且,31arctan lim )(0=-→x f x e x 则=)0(f 0 , =')0(f 31. 8．数列极限=+π∞→)24(tan lim n n n 4e . 9．已知方程02=--a x e x 有实根，则a 应满足的条件是: 2ln 22-≥a .10．设),2cos(2x x y = 则=)0()10(y 9245⨯.二、（10分）设⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 4t y t x ，求22,dx y d dx dy ，并求曲线)(x y y =在参数0=t 对应点处的曲率. 解：,1)1(44231114243t t t x y dx dy t t t t t ++==''=++ ………………………………..分 242642222)1()1)(53(4t t t t t t dx y d +++-+= ……………………………….分 0=t 时， 0,022==dxy d dx dy ， ……………………………….分 曲率为：.0|)1(||0223='+''==t y y k …………………………………..分三、（10分）设)1ln()(x x f +=，由拉格朗日中值定理, 得：)1 , 0(, 1∈∃->∀θx ， 使得 θθx x x x f x x +='=+-+=+1)()01l n ()1l n ()1l n (. 求极限θ0lim →x 的值. 解：由已知得：,)1ln()1ln(x x x x ++-=θ ………………………………..分 .21)1(2lim 2111lim 00=+=+-=→θ→θx x x x x ……………………..分 四、（10分） 证明不等式：当0>x 时，.1)1ln(122x x x x +>+++证明：设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=，则.0)0(=f …………..分 ,0)1ln ()(2>++='x x x f ………………………………..分所以当0>x 时，)(x f 单增，从而.0)(>x f 即.1)1ln(122x x x x +>+++ ………………………………..分五、（10分）设函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-.（1）试确定系数b a ,； （2）求出)(x f y =的所有极值及单调区间；（3）求曲线)(x f y =的凹凸区间和拐点.解：（1）由已知条件知：,023)23()1(12=++=++='=b a b ax x f x ,21)1(-=++=b a f 解得：.3,0-==b a …………………………..分（2）)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f ，令,0)(='x f 得驻点1-<x 时，有,0)(>'x f 11<<-x 时，有,0)(<'x f1>x 时，.0)(>'x f 知1-=x 为极大值点，1=x 为极小值点；极大值为,2)1(=-f 极小值为 .2)1(-=f …………………………..分（3）x x f 6)(=''，令,0)(=''x f 得0=x ，0<x 时，0)(<''x f ，曲线为凸弧；0>x 时，0)(>''x f ，曲线为凹弧.拐点为（0，0）. ………………………………..分六、（10分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,arctan )(2x x x x x f ，试求)(x f '的表达式，并讨论)(x f '在0=x 处的连续性，若0=x 是间断点，请指出间断点的类型.解：当0≠x 时，222arctan 1arctan 2)(xx x x x x f -+=' .)1(]a r c t a n )1(2[a r c t a n 222x x x x x x ++-=…………………..分 当0=x 时，1arctan lim )0()(lim )0(2200==-='→→xx x f x f f x x 所以 .010)1(]a r c t a n )1(2[a r c t a n )(222⎪⎩⎪⎨⎧=≠++-='x x x x x x x x x f …………………………..分 所以)(x f '在0=x 处连续。
2023-2024学年北京市清华大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.45.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +> B.0a b +< C.0ab > D.0ac <6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,19.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A .R x ∃∈，[][]442x x =+ B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25xy =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}【答案】B【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】集合{}1,0A =-，集合{}11B x x =-<<，所以{}0A B ⋂=，故选：B2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥【答案】D【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为()2100x x x ∃∈-+≥，，.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x = C.3y x = D.1y x=-【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.4【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，且()()3111121f f ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()()102f f -+=-.故选：A5.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +>B.0a b +< C.0ab > D.0ac <【答案】D【分析】根据已知得00a c ><，，由此可判断得选项.【详解】解：因为a b c >>，0a b c ++=，所以一定有00a c ><，，b 的符号不能确定，所以a c +，ab 的符号不能确定,0a b +>，一定成立的是0ac <，故选：D.6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】()22f x x x =-，对称轴为1x =，[]2,2x ∈-，∴函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==-，由对称性可得()()max 28f x f =-=，所以函数()f x 的值域是[]1,8-.故选：D.7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+【答案】C【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由已知可得，()111122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131222y x x y =+++≥32=当且仅当2y xx y=，且1x y +=，即1x =-，2y =-所以，13212x y ++≥故选：C .8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,1【答案】D【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性可得答案.【详解】因为函数()22f x x ax =-+在区间[]1,2上是减函数，所以1a ≤，因为()ag x x=在区间[]1,2上是减函数，所以0a >，所以a 的取值范围是01a <≤，故选：D9.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A.R x ∃∈，[][]442x x =+B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<【答案】C【分析】可取特殊值判断AC ，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD.【详解】对于A ，当0.5x =时，[][][]440.52422x x =⨯==+=，故A 正确；对于B ，设[],x m m =∈Z ，则1131,222m x m m x m ≤≤++≤+<+，12x m ⎡⎤∴+=⎢⎥⎣⎦或1m +.当12m x m ≤<+时，12x m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，此时[]2221,22m x m x m ≤<+=，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；当112m x m +≤<+时，13122m x m +≤+<+，112x m ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，此时21222m x m +≤<+，[][]12212x m x x ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦，综上，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故B 正确.对于C ，当0.5x y ==，[]1x y +=，[][]0x y +=，[][][]x y x y +>+，故C 错误；对于D ，若[][]x y =，设[][],x y n n ==∈Z ，则1n x n ≤<+，1n y n ≤<+()()11,11x y n n x y n n ∴-<+-=->-+=-，从而1x y -<，故D 正确；故选：C.10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96【答案】D【分析】根据题意分别列出三个集合特征数取得最大值和最小值时的元素情况，再分别进行计算各自的特征值，即可求解.【详解】由题意集合{}{}115=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1213,14,15M x N x =∈≤≤，，当{}{}{}1231,4,5,6,7,3,12,13,14,15,2,8,9,10,11A A A ===时，123X X X ++取得最小值，123=8+18+13=39X X X ++；当{}{}{}1231,2,3,4,15,5,6,7,8,14,9,10,11,12,13A A A ===时，123X X X ++取得最大值，123=16+19+22=57X X X ++；123X X X ∴++的最大值与最小值的和为：395796+=.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.【答案】[)()0,11,⋃+∞【分析】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解出即可.【详解】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠所以函数()1f x x=-的定义域是[)()0,11,⋃+∞故答案为：[)()0,11,⋃+∞12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．【答案】21x -（答案不唯一）【分析】根据已知只需满足一元二次方程()0f x =有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为y 轴或y 轴的左侧即可.【详解】设()21f x x =-，解()210f x x =-=可得，1x =±，所以，1-和1是()f x 的2个零点，满足条件①；()21f x x =-的对称轴为0x =，根据二次函数的性质可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，满足条件②．所以，()21f x x =-满足题意.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）.13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．【答案】①.()0,∞+②.[)1,∞+【分析】当1t =时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则有20t t t>⎧⎨≥⎩，解之即可得解.【详解】解：当1t =时，若1x ≥，则()[)21,f x x =∈+∞，若01x <<，则()()0,1f x x =∈，所以当1t =时()f x 的值域为()0,∞+；由函数2,,0x x t x x t⎧≥⎨<<⎩（0t >），可得函数()f x 在()0,t 上递增，在(),t +∞上递增，因为()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以20t t t >⎧⎨≥⎩，解得1t ≥，所以若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：()0,∞+；[)1,+∞.14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.【答案】45【分析】根据条件作出Venn 图，然后即可求解出仅参加了一项活动的学生人数.【详解】如图所示：根据条件可知：甲、乙两项体育活动都参加的有：3025505+-=人，所以单独参加甲活动的有：30525-=人，单独参加乙活动的有：25520-=人，所以仅参加了一项活动的学生人数为：202545+=人，故答案为：45.【点睛】本题考查利用Venn 图解决集合的交、并问题，主要考查学生对Venn 图的理解以及运用，难度较易.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．【答案】①②④【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a 的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.【详解】对于①，当x a ≥-时，()2f x x x a =--，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =，当x a <-时，()2f x x x a =++，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =-，即22,(),x x a x a f x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，且()()22a a a a ----=，()()22a a a a -+-+=，即在x a =-处的函数值相等，由于()2f x x x a =++的对称轴在()2f x x x a =--的对称轴的左侧，则存在区间(,)(,)m a +∞⊆-+∞，使()2f x x x a =--在(,)m +∞上递增，存在区间(,)(,)n a -∞⊆-∞-，使()2f x x x a =++在(,)n -∞上递减，故R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数，①正确；对于②，当0a =时，()2||f x x x =-，定义域为R ，此时22()()||||()f x x x x x f x =---=-=，即()f x 为偶函数，②正确；对于③，由①的分析可知()f x 的最小值在12x =或12x =-时取到，22,(),x x a x af x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，111||242f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，111()||242f a -=--，当12a >时，函数最小值在12x =处取到，由1115||2424f a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =-（舍去）；当12a <-时，函数最小值在12x =-处取到，由1115||2424f a ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭，解得1a =-或2a =（舍去）；当1122a -≤≤时，由于115244f a ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，115244f a ⎛⎫-=-+>- ⎪⎝⎭恒成立，不合题意，舍去；故()f x 的最小值是54-，则1a =-或1a =，③错误；对于④，当0a <时，22,(),x x a x a f x x x a x a ⎧--≥-=⎨++<-⎩，当211022a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即14a =-时，当14x ≥时，令2104x x -+=，解得1124x =>；当14x <时，令2104x x +-=，解得12124x -±=<；即此时()f x 有三个零点，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．【答案】（1）(,2)(5,)-∞-⋃+∞（2）[3,1)-（3）答案见解析【分析】（1）因式分解即可；（2）通分，变形为乘积的形式，结合二次不等式即可；（3）因式分解，讨论两根大小即可.【小问1详解】由23100x x -->，得(5)(2)0x x -+>，则<2x -或5x >，所以解集为(,2)(5,)-∞-⋃+∞【小问2详解】由4101x +≤-，得301x x +≤-，(3)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得31x -≤<，所以解集为[3,1)-【小问3详解】由22(2)0x x a a ++-<，得()(2)0x a x a ++-<，当2a a -<-时，即1a >时，解集为(,2)a a --，当1a =时，解集为∅，当1a <时，解集为(2,)a a --.17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】17.()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð18.3a ≥【分析】（1）根据交并补的概念求解；（2）根据“充分不必要条件”的定义求解.【小问1详解】由题意：{}()()()2|2301,3,2,2,2,2,3A x x x a B A B =--=-==-∴=- ＜，(][)R ,22,B =-∞-+∞ ð，[)R 2,3A B = ð；【小问2详解】由题意，A 是B 的真子集，,B a ∴≠∅＞0,(),,1,3,3B a a a a a =-∴-≤-≥∴≥；综上，（1）()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð，（2）3a ≥.18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．【答案】（1）()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）14（3）1k =-【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）（3）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ，所以有()22012Δ2140k k k k ≠⎧⎪⇒>-⎨⎡⎤=+->⎪⎣⎦⎩且0k ≠，所以实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ；【小问2详解】当1k =时，根据一元二次方程根与系数的关系可知：()1212222114,1k x x x x k k++=-=-==，所以()222121212216214x x x x x x +=+-=-=；【小问3详解】根据一元二次方程根与系数的关系可知：()121222211,k x x x x k k++=-=，()()222222112122211188841811k x x k k k x x x x k +⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎛⎫++=⇒=⇒=⇒+=⇒=-±⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ，所以1k =-+19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25x y =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？【答案】19.()180138,0,100105y x x x =--∈+20.20x =时，利润最大.【分析】（1）A ，B 对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可；（2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值.【小问1详解】由题意，x 万元投入A 产品，则100x -万元投入B 产品，则()12180118011810038105105y y y x x x x =+=-+-=--++，()0,100x ∈.【小问2详解】由（1）得，1801180103840105105x y x x x +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭4028≤-=，当且仅当18010105x x +=+，即20x =时等号成立，所以当20x =时，公司利润最大.20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()245f x x x =--（2）()()()2min45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩（3）12a ≤≤【分析】（1）由题意可设二次函数的顶点式，利用待定系数法即可求()f x 的解析式；（2）由函数的单调性，分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论；（3）因()11f x a ≥-对[]1,x a ∀∈-恒成立，故可转化成对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，借助（2）的结论解不等式即可.【小问1详解】因为对R x ∀∈都有()()22f x f x -=+，所以()f x 关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为()()()2290f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以()()211290f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为()()222945f x x x x =--=--.【小问2详解】由（1）可知，函数()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以，当12a ≤≤时，()()2min 45f x f a a a ==--，当2a >时，()()min 29f x f ==-，()()()2min 45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩.【小问3详解】因为对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立，由（2）可知，对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，即2124511a a a a -≤≤⎧⎨--≥-⎩或2911a a >⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤≤，故存在实数a 符合题意，实数a 的取值范围12a ≤≤.21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．【答案】（1）{}11,2,3,4,5,6,7M ⊕=（2）34（3）3或4或5【分析】（1）直接由M k ⊕的定义计算即可求解.（2）若(),1d A B =，则1A B ⊆⊕，则只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A =即可，从而min 1001343B ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.（3）首先证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，其次结合(),d A B 的定义得出d 满足距离的三角不等式：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而运用到本题中即可得解.【小问1详解】若{}2,4,6M =，则由集合新定义可知{}{}{}{}1,3,52,4,63,7,755,6,M =⊕⋃=⋃.【小问2详解】设B 有B 个元素，下证min 34B =.一方面，{}2,5,8,,98,101B = ，则0A B B ⊆⊕=，所以(),0d A B ≠，即(),1d A B ≥，而{}0,1,2,3,4,,1011B A ⊆⊕= ，{}1,2,3,4,,1021A B ⊆⊕= ，这表明了(),1d A B =满足题意，此时10121343B -=+=，故min 34B =；另一方面：若33B j =≤，不妨设{}`12,,,j B b b b = 且`12j b b b <<< ，由题意可知{}{}{}1112221,,11,,11,,11j j j b b b b b b b B b b A -+⋃⊆-+⋃⋃-⊕=+ ，而1B ⊕最多含有399j ≤个元素，当且仅当{}()1,,1,1k k k b b b k j -+≤≤两两不同且33B j ==时，等号成立，但这与A 有100个元素矛盾，所以34B j =≥.综上所述：非空整数集合B 的元素个数的最小值是34.【小问3详解】一方面：先来证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，{}{}|,,1,,Z |,M k m t m M t k k k n m M n m k ⊕=+∈=--+=∈∃∈-≤ ，因此只要12M M ⊆，就有12M k M k ⊕⊆⊕，而()x M k l ∀∈⊕⊕，p M k ∃∈⊕，x p l -≤，所以,m M p m k ∃∈-≤，所以x m x p p m x p p m l k -=-+-≤-+-≤+，即()x M k l ∀∈⊕+，从而()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+.另一方面：如果(),d A B p =，(),d B C q =，(),d A C r =，那么A B p ⊆⊕，B C q ⊆⊕，()()B p C q p C p q ⊕⊆⊕⊕⊆⊕+，从而()A C p q ⊆⊕+，同理()C A p q ⊆⊕+，因此由定义可得()()(),,,d A C r d A B d B C p q =≤+=+，即d 满足距离的三角不等式；所以在本题中，()()(),,,415d A C d A B d B C ≤+=+=，()()(),,,413d A C d A B d B C ≥-=-=，即(){},3,4,5d A C ∈，取{}{}{}0,4,5A B C ===，可知(),5d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3A B C ===，可知(),3d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3,4A B C ===，可知(),4d A C =可能成立，综上所述，(),d A C 所有可能取值为3或4或5.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有1A B ⊆⊕，从而只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A = 即可；而第三问的关键是要注意到d 表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而顺利得解.。
清华大学微积分A习题课_6一致连续 函数的可积性 定积分的性质 不定积分
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
2022-2023学年北京清华附中高二(上)期中物理试题及答案
C. 若定值电阻的阻值越大，开启高水位预警时的水位越低 D. 若定值电阻的阻值越大，开启低水位预警时的水位越高 14. 金属导电是一个典型的导电模型，值得深入研究。一金属直导线电阻率为 ρ，若其两端加电压，自由 电子将在静电力作用下定向加速，但电子加速运动很短时间就会与晶格碰撞而发生散射，紧接着又定向加 速，这个周而复始的过程可简化为电子以速度 v 沿导线方向匀速运动。我们将导线中电流与导线横截面积 的比值定义为电流密度，其大小用 j 表示，可以“精细”描述导线中各点电流的强弱。设该导线内电场强 度为 E，单位体积内有 n 个自由电子，电子电荷量为 e，电子在导线中定向运动时受到的平均阻力为 f。则
A. 通过该实验的现象可知，小球带负电
B. 该实验可以研究电荷间相互作用力大小与它们之间距离 否有关
的是 C. 该实验中细丝线与竖直方向的夹角越大，表示电荷之间的相互作用力越弱
D. 通过该实验现象可知，电荷之间的相互作用力与电荷之间的距离的平方成反比
2. 如图所示，两个电荷量均为 +q 小球用长为 l 的轻质绝缘细绳连接，静止在光滑的绝缘水平面上。两 个小球的半径 r l ，k 表示静电力常量。则轻绳的张力大小为（ ）
2022 北京清华附中高二（上）期中
物理
一、单项选择题（本题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题意的。选对得 3 分，错选、多选，该小题不得分）
1. 在探究影响电荷之间相互作用力大小因素的过程中，老师做了如图所示的实验。O 是一个带正电的绝缘 导体球，将同一带电小球用绝缘细丝线分别挂在 P1、P2、P3 不同的位置，调节丝线长度，使小球与带电导 体球 O 的球心保持在同一水平线上，发现小球静止时细丝线与竖直方向的夹角不同，且 θ1>θ2>θ3。关于这 个实验，下列说法中正确的是（ ）
清华大学微积分A习题课_11高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组
( y*) ( Ax 2 e 2 x ) ( Ax 2 )e 2 x Ax 2 (e 2 x ) 2 A( x x 2 )e 2 x ( y*) [2 A( x x 2 )e 2 x ] [2 A( x x 2 )]e 2 x 2 A( x x 2 )(e 2 x ) 2 A(1 2 x)e 2 x 4 A( x x 2 )e 2 x 2 A(1 4 x 2 x 2 )e 2 x
特征根为： 1 1， 2， 3 1 i . 所以其实基本解组为：
e t , e t cos t , e t sin t ，
t t
原方程的通解为： y C1e C 2 e （4）求 y' '
cos t C 3 e t sin t .
x 1 y' y 0 的通解。 1 x 1 x
'' ' t 2t
（3）求解方程 x 4 x 4 x e e
2
1
解：特征方程 4 4 0 ， 1, 2 2 ， 故有基本解组 e ， te ， 对于方程 x 4 x 4 x e ，因为 1 不是特征根，故有形如 x1 (t ) Ae 的特解，
作者：闫浩, 章纪民
2013 年 9 月
微积分 A(1)第十一次习题课参考答案（第十六周）
教学目的:本次习题课练习的是高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组。希望大家掌握 的是齐次线性微分方程的特征根法；对特殊的非齐次项需要掌握待定系数法，特殊方程应 掌握欧拉方程。对于二阶微分方程，当知道一个特解时，应会变动常数法求通解；线性微 分方程组应会基解矩阵的求法。除此之外，应掌握解的结构问题。本次习题课也是本学期 最后一次习题课。 一、高阶线形微分方程 1.求解下列方程. （1） x 5 x 8 x 4 x 0 解：其特征方程为：
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。
（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z =1−3i1−i，则|z |等于（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√52．已知向量a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，则cos〈a →，b →〉等于（ ） A ．15B ．25C ．√55D ．2√553．已知函数f(x)=3sin(4x +φ)(0＜φ＜π2)满足f(π12)=3，则f(π3)等于（ ） A ．3B ．32C ．0D ．﹣34．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A ∈α，设集合S ＝{B ∈β|AB ＝5}，则S 表示的曲线的长度为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π5．已知函数f （x ）＝ln （x +1），则f(1)，f(2)2，f(3)3的大小关系为（ ） A ．f(1)＜f(2)2＜f(3)3 B ．f(3)3＜f(1)＜f(2)2 C ．f(3)3＜f(2)2＜f(1) D ．f(2)2＜f(1)＜f(3)36．已知直线l 恒过点（0，5），圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9，则“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在△ABC 中，sinB =√2sinA ，∠C =105°，c =√3+1，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3−12B ．√3−1C ．√3+12D ．√3+18．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n （n ＝1，2，3，…），下列判断中正确的是（ ） A ．a 5＞0B ．数列{a n }是单调递减数列C ．数列{a n }前n 项的乘积有最大值D ．数列{a n }前n 项的乘积有最小值9．已知椭圆C ：x 29+y 25=1，F 1，F 2分别为左右焦点，P 为椭圆上一点，满足cos ∠F 1PF 2=14，则|OP |的长为（ ） A ．√6B ．√7C ．2√2D ．√3+110．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．存在点E ，EF ∥平面ABB 1A 1 B ．对任意点E ，EF ⊥DB 1C ．存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°D ．不存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30° 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 29=1的两个焦点，横坐标为4的点M 在椭圆C 上，则△F 1MF 2的周长为 ．12．古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．如图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，如图2所示，其侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，AB ＝1cm ，且平面SAD ⊥底面ABCD ，则该四棱锥的体积为 cm 3．13．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x 2+（y ﹣2）2＝4所截得的弦长为 ．14．已知点（2，1）在函数f(x)={x 2+2x ，x ≤a2x −3，x ＞a 的图像上，且f （x ）有最小值，则常数a 的一个取值为 ．15．已知函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M 是函数图象上的任意一点，过点M 分别作直线l ：y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．其中O 为坐标原点．给出下列四个结论： ①k ＝1；②不存在点M ，使得|MA |＝2023； ③|MA |•|MB |的值恒为√22； ④四边形OAMB 面积的最小值为√22+1． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程． 16．（14分）已知函数f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）求函数f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域． 17．（14分）已知直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2． （1）若a ＞1，求证：直线l 与圆C 相交；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．若△ABC 的面积为1，求a 的值．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥AB ，P A ＝AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别是BC ，P A 的中点． （1）求证：EF ∥平面PCD ；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值． 条件①：平面P AB ⊥平面ABCD ； 条件②：PC =√6．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（14分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，离心率为√22．直线l ：x ＝ty +2与椭圆交于P ，Q 两点，点A （3，2）不在直线l 上，直线P A 与x ＝4交于点B ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求直线QB 的斜率．20．（14分）已知函数f （x ）＝ax +bx +2ln(1−x)，曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程为y +3﹣2ln 2＝0．（1）求a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的定义域及单调区间； （3）求函数f （x ）的零点的个数．21．（15分）设k ，m 是正整数，如果存在非负整数a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 使得m =∑(−1)a i ki=12c i ，则称m 是k ﹣好数，否则称m 是k ﹣坏数．例如：2＝（﹣1）0•20+（﹣1）0•20，所以2是2﹣好数． （1）分别判断22，23，24是否为3﹣好数；（2）若m 是偶数且是k ﹣好数，求证：m 是（k +1）﹣好数，且m2是k ﹣好数；（3）求最少的2023﹣坏数．2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z =1−3i1−i，则|z |等于（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5解：由题意可得：z =1−3i1−i =(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=2−i ，所以|z|=√22+(−1)2=√5． 故选：D ．2．已知向量a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，则cos〈a →，b →〉等于（ ） A ．15B ．25C ．√55D ．2√55解：因为a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，所以b →=(−3，4)， 则cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=1×(−3)+2×4√1+2⋅√(−3)2+4=√55．故选：C ．3．已知函数f(x)=3sin(4x +φ)(0＜φ＜π2)满足f(π12)=3，则f(π3)等于（ ） A ．3B ．32C ．0D ．﹣3解：因为f(π12)=3，所以3sin(4×π12+φ)=3，整理得sin(π3+φ)=1， 所以π3+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π6+2kπ，k ∈Z ， 因为0＜φ＜π2，所以φ=π6，f(x)=3sin(4x +π6)， 所以f(π3)=3sin(4×π3+π6)=3sin 3π2=−3． 故选：D ．4．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A ∈α，设集合S ＝{B ∈β|AB ＝5}，则S 表示的曲线的长度为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π解：在空间中，集合T ＝{B |AB ＝5}表示以点A 为球心，半径R ＝5的球面， 记M ＝{B |B ∈β}表示平面β，可知S ＝M ∩T ，所以S 表示：球A 与平面β所截得的圆周，设其圆心为O ，半径为r ，可知OA ＝3，则r =√R 2−OA 2=4， 所以S 表示的曲线的长度为2πr ＝8π． 故选：B ．5．已知函数f （x ）＝ln （x +1），则f(1)，f(2)2，f(3)3的大小关系为（ ） A ．f(1)＜f(2)2＜f(3)3 B ．f(3)3＜f(1)＜f(2)2 C ．f(3)3＜f(2)2＜f(1) D ．f(2)2＜f(1)＜f(3)3解：作出函数f （x ）＝ln （x +1）的图象，如图所示．由图可知，曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x 的增大而减小． 因为1＜2＜3，所以f(1)−01−0＞f(2)−02−0＞f(3)−03−0，所以f(1)1＞f(2)2＞f(3)3．故选：C ．6．已知直线l 恒过点（0，5），圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9，则“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意可知：圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9的圆心C （3，0），半径r ＝3， 若直线l 与圆C 相切，则有：当直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝0，符合题意； 当直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx +5，即kx ﹣y +5＝0， 则圆心C （3，0）到线l 的距离√k 2=3，解得k =−815；综上所述：当且仅当直线l 的斜率不存在或直线l 的斜率为−815时，线l 与圆C 相切． 可知“直线l 的斜率为−815”可以推出“直线l 与圆C 相切”，即充分性成立； “直线l 与圆C 相切”不可以推出“直线l 的斜率为−815”，即必要性不成立； 所以“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．7．在△ABC 中，sinB =√2sinA ，∠C =105°，c =√3+1，则△ABC 的面积为（ ）A ．√3−12B ．√3−1C ．√3+12D ．√3+1解：因为sinB =√2sinA ， 所以由正弦定理得：b =√2a ， 因为∠C =105°，c =√3+1，所以cos C ＝cos105°＝cos （60°+45°）＝cos60°cos45°﹣sin60°sin45°=√2−√64，sin C ＝sin105°＝sin （45°+60°）＝sin45°cos60°+cos45°sin60°=√2+√64，由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 即(√3+1)2=a 2+(√2a)2−2a ×√2a ×√2−√64， 解得a 2＝2，所以S =12absinC =12√2a 2×√2+√64=√3+12．故选：C ．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n （n ＝1，2，3，…），下列判断中正确的是（ ） A ．a 5＞0B ．数列{a n }是单调递减数列C ．数列{a n }前n 项的乘积有最大值D ．数列{a n }前n 项的乘积有最小值解：根据题意，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n ， 当n ＝1时，a 1＝﹣9，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣11，a 1＝﹣9也符合该式，则a n ＝2n ﹣11，故数列{a n }是公差为2的等差数列， 由此分析选项：对于A ，a 5＝10﹣11＝﹣1＜0，A 错误；对于B ，数列{a n }是公差为2的等差数列，是递增数列，B 错误；对于C 和D ，a n ＝2n ﹣11，则a 1＝﹣9，a 2＝﹣7，a 3＝﹣5，a 4＝﹣3，a 5＝﹣1， 即当1≤n ≤5时，有a n ＜0，当n ＞5时，a n ＞0，则当n ＝4时，数列{a n }前n 项的乘积有最大值，没有最小值，C 正确，D 错误． 故选：C ． 9．已知椭圆C ：x 29+y 25=1，F 1，F 2分别为左右焦点，P 为椭圆上一点，满足cos ∠F 1PF 2=14，则|OP |的长为（ ） A ．√6B ．√7C ．2√2D ．√3+1解；由椭圆方程可得a ＝3，b =√5，故c =√9−5=2， |PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|﹣2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，即16＝36﹣2|PF 1||PF 2|−12|PF 1||PF 2|， 可得|PF 1||PF 2|＝8，因为O 为线段F 1F 2的中点，则OP →=12（PF 1→+PF 2→），可得OP →2=14（PF 1→+PF 2→）2=14（PF 1→2+PF 2→2+2PF 1→•PF 2→）=14[（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|+2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2]=14×24＝6， 故|OP |=√6． 故选：A ．10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．存在点E ，EF ∥平面ABB 1A 1B ．对任意点E ，EF ⊥DB 1C ．存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°D ．不存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30° 解：设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），F(12，1，12)， 设E （x ，y ，1），C 1E →=λC 1A 1→(0≤λ≤1)，则（x ，y ﹣1，0）＝λ（1，﹣1，0）， ∴x ＝λ，y ＝1﹣λ，即E （λ，1﹣λ，1）， ∴EF →=（12−λ，λ，−12），选项A ，取平面ABB 1A 1的一个法向量为DA →=(1，0，0)， 令EF →⋅DA →=12−λ=0，解得λ=12，此时EF →⊥DA →， ∴当λ=12时，EF ⊥DA ，∵EF ⊄平面ABB 1A 1，∴EF ∥平面ABB 1A 1，即选项A 正确； 选项B ，DB 1→=(1，1，1)， ∵EF →⋅DB 1→=12−λ+λ−12=0，∴对任意点E ，EF ⊥DB 1，即选项B 正确；选项C ，由BD →=(−1，−1，0)，知EF →⋅BD →=λ−12−λ=−12， ∵EF 与BD 所成的角是60°， ∴|cos〈EF →，BD →〉|=|EF →⋅BD →||EF →||BD →|=|−12|√2⋅√(12−λ)+λ2+(−12)=12，化简得2λ2﹣λ＝0，解得λ=12或λ＝0，故存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°，即选项C 正确； 选项D ，连接BD ，由底面ABCD 是正方形，知AC ⊥BD ，∵AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥BD ， 又AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，即BD →是平面AA 1C 1C 的一个法向量， 由选项C 可知，存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°，∴存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30°，即选项D 错误． 故选：D ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 29=1的两个焦点，横坐标为4的点M 在椭圆C 上，则△F 1MF 2的周长为 18 ．解：因为椭圆C ：x 225+y 29=1，由椭圆定义可得|MF 1|+|MF 2|＝10，|F 1F 2|＝8， 所以△F 1MF 2的周长为|MF 1|+|MF 2|+|F 1F 2|＝18． 故答案为：18．12．古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．如图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，如图2所示，其侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，AB ＝1cm ，且平面SAD ⊥底面ABCD ，则该四棱锥的体积为 2√3 cm 3．解：取AD 的中点E ，连接SE ，由侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，得SE ⊥AD ， 已知平面SAD ⊥底面ABCD ，又SE ⊂平面SAD ，平面SAD ∩底面ABCD ＝AD ， 所以SE ⊥底面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SE ，且SE =√32×2√3=3cm ， 又底面矩形ABCD 的面积为2√3cm 2， 则四棱锥S ﹣ABCD 的体积V =13×2√3×3=2√3cm 3． 故答案为：2√3．13．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x 2+（y ﹣2）2＝4所截得的弦长为 2 ． 解：过原点且倾斜角为30°的直线方程为y =√33x ，圆x 2+（y ﹣2）2＝4的圆心为（0，2），半径r ＝2， 圆心到直线的距离为d =2√1+13=√3，则截得的弦长为2√r 2−d 2=2√4−3=2． 故答案为：2．14．已知点（2，1）在函数f(x)={x 2+2x ，x ≤a 2x−3，x ＞a 的图像上，且f （x ）有最小值，则常数a 的一个取值为1（不唯一） ．解：设g （x ）＝x 2+2x ，h （x ）＝2x ﹣3，分别绘制g （x ），h （x ）函数的大致图像如下图：其中g （x ）＝x 2+2x 有最小值，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1，h （x ）＝2x ﹣3没有最小值，y ＝﹣3是它的渐近线，点（2，1）在h （x ）上，∴a ＜2，h （1）＝﹣1，如上图，当a ＜1时，f （x ）不存在最小值， ∴1≤a ＜2；故答案为：a ＝1（不唯一）．15．已知函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M 是函数图象上的任意一点，过点M 分别作直线l ：y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．其中O 为坐标原点．给出下列四个结论： ①k ＝1；②不存在点M ，使得|MA |＝2023； ③|MA |•|MB |的值恒为√22； ④四边形OAMB 面积的最小值为√22+1． 其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2，当k ≤0时，f(x)=x +k x 在（0，+∞）上单调递增，没有最小值，不合题意，则有k ＞0， f(x)=x +k x ≥2√x ⋅k x =2√k ，当且仅当x =kx，即x =√k 时等号成立， ∴f （x ）在（0，+∞）上有最小值2√k ，得2√k =2，解得k ＝1，故结论①成立； f(x)=x +1x ，设M(x 0，x 0+1x 0)(x 0＞0)，则|MB |＝x 0，|OB|=x 0+1x 0，由点M 到直线y ＝x 的距离可得：|MA|=|x 0−(x 0+1x 0)|√1+(−1)=1√2x 0=√22x 0， 当√22x 0=2023时，解得x 0=√24046，此时|MA |＝2023，故结论②错误； |MA|⋅|MB|=√22x 0⋅x 0=√22，故结论③成立；MA 所在直线方程为y −(x 0+1x 0)=−(x −x 0)，与方程y ＝x 联立，解得y =x =x 0+12x 0，则有A(x 0+12x 0，x 0+12x 0)，则|OA|=√2(x 0+12x 0)，四边形OAMB 面积S =S △MAO +S △MBO =12|MB|⋅|OB|+12|OA|⋅|MA| =12x 0(x 0+1x 0)+12⋅√22x 0⋅√2(x 0+12x 0) ＝1+12x 02+14x 02≥1+2√12x 02⋅14x 02=1+√22，当且仅当12x 02=14x 02，即x 0=√842时等号成立，∴四边形OAMB 面积的最小值为√22+1，故结论④正确． 故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程． 16．（14分）已知函数f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）求函数f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域． 解：（1）f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3=4cosx(12sinx +√32cosx)−√3 =2sinxcosx +2√3cos 2x −√3=sin2x +2√3×1+cos2x2−√3 =sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， 令−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ（k ∈Z ）， 解得−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ（k ∈Z ）， 所以f （x ）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k ∈Z ）；（2）当x ∈[π4，2π3]时2x +π3∈[5π6，5π3]，所以sin(2x +π3)∈[−1，12]， 如图所示，所以f(x)=2sin(2x +π3)∈[−2，1]，所以f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域为[﹣2，1]．17．（14分）已知直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2． （1）若a ＞1，求证：直线l 与圆C 相交；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．若△ABC 的面积为1，求a 的值． 解：（1）证明：圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2，圆的圆心（a ，1），半径为√2，圆心到直线的距离为d =√1+a 2=√1+a 2，因为a ＞1，所以√1+a 2√2，所以a ＞1时，直线l 与圆C 相交．（2）由直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，恒过（2，0）点，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2，圆的圆心（a ，1），半径为√2，△ABC 的面积为1，12×√2×√2sin∠ACB =1，可得∠ACB =π2， 圆心到直线的距离为d =2√1+a 2=1，解得a =±√3．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥AB ，P A ＝AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别是BC ，P A 的中点． （1）求证：EF ∥平面PCD ；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值． 条件①：平面P AB ⊥平面ABCD ； 条件②：PC =√6．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：（1）证明：取PD 的中点G ，连接GF ，CG ，因为G ，F 分别为PD ，P A 的中点，则GF ∥AD ，且GF =12AD ， 又因为ABCD 为矩形，且E 分别为BC 的中点，则CE ∥AD ，且CE =12AD ，可得GF ∥CE ，且GF ＝CE ，即CEFG 为平行四边形， 则EF ∥CG ，且EF ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． （2）若选条件①：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，1），E （1，1，0），F(0，0，12)， 可得DE →=（1，﹣1，0），DF →=（0，﹣2，12），设平面EFD 的法向量n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅DE →=x −y =0n →⋅DF →=−2y +12z =0， 令x ＝1，则y ＝1，z ＝4，可得n →=(1，1，4)， 由题意可知：平面P AB 的法向量m →=(0，1，0)， 可得cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=1√1+1+16×1=√26． 所以平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值为√26． 若选条件②：PC =√6．连接AC ，底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2， 则可得AC =√5，又AP ＝1，则P A 2+AC 2＝1+5＝6＝PC 2，所以P A ⊥AC ， 又P A ⊥AB ，AB ∩AC ＝A ，所以P A ⊥平面ABCD ， 下同选条件①． 19．（14分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，离心率为√22．直线l ：x ＝ty +2与椭圆交于P ，Q 两点，点A （3，2）不在直线l 上，直线P A 与x ＝4交于点B ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求直线QB 的斜率． 解：（1）因为椭圆的短轴长为4， 所以2b ＝4，b ＝2，因为离心率为√22， 所以e =c a =√22， 又a 2＝b 2+c 2， 所以c ＝2，a =2√2， 所以椭圆E 的方程x 28+y 24=1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x 28+y 24=1x =ty +2，化简可得（t 2+2）y 2+4ty ﹣4＝0，令Δ＝（4t ）2﹣4（t 2+2）•（﹣4）＝32t 2+32＞0，即t 2+1＞0， y 1+y 2=−4t t 2+2，y 1y 2=−4t 2+2， 因为A （3，2）不在直线l 上， 所以3≠2t +2，即t ≠12，则直线P A 方程为：y −2=y 1−2x 1−3(x −3)，令x ＝4，则y =y 1−2x 1−3+2=y 1+2x 1−8x 1−3， 因为直线P A 与x ＝4交于点B ， 所以B(4，y 1+2x 1−8x 1−3)，所以k QB =y 1+2x 1−8x 1−3−y 24−x 2=2ty 1−4−ty 1y 2+(y 1+y 1)ty 1+t(y 1+y 1)−t 2y 1y 2−2，将y 1+y 2=−4t t 2+2，y 1y 2=−4t 2+2代入，可得k QB =2ty 1−4ty 1−2=2， 所以直线QB 的斜率为2．20．（14分）已知函数f （x ）＝ax +bx +2ln(1−x)，曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程为y +3﹣2ln 2＝0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的定义域及单调区间；（3）求函数f（x）的零点的个数．解：（1）由f(x)=ax+bx+2ln(1−x)，得f′(x)=a−bx2−21−x（x＜1，且x≠0），则f′（﹣1）＝a﹣b﹣1，f（﹣1）＝﹣a﹣b+2ln2，因为曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+3﹣2ln2＝0，所以f′（﹣1）＝a﹣b﹣1＝0，f（﹣1）＝﹣a﹣b+2ln2＝﹣3+2ln2，解得a＝2，b＝1；（2）由（1）可知，f(x)=2x+1x+2ln(1−x)，需满足{x≠01−x＞0，则其定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）；而f′(x)=2−1x2−21−x=−2x3+x−1x2(1−x)=−(x+1)(2x2−2x+1)x2(1−x)，因为2x2−2x+1=2(x−12)2+12＞0，1−x＞0，所以令f′（x）＞0，解得x＜﹣1；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1且x≠0，所以f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，0），（0，1）；（3）由（2）可知，当x＝﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝﹣3+2ln2＜0，当x＜0且x无限趋近于0时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于负无穷大，即f（x）在区间（﹣∞，0）内无零点；当x＞0且x无限趋近于0时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于正无穷大，当x＜1且x无限趋近于1时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于负无穷大，由此可作出函数f（x）的图象，如图所示．结合f(1e)=1e+2e+2ln(1−1e)=1e+2e+2ln(e−1e)＞1e+2e+2ln e−1e2＞1e +2e +2ln1e2=1e +2e −4＞0， f(1−1e 2)=1−1e 2+21−1e 2+2ln 1e 2=e 2−1e 2+2e 2e 2−1−4=e 2−1e 2+2e 2−1−2＜0，所以f （x ）在（﹣∞，0）∪（0，1）内的零点个数为1．21．（15分）设k ，m 是正整数，如果存在非负整数a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 使得m =∑(−1)a i ki=12c i ，则称m 是k ﹣好数，否则称m 是k ﹣坏数．例如：2＝（﹣1）0•20+（﹣1）0•20，所以2是2﹣好数． （1）分别判断22，23，24是否为3﹣好数；（2）若m 是偶数且是k ﹣好数，求证：m 是（k +1）﹣好数，且m2是k ﹣好数；（3）求最少的2023﹣坏数．解：（1）因为22＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•22+（﹣1）0•21，所以22是3﹣好数， 因为23＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•23+（﹣1）1•20，所以23是3﹣好数， 因为24＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•22+（﹣1）0•22，所以24是3﹣好数；（2）由题意m 是k ﹣好数当且仅当m =∑(−1)a i ki=12c i ，a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 是非负整数，分以下两种情形来说明m 是（k +1）﹣好数，①若存在c i ＝0，不妨设为c 1=0，2c 1=1，此时(−1)a 1=1或(−1)a 1=−1， 则当k ≥2时，m =1+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =−1+∑(−1)a i ki=22c i ，因此m =(−1)0⋅21+(−1)1⋅20+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =(−1)1⋅21+(−1)0⋅20+∑(−1)a i ki=22c i ， 即此时m 是（k +1）﹣好数；当k ＝1时，m =(−1)a 1⋅2c 1，由题意m ＞0，因此不妨取a 1=0，(−1)a 1=1，即m =2c 1， 因为m 是偶数，所以c 1≥1，c 1﹣1≥0，从而m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1是（k +1）﹣好数； ②若不存在c i ＝0，则任取c i ，均有c i ≥1，当然也有c 1≥1，而此时(−1)a 1=1或(−1)a 1=−1， 则当k ≥2时，m =2c 1+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =−2c 1+∑(−1)a i ki=22c i ， 由①可知，当c 1≥1，c 1﹣1≥0时，2c 1=(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1，因此m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1+∑(−1)a i ki=22c i ，或m =(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1+∑(−1)a i ki=22c i ，即此时m 是（k +1）﹣好数；当k ＝1时，m =(−1)a 1⋅2c 1，由题意m ＞0，因此不妨取a 1=0，(−1)a 1=1，即m =2c 1， 因为c 1≥1，c 1﹣1≥0，从而m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1是（k +1）﹣好数；综上所述：若m 是偶数且是k ﹣好数，则m 是（k +1）﹣好数． 若m 是偶数且是k ﹣好数，接下来我们说明m2是k ﹣好数，即已知m =∑(−1)a i ki=12c i 是偶数，a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 是非负整数， 由以上分析可知(−1)a i =1或(−1)a i =−1，2c i =1，(c i =0)或2c i ≥2，(c i ≥1)是偶数，且（﹣1）0•21+（﹣1）1•20＝1，2c i =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1，−2c i =(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1，不妨设(−1)a i ⋅2c i =1，(a i =0，c i =0，1≤i ≤p)，(−1)a i ⋅2c i =−1，(a i =1，c i =0，p +1≤i ≤p +q)，m i =(−1)a i ⋅2c i =2c i ，(a i =0，c i ≥1，p +q +1≤i ≤p +q +r)，n i =(−1)a i ⋅2c i =−2c i ，(a i =1，c i ≥1，p +q +r +1≤i ≤p +q +r +s)，所以m =∑(−1)a i ki=12c i =p −q +∑ p+q+ri=p+q+1m i +∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i ， 因为m ，m i =2c i ，n i =−2c i ，c i ≥1均是偶数，所以∑ p+q+r i=p+q+1m i +∑ p+q+r+s i=p+q+r+1n i 是偶数，p −q =m −(∑ p+q+r i=p+q+1m i +∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i )是偶数，所以m 2=p−q 2+12∑ p+q+r i=p+q+1m i +12∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i=p−q 2[(−1)0⋅21+(−1)1⋅20]+12∑[(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1]p+q+r i=p+q+1+12∑[(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1]p+q+r+s i=p+q+r+1， 综上所述，若m 是偶数且是k ﹣好数，则m 2也是k ﹣好数；（3）记n ＝1+2+23+25+⋯+22k ﹣1，k ≥1，设m ＜n ：①若m 的二进制表示中只有至多有k 个1，那么m 显然是k ﹣好数；②若m 的二进制表示中有至少有（k +1）个1，那么m 的二进制表示至多有（2k ﹣1）位， 此时，m 的二进制表示中的那些0隔出了若干个1串， 如果一个1串的长度为1，它一定能表示为2t ， 如果一个1串的长度大于1，它一定能表示为2u ﹣2v ，假设m 是k ﹣坏数，长度为1的1串的数量为p ，长度大于1的1串的数量为q ， 那么就意味着p +2q ＞k ， 记K ＝p +2q ，如果我们标出每个1串最左边和最右边的1，那么这些1两两不相邻，且总数目为K ， 但事实上，由于一共至多有（2k ﹣1）位，所以K ≤k ，产生矛盾， 这就意味着m 一定是k ﹣好数， 所以小于n 的正整数都是k ﹣好数，接下来我们用反证法来证明n 是k ﹣坏数， 假设n 是k ﹣好数，由于n 的二进制表示中，1的个数是大于k 的， 所以n 的那个表示里，肯定存在负号项，也就是说n 可以表示成两个正整数P ，Q 之差，不妨设n ＝P ﹣Q ， 且P ，Q 的二进制中1的个数之和不超过k ，而且我们还可以同时去掉P ，Q 的那些位数相同的1，全都变成0，所以n 可以表示成两个正整数P ，Q 的差，P ，Q 的二进制中1的个数之和不超过k ，且没有相同位置的1，那么就设P ，Q 的二进制表示中，1的数量分别是u ，v ， 则u +v ≤k ，那么：（1）P 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有（u ﹣1）个；（2）每给P 减掉一个2t （且P 的2t 位为0），最左最右两个1之间的0段的数目至多增加1个， 增加1个当且仅当减掉的这个位置左边最近的1的左边还是1，且这个位置的右边是0； （3）n 的二进制表示中，最左最右两个1之间有（k ﹣1）个0段，由（1）（2）我们知道，n 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有（u +v ﹣1）个， 结合（3）就可以知道（u +v ）必须等于k ，且（1），（2），（3）的每个不等关系都取等， 由于（1）的不等关系取等， 所以P 的最后一位必须是0， 但n 的最后一位是1， 所以Q 的最后一位是1， 但是由于（2）的不等关系取等，所以最后在减掉20＝1这步时，右边还有0， 而这不可能，因为已经是最后一位了， 所以假设不成立， 从而n 是k ﹣坏数，所以最小的k ﹣坏数是n =1+2+23+25+⋯+22k−1=1+2×(1−22k )1−22=2×4k+13，k ≥1， 因此最小的2023﹣坏数是2×42023+13=24047+13．。
清华大学微积分A习题课_4导数的计算----隐函数、反函数、参数函数
第八周习题课一．导数的计算----隐函数、反函数、参数函数1.求由方程22ln(1)0x y x y ++++=确定的隐函数()y y x =在0x =点的二阶导数。
解：有上式对x 求导得：1+y ′+2x +2yy ′1+x +2yy =0整理得：y ′(x )= −(x +1)2+y 2x 2+(y +1)2继续求导得到y′′(x),然后在上面三个式子中带入x =0,解得y ′′(0)= −4 2.求函数ln(1)y x x =++反函数的二阶导数。
解：由式子对y 求导得：dx dy = (1+x)(2+x)二阶导数为：d dy (dx dy )= dx/dy (x +2)= x +1(x +2)3.求参数函数ln(1)tx t e y t t ⎧=+⎨=++⎩的二阶导数。
解：先求解x ′(t )=1+e t ;y’(t) = (t +2)/(t +1); 则可以求出：dy dx = y′(t)x′(t)由d 2y dx 2= d dx (dydx )= (y ′(t )x ′(t ))′x′(t),带入后解得：d dx (dydx )= −(t 2+3t +3)e t +1(t +1)2(e t +1)3二．高阶导数 例.1 )1ln()1()(2x x x f -+=，求)1()(-n f解：2ln 2)1(,0)1(,0)1()0(=-''=-'=-f f f记 )1ln()(,)1()(2x x v x x u -=+=，当2>n 时，()()()()02(2)(2)1(1)()2(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)12(1)nn k n k k n k n n n n nn n n n n n n fC u v C u v C u v C u v C v -=-------=--'=--+--+--=-∑ 而mm m x x v x x v x x v )1()1()(,,)1(1)(,11)(1)(2--=--=''-='- 232)()2()1(2)1(-----=-n n n nn Cf注意这里的结果2>n 时候的结果，我们还需要在说明其余情况，经过计算：f ′(−1)=0 f ′′(−1)=2ln2例.2 求221ax y -=的n 阶导数。
2024届北京市清华大学附属中学高三下学期期中检测试题物理试题
2024届北京市清华大学附属中学高三下学期期中检测试题物理试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、一质点做匀加速直线运动，在通过某段位移x 内速度增加了v ，动能变为原来的9倍。
则该质点的加速度为（ ）A ．2v xB ．22v xC ．23v xD ．23v x2、如图所示，在水平晾衣杆（可视为光滑杆）上晾晒床单时，为了尽快使床单晾干，可在床单间支撑轻质细杆.随着细杆位置的不同，晾衣杆两侧床单间夹角θ（150θ<︒）将不同.设床单重力为G ，晾衣杆所受压力大小为N ，下列说法正确的是（ ）A ．当60θ=︒时，33N G =B ．当90θ︒=时，22N G =C ．只有当120θ︒=时，才有N G =D ．无论θ取何值，都有N G =3、如图所示，水平放置的平行板电容器下极板接地，闭合开关S 1，S 2，平行板电容器两极板间的一个带电粒子恰好能静止在P 点．要使粒子保持不动，但粒子的电勢能增加，则下列可行的指施有A ．其他条件不变，使电容器上极板下移少许B ．其他条件不变，将滑动变阻器滑片向右移少许井将上极板下移少许C ．其他条件不变，使开关S 2断开，并将电容器下极板上移少许D．其他条件不变，使开关S断开，并将电容器下极板上移少许4、空间存在如图所示的静电场，图中实线a、b、c、d、e为静电场中的等势线，虚线为等势线的水平对称轴。
一个带负电的粒子从P点以垂直于虚线向上的初速度v0射入电场，开始一小段时间内的运动轨迹已在图中画出，粒子仅受电场力作用，则下列说法中正确的是（）A．等势线a的电势最高B．带电粒子从P点射出后经过等势线b时，粒子的速率可能等于v0C．若让粒子从P点由静止释放，在图示空间内，粒子将在虚线上做往复运动D．若让粒子从P点由静止释放，在图示空间内，粒子的加速度先增大后减小5、位于贵州的“中国天眼”（FAST）是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜，通过FAST可以测量地球与木星之间的距离．当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍．若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为（）A．()3241k+年+年B．()3221kC．()321k+年D．32k年6、做竖直上抛运动的物体，在任意相同时间间隔内，速度的变化量()A．大小相同、方向相同B．大小相同、方向不同C．大小不同、方向不同D．大小不同、方向相同二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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3.
设数列{an
}
满足条件
lim
n
a2n
a,
lim
n
a2 n 1
b ，求极限 lim a1 a2 n
an n
。
4．用极限的“
”定义直接验证 lim x2
1 x2 1
1 3
。
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
1.（8 分）设 0 x 1 ，证明不等式 (1 x)ln 2 (1 x) x2 。
4.
n
设 an
k 1
1 n2 k
，极限
lim
n
an
1
1
n
5.
设 a,b
均为正数， lim
n
an
2b n 31来自6. lim(1 cos x)ln x
。
x0
。 。
7. x 0 时， 1 tan x 1 sin x 无穷小的阶为
。
8.
函数
f
(x)
x2 1 x 1
,
x 1 在 x 1处间断点的类型为
2, x 1
9.
设
f
(x)
1 ex x
x 0 ，则 f (0)
。
1 x 0
10.
设
f
可导，函数 y
f
dx (sin x) 存在可导的反函数，则
dy
11.
函数
y
y( x)
由参数方程
x
y
t t
sin t cos t
给出，其微分
dy
。
。 。
12. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 100) ，则 f '(0)
2. (7 分)设 f (x) 于闭区间[0,1] 上可导， f (0) 0 ， f (1) 1，且 f (x) 不恒等于 x 。证明存 在 (0,1) ，使得 f '( ) 1。
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清华大学本科生考试试题专用纸
考试课程
微积分 A(1)样题
系名
班级
姓名
学号
一．填空题（每空 3 分，共 15 题）（请将答案直接填写在横线上！）
1. 设 A x x2 2x 3 0 ，则inf A
。
2.
设
xn
1 n
(1)n 2
，则 lim sup
n
xn
。
3.
lim cos
1
x
。
x x
。
13. 参数曲线 x et sin t, y 4t cost 在 xy 平面上点 (1,1) 处（即 t 0 )的切线方程
为
。
14. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 3) ，则 f (x) 在区间 (0,2) 内有
个零点。
15. 函数 x arctan x 题在 x 时的渐近线为
。
二．计算题（每题 10 分，共 4 题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）
1.
设二阶可导函数 y
y(x) 由方程 sin( x
y)
x
y
确定，求二阶导数
d2y dx2
。
2. 求函数 f (x) ln x 在开区间 (0,) 上的单调区间，极值和极值点，凸性区间以及渐近线 x
（如果存在的话），并画出草图。