2012数值分析试卷答案

昆明理工大学2012级硕士研究生试卷

科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：

考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。

一、 填空题（每空2分，共40分）

1．设*0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，*

x 的相对误差限

为 。

2．设133)(47+++=x x x x f ，则=]2,,2,2[710 f ，=]2,,2,2[8

10 f 。 3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为)(2x L = ， 并计

算=)0(2L 。 4．设3

2

()3245f x x x x =+-+在

[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ，

最佳二次平方逼近多项式为 。 5．高斯求积公式

)()()(1101

0x f A x f A dx x f x +≈⎰

的系数0A = ，

1A = ，节点0x =

，1x

=

。

6．方程组b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx x

k k +=+)()

1(，写出雅可比迭代法和

高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，=Jacobi B ，=-Seidel Gauss B 。

7．0

010

0A ⎤⎥⎥

=⎢

⎥⎢⎥，其条件数2()Cond A = 。

8．设⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=2113A ，计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。

9．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。

10．对矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= __________________。

二、计算题（每题10分，共50分）

1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满足:1)1(,0)0(,0)0('

===p p p ,1)1(,'

=p

,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。 2. 若用复合梯形公式计算积分

dx e x ⎰

1

，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过

5102

1

-⨯? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。

3. 线性方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=，

（1）建立雅可比迭代法和

高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ?

4. 已知如下实验数据4,,1,0),,( =i y x i i , 用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并计算最小二乘法的误差。

5. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题0)0(,10022=+=y y x dx

，取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位）

。 三、证明题（共10分）

1． 如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角

阵。

昆明理工大学2012级硕士研究生试卷答案

一填空题（每空2分，共40分）

1. 2 0.025或0.0216

2. 3 0

3. )2)(1(2

3

-+-

x x ，3 4. 2

754

x x -+ 2119255x x -+

5. 0.28 0.39 0.29 0.82

6. U L D H U L D H S G J 1

1)(),(----=+=

7. 1

8. | A ||1 = 3_，2

3

16299||||2++=

A

9. 1()

1'()

k k k k k x f x x x f x +-=-

-

10. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=153012001L ，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=240041032

1U

二、计算题（每空10分，共50分）

1．求一个次数不高于4次的多项式P (x ),使它满足:P (0) =0，P’(0) =0，P (1) =1，P’(1)

=1，P (2) =1，并写出其余项表达式。

解：由题意 P (x ) = x 2(ax 2 + b x + c )，由插值条件得方程组

1

)24(412341=++=+++=++c b a c b a c b a 求解，得 a =1/4，b= – 3/2 ，c =9/4。所以

)4

9

2341()(22+-=x x x x P

插值余项为)2()1()(!

51)(22)

5(--=

x x x f x R ξ 2． 若用复合梯形公式计算积分

dx e x ⎰

1

，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超

过

5102

1

-⨯？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。

解：由于x

e x

f =)(，则x e x f x f ==)()()

4('

'在区间[0,1]上为单调增函数，b-a=1，

设区间分成n 等分，则h=1/n., 故对复合梯形公式，要求

≤--

=|)(12|)(''2ηf h a b f R T 52102

1

)1(121-⨯≤e n ，)1,0(∈η 即52

106

⨯≥

e

n ，85.212≥n ，因此n=213，即将区间[0,1]分成213等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过5

102

1-⨯。

若用复合辛普森公式，则要求

≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=|)(2180|)(()42

ηf h a b f R S 5

44

1021)1(2

1801-⨯≤⨯e n ，)1,0(∈η 4410144

⨯≥

e

n ，7066.3≥n ，因此n=4，即将区间[0,1]分成8等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过5

1021-⨯。

=

++=∑-=++1

40

12

14)]()(4)([6)(k k k k x f x f x f h h S 7125.1))()(4)()()(4)((6

5

.0432210=+++++x f x f x f x f x f x f 3. 线性方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=18.04.08.014.04.04.01A ，T

b ]3,2,1[=，（1）建立Jacobi 迭代

法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2）问Jacobi 迭代和Gausse-Seidel 迭代法都熟收

敛吗？ 解：

（1） Jacobi 迭代法的分量形式

⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,2,1,0,)

8.04.03()8.04.02()4.04.01()(2)(1)1(3

)

(3)(1)1(2

)(3)(2)1(1k x x x x x x x x x k k k k k k k k k ，)0(x 为任意初始值。 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式