专题06 三角函数及解三角形(解析版)-2021年新高考数学最新模拟题分项汇编(第二期·2月)

合集下载

三角函数与解三角形-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)

三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A 点测得：塔在北偏东30°的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，且B 点在北偏东60°．AB 相距80（单位：m ），在B 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD 约为（）mA ．69B ．40C ．35D ．23【答案】B 【分析】根据题意构造四面体C -ABD ,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 【详解】如图，根据题意，图中CD ⊥平面ABD ,30CAD ∠=︒,30,60,80BAD ABD AB ∠=︒∠=︒=ABD 中，30,60BAD ABD ∠=︒∠=︒， 90ADB ∴∠=︒cos 80?cos30AD AB BAD ∴=∠=︒=又CD ⊥平面ABD ，ACD ∴是直角三角形Rt ACD中，30,90,CAD ADC AD ∠=︒∠=︒=·tan 3040CD AD ∴=︒==，选项B 正确，选项ACD 错误故选：B.2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =现在有周长为10+ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（） A．B．C．D ．12【答案】A 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得ABC 的三边边长，利用题中公式可求得ABC 的面积. 【详解】由题意结合正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==ABC周长为10+10a b c ++=+4a ∴=，6b =，c =所以S == 故选：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cos2θ等于（）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【分析】根据题意可得出1sin cos 5θθ-=，平方可得24sin 225θ=，即可求出.【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，所以5sin 5cos 1θθ-=，即1sin cos 5θθ-=，两边平方得11sin 225θ-=，即24sin 225θ=. 因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以42ππθ<<，所以22πθπ<<，所以7cos 225θ==-. 故选：B.4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（）AB C D 【答案】A 【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率．【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积S 曲＝S 扇形CAB +2S 拱＝123π⋅⋅22+2（S 扇形﹣S △ABC ）＝23π⋅3﹣2⋅22＝2π﹣三角形ABC 的面积S △ABC 22所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝ABCS S ∆曲故选：A ．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +=，=（） A．2 B ．4 C ．D ．【答案】C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为3m ，其中心（即圆心）O 距水面0.75m ．如果水车每4min 逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h（单位：m ）是一个变量，它是时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始记时()0t =，则我们可以建立函数关系式()()sin h t A t k ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2πϕ<）来反映h 随t 变化的周期规律．下面关于函数()h t 的描述，正确的是（）A ．最小正周期为80πB ．一个单调递减区间为[]30,70C ．()y h t =的最小正周期为40D ．图像的一条对称轴方程为403t =- 【答案】D 【分析】首先求得()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.【详解】依题意可知，水车转动的角速度32(rad /s)46040ππω⨯==⨯， 3324A k +=+，3324A k -+=-+，解得32A =，34k =，由()330sin sin 024h A k ϕϕ=+=+=得1sin 2ϕ=-，又2πϕ<，则6πϕ=-，所以()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.对于选项A ：函数()h t 的最小正周期为2=8040ππ，故A 错误；对于选项B ：当[]30,70t ∈时，719,4061212t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为3719,21212πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()h t 在[]30,70上不具有单调性，故B 错误；对于选项C ：()()353340sin 02642h h π=+=≠，所以C 错误；对于选项D ：40333sin 32244h π⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（最小值），所以D 正确.故选：D.7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C .Ptolemy ，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A ．0.0017B ．0.0454C ．0.5678D ．0.5736【答案】C 【分析】先看左边列找34︒，再往右找对第一行的36'即可. 【详解】由题意查表可得3436︒'的正弦值为0.5678. 故选:C .8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，即AC BD AB AB =．则cos DEC ∠=（）ABCD【答案】A 【分析】根据图形和已知条件表示出,,CE DE CD ，然后用余弦定理求解即可【详解】由正五角星的对称性知：BC CE DE AD ===，不妨设BC CE DE AD x ====，则CD AC AD =-，又AC BC AC AD AB +=+=，AB AC ==则AC AD AC +=，所以AD =，AC AD AD ==，CD AC AD x x =-=-=22222224cos 122x DE CE CDDEC DE CEx +-∠===⨯ 故选：A二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则（）A ．()f x 的最大值为32B ．2π为()f x 的最小正周期C ．π2x =为()y f x =曲线的对称轴 D ．()π,0为曲线()y f x =的对称中心【答案】BD 【分析】分析函数sin y x =与1sin 22y x =不能同时取得最大值可判断A ；由sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x=的最小正周期是2ππ2=可判断B ；计算ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立可判断C ；计算()()2π0f x f x +-=是否成立可判断D ；进而可得正确选项. 【详解】对于A ：若()f x 的最大值为32，则sin y x =与1sin 22y x =同时取得最大值，当sin y x =取得最大值1时，cos 0x =，可得1sin 2sin cos 02y x x x ===取不到12，若1sin 22y x =取得最大值12时，sin 21x =，此时()ππZ 4x k k =+∈，而πsin sin π4y x k ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭1，所以sin y x =与1sin 22y x =不可能同时取得最大值，故选项A 不正确；对于B ：因为sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x =的最小正周期是2ππ2=，且()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=，()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=-+≠所以2π为()f x 的最小正周期，故选项B 正确；对于C ：ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，即ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =不是曲线()y f x =的对称轴，故选项C 不正确；对于D ：()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x -=-+-=--，所以()()2π0f x f x +-=对于任意的x 恒成立，所以()π,0为曲线()y f x =的对称中心，故选项D 正确；故选：BD.10．（2021·江苏）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A ．()3343P t t t =-+ B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒=【答案】BC 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，所以()3343P t t t =-，A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+--428cos 8cos 1x x =-+，所以()424881P t t t =-+，B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=- ()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+--()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，由于cos18cos30︒>︒，所以223cos 18cos 304︒>︒=，所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=，所以sin18︒=，C正确. 2=≠⎝⎭，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（） A ．() 2.5cos 56x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD 【分析】依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D. 【详解】依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+，由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26T ππω==﹐ 所以有() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以 2. 5sin 5 6.256x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，得1sin 62x π⎛⎫⎪⎝⎭≥，又024046x x ππ≤≤⇒≤≤，则有5666x πππ≤≤或1317666x πππ≤≤，从而有1 5 x ≤≤或1317x ≤≤，选项C ，D 都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式sin()(||1)x m m ωϕ+≥<关键在于：找准不等式中的函数值m 所对角；长为一个周期的区间内相位x ωϕ+所在范围.12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（）A ．l m n =+B ．2m l n =⋅C ．2m l n =+D ．111m l n=+ 【答案】AB 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求得l ，m ，n ，然后再逐项判断.【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以121)4l π=⨯⨯=.因为3ED =所以12(34m π=⨯⨯=.同理可得124)4n π=⨯⨯=所以l m n =+，2m l n =⋅，2m l n ≠+，111m l n≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant ）及余割（cosecant ）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知0t >，且22sec csc 16x t x +≥对任意的实数,2k x x k Z π⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭均成立，则t 的最小值为__________．【答案】9 【分析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解【详解】由题得：22111sec csc x x+=，所以()22222211sec csc sec csc 16sec csc x t x x t x x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭即：2222csc sec 11sec csc t x xt x x t ≥+++++116t ++5-3，所以9t ≥故答案为：914．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =ABD △的面积为____________.【答案】【分析】设BD x =，可得出3AD x =，23ADB π∠=，利用余弦定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABD △的面积. 【详解】设BD x =，则3AD x =，因为DEF 为等边三角形，则3ADE π∠=，故23ADB π∠=，在ABD △中，由余弦定理得()222252323cos3AB x x x x π==+-⨯⨯⨯，解得2x =，故6AD =，2BD =，因此，ABD △的面积为1226sin23ABD S π=⨯⨯⨯=△故答案为：15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O ，筒车的半径为r ，筒车转动的周期为24s ，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为0h ．4s 后盛水桶M 在1P 处距水面的距离为1h ，若10h h -=，则直线0OP 与水面的夹角为______．【答案】π12【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】如图，过O 作直线l 与水面平行，过0P 作0P A l ⊥于A ，过1P 作1PB l ⊥于B ．设0AOP α∠=，1BOP β∠=，则，4π2π243βα-=⨯=，π3βα∴=+由图知，0sin P A r α=，1sin PB r β=，0101sin sin P A h h PB r r r βα--=-==，所以πsin sin 3αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ34α-=-，即π12α=．故答案为：π12. 16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．【答案】2 【分析】根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故,,326CBP ACP CAP πππααα∠=-∠=-∠=-，进而得,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.【详解】根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PCB α∠=，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为||||||PA PB PC λ+=所以sin cos sin sin cos sin 2sin sin 36πααααααλππαα⎛⎛⎫- - ⎪⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11==，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 20,2α，)12,⎡∈+∞⎣故实数λ的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（i ）中EAB ∠的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i ）中，21AB ,AE ==，且AE AB ⊥，求AQ ；（2）在图（ii ）中，21AB ,AE ==，设(0)EAB θθπ∠=<<，求AQ 的最大值.【答案】（1（2）9. 【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得cos ABQ ∠，在ABQ △中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理，求得BE ，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当AE AB ⊥时，BE BQ ==则()cos cos2ABQ ABE π∠=+∠sin AE ABE BE =-∠=-=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos 45413AQ AB BQ AB BQ ABQ =+-⋅∠=++=，所以AQ =（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos 54cos BE AB AE AB AE θθ⋅=-⋅=+-，所以BE BQ ==在ABE △中，由正弦定理知sin sin AE BEABE θ=∠，可得sin ABE ∠=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos()2AQ AB BQ AB BQ ABE π=+-⋅⋅+∠454cos 4θ=+-+4(sin cos )994πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当3(0,)4πθπ=∈时，AQ 的取最大值9.答：（1）AQ =（2）AQ 的最大值为9.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O 为地球的球心，AB 为地平线，有两个观测者在地球上的A ，B 两地同时观测到一颗流星S ，观测的仰角分别为SAD α∠=，SBD β∠=，其中，90DAO DBO ∠=∠=︒，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A ，B 两点测得30α=︒，15β=︒，地球半径为R 公里，两个观测者的距离3RAB π=． 1.73 1.5≈）（1）求流星S 发射点近似高度ES ；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径6370R ≈公里，请你据此判断该流星S 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．【答案】（1）0.5ES R =公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【分析】（1）由已知条件在ASB △中利用正弦定理求出1)AS R =，在SAC 中再利用余弦定理求出OS ，从而可得ES OS R =-；（2）由（1）求出的值可得流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论【详解】（1）因为3AB R π=，则60AOB ∠=︒，所以AOB 为等边角形，所以AB R =．又因为90DAO DBO ∠=∠=︒，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以60SAB ∠=︒，45SBA ∠=︒，75ASB ∠=︒．在ASB △中，由正弦定理：sin 75sin 45AB AS =︒︒，得()sin 4530sin 45R AS ︒=︒+︒，解得1)AS R =，在SAC 中，由余弦定理：2222222212cos 1)1)(42OS SA OA SA OA SAO R R R R ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭．所以 1.5OS R =≈≈，所以0.5ES OS R R =-=公里．（2）0.53185ES R ≈≈公里，所以流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？【答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当OA OB =OM 取最大值4+ 【分析】（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最后通过50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，π6AOB ∠=，AB =所以56OAB πθ∠=-，OA θ=，566OB ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为AB =π6MAB MBA ∠=∠=，所以2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即2248sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122sin 2282283233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎭，当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即512πθ=时， 2OM 取最大值28+OM 取最大值4+此时51264OA πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 512643OB ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当OA OB =时，OM 取最大值4+ 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3︒的近似值(结果保留π).（2）正n 边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，求证：2tan2a R r nπ+=.【答案】（1）60π；（2）详见解析.【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，易知 1,2AB a nπθ==，然后在Rt OAB 中，利用三角函数的定义求得R ，r ，利用三角恒等变换证明.【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，所以11211sin 32π⨯⨯⨯⨯≈ sin 360π≈；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，则,OA R OB r ==，如图所示：所以1,2AB a nπθ==，在Rt OAB 中，sin AB OAθ=，即12sin an Rπ=，所以2sin a R n π=， cos OB OA θ=，即cos r n Rπ=，所以coscos 2sin a n r R n nπππ==，所以1cos cos2sin 2sin 2sina a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=， 22cos 24sincos2tan222a a nnnnππππ==.21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin (2π3x +φ)(A >0,0≤φ<π)，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；（2）证明：g(x)+g(x +1)+g(x +2)为定值．【答案】（1）f(x)=2sin (2π3x +5π6), g(x)=−2sin (2π3x +5π6)；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得；（2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，f(x)=2sin (2π3x +φ)，将点（1，-2）代入得：−2=2sin (2π3+φ)⇒sin (2π3+φ)=−1，∵0≤φ<π，∴2π3+φ∈[2π3,5π3)，∴2π3+φ=3π2⇒φ=5π6，∴f(x)=2sin (2π3x +5π6)，易知g(x)与f(x)关于x 轴对称，所以g(x)=−2sin (2π3x +5π6).（2）由（1）g(x)=−2sin (2π3x +5π6)=−2sin (2π3x +π3+π2)=−2cos (2π3x +π3)g(x)+g(x +1)+g(x +2)=−2cos (2π3x +π3)−2cos (2π3x +π)−2cos (2π3x +2π3+π)=−2cos (2π3x +π3)+2cos2π3x +2cos (2π3x +2π3)=−2(cos2π3x ⋅12−sin2π3x ⋅√32)+2cos2π3x +2[cos2π3x ⋅(−12)−sin2π3x ⋅√32]=0.即定值为0.22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC 为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.【答案】（1）()22m ；（2）(()224m a +.【分析】（1）由余弦定理求得AC ，再由正弦定理求得ACD ∠，求出BC BC ⊥，易得面积；（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，用余弦定理表示出2AC ，用正弦定理表示出sin α，再用余弦定理表示出cos α，然后表示出BCD △的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin ,cos ,AC αα，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】解析：（1）2222cos3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，又sin sin3ACADACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，易知ACD ∠是锐角，所以6π∠=ACD ，∴2BCD π∠=，()2214m 2BCD S a =⨯⨯=△，（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是由余弦定理得()222016cos AC a θ=-①，22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②， 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③， ∴14sin 23BCDS a AC πα⎛⎫=⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭△2(sin cos cos sin )33a AC ππαα=⋅+2222sin 128a AC a AC AC AC θ⎡⎤+=⋅⎢⎥⎣⎦((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．。

2021届高考数学模拟试卷汇编：三角函数及解三角形(含答案解析)

第 1 页共 18 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：三角函数及解三角形 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断：
①若12()1,()1f x f x ==-，且12min πx x -=，则2ω=；
②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移
6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣
； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中，判断正确的个数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．（2020届百校联考高考考前冲刺）已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且10sin m α=
，则sin 2α=( ) A ．45 B ．35 C ．35- D ．45- 3．（2020届百校联考高考考前冲刺）已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b
⎧=⎨<⎩…，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的图象是( ) A ． B ．。

2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题及解析

【详解】
由正弦定理，
得，
，
，B是等腰的底角，，
是等边三角形，A正确；
B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知，
但由于时，
，
∴B不正确．
C正确，D不正确：
设，则，
，
，
，
，
，
，
，∴C正确，D不正确；
故选：AC.．
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
设的最小正周期为，则，∴ ，．
∵ ，且，∴ ，
故．
令，得，，
即，，因此函数最靠近原点的零点为，故A正确；
由，因此函数的图像在轴上的截距为，故B正确；
由，因此函数是偶函数，故C正确；
令，，得，，此时函数单调递增，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故D不正确．
B中函数在上为减函数，故正确，
C中函数关于对称，故错误，
D中函数由无数条对称轴，且周期是，故正确
故正确的是
故选：BD
【点睛】
本题考查由有解析式的函数图象的性质.有关函数图象识别问题的思路:
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
4．（多选题）已知，则下列式子成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
对原式进行切化弦，整理可得：，结合因式分解代数式变形可得选项.

三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

【高考数学大题精做】专题06 三角形中的最值问题(第一篇)(解析版)

1 / 18第一篇三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域．【思路引导】（1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域. 解：（1）由2cos cos a b Bc C-=，利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=，1sin 0,cos 2A C ≠∴=Q 0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭Q .（2）sin sin 3y A sinB A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭2 / 181sin sin 26A A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 2,032A B A Q ππ+=<<，62A ππ∴<<，2,36362A sin A ππππ⎛⎤⎛⎫∴<+<∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，32y ⎛∴∈ ⎝. 【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++=Q ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,C π∈Q sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈Q 3B π∴= 23AC π∴+=2sin sin 23A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：sin sin3B π==2sin sin sin a c bA C B∴====3 / 182sin c C ∴=，2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--2sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭23A C π+=Q 203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解. 解：（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11sin 32224S bc A =≤⨯⨯=（b c =时取等号）．4 / 18【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-u r ，(2,0)n =r. （1）若23B π=，求m u r 与n r 的夹角θ；（2）若||1,m b ==r，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】（1）将23B π=代入可求得m u r .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅u r r ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =r 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.解：（1）23B π=,所以322m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r ,因为(2,0)n =r ,20m n ⋅==u r r ∴ ,又||m ==u r ||2n =r ,1cos 2θ==∴,3πθ∴=,（2）因为||1m =u r,即||1m ===r,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2222()()3()324a c a c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号）所以ABC ∆周长的最大值为5 / 18方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c bA C B===, 2sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<,1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）；（2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.解：（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，6 / 18在Rt ADF ∆中，AD =236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，0cos 6cos 6ADAF DAFπθπθ⎛⎫∴==<< ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭；（2）13sin 234cos cos 6S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ；（2）设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 22A C C=⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．解：（1）由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-，222a c b ac +-=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，3B π=；7 / 18（2）由正弦定理2sin sin sin 2a c bA C B====，2sin a A =，2sin c C =， 2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-2sin 2sin sin 2sin sin 2A C C A C C =⋅=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-31cos 2sin 2sin 22sin 2222222C C C C C =-+-=-+sin 213C π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当512C π=时等号成立，故最大值为1. 【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<，所以4A π=. （2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<.8 / 18在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r，所以221()4AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r 21(48)4b b =++21(2)14b =++，因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===,a A b B ==9 / 18∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.【思路引导】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC V 的面积取得最大值时，ab 最大，结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC V 的周长．解：（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=，即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =. （2）因为48a b +=≥=，所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.10 / 18因为ABC V的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯= 所以当44a b ==时，ABC V 的面积取得最大值，此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =，所以ABC V的周长为53. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由1sin 2ABC S ac B ∆==，11 / 18又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆43=4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ；（2）若a =b c +的最大值.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得A .（2）利用正弦定理,表示出b c +,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得b c +的最大值. 解：（1）∵cos cos 2cos +=ac B b C A,由正弦定理得sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos +=⇒=A AB C A A A , ∵sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∵0A π<<,∴3A π=；（2）由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C===, ∴2sin ,2sin b B c C ==,则()22sin sin 2sin 2sin 3⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭b c B C B B π3sin 6B B B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,12 / 18∵203B π<<,∴5666B πππ<+<, ∴当3B π=时,b c +取得最大值5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-r ，(1,cos cos )n a C c A =+r，且//m n r r.（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.【思路引导】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角C 的大小；（2）根据余弦定理求出+a b 的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围. 解：（1）由//m n r r得22cos 2cos cos a C c A C b +=-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-，即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=；（2）在ABC ∆中，因c =23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=，即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b +≤，则2a b c <++≤，即ABC ∆的周长的取值范围为(+. 6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.13 / 18（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可. (2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解解：（1）由题, 2cos sin()A A C +=3sin[()]sin[()]sin(2)sin sin 2A A C A A C A C C C C ++--+=++=-,即1sin(2)sin 22A C C C +=-sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故23A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=. （2）122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2cos 2sin 22A A A ⎛⎫=+⨯-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥即实数m的最小值为7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据14 / 18A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 解：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+，化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+ 即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=. （2）由（1）知，2a bc +=，所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12.8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r，求a 的最小值．【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．解：(1) ∵ABC V 中，cos 2cb a C -=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，∴π3A =．(2) 由 (1)及·3AB AC =u u u r u u u r得6bc =，15 / 18所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--=… 当且仅当b c =时取等号，所以a9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 【思路引导】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值．解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π-∵()sin 220cos 0bc A B C ++=∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭ ∴当4A π=时，c bb c+取最大值 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．16 / 18【思路引导】（1）根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，化简可得cos sin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，然后求出B 的值；（2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，利用向量的模和基本不等式可求BD u u u r的取值范围，即可得到BD 的最小值.解：（1）由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A C a b a +=，即(cos cos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠，所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==，所以1cos (0)2222B B π=<<，所以23B π=，即23B π=. （2）由△ABC的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2221(2)4BD BA BC BA BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac u u u r =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以BD u u u r≥BD.11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o的面积为（1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值. 【思路引导】（1）利用1sin 2ABC AB B S BC =⋅⋅⋅V 求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE V 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF V 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF V 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.17 / 18解：（1）因为60,2,B AB ==o所以11sin 222ABC AB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯=V ，又ABC S =V 4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE V 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以sin 60DE =+，在CDF V 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=o ，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFS DE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅V==，当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-V18 / 18故DEF V的面积的最小值为6 .。

2021-2021 高考全国卷三角函数解三角形真题汇编(文科)

2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编(文科)2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021・全国新课标卷I(文)]函数y=的部分图象大致为 ( ) -A. B. C.D.2. [2021・全国新课标卷I(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则C= ( )A. B. C. D.3. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=sin 的最小正周期为( ) A. 4πB. 2πC. πD.4. [2021・全国新课标卷III (文)]已知sin α-cos α=,则sin 2α= ( ) A. -B. -C.D.5. [2021・全国新课标卷III (文)]函数f(x)=sin +cos - 的最大值为 ( )A. B. 1 C. D. 6. [2021・全国新课标卷III (文)]函数y=1+x+的部分图象大致为( )第1页共4页A. B.C.D.7. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A=,则b= ( )A. B. C. 2 D. 38. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),6]将函数y=2sin 的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 ( )A. y=2sinB. y=2sinC. y=2sin -D.y=2sin -9. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),12]若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ( )A. [-1,1]B. -C. -D. - -10. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),3]函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )A. y=2sin -B. y=2sin -C. y=2sinD. y=2sin11. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),11]函数f(x)=cos2x+6cos - 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 712. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),6]若tan θ=-,则cos 2θ= ( )第2页共4页A. -B. -C.D.13. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),9]在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= ( ) A. B. C. D.14. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),8]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A. - ,k∈ZB. - ,k∈ZC. - ,k∈ZD. - ,k∈Z15. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，7]在函数①y＝cos|2x|,②y＝|cos x|,③y＝cos(2x＋),④y＝tan(2x－)中,最小正周期为π的所有函数为( )A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①③16. [2021・高考全国新课标卷I(文),9]函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )A. B.C. D.17. [2021・高考全国新课标卷I(文),10]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为2a,b,c,23cosA+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A. 10 B. 9 C.8 D. 5第3页共4页18. [2021・高考全国新课标卷II(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( )A. 2 +2B. +1C. 2 -2D. -119. [2021・高考全国新课标卷II(文),6]已知sin2α=,则cos(α+)=( ) A.B. C. D. 评卷人得分二、填空题220. [2021・全国新课标卷I(文)]已知α∈ ,tan α=2,则cos - = . 21. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 . 22. [2021・全国新课标卷II(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .23. [2021・全国新课标卷III (文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= ,c=3,则A= .24. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),14]已知θ是第四象限角,且sin ,则tan - = .25. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),15]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .26. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),14]函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.27. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，16]如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m,则山高MN＝________m.28. [2021�q高考全国新课标Ⅱ(文)，14]函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________. 29. [2021・高考全国新课标卷I(文),16]设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .30. [2021・高考全国新课标卷II(文),16]函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ= .第4页共4页感谢您的阅读，祝您生活愉快。

(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(2021年整理)

(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(word版可编辑修改)的全部内容。

三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．(Ⅰ）证明：a+b=2c；(Ⅱ）求cosC的最小值．2．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB,ac=（a2﹣b2﹣c2)．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．(Ⅰ)求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2)若a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1)求BC的长;（2)求sin2C的值．7．在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；(Ⅱ）求cos（2A+）的值．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=(a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ)求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b,c，且b=3,c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB,DE=1,EC=，EA=2，∠ADC=,∠BEC=．（Ⅰ)求sin∠CED的值;（Ⅱ)求BE的长．11．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b,c，已知b+c=2acosB．(Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1)求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ)若a=2，b=，求cosC的值；(Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的内角A，B,C所对应的边分别为a，b,c．（Ⅰ）若a,b，c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；(Ⅱ）若a，b,c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．(Ⅰ)若a,b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a,求cosB的值．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；(2）求四边形ABCD的面积．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C）=8sin2．(1)求cosB;(2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2)若cosB=,求cosC的值．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA,且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=;（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2,求sinA和c的值．21．设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点,AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2)若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A,B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ)若a=b，求cosB；（Ⅱ)设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．(Ⅱ）若∠BA C=60°,求∠B．25．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．26．△ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ)求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=,b=3c,求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC(1）求cosA的值（2)若a=1,cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且bsinA=a•cosB．（1)求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．(Ⅰ)求cosA的值;（Ⅱ）求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共31小题)1．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得:；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB;即sinA+sinB=2sinC(1）;根据正弦定理，;∴,带入（1）得：；∴a+b=2c;(Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab,当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b,c．已知asinA=4bsinB，ac=(a2﹣b2﹣c2）．(Ⅰ）求cosA的值；(Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解:由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得,由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ)，可得,代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ)知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，,故．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知2cosC（acosB+bcosA)=c．（Ⅰ）求C;(Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：(Ⅰ）∵在△ABC中,0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC,整理得：2cosCsin（A+B)=sinC，即2cosCsin（π﹣(A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；(Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴(a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=,∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=,求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角,cosA=,∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC,整理得：cosC=sinC,则tanC=;（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=,∵a=,∴由正弦定理=得:c===，则S△ABC=acsinB=×××=．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC;（Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】(Ⅰ）证明：在△ABC中,∵+=，∴由正弦定理得：，∴=,∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，(Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2)求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2)由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=,AB=2,角A=60°,在三角形ABC中,大角对大边,大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0,cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【解答】解:（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得:，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6,c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得a=8，,解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB)平行．（Ⅰ）求A;（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解:（Ⅰ）因为向量=(a，b)与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=,可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c,解得c=3，△ABC的面积为:=．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a,b,c，且b=3，c=1,△ABC的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=,∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=,∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE,即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得,则sinα=，即sin∠CED=．(Ⅱ)由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中,cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明:A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B)=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B)∵A，B是三角形中的角,∴B=A﹣B,∴A=2B；（Ⅱ)解：∵△ABC的面积S=,∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b，c,已知A=,b2﹣a2=c2．(1）求tanC的值;（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1)∵A=，∴由余弦定理可得：,∴b2﹣a2=bc﹣c2,又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0,π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2,b=，求cosC的值;（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣(a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c,∵a+b+c=8，∴a+b=6①,∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得:a=b=3．14．△ABC的内角A，B,C所对应的边分别为a,b,c．(Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C)；(Ⅱ）若a，b,c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin［π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）;(Ⅱ)∵a，b,c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．(Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C);（Ⅱ)若a，b，c成等比数列，且c=2a,求cosB的值．【解答】解：(Ⅰ）∵a,b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB,∵sinB=sin[π﹣（A+C)]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C)；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列,∴b2=ac,将c=2a代入得:b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得:cosB===．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解:（1)在△BCD中,BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中,AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=;（2)∵cosC=,cosA=﹣，∴sinC=sinA=,则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解:（1)sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB)，∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16(1﹣cosB)2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1)（cosB+1）=0,∴(17cosB﹣15)（cosB﹣1)=0，∴cosB=；（2）由(1)可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=(a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4,∴b=2．18．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B)，化为A=2B,或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角．（Ⅰ）证明:B﹣A=；(Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈(，π），∴B=+A,∴B﹣A=;（Ⅱ)由(Ⅰ）知C=π﹣(A+B)=π﹣（A++A）=﹣2A＞0,∴A∈（0，）,∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2(sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（,］20．△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b,c，已知cosB=，sin(A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①,结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0,解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）;②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2,所以c=1．21．设△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；(Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：(Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：,又tanA=,∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin［π﹣（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=,∵0＜B＜π，∴sinB=,∵B为钝角，∴B=,又∵cosA=sinB=，∴A=,∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1)求；（2）若AD=1，DC=,求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2,∴AB=2AC,令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=,∴x=1,∴AC=1,∴BD的长为，AC的长为1．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=,求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得：＞0，代入可得(bk)2=2ak•ck，∴b2=2ac,∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=,∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c=．∴S△ABC==1．24．△ABC中,D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．(Ⅱ）若∠BAC=60°,求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图,由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ)∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C,∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知a﹣c=b,sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得:b=c,代入a﹣c=b,得：a﹣c=c，即a=2c,∴cosA===;(Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos(2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．(Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin(π﹣A﹣B）=sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b,c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=,b=3c，求sinC的值．【解答】解：（1）因为,所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b,c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos(A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知 cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理:c===29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小;（2）若b=3,sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1)∵bsinA=a•cosB,由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中,a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【解答】解：（Ⅰ)由条件在△ABC中，a=3,，∠B=2∠A,利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ)由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，即 c2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°,△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时,求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB,∴B=2A,满足条件．综上，c=5．。

专题06三角函数与解三角形选择填空题(解析版)

大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（新课标文科）
专题06三角函数与解三角形选择填空题
本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质、正弦定理和余弦定理，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，三角变换为重点较佳.
1．【2020年全国1卷文科07】设函数f(x)=cos (ωx +π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）
A ．10π9
B ．7π6
C ．4π3
D ．3π2 【答案】C
【解析】
由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，
将它代入函数f (x )可得：cos (−
4π9⋅ω+π6)=0 又(−4π9,0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点，
所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32
所以函数f (x )的最小正周期为T =
2πω=2π32=4π3 故选：C。

2021年高三冲刺备考【新题型】——三角函数与解三角形-解析

2022年高三备考【新题型】——三角函数与解三角形青岛青奥教育——见识新情况，扩展宽思路一、解答题1．如图，在四边形ABCD中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 【分析】（1）在BCD △中，利用正弦定理可求得结果；（2）在BCD △中，由余弦定理可求得4BD =，在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==，由余弦定理得22161cos 22x y A xy -+==，即2216x y xy -+=，利用基本不等式求得()max x y +，进而求出 ABD △周长的最大值. 【详解】（1）在BCD △中，cos CBD ∠=sin 14CBD ∠∴== 利用正弦定理得：sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，sin 1sin 2BC CBDBDC CD⋅∠∴∠===又CBD ∠为钝角，BDC ∴∠为锐角，6BDC π∴∠=（2）在BCD △中，由余弦定理得2222cos2BC BD CD CBD BC BD ∠+===⋅-解得：4BD =或5BD =-（舍去）在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==由余弦定理得22222161cos 222AB AD D x y A AB B AD xy -+=⋅-+==，即2216x y xy -+= 整理得：()2163x y xy +-=，又0,0x y >>利用基本不等式得：()()2231346x y x y xy +=≤-+，即()2416x y +≤，即()264x y +≤，当且仅当4x y ==时，等号成立，即()max 8x y +=，所以()max 8412AB AD BD ++=+= 所以 ABD △周长的最大值为12 【点睛】方法点睛：本题考查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.2．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）⎡⎣；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用三角恒等变换得出()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的值域求解；（2）由题意可知，函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，然后对实数a 的取值进行分类讨论，考查实数a 在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.【详解】（1）()cos 12(sin cos )cos 14f x x x x x x π⎛⎫=+-=+⋅- ⎪⎝⎭22sin cos 2cos 1sin 2cos 224x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴[]sin 20,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x ⎡∈⎣. （2）假设同时存在实数a 和正整数n 满足条件，函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点，即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点. 当[]0,x π∈时，92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象如下图所示：①当a >a <()y f x =与直线y a =在[]0,n π上无交点，②当a =a =()y f x =与直线y a =在[]0,π上有一个交点，此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，则2021n =；③当1a <<或1a <<时，函数()y f x =与直线y a =在[]0,π上有两个交点，此时函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上有偶数个交点，不符合题意； ④当1a =时，函数()y f x =与直线y a =在[]0,π上有三个交点，此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，则1010n =；综上所述，存在实数a 和n 满足题设条件：a =2021n =；a =2021n =；1a =时，1010n =.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数()y f x =与直线y a =的图象在区间[]0,π上的图象的交点个数，结合周期性求解.3．如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m m （从拐角处，即图中A ，B 处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；（2）若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．【答案】（1）4sin cos l θθ=+π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；（2）这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠，理由详见解析．【分析】（1）计算sin PA θ=，4cos QA θ=，得到函数解析式.（2）设4()sin cos f θθθ=+，求导得到单调区间，计算函数的最小值7>，得到答案.【详解】（1）PA =，4cos QA θ=，所以l PA QA =+，即4cos l θ=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（2）设4()sin cos f θθθ=+，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由)332222cos 4sin ()sin cos sin cos f θθθθθθθθθ-'=-+=，令()0f θ'=，得0tan 2θ=，且当()00,θθ∈，()0f θ'<；当0π,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f θ'>，所以()f θ在()00,θ上单调递减；在0π,2θ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当0tan θ=sin θ=，0cos θ=所以min 0()()4f f θθ===即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为．因为7>，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．【点睛】本题考查了三角函数的应用，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，BOP θ∠=，POQ α∠=.（1）若点P 的横坐标为45，点Q 的纵坐标为12，求cos α的值；（2）若1PQ =，求AQ BP ⋅的取值范围.【答案】（1（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）计算3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()cos 2αθ+=-，利用和差公式计算得到答案. （2）3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1sin 62AQ BP πθ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）根据题意：3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()sin sin αθθ+<，故,2παθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()cos αθ+=故()()()cos cos cos cos sin sin ααθθαθθαθθ=+-=+++=. （2）1OP OQ PQ ===，故3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()10B ,，()1,0A -，故()cos 1,sin cos 1,sin 33AQ BP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1cos 1cos 1sin sin sin 3362πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5,666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin 0,622πθ⎛⎫⎡⎤+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查了三角恒等变换，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形APQ ，其中P 位于边CB 上，Q 位于边CD 上，已知20AB =米，6PAQ π∠=，设PAB θ∠=，记()ABCD fPAQ θ=∆正方形面积面积，当()f θ越大，则污水净化效果越好.（1）求()f θ关于的函数解析式，并求定义域；（2）求()fθ最大值，并指出等号成立条件？【答案】(1)()=4cos cos()3f πθθθ-，()124;(2) =6πθ时,()fθ最大值是3【分析】（1）在ABP △中求AP ,在ADQ △中求AQ ,再求出PAQ ∆面积得解. （2要求()f θ最大值，恒等转化成sin()A x k 型利用三角函数性质可得解.【详解】（1）在ABP △中,PAB θ∠=, 20AB =∴ 20=coscos ABAP ; 在ADQ △中3DAQ πθ∠=-,∴20=cos()cos()33AD AQ1100sin 26cos cos()3PAQ S AP AQ ππθθ∆=⋅=-()400=4cos cos()1003cos cos()3f πθθθπθθ=--由题知04πθ<<，且034∴124ππθ<<()=4cos cos()3f πθθθ∴-，()124（2）()=4cos cos()=2sin(2)136f ππθθθθ-++124ππθ<< ，22363∴ 当2=62ππθ+时，即=6πθ时()f θ最大值是3【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A x k 或cos()A x k 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.6．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180︒而成，如图2.已知圆O 的半径为10cm ，设BAO θ∠=，02πθ<<，圆锥的侧面积为2cm S （S 圆锥的侧面积RI π=（R -底面圆半径，I -母线长））（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大.求S 取得最大值时腰AB 的长度【答案】（1）2400sin cos S πθθ=，（02πθ<<）；（2 【分析】（1）根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，分析可得220cos AB AE θ==，sin 20sin cos BD AB θθθ==，由圆锥的侧面积公式可得S 的表达式，即可得答案；（2）由（1）可得S 的表达式可得231400sin cos 400(sin sin )2S πθθπθθ==-，设3()=-f x x x ，(01)x <<，求导求出其在区间(0,1)上的最大值，求出x 的值，即可得当sin θ=，即cos θ=时，侧面积S 取得最大值，计算即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，在ABD ∆中，sin 20sin cos BD AB θθθ=⋅=，所以21220sin cos 20cos 400sin cos 2S πθθθπθθ=⨯⨯⨯=，（02πθ<<）. （2）由（1）得：()231400sin cos 400sin sin 2S πθθπθθ==-，设()3f x x x =-，（01x <<），则()213f x x '=-，令()2130f x x '=-=，可得x =当0,3x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在区间0,3⎛⎝⎭上单调递增，当,13x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在区间3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在3x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ=，即cos θ=时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长20cos AB θ==答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为cm 3.【点睛】本题考查导数的实际应用，利用导数求函数的单调性、极值和最值，还涉及圆锥的侧面积公式和三角函数的恒等变形，关键是求出S 的表达式．7．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果. （2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果.【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤, 所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤.（2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”. 令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时, 因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<, 所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 当01c <<时, 存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=. ()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为()M x 在区间[]00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立” 当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤, 综上所述：当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.8．如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .设AOB θ∠=.（1）当56πθ=，求四边形OACB 的面积；（2）当θ为何值时，线段OC 最长并求最长值.【答案】（12）当23πθ=时，OC 的最大值为3【分析】（1）利用余弦定理求出AB ，分别求出OAB ABC ∆∆，的面积即可；（2）根据余弦定理，正弦定理用θ表示出,sin ,cos AB OAB OAB ，利用余弦定理得出OC 关于θ的函数，根据三角恒等变换求出最值. 【详解】解：（1）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅514212cos 6π=+-⨯⨯5=+于是四边形OACB 的面积为21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+111222=⨯⨯⨯+=（2）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-，∴AB =∴AC =在OAB ∆中，由正弦定理得sin sin AB OBOABθ=∠，即sin sinOB OAB AB θ∠==又OB OA <，所以OAB ∠为锐角，∴cosOAB ∠==∴cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=-在OAC ∆中，由余弦定理得：2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠454cos 22θ⎛⎫=+--⨯52cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭.∵(0,)θπ∈， ∴当23πθ=时，OC 的最大值为3. 【点睛】本题考查了解三角形和三角函数的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.9．已知向量()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值；（2）若函数()y fx ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.【答案】（1（2）104ω<≤ 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】（1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b xx x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 2cos 2sin 2662626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭（2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y fx ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩ 因为0>ω，所以016k >- 又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤. 【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.10．已知向量()()sin ,cos 3a x x ωωω=>，()cos ,sin 2b πϕϕϕ⎛⎫=<⎪⎝⎭，函数()5f x a b π=⋅+满足2445f x f x πππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且在区间2,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又不等式()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()20205y f x x ππ=--+在区间[](),0m m m ->的零点为123100,,,,x x x x ，求()10011ii x f x =+⎡⎤⎣⎦∑的值.【答案】（1）()sin(5)+45f x x+ππ=；（2）15π.【分析】(1)根据()5f x a b π=⋅+利用向量数量积公式与正弦的和角公式化简,再根据题意可得()f x 的对称轴与对称中心等.同时利用()f x 在区间2()189ππ，上单调求出关于周期的不等式,继而求得解析式.(2)将题意转换为函数()y f x =的图象与1+520y x ππ=+的图象在区间[,]m m -上有100个交点.再利用函数的对称点分析求解即可. 【详解】（1）()sin cos cos sin sin()555f x a b x x x πππωϕωϕωϕ=⋅+=++=++因为()()044f +x f x ππ-+--=,所以(0)4π-，是函数()f x 的一个对称中心, 由()()4f x f π≤,得4x π=为函数()f x 的一条对称轴,所以()4424k T T ,k ππ--=+∈Z ,即(21)22k ,k ,ππω+=∈Z 所以21=k ,k ω+∈Z . 又因为函数()f x 在区间2()189ππ，上单调,所以2=91862T ππππω-=≤, 即6ω≤,又3ω>,所以5ω=. 又因为542+k ,k Z ,ππϕπ⨯=+∈所以34k ,k Z ,πϕπ=-∈又2,πϕ≤所以4πϕ=. 所以()sin(5)+45f x x+ππ=.（2）由题意,方程1()+520f x x ππ=+在区间[,]m m -上有100个实根,即函数()y f x =的图象与1+520y x ππ=+的图象在区间[,]m m -上有100个交点.由5=,,4x+k k ππ∈Z 得,520k x k ππ=-∈Z , 所以(,)205ππ-为函数()y f x =的图象的一个对称中心.易知(,)205ππ-也是函数1+520y x ππ=+的图象的对称中心,所以()y f x =与1+520y x ππ=+的图象交点成对出现,且每一对均关于点(,)205ππ-对称, 所以1231002()50520x x x x ππ++++=⨯-⨯=-.123100()()()()250205f x f x f x f x ππ++++=⨯⨯=,所以1001[+()]i i i x f x =∑=123100123100+++++()()()()=15x x x x f x f x f x f x π++++.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质综合运用,需要根据条件得出三角函数的对称轴、对称点以及周期范围等信息,进而列出参数的不等式进行求解.同时也考查了三角函数的对称点的求和应用.属于难题.11．如图，已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，点,A B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，,C D 分别是()f x 的图象上横坐标为3π、2π的两点，//CD x 轴，,,A B D 三点共线.（1）求,ωϕ的值；（2）若关于x的方程()3f x k x =+在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实根，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) 3ω=,=4πϕ;(2)12k -<≤-【分析】(1)结合AB BD =及中点坐标可求B ，根据点C 与点D 对称性求出对称轴512x π=，然后可求()f x 的最小正周期T ，进而可求ω，再由点B 代入解析式求出ϕ；(2)由(1)可知,()3f x k x =+,可求得sin 33cos 344k x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()cos 3,,4123g x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,结合y k =与()g x 的图象即可求出k 的取值范围.【详解】根据题意,点A 与点D 关于点B 对称,则点B 的横坐标为0+2=24ππ,又点C 与点D 关于直线532212x πππ+==对称,f x 的最小正周期T 满足541246T πππ=-=，解得23T π=，即3ω=, 由五点法做图可知,3+=4πϕπ⨯,且0ϕπ<<, =4πϕ∴;由(1)知，函数()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,由()3f x k x =+得sin 334x k x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, sin 33cos 344k x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()cos 3,,4123g x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，画出()g x 在,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的函数图象,如图所示; 根据题意, y k =与()g x 恰有两个交点，实数k 应满足1k -<≤. 【点睛】本题考查三角函数的图象性质及其应用,同时考查了数形结合的思想和计算求解的能力,难度较难. 12．如图，已知点O 为直线l 外一点，直线l 上依次排列着A ，B ，C ，D 四点，满足：（1）∠AOC 为锐角，BOC COD ∠=∠；（2）2tan tan tan AOB AOD AOC ∠⋅∠=∠ （3）112tan tan tan AOC BOC AOB+=∠∠∠.（Ⅰ）求∠AOC 的值；（Ⅱ）若1AB BC ==，求CD 的值. 【答案】（Ⅰ）4π（Ⅱ）2 【分析】（1））设AOC α∠=，BOC COD β∠=∠=，得到2tan()tan()tan αβαβα-+=，化简得到答案.（2）根据正弦定理得到(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+，将tan 1α=和1tan 3β=代入计算得到答案.【详解】（1）设AOC α∠=，BOC COD β∠=∠=.由2tan tan tan AOB AOD AOC ∠⋅∠=∠，得2tan()tan()tan αβαβα-+=，即22222tan tan tan 1tan tan αβααβ-=-，所以2tan 1α=，4πα=.（2）在OCD 中，由角平分线定理得CD ODBC OB=，在OAD ∆中，由正弦定理得2sin sin()sin()OD AD CDA αβαβ+==++，在OAB ∆中，由正弦定理得1sin sin()sin()OB AB A αβαβ==--，两式相除得(2)sin()sin()OD CD OB αβαβ+-=+.即(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+. 将tan 1α=代入112tan tan tan AOC BOC AOB+=∠∠∠得1tan 3β=.将tan 1α=和1tan 3β=代入(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+. 解得2CD =. 【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.13．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.（1）设函数3())sin 2g x x x ππ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）记向量(1,ON =的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移23π个单位长度得到()h x 的图象，已知()2,3A -，()2,6B ，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）OM (=-（2（3）存在，()0,2P 【分析】(1)利用三角函数诱导公式化简函数得()cos g x x x =+，根据题意写出伴随向量； (2)根据题意求出函数()f x ，再由()85f x =及,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭求出sin()3x π+及cos()3x π+，由sin sin 33x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开代入相应值即可得解；(3) 根据三角函数图像变换规则求出()h x 的解析式，设1,2cos 2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP BP ⊥得0AP BP ⋅=列出方程求出满足条件的点P 的坐标即可. 【详解】（1）∵3()sin )2g x x x ππ⎛⎫=--++⎪⎝⎭∴()cos cos g x x x x x =-=+∴()g x 的伴随向量OM (=-（2）向量(1,ON =的伴随函数为()sin f x x x =，()8sin 2sin()35f x x x x π=+=+=，4sin()35x π∴+=,(0,)3632x x ππππ⎛⎫∈-∴+∈ ⎪⎝⎭，，3cos()35x π∴+=14sin sin sin cos 33232310x x x x ππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由（1）知：()cos 2sin 6g x x x x π⎛⎫=+=--⎪⎝⎭将函数()g x 的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数12sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭再把整个图像向右平移23π个单位长得到()h x 的图像，得到 1211()2sin 2sin 2cos 236222h x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设1,2cos2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵(2,3),(2,6)A B - ∴12,2cos32AP x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又∵AP BP ⊥，∴0AP BP ⋅=∴11(2)(2)2cos32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221144cos 18cos 18022x x x -+-+= ∴2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（*） ∵122cos22x -≤≤，∴131952cos 2222x -≤-≤- ∴225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 又∵2252544x -≤∴当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，这时（*）式成立∴在()y h x =的图像上存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥. 【点睛】本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.14．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+，（1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(1,2) 【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案；（2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+，即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+， sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去）， 2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=， 022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.15．如图，半径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中AB BE <，设AOB θ∠=．（1）将十字形的面积S 表示为θ的函数；（2）求十字形的面积S 的最大值．【答案】（1）28sin cos4sin 222S θθθ=-（2）max 2S =．【分析】（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达2sin 2AB θ=，2cos2BE θ=，再计算十字形的面积；（2）由（1）中十字形的面积28sin cos4sin 222S θθθ=-，根据三角恒等变换，化简函数解析式，即可求解最大值. 【详解】解：（1）由题意，2sin2AB θ=，2cos2BE θ=，因为AB BE <，所以0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以222sin 2cos 2sin 222S θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即28sincos4sin 222S θθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）由（1）得：4sin 2cos 2S θθ=+-1)2tan 2θϕϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭所以max 2S =．答：（1）28sincos4sin 222S θθθ=-；（2）max 2S =．【点睛】本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用；（2）三角恒等变换求最值问题；考察计算能力，实际操作能力，综合性较强，有一定难度.16．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角EFG ∆，E 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化的效果越好.设计要求管道的接口E 是AB 的中点，F ，G 分别落在AD ，BC 上，且20AB m =，AD =，设GEB θ∠=.（1）当θ为何值时，EFG ∆的面积S 最小，并求出最小值；（2）试将污水管道的长度l 表示成θ的函数，并写出定义域；（3）当θ为何值时，污水净化的效果最好，并求此时管道l 的长度. 【答案】（1）4πθ=，100（2）10sin 10cos 10,,sin cos 63l θθππθθθ++⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（3）当θ取6π或3π时效果最好，此时()20l m =. 【分析】(1)利用三角函数定义表示出EG 和FE 的长度,利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式可求得面积的最小值;(2)根据(1)中的表示出EG 和FE 的长度,利用勾股定理可得长度FG.三边之和可得污水管道的长度l. (3)根据(2)中的关系式利用三角函数公式化简,利用三角函数的有界限可得l 的最大值,即污水净化效果最好. 【详解】(1)由题意,,90GEB GEF θ︒∠=∠=.则90AEF θ︒∠=-, E 是AB 的中点,20AB mAD ==,()101010cos sin cos 90EG EF θθθ︒∴===-，, 所以11101010022cos sin sin 2EFG S EG EF θθθ∆=⨯⨯=⨯⨯=,当sin 21,4πθθ==时, EFG ∆的面积S 最小，最小值为100EFGS =,所以当4πθ=时，EFG ∆的面积S 最小，最小值为100;(2)由(1)得10cos sin FG θθ==,则101010sin cos sin cos l θθθθ=++, 其中当G 与点C 重合时，3πθ=，当F 与点D 重合时，6πθ=，所以63ππθ≤≤,所以污水管道的长度l 表示成θ的函数为10(sin cos )10sin cos l θθθθ++=，其定义域为,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;(3)由(2)可知则10(sin cos )10,sin cos 63l θθππθθθ⎛⎫++⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,令sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,57,41212πππθ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 可得sin 4πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,则:t ∈⎣ 又21sin cos 2t θθ-=,且1t ≠那么:22101020(1)201112t t l t t t ++===---当12t =时,长度l取得最大值为20,此时:4t πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,即5412ππθ+=或712π,6πθ∴=或3π, 故得6πθ=或3π时,污水净化效果最好,此时管道的长度为()20m ;【点睛】本题考查运用三角函数解决生活实际问题中的最值问题,关键在于设合理的角度,将所求的问题转化为此角的三角函数,属于中档题.17．定义在R 上的函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤ ⎪⎝⎭，若已知其在()0,7x π∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时函数取得最大值为3；当6x π=，函数取得最小值为3-．（1）求出此函数的解析式；（2）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的13得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数()lg ()g x y eh x =+的最大值为e ，求满足条件的0ϕ的最小值；（3）是否存在实数m，满足不等式()()sinsin A A ϕϕ>若存在，求出m 的范围（或值），若不存在，请说明理由．【答案】（1）()133sin 510f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）10π；（3）存在，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用最大值和最小值确定A 和T ，进而得到ω；利用()3f π=可求得ϕ的取值，进而得到所求函数解析式；（2）由图象平移和伸缩变换原则得到()(),g x h x ，由xy e =与函数lg y x =的单调性可知只有当()1g x =，()1h x =同时取得时，函数取最大值，由此可得到010k ϕπ=，根据00ϕ>得到最终结果；（3）由偶次根式被开方数大于等于零可确定m 的范围，进而得到两角整体所处范围，根据函数单调性可. 【详解】（1）()()max 3f x f π==，()()min 63f x f π==-3A ∴=，()22610T ππππω==⨯-= 15ω∴=()3sin 35f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭252k ππϕπ∴+=+，k Z ∈解得：3210k πϕπ=+，k Z ∈，又02πϕ≤≤ 310πϕ∴= ()133sin 510f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）由题意知：()13sin 510g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0131sin 5105h x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 函数xy e =与函数lg y x =均为单调增函数，且()11g x -≤≤，()01h x <≤∴当且仅当()13sin 1510g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭与()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++=⎪⎝⎭同时取得才有函数的最大值为e由()13sin 1510g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得：1321025x k πππ+=+，k Z ∈ 又()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++=⎪⎝⎭ 01cos 15ϕ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭010k ϕπ∴=，k Z ∈又00ϕ> 0ϕ∴的最小值为10π（3）m 满足2223040m m m ⎧-++≥⎨-+≥⎩，解得：12m -≤≤ ()2223144m m m -+=--++≤ 02∴≤≤同理02≤≤15ω=，310πϕ=323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎣∴⎥⎦，323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦由（1）知函数在[]4,ππ-上递增若有()()sinsin A A ϕϕ>>，即12m >成立即可∴存在1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()()sin sin A A ϕϕ>成立【点睛】本题考查三角函数与函数部分知识的综合应用问题，涉及到根据函数性质求解函数解析式、三角函数的平移和伸缩变换、根据函数最值求解参数值、利用单调性求解函数不等式的问题；本题综合性较强，属于较难题.18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1) 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H (t )=A sin(ωt +φ)+B 其中A >0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H (t )；(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值. 【答案】(1)()40cos 50(030)15H t t t π=-+≤≤;(2)答案见解析;(3)h 的最大值为40米【分析】(1)设()sin()H t A t B ωϕ=++,根据最高点和最低点可得A 与B ,由周期求ϕ值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t ;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h 关于t 的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值. 【详解】(1)由题意可设()sin()(0,0,0)H t A t B A B ωϕω=++>>≥,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩,得40,50A B ==. 又函数周期为30,23015ππω==, ()40sin()5015H t t πϕ=++(030t ≤≤),又0t =时,()10H t =,所以1040sin(0)5015πϕ=⨯++,即sin 1ϕ=-,ϕ可取2π-, 所以()40sin()5040cos 50(030)15215H t t t t πππ=-+=-+≤≤ (2) ()40cos 503015H t t π=-+=,1cos 152t π=解得5t =,所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米;(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,游客甲,乙中间相隔5个座舱, 则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了t (530t ≤≤)分钟,则游客乙在摩天轮上坐了5t -分钟,所以高度差为: 40cos 50[40cos(5)50]1515140[coscos(5)]40[cos cos ]151521521540cos()153h t t t t t t t ππππππππ=-+---+=---=--=-+ 当153t πππ+=即10t =时,h 取得最大值40.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答. 19．如图，一个角形海湾,2AOB AOB θ∠=（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =.（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用l θ，表示）；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．【答案】（1）21,0,42l S πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）224tan l S θ=；（3）应选择方案一．【分析】（1）设此扇形所在的圆的半径为r ，则2l r θ=⋅，可得2lr θ=．利用扇形面积计算公式可得1S ．（2）设OC x =，OD y =，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，可得：224l xy sin θ≤，即可得出．（3）由于12tan S S θθ=，令()tan f θθθ=-，求导，可得()f θ在(0,)2π上单调递增．即可得出结论．【详解】（1）设OP r =，则2l r θ=⋅，即2lr θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭．（2）设,OC a OD b ==．由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-，所以22cos2l ab ab θ≥-．所以22(1cos 2)l ab θ≤-，当且仅当a b =时等号成立．所以221sin 2sin 224(1cos 2)4tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=-，即224tan l S θ=．（3）221114(tan ),0,2S S l πθθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，令()tan f θθθ=-，则22sin sin ()1cos cos f θθθθθ''⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，所以()f θ在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．所以，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()(0)0f f θ>=，即21110S S ->，即12S S >．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．【点睛】本题考查扇形的面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查函数与方程思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，注意利用基本不等式求最值时，记得验证等号成立的条件． 20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =.（1）求C ；（2）若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠.求AM ．【答案】(1) 90C =；(2)2【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；（2）设=CAB MBD DMB θ∠=∠=∠，将三角形中其余角用θ表示出来，结合1CD =，表示边长，即可解出.【详解】（1）由(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =，得()222a b c ab +-=，即222+=a b c∴90C =；（2）令CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，则在AMB ∆中，902,180MBA BMA θθ∠=-∠=-由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅= 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ∠=∠=由正切定义：tan 2AC θ= 在ACB ∆中，90,ACB BAC θ∠=∠= 由正切定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==， ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅== 【点睛】此题考查正余弦定理在解三角形中的应用，其中不乏对平面几何知识中角的关系的考查，综合应用能力要求较高.。

2021年高考数学高考数学压轴题三角函数与解三角形多选题分类精编含解析

2021年高考数学高考数学压轴题三角函数与解三角形多选题分类精编含解析一、三角函数与解三角形多选题1．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（）A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确；对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-，解得3cos 5A ≥，故C 错误；对于D，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.2．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断；对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断；对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断；【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．3．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确；求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确；求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈，∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.4．已知函数()22sin cos f x x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的 B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点【答案】BCD 【分析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，再分析函数(),()g x h x 的图象得解）. 要根据已知条件灵活选择方程求解.5．下列结论正确的是（）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ．【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确；在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.6．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【分析】利用图象，把(代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin ϕ=sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误；故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.8．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()10αβ+=-，则（）A ．cos α=B ．sin cos 5αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos 5αβ=-【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α；根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=，由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()αβ+=所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误．故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.9．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确；对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确；对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.10．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到【答案】ABC【分析】首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.【详解】解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan 63πϕ==，故A 正确；对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确；对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.。

2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题5 三角函数与解三角形》(解析版)

3 ⎪专题 5 三角函数与解三角形1. 近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2. 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测 2021 年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020 届山东省高考模拟）若sin (75︒ +α)=2 ，则cos (30︒- 2α)= （）4A ．9 【答案】DB ．- 4C ． 5 99 D ． - 59【解析】令75︒ +α=θ，则α=θ- 75︒ 由sin (75︒ +α)=2 ，可得sin θ=233cos (30︒ - 2α) = cos ⎡⎣30︒ - 2 (θ- 75︒)⎤⎦ = cos (180︒ - 2θ) = - cos 2θ= -(1- 2 s in 2 θ)⎡ ⎛ 2 ⎫2⎤ 5 = - ⎢1- 2 ⨯ ⎥= - 故选 D ． 3 9 ⎣⎢⎝ ⎭ ⎥⎦ π πtan α= 1+ sin β2．（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设α∈(0,),β∈(0, ), 且 2 2cos β , 则（） A ．3α- β= π2B ．3α+ β= π2C ．2α- β= π2D ．2α+ β= π2【答案】C【解析】由已知得， tan α=sin α = 1 + sin β，去分母得， sin αcos β= cos α+ cos αsin β，所以 cos α cos βsin αcos β- cos αsin β= cos α, sin(α- β) = cos α=π sin( -α) ，又因为 2 π π- < α- β< ，2 2π π ππ< -α< ，所以α- β= -α，即 2α- β=，选C2 2 2 2 3．（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）直线l : 2x - y + e = 0 的倾斜角为α，则sin (π -α)sin ⎛ π +α⎫的值为（）2 ⎪A ．- 25【答案】D⎝ ⎭ B ．- 1 C ．1D ． 255 5【解析】由已知得tan α= 2 ，则sin (π -α)sin ⎛ π +α⎫= sin αcos α= sin αcos α = tan α = 2= 2.故选：D.2 ⎪ sin 2α+ cos 2 α tan 2 α+1 22 +1 5⎝ ⎭4．（2020·2020 届山东省烟台市高三模拟）刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2 的近似值为（）A.π90【答案】AB. π 180C.270 D.360【解析】由割圆术可知当 n 变得很大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为 r ,每个等腰三角形的顶角为360︒,所以每个等腰三角形的面积为 1 r 2sin360︒,n 2 n所以圆的面积为πr 2 = n ⋅ 1 r 2sin 360︒ ,即sin360︒ = 2π, 2 n n n 所以当n = 180 时,可得sin 360︒ = sin 2︒ = 2π = π,故选:A180 180 905．（2020·山东高三模拟）设函数 f (x ) = sin ⎛ωx + π⎫(ω> 0) ，若 f (x ) 在[0, 2π] 上有且仅有 5 个零点，⎝⎭⎢⎣ 5 10 ⎪5 10 ⎥⎦5 10 ⎪ ⎢⎥ 则ω的取值范围为（）A ． ⎡12 , 29 ⎫⎭ B ． ⎛ 12 , 29 ⎤⎝C ． ⎛ 12 , 29 ⎫⎝⎭ D ． ⎡12 , 29 ⎤⎣ 5 10 ⎦【答案】A【解析】当x Î [0, 2π] 时，ωx + π∈ ⎡π, 2πω+ π⎤，∵ f ( x ) 在[0, 2π]上有且仅有 5 个零点，5 ⎢⎣ 5 5 ⎥⎦ ∴ 5π≤ 2π 6π，∴ 12 ≤ ω< 29.故选:A.ωπ+ <55 10 6．（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4 .在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（） 415 A ．B ．158【答案】CC ．154D ．120【解析】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4 ，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角α= lr = 30 = 15（弧度），故选 C.8 47．（2020·山东高三下学期开学）函数 f ( x ) = cos 2 ⎛ x + π⎫ 的最小正周期为（）3 ⎪ ⎝ ⎭A ． πB ． 2πC ． πD ．π 4【答案】D2cos ⎛ 2x + 2π⎫ + 1【解析】因为 2 ⎛π⎫ 3 ⎪ 1 ⎛ 2π⎫ 1 ，所以最小正周期为π. f (x ) = cos x + ⎪ = ⎝ ⎭ =cos 2x + ⎪ + ⎝ 3 ⎭ 2 2 ⎝ 3 ⎭ 2故选：D8．（2020·山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）已知角α的终边经过点 P( sin 470 , cos 470 )，则 sin(α-130 )= A ．1 B ．322C. - 12D. - 32【答案】A【解析】由题意可得三角函数的定义可知：cos 47 sin 47 2 sin α= = cos 47 sin 2 47 + cos 2 47， cos α= = sin 47 sin 2 47 + cos 2 47，则： sin (α-13) = sin αcos13- cos αsin13= cos 47 cos13 - sin 47 sin13= cos (47 +13 ) = cos 60 = 1.本题选择 A 选项.9．（2020·山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）函数 f (x ) = 4 sin ⎛ωx +π⎫(ω> 0) 的最小正周期是3π，则 3 ⎪π 其图象向左平移 6 ⎝⎭个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）A. x =π4【答案】DB. x =π3 C. x =5π6D ．x = 19π12【解析】函数 f (x ) = 4 sin ⎛ωx + π⎫(ω> 0) 的最小正周期是3π，则函数 f (x ) = 4 sin ⎛ 2x + π⎫，经过平 3⎪ 3 3⎪⎝⎭ ⎝⎭移后得到函数解析式为 y = 4sin ⎡ 2 ⎛ x + π⎫ + π⎤ = 4sin ⎛ 2 x + 4π⎫ ，由 2 x + 4π = k π+ π(k ∈ Z ) ， ⎢ 3 6 ⎪ 3 ⎥ 3 9 ⎪3 9 2 ⎣ ⎝⎭ ⎦ ⎝ ⎭ 得 x = 3 k π+ π (k ∈ Z ) ，当 k = 1时， x = 19π.故选 D.2 12 1210．（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 45︒ ，沿点 A 向北偏东30︒ 前进 100 m 到达点 B ，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒ ，则“泉标”的高度为（） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A【解析】如图, CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意, CD ⊥ 平面 ABD , AB = 100 米, ∠BAD = 60︒ ，∠CAD = 45 ,∠CBD = 30︒2 ⎨)．在 CBD 中, BD =3h ,在 CAD 中, AD= h ,在△ABD 中, BD = 3h , AD = h ，, AB = 100 ， ∠BAD = 60︒ ,由余弦定理可得3h 2 = 10000 + h 2 - 2 ⨯100h cos 60 ︒∴(h - 50)(h +100) = 0 ，解得 h = 50 或 h = -100 (舍去),故选：B.二、多选题⎧ ⎪sin x ,x ≤ π 11．（2020 届山东省高考模拟）已知函数 f (x ) = ⎪ ⎪cos x , ⎩4 ，则下列结论正确的是（）x > π4A ． f (x ) 不是周期函数B ． f (x ) 奇函数C ． f (x ) 的图象关于直线 x = π对称D ． f (x ) 在x = 5π处取得最大值42【答案】AC【解析】作出函数 f (x ) 的图象如图：则由图象知函数 f (x ) 不是周期函数，故 A 正确；不是奇函数，故 B 错误，若 x > 0 ， π f ( + x ) = π cos( + x ) = π cos cos x π - sin sin x =2 (cos x - sin x ) ， 4 4 4 4 2π f ( - x ) = π sin( - x ) = πsin cos x π - cos sin x = 2(cos x - sin x ) ， 4 4 4 4 2π π x 0π π π π 2此时 f ( + x ) = f ( - x ) ，若， f ( + x ) = sin( + x ) = sin cos x + cos sin x = (cos x + sin x ) ，4 4π π π π4 4 4 4 2 π π f ( - x ) = cos( - x ) = cos cos x + sin sin x = (cos x + sin x ) ，此时 f ( + x ) = f ( - x ) ， 4 4 4 4 2 4 4π π π综上恒有 f ( + x ) = f ( - x ) ，即图象关于直线 x = 对称，故C 正确，444f (x ) 在 x =5π处 f (x ) = f (5π= cos 5π= 0 不是最大值，故 D 错误，故选：A C ． 22 255 =12．（2020 届山东省烟台市高三模拟）在 ABC 中，D 在线段 AB 上，且 AD = 5, BD = 3 若 CB = 2CD , c os ∠CDB =- 5 ，则（）5A. sin ∠CDB = 310B. ABC 的面积为 8C. ABC 的周长为8 + 4 D ． ABC 为钝角三角形【答案】BCD【解析】因为cos ∠CDB = -5,所以sin ∠CDB = 5=2 5 ,故 A 错误；5设CD = a ,则 BC = 2a ,在 BCD 中, BC 2 = CD 2 + BD 2 - 2BC ⋅ C D ⋅ cos ∠CDB ,解得 a = ,所以S= 1 BD ⋅ C D ⋅sin ∠CDB = 1 ⨯ 3⨯ 5 ⨯ 2 5 = 3 ,所以 S = 3 + 5 S = 8 ,故 B 正确； DBC 2 2 5ABC 3 D BC因为∠ADC = π- ∠CDB ,所以cos ∠ADC = cos (π- ∠CDB ) = - cos ∠CDB = 5 ,5在 ADC 中, AC 2 = AD 2 + CD 2 - 2 AD ⋅ DC ⋅ cos ∠ADC ,解得 AC = 2 5 , 所以C ABC = AB + AC + BC = (3+ 5)+ 2 5 + 2 5 = 8+ 4 BC 2 + AC 2 - AB 23因为 AB 8 为最大边,所以cos C = = - <,故 C 正确；0 ,即∠C 为钝角,所以 ABC 为钝角三角形,2BC ⋅ AC5故 D 正确.故选:BCD13．（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知函数 f (x ) = 2sin (2x +ϕ)(0 <ϕ<π) ，若将函数 f ( x ) 的图象向右平移 π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( )6 A ．ϕ=5π B ． ⎛ π , 0 ⎫是 f ( x ) 图象的一个对称中心 612 ⎪⎝ ⎭1- cos 2 ∠CDB 53 3C ． f (ϕ) = -2 【答案】ABDD ． x = -π是 f ( x ) 图象的一条对称轴6【解析】由题意， f ( x ) = 2sin (2x +ϕ) 向右平移 π，得 y =⎡ ⎛ - π⎫ ⎤ 2 s in ⎛ 2x +ϕ- π⎫ 62 s in ⎢2 x 6 ⎪ +ϕ⎥ =3 ⎪ ⎣ ⎝⎭ ⎦ ⎝ ⎭y = 2 sin ⎛ 2x +ϕ- π⎫ 的图象关于 y 轴对称，所以ϕ- π = k π+ π， k ∈ Z 3 ⎪ 3 2⎝ ⎭ ∴ϕ= k π+ 5π k ∈ Z ，又0 < ϕ< π,∴ k = 0，ϕ= 5π，6 6即 f (x ) = 2 s in ⎛ 2x + 5π⎫ ,∴ f ⎛ π ⎫ = 0，f ⎛ -π⎫ = 2，f ⎛ 5π⎫= 2 6 ⎪ 12 ⎪ 6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭则⎛ π , 0 ⎫是 f ( x ) 图象的一个对称中心， x = -π 是 f ( x ) 图象的一条对称轴12 ⎪ 6 ⎝ ⎭ 而 f (ϕ) = 2 ，则 C 错，A,B,D 正确,故选：ABD14．（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量 m = (sin x ，- f (x ) = 2m ⋅ n + +1，下列命题，说法正确的选项是（） A ．f ⎛ π - x ⎫= 2 - f (x )3 ), n = (cos x , cos 2 x )，函数6 ⎪ ⎝ ⎭ B ． f ⎛π - x ⎫的图像关于 x = π对称6 ⎪ 4⎝ ⎭ C ．若0 < x < x < π，则 f (x ) < f (x )1 22 1 2D ．若 x , x , x ∈ ⎡π , π⎤ ，则 f (x ) + f (x ) > f (x )1 2 3 ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦1 2 3【答案】BD【解析】函数 f ( x ) = 2sin ⎛2x -π⎫+1 ，3 ⎪ ⎝⎭A ：当 x = 0 时， f⎛π- x ⎫ = f ⎛ π⎫= 1 ， 2 - f ( x ) = 2 - f (0 ) = 1+ ，故 A 错；6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭3 ⎝ ⎭ 3 2 ⎝ ⎭3 2 B ： f⎛ π- x ⎫= 2sin (-2x ) +1，当 x = π时，对应的函数值取得最小值为-1，所以 B 正确； 6 ⎪ 4⎝ ⎭C ：x ∈⎛ 0,π⎫ 时，2x - π ∈⎛ - π, 2π⎫ ，所以函数 f ( x ) = 2sin ⎛ 2x - π⎫ +1 在⎛ 0,π⎫ 不单调，故 C 错； 2 ⎪ 3 3 3 ⎪3 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭D ：因为x ∈ ⎡π,π⎤，所以2x - π ∈ ⎡π, 2π⎤，∴ f ( x )∈ ⎡+1, 3⎤ ， ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦3 ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦⎣ ⎦又2( +1) > 3 ，即 2 f ( x )> f ( x ) x , x , x ∈ ⎡π,π⎤，f ( x ) + f ( x ) > f ( x ) 恒成立，故 D 对；min max 1 2 3⎢⎣ 3 2 ⎥⎦1 23故选：BD.15．（2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）要得到 y = cos 2x 的图象C ,只要将y = sin ⎛2x + π⎫图象C1 3 ⎪2⎝⎭怎样变化得到()y = ⎛π⎫ πA. 将 sin 2x + 3 ⎪ 的图象C 2 沿 x 轴方向向左平移12 个单位y = ⎛ π⎫11πB. 将 sin 2x + ⎪ 的图象C 沿x 轴方向向右平移 ⎝ ⎭12 个单位 C. 先作C 关于 x 轴对称图象C ,再将图象C 沿 x 轴方向向右平移 5π个单位23 3 12 D.先作C 关于 x 轴对称图象C ,再将图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个单位2【答案】ABC3 312y = ⎛π⎫ π【解析】对于 A ，将 sin 2x + 3 ⎪ 图象C 2 沿 x 轴方向向左平移12 个单位，可得y = sin ⎡2⎛ x + π ⎫ + π⎤ = sin ⎛2x + π⎫ = cos 2x 的图象C ，故选项 A 正确；⎢ 12 ⎪ 3 ⎥ 2 ⎪1 ⎣ ⎝ ⎭ ⎦ ⎝ ⎭y = ⎛ π⎫11π对于 B ，将 sin 2x + ⎪ 的图象C 沿x 轴方向向右平移 ⎝⎭ 12 个单位也可得到，y = ⎡ ⎛11π⎫ π⎤⎛ 3π⎫ sin ⎢2 x - 12 ⎪ + 3 ⎥ = sin 2x - 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 B 正确； ⎣ ⎝ ⎭ ⎦ ⎝ ⎭3⎢⎥ 对于 C ，先作C 关于 x 轴对称，得到 y = -sin ⎛2x + π⎫ 的图象C ，再将图象C 沿 x 轴方向向右平移 5π个2 3 ⎪ 3 3 12⎝ ⎭y = - ⎡ ⎛5π⎫ π⎤ ⎛ π⎫单位，得到 sin ⎢2 x - 12 ⎪ + 3 ⎥ = -sin 2x - 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 C 正确；⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭对于 D ，先作C 关于 x 轴对称，得到 y = -sin ⎛ 2x + π⎫ 的图象C ，再将图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个 2 3 ⎪ 3 3 12 ⎝ ⎭y = - ⎡ ⎛π ⎫ π⎤ ⎛ π⎫单位，得到的 sin ⎢2 x + 12 ⎪ + 3 ⎥ = -sin 2x + 2 ⎪ = - cos 2x 图象，故选项 D 不正确．故选：ABC ．⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭16（．2020 届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数 f ( x ) = sin (3x +ϕ)⎛ -π < ϕ< π⎫ 的图象关于直线 x = π 2 2⎪ 4⎝⎭对称，则（）A. 函数 f ⎛x +π ⎫为奇函数12 ⎪ ⎝⎭B. 函数 f( x ) 在⎡ π ,π⎤上单调递增⎣12 3 ⎦C. 若 f( x ) - f ( x ) = 2 ，则 x - xπ 的最小值为 12123D. 函数 f( x ) 的图象向右平移π个单位长度得到函数 y = -cos 3x 的图象4【答案】AC【解析】因为直线 x = π是 f ( x ) = sin (3x +ϕ)⎛ -π< ϕ< π⎫的对称轴, 4 2 2 ⎪ ⎝ ⎭3 π ππ所以⨯ +ϕ= + k π(k ∈ Z ) ,则ϕ= -+ k π(k ∈ Z ) ,424 当k = 0 时,ϕ= - π,则 f ( x ) = sin ⎛3x - π⎫ ,44 ⎪ ⎝ ⎭对于选项 A, f ⎛ x +π ⎫ = sin ⎡3⎛ x + π ⎫ - π⎤ = sin 3x ,因为sin (-3x ) = -sin 3x ,所以 f ⎛x + π ⎫ 为奇函 12 ⎪ ⎢ 12 ⎪ 4 ⎥12 ⎪ ⎝ ⎭ ⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭数,故 A 正确；π π ππ2k12k对于选项 B, - + 2k π< 3x -< + 2k π(k ∈ Z ) ,即- + π< x < π+ π(k ∈ Z ) ,当 k = 024 2 12 3 4 3时, f ( x ) 在⎡- π ,π⎤当单调递增,故 B 错误；⎢⎣ 12 4 ⎥⎦对于选项 C,若 f ( x ) - f ( x ) = 2 ,则 x - x 最小为半个周期,即2π⨯ 1 = π,故 C 正确；1 2 1 23 2 3f x π ⎡ ⎛ π⎫ π⎤ 对于选项D,函数 ( ) 的图象向右平移 4 个单位长度,即sin ⎢3 x - 4 ⎪ - 4 ⎥ = sin (3x - π) = -sin 3x ,故D ⎣ ⎝ ⎭ ⎦错误故选：AC17．（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数 f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）的图象关于直线 x = π对称 2πB ．f （x ）的周期为2C ．（π，0）是 f （x ）的一个对称中心⎡π π⎤D ．f （x ）在区间⎢ ， ⎥ 上单调递增⎣ 4 2 ⎦【答案】AB【解析】因为函数 f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx | = 1|sin 2x |，画出函数图象，如图所示；2由图可知，f （x ）的对称轴是 x =k π，k ∈Z ；所以 x = π是 f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；42πf （x ）的最小正周期是1，所以 B 正确；f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误；2⎡ π π ⎤ 由图可知，f （x ） = 2|sin 2x |在区间⎢ ， ⎥ 上是单调减函数，D 错误.故选：AB. ⎣ 4 2 ⎦18．（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数 f (x ) =3 cos ⎛ 2x + π⎫ -1的图象向左平移π3 ⎪ 3 ⎝ ⎭个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g ( x ) 的图象，则下列关于函数 g ( x ) 的说法正确的是（）3A. 最大值为，图象关于直线 x = π对称12B. 图象关于 y 轴对称C. 最小正周期为πD.图象关于点⎛π, 0 ⎫对称4 ⎪ ⎝ ⎭【答案】BCD【解析】将函数 f ( x ) =3 cos ⎛ 2x + π⎫ -1的图象向左平移π个单位长度， 3 ⎪3y = ⎡ ⎛⎝ ⎭π⎫ π⎤得到3 cos ⎢2 x + 3 ⎪ + 3 ⎥ -1 = 3 cos (2x + π)-1 = - 3 cos 2x -1 的图象；⎣ ⎝ ⎭⎦再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g ( x ) = - 3 cos 2x 的图象，对于函数 g ( x ) ，它的最大值为，由于当 x = π时， g ( x ) = - 3，不是最值，故 g (x ) 的图象不关于直线 x = π对称，故 A 错误； 12212由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y 轴对称，故 B 正确；它的最小正周期为2π= π，故 C 正确；2当 x = π时， g ( x ) = 0 ，故函数 g ( x ) 的图象关于点⎛ π, 0 ⎫对称，故 D 正确.故选：BCD44 ⎪⎝ ⎭19．（2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数 f (x ) = sin 2x - 2sin 2 x + 1 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）.A ．函数 f (x ) 的最小正周期是2πf (x ) ⎡π 5π⎤ B. 函数在区间⎢ , ⎥ 上是减函数⎣ 8 8 ⎦C. 函数 f (x ) 的图象关于直线 x = π对称:8D. 函数 f (x ) 的图象可由函数 y =【答案】BCπ2 sin 2x 的图象向左平移 4个单位得到【解析】 f (x ) = sin 2x - 2 s in 2x +1 = sin 2x + cos 2x = 2 sin ⎛ 2x +π⎫4 ⎪ ⎝⎭38 ⎪ ⎝ ⎭ 3 2 3 2 A 选项，因为ω= 2 ，则 f ( x ) 的最小正周期T =π，结论错误； B 选项，当 x ∈⎡π, 5π⎤ 时， 2x + π∈ ⎡π, 3π⎤ ，则 f ( x ) 在区间⎡π, 5π⎤上是减函数，结论正确； ⎢⎣ 8 8 ⎥⎦4 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 8 8 ⎥⎦C 选项，因为 f⎛ π⎫= ⎝ ⎭为 f ( x )的最大值，则 f ( x ) 的图象关于直线 x = π对称，结论正确； 8D 选项，设 g (x ) = 2sin 2x ，则g ⎛ x + π⎫= 2sin 2 ⎛ x + π⎫=2sin ⎛2x + π⎫ =2cos 2x ≠ f ( x )，结论错误． 4 ⎪ 4 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭故选：BC ．20．（2020 届山东省青岛市高三上期末）要得到 y = cos 2x 的图象C ,只要将y = sin ⎛2x + π⎫图象C 怎样 1 3 ⎪2⎝⎭变化得到()y = ⎛π⎫ πA. 将 sin 2x + 3 ⎪ 的图象C 2 沿 x 轴方向向左平移12 个单位y = ⎛ π⎫11πB. 将 sin 2x + ⎪ 的图象C 沿x 轴方向向右平移 ⎝ ⎭12 个单位 C. 先作C 关于 x 轴对称图象C ,再将图象C 沿 x 轴方向向右平移 5π个单位23 3 12 D.先作C 关于 x 轴对称图象C ,再将图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个单位2 3 312【答案】ABC【解析】对于 A ，将 y = sin ⎛ 2x + π⎫ 图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个单位，可得 3 ⎪ 212y = ⎡ ⎛π ⎫ π⎤ ⎝⎭⎛ π⎫ sin ⎢2 x + 12 ⎪ + 3 ⎥ = sin 2x + 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 A 正确；⎣ ⎝ ⎭ ⎦y = ⎛ ⎝ ⎭ π⎫ C11π对于 B ，将 sin 2x + ⎪ 的图象沿 x 轴方向向右平移⎝ ⎭12 个单位也可得到，y = ⎡ ⎛11π⎫ π⎤⎛ 3π⎫ sin ⎢2 x - 12 ⎪ + 3 ⎥ = sin 2x - 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 B 正确；⎣ ⎝ ⎭ ⎦ ⎝ ⎭26 对于 C ，先作C 关于 x 轴对称，得到 y = -sin ⎛2x + π⎫ 的图象C ，再将图象C 沿 x 轴方向向右平移 5π个2 3 ⎪ 3 3 12⎝ ⎭y = - ⎡ ⎛5π⎫ π⎤ ⎛ π⎫单位，得到 sin ⎢2 x - 12 ⎪ + 3 ⎥ = -sin 2x - 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 C 正确；⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭对于 D ，先作C 关于 x 轴对称，得到 y = -sin ⎛ 2x + π⎫ 的图象C ，再将图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个 2 3 ⎪ 3 3 12 ⎝ ⎭y = - ⎡ ⎛π ⎫ π⎤ ⎛ π⎫单位，得到的 sin ⎢2 x + 12 ⎪ + 3 ⎥ = -sin 2x + 2 ⎪ = - cos 2x 图象，故选项 D 不正确．故选： ABC ．⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭ 21．（2020·山东曲阜一中高三 3 月月考）已知函数 f ( x ) = 2sin (2x +ϕ)(0 <ϕ<π) ，若将函数 f ( x ) 的图象向右平移 π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( )6 A ．ϕ=5π B ． ⎛ π , 0 ⎫是 f (x ) 图象的一个对称中心 612 ⎪C ． f (ϕ) = -2 【答案】ABD⎝ ⎭D ． x = -π是 f ( x ) 图象的一条对称轴6πy =⎡ ⎛ π⎫ ⎤ ⎛ π⎫ 【解析】由题意， f ( x ) = 2sin (2x +ϕ) 向右平移 6 ，得2 s in ⎢2 x - 6 ⎪ +ϕ⎥ = 2 s in 2x +ϕ-3 ⎪ ⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭y = 2 sin ⎛ 2x +ϕ- π⎫ 的图象关于 y 轴对称，所以ϕ- π = k π+ π， k ∈ Z 3 ⎪ 3 2⎝ ⎭∴ϕ= k π+ 5π k ∈ Z ，又0 < ϕ< π∴ k = 0，ϕ= 5π ,即 f ( x ) = 2 s in ⎛2x + 5π⎫ ，⎪ 6 6 ⎝⎭ ∴ f ⎛ π ⎫ = 0，f ⎛ -π⎫ = 2，f ⎛ 5π⎫= 2 12 ⎪6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭则⎛ π , 0 ⎫ 是 f ( x ) 图象的一个对称中心， x = -π是 f ( x ) 图象的一条对称轴12 ⎪ 6⎝ ⎭而 f (ϕ) = 2 ，则 C 错，A,B,D 正确,故选：ABD22．（2020 届山东省泰安市肥城市一模）设函数 f (x ) = sin ⎛2x +π⎫+ cos ⎛2x + π⎫ ，则 f (x ) ( )4 ⎪ 4 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭2 A ．是偶函数B ．在⎛ 0,π⎫ 单调递减2 ⎪ ⎝ ⎭C ．最大值为 2D ．其图像关于直线x = π对称 2【答案】ABD【解析】 f (x ) = sin ⎛2x +π⎫+ cos ⎛2x + π⎫ =2 sin ⎛2x + π+ π⎫ =2 cos 2x .4 ⎪ 4 ⎪ 4 4 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭选项 A ： f (-x ) = 2 cos(-2x ) = 2 cos(2x ) = f (x ) ，它是偶函数，本说法正确；选项 B ： x ∈⎛ 0,π⎫，所以2x ∈(0,π)，因此 f (x ) 是单调递减，本说法正确；2 ⎪ ⎝ ⎭选项 C ： f (x ) = 2 cos 2x 的最大值为，本说法不正确；选项 D ：当x = π时，f (x ) =2 cos 2 π⨯ = - ，因此当 x = π时，函数有最小值，因此函数图象关于 x = π222 2 对称，本说法正确.故选：ABD23．（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）关于函数 f (x ) = 3sin ⎛2x - π⎫+1(x ∈ R ) ，下列命题正3 ⎪ ⎝⎭确的是（）A. 由 f( x 1 ) = f ( x 2 ) = 1 可得 x 1 - x 2 是π的整数倍B.y = f (x ) 的表达式可改写成 f (x ) = 3cos ⎛2x -5π⎫ +16 ⎪ C. y = ⎝ ⎭f (x ) 的图象关于点⎛ 3π,1⎫对称4 ⎪D.y =⎝ ⎭f (x ) 的图象关于直线 x = - π对称 12【答案】BD【解析】函数 f (x ) = 3sin ⎛ 2x -π⎫+1(x ∈ R ) ，周期T =2π=π， 3 ⎪ 2⎝⎭对于 A ：当 x = π ， x =2π时，满足 f (x ) = f ( x ) = 1 ，但是不满足 x - x是π的整数倍，故 A 错误；16231212对于 B ：由诱导公式， 3sin ⎛ 2 x - π⎫ +1 = 3cos ⎡π-⎛ 2 x - π⎫⎤ +1 = 3cos ⎛2 x - 5π⎫ +1 ，故 B 正确；3 ⎪ ⎢ 2 3 ⎪ ⎥ 6⎪ ⎝ ⎭ ⎣ ⎝⎭⎦ ⎝ ⎭ 22 对于 C ：令 x = 3π，可得 f ⎛ 3π⎫ = 3sin ⎛ 2 ⨯ 3π- π⎫ +1 = 3⨯⎛ - 1 ⎫ -1 = - 5 ，故 C 错误； 4 4 ⎪ 43 ⎪ 2⎪ 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭对于 D ：当 x = - π时，可得 f ⎛ - π ⎫ = 3sin ⎛ - π- π⎫+1 = -1⨯ 3 +1 = -2 ， f ( x )的图象关于直线12 12 ⎪ 6 3 ⎪x = - π对称；故选：BD .12三、填空题⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 24．（2020·2020 届山东省淄博市高三二模）在∆ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c .若 b sin A = a sin C ， c = 1，则b = ， ∆ABC 面积的最大值为 .1【答案】12【解析】因为b sin A = a sin C ，所以由正弦定理可得ba = ac ，所以b = c = 1;所以S∆ABC= 1 bcsinA = 1 sinA ≤ 1 ，当 sinA = 1，即 A = 90︒ 时，三角形面积最大. 2 2 21故答案为(1). 1 (2).225．（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）已知函数 f (x ) =2 sin ωx , g (x ) = 2 cos ωx ，其中ω> 0 ，A ,B ,C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当ω= 1 时，∆ABC 面积的最小值为；②若存在∆ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为.π【答案】 2π2【解析】函数 f (x ) = 2 sin ωx , g (x ) = 2 cos ωx ，其中ω> 0 ， A , B , C 是这两个函数图象的交点，当ω= 1 时， f (x ) = 2 sin ωx , g (x ) = 2 cos ωx ．所以函数的交点间的距离为一个周期 2π，高为2 ⋅2 +2 ⋅ = 2 ．22所以：S ＝1⋅ 2π⋅ (1+1)＝2π．如图所示： ∆ABC2ω⎪ ①当ω= 1 时， ∆ABC 面积的最小值为2π；②若存在∆ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，2π⎛ 2 2 ⎫ ωπ π 则＝2 ⋅ ⎝ 2 ⋅ + 2 2 ⋅ ，解得 2 ⎭ 的最小值为．故答案为： 2π，． 2 2 26．（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）定义在 R 上的偶函数 f （x ）满足 f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且 f （0）＝0，当 x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程（f x ）= 1 sin πx 在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为 3ea ， 2 2e将函数g （x ）= 3sin 2πx +1的图象向右平移 a 个单位长度，得到函数 h （x ）的图象，，则 h （7）＝.4【答案】3 3 +10 4【解析】因为 f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以 f （x ）关于 x ＝e 对称，又因为偶函数 f （x ），所以 f （x ）的周期为 2e .当 x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数 f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示，方程 f (x ) = 1 sin π x 的实数根是函数 y ＝f （x ）与函数 y = 1 sin πx 的交点的横坐标，2 2e2 2e由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有 4 个交点，且 4 个交点的横坐标之和为 4e ，所以 4e ＝3ea ，故 a = 4，因为 g (x ) = 3sin2πx +1 = - 3 cos π x + 5，3 4 2 2 2h (x ) = - 3 π4 5 3π 2π 5 3 2π 5 3 3 +10 所以cos (x - ) + = - cos ( x - 2 2 3 2 2 2 3 ) + 2 ，故 h (7) = 2 sin 3 + 2 = 4 .故答案为：3 3 +10 .4四、解答题27．（2020·山东高三模拟）在 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知c = 4， sin C = 2 5 .2 5219 19 ê a + c - b （1）若 a = 1 ，求sin A ；（2）求 ABC 的面积 S 的最大值.【答案】（1） sin A =2 ；（2）410【解析】（1）∵ cos C = 1 - 2sin2C= - 3，∴ sin C = 4 ，由正弦定理a sin A= c sin C 2 55 得sin A = a sin C = 2 .c 10（2）由（1）知cos C = - 3 ， c 2 = b 2 + a 2 - 2b ⋅ a ⋅ cos C = b 2 + a 2 + 6 ba ≥ 2ab + 6 ba = 16 ba ， 5 5 5 5所以32 ≥ 16 ba ，10 ≥ ba ， S = 1 ba sin C ≤ 1 ⨯10 ⨯ 4= 4 ，5 2 2 5当且仅当 a = b 时， ABC 的面积 S 有最大值 4.28．（2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数 f (x ) =（1）求 f (x ) 的单调递增区间；cos 2x - sin 2x +1 , x Î (0,p ) ．2（2）设 ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a =，角B 所对边b = 5 ，若 f ( A ) = 0 ，求 ABC 的面积．轹p【答案】（1） ê ë2 ,p ；（2） ø 4【解析】（1）依题意 f (x ) = cos 2x - sin 2x + 1 = cos 2x +1(x Î (0, π))，由 2k π - π ≤ 2x ≤ 2k π 得22k π - π ≤ x ≤ k π ，令 k = 1得 π≤ x ≤ π .所以 f (x ) 的单调递增区间轹p ,p .2 2 êë2 ø（2）由于 a < b ，所以 A 为锐角，即0 < A < π , 0 < 2 A < π .由 f ( A ) = 0 ，得cos 2 A + 1 = 0, cos 2 A = - 1，2 2 2所以 2 A = 2π , A = π.3 3由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc ⋅ cos A ， c 2 - 5c + 6 = 0 ，解得c = 2 或c = 3.2 22当c = 2 时， cos B == - < 0 ，则B 为钝角，与已知三角形 ABC 为锐角三角形矛盾.所以c = 3.2ac3815 3c 2 + a 2 -16S 3 142 +102 - 16⨯ 42 32 3 ( 所以三角形 ABC 的面积为 1 bc sin A = 1⨯ 5⨯ 3⨯ 3 = 15 3 .222429．（2020 届山东省高考模拟）在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，设 ABC 的面积为 S ， 3c 2 =16S + 3(b 2 -a 2 ). （1）求tan B 的值；（2）若 S = 42 ， a = 10 ，求b 的值．3【答案】（1） 4；（2） b = 6 2【解析】（1）在 ABC 中，由三角形面积公式得， S = 1ac sin B ，2由余弦定理得， cos B =c 2 + a 2 - b 2 2ac， 3c 2 = 16S + 3(b 2 - a 2)， ∴3 2 2 2 3(c 2 + a 2 - b 2) 3 S = c + a 16 - b )，整理可得sin B = = 8ac cos B ，4又 B ∈(0,π) ，∴ sin B > 0 ，故cos B > 0 ，∴ tan B = sin B = 3.cos B 4（2）由（1）得tan B = 3 ， B ∈(0,π) ,∴ sin B = 3，4 5S = 42 ， a = 10 ，∴ S = 1 ac sin B = 1 ⨯10c ⋅ 3= 3c = 42 ，解得c = 14 ，2 2 53c 2 =16S + 3(b 2 -a 2 )，∴ b = = = 6 .30．（2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）在① 3(b cos C - a ) = c sin B ；② 2a + c = 2b cos C ；③b sin A = 3a sin A + C 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在∆ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足，b = 2 3, a + c = 4 ，求∆ABC的面积.【答案】横线处任填一个都可以，面积为．【解析】在横线上填写“ 3(b cos C - a ) = c sin B ”.解：由正弦定理，得 3(sin B cos C - sin A ) = sin C sin B .3 3 由sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + cos B sin C ，得- 3 cos B sin C = sin C sin B .由0 < C < π，得sin C ≠ 0 .所以-3 cos B = sin B .又cos B ≠ 0 （若cos B = 0 ，则sin B = 0, sin 2 B + cos 2 B = 0 这与sin 2 B + cos 2 B = 1 矛盾），所以tan B = - .又0 < B <π，得B = 2π.由余弦定理及b = 2 3 ，3得(2 3)2= a 2+ c 2- 2ac cos2π，即12 = (a + c )2 - ac .将 a + c = 4 代入，解得 ac = 4 .3所以S = 1ac sin B = 1 ⨯ 4 ⨯ 3 = 3 .在横线上填写“ 2a + c = 2b cos C ”. △ABC 2 2 2解：由2a + c = 2b cos C 及正弦定理，得 2sin A + +sin C = 2sin B cos C . 又sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + cos B sin C ，所以有 2 cos B sin C + sin C = 0 . 因为C ∈ (0,π) ，所以sin C ≠ 0 .从而有cos B = - 1.又 B ∈(0,π) ，2所以 B = 2π由余弦定理及b = 2 3 ，得(2 3)2 = a 2 + c 2- 2ac cos 2π3 3即12 = (a + c )2- ac .将 a + c = 4 代入，解得 ac = 4 .所以 S= 1 ac sin B = 1 ⨯ 4 ⨯ 3= .在横线上填写“ b sin A =3a sinA + C ”2ABC2 2 2解：由正弦定理，得sin B sin A = 3 sin A sinπ- B.由0 < A <π，得sin A ≠θ，2所以sin B = 3 cos B 由二倍角公式，得2 s in B cos B =3 cos B. 2 2 2 2由0 < B < π ，得cos B ≠ 0 ，所以sin B = 3.所以 B = π，即B = 2π . 2 2 2 2 22 3 3 由余弦定理及b = 2 3 ，得(2 3)2 = a 2 + c 2- 2ac cos 2π.3即12 = (a + c )2 - ac .将 a + c = 4 代入，解得 ac = 4 .所以 S= 1ac sin B = 1 ⨯ 4 ⨯ 3= 3 . △ABC 2 2 231．（2020·山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）在①3c 2= 16S + 3(b 2 - a 2)；② 5b cos C + 4c = 5a ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 ABC 的面积为 S ，已知．（1）求tan B 的值；1- cos 2 B 22（2）若 S = 42, a = 10 ，求 b 的值．3【答案】（1） 4；（2） 6 2 ；【解析】（1）选择条件①．3c 2= 16S + 3(b 2 - a 2)，所以3c2= 16 ⨯ 1ac sin B + 3(b 2 - a 2 ) ，整理得：8ac sin B = 3(a 2 + c 2 -b 2)．即 4sin B a 2 + c 2 - b 2= 3⋅ .整理可得3cos B = 4sin B ，2ac又sin B > 0 ．所以cos B > 0 ，所以tan B =sin B = 3.选择条件②．因为5b cos C + 4c = 5a ， cos B 4由正弦定理得， 5sin B cos C + 4sin C = 5sin A ， 5sin B cos C + 4 sin C = 5sin(B + C ) ，即sin C (4 - 5 cos B ) = 0 ，在 ABC 中， sin C ≠ 0 ，所以cos B = 4 ，sin B = = 3 ，所以tan B = 3. 5 5 4 （2）由tan B = 3 ，得sin B = 3，又 S = 42, a = 10 ，4 5则 S = 1 acsin B = 1 ⨯10c ⨯ 3= 42 ，解得c = 14 .2 2 5将 S = 42, a = 10, c = 14 代入6c 2= 16S + 3(62 + c 2 - a2) 中，得6 ⨯142 = 16 ⨯ 42 + 3(b 2 +142 -102)，解得b = 6 2 ．32．（2020 届山东省泰安市肥城市一模）已知函数 f (x ) = cos 4 x - 2 s in x cos x - sin 4 x（1）求 f ( x ) 的单调递增区间；（2）求 f( x ) 在⎡0,π⎤上的最小值及取最小值时的 x 的集合.⎣⎢ 2 ⎥⎦【答案】（1） ⎡- 5π+ k π, - π+ k π⎤ (k ∈ Z ) ；（2）最小值为，x 的集合为⎧3π⎫. ⎢ 8 8 ⎥ - ⎨ 8 ⎬ ⎣ ⎦⎩ ⎭【解析】（1 f ( x ) = cos 4x - 2 sin x cos x - sin 4x = (cos 2x - sin 2x)(cos2x + sin 2 x ) - 2 s in x cos x= cos 2x - sin 2x - 2 sin x cos x = cos 2x - sin 2x = -2 sin ⎛2x - π⎫ ，4 ⎪ ⎝ ⎭解不等式- 3π+ 2k π≤ 2x - π ≤ - π+ 2k π(k ∈ Z ) ，2 4 2222 2 2 1- 8 9 2 2 23 b + c - a得-5π+ k π≤ x ≤ - π+ k π(k ∈ Z ) ， 8 8因此，函数 y = f (x ) 的单调递增区间为⎡- 5π+ k π, - π+ k π⎤(k ∈ Z ) ；x ∈ ⎡0,π⎤⎢⎣ 8 8⎥⎦ π π 3π（2）⎣⎢ 2 ⎥⎦，∴- 4 ≤ 2x - 4 ≤ 4 ，当2x - π = π 时，即当 x = 3π时，函数 y = f ( x ) 取得最小值- .42 8因此，函数 y = f (x ) 的最小值为，对应的 x 的集合为⎧3π⎫. - ⎨ 8 ⎬ ⎩ ⎭33．（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）在∆ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2 + 3c 2 - 4 2bc = 3a 2 .（1）求sin A ；（2）若3c sin A =2a sin B ， ∆ABC 的面积为，求∆ABC 的周长【答案】（1） sin A = 1 ；（2） 2 + 3 + 3【解析】（1）因为3b 2 + 3c 2 - 4 2bc = 3a 2 ，所以b 2 + c 2 - a 2 =bc ，222所以cos A = =，从而sin A = = = 1 . 2bc（2）因为3c sin A = 32a sin B ，所以3ac =32ab ，即b =3c.21 1 3c2 1因为∆ABC 的面积为解得c = 2 .，所以 bc sin A = ，即 2 ⨯⨯ = ，所以c 2 = 4 ， 2 334．（2020 届山东省淄博市高三二模）已知∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，满足3 sin A + cos A = 0 .有三个条件：① a = 1；② b = ；③ S ∆ABC =3 .其中三个条件中仅有两个正确，4请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求c ；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求∆ABD 的面积.2 64 231- cos 2 A 23 3 3 3 【答案】（1）1；（2）3.12【解析】（1）因为 3 sin A + cos A = 0 ，所以5πtan A +1 = 0 ，得tan A = - 3 ，3 0 < A < π，∴ A = 6， A 为钝角，与 a = 1 < b = 矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.显然 S = 1 bc sin A = 3 ，得bc = .当①③正确时， ∆ABC2 4由a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得b 2 + c 2 = -2 （无解）；当②③正确时，由于bc = ， b = ，得 c = 1；（2）如图，因为 A =5π ， ∠CAD = π ，则∠BAD = π，则 S ∆ABD = 61AB ⋅ AD ⋅sin ∠BAD 2 = 21 ，∴ S 3= 1 S= 1 ⨯ 3 = 3 . S ∆ACD 1 AC ⋅ AD ⋅sin ∠CAD 2 2∆ABD 3 ∆ABC 3 4 1235．（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知∆ABC 中，角 A ，B ，C 所对边分别为 a ，b ，c ，sin A =1+ cos Asin B 2 - cos B（1）求证： 2a = b + c ；（2）若cos A =4，S = 6 ，求 a 的值．5ABC【答案】（1）见解析；（2） a = 2 【解析】（1）∵sin A = 1+ cos A ，∴ 2sin A -sin A cos B = sin B + sin B cos A ，sin B 2 - cos B可得 2 s in A = sin B + sin A c os B + sin B cos A = sin B + sin( A + B ) = sin B + sin C ，所以由正弦定理可得： 2a = b + c . （2）∵ cos A = 4， A 为三角形内角，536∴ s in A== 3 ，又 S = 6 ，∴ 6 = 1bc sin A ，∴ bc = 20 ，由余弦定理可得 5ABC2 b 2 + c 2 - a 2 (b + c )2 - 2bc - a 2 4a 2 - 2bc - a 2 3a 2 - 2bc 3a 2 - 40 4cos A = = = = = = ．2bc 2bc 2bc 2bc 40 5整理得a 2 = 24 ，解得 a = 2 （负值舍去）．36．（2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测）已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为 2．求的值；（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值【答案】（1）或.（2），【解析】（Ⅰ）∵a 、b 、c 成等差，且公差为 2，∴a=c-4、b=c-2．又因∠MCN= π， ,可得,恒等变形得 c 2-9c+14=0，解得 c=7，或c=2．又∵c ＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得.∴△ABC 的周长 f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又 , 当 ,即时，f （θ）取得最大值 .37．（2020 届山东省烟台市高三模拟）已知函数 f ( x ) = 1- 2 3 sin x cos x - 2 cos 2 x + m 在 R 上的最大值为 3.1- cos 2 A 63（1）求 m 的值及函数 f( x ) 的单调递增区间;（2）若锐角∆ABC 中角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 f( A ) = 0 ，求b的取值范围. c⎡k π+ π2π⎤ 1 b 【答案】（1） m = 1,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ⎢⎣ ，k π+6 3 ⎥⎦，k ∈ Z ；（2） 2 < c < 2 .【解析】（1）f ( x ) = 1- 2 3 sin x cos x - 2 cos 2 x + m = -(3 sin 2x + cos 2x )+ m = -2 sin ⎛2x + π⎫ + m 6 ⎪由已知2 + m = 3，所以 m = 1 ⎝ ⎭ 因此 f ( x )= -2 sin ⎛ 2x + π⎫ +1 6 ⎪2k π π 3π⎝ ⎭ π 2π令 π+ ≤ 2x + ≤ 2k π+ 2 6 2 ，k ∈ Z ,得 k π+ ≤ x ≤ k π+ 6 3 ，k ∈ Z⎡k π+ π2π⎤ 因此函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ⎢⎣ ，k π+6 3 ⎥⎦，k ∈ Z（2）由已知-2 sin ⎛ 2 A + π⎫ +1 = 0 ，∴ sin ⎛2 A + π⎫ = 1 6 ⎪ 6 ⎪ 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭由0 < A < π 得π < 2 A + π < 7π，因此2 A + π = 5π,所以 A = π2 6 6 6 6 6 3sin ⎛ π+ C ⎫3 cos C + 1 sin Cb sin B 3 ⎪ 1= = ⎝ ⎭ = 2 =+c sin C sin Csin C⎧0 < C < π2 tan C 2⎪ 因为为锐角三角形∆ABC ，所以⎨ 2 2π π ，解得π < C < π 6 2⎪0 < B = - C <因此tan C >⎪⎩ 3 23，那么 1 < b< 23 2 c38．（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）现给出两个条件：① 2c -3b = 2a cos B ，②(2b - 3c )cos A =3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在∆ABC 中， a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边 ().（1）求 A ；3 3（2）若 a = -1，求∆ABC 面积的最大值.π 1 【答案】（1） 6 ；（2） 2.【解析】（1）选① 2c - 3b = 2a cos B ，由正弦定理可得： 2 s in C - 3 sin B = 2 s in A cos B ，即2 s in ( A + B ) - 3 sin B = 2 sin A cos B ，∴ 2 cos A sin B = 3 sin B ，∵ B ∈(0,π) ，∴ sin B ≠ 0 ，∴ 2 cos A =，即cos A =3 ，又 A ∈(0,π) ，∴A = π， 2选② (2b - 3c )cos A = 3a cos C ，由正弦定理可得： (2s in B - 3 sin C )cos A = 63 sin A cos C ，∴ 2 s in B cos A = 3 s in (A + C )= 3 sin B ，∵ B ∈(0,π) ，∴ sin B ≠ 0 ，∴ cos A = 3 ，2又 A ∈(0,π) ，∴ A = π；6（2）由余弦定理得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = b 2 + c 2 - 又b 2+ c 2≥ 2bc ，当且仅当“ b = c ”时取“=”，∴ a 2≥ (2 -3bc ，3 )bc ，即(-1)2≥ (2 -3 )bc ，∴ bc ≤ 2 ，∴ S = 1 bc sin A = 1 bc ≤ 1 ，∴ ∆ABC 的面积的最大值为 1.∆ABC2 4 2 239．（2020 届山东省潍坊市高三模拟一）在平面四边形 ABCD 中，∆ABD 中边 BD 所对的角为 A ，∆BCD 中边 BD 所对的角为 C ，已知 AB = BC = CD = 2 ， AD = 2 3 .（1）试问 3 cos A - cos C 是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记∆ABD 与∆BCD 的面积分别为 S 和 S ，求出 S 2 + S 2的最大值.12 1 2【答案】（1） 3 cos A - cos C 为定值 1.（2）143。

专题06三角函数与解三角形选择填空题(解析版)

专题06三角函数与解三角形选择填空题1．【2022年全国甲卷理科08】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB⌢是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB⌢上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB⌢的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA．当OA=2,∠AOB=60°时，s=（）A．11−3√32B．11−4√32C．9−3√32D．9−4√32【答案】B【解析】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2，则OC=√3，故CD=2−√3，所以s=AB+CD2OA=2+(2−√3)22=11−4√32.故选：B.真题汇总2．【2022年全国甲卷理科11】设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[53,136)B．[53,196)C．(136,83]D．(136,196]【答案】C 【解析】解：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+π3∈(π3,ωπ+π3)，要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈(π3,3π)的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈(136,83]．故选：C．3．【2022年新高考1卷06】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T 满足2π3<T <π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k ∈Z ，且b =2，所以ω=−16+23k,k ∈Z ，所以ω=52，f(x)=sin(52x +π4)+2，所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1. 故选：A4．【2022年新高考2卷06】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos (α+π4)sinβ，则（） A ．tan(α−β)=1 B ．tan(α+β)=1 C ．tan(α−β)=−1 D ．tan(α+β)=−1【答案】C 【解析】由已知得：sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β−sin αsin β=2(cos α−sin α)sin β, 即：sin αcos β−cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0，即：sin (α−β)+cos (α−β)=0, 所以tan (α−β)=−1, 故选：C5．【2021年全国甲卷理科9】若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα，则tanα=（） A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153【答案】A∵tan2α=cosα2−sinα∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin 2α=12−sinα，解得sinα=14， ∴cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=√1515. 故选：A.6．【2021年新高考1卷4】下列区间中，函数f(x)=7sin(x −π6)单调递增的区间是（）A．(0,π2)B．(π2,π)C．(π,3π2)D．(3π2,2π)【答案】A因为函数y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)，对于函数f(x)=7sin(x−π6)，由2kπ−π2<x−π6<2kπ+π2(k∈Z)，解得2kπ−π3<x<2kπ+2π3(k∈Z)，取k=0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−π3,2π3)，则(0,π2)⊆(−π3,2π3)，(π2,π)⊄(−π3,2π3)，A选项满足条件，B不满足条件；取k=1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(5π3,8π3)，(π,3π2)⊄(−π3,2π3)且(π,3π2)⊄(5π3,8π3)，(3π2,2π)⊄(5π3,8π3)，CD选项均不满足条件.故选：A.7．【2021年新高考1卷6】若tanθ=−2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（）A．−65B．−25C．25D．65【答案】C将式子进行齐次化处理得：sinθ(1+sin2θ) sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sinθ(sinθ+cosθ)sin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθ1+tan2θ=4−21+4=25．故选：C．8．【2021年全国乙卷理科7】把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则f(x)=（）A．sin(x2−7x12)B．sin(x2+π12)C．sin(2x−7π12)D．sin(2x+π12)【答案】B解法一：函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到y=f[2(x−π3)]的图象，根据已知得到了函数y=sin(x−π4)的图象，所以f[2(x−π3)]=sin(x−π4)，令t=2(x−π3),则x=t2+π3,x−π4=t2+π12,所以f(t)=sin(t2+π12),所以f(x)=sin(x2+π12)；解法二：由已知的函数y=sin(x−π4)逆向变换，第一步：向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3−π4)=sin(x+π12)的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(x2+π12)的图象，即为y=f(x)的图象，所以f(x)=sin(x2+π12).故选：B.9．【2020年全国1卷理科07】设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，将它代入函数f(x)可得：cos(−4π9⋅ω+π6)=0又(−4π9,0)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点，所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32所以函数f(x)的最小正周期为T=2πω=2π32=4π3故选：C10．【2020年全国1卷理科09】已知α ∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα=（）A．√53B．23C．13D．√59【答案】A【解析】3cos2α−8cosα=5，得6cos2α−8cosα−8=0，即3cos2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），又∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos2α=√53.故选：A.11．【2020年全国2卷理科02】若α为第四象限角，则（）A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0【答案】D【解析】当α=−π6时，cos2α=cos(−π3)>0，选项B错误；当α=−π3时，cos2α=cos(−2π3)<0，选项A错误；由α在第四象限可得：sinα<0,cosα>0，则sin2α=2sinαcosα<0，选项C错误，选项D正确；故选：D.12．【2020年全国3卷理科07】在△ABC中，cos C=23，AC=4，BC=3，则cos B=（）A．19B．13C．12D．23【答案】A【解析】∵在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosCAB2=42+32−2×4×3×2 3可得AB2=9，即AB=3由∵cosB=AB 2+BC2−AC22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB=19.故选：A.13．【2020年全国3卷理科09】已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【解析】∵2tanθ−tan(θ+π4)=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，令t=tanθ,t≠1，则2t−1+t1−t=7，整理得t2−4t+4=0，解得t=2，即tanθ=2.故选：D.14．【2020年山东卷04】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20°B．40°C．50°D．90°【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l；AB是晷针所在直线. m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得AB⊥m..由于∠AOC=40°,m//CD，所以∠OAG=∠AOC=40°，由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE =90°，所以∠BAE =∠OAG =40°，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE =40°. 故选：B15．【2019年新课标3理科12】设函数f （x ）＝sin （ωx +π5）（ω＞0），已知f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f （x ）在（0，2π）有且仅有3个极大值点 ②f （x ）在（0，2π）有且仅有2个极小值点 ③f （x ）在（0，π10）单调递增④ω的取值范围是[125，2910）其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】解：当x ∈[0，2π]时，ωx +π5∈[π5，2πω+π5]， ∵f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5＜6π， ∴125≤ω＜2910，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x ∈（0，π10）时，ωx +π5∈[π5，(ω+2)π10]，若f （x ）在（0，π10）单调递增，则(ω+2)π10＜π2，即ω＜3，∵125≤ω＜2910，故③正确．故选：D ．16．【2019年全国新课标2理科09】下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（）A ．f （x ）＝|cos2x |B ．f （x ）＝|sin2x |C ．f （x ）＝cos|x |D ．f （x ）＝sin|x |【答案】解：f （x ）＝sin|x |不是周期函数，可排除D 选项； f （x ）＝cos|x |的周期为2π，可排除C 选项；f （x ）＝|sin2x |在π4处取得最大值，不可能在区间（π4，π2）单调递增，可排除B ．故选：A ．17．【2019年全国新课标2理科10】已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sin α＝（）A ．15B ．√55 C ．√33 D ．2√55【答案】解：∵2sin2α＝cos2α+1， ∴可得：4sin αcos α＝2cos 2α， ∵α∈（0，π2），sin α＞0，cos α＞0，∴cos α＝2sin α，∵sin 2α+cos 2α＝sin 2α+（2sin α）2＝5sin 2α＝1， ∴解得：sin α=√55．故选：B ．18．【2019年新课标1理科11】关于函数f （x ）＝sin|x |+|sin x |有下述四个结论： ①f （x ）是偶函数②f （x ）在区间（π2，π）单调递增③f （x ）在[﹣π，π]有4个零点 ④f （x ）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】解：f （﹣x ）＝sin|﹣x |+|sin （﹣x ）|＝sin|x |+|sin x |＝f （x ）则函数f （x ）是偶函数，故①正确，当x ∈（π2，π）时，sin|x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ，则f （x ）＝sin x +sin x ＝2sin x 为减函数，故②错误，当0≤x ≤π时，f （x ）＝sin|x |+|sin x |＝sin x +sin x ＝2sin x ，由f （x ）＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f （x ）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x ＝﹣π，即函数f （x ）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f （x ）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C ．19．【2018年新课标2理科06】在△ABC 中，cos C2=√55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（） A ．4√2 B ．√30 C ．√29 D ．2√5 【答案】解：在△ABC 中，cos C2=√55，cos C ＝2×(√55)2−1=−35，BC ＝1，AC ＝5，则AB =√BC 2+AC 2−2BC ⋅ACcosC =√1+25+2×1×5×35=√32=4√2．故选：A ．20．【2018年新课标2理科10】若f （x ）＝cos x ﹣sin x 在[﹣a ，a ]是减函数，则a 的最大值是（） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x ）=−√2sin(x −π4)，由−π2+2kπ≤x −π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，得−π4+2kπ≤x ≤34π+2kπ，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[−π4，34π]，由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得{−a ≥−π4a ≤3π4，∴a ≤π4．则a 的最大值是π4．故选：A ．21．【2018年新课标3理科04】若sin α=13，则cos2α＝（） A ．89B ．79C ．−79D ．−89【答案】解：∵sin α=13， ∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×19=79．故选：B ．22．【2018年新课标3理科09】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C ＝（） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】解：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． △ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，∴S △ABC =12absinC =a 2+b 2−c 24， ∴sin C =a 2+b 2−c 22ab=cos C ， ∵0＜C ＜π，∴C =π4．故选：C ．23．【2017年新课标1理科09】已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝cos2（x +π12）＝cos （2x +π6）＝sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2，故选：D ．24．【2017年新课标3理科06】设函数f （x ）＝cos （x +π3），则下列结论错误的是（） A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =8π3对称 C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在（π2，π）单调递减【答案】解：A ．函数的周期为2k π，当k ＝﹣1时，周期T ＝﹣2π，故A 正确， B ．当x =8π3时，cos （x +π3）＝cos （8π3+π3）＝cos 9π3=cos3π＝﹣1为最小值，此时y ＝f （x ）的图象关于直线x =8π3对称，故B 正确，C 当x =π6时，f （π6+π）＝cos （π6+π+π3）＝cos3π2=0，则f （x +π）的一个零点为x =π6，故C 正确，D ．当π2＜x ＜π时，5π6＜x +π3＜4π3，此时函数f （x ）不是单调函数，故D 错误，故选：D ．25．【2016年新课标1理科12】已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤π2），x =−π4为f （x ）的零点，x =π4为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（π18，5π36）上单调，则ω的最大值为（）A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】解：∵x =−π4为f （x ）的零点，x =π4为y ＝f （x ）图象的对称轴， ∴2n+14⋅T =π2，即2n+14⋅2πω=π2，（n ∈N ）即ω＝2n +1，（n ∈N ）即ω为正奇数， ∵f （x ）在（π18，5π36）上单调，则5π36−π18=π12≤T2，即T =2πω≥π6，解得：ω≤12，当ω＝11时，−11π4+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|≤π2， ∴φ=−π4，此时f （x ）在（π18，5π36）不单调，不满足题意；当ω＝9时，−9π4+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|≤π2， ∴φ=π4，此时f （x ）在（π18，5π36）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B ．26．【2016年新课标2理科07】若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A ．x =kπ2−π6（k ∈Z ） B ．x =kπ2+π6（k ∈Z ） C ．x =kπ2−π12（k ∈Z ） D ．x =kπ2+π12（k ∈Z ）【答案】解：将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin2（x +π12）＝2sin （2x +π6），由2x +π6=k π+π2（k ∈Z ）得：x =kπ2+π6（k ∈Z ），即平移后的图象的对称轴方程为x =kπ2+π6（k ∈Z ），故选：B ．27．【2016年新课标2理科09】若cos （π4−α）=35，则sin2α＝（）A ．725B ．15C ．−15 D ．−725【答案】解：法1°：∵cos （π4−α）=35，∴sin2α＝cos （π2−2α）＝cos2（π4−α）＝2cos 2（π4−α）﹣1＝2×925−1=−725，法2°：∵cos （π4−α）=√22（sin α+cos α）=35，∴12（1+sin2α）=925，∴sin2α＝2×925−1=−725，故选：D ．28．【2016年新课标3理科05】若tan α=34，则cos 2α+2sin2α＝（）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】解：∵tan α=34，∴cos 2α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×34916+1=6425．故选：A ．29．【2016年新课标3理科08】在△ABC 中，B =π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于（）A ．3√1010B ．√1010C ．−√1010 D ．−3√1010【答案】解：设△ABC 中角A 、B 、C 、对应的边分别为a 、b 、c ，AD ⊥BC 于D ，令∠DAC ＝θ，∵在△ABC 中，B =π4，BC 边上的高AD ＝h =13BC =13a ， ∴BD ＝AD =13a ，CD =23a ，在Rt △ADC 中，cos θ=ADAC =a 3√(13a)2+(2a 3)2=√55，故sin θ=2√55，∴cos A ＝cos （π4+θ）＝cos π4cos θ﹣sin π4sin θ=√22×√55−√22×2√55=−√1010．故选：C ．30．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（） A ．−√32 B ．√32 C ．−12 D ．12【答案】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10° ＝sin20°cos10°+cos20°sin10° ＝sin30° =12．故选：D ．31．【2015年新课标1理科08】函数f （x ）＝cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（）A ．（k π−14，k π+34），k ∈z B ．（2k π−14，2k π+34），k ∈zC ．（k −14，k +34），k ∈z D ．（2k −14，2k +34），k ∈z【答案】解：由函数f （x ）＝cos （ωx +ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2πω=2（54−14）＝2，∴ω＝π，f （x ）＝cos （πx +ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+ϕ=π2，k ∈z ，即ϕ=π4，f （x ）＝cos （πx +π4）．由2k π≤πx +π4≤2k π+π，求得 2k −14≤x ≤2k +34，故f （x ）的单调递减区间为（2k −14，2k +34），k ∈z ，故选：D ．32．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tan α=1+sinβcosβ，则（） A ．3α﹣β=π2 B ．3α+β=π2 C ．2α﹣β=π2 D ．2α+β=π2 【答案】解：由tan α=1+sinβcosβ，得：sinαcosα=1+sinβcosβ，即sin αcos β＝cos αsin β+cos α， sin （α﹣β）＝cos α＝sin （π2−α），∵α∈（0，π2），β∈（0，π2），∴当2α−β=π2时，sin （α﹣β）＝sin （π2−α）＝cos α成立．故选：C ．33．【2014年新课标2理科04】钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC =√2，则AC ＝（）A ．5B ．√5C ．2D ．1【答案】解：∵钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝c ＝1，BC ＝a =√2，∴S =12ac sin B =12，即sin B =√22，当B 为钝角时，cos B =−√1−sin 2B =−√22，利用余弦定理得：AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos B ＝1+2+2＝5，即AC =√5，当B 为锐角时，cos B =√1−sin 2B =√22，利用余弦定理得：AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos B ＝1+2﹣2＝1，即AC ＝1，此时AB 2+AC 2＝BC 2，即△ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，则AC =√5．故选：B ．34．【2013年新课标2理科12】已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（） A ．（0，1） B ．(1−√22，12) C ．(1−√22，13] D ．[13，12)【答案】解：解法一：由题意可得，三角形ABC 的面积为 12⋅AB ⋅OC =1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （−ba，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故−ba≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由{y =ax +bx +y =1可得点N 的坐标为（1−b a+1，a+b a+1）．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12），把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b =13．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b ＞13，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+ba )⋅a+ba+1=12，可得a =b 21−2b ＞0，求得 b ＜12，故有13＜b ＜12．③若点M 在点A 的左侧，则b ＜13，由点M 的横坐标−ba ＜−1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 {y =ax +by =x +1求得点P 的坐标为（1−b a−1，a−b a−1），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |=12，即12（1﹣b ）•|1−ba+1−1−ba−1|=12，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得 √2（1﹣b ）=√1−a 2＜1，∴1﹣b √2，化简可得 b ＞1−√22，故有1−√22＜b ＜13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是 (1−√22，12)，故选：B ．解法二：当a ＝0时，直线y ＝ax +b （a ＞0）平行于AB 边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得(1−b 1)2=12，b ＝1−√22，趋于最小．由于a ＞0，∴b ＞1−√22．当a 逐渐变大时，b 也逐渐变大，当b =12时，直线经过点（0，12），再根据直线平分△ABC 的面积，故a 不存在，故b ＜12．综上可得，1−√22＜b ＜12，故选：B ．35．【2022年新高考2卷09】已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（）A ．f(x)在区间(0,5π12)单调递减B ．f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴D ．直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的切线【答案】AD 【解析】由题意得：f (2π3)=sin (4π3+φ)=0，所以4π3+φ=k π，k ∈Z ，即φ=−4π3+k π,k ∈Z ，又0<φ<π，所以k =2时，φ=2π3，故f(x)=sin (2x +2π3)．对A ，当x ∈(0,5π12)时，2x +2π3∈(2π3,3π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)在(0,5π12)上是单调递减；对B ，当x ∈(−π12,11π12)时，2x +2π3∈(π2,5π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)只有1个极值点，由2x+2π3=3π2，解得x =5π12，即x =5π12为函数的唯一极值点；对C ，当x =7π6时，2x +2π3=3π，f(7π6)=0，直线x =7π6不是对称轴；对D ，由y′=2cos (2x +2π3)=−1得：cos (2x +2π3)=−12，解得2x +2π3=2π3+2k π或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z ,从而得：x =k π或x =π3+k π,k ∈Z , 所以函数y =f(x)在点(0,√32)处的切线斜率为k =y′|x=0=2cos2π3=−1，切线方程为：y −√32=−(x −0)即y =√32−x ．故选：AD ．36．【2020年山东卷10】下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （）A ．sin(x +π3） B ．sin(π3−2x)C ．cos(2x +π6）D ．cos(5π6−2x)【答案】BC 【解析】由函数图像可知：T2=23π−π6=π2，则ω=2πT=2ππ=2，所以不选A,当x=23π+π62=5π12时，y=−1∴2×5π12+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，解得：φ=2kπ+23π(k∈Z)，即函数的解析式为：y=sin(2x+23π+2kπ)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)=sin(π3−2x).而cos(2x+π6)=−cos(5π6−2x)故选：BC.37．【2020年海南卷10】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）A．sin(x+π3）B．sin(π3−2x)C．cos(2x+π6）D．cos(5π6−2x)【答案】BC 【解析】由函数图像可知：T2=23π−π6=π2，则ω=2πT=2ππ=2，所以不选A,当x=23π+π62=5π12时，y=−1∴2×5π12+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，解得：φ=2kπ+23π(k∈Z)，即函数的解析式为：y=sin(2x+23π+2kπ)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)=sin(π3−2x).而cos(2x+π6)=−cos(5π6−2x)故选：BC.38．【2022年全国甲卷理科16】已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD =________．【答案】√3−1##−1+√3 【解析】设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ，在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m ，所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m)−12(1+m)m 2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥42√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m +1=3m+1即m =√3−1时，等号成立，所以当ACAB 取最小值时，m =√3−1. 故答案为：√3−1.39．【2022年全国乙卷理科15】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T )=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】解：因为f (x )=cos (ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π）所以最小正周期T =2πω，因为f (T )=cos (ω⋅2πω+φ)=cos (2π+φ)=cosφ=√32，又0<φ<π，所以φ=π6，即f (x )=cos (ωx +π6)，又x =π9为f (x )的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=3+9k,k ∈Z ，因为ω>0，所以当k =0时ωmin =3；故答案为：340．【2021年全国甲卷理科16】已知函数f(x)=2cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为________．【答案】2由图可知34T=13π12−π3=3π4，即T=2πω=π，所以ω=2；由五点法可得2×π3+φ=π2，即φ=−π6；所以f(x)=2cos(2x−π6).因为f(−7π4)=2cos(−11π3)=1，f(4π3)=2cos(5π2)=0；所以由(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0可得f(x)>1或f(x)<0；因为f(1)=2cos(2−π6)<2cos(π2−π6)=1，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)<0，即cos(2x−π6)<0，解得kπ+π3<x<kπ+5π6,k∈Z，令k=0，可得π3<x<5π6，可得x的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)<0，又f(2)=2cos(4−π6)<0，符合题意，可得x的最小正整数为2.故答案为：2.41．【2021年全国乙卷理科15】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________．【答案】2√2由题意，S△ABC=12acsinB=√34ac=√3，所以ac=4,a2+c2=12，所以b2=a2+c2−2accosB=12−2×4×12=8，解得b=2√2（负值舍去）.故答案为：2√2.42．【2020年全国3卷理科16】关于函数f（x）=sinx+1sinx有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=π2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，f(π6)=12+2=52，f(−π6)=−12−2=−52，则f(−π6)≠f(π6)，所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，∵f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=cosx+1cosx，f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cosx+1cosx，则f(π2−x)=f(π2+x)，所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；对于命题④，当−π<x<0时，sinx<0，则f(x)=sinx+1sinx<0<2，命题④错误.故答案为：②③.43．【2020年山东卷15】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】4+52π【解析】设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45°，因为BH//DG，所以∠AHO=45°，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；在直角△OQD中，OQ=5−√22r，DQ=7−√22r，因为tan∠ODC=OQDQ =35，所以21−3√22r=25−5√22r，解得r=2√2；等腰直角△OAH的面积为S1=12×2√2×2√2=4；扇形AOB的面积S2=12×3π4×(2√2)2=3π，所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2.故答案为：4+5π2.44．【2020年海南卷15】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】4+52π【解析】设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45°，因为BH//DG，所以∠AHO=45°，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；在直角△OQD中，OQ=5−√22r，DQ=7−√22r，因为tan∠ODC=OQDQ =35，所以21−3√22r=25−5√22r，解得r=2√2；等腰直角△OAH的面积为S1=12×2√2×2√2=4；扇形AOB的面积S2=12×3π4×(2√2)2=3π，所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2.故答案为：4+5π2.45．【2019年全国新课标2理科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B=π3，则△ABC的面积为．【答案】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∵b＝6，a＝2c，B=π3，∴36=(2c)2+c2−4c2cos π3，∴c2＝12，∴SΔABC=12acsinB=c2sinB=6√3，故答案为：6√3．46．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x=12或cos x＝﹣1，可得此时x=π3，π或5π3；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x=π3，π或5π3和边界点x＝0中取到，计算可得f（π3）=3√32，f（π）＝0，f（5π3）=−3√32，f（0）＝0，∴函数的最小值为−3√3 2，故答案为：−3√3 2．47．【2018年新课标2理科15】已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．【答案】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，∴2sin（α+β）＝﹣1．∴sin（α+β）=−1 2．故答案为：−1 2．48．【2018年新课标3理科15】函数f（x）＝cos（3x+π6）在[0，π]的零点个数为．【答案】解：∵f（x）＝cos（3x+π6）＝0，∴3x+π6=π2+kπ，k∈Z，∴x=π9+13kπ，k∈Z，当k＝0时，x=π9，当k＝1时，x=49π，当k＝2时，x=79π，当k＝3时，x=109π，∵x∈[0，π]，∴x=π9，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3，故答案为：349．【2017年新课标2理科14】函数f（x）＝sin2x+√3cos x−34（x∈[0，π2]）的最大值是．【答案】解：f（x）＝sin2x+√3cos x−34=1﹣cos2x+√3cos x−34，令cos x＝t且t∈[0，1]，则y ＝﹣t 2+√3t +14=−（t −√32）2+1，当t =√32时，f （t ）max ＝1，即f （x ）的最大值为1，故答案为：150．【2016年新课标2理科13】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a ＝1，则b ＝．【答案】解：由cos A =45，cos C =513，可得 sin A =√1−cos 2A =√1−1625=35， sin C =√1−cos 2C =√1−25169=1213， sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365，由正弦定理可得b =asinBsinA =1×636535=2113．故答案为：2113．51．【2016年新课标3理科14】函数y ＝sin x −√3cos x 的图象可由函数y ＝sin x +√3cos x 的图象至少向右平移个单位长度得到．【答案】解：∵y ＝f （x ）＝sin x +√3cos x ＝2sin （x +π3），y ＝sin x −√3cos x ＝2sin （x −π3）， ∴f （x ﹣φ）＝2sin （x +π3−φ）（φ＞0），令2sin （x +π3−φ）＝2sin （x −π3），则π3−φ＝2k π−π3（k ∈Z ），即φ=2π3−2k π（k ∈Z ），当k ＝0时，正数φmin =2π3，故答案为：2π3．52．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°．BC ＝2，则AB 的取值范围是．【答案】解：方法一：如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°， ∴设AD =12x ，AE =√22x ，DE =√6+√24x ，CD ＝m ，∵BC ＝2， ∴（√6+√24x +m ）sin15°＝1， ∴√6+√24x +m =√6+√2，∴0＜x ＜4，而AB =√6+√24x +m −√22x =√6+√2−√22x ，∴AB 的取值范围是（√6−√2，√6+√2）．故答案为：（√6−√2，√6+√2）．方法二：如下图，作出底边BC ＝2的等腰三角形EBC ，B ＝C ＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB 、EC 于A 、D ，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为√6−√2； ②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为√6+√2；故答案为：（√6−√2，√6+√2）．53．【2014年新课标1理科16】已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为．【答案】解：因为：（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ⇒（2+b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ⇒2a ﹣2b +ab ﹣b 2＝c 2﹣bc ，又因为：a ＝2，所以：a 2−b 2=c 2−bc ⇒b 2+c 2−a 2=bc ⇒cosA =b 2+c 2−a 22bc =12⇒A =π3，△ABC 面积S =12bcsinA =√34bc ，而b 2+c 2﹣a 2＝bc ⇒b 2+c 2﹣bc ＝a 2 ⇒b 2+c 2﹣bc ＝4 ⇒bc ≤4所以：S =12bcsinA =√34bc ≤√3，即△ABC 面积的最大值为√3．故答案为：√3．54．【2014年新课标2理科14】函数f （x ）＝sin （x +2φ）﹣2sin φcos （x +φ）的最大值为．【答案】解：函数f （x ）＝sin （x +2φ）﹣2sin φcos （x +φ）＝sin[（x +φ）+φ]﹣2sin φcos （x +φ）＝sin （x +φ）cos φ+cos （x +φ）sin φ﹣2sin φcos （x +φ）＝sin （x +φ）cos φ﹣cos （x +φ）sin φ ＝sin[（x +φ）﹣φ]＝sin x ，故函数f （x ）的最大值为1，故答案为：1．55．【2013年新课标1理科15】设当x ＝θ时，函数f （x ）＝sin x ﹣2cos x 取得最大值，则cos θ＝．【答案】解：f （x ）＝sin x ﹣2cos x =√5（√55sin x −2√55cos x ）=√5sin （x ﹣α）（其中cos α=√55，sin α=2√55），∵x ＝θ时，函数f （x ）取得最大值， ∴sin （θ﹣α）＝1，即sin θ﹣2cos θ=√5，又sin 2θ+cos 2θ＝1，联立得（2cos θ+√5）2+cos 2θ＝1，解得cos θ=−2√55．故答案为：−2√5556．【2013年新课标2理科15】设θ为第二象限角，若tan （θ+π4）=12，则sin θ+cos θ＝．【答案】解：∵tan （θ+π4）=tanθ+11−tanθ=12， ∴tan θ=−13，而cos 2θ=cos 2θsin 2θ+cos 2θ=11+tan 2θ，∵θ为第二象限角， ∴cos θ=−√11+tan 2θ=−3√1010，sin θ=√1−cos 2θ=√1010，则sin θ+cos θ=√1010−3√1010=−√105．故答案为：−√1051．若函数f (x )=sin (ωx +φ)(其中ω>0,|φ|<π2)图象的一个对称中心为(π3,0)，其相邻一条对称轴方程为x =7π12，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到g (x )=cos (2x +π6)的图象，则只要将f （x ）的图象（）A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度【答案】D 【解析】解：函数f (x )图象的一个对称中心为(π3,0)，其相邻一条对称轴方程为x =7π12，所以14×2πω=7π12−π3，所以ω=2.模拟好题因为函数f(x)在x=7π12时取得最小值，所以2×7π12+φ=2kπ+3π2，k∈Z，∴φ=2kπ+π3，k∈Z∵|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x+π3)=cos(2x+π3−π2)=cos(2x−π6)根据平移变换规律可知，f(x)向左平移π6个单位，可得函数y=cos[2(x+π6)−π6]，所以f(x)向左平移π6个单位可得g(x)=cos(2x+π6)的图象，故选：D.2．已知2cos(π2−a)+sin(π2+α)=0，则tan(π−α)=（）A．2B．—2C．12D．−12【答案】C【解析】由已知得2sinα+cosα=0，∴2sinα=−cosα，∴tanα=−12，∴tan(π−α)=−tanα=12.故选：C3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，若sinBsinC=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】△ABC中，b2+c2=a2+bc，则cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12又0<A<π，则A=π3由sinBsinC=sin2A，可得a2=bc，代入b2+c2=a2+bc 则有b2+c2=bc+bc=2bc，则(b−c)2=0，则b=c又A=π3，则△ABC的形状是等边三角形故选：C4．已知函数f(x)=sin2x−2sin2x，则下列结论错误的是（）A．函数f(x)的最小正周期是πB．函数f(x)在区间[π8,π2]上单调递减C．函数f(x)的图象可由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到D．函数f(x)的图象关于(7π8,−1)对称【答案】C【解析】f(x)=sin2x−2sin2x=sin2x−(1−cos2x)=sin2x+cos2x−1=√2sin(2x+π4)−1，所以函数f(x)的最小正周期是2π2=π，A正确；当x∈[π8,π2]时，2x+π4∈[π2,5π4]，所以f(x)=√2sin(2x+π4)−1单调递减，故B正确；函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到g(x)=√2sin(2x+π2)−1，故C错误；当x=7π8时，2x+π4=2π，所以f(x)=√2sin(2x+π4)−1=−1，所以f(x)的图象关于(7π8,−1)中心对称，D正确.故选：C5．设函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)，若|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值为π3，则（）A．函数f(x)的周期为π3B．将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数为奇函数C．当x∈(π6,π3)，f(x)的值域为(√22,1)D．函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个【答案】D【解析】由题意，得T2=π3，所以T=2π3，则ω=2πT=3，所以f(x)=sin(3x−π4)选项A不正确；对于选项B ：将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数是 f(x)=sin[3(x +π4)−π4]=cos3x 为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时x ∈(π6,π3)，则π4<3x −π4<3π4，所以f(x)的值域为(√22,1]，选项C 不正确；对于选项D ：令f(x)=0⇒x =π12+kπ3,k ∈Z ，所以当k =−3,−2,−1,0,1,2时，x ∈[−π,π]，所以函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个，D 正确，故选：D.6．已知正方形ABCD 的边长为2√2，将△ABC 沿对角线AC 折起，使得二面角B −AC −D 的大小为90°.若三棱锥B −ACD 的四个顶点都在球O 的球面上，G 为AC 边的中点，E ，F 分别为线段BG ，DC 上的动点（不包括端点），且BE =√2CF ，当三棱锥E −ACF 的体积最大时，过点F 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（） A ．2√2π B ．2πC ．32πD ．89π【答案】D 【解析】因为正方形ABCD 的边长为2√2，所以AC =4.如图，由于平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ∩平面ACD =AC ，又G 为AC 边的中点，则有BG ⊥AC ，所以BG ⊥平面ACD ．设CF =x (0<x <√2)，则BE =√2x ，所以三棱锥E −ACF 的体积V =13S △ACF · EG =13×12AC · CF · sin ∠ACF · EG =13×12×4x · √22(2−√2x)=23(√2x −x 2)，当x =√22时，V 取得最大值．由于GA =GB =GC =GD ，则球O 的球心即为G ，且球O 的半径R =2．又在△GCF 中，由余弦定理，得GF=√GC 2+CF 2−2GC · CFcos∠ACF =√52，根据球的性质可知，当GF 垂直于截面时，截面圆的面积最小，设其半径为r ，所以r =√R 2−GF 2=√22−(√52)2=√32，则截面面积的最小值为32π.故选：D ．。

三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

新高考数学三角函数与解三角形多选题专项练习及答案

新高考数学三角函数与解三角形多选题专项练习及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=，故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-，因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈，则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③，由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩，故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2713131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若32a π=，则21913131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾，故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3)M ，23()3N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径r ==，则圆的面积为3136π；综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.3．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（） A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确；当12x =时，函数sin y x =π取得最大值1，此时21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x ≤=，选项A 正确；若()5f x x ≤，则32sin 555x x x x π≤-+，令()32555g x x x x =-+，则()()221510553210g x x x x x '=-+=-+>恒成立，则()g x 在R 上递增，又()00g =，所以当0x <时，()00g <；当0x >时，()0g x >；作出sin x π和32555x x x -+的图象如图所示：由图象可知32sin 555x x x x π≤-+成立，即()5f x x ≤，选项B 正确；对于D 选项，若存在一点(),a b 使得()f x 关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b -++=，通过分析发现()()f a x f a x -++不可能为常数，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ，故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．已知2π-＜θ2π＜，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（） A ．﹣3 B ．13C ．13-D ．12-【答案】CD 【分析】先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θθθ-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），∴两边平方得：1+22sin cos =a θθ，∴21sin cos =02a θθ-<，∵22ππθ-<＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，∴sin tan 0cos θθθ=<，又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θθθ=>- 所以sin 1tan 0cos θθθ-<=<，所以tan θ的值可能是13-，12-．故选：CD 【点睛】关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．7．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =，函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=，当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．8．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（）A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值；【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减，所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；9．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α；根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=，由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()0αβ+=<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]55βααβα⎛⎛⎫-=+-=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos αβ=D 错误．故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.10．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π 【答案】ABD【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可；对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断.【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤ 因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D故选:ABD【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.。

2021年高考数学三角函数与解三角形多选题与热点解答题组合练及答案

2021年高考数学三角函数与解三角形多选题与热点解答题组合练及答案一、三角函数与解三角形多选题1．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，,||23OCB OA π∠==，221||3AD =.则下列说法正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD 【分析】由题意可得：3|sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221||3AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论．【详解】由题意可得：||3||OB OC =，3sin 2A πϕω∴=+，sin(2)0ωϕ+=， (2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ，sin 1,22A D πϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 221AD =，222sin 281243A πϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把|sin |(2)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω.解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==，sin()03πϕ∴+=，||2πϕ≤，解得3πϕ=-.可知：B 不对，3sin 263A π⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，函数16()sin()363f x x ππ=-，可知C 正确.()14,17x ∈ 时，52,632x ππππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得：函数()f x 在()14,17x ∈单调递增. 综上可得：ACD 正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点,,B C D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.2．在ABC 中，下列说法正确的是（） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>；若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->，于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.3．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 2sin [1,2]4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，3cos 2θ=时，函数取得极大值31333222t =⨯+⨯⨯=，又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值33，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.4．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3sin cos 3sin()22232S D D D π=-+=-+，从而求出最大面积. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=，则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确；四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()22232S D D D π=-+=-+，因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.5．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心【答案】BCD 【分析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误；因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确；由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确；由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.6．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确；求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确；求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.7．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】由条件可得13f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈，当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确. 选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π=当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.8．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 3C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()32g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 2222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 22222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D. ()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可；对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期=T π.对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=，由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭，即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin 33f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误；由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误；由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。

2021年高考数学中“三角函数与解三角形多选题”的类型分析附解析

2021年高考数学中“三角函数与解三角形多选题”的类型分析附解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（）A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin C ==，设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤，要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.2．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确；对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-，解得3cos 5A ≥，故C 错误；对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，所以(0,)2BAD π∠∈，又cos 2BAD ∠≥，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.3．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ，故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 24ABC S bc A ∆==，D 选项正确故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题5．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断；对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断；对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断；【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确.故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．6．已知函数()22sin cos f x x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的 B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点【答案】BCD 【分析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由3sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，再分析函数(),()g x h x 的图象得解）. 要根据已知条件灵活选择方程求解.7．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin ϕ=sin ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到 C ．4x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AB 【分析】首先化简函数()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项. 【详解】()1sin 2cos 21224f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，A.函数的最小正周期22T ππ==，故A 正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C.当4x π=时，32444πππ⨯+=，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8x π=-时，2084ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.9．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误；故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.10．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误；对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确. 故选：AD【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.。

新高考数学三角函数与解三角形多选题与热点解答题组合练附答案

新高考数学三角函数与解三角形多选题与热点解答题组合练附答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ．【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值，即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；因为()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=，所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确；对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-，解得3cos 5A ≥，故C 错误；对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，所以(0,)2BAD π∠∈，又cos 2BAD ∠≥，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.3．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确；对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确，对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.4．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知2π-＜θ2π＜，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（） A ．﹣3 B ．13C ．13-D ．12-【答案】CD 【分析】先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θθθ-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），∴两边平方得：1+22sin cos =a θθ，∴21sin cos =02a θθ-<，∵22ππθ-<＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，∴sin tan 0cos θθθ=<，又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θθθ=>- 所以sin 1tan 0cos θθθ-<=<，所以tan θ的值可能是13-，12-．故选：CD 【点睛】关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．6．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确；求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确；求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间；对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点；对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．下列结论正确的是（）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ．【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确；在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.9．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.10．已知函数)()lg 1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（）A ．1B C ．3 D ．4 【答案】CD【分析】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可.【详解】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+， ()g x 的定义域为R ，))()()lg lg x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lg y x =单调递增， x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lg x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lgx x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lg x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，h m==，所以m=()max211所以1t>可得实数t的可能取值为3或4，故选：CD【点睛】g x奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()转化为函数恒成立问题.。

专题06 三角函数及解三角形——2021年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(原卷版)

专题06 三角函数及解三角形1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A ．3B ．23C ．13D ．93．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0 B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．235．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1C ．1D ．26．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是A ． 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ． 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ． 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.9．【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．10．【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．11．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 12．【2020年高考浙江】已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．13．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．15．【2020年高考全国II 卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅰ）求πsin(2)4A +的值． 18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅰ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知2sin 0b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．1．【2020·上海高三一模】若不等式()sin 06x a b x π⎛⎫--π+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=A ．23B ．56C ．1D ．22．【2020·广东省高三其他（理）】已知四边形ABCD 中，//AD BC ，30A ∠=︒，AB =5AD =，E 在CB 的延长线上，且AE BE =，则AE DB ⋅=A ．1B ．2C ．12D3．【2020·安徽省高三三模（理）】函数()3sin e ex xx xf x -+=+的图象大致是 A ． B ．C ．D ．4．【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，其始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ A ．1225-B ．2425-C ．85D ．65-5．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．6．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】已知α满足cos 3α=，则cos()cos()44ααππ+-=A ．718B ．2518C ．718-D ．2518-7．【2020·广东省高三一模（理）】已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是A ．[]6,63k k ππ+，k ∈Z B ．[]63,6k k π-π，k ∈Z C ．[]6,63k k +，k ∈ZD ．[]63,6k k -，k ∈Z8．【2020·湖北省高三其他（理）】已知函数2()cos ()1(0,0,0)2f x A ωx φA ωφπ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)f f +=_____．9．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326,2326δ''⎡⎤∈-⎣⎦.如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）10．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】在ABC 中，若()22235a cb+=，则cos B 的最小值为_______11．【2020·定远县育才学校高三其他（理）】已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．12．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是A ．函数的一条对称轴为6x π= B ．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增C ．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-D ．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数13．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=. （1）求ABC △的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 14．【2020·湖北省高三其他（理）】已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 2224b c a +-=．（1）若a =b =cos B ．（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．15．【2020·广东省高三其他（理）】在ABC △中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(3,2sin )m B =-，向量(cos ,cos 2)n B B =，且//m n ，角B 为锐角.（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC △面积的最大值.16．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理）】在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且b =（1）当4A π=时，求ABC △的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．17．【2020·山东省高三三模】如图，半圆O 的直径AB =2，点C 在AB 的延长线上，BC =1，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD △，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．（1）把线段PC 的长表示为θ的函数；（2）求四边形ACDP 面积的最大值．18．【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos cos 2f x x x x x =+-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；19．【2020·广东省高三二模（理）】ABC △中，D 为BC 上的点，AD 平分BAC ∠，5AD =，8AC =，ACD△的面积为（1）求CD 的长；（2）求sin B .20．【2020·四川省泸县第四中学高三二模（理）】△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin sin sin C B A B =+-．（1）求角A 的大小；（2）若a =△ABC 的面积S =,求△ABC 的周长．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！专题06 三角函数及解三角形1．（海南省2021届高三第二次模拟）古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示.若实数n 满足224sin 184n ︒+=，则221sin188sin 18n ︒︒-=（） A ．14B ．12C 5D 3【答案】A【解析】根据题中的条件可得()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒===︒︒⨯︒︒︒-︒()1sin181sin1811cos7241cos72482-︒-==-︒︒︒=-⨯. 故选：A ．2．（河北省保定市定州中学2021届高三模拟）已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到【答案】C【解析】依题意有3,26ππϕϕ==，()2sin cos sin 2f x x x x ==，故()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故由()f x 向左移6π个单位得到.3．（河北省保定市定州中学2021届高三模拟）ABC 中，若)sin 3sin cos C A A B =+，则（）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC 是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D【解析】ABC 中，∵()C A B π=-+，∴ sin()A B +，代入)sin 3sin cos C A A B =+得，sin()3sin )cos A B A A B +=+，化简可得， cos cos cos cos A B A B =①，∵0A π<<，∴分两种情况讨论，（1）当cos 0A ≠时，①化为sin 3B B =，则 tanB 3=∵0B π<<，∴ 3B π=，则223A CB B ππ+=-==；（2）当cos 0A =时，2A π=，则222a b c =+，综上可得， 222a b c =+或2B A C =+，故选D ．4．（湖北省荆州市2021届高三质检）若cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．-1 B ．12C ．-1或12D ．12-或14【答案】C【解析】由cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：222cos cos 21sin 24πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭ 即21cos 21sin 221sin 222πααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==-，解得：sin 21α=-或12本题正确选项：C5．（湖北省随州市一中2021届高三模拟）若3 cos()45πα-=，则sin2α=（）A．725B．15C．15-D．725-【答案】D【解析】2237cos22cos12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos2cos2sin242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.6．（湖北省随州市一中2021届高三模拟）函数()()sin0,0,0y A x Aωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示,则( )A．该函数的解析式为2π2sin33y x⎛⎫=+⎪⎝⎭B．该函数的对称中心为ππ,0,3k k⎛⎫-∈⎪⎝⎭ZC．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π,44k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD．把函数π2sin3y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32,纵坐标不变,可得到该函数图象【答案】ACD【解析】由图可知2A=,函数的周期为434πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭,故2233πωπ==.即22sin3y xϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭,代入最高点,24π⎛⎫⎪⎝⎭有222sin sin1346ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为623πππϕϕ+=⇒=.故22sin33y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故A 正确. 对B, 22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心：233322x k x k ππππ+=⇒=-.故该函数的对称中心为3ππ,0,22k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .故B 错误. 对C,单调递增区间为2222332πππk πx k π-≤+≤+,解得5ππ3π,3π,44x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z .故C 正确.对D, 把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32,纵坐标不变,可得到22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故D 正确.故选：ACD7．（湖南省永州市2021届高三联考）已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，虚轴的两个端点分别为1A ，2A ，点P 为C 上一点，120PA PA →→⋅=，12||3||PF PF →→=，则C 的离心率为（） A 3 B ．3C 2 D ．2【答案】A【解析】因为120PA PA →→⋅=，所以12PA PA →→⊥，则||PO b →=，因为12||3||PF PF →→=，12||||2PF PF a →→-=，所以12||3,||PF a PF a →→==，因为||PO b →=，2||PF a →=，2||OF c →=，所以2OPF △是直角三角形，且22OPF π∠=,所以21cos a PF F c∠=，所以在12PF F △中由余弦定理得222219422cos a c a c a PF F =+-⨯⨯⨯∠，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！得3c a =，所以3==ce a. 故选：A8．（湖南省永州市2021届高三联考）已知函数()sin 3f x x x ωω=(0>ω)相邻的最高点的距离为2π，则下列结论正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．函数()y f x =的图象关于直线12x π=对称C ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1，2] D ．将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移4π个单位得72sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由题意，化简得()sin 3cos 2sin()3f x x x x πωωω==+，由题意知周期22T ππω==，得1ω=，所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当23x π=时，3x ππ+=，故A 项正确；当12x π=时，5312x ππ+=，故B 项错误；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()[1,2]f x ∈，故C 项正确；将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移4π个单位，可得52sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 项错误. 故选：AC原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9．（江苏省盐城中学2021届高三质检）已知M 是ABC 内的一点，且43AB AC ⋅=30BAC ∠=，若,MBC MCA 和MAB △的面积分别为1x y ，，，则19x y+的最小值是（） A ．12 B ．14 C ．16D ．18【答案】C【解析】由43AB AC ⋅=30BAC ∠=，可得8AB AC ⋅=，故1sin 22ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠=，即12x y ++=，1x y +=，且0,0x y >>，故191999()()1021016y x y x x y x y x y x y x y+=+⋅+=++≥⋅=，当且仅当9y x x y=，即3y x =时取等，故答案为：16.10．（江苏省盐城中学2021届高三质检）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 22A c bc+=，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】由已知可得2cos 11cos ,22222A c b A bc c++==+，即cos ,cos bA b c A c==．法一：由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，则2222b c a b c bc +-=⋅，所以222c a b =+，由此知ABC 为直角三角形．法二：由正弦定理得：sin sin cos B C A =．在ABC 中，sin sin()B A C =+，从而有sin cos cos sin sin cos A C A C C A +=，即sin cos 0A C =．在ABC 中，sin 0A ≠，所以cos 0C =．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由此得2C π=，故ABC 为直角三角形.故选：B.11．（山东省百所名校2021届高三联考）已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．29-B ．29C ．79-D ．7 9【答案】D 【解析】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，从而2[]7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 312329ππππθαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D12．（山东省济南市莱芜一中2021届高三模拟）已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，3b c =，则tan A 的值是( ) A 3 B 23C 3D 43【答案】A【解析】∵()sin 2sin cos sin 2sin cos A B C B C B C +=++sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C =++=，∴cos sin 3sin cos B C B C =-，∴cos 3cos c B b C =-，可得：()222222322a c b a b c c b ac ab+-+-⋅=-⋅，整理可得：2222a b c +=， 3b c =，∴222223a b c b +==，解得a b =，可得A 为锐角，∴22222232223b c a cosA bc b b+-===⨯，可得：1sin 2A =，3tan 3A =，故选A ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13．（山东省济南市莱芜一中2021届高三模拟）已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，令()()()g x f x f x '=+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是（）A ．函数()g x 的最大值为2B ．若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -的最小值为2πC ．函数()g x 图象的对称轴方程为(),Z 12x k k ππ=-∈D ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线31y x =-+平行【答案】BC【解析】由函数()f x 的图象，可得212,4362T A πππ==-=，所以2T π=，可得1w =，所以()()2cos f x x ϕ=+，因为()2cos()266f ππϕ=+=且2πϕ<，可得6πϕ=-，即()2cos()6f x x π=-，所以()()()2cos()2sin()22)6612g x f x f x x x x πππ'=+=---=+ 对于A 中，函数()max 22g x =A 不正确；对于B 中，由函数()()20h x g x =+=，可得2cos()12x π+=，可得12x x -的最小值为53442πππ-=，所以B 正确；对于C 中，令,12x k k Z ππ+=∈，解得,12x k k Z ππ=-∈，所以函数()g x 图象的对称轴方程为(),Z 12x k k ππ=-∈，所以C 正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于D 中，由导数的几何意义，过点P 的切线斜率为()22sin()12k gx x π'==+，可得[22,22]k ∈-，所以不存在斜率为3-的切线，所以D 不正确. 故选：BC.14．（山东省淄博市2021届高三零模）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图像，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图像关于直线12x π=对称B ．函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．将函数()f x 图像上所有的点向右平移6π个单位，得到函数()g x ，则()g x 为奇函数 D ．函数()f x 在区间,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ACD【解析】由图象得函数最小值为2-，故2A =，741234T πππ=-=，故T π=，22T πω==，故函数()2sin(2)f x x ϕ=+，又函数过点7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故72sin(2)212πϕ⨯+=-，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又2πϕ<，即3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+， ()f x 对称轴：2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，当0k =时，12x π=，故A 选项正确；()f x 对称中心：2,3x k k Z ππ+=∈，解得,62k x k Z ππ=-+∈，对称中心为(,0),62k k Z ππ-+∈，故B 选项错误；函数()f x 图像上所有的点向右平移6π个单位，得到函数()2sin 2g x x =，为奇函数，故C 选项正确； ()f x 的单调递增区间：2[2,2],322x k k k Z πππππ+∈-++∈，解得5[,],1212x k k k Z ππππ∈-++∈，又5[,][,],4121212k k k Z ππππππ-⊆-++∈，故D 选项正确；故选：ACD.15．（山东师范大学附属中学2021届高三测试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，即22222a c b a +-=所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A16．（山东师范大学附属中学2021届高三测试）已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（） A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】D【解析】由题意可知，点()cos ,sin θθ在直线2y x =上，则sin 2cos θθ=，可得tan 2θ=，因此，2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ====++.故选：D.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17．（山东师范大学附属中学2021届高三测试）已知函数()()πcos 206f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（） A ．()00g =B ．()g x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()g x 的图象关于π4x =-对称D ．()g x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是1 【答案】ABC 【解析】()f x 因为最小正周期为π2，222ππω∴=，解得2ω=，()πcos 46f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得πcos 4cos 4sin 4662y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得sin 2y x =-，即()sin 2g x x =-，则()0sin00g =-=，故A 正确；sin 02g ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴()g x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确； sin 142g ππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 的图象关于π4x =-对称，故C 正确；当ππ,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即1sin 21,2x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()g x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，故D 错误. 故选：ABC.18．（重庆市八中2021届高三检测）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）．A ．75B ．17C ．7-D ．2 【答案】B【解析】根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，故设直角三角形较大直角边为a ，则另一直角边为2a -，所以()222100a a +-=，解方程得：8a =， ∴4sin 5θ=，3cos 5θ=，则4tan 3θ=， ∴πtan 11tan 41tan 7θθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭．故选：B.19．（山东省淄博市2021届高三零模）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 3α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____．72【解析】由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 3α=可得31010sin αα==，所以310103sin 22sin cos 25ααα===， 2222103104cos 2cos sin 10105ααα⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以324272sin 24525210πα⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7220．（山东省新高考2021届高三联考）若tan 2α=，则sin 2cos sin cos αααα+=-________.【答案】4【解析】∵tan 2α=， ∴sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===---．故答案为：4．21．（山东省济南市莱芜一中2021届高三模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos 3A B a ==22a c ac +-=__________. 【答案】1 【解析】因为sin 32A a =，所以232sin R A a ==所以32sin 3b R B B ==， 3cos 3B =所以333223sin B b B ==，所以tan 3B = 因为()0,B π∈，所以3B π=所以232331b B ===，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由余弦定理得：222222cos 1b a c ac B a c ac =+-=+-=，故答案为：122．（江苏省宿迁中学2021届高三模拟）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________.【答案】12【解析】设3()sin f x x x =+，则2()3cos f x x x '=+，易知()f x '是偶函数.当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，∴()0f x '>；当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，()0f x '>. ∴()0f x '>恒成立，即()f x 在定义域内单调递增. 因为3()sin ()f x x x f x -=--=-，∴()f x 为奇函数，∴()f x 的图象关于点()0,0对称，因为2cos cos sin 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴332cos sin 26366m ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得33cos sin 262666m πππππββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.则066f f ππαβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴066ππαβ-+-=，即3παβ+=，故1cos()cos 32παβ+==. 故答案为：12原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23．（江苏省南京市二十九中2021届高三模拟）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为________. 【答案】53⎫⎪⎪⎝⎭【解析】22a b bc -=，利用余弦定理可得：2222cos b c bc A b bc +--=，即22cos c bc A bc -=，2cos c b A b ∴-=由正弦定理可得：sin 2sin cos sin C B A B -=，sin()2sin cos sin A B B A B ∴+-=，即sin cos sin cos sin A B B A B -=，即sin()sin A B B -= 又ABC 为锐角三角形，A B B ∴-=，即2A B =022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，64B ππ∴<<，32A ππ<<11sin()sin(2)12sin 2sin 2sin 2sin tan tan sin sin sin sin sin A B B B A A A A B A B A B A A---+=+=+=+ 又32A ππ<<，3sin 1A << 令3sin 1t A t ⎫=<<⎪⎪⎝⎭，则13()21f t t t t ⎫=+<<⎪⎪⎝⎭由对勾函数性质知，1()2f t t t=+在3t ⎫∈⎪⎪⎝⎭上单调递增，又335322233f ⎛=+⨯= ⎝⎭，()112131f =+⨯=，512sin 3i n 3s A A ∴⎫⎪∈⎝⎭+⎪ 故答案为：53⎫⎪⎪⎝⎭24．（湖南省长沙市一中2021届高三模拟）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________.【答案】12【解析】设3()sin f x x x =+，则2()3cos f x x x '=+，易知()f x '是偶函数.当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，∴()0f x '>；当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，()0f x '>. ∴()0f x '>恒成立，即()f x 在定义域内单调递增. 因为3()sin ()f x x x f x -=--=-，∴()f x 为奇函数，∴()f x 的图象关于点()0,0对称，因为2cos cos sin 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴332cos sin 26366m ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得33cos sin 262666m πππππββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.则066f f ππαβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴066ππαβ-+-=，即3παβ+=，故1cos()cos 32παβ+==. 故答案为：1225．（江苏省常州市2021届四校联考）在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，2BD =，则ABC 的面积为_________.37原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【解析】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠，设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=，因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =，所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=，所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=，因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=，在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=，可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以27sin 1cos 4BAD BAD ∠=-∠=， 7337sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以137sin 28ABCSAC AB BAC =⋅∠=， 37 26．（湖北省随州市一中2021届高三模拟）已知tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα--的值为______．【答案】16-【解析】因为tan 3α=，可得22222222sin cos sin sin 2sin 2sin cos sin cos 2sin 1cos 22sin cos ααααααααααααα---==- 2tan 2312tan 236αα--===-⨯ 27．（湖北省黄冈市2021届高三联考）已知直线y x m =+与圆224x y +=相交于A ､B 两点，O 为坐标原点，0OA OB⋅<且AOB 的面积为3，则实数m=______. 【答案】2±【解析】122sin32AOBS AOB=⋅⋅⋅∠=△，3sin2AOB∴∠=，0OA OB⋅<，120AOB∴∠=︒，∴圆心O到直线y x m=+的距离2sin301d=︒=，即12=，2m=±.故答案为：2±28．（河北省保定市定州中学2021届高三模拟）在ABC∆中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，5cos2C=，且cos cos2a Bb A+=，则ABC∆面积的最大值为_______．【答案】5【解析】5cos2C=，21cos2cos129CC=-=，45sin C=，cos cos2a Bb A c+==，外接圆直径为952sincRC==，由图可知，当C在AB垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x=，则由相交弦定理有95110x x⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭，解得5x=，故最大面积为15522S=⋅⋅=.29．（湖北省黄冈市2021届高三联考）综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C在同一水平面的A､B两点(B在A的正西方向)，在A点测得樟树根部C在西偏北30°原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______米.【答案】2063【解析】根据图形知，ABC 中，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，40AB =，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由正弦定理得，40sin 30sin 45BC =︒︒，解得14022022BC ⨯==，在Rt BCD 中，30BDC ∠=︒，所以3206tan 30202CD BC =︒==故答案为：63. 30．（湖北省随州市一中2021届高三模拟）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，则11tan tan B C+的最小值为________．【答案】233【解析】因为,3A π=所以()sin 11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin sin sin B C B C B C B C B C B C B C B C+++=+==sin 31sin sin 2sin sin A B C B C ⎫==⎪⎝⎭231322231sin sin sin cos +sin 3B B B B Bπ==⎛⎫- ⎪⎝⎭3111sin 2+264B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭232sin 2+16B =- ⎪⎝⎭，因为203B π<<，所以72666B πππ-<-<，所以1sin 2126B π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以02sin 2+136B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 / 2123232sin 2+16B ≥- ⎪⎝⎭所以11tan tan B C +23，当且仅当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，11tan tan B C +的最小值为33。

专题06 三角函数及解三角形(解析版)-2021年新高考数学最新模拟题分项汇编(第二期·2月)

三角函数与解三角形-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)

2021届高考数学模拟试卷汇编：三角函数及解三角形(含答案解析)

2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题及解析

三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)

【高考数学大题精做】专题06 三角形中的最值问题(第一篇)(解析版)

2021-2021 高考全国卷三角函数解三角形真题汇编(文科)

(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(2021年整理)

专题06三角函数与解三角形选择填空题(解析版)

2021年高三冲刺备考【新题型】——三角函数与解三角形-解析

2021年高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编含解析

2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题5 三角函数与解三角形》(解析版)

专题06三角函数与解三角形选择填空题(解析版)

三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)

新高考数学三角函数与解三角形多选题专项练习及答案

2021年高考数学三角函数与解三角形多选题与热点解答题组合练及答案

2021年高考数学中“三角函数与解三角形多选题”的类型分析附解析

新高考数学三角函数与解三角形多选题与热点解答题组合练附答案

专题06 三角函数及解三角形——2021年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(原卷版)

2021年高考数学高考数学压轴题三角函数与解三角形多选题分类精编含解析