河南省开封市高考数学一模试卷(理科)

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河南省开封市高三年级第一次质量检测(理数)

数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟 .2．请将第Ⅰ卷选择题的答案填用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷在各题后直接作答.参照公式：假如事件 A 、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S 4 R2假如事件 A 、B 互相独立，那么P(A ·B)=P(A) ·P(B) 此中 R 表示球的半径假如事件 A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式P，那么 n 次独立重复试验中恰巧发生k V球 4 R33次的概率 P n ( k) C n k P k (1 P) n k 此中 R 表示球的半径（ k=0， 1， 2，， n）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12 题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的）1．设会合M { y | y x 2 }, P { x | y x 1}, 则 P M （）A ．（1，+ ）B．[1, ) C．（ 0，+ ）D．[0, )2．在复平面内，复数z i 对应的点位于（）2 iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3．若( x 2 )n睁开式中二项式系数之和为64，则睁开式中常数项为（）xA ．20 B．－ 160 C． 160 D ．— 2704．函数y 3 x 1 ( 1 x 0) 的反函数是（）A ．y 1 log 3 x( x 0) B．y 1 log 3 x(x 0)C．y 1 log 3 x(1 x 3) D．y 1 log 3 x(1 x 3)5．圆( x 1) 2 y 2 4 上的动点P到直线x+y－7=0的距离的最小值等于（）A ．42 2B ．4 2C ．42 4D ．42 22 a) 是奇函数，则 f ( x) 0 的解集为（）6．设 f ( x) lg(1 xA ．（－ 1， 0）B ．（ 0， 1）C ．（－， 0）D ．（－，0）∪（ 1，+ ）7．两位到北京旅行的外国旅客要与2008 奥运会的祥瑞物福娃（ 5 个）合影纪念，要求排成一排，两位旅客相邻且不排在两头，则不一样的排法共有（）A ．1440B ． 960C ． 720D ．4808．以下函数中，即在（ 0，）上是增函数，又以为最小正周期的偶函数的是（）2A ． y x 2 | cos x |B ． ycos2x C ． y | sin 2x | D ． y | sin x |9．已知等比数列 { a n } 各项均为正数，公比 q1,设Pa 2 a 3,Qa 4 a 7 .则 P 与 Q 的大2小关系是（）A ．P<QB ． P=QC ． P>QD ．没法确立10．从 P 点出发三条射线 PA ， PB ， PC 两两成 60°，且分别与球O 相切于 A ，B ，C 三点，若球的体积为4，则 OP 的距离为（）3A ． 2B ． 3C ．3D ． 2211．函数 f ( x) 的定义域为（ 0， + ）且 f ( x)0, f ( x) 0, m 为正数，则函数y ( x m) f (xm)（）A ．存在极大值B ．存在极小值C ．是增函数D ．是减函数12．设椭圆x 2 y 21，右焦点 F （ c,0a 21( a 0, b 0)的离心率 e），方程b 22ax 2bx c 0 的两个根分别为 x 1 ,x 2，则点 P （ x 1,x 2 ）在（）A ．圆 x 2 y 2 2 内B ．圆 x 2y 2 2 上C ．圆 x 2y 2 2外D ．以上三种状况都有可能第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）2x 3y 613．已知x y 0 则 z 3x y 的最大值为。

河南省开封市高考数学一诊试卷(理科)

河南省开封市高考数学一诊试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）已知集合，则集合（）A. B. C.D.2. （2 分） (2019 高二上·吴起期中) 命题“若，则”的逆命题是（）A.若，则B.若，则.C.若，则D.若，则3. （2 分） (2017 高二上·荔湾月考) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值等于（）．第 1 页共 14 页A. B. C. D.4. （2 分）双曲线 A.3 B.C.D.的离心率是（）第 2 页共 14 页5. （2 分） (2016 高二上·南昌开学考) sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（） A.0 B.C. D.1 6. （2 分）设 A . 729 B . 665 C . 728 D . 636，则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）7. （2 分）已知 A，B，C 三点在球 O 的球面上，AB=BC=CA=3，且球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径的，则球 O 的表面积为（）A. B.C.D.8. （2 分） (2016 高一下·桐乡期中) 已知函数的最小正周期为 π，将 y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的一个值是（）A.B.第 3 页共 14 页C.D. 9. （2 分） (2019 高一上·河南月考) 下列说法正确的是（） A . 通过圆台侧面一点，有无数条母线 B . 棱柱的底面一定是平行四边形 C . 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D . 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形10. （2 分）已知 A.9 B.3 C.1 D.2，则＝（）11. （2 分） (2017 高二下·临沭开学考) 设函数 f（x）= x﹣lnx（x＞0），则函数 f（x）（） A . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点 B . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内有零点 C . 在区间（0，3），（3，+∞）均无零点 D . 在区间（0，3），（3，+∞）均有零点 12. （ 2 分）设曲线 y=xn+1 （ n∈N* ）在点（ 1 ， 1 ）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ，则 log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016 的值为（） A . ﹣log20172016 B . ﹣1第 4 页共 14 页C . log20172016﹣1 D.1二、填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2019 高二下·佛山期末) 已知复数对应复平面上的点，复数满足，则复数的共轭复数为________.14. （1 分）在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与相邻两边所成的角为 α，β，则有 cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，对角线 AC1 与相邻三个面所成的角为 α，β，γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ=________15. （1 分） (2017·邯郸模拟) 已知实数 x，y 满足约束条件实数 m 的取值范围是________．，若∃ x、y 使得 2x﹣y＜m，则16. （ 2 分） (2020 高一下 · 嘉兴期中 ) 在锐角中，角所对边为，已知，则________，的面积为________.三、解答题 (共 7 题；共 55 分)17. （10 分） (2017 高三下·黑龙江开学考) 已知数列{an}满足 a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设 Sn 为数列{}的前 n 项和，求证：1≤Sn＜4．18. （5 分）某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了 30 名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在 75 分以上（包括 75 分）的学生定义为甲组，成绩在 75 分以下（不包括 75 分）定义为乙组．（Ⅰ）在这 30 名学生中，甲组学生中有男生 7 人，乙组学生中有女生 12 人，试问有没有 90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；（Ⅱ）记甲组学生的成绩分别为 x1 ， x2 ， …，x12 ，执行如图所示的程序框图，求输出的 S 的值；（Ⅲ）竞赛中，学生小张、小李同时回答两道题，小张答对每道题的概率均为第 5 页共 14 页，小李答对每道题的概率均为，两人回答每道题正确与否相互独立．记小张答对题的道数为 a，小李答对题的道数为 b，X=|a﹣b|，写出 X 的概率分布列，并求出 X 的数学期望．附：K2=；其中 n=a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0） k00.100 2.7060.050 3.8410.010 6.63519. （5 分） (2016·韶关模拟) 已知四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，∠ABC=60°，E 是 BC 中点，M 是 PD 上的中点，F 是 PC 上的动点．（Ⅰ）求证：平面 AEF⊥平面 PAD（Ⅱ）直线 EM 与平面 PAD 所成角的正切值为，当 F 是 PC 中点时，求二面角 C﹣AF﹣E 的余弦值．第 6 页共 14 页20. （10 分） (2019 高二上·南宁月考) 已知为圆：的垂线，垂足分别为、，连接延长至点，使得（1）求曲线的方程；上的动点，过点作轴、轴，记点的轨迹为曲线 .（2）直线：与圆相切，直线：21. （10 分） (2018·南宁模拟) 已知函数与曲线相切，求的取值范围. .（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.22. （10 分）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1：(t 为参数，t≠0)，其中 0点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： =2sin ， C3: =2 cos（1）（Ⅰ）求 C2 与 C1 交点的直角坐标（2）（Ⅱ）若 C2 与 C1 相交于点 A，C3 与 C1 相交于点 B，求|AB|的最大值23. （5 分） (2018·淮南模拟) 选修：不等式选讲已知函数，，在以 O 为极（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.第 7 页共 14 页一、选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页共 14 页16-1、三、解答题 (共 7 题；共 55 分)17-1、17-2、第 9 页共 14 页18-1、19-1、第 10 页共 14 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2023届河南省开封高级中学高考模拟数学(理科)试卷(一)

A.
1 3
+
2 2
1 3
B. −2 + 2
1 3
C. 2−2
1 3
D. −2−2
2. 已知全集 = ，集合 = {|2−−6 > 0}， = { ∈ |−2| < 3}，则(∁) ∩ = ( )
A. (−1,3]
B. [−1,3]
C. {−1,0,1,2,3}
D. {0,1,2,3}
2
2
∴ −2 ⋅ + = 1 + || + ||2 = 7，
∴ ||2 +||−6 = 0，解得|| = 2或|| = −3(舍去)．
故选：．
根据条件对|−| = 7两边平方即可得出关于||的方程，解方程即可求出||的值．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
围．
21. (本小题12.0分)
1

2−2
已知函数() = − − + + 1 ( ∈ )．
(1)当 = 2时，求函数()在区间[1,2]上的值域；
(2)若函数()有三个零点，分别为1，2，3(1 < 2 < 3)，求实数的取值范围，并求12
3的值．
4.【答案】
【解析】解：由题意得 = 2031−2021 = 10，且 = 0.12， = 1300，0 = 20，

∵ = 1 + ( −1)−，

0
1300
∴ = 1 + ( 1300 −1)−0.12×10 =
20
1300
，
1 + 64−1.2
∵ 0.30 ≈ −1.2， ∴ −1.2 ≈ 0.30 = 0.3，

2020届河南省开封市高考数学一模试卷

2020年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-x-6＜0}，B=N，则A∩B=（）A. {-1，0，1，2}B. {0，1，2}C. {-2，-1，0，1}D. {0，1}2.在复平面内，复数对应的点位于直线y=x的左上方，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （-∞，1）C. （0，+∞）D. （1，+∞）3.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则tan2α=（）A. B. C. D.5.已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）=2x-1，则f（m）的值为（）A. -15B. -7C. 3D. 156.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为（）A. 17米B. 22米C. 3l 米D. 35米8. 已知{F n }是斐波那契数列，则F 1=F 2=1，F n =F n -1+F n -2（n ∈N*且n ≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则n =（） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 9. 设m =ln2，n =lg2，则（）A. m -n ＞mn ＞m +nB. m -n ＞m +n ＞mnC. m +n ＞mn ＞m -nD. m +n ＞m -n ＞mn10. 已知F 为双曲线C ：的右焦点，圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2与C 在第一象限、第三象限的交点分别为M ，N ，若△MNF 的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为（）A. B. C. 2 D. 11. 将函数f （x ）=a sin x +b cos x 的图象向右平移个单位长度得到g （x ）的图象，若g（x ）的对称中心为坐标原点，则关于函数f （x ）有下述四个结论： ①f （x ）的最小正周期为2π②若f （x ）的最大值为2，则a =1 ③f （x ）在[-π，π]有两个零点 ④f （x ）在区间[-，]上单调其中所有正确结论的标号是（） A. ①③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①③12. 已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量，，若，则m =______．14.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______．15.设点P为函数f（x）=ln x-x3上任意一点，点Q为直线2x+y-2=0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为______．16.若数列{a n}满足，则称数列{a n}为“差半递增”数列．若数列{a n}为“差半递增”数列，且其通项a n与前n项和S n满足，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a n+1+n=2a n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．18.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．（1）求证：EG⊥DF；（2）求二面角A-HF-C的正弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求的最大值．20.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验n次；②混合检验，将其k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（Ⅰ）运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2，试求p关于k的函数关系式p=f（k）；（Ⅱ）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．21.已知函数f（x）=a•e-x+sin x，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=1时，证明：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在（0，）上存在两个极值点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设P是曲线C1上一点，此时参数φ=，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．23.已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x2-x-6＜0}=[-2，3]，B=N，则A∩B={0，1，2}．故选：B．解不等式先求出集合A，即可求解．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），由复数对应的点位于直线y=x的左上方，得＞0，即a＜0．∴实数a的取值范围是（-∞，0）．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简求得复数对应的点的坐标，再由线性规划知识列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由三角函数的定义可知，tanα=-2，tan2α===．故选：D．由三角函数的定义可求tanα，然后再由二倍角正切公式an2α=即可求解．5.【答案】A【解析】解：由奇函数的对称性可知，m-5+1-2m=0，∴m=-4，∵x＞0时，f（x）=2x-1，则f（m）=f（-4）=-f（4）=-15．故选：A．先根据奇函数定义域关于原点对称求出m，然后代入即可求解本题考查奇函数的性质，转化思想，正确转化是关键．6.【答案】D【解析】解：根据图形，抽取的总人数10÷20%=50，其中C所占的百分比为：12÷50=0.24，故1000×（0.24+0.2+0.46）=1000×0.9=900，故选：D．利用图形，先算出抽取的总人数，求出C的百分比，最后算出结论．考查直方图，扇形统计图，样本估计总体问题等，基础题．7.【答案】C【解析】解：如图所示，依题意可知∠ADC=45°，∠ACD=180°-60°-15°=105°，∴∠DAC=180°-45°-105°=30°，由正弦定理可知，∴AC==25米．∴在Rt△ABC中，AB=AC•sin∠ACB=25×=≈31米．∴旗杆的高度为31米．故选：C．先求得∠ADC和∠ACD，则∠DAC可求，再利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得AB的长．本题主要考查了解三角形的实际应用，此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题解决，是中档题．8.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得i=1，a=1，b=1，满足条件i＜10，执行循环，输出斐波那契数列的前2项，a=2，b=3，i=2满足条件i＜10，执行循环，输出斐波那契数列的第3，第4项，a=5，b=8，i=3…每经过一次循环，输出了斐波那契数列的2项，i=9时，共输出了斐波那契数列的前18项，此时i=10，不满足条件，退出循环体．故程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，n=18．故选：B．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【解析】解：∵0＜m＜1，0＜n＜1，m＞n，=，故m-n＞mn，所以，故m+n＞mn，由m+n＞m-n故m+n＞m-n＞mn，故选：D．利用倒数，作差法，判断即可．考查对数换底公式，对数的运算性质和不等式比较大小，基础题．10.【答案】A【解析】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，由双曲线的定义可得m-n=2a，①由|OM|=|ON|，|OF1|=|OF2|，可得四边形F1NF2M为平行四边形，圆O：x2+y2=a2+b2=c2，由直径所对的圆周角为直角，可得四边形F1NF2M为矩形，即有m2+n2=4c2，②S=mn=ab，③由①②③可得4c2-4ab=4a2，即为b=a，可得e==．故选：A．设|MF1|=m，|MF2|=n，运用双曲线的定义和勾股定理、以及矩形的周长和面积公式，化简可得a，c的关系，进而得到所求离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率，考查直径所对的圆周角为直角，以及勾股定理和化简运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：f（x）=a sin x+b cos x==．将f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，则g（x）=．∵g（x）的对称中心为坐标原点，∴，得，则θ=，k∈Z．∴f（x）=．∴f（x）的最小正周期T=2π，故①正确；若f（x）的最大值为2，则，a不一定为1，故②错误；由f（x）=0，得sin（x+）=0，即sin（x+）=0，在[-π，π]有两个零点，，故③正确；当x∈[-，]时，x+∈，当k为偶数时，f（x）单调递增，当k为奇数时，f（x）单调递减，故④错误．∴其中所有正确结论的标号是①③．故选：D．利用辅助角公式化积，结合函数的图象平移及对称性求得θ，可得函数f（x）的解析式，然后逐一核对四个命题得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查推理运算能力，属中档题．12.【答案】B【解析】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形，为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．因为正三角形的边长为，正方体ABCD-A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），可以看成两个边长为的等边三角形，所以正方体在平面α内的正投影面积是S=2×=．故选：B．利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，正方体ABCD-A1B1C1D1的本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于难题．13.【答案】1【解析】解：∵向量，，若，则•=0，即2×3-6m=0，则m=1，故答案为：1．由题意可得•=0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．14.【答案】48【解析】解：根据题意，假设有5个位置，第一个位置的舰载机最先着舰，其余的舰载机依次按位置着舰，乙机不能最先着舰，则乙机有4个位置可选，在剩下的位置中任选2个，安排丙机和甲机，要求丙机必须在甲机之前，有C42=6种情况，最后将剩下的2架舰载机安排在剩下的位置，有2种情况；则同的着舰方法有4×6×2=48种；故答案为：48．根据题意，假设有5个位置，据此分2步分析着舰的顺序，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由f（x）=ln x-x3，得f′（x）=ln x-x3=，设与直线2x+y-2=0平行的切线切曲线f（x）于P（），则，整理得，解得x0=1，则切点P（1，-1）．∴P到直线2x+y-2=0的距离d=．即P，Q两点距离的最小值为．故答案为：．求出原函数的导函数，再求出与直线2x+y-2=0平行的切线切曲线f（x）的坐标，利用点到直线的距离公式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．16.【答案】把这两个等式相减，得a n=2a n-2a n-1，所以，因为S1=2a1+2t-1，所以a1=1-2t，则数列{a n}是公比为2的等比数列，所以a n=a1×2n-1=（1-2t）×2n-1，=（1-2t）×2n-2，所以a n-a n-1=3（1-2t）×2n-3，a n+1-=3（1-2t）×2n-2，（a n+1-）-（a n-a n-1）=3（1-2t）×2n-2-3（1-2t）×2n-3＞0，解得t＜，故答案为：（-∞，）．因为S n=2a n+2t-1，则S n-1=2a n-1+2t-1，把这两个等式相减，得a n=2a n-2a n-1，所以，因为S1=2a1+2t-1，所以a1=1-2t，则数列{a n}是公比为2的等比数列，所以a n=a1×2n-1=（1-2t）×2n-1，=（1-2t）×2n-2，根据题意得，（a n+1-）-（a n-a n-1）＞0，进而得出答案．本题是考查新定义的“差半递增”数列，属于中档题．17.【答案】解：（1）由已知{a n}为等差数列，记其公差为d．①当n≥2时，，两式相减可得d+1=2d，所以d=1，②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．所以a n=1+n-1=n；（2），，所以=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式可得S n，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：连接AC，由可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG∥AC．由题意易知AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，因为BD∩BF=B，所以EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF．（2）解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以，从而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O-xyz，OP=3，DH=4，由平面几何知识，得BF=2．则，，F（0，2，2），H（0，-2，4），所以，，．设平面AFH的法向量为，由，可得，令y=1，则z=2，，所以．同理，平面CFH的一个法向量为．设平面AFH与平面CFH所成角为θ，则，所以．【解析】（1）连接AC，证明EG∥AC．推出EG⊥BD，EG⊥BF，证明EG⊥平面BDHF，然后证明EG⊥DF．（2）OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O-xyz，OP=3，DH=4，求出平面AFH的法向量，平面CFH的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，即|QP|=|QF|，又因为PQ⊥l，即Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q（x，y），则，化简得y2=4x，所以动点Q的轨迹方程E为：y2=4x．（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y=k（x-1），CD：，则，联立可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2=1．因为向量，方向相反，所以=，同理，设C（x3，y3），D（x4，y4），可得，所以，因为，当且仅当k2=1，即k=±1时取等号，所以的最大值为-16．【解析】（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q（x，y），运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y=k（x-1），CD：，分别联立抛物线方程，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，结合基本不等式可得所求最大值．本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线和两点的距离公式，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，则．（2）（Ⅰ）E（ξ1）=k，ξ2的取值为1，k+1，计算，，所以，由E（ξ1）=E（ξ2），得k=k+1-k（1-p）k，所以（k∈N*且k≥2）．（Ⅱ），，所以，即．设，，x＞0，当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减．且f（8）=ln8-2=3ln2-2＞0，，所以k的最大值为8．【解析】（1）利用古典概型、排列组合求出恰好经过3次检验能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）（Ⅰ）由E（ξ1）=k，ξ2的取值为1，k+1，计算对应概率与数学期望值，由E（ξ1）=E（ξ2）求得p的值；（Ⅱ）由题意得，即，设，利用导数判断f（x）的单调性，从而求得k的最大值．本题考查了概率、函数关系式、实数的最大值的求法，也考查了离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题．21.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=e-x+sin x，f′（x）=-e-x+cos x，当x≤0时，-e-x≤-1，则f′（x）≤0（x≤0）所以f（x）在（-∞，0]上单调递减，f（x）≥f（0）=1；所以：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）函数f（x）在（0，）上存在两个极值点；则f′（x）=0在（0，）上有两个不等实数根；即f′（x）=-ae-x+cos x=0在（0，）上有两个不等实数根；即a=e x cos x在（0，）上有两个不等实数根；设g（x）=e x cos x，则g′（x）=e x（cos x-sin x）；当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；又g（0）=1，，；故实数a的取值范围为：【解析】（1）求出f′（x）=-e-x+cos x，得出f′（x）≤0，则f（x）在（-∞，0]上单调递减，结论可证．（2）函数f（x）在（0，）上存在两个极值点；则f′（x）=0在（0，）上有两个不等实数根，分离参数得a=e x cos x在（0，）上有两个不等实数根；设g（x）=e x cos x，讨论函数g（x）的单调性即可解决；本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数法，属于难题．22.【答案】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程为，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程为x2+y2=2；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，∴|OQ|=，|OT|=1，则=．【解析】（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程可求；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，求出|OQ|=，|OT|=1，再求出∠QOT的正弦值，代入三角形面积公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：（1）a，b，c＞0，++≥3•；当且仅当a=b=c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【解析】（1）利用三元的均值不等式直接证明即可；（2）要证＞2，只需证明，即证2，由，即得，累加即可证明．考查了基本不等式的应用，中档题．。

河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题(1)

一、单选题二、多选题1.已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则（）A ．且与圆相交B ．且与圆相离C ．且与圆相离D ．且与圆相交2. 已知数列的通项公式为，则的值为（）A．B．C．D．3.已知为等差数列，，，则其前项和（）A．B．C．D．4. 如图，在边长为1的正三角形ABC 中，，则的值等于A．－B．C．－D．5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6. 现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B 型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（）A ．①②都采用简单随机抽样B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样7. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成角的正切值为（）A．B．C．D ．28. 在四边形ABCD中，，，则的最大值为（）A ．25B．C．D．9.设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（）A．B．当时，的最大值为河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题(1)河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D ．数列前项和为，最大10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的渐近线方程为B．C ．的面积为D．11. 随机变量且，随机变量，若，则（）A．B．C．D．12.已知函数的定义域为，且，时，，，则（）A．B ．函数在区间单调递增C ．函数是奇函数D．函数的一个解析式为13. 在中，若，，，则边__________．14.如图为函数的图象的一部分，则函数的解析式为______.15.设等差数列的前n 项和为，已知，则_____________．16. 已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．（1）求的方程；（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．17. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线：与椭圆相交于不同的两点，，是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.18.椭圆的左顶点为，上顶点为，点在椭圆的内部（不包含边界）运动，且与两点不共线，直线与椭圆分别交于两点，当为坐标原点时，直线的斜率为，四边形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率恒为，求动点的轨迹方程.19. 2022年12月15至16日，中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三点新提法，其中“住房改善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精神，推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间到访客户的情况，统计数据如下表：（注：活动开始的第i天记为，第i天到访的人次记为，）（单位：天）1234567（单位：人次）12224268132202392(1)根据统计数据，通过建模分析得到适合函数模型为（c，d均为大于零的常数）.请根据统计数据及下表中的数据，求活动到访人次y关于活动开展的天次x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次；参考数据：其中；参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；(2)该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房意向的决定因素主要有三类：A类是楼盘的品质与周边的生态环境，B类是楼盘的品质与房子的设计布局，C类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：类别A类B类C类频率0.40.20.4从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言人，视频率为概率，记随机变量X为被抽取的3人中A类和C类的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望.20. 已知函数．(1)求函数的极值点；(2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．21. 设椭圆：的右焦点恰好是抛物线的焦点，椭圆的离心率和双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合）.证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值.。

河南省开封市高考数学一模试卷(理科)

河南省开封市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·兴庆期中) 已知，则集合的元素个数是（）A . 8B . 7C . 6D . 52. （2分）若命题，则是（）A .B . 或C .D . 且3. （2分） (2018高二下·西宁期末) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为（）．A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 已知都是实数，“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·湖北模拟) 如图所示，单位位圆上的两个向量相互垂直，若向量满足（）•（）=0，则| |的取值范围是（）A . [0，1]B . [0， ]C . [1， ]D . [1，2]6. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 180B . 200C . 220D . 2407. （2分）已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数y=sin(2x+)的图象，只要把C上所有的点（）A . 向左平行移动个单位长度B . 向右平行移动个单位长度C . 向左平行移动个单位长度D . 向右平行移动个单位长度8. （2分） (2018高三上·大连期末) 给出以下命题：⑴“ ”是“曲线表示椭圆”的充要条件⑵命题“若，则”的否命题为：“若，则”⑶ 中， . 是斜边上的点， .以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是⑷设随机变量服从正态分布，若，则则正确命题有（）个A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2017·长沙模拟) 若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则 ________.10. （1分）(2017·石嘴山模拟) 已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为________．（用数字作答）11. （1分）(2013·上海理) （2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=________．12. （1分）已知等比数列{an}的首项a1=2013，公比q=﹣，数列{an}前n项的积记为Tn ，则使得Tn 取得最大值时n的值为________．13. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________14. （1分） (2017高一上·无锡期末) 已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2018高二下·磁县期末) 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，．（1）求c的值；（2）求的面积．16. （10分） (2018高二下·四川期中) 近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如表的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为 .参考格式：，其中 .下面的临界值仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由.17. （5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．18. （10分） (2017高二下·陕西期末) 已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．19. （10分）(2018·大新模拟) 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点.（1）若，且点所在直线方程为，求的值；（2）若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并廷长交椭圆于点，求的值.20. （5分）(2017·丰台模拟) 对于∀n∈N* ，若数列{xn}满足xn+1﹣xn＞1，则称这个数列为“K数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足？若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共50分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、。

河南省开封市2024届高三第一次模拟考试数学试卷(含解析)

(1)求四面体 AB1CE 的体积；
(2)求平面 AB1E 与平面 AB1C 夹角的余弦值.
20．已知直线 l :
y
kx 2(k
0) 与椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)在第一象限交于 A
，B
两
点，
E
为线段
AB
的中点，
O
为坐标原点，直线
AB
，
OE
的斜率之积为
1 2
.
(1)求椭圆 C 的离心率；
故选：B.
8．D
【分析】设 x0 为 f (x) 与 g(x) 的“ S 点”，根据题中定义可得出关于 x0 的方程组，即可求得实数 a 的值.
【详解】函数 f x ax2 1， g(x) ln ax ，其中 ax 0 ，
则 f (x) 2ax ， g x 1 ，
x
设
x0
为
f
(x)
与
g(x)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知 O 为坐标原点，过抛物线 C : y2 8x 焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，若
| AF || AO | ，则 | AB | （）
A．5
B．9
C．10
D．18
8．记 f (x) ， g(x) 分别为函数 f (x) ， g(x) 的导函数.若存在 x0 R ，满足 f x0 g x0
1 3
，如此往复.
（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）求甲第 n（ n 1 ，2，L ，16）天选择“单车自由行”的概率 Pn ，并帮甲确定在 2024

河南省开封市高考数学一模试卷(理科)

2021年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a的取值范畴是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若，则sin2α的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．26．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=27．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永久都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能确实是运算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=（）A．B．445πC．455πD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为．15．（5分）设f（x）=，且f（f（a））=2，则满足条件的a的值有个．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内能够任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．三、解答题：共70分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃进展的新机遇，2021年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关治理部门推出了针对电商的商品和服务的评判体系，现从评判系统中选出200次成功交易，并对其评判进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不中意合计对商品好评对商品不中意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范畴．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．2020年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a的取值范畴是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵U=R，集合A={x|x≥1}=[1，+∞），B={x|x＞a}=（a，+∞），∴∁U A=（﹣∞，1），又（∁U A）∪B=R，∴实数a的取值范畴是（﹣∞，1）．故选：A．2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=1﹣2i，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴z2=﹣1﹣2i，则=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵=（m﹣1，1），=（m，﹣2），∴⇔m（m﹣1）﹣2=0．由m（m﹣1）﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．∴“m=2”是“⊥”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：若，即2（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，则2（cosα+sinα）=，即cosα+sinα=，∴1+2sinαcosα=，即sin2α=2sinαcosα=﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵9S3=S6，a2=1，∴=，a1q=1．则q=2，a1=．故选：A．6．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=2【解答】解：依照题意，若曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，则a2=b2，c==a，即焦点的坐标为（±a，0）；其渐近线方程为x±y=0，若焦点到渐近线的距离为，则有=a=，则双曲线的标准方程为﹣=1，即x2﹣y2=2；故选：D．7．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永久都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能确实是运算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，可得①为i≤7？②s=③i=i+1故选：D．8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意能够判定出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，因此排除A；B正确；故选B9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：依照题意，最近路线，那确实是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，∴最近的行走路线共有：n=A=5040，∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也确实是2次向右和2次向前全排列，接下来，确实是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也确实是A53，则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m==1440种，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p===．故选：C．10．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，∵m＞0，∴m=﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|=m+1=﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（﹣1）2，令x=0，可得y=±，∴|EF|=2=2=，故选：D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=（）A．B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x﹣=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，当k=30时，可得x=，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，依照正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2=×2，x2+x3=×2，…，x n﹣1+x n=2×（）将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+...+2x28+x29=2（++...+）=（2+5+8+ (89)×=455π则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=（x1+x2）+（x2+x3）+x3+…+x n﹣1+（x n﹣1+x n）=2（）=455π，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为13．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线3x+5y=0，∵x，y∈Z，∴平移直线3x+5y=0至（1，2）时，目标函数z=3x+5y的最大值为13．故答案为：13．15．（5分）设f（x）=，且f（f（a））=2，则满足条件的a 的值有4个．【解答】解：f（x）=，且f（f（a））=2∴当a＜2时，f（a）=2e a﹣1，若2e a﹣1＜2，则f（f（a））=﹣1=2，解得a=1﹣ln2；若2e a﹣1≥2，则f（f（a））==2，解得a=ln+1，成立；当a≥2时，f（a）=log3（a2﹣1），若log3（a2﹣1）＜2，则f（f（a））=﹣1=2，解得a=2，或a=﹣2，与a≥2不符，若log3（a2﹣1）≥2，则f（f（a））=log3[（log3（a2﹣1）]=2，解得a2=310+1，∴a=或a=﹣与a≥2不符．由此得到满足条件的a的值有1﹣ln2和ln+1和2和，共4个．故答案为：4．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内能够任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．【解答】解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内能够任意转动，∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，∴纸盒的内切球半径是=，设小正四面体的棱长是x，则=x，解得x=，∴小正四面体的棱长的最大值为，故答案为：．三、解答题：共70分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，整理得：2cosBsin（A+C）=﹣sinB，由于：0＜B＜π，则：sinB≠0，解得：，因此：B=．（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，在直角△BCD中，若a=3，BD=，解得：，解得：，则：，，因此：cos∠ABD===，则：在Rt△ABD中，，=．故：c=5．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，∴AB=AE，取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC=E，∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），∴，，=（，，﹣）．设平面PED的一个法向量为，由，令z=﹣1，则，又平面PBE的一个法向量为，则cos＜＞==．∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃进展的新机遇，2021年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关治理部门推出了针对电商的商品和服务的评判体系，现从评判系统中选出200次成功交易，并对其评判进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不中意合计对商品好评对商品不中意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评判的2×2列联表如下：对服务好评对服务不中意合计对商品好评8040120对商品不中意701080合计15050200K2=≈11.111＞6.635，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值能够是0，1，2，3．其中P（X=0）=（）3=，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）==，X的分布列为：X0123P（2）∵X～B（3，），∴E（X）=，D（X）=3×=．20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l 1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，∴•=﹣1，则l 1⊥l2．（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），现在l2为y=1（或y=﹣1），明显直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．设通过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2通过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范畴．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xe x，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）e x，若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，即（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h（x）=（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）e x﹣t+e x，h′（0）=0，h″（x）=e x[（t﹣1）x+2t﹣1]，t=1时，h″（x）=e x≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，明显不成立，∴t≠1，则h″（x）=e x（x+）（t﹣1），令h″（x）=0，则x=﹣，①当﹣≤0即t＜或t＞1时，若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，∴h（x）≤h（0）=0成立，若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，不成立，②﹣≥0即≤t≤1时，h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，综上，t的范畴是（﹣∞，]．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．（Ⅱ）第一把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，因此通过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，则：，解得：，则：=，则：|AP|的最大值为：，|AP|的最小值为：．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，∴或或，解得：﹣1≤x≤1，故m=﹣1，n=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，则++=（++）（a+b+c）=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥+（2+2+2）=+3=，当且仅当a=b=c=时“=”成立．。

2023年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合，则( )A. B. C. D.2. 设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 若是纯虚数，则复数z可以是( )A. B. C. D.4. 已知中，D为BC边上一点，且，则( )A. B. C. D.5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为( )A. 4B. 2C.D.7. 已知，则的最大值为( )A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则满足的x 的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知数列的前n项和，若，则( )A. 8B. 16C. 32D. 6410. 已知点到点和点的距离之和为4，则( )A. 有最大值1B. 有最大值4C. 有最小值1D. 有最小值11. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为( )①平面ABCD；②平面平面；③直线MN 与所成的角为；④直线与平面所成的角为A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是( )A. B. C.D.13. 若函数的一个零点为，则______ .14.已知点，，C 为y 轴上一点，若，则______ .15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部最细处的直径为______16.在数列中，，记是数列的前n 项和，则______ .17.在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，求的值；若，求18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p ，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为求p 的值；记“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为X ，求X 的分布列与期望.19. 如图，是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，平面平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，证明：平面ABC；求二面角的余弦值.20. 已知函数，若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；当时，求在上的最小值；证明：21. 如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处进行作图，当和时分别得到曲线和如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.求曲线和的方程；已知直线l与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，记的面积为S，证明：22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，为曲线C 上一点的坐标.将曲线C的参数方程化为普通方程；过点O任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C交于点A，B，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程，并化为普通方程.23. 已知函数当时，求的最小值；若，时，对任意，使得不等式恒成立，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，故选：先求得，再运算可得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：命题p：，为全称量词命题，则为：，故选：根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可．本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设，则，因为是纯虚数，所以，经验证可知，，适合，即复数z可以是故选：设代入化简，根据其为纯虚数，可得a，b的关系，验证得答案．本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为，所以所以故选：利用向量的线性运算即可求得．本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设圆锥母线长为l，高为h，底面半径为，则由得，所以，所以故选：由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．本题主要考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由可得，，即甲同学成绩的方差为故选：由平均数相等求出m，再求方差．本题主要考查了茎叶图的应用，考查了方差的计算，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：作出可行域如图：由可得：，平移直线经过点A时，z有最大值，由，解得，平移直线经过点A时，z有最大值，故选：作出可行域，根据简单线性规划求解即可．本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：因为是定义域为R的偶函数，所以，又在上单调递减，所以在上单调递增，若，则，解得故选：利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案．主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：，，，，时，，符合上式，故，，，故选：根据题意，写出，结合，，计算即可．本题考查数列的通项与前n项和的关系，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：因为点到点和点的距离之和为4，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆，且长轴长，焦距，所以点P的轨迹方程为，设，，则，所以xy有最大值故选：根据题意，求出点P的轨迹方程，利用三角换元法即可求解．本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：在正方体中，点M，N分别是，的中点，以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，则，，，，，，，由正方体的性质可知：平面ABCD，则平面ABCD的法向量为，，，，平面ABCD，平面ABCD，故①正确；设平面的法向量为，，，，取，得，同理可求出平面的法向量，，，平面平面，故②正确；，，，异面直线所成的角范围为直线MN与所成的角为，故③正确；设直线与平面所成的角为，，平面的法向量为，，直线与平面所成的角不是，故④错误．故选：以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，利用向量法求解．本题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、异面直线所成角、线面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：由题意得，存，使得，即，即，设，，设，所以在单调递减，且，，，，所以在上单调递增，，，，所以在上单调递减，所以，当，则，当，则，所以的图像为：要想成立，则与有交点，所以，故选：根据题意列出关于和a的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点，考查分离变量思想以及数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：函数的一个零点为，，，函数，故答案为：由题意，根据三角函数的零点，求得A值，再利用两角差的正弦公式，求得的值．本题主要考查三角函数的零点，两角差的正弦公式，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：设，点，，，，，，，，解得或舍去，故答案为：设，依题意，利用平面向量数量积的坐标运算可求得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由已知，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，由已知可得，，且，所以，所以双曲线方程为，底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：，解得：，，所以喉部最细处的直径为故答案为：由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出a，b之间的关系，由题意底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部最细处的直径．本题主要考查了双曲线的性质在实际问题中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题知，，，当n为奇数时，，所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当n为偶数时，，所以，所以故答案为：根据当n为奇数时，，当n为偶数时，，分组求和即可．本题主要考查数列的求和，数列递推式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：，，，则，由正弦定理得，又，则，又A，B均为三角形内角，，即，又，即，即，又，则；若，则，由得，由余弦定理可得，即，解得或，当时，，则，即为等腰直角三角形，又，此时不满足题意，故【解析】先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，即可得出答案；由得的值，根据余弦定理公式展开列方程求解c，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p，“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为，，解得；由得，“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为X，则随机变量X的取值可能有0，1，2，3，4，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中都没有猜对成语，则，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中有1个猜对一个成语和有1个一个都没有猜对成语，则，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中甲一个都没猜对和乙全对、乙一个都没猜对和甲全对、甲乙两人两轮都只猜对一个，则，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中甲猜对1个和乙全对、乙猜对1个和甲全对，则，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中两人都全对，则，随机变量X得分布列如下所示：X01234P【解析】根据题意可得，求解即可得出答案；由得，“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为X，则随机变量X的取值可能有0，1，2，3，4，根据概率的乘法法则和加法法则分别计算其概率，即可得到分布列，即可得出答案．本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：取CF的中点D，连接DM，DN，，N分别是AF，CE的中点，，，又平面ABC，平面ABC，平面ABC，又，，同理可得，平面ABC，平面MND，平面MND，，平面平面ABC，又平面MND，平面ABC；取AB的中点O，连接OC，OE，由已知得，，是平行四边形，，，是正三角形，，又平面平面ABEF，且平面平面，平面ABEF，又平面ABEF，，设，，在中，由，解得，即，取EF的中点P，连接OP，则，以OP，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，在根据题意可得：，，，，，，易知平面ABM的一个法向量为，设平面ABN的法向量为，则，，取，，又由图可知二面角为锐角，二面角的余弦值为【解析】取CF的中点D，连接DM，DN，只需证明平面平面ABC，从而即可证明；取AB的中点O，连接OC，求出，取EF的中点P，连接OP，以O为原点，OP，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图所示．利用向量法求解即可．本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．20.【答案】解：由已知，可得恒成立，即恒成立，又，所以，即由已知，可得，则，令，则在上单调递减，又因为，，所以存在，使得，则有x正负递增递减又有，，所以在上，则在上单调递增，所以最小值为证明：由可得在上恒成立，令，在上，所以单调递增且，所以，，从而当时，，令，，，…，得到，，，…，，相加得【解析】由是R上的单调递增函数，得到的恒成立，再求出a的取值范围；对求导，判断单调性，再求出在上的最小值即可；由可得在上恒成立，用导数证明恒大于0，则，令，，，…，不等式左右累加即可证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意，，设，，，所以，，所以，即，解得，又因为，所以，则，将和分别代入，得，；证明：①直线l斜率不存在时，，代入方程得，所以；②直线l斜率存在时，设l：，l与曲线相切，所以，即，联立可得，由得，所以，，于是得，，因为，所以，，综合①②可证，【解析】根据，设，，，利用向量等式关系确定坐标转化关系，由，即得，按照坐标代换可得x，y所满足的方程，最后取和，即可得曲线和的方程；根据直线l与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，讨论直线l的方程情况，按照面积公式分别求证即可．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：因为曲线C的参数方程为为参数，消去参数t可得：，将点代入可得，所以曲线C的普通方程为；由已知得OA，OB的斜率存在且不为0，设OA的斜率为k，方程为，则OB的方程为，联立方程，可得，同理可得，设，所以为参数，所以，所以，即为点M轨迹的普通方程．【解析】根据曲线C的参数方程为为参数，消去参数t求解；设OA的斜率为k，方程为，则OB的方程为：，分别与抛物线方程联立，求得A，B的坐标，再利用中点坐标求解．本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，，当，，；当，，；当，，；当时，的最小值为证明：，，当时，恒成立可化为恒成立，令，，，，，当且仅当时取得等号；又当时，，故【解析】分段求解的最小值和范围，即可求得结果；将问题转化为，结合二次函数在区间上的最值和基本不等式，即可证明．本题考查了分段函数的最值问题以及不等式的证明问题，属于中档题．。

2023-2024学年河南省开封市高考数学(理)模拟试题(一模)含解析

2023-2024学年河南省开封市高考数学（理）模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}{}2216,120x A x B x x =∈≤=-<N ，则A B = （）A ．{}3,2,1,0,1,2,3---B ．(-C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【正确答案】D【分析】化简集合,A B ，结合交集的定义即可求解【详解】由216x ≤可得4x ≤，所以{}{}{}21640,1,2,3,4xA x x x =∈≤=∈≤=N N ，由2120x -<可得x -<<{}{2120B x x x x =-<=-<<，所以{}0,1,2,3A B = 故选：D2．已知复数i z a b =+，其中,a b 为实数，且满足()()212i 55i a b +-=-，则z 的虚部为（）A ．2i-B ．2iC ．2-D ．2【正确答案】D【分析】利用复数的乘法计算，再借助复数相等求出,a b 即可判断作答.【详解】依题意，()()()()212i 242i 55i a a a b +-=+-+=-，而,a b 为实数，则25425a a b +=⎧⎨+=⎩，解得3,2a b ==，所以复数32i z =+的虚部为2.故选：D3．体育强国的建设是2035年我国发展的总体目标之一.某学校安排每天一小时课外活动时间，现统计得小明同学10周的课外体育运动时间（单位：小时）：6.5，6.3，7.8，9.2，5.7，7.9，8.1，7.2，5.8，8.3，则下列说法不正确的是（）A ．小明同学10周的课外体育运动时间平均每天不少于1小时B ．小明同学10周的课外体育运动时间的中位数为6.8C ．以这10周数据估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为0.3D ．若这组数据同时增加0.5，则增加后的10个数据的极差､标准差与原数据的极差､标准差相比均无变化【正确答案】B【分析】根据平均数、中位数及方差的定义判断A 、B 、D ，利用频率判断C .【详解】这10周数据的平均值为6.5 6.37.89.2 5.77.98.17.2 5.88.37.2810+++++++++=，平均每天7.281.047=4小时，故A 正确；将10个数据从小到大排列为5.7，5.8，6.3，6.5，7.2，7.8，7.9，8.1，8.3，9.2，中位数为7.27.87.52+=，故B 错误；这10个数据中大于8的有3个，估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为0.3，故C 正确；若这组数据同时增加0.5，则增加后的10个数据的极差､标准差与原数据的极差､标准差相比均无变化，故D 正确.故选：B.4．在一间长、宽、高分别为7米、5米、4米的长方体形房间内，距离角落的八个顶点一米范围内的区域为“危险区域”，房间内其他区域为“安全区域”，一只苍蝇在房间内飞行到任意位置是随机的，则某时刻这只苍蝇位于“危险区域”的概率为（）A ．π140B ．π35C ．π105D ．1140【正确答案】C【分析】根据几何概型的体积型问题计算即可得答案.【详解】房间的体积是754⨯⨯=140立方米，八个“危险区域”所占空间是半径为1米的球的体积，即43π立方米，则某时刻这只苍蝇位于“危险区域”的概率为4ππ3140105=.故选：C.5．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为232345,4,7n S a S a a a a +=+++=，则9S 等于（）A ．63B ．632C ．45D ．452【正确答案】D【分析】根据题意结合等差数列性质分析运算.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则23244a S a +==，可得21a =，且()()23452552217a a a a a a a +++=+=+=，可得552a =，所以954592S a ==.故选：D.6．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A ．若,,m m n αβα⊥⊥⊥，则n β⊥B ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥C ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥D ．若,,⊥∥∥m m n n αβ，则αβ⊥【正确答案】D【分析】根据线面位置关系及面面位置关系逐项判断即可.【详解】对于A ，可能会出现,n n ββ⊂∥，或n 与β相交但不垂直的情况，所以A 不正确；对于B ，,m n 可能平行、可能异面，所以B 不正确；对于C ，若αβ∥，仍然满足,m n αβ⊂⊂且m n ⊥，所以C 不正确；对于D ，,//m m n α⊥，则n α⊥，再由//n β，可得αβ⊥,可知D 正确.故选：D.7．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（）A ．8B ．16C ．24D ．32【正确答案】C【分析】利用分类加法原理即可求解.【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以AB 为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个，若以AC 为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个，所以梯形的个数是16+8=24，故选：C.8．已知直线:34110l x y +-=与椭圆222:14x y C m+=交于,A B 两点，若点()1,2P 恰为弦AB 的中点，则椭圆C 的离心率是（）A 33B 22C ．32D ．63【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用中点弦问题求出2m ，再求出椭圆的离心率作答.【详解】依题意，直线l 的斜率为34-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121234y y x x -=--，且121224x x y y +=⎧⎨+=⎩，由22112222221414x y m x y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：2222121224x x y y m --=-，于是2121212123234412y y y y m x x x x -+=-⋅=⨯=-+，解得26m =，此时椭圆22:146x y C +=，显然点()1,2P 在椭圆C 内，符合要求，所以椭圆C 的离心率2423||36m e -=故选：A9．数列{}n a 是首项和公比均为2的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使不等式21223122222023n nn n S S S S S S +++⋅⋅⋅+<成立的最小正整数n 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【正确答案】B【分析】根据等比数列得n S ，利用裂项求和可得211223122211214212023n nn n n S S S S S S ++⎛⎫++⋅⋅⋅+=-< ⎪-⎝⎭，结合不等式的性质代入求解即可得答案.【详解】因为数列{}n a 是首项和公比均为2的等比数列，所以2n n a =，则122n n S +=-，所以11211142121n n n n n S S ++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，则211223122211214212023n nn n n S S S S S S ++⎛⎫++⋅⋅⋅+=-< ⎪-⎝⎭，不等式整理得121222212023n n n +++-<-，当8n =时，左边510511=，右边10242023=，显然不满足不等式；当9n =时，左边10221023=，右边20482023=，显然满足不等式；且当9n ≥时，左边1122121n n ++-=<-，右边2212023n +=>，则不等式恒成立；故当不等式成立时n 的最小值为9.故选：B.10．()f x 为定义在R 上的偶函数，对任意的210x x >≥，都有()()21212f x f x x x ->-，且()24f =，则不等式()2f x x >的解集为（）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．()2,+∞C ．()0,2D ．(),2-∞【正确答案】A【分析】由题可得函数()()2g x f x x =-在[)0,∞+上单调递增，且为偶函数，进而可得2x >，即得.【详解】对任意的210x x >≥，都有()()21212f x f x x x ->-，则()()()()22112121212220f x x f x x f x f x x x x x ---⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦-=>--，令()()2g x f x x =-，则()()2g x f x x =-在[)0,∞+上单调递增，因为()f x 为定义在R 上的偶函数，所以()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，即()()2g x f x x =-为偶函数，又()2g =()2220f -⨯=，由()2f x x >，可得()()20g x f x x =->，即()()2g x g >，所以2x >，所以()2f x x >的解集为()(),22,∞∞--⋃+，故选：A.11．已知函数()()ππsin 0,0,24f x x y f x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+><<=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，且()ππ0,44f x f x f x ⎛⎫⎛⎫--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ππ,184⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．367【正确答案】C【分析】由ππ044f x f x ⎛⎫⎛⎫--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数得到41,n n ω=+∈Z ，再由()f x 在ππ,184⎛⎫⎪⎝⎭上单调可得πππ418ω-≤可得答案.【详解】因为ππ044f x f x ⎛⎫⎛⎫--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ,4m m ωϕ-+=∈Z ①.，因为π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，所以直线π4x =是()f x 图象的对称轴，所以πππ,42n n ωϕ+=+∈Z ②.由①②可得，()ππ,24m n m n ϕ=+++∈Z ，又π02ϕ<<，所以π4ϕ=，则41,n n ω=+∈Z ，因为()f x 在ππ,184⎛⎫⎪⎝⎭上单调，()f x 的最小正周期为2πω，所以πππ418ω-≤，解得367ω≤，故ω的最大值为5，经检验，()f x 在ππ,184⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调.故选：C.12．已知函数()f x 的定义域为()',f x R 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，()'sin20x f x ->，且()()2,2sin 0x f x f x x ∀∈-+-=R ，则下列说法一定正确的是（）A ．ππ1362f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ1344f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．π3π1344f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．π3π1344f f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】B【分析】构造函数()()2sin F x x f x =-，根据()F x 的单调性和奇偶性求解.【详解】令()()2sin F x x f x =-，则()()''sin2F x x f x =-，因为当[)0,x ∈+∞时，()'sin20x f x ->，所以()'0F x >，所以()()2sin F x x f x =-在[)0,∞+上单调递增，又()()2,2sin 0x f x f x x ∀∈-+-=R ，所以()()()()()()()2222sin sin 2sin sin F x x f x x x f x x f x F x -=---=--+=-+=-，即()F x 为奇函数，()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增，所以对于A ，ππ36F F ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ1ππsin sin 0363366236F F ff f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππ1362f f ⎛⎫⎛⎫∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，ππ34F F ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3π1π4324f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；ππ1344f f ⎛⎫⎛⎫∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；对于C ，π3π34F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3π13ππ3π1,4324344f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；对于D ，π3π3π13ππ3π1,,344324344F F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-->--∴--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误；故选：B.二、填空题13．向量,a b的夹角为θ，定义运算“⊗”：sin a b a b θ⊗= ，若)(),a b == ，则a b⊗的值为___________.【正确答案】【分析】根据新定义结合向量的夹角公式即得.【详解】因为)(),a b ==，所以311cos ,222a b a b a b⋅-+===-⨯⋅，则sin ,a b =，所以a b ⊗= .故答案为.14．已知实数,x y 满足1033010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最大值为___________.【正确答案】5【分析】先作出可行域，令z x y =+，根据截距的变化可得目标函数的最大值.【详解】不等式组表示的可行域如图所示，为ABC 及其内部的阴影区域，且()()()0,1,1,0,2,3A B C，令z x y =+，则y x z =-+，当直线y x z =-+经过点C 时，z 取得最大值5.故515．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AB 的中点，过点M 的平面α截正方体1111ABCD A B C D -的外接球的截面面积的最小值为______.【正确答案】π【分析】根据正方体的性质求出外切球的球心及半径，结合球的性质即可求解截面面积的最小值.【详解】正方体的外接球球心O 为体对角线1AC 的中点，连接OM ，1BC，过点M 且与OM 垂直的平面截得外接球的小圆面积是最小的，因为1//OM BC ，1AB BC ⊥，所以OM AB ⊥，且,A B 两点都在外接球的表面上，根据球的性质知，最小的截面面积是以AB 为直径的圆的面积，此时圆的面积为2π1π⨯=.故答案为.π16．已知抛物线22(0)y px p =>的准线l 与x 轴的交点为M ，过焦点F 的直线AB 分别与抛物线交于,A B 两点（A 点在第一象限），AF BF AB ⋅=，直线AB 的倾斜角为锐角α，且满足sin sin 2AMF α∠=，则AB =___________.【正确答案】12【分析】过点A 作AC x ⊥轴于点C ，由抛物线的定义可知点A 到准线l 的距离得1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，利用AF BF 求出p ，再由sin tan AMF α=∠可得22sin pAB α=可得答案.【详解】如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，由抛物线的定义可知点A 到准线l 的距离cos d AF MC MF FC p AF α===+=+，故1cos pAF α=-，同理1cos p BF α=+，则22221cos 1cos p pAF BF AF BF αα==+=--，故2p =，sin tan AC ACAMF AF MC α===∠，则sin tan AMF AMF ∠∠，可得cos 2AMF ∠=，则1sin 2AMF ∠=，所以22sin 123sin p AB αα===.故12.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()6cos cos 13cos B C B C -=-.(1)若π6B =，求cosC ；(2)若3c =，点D 在BC 边上，且AD 平分,BAC AD ∠=，求ABC 的面积.【正确答案】(1)6+(2)【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式求出()cos B C +，由诱导公式求出cos A ，即可求出sin A ，最后由()cos cos C A B =-+计算可得；（2）利用二倍角公式求出cos 2A，再由ABCADCADBS SS=+求出b ，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为()6cos cos 13cos 3cos cos 3sin sin B C B C B C B C -=-=+，则()3cos cos 3sin sin 3cos 1B C B C B C -=+=，()1cos 3B C +=，又πA B C ++=，()()cos cos πcos B C A A +=-=-，则1cos 3A =-，又()0,πA ∈，所以sin A则()cos cos sin sin cos cos 6C A B A B A B +=-+=-=.（2）由（1）知1cos 3A =-，则cos 23A ==，由ABCADCADBSSS=+得111sin sin sin 22222A A bc A b AD c AD =⋅+⋅，即2sin cos sin sin 2222A A A Abc b AD c AD =⋅+⋅，则()6cos32A b b AD =+，即()37b =+⋅，解得4b =，所以ABC 的面积1342ABC S =⨯⨯=△.18．某车间购置了三台机器，这种机器每年需要一定次数的维修，现统计了100台这种机器一年内维修的次数，其中每年维修2次的有40台，每年维修3次的有60台，用X 代表这三台机器每年共需要维修的次数.(1)以频率估计概率，求X 的分布列与数学期望；(2)维修厂家有,A B 两家，假设每次仅维修一台机器，其中A 厂家单次维修费用是550元，B 厂家对同一车间的维修情况进行记录，前5次维修费用是每次600元，后续维修费用每次递减100元，从每年的维修费用的期望角度来看，选择哪家厂家维修更加节省？【正确答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：395(2)选择B 厂家更加节省【分析】（1）设Y 为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，由题意可得则6X Y =+，且33,5YB ⎛⎫⎪⎝⎭，结合二项分布求得分布列与期望即可；（2）分别计算两种方案下维修费用的数学期望，比较即可得结论.【详解】（1）以频率估计概率，一台机器每年需要维修2次的概率为25，需要维修3次的概率为35，设Y 为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，则6X Y =+，且33,5YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()()321328233660,71C 512555125P X P Y P X P Y ⎛⎫⎛⎫=========⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()2323235432782C ,93551255125P X P Y P X P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯⨯======⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以X 的分布列为X6789P8125361255412527125则()()33963655E X E Y =+=⨯+=.（2）选择A 厂家每年维修费用的期望为3955042905⨯=（元），选择B 厂家每年维修费用的期望为836542735003900420044004112125125125125⨯+⨯+⨯+⨯=（元），因为41124290<，所以选择B 厂家更加节省.19．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，且满足2AD DE ===，将ADE V 沿AE 向上翻折，使点D 到点P 的位置，构成四棱锥P ABCE -.(1)若点F 在线段AP 上，且EF 平面PBC ，试确定点F 的位置；(2)若10PB =，求锐二面角P EC A --的大小.【正确答案】(1)点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点(2)π3【分析】（1）在AB 取点G 使BG =定理即得；（2）取AE 的中点O ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的大小.【详解】（1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，证明如下：如图，在AB 取点G ，连接FG ，GE ,使得2BG CE ==，又BG CE //，所以四边形BGEC 为平行四边形，所以//BC GE ，又GE ⊄平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以//GE 平面PBC .又EF平面PBC ，EF GE E = ，,EF GE ⊂平面EFG ，所以平面PBC 平面EFG ，又平面EFG ⋂平面PAB FG =，平面PBC ⋂平面PAB PB =，所以//FG PB ，所以在PAB中，2AF AGFP GB==，所以13FP AP =，所以点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点.（2）如图，取AE 的中点O ，以O 为原点OE 为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为π2,24AE AB BAE ==∠=，所以()()131,0,0,1,0,0,,,022A E B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又13EC AB = ，则31,,022C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意，点P 在过点O 且垂直AE 的平面上，故设()0,,P m n ，则()130,,,,,22OP m n PB m n ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，因为1,OP PB ==，所以22222113412210m n m n ⎧+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得15m =，5n =故10,,55P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1111,,,,,05522PE EC ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PEC 的法向量为()111,,m x y z =，则11111105511022PE m x y z EC m x y ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，不妨取11x =，则m ⎛= ⎝⎭ ，设平面ECA 的一个法向量为()0,0,1n = ，则1cos ,2m n m n m n ⋅〈〉==，记锐二面角P EC A --的平面角为θ，所以1cos cos ,2m n θ=〈〉=，又π02θ<<，则π3θ=，所以锐二面角P EC A --的大小为π3.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>0y -=，且双曲线经过点()2,2A .(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()10B ,且斜率不为0的直线与C 交于,M N 两点（与点A 不重合），直线,AM AN 分别与直线1x =交于点,P Q ，求PB QB的值.【正确答案】(1)22124x y -=；(2)1PB BQ=.【分析】（1）由题得22441,ba b a-==（2）设直线MN 的方程为1x my =+，联立双曲线方程，根据直线AM ，AN 的方程表示出,P Q y y 结合韦达定理即得.【详解】（1）由题意可知22441,ba b a-==解得2a b ==，所以双曲线的方程为22124x y -=.（2）设直线MN 的方程为1x my =+，代入22124x y-=中，可得()2221420m y my -+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2212122242210,Δ3280,,2121m m m y y y y m m ---≠=->+==--.直线AM 的方程为()112222y y x x -=-+-，令1x =，得点P 的纵坐标为11222P y y x -=+-，直线AN 的方程为()222222y y x x -=-+-，令1x =，得点Q 的纵坐标为22222Q y y x -=+-，因为()()()()2212121221212216422142221441221121m my y m y y y y m m x x my my m -+-+++----+===-------，所以0P Q y y +=，即1PB BQ=.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知函数()ln 1e axxf x x ax =+--，R a ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个零点1x ，212()x x x <，证明：212e x x ⋅>．【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）根据e y μμ=+的单调性，令()ln u x x ax =-，依题意可得12()()0u x u x ==，即可得到2121ln ln x x a x x -=-，即证212112ln ln 2x x x x x x ->-+，即证21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令211x t x =>，则原式化为()21ln 1t t t ->+，再令2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+，利用导数说明函数的单调性，即可得证；【详解】（1）解：因为()ln 1e axxf x x ax =+--，()f x 的定义域为(0,)+∞，()1111()1e eaxax ax f x a ax x x -⎛⎫'=+-=-⋅+ ⎪⎝⎭，当0a ≤时()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，()f x 在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）方法一：证明：ln ()ln 1e ln 1ex ax ax xf x x ax x ax -=+--=+--，令ln x ax μ=-，则e 1y μμ=+-，且为单调递增函数，显然0μ=，即ln 0x ax -=时，0y =，令()ln u x x ax =-，∴若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，则12()()0u x u x ==，即11ln x ax =，22ln x ax =，∴2121ln ln x x a x x -=-，要证212e x x ⋅>，只要证12ln ln 2x x +>，即12()2a x x +>．只要证212112ln ln 2x x x x x x ->-+，即证()2211221121212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令211x t x =>，即证()21ln 1t t t ->+()1t >，即证()21ln 01t t t -->+()1t >，令2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+，()()()22101t g t t t -'=>+，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)g t g >0=，即()21ln 1t t t ->+（其中1t >）成立，故原不等式212e x x ⋅>成立．方法二：证明：：ln ()ln 1e ln 1ex ax ax xf x x ax x ax -=+--=+--，令ln x ax μ=-，则e 1y μμ=+-，且为单调递增函数，显然0μ=，即ln 0x ax -=时，0y =，令()ln u x x ax =-，∴若函数()f x 有两个零点，则12()()0u x u x ==，即：11ln x ax =，22ln x ax =，由（1）问可知：1210,0a x x a><<<，要证212e x x ⋅>，只要证12ln ln 2x x +>，即122x x a +>．只需证：2121x x a a >->；由()u x 在区间1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以只需证：212()()u x u x a <-，因为12()()u x u x =即证112()()u x u x a<-，令2()()()g x u x u x a =--，10x a<<，下证:()0g x <，211()22022()a g x a a x x x x a a '=+-=->-⋅-，所以()g x 单调递增，所以1()0g x g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，得证.方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．在直角坐标系中，圆C 是以()2,2直线l 的参数方程为cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩（t 为参数，0πθ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出圆C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且2214OM ON +=，求角θ.【正确答案】(1)24cos 4sin 50ρραρα--+=(2)π12θ=或5π12θ=【分析】（1）先求圆的直角坐标方程，然后直接化为极坐标方程即可；（2）先把直线方程化为极坐标方程，然后联立直线的极坐标方程和圆的极坐标方程，利用ρ的几何意义即可解答.【详解】（1）由题意知圆C 的方程为22(2)(2)3x y -+-=，即224450x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得圆C 的极坐标方程为24cos 4sin 50ρραρα--+=.（2）由题知直线l 的极坐标方程为()αθρ=∈R ，设()()12,,,M N ρθρθ，联立24cos 4sin 50,,ρραρααθ⎧--+=⎨=⎩可得()24cos 4sin 50ρθθρ-++=，且2(4cos 4sin )200θθ∆=+->，即1sin 24θ>，由韦达定理得12124cos 4sin ,5ρρθθρρ+=+=，则()2222221212122(4cos 4sin )10616sin 214OM ON ρρρρρρθθθ+=+=+-=+-=+=，所以11sin 224θ=>，又0πθ≤<，所以022πθ≤<，则π26θ=或5π26θ=，所以π12θ=或5π12θ=.23．已知()2f x x a x =+-.(1)若3a =，求不等式()10f x ≤的解集；(2)若关于x 的不等式()222f x x x ≤+-在R 上恒成立，求实数a 的最大值.【正确答案】(1)[]1,4-；(2)1.【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即得；（2）根据参变分离可得222x x a x +-≤-恒成立，然后构造函数利用绝对值三角不等式结合条件即得,【详解】（1）若3a =，则不等式()10f x ≤可化为3210x x +-≤.当0x <时，()3210x x ---≤，即1x ≥-，所以10x -≤<；当02x ≤<时，()3210x x --≤，即2x ≥-，所以02x ≤<；当2x ≥时，()3210x x +-≤，即4x ≤，所以24x ≤≤.综上所述，原不等式的解集为[]1,4-.（2）由题知()222f x x x ≤+-在R 上恒成立，即2222x a x x x +-≤+-在R 上恒成立，即222a x x x -≤+-在R 上恒成立，当2x =时，04≤，即无论a 取何值，不等式恒成立，当2x ≠时，20x ->，则222x x a x +-≤-恒成立，设()222x x g x x +-=-，又()22222x x x x x +-≥--=-，当且仅当()220x x -≤，即01x ≤≤时取等号，所以()1g x ≥，则1a ≤，所以实数a 的最大值为1.。

2010-2023历年河南省开封市高三第一次模拟理科数学卷

2010-2023历年河南省开封市高三第一次模拟理科数学卷第1卷一.参考题库(共10题)1.（本题满分12分）已知函数（I）试用含a的式子表示b，并求函数的单调区间；（II）已知为函数图象上不同两点，为AB的中点，记A、B两点连线的斜率为k，证明：2.连续掷两次骰子分别得到的点数为m，n，则点P（m，n）在直线左下方的概率为（）A．B．C．D．3.已知函数若数列满足=4.本题满分12分）某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满10元，可获得一次摇奖机会，购物满20元，可获得两次摇奖机会，以此类推，摇奖机结构如图，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金2元，落入B袋为二等奖，奖金1元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是（I）求摇奖两次均获得一等奖的概率；（II）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；（III）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不能再参加摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。

5.某校为了解高三学生在寒假期间的学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为（）A．50B．45C．40D．306.已知命题：成立（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都平行于γ；②存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β；A．1个B．2个C．3个D．4个8.给出30个数2，3，5，8，12，17，…，要计算这30个数的和，该问题的程序框图如图：则框图中判断框①和执行框②应是（）A．B．C．D．9.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数（I）作出函数的图象；（II）当时，不等式恒成立，求a的取值范围10.已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面上的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：略2.参考答案：A3.参考答案：由此循环，项数除以3的余数为0就等于，余数为1就等于，余数为2就等于。

2020届河南省开封市高考数学一模试卷(理科 )

河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学参考答案

河南省开封市2023届高三第一次模拟理科数学参考答案一、选择题123456789101112CDDABBCDCACB1.解析：∵8221<<x ，∴31<<-x ，则{}31<<-=x x A ，又{}2101，，，-=B ，则{}2,1,0=⋂B A .3.解析：设bi a z +=，则()()()()22223443434343b a ib a b a b a bi a i bi a i z i +-++=+-+=++=+，∵z i43+是纯虚数，∴⎩⎨⎧≠-=+034043b a b a ，经验证可知，3,4-==b a 适合.4.解析：在ABC ∆中，AB AC BC -=，∵BC BD 31=，∴()AB AC BC BD -==3131∴()AB AC AB AC AB BD AB AD 323131+=-+=+=.5.设圆锥母线长为l ，高为h ，底面半径为1=r ，则由l ππ=⨯12得2=l ，∴322=-=r l h ，∴πππ333131312=⨯⨯==h r V .6.解析：由90512893902805129390280=++++⨯+⨯=++++⨯+⨯m 可得：8=m ，即甲同学成绩的方差为()22112512222=+++.7.解析：作出可行域如图：由y x z 2+=可得：221z x y +-=，平移直线x y 21-=经过点A 时，z 有最大值，541max =+=z .8.解析：∵()x f 是定义域为R 的偶函数，∴()()x f x f =-，又()x f 在[)∞+，0上单调递减，∴在()0，∞-上单调递增，若()()2-<x f x f ，则x x <-2，解得1>x .9.解析：当1=n 时，222211=-==S a ，当2≥n 时，()n n n n n n S S a 2222211=---=-=+-，∵21=a 符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为：nn a 2=，3222225===⋅=+q p q p q p a a .10.解析：∵点()y x P ,到点()0,31-F 和点()0,32F 的距离之和为4,∴点P 的轨迹是以()0,31-F ，()0,32F 为焦点的椭圆，且长轴长42=a 焦距322=c ，122=-=c a b ，∴点P 的轨迹方程为：1422=+y x ，设()θθsin ,cos 2P ，()πθ20≤≤，则[]1,12sin sin cos 2-∈==θθθxy ，∴xy 有最大值 1.11.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体大的棱长为2，()000，，D ，()2021，，A ，()022，，B ,()2001，，D ,()2221，，B ,()101，，M ,()111，，N .由正方体的性质可知：D D 1⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为()2,0,01=D D ，()010，，=MN ，∵01=⋅MN D D ，∴MN D D ⊥1，而⊄MN 平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面ND A 1的法向量为()z y x m ,,=,()1,1,1=DN ,()2021，，=DA ,∴⎩⎨⎧=+=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02200011z x z y x DA m DN m DA m DN m ，不妨取1=x ，则()1,0,1-=m ，同理可求出平面MB D 1的法向量()1,0,1=n ，∵0=⋅n m ，∴n m ⊥，因此平面ND A 1⊥平面MB D 1，故②正确；∵()010，，=MN ，()0,2211--=，D B ，∴224412-=+⨯-==D B MN，∵异面直线所成的角范围为(]︒︒900，，∴直线MN 与11D B 所成的角为45°，故③正确；设直线B D 1与平面ND A 1所成的角为θ，∵()22,21-=，B D ，平面ND A 1的法向量为()1,0,1-=m ，22364441122,cos sin 111≠=++⨯++=⋅==mB D m B D m B D ，∴直线B D 1与平面ND A 1所成的角不是45°，故④错误.一共有3个结论正确.12.解析：由题意得若函数()()x ae x x f x ln -=为“不动点”函数,则满足()()0000ln 0x x ae x x f x =-=，即1ln 00+=x ae x ，∴01ln 0x ex a +=，设()xex x g 1ln +=，则()x e x x x g 1ln 1--='，设()1ln 1--=x x x h ，则()0112<--='x xx h ，∴()x h 在()∞+，0单调递减，且()01=h 当()1,0∈x 时，()0>x h ，()0>'x g ，∴()x g 在()1,0上单调递增；当()∞+∈，1x 时，()0<x h ，()0<'x g ，∴()x g 在()∞+，1上单调递减.∴()e e x g 111ln 1max =+=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，01ln <+x ，0>xe ，则()0<x g ；当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈，ex 1，01ln >+x ，0>xe ，则()0>x g .∴()x g 的图象为：要想01ln 0x ex a +=成立，则a y =与()x g 有交点，∴()ex g a 1max =≤.二、填空题13.2；解析：∵函数()x x A x f cos sin -=的一个零点为6π,∴023216cos 6sin 6=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛A A f πππ，∴3=A ，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=6sin 2cos sin 3πx x x x f ，∴24sin 26125sin 2125==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf .14.5；解析：设()y C ,0，∴()()5021222=-+-=AB ，()()2221010y y AC +=-+-=，()()84220222+-=-+-=y y y BC ，∵4π=∠BAC ,∴由余弦定理得：4cos 2222πAC AB AC AB BC -+=，即2221521584y y y y +⨯⨯-++=+-，解得3=y ，∴()3,0C .∴()21，=AB ，()31，-=AC ，∴()53211=⨯+-⨯=⋅AC AB .15.24；解析：由已知，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为()0,012222>>=-b a by a x ，由已知可得，5==ace ，且222b a c +=，∴224b a =，∴双曲线方程为142222=-a y a x ，底直径为cm 6，∴双曲线过点()m ，3下底直径为cm 9，高为cm 9，∴双曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-929m ，，代入双曲线方程得：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-194149222222a m a am a ，解得：⎩⎨⎧==222a m∴喉部（最细处）的直径为cm 24.16.n n 242+；解析：由题知，11=a ，()212=-++n nn a a ，则当n 为奇数时，22=-+n n a a ，∴奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当n 为偶数时，22=++n n a a ，∴28642==+=+ a a a a ，∴()()n n n a a a a a a a a S 4642145314+++++++++=- ()n n n n n n 24222122212+=⨯+⨯-+⨯=，∴n n S n 2424+=.三、解答题（一）必考题17.解：（1）∵π=++C B A ，∴222A C B -=+π，∴2sin 2cos AC B =+∵A b C B a sin 2cos =+，由正弦定理可得：A B AA sin sin 2sin sin =⋅，又0sin ≠A ，∴B A sin 2sin =，又∵B A ,均为三角形内角，∴B A=2，即B A 2=，又∵b a 32=，即B A sin 3sin 2=，即B B B sin 3cos sin 4=，又0sin ≠B ，得43cos =B （2）若3=a ,则2=b ，由（1）知43cos =B ，由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=可得：05292=+-c c ，解得2=c 或25=c ，当2=c 时，c b =，则C B A 22==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又∵b a 2≠，此时不满足题意，∴25=c .18.解：（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为21，∴()21321132=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ，解得21=p （2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()2,1,0=i ，根据独立性假定，得()9131310=⨯=A P ，()94323121=⨯⨯=A P ，()9432322=⨯=A P ()410=B P ，()211=B P ，()412=B P ，X 的可能取值为0,1,2,3,4，∴()()3614191000=⨯===B A P X P ，()()()1834194219110110=⨯+⨯=+==B A P B A P X P ，()()()()36132194419441912110220=⨯+⨯+⨯=++==B A P B A P B A P X P ，()()()312194419431221=⨯+⨯=+==B A P B A P X P ，()()914194422=⨯===B A P X P .X 的分布列如下表所示：X 01234P36118336133191()3129143133613218313610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .19.解：（1）取CF 的中点D ，连接DN DM ,，∵N M ,分别是CE AF ,的中点,∴AC DM ∥,EF DN ∥，又∵⊄DM 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴DM ∥平面ABC ，又AB EF ∥，∴AB DN ∥，同理可得DN ∥平面ABC ，∵⊂DM 平面MND ，⊂DN 平面MND ，D DN DM =⋂，∴平面MND ∥平面ABC .∵⊂MN 平面MND ，∴MN ∥平面ABC .（2）取AB 的中点O ，连接OE OC ,.由已知得EF OA ∥，EF OA =，∴OAFE 是平行四边形，∴AF OE ∥.∵ABC ∆是正三角形，∴AB OC ⊥，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ∩平面ABEF AB =，∴OC ⊥平面ABEF ，又⊂OE 平面ABEF ，∴OE OC ⊥.设a AB EB EF AF ====21，a OC 3=.在COE Rt ∆中，由222CE OE OC =+，解得2=a ，即221====AB EB EF AF 取EF 的中点P ，连接OP ，则AB OP ⊥，以O 为原点，OC OB OP ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21,2301,,33200020N E C A ，，，，，，，，，∴()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=3,21,23020ON OA ，，，，由已知易，平面ABM 的一个法向量为()32,0,0=OC ，设平面ABN 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n ON n OA ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=-03212302z y x y ，取2=x ，则()10,2-=，n∴5553232-=⨯-==n OC ∵二面角N AB M --为锐角，∴二面角N AB M --的余弦值为55.20.解：（1）由已知可得：()0cos 2≥-='a x x f ，即x a cos 2≤恒成立，又2cos 22≤≤-x ，则有(]2,-∞-∈a .（2）由已知可得：()()1ln sin 2+--=x x x x g ，则()111cos 2+--='x x x g ，令()()x g x h '=，则()()211sin 2++-='x x x h 在⎦⎤⎢⎣⎡60π，上单调递减，又∵()06,00<⎪⎭⎫⎝⎛'>'πh h ，∴存在⎪⎭⎫⎝⎛∈6,00πx 使得()0='x h ，则有x()00x ，⎪⎭⎫⎝⎛6,0πx ()x h '正负()x g '递增递减又有()00='g ，0353121113161136>-=+-->+--=⎪⎭⎫⎝⎛'ππg ，∴在⎪⎭⎫ ⎝⎛6,0π上()0>'x g ，则()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈60π，x 上单调递增，∴最小值为()00=g .（3）由（2）可得()1ln sin 2++>x x x 在⎪⎭⎫⎝⎛6,0π上恒成立，令()()1ln +-=x x x ϕ，在⎪⎭⎫⎝⎛6,0π上()01>+='x x x ϕ，∴()x ϕ单调递增且()00=ϕ.∴()1ln +>x x ，()1ln 2sin 2+>x x ，从而当⎪⎭⎫⎝⎛∈6,0πx 时，()1ln sin +>x x ，令n x 1,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，nn n 1ln1sin +> ，相加得：21ln 1sin 41sin 31sin 21sin +>++++n n .21.解：（1）由题意，DM ND λ=，设()y x D ,，()0,0x M ，()00y N ，，∴()0,y y x ND -=，()y x x DM ,0-=，∴()λ=-0,y y x ()y x x ,0-，由()()⎩⎨⎧-=--=y y y x x x λλ00解得()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yy x x λλλ1100，又∵3=MN ，∴9220=+y x ，则()()91122222=+++y x λλλ，将1=λ和2=λ分别代入，得49221=+y x C ：，14222=+y x C ：.（2）解：①直线l 的斜率不存在时，23:±=x l ，代入2C 方程得27=AB ，∴873=S ，②直线l 的斜率存在时，设m kx y l +=:，l 与曲线1C 相切，∴2312=+k m 即()41922+=k m ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 1422可得()044841222=-+++m kmx x k ，由()()014116642222>-+-=∆mkm k 得752>k ，∴22212214144,418km x x k km x x +-=+-=+，于是得()222212212212415712411kk k x x x x kx x kAB +-+=-++=-+=，()1816527424242++-+=k k k k AB ，∵()()018164872447181652742422424<++--=-++-+k k k k k k k ，∴27<AB ，873=S ，综合①②可证，873≤S .(二)选考题22.解：（1）∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==222pty ptx （t 为参数），消去参数t 可得：py x 22=，将点()4,2代入可得21=p ，∴曲线C 的普通方程为：y x =2.（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设kx y OA =:，则x k y OB 1-=：，联立⎩⎨⎧==yx kx y 2可得()2,k k A ，同理可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1k k B ，设()y x M ,，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-=22121121k k y k k x ，∴22214222-=-+=y kk x ，∴122-=y x 即为点M 轨迹的普通方程.23.解：（1）当1=a 时，()121-++=x x x f 当1-≤x 时，()13+-=x x f ，()()41min =-=f x f ；当11<<-x 时，()3+-=x x f ，()()4,2∈x f ；当1≥x 时，()13-=x x f ()()21min ==f x f ，∴当1=a 时，()x f 的最小值为2.（2）0,0>>b a ，当21≤≤x 时，()12+->b x x f 可化为332+->+x x b a ，令()332+-='x x x h ，[]2,1∈x ，()()()121max ===h h x h ，∴1>+b a ，∴()21221212122222++++≥++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a b a b a ，当且仅当b a =时取等号；又当1>+b a 时，()22122>++++b a b a ，故得证.。

河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（）A．B．C ．0D．2. 已知函数，则的值为（）A．B．C．D．3. 已知O 为坐标原点，双曲线C ：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若，则双曲线C 的离心率为（）A ．B．C．D ．24. 若M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）上一点，则直线x 0x +y 0y =r 2与该圆的位置关系为（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交5. 的展开式中, 的系数为（）A ．-110B ．-30C ．50D ．1306. 已知，则（）A．B．C．D．7. 已知抛物线上的一点到焦点的距离是到轴距离的2倍，则该点的横坐标为（）.A．B．C ．3D．8. 圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），，则该双曲线的离心率为（）A．B ．2C．D．9. 定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（）A．的图象关于对称B．是的一个周期C．D．10. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．的最小正周期是河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题B．若，则C ．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个D ．若，则的取值范围是11. 下列函数，在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．12.年月日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比如表所示.已知，于是分别用p＝和p ＝得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，百分比y 对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（）（附：，）年份年份代码xpq A．B．C．D．13. 在中，角，，的对边分别为，，，且，若，则的最大值为__________．14. 从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，如图．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质，已知某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，其中，分别为该双曲线的左、右焦点，从发出的两条光线（共线反向）分别经过双曲线右支上的点和点，且经过点的光线反射后经过点，，若点在以点为圆心、为半径的圆上，则该双曲线的离心率为______．15. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其表面积为，则圆台的体积为___________.16. 已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面的射影是.（1）求证：平面平面；（2）若点分别在棱上上，且，当点在何处时，？（3）若，求二面角的大小（用反三角函数表示）.17. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，求的最小值．18. 已知函数（其中e为自然对数的底数）．(1)若，证明：当时，恒成立；(2)已知函数在R上有三个零点，求实数a的取值范围．19. 已知函数.（1）若函数（，）的定义域为，求实数a的取值范围；（2）当时，恒有不等式成立，求实数a的取值范围.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为A，直线，点在上.(1)若，线段的中点在轴上，求的坐标；(2)若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求；(3)在椭圆上存在一个点到的距离为，使，当变化时，求的最小值.21. 如图，已知在多面体ABCDEF中，，，平面，平面，(1)求证：平面平面；(2)若，，求二面角的余弦值.。

2020届河南省开封市高考数学一模试卷(理科 )

河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（）A．B．C．D ．22. 在正项等比数列中，若，，则（）A ．31B．C ．63D．3.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（）A．B．C．D．4. 若五个数、、、、成等比数列，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，5.已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．6. 分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第3个正方形的边长为（）A ．4B．C ．6D．7. 的展开式中（）A ．常数项为8B ．常数项为16C ．的系数为32D ．的系数为408.已知数列的前项和为，，，且，则（）A ．存在实数使得B ．存在实数使得C ．若，则D ．若为数列中的最大项，则河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题(高频考点版)河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题9.已知分段函数，则_____，_____．10.若为上的奇函数，且满足，对于下列命题：①；②是以4为周期的周期函数；③的图像关于对称；④.其中正确命题的序号为_________11.在数列中，，则_____________．12.已知幂函数过点，则______.13.分别过椭圆左､右焦点､的动直线，相交于点，与椭圆分别交于､与､不同四点，直线､､､的斜率分别为､､､，且满足，已知当与轴重合时，，.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在定点，，使得为定值？若存在，求出､点坐标，若不存在，说明理由.14. 如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.(1)证明：平面；(2)若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值.15.若，求值：①；②．16. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角、、所对的边分别为、、，且，，___________？。

2020届河南省开封市高考数学一模试卷(理科)

2020年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-x-6＜0}，B=N，则A∩B=（）A. {-1，0，1，2}B. {0，1，2}C. {-2，-1，0，1}D. {0，1}2.在复平面内，复数对应的点位于直线y=x的左上方，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （-∞，1）C. （0，+∞）D. （1，+∞）3.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则tan2α=（）A. B. C. D.5.已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）=2x-1，则f（m）的值为（）A. -15B. -7C. 3D. 156.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为（）A. 17米B. 22米C. 3l米D. 35米8.已知{F n}是斐波那契数列，则F1=F2=1，F n=F n-1+F n-2（n∈N*且n≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n=（）A. 10B. 18C. 20D. 229.设m=ln2，n=lg2，则（）A. m-n＞mn＞m+nB. m-n＞m+n＞mnC. m+n＞mn＞m-nD. m+n＞m-n＞mn10.已知F为双曲线C：的右焦点，圆O：x2+y2=a2+b2与C在第一象限、第三象限的交点分别为M，N，若△MNF的面积为ab，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D.11.将函数f（x）=a sin x+b cos x的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数f（x）有下述四个结论：①f（x）的最小正周期为2π②若f（x）的最大值为2，则a=1③f（x）在[-π，π]有两个零点④f（x）在区间[-，]上单调其中所有正确结论的标号是（）A. ①③④B. ①②④C. ②④D. ①③12.已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则m=______．14.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______．15.设点P为函数f（x）=ln x-x3上任意一点，点Q为直线2x+y-2=0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为______．16.若数列{a n}满足，则称数列{a n}为“差半递增”数列．若数列{a n}为“差半递增”数列，且其通项a n与前n项和S n满足，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a n+1+n=2a n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．18.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．（1）求证：EG⊥DF；（2）求二面角A-HF-C的正弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求的最大值．20.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验n次；②混合检验，将其k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（Ⅰ）运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2，试求p关于k的函数关系式p=f（k）；（Ⅱ）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．21.已知函数f（x）=a•e-x+sin x，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=1时，证明：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在（0，）上存在两个极值点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设P是曲线C1上一点，此时参数φ=，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．23.已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．答案和解析1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】114.【答案】4815.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）由已知{a n}为等差数列，记其公差为d．①当n≥2时，，两式相减可得d+1=2d，所以d=1，②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．所以a n=1+n-1=n；（2），，所以=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式可得S n，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：连接AC，由可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG∥AC．由题意易知AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，因为BD∩BF=B，所以EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF．（2）解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以，从而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O-xyz，OP=3，DH=4，由平面几何知识，得BF=2．则，，F（0，2，2），H（0，-2，4），所以，，．设平面AFH的法向量为，由，可得，令y=1，则z=2，，所以．同理，平面CFH的一个法向量为．设平面AFH与平面CFH所成角为θ，则，所以．【解析】（1）连接AC，证明EG∥AC．推出EG⊥BD，EG⊥BF，证明EG⊥平面BDHF，然后证明EG⊥DF．（2）OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O-xyz，OP=3，DH=4，求出平面AFH的法向量，平面CFH的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，即|QP|=|QF|，又因为PQ⊥l，即Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q（x，y），则，化简得y2=4x，所以动点Q的轨迹方程E为：y2=4x．（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y=k（x-1），CD：，则，联立可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2=1．因为向量，方向相反，所以=，同理，设C（x3，y3），D（x4，y4），可得，所以，因为，当且仅当k2=1，即k=±1时取等号，所以的最大值为-16．【解析】（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q（x，y），运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y=k（x-1），CD：，分别联立抛物线方程，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，结合基本不等式可得所求最大值．本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线和两点的距离公式，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，则．计算，，所以，由E（ξ1）=E（ξ2），得k=k+1-k（1-p）k，所以（k∈N*且k≥2）．（Ⅱ），，所以，即．设，，x＞0，当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减．且f（8）=ln8-2=3ln2-2＞0，，所以k的最大值为8．【解析】（1）利用古典概型、排列组合求出恰好经过3次检验能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）（Ⅰ）由E（ξ1）=k，ξ2的取值为1，k+1，计算对应概率与数学期望值，由E（ξ1）=E（ξ2）求得p的值；（Ⅱ）由题意得，即，设，利用导数判断f（x）的单调性，从而求得k的最大值．本题考查了概率、函数关系式、实数的最大值的求法，也考查了离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题．21.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=e-x+sin x，f′（x）=-e-x+cos x，当x≤0时，-e-x≤-1，则f′（x）≤0（x≤0）所以f（x）在（-∞，0]上单调递减，f（x）≥f（0）=1；所以：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）函数f（x）在（0，）上存在两个极值点；则f′（x）=0在（0，）上有两个不等实数根；即f′（x）=-ae-x+cos x=0在（0，）上有两个不等实数根；即a=e x cos x在（0，）上有两个不等实数根；设g（x）=e x cos x，则g′（x）=e x（cos x-sin x）；当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；又g（0）=1，，；故实数a的取值范围为：【解析】（1）求出f′（x）=-e-x+cos x，得出f′（x）≤0，则f（x）在（-∞，0]上单调递减，结论可证．（2）函数f（x）在（0，）上存在两个极值点；则f′（x）=0在（0，）上有两个不等实数根，分离参数得a=e x cos x在（0，）上有两个不等实数根；设g（x）=e x cos x，讨论函数g（x）的单调性即可解决；本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数法，属于难题．22.【答案】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程为，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程为x2+y2=2；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，∴|OQ|=，|OT|=1，则=．【解析】（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程可求；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，求出|OQ|=，|OT|=1，再求出∠QOT的正弦值，代入三角形面积公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：（1）a，b，c＞0，++≥3•；当且仅当a=b=c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【解析】（1）利用三元的均值不等式直接证明即可；（2）要证＞2，只需证明，即证2，由，即得，累加即可证明．考查了基本不等式的应用，中档题．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

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河南省开封市高考数学一模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2020高一上·黄山期末) 已知集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高二下·武汉期中) 复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5i（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3. （2分） (2020高一上·长春月考) “ ”是“ >0”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4. （2分）(2018·南阳模拟) 已知，则（）
A . 2
C . -2
D . -
5. （2分）(2018·石嘴山模拟) 某程序框图如图所示，则该程序框图执行后输出的值为（表示不超过的最大整数，如）（）
A . 4
B . 5
C . 7
D . 9
6. （2分）(2020·南昌模拟) 已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，
的面积分别为，，则（）
A . 4
B . 8
C .
7. （2分）(2017·朝阳模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）
A .
B .
C . 3
D .
8. （2分）的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，给出下列三个叙述：
①
②
③
以上三个叙述中能作为“是等边三角形”的充分必要条件的个数为（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
9. （2分） (2020高三上·吉林月考) 在的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（）
A . 135
B . 105
C . 30
D . 15
10. （2分）(2017·太原模拟) 已知实数x，y满足条件，若x2+2y2≥m恒成立，则实数m 的最大值为（）
A . 5
B .
C .
D .
11. （2分） (2020高三上·山东期中) 已知双曲线的渐近线分别为，，点是轴上与坐标原点不重合的一点，以为直径的圆交直线于点，，交直线于点，，若，则该双曲线的离心率是（）
A . 或
B . 2
C . 或2
D .
12. （2分）设的两个极值点分别是若（－1,0），则2a＋b
的取值范围是（）
A . （1,7）
B . （2,7）
C . （1,5）
D . （2,5）
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2017高二下·成都期中) 甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训．在培训期间，他们参加的 5 次测试成绩记录如下：甲：82
82 79 95 87 乙：95 75 80 90 85现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派________同学参加合适．
14. （1分） (2016高一下·南平期末) 若2cos（θ﹣）=3cosθ，则tan2θ=________．
15. （1分）(2016·杭州模拟) 如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为15°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值为________．
16. （1分） (2017高一上·黄石期末) 已知向量，
________．
三、解答题 (共7题；共70分)
17. （10分） (2020高一下·遂宁期末) 函数满足：对任意，都有，且，数列满足 .
（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列前n项和为，且，问是否存在正整数m，使得成立，若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由.
18. （10分）(2017·万载模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈[ ， ]，求a的取值范围．
19. （15分） (2019高三上·吉安月考) 某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如下表，x为收费标准(单位:元/日)，t为入住天数(单位:天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图
x100150200300450
t9065453020
（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深人调查，记为“入住率超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列
（2） z＝lnx，由散点图判断与哪个更合适于此模型(给出判断即可不必说明理由)?并
根据你的判断结果求回归方程(a，的结果精确到0.1)
（3）根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大?(100天销售额L＝100×入住率×收费标准x)
参考数据，，
20. （10分） (2018高二上·鹤岗月考)
（1）已知命题 :实数满足，命题 :实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）设命题 :关于的不等式的解集是； :函数的定义域为 .若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.
21. （10分）(2013·浙江理) 已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．
22. （5分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，﹣2）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为点A、B．（I）求直线l的参数方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．
23. （10分）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|，x∈R
（1）若函数f（x）为常值函数，求x的取值范围；
（2）若不等式a2﹣2a＜f（x），对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：略
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、
答案：19-3、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、。

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