线性代数第二单元测试题
线性代数第二章测试题
第二章 矩阵及其运算1.填空(1)设A 为3阶方阵,且A =3,则|312()A |=( )。
(2)A 为3阶方阵且A =2,则|132A A -*-|=( ),|**()3A A -|=( )。
(3)已知A =200120112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足AB=A+B 则B =( )。
2.单项选择题(1)设A,B 均为n 阶矩阵,则必有( )。
A .AB A B +=+ B .AB=BAC .AB BA =D .111()A B A B ---++=(2)设n 阶方阵A,B,C 满足关系式ABC=E 则必有( )。
A .ACB=EB .CBA=EC .BAC=ED .BCA=E(3)设A,B 为n 阶方阵,满足关系AB=O ,则必有( )。
A .A=B=OB .A+B=OC .A =0或B =0D .0A B +=(4)设A 为n 阶方阵,且0A a =≠,则|*A |=( )。
A .aB .1aC .1n a- D .n a 3.已知矩阵A =121210110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,B =010210021⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求2223,,A B AB BA A B +--。
4.求二阶矩阵的逆矩阵(1) 1315A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ (2) 1221B ⎛⎫= ⎪⎝⎭5.判断矩阵1200130010230112A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是否可逆,若可逆,用分块矩阵的方法求1A -。
6.设矩阵100220345A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1*()A - 7.解矩阵方程(1) 101112112011253X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦(2) X AX B =+,其中010111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,112053B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(3) 32125456X --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭8.求矩阵310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩。
厦门理工学院线性代数第二章_矩阵及其运算参考答案
第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第一节 矩阵及其运算一.选择题1.有矩阵23⨯A ,32⨯B ,33⨯C ,下列运算正确的是 [ B ] (A )AC (B )ABC (C )AB -BC (D )AC +BC 2.设)21,0,0,21(=C ,C C E A T -=,C C E B T 2+=,则=AB [ B ] (A )C C E T+ (B )E (C )E - (D )03.设A 为任意n 阶矩阵,下列为反对称矩阵的是 [ B ] (A )T A A + (B )T A A - (C )T AA (D )A A T4.设n 阶矩阵A ,B ,C ,满足ABAC = E ,则 [ A ] (A )E C A B A TTTT= (B )E C A B A =2222 (C )E C BA =2 (D )E B CA =2二、填空题: 1.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4321028244611652112-⎛⎫ ⎪--⎝⎭2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432112122121A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101012121234B ,则=+B A 3214138725252165⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭3.=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12707532113435649⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4.=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-204131210131431104126782056-⎛⎫ ⎪--⎝⎭三、计算题:1. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求A AB 23-及B A TA AB 23-21322217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭B A T 058056290⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第二节 逆 矩 阵一.选择题1.设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵,则 [B ] (A )1-*=A A A (B )1-*=n AA (C )**=A A n λλ)( (D )0)(=**A2.设A ,B 都是n 阶可逆矩阵,则 [ C ] (A )A +B 是n 阶可逆矩阵 (B )A +B 是n 阶不可逆矩阵 (C )AB 是n 阶可逆矩阵 (D )|A +B | = |A |+|B |3.设A 是n 阶方阵,λ为实数,下列各式成立的是 [ C ](A )A A λλ= (B )A A λλ= (C )A A nλλ= (D )A A nλλ=4.设A ,B ,C 是n 阶矩阵,且ABC = E ,则必有 [ B ] (A )CBA = E (B )BCA = E (C )BAC = E (D )ACB = E 5.设n 阶矩阵A ,B ,C ,满足ABAC = E ,则 [ A ] (A )E C A B A TTTT= (B )E C A B A =2222 (C )E C BA =2 (D )E B CA =2二、填空题:1.已知A B AB =-,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221B ,则=A 10.50.51⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 2.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛12643152X ,则X = 21304⎛⎫⎪-⎝⎭3.设A ,B 均是n 阶矩阵,2=A ,3-=B ,则12-*B A = 21123n --4.设矩阵A 满足042=-+E A A ,则=--1)(E A (2)/2A E +三、计算与证明题:1. 设方阵A 满足022=--E A A ,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 和12-+)(E A1()22A EA E A A E A -=∴--可逆=13(2)()42(32)4A EA E E A E A E A E -+=-+∴-+--可逆=2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ,求A 的逆矩阵1-A*420136132142||2A A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭= 12106.530.51671A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=,求 B1(2)(2)A E B A B A E A--==-线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号233(2)110121A E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭10.5 1.5 1.5(2)0.50.5 1.50.50.50.5A E --⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭033123110B ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭一、把下列矩阵化为等价标准型:1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 答案:1 -1 0 2 -3 0 0 1 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000001000012.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34731038234202173132 答案:1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 4⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛001000001000001二、用矩阵的初等变换,求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023 答案:.10612631110104211;10612163111101014211111210123211122011023);|()|(1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−-则该矩阵的逆为r rA E E A三、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1643388143131562231X ,求X 答案: 无解线性代数练习题 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第三节 矩 阵 的 秩一.选择题1.设A ,B 都是n 阶非零矩阵,且AB = 0,则A 和B 的秩 [ D ] (A )必有一个等于零 (B )都等于n C )一个小于n ,一个等于n (D )都小于n 2.设n m ⨯矩阵A 的秩为s ,则 [ C ] (A )A 的所有s -1阶子式不为零 (B )A 的所有s 阶子式不为零 (C )A 的所有s +1阶子式为零 (D )对A 施行初等行变换变成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000sE 3.欲使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12554621231211t s 的秩为2,则s ,t 满足 [ C ](A )s = 3或t = 4 (B )s = 2或t = 4 (C )s = 3且t = 4 (D )s = 2且t = 44.设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,则 [ B ] (A )当n m >时,必有行列式0≠||AB (B )当n m >时,必有行列式0=||AB (C )当m n >时,必有行列式0≠||AB (D )当m n >时,必有行列式0=||AB()min(,)()min(,)()min((),())min(,)()||0()||0m n n m m n n m m n n m R A m n R B m n R A B R A R B m n n mR A A R A m A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯≤≤≤≤=<⇔⇔≠⇔<⇔=又A 可逆满秩A 不可逆5.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ,则必有=B [ C ](A )21P AP (B )12P AP (C )A P P 21 (D )A P P 12 二.选择题:1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ,则=)(A R 2 2.已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=12221232121a a a A 的秩为2,则a 应满足 31a a ==-或 三、计算题: 1. 设,求)(A R213114413224422322321837103201032023075230750363732580325800242010320218370121710320012170242003635r r r r r r r r r r r r r r --↔-+↔+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→−−→ ⎪-- ⎪---⎝⎭4316141032001217000014000016103200121700001400000() 3.r r R A -⎛⎫⎪- ⎪− ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭=故2.设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k ,问k 为何值,可使 ⑴ 1=)(A R ⑵2=)(A R ⑶3=)(A R21313132(1)212302(1)3(1)103(1)10,()1;10,12312302(1)3(1)02(1)3(1):103(1)003(2)(1)||6(2)(1)r r r r r k r r r k A k k k k k R A k k k k k k k B k k k k B k k k +---+-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪⎪---⎝⎭-==-≠--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--−−−−→--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭=-+-若则若则若122,||0,60,() 2.62,||0,12,() 3.C R A k C k k R A --=-==≠=-≠-≠≠≠-=则但故若则故且时线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第三节 分块矩阵一.选择题1.设A ,B 为n 阶矩阵*A ,*B 分别为A ,B 对应的伴随矩阵,分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B AC 00,则C 的伴随矩阵=*C [D ](A )⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A 00 (B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A A B B 00 (C )⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A B B A 00 (D )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A A B 00 解:11111111100||||||0||||||0||||00||||||||,||||,0||||000||||A C B C A B A C C C A B B A B A A B B A A A E A A A B B B E B B B B A A B A A B A B B -*----**-**-*-*-⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭=⇒==⇒=⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题:1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5400320000430021A ,则=-1A -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 0 0 0 0 -2.5000 1.5000 0 0 2.0000 -1.0000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A = 42.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0030001320001200A ,则=2A 6 5 0 00 6 0 00 0 6 50 0 0 6⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2OC A B O O C O C CB O A B O B O O BC ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、计算题:1.设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11A 11111()P AP P P AP P P P A P P -----=Λ=Λ=Λ 10.20.80.20.2P --⎛⎫= ⎪⎝⎭11111111()()...()A P P P P P P P P ----=ΛΛΛ=Λ 11111002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭11111A P P -=Λ2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300012300000200000100A ,求1-A解:1112*11*21111()r r B r C r O C A B O OCE O A E B O O E B O O E OC E O E O OB O EC O O B A CO --↔-----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦⎛⎫= ⎪⎝⎭1 0 0 0 0.8 -0.2 0 0 0 -0.6 0.4 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 010 0 0 03A -⎛=⎝⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭3.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2200020000340043A ,求8A 及 4A12A O A OA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1234432022A A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4142625006251606416A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 462500006250000160006416A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦88881612(||||)(25*4)10A A A A ===-=线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号综 合 练 习一.选择题1.设n 阶矩阵A ,B 是可交换的,即AB = BA ,则不正确的结论是 [ B ] (A )当A ,B 是对称矩阵时,AB 是对称矩阵 (B )当A ,B 是反对称矩阵时,AB 是反对称矩阵 (C )2222)(B AB A B A ++=+ (D )22))((B A B A B A -=-+2.方阵A 可逆的充要条件是 [ B ] (A )A ≠ 0 (B )| A | ≠ 0 (C )A * ≠ 0 (D )| A * | >0 3.设n 阶矩阵A ,B ,C 和D 满足E ABCD =,则=-1)(CB [ A ](A )CDADAB (B )DA (C )AD (D )DABCDA 二.填空题:1.已知二阶矩阵M 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221*M ,则=M 4221-⎛⎫⎪-⎝⎭ 2.若A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121106223211043a 可逆,则a 为 6a ≠-三.计算题与证明题:1. 已知)3,2,1(=α,)3/1,2/1,1(=β,设βαT A =,求nA 解: 1()()...()()nTTTTTTT n A αβαβαβαβαβαβαβ-==T βα=1(1,1/2,1/3)233⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以111133132(1,1/2,1/3)311/21/33212/333/21n T n n T n n A αβαβ----==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101010112A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020100301B ,A ,B 与X 满足06*1*=++-BA XA AXA ,求X解:*111*1*1|||||||||606060|||||6E AXA XA BA AX XA B AX X B A A A A A A A A A A A A A B -----∴++=++=+++== 由得右乘()X =-得||3A =所以2E 2E A BX A B+=-+-1()X =-() 4 1 12E 0 3 0-1 0 39.0000 -3.0000 -3.00002E 0 13.0000 0 3.0000 -1.0000 12.0000A A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭-1()=1()=39-9 6 -24 0 0 -13-3 -24 -8⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1x=39 3.设n 阶矩阵A 满足062=--E A A ,试证:(1)A 与A -E 都可逆,并求它们的逆矩阵; (2)A + 2E 和A -3E 不同时可逆11()6|||()||6|06)6A A E E A A E E A E A A A A E A E ---=-=≠-=--=可逆可逆((A+2E)(A-3E)=O又(A+2E)与(A-3E)均可逆因此,R((A+2E))=R((A-3E))=n=R((A+2E)(A-3E))=R(O)=0矛盾。
线性代数第二章综合练习题和答案
T T Ax b 有 两 个 解 为 : 1,2,3 , 1,0,1 。 则 其 导 出 组 一 定 有 一 个 解 :
1 , 2 , 3 线性相关,则 1 , 2 , 3, 4 必然 __________.
1 1, 2, 1T , 1 0, 1, T , 3 1, , 0T 线性相关.则 =______________.
)
(D)以上都不对 )
3.设 A, B, C 都是 n 阶矩阵,如果从 AB AC 必能推出 B C ,则 A 满足条件( (A) A 0 ; (B) A 0 ; (C) A 0 ; ) (B) 当 m n 时仅有零解; (D) 当 m n 时仅有零解. ) (D) A 0 .
(B) 必定没有解 ; (D) 以上都不对
12 1 1 2 (D) ; 3 2 2 2
(A)必有唯一解 ; (C)必有无穷多解 ;
17.设 1 , 2 , 3 线性无关,则下列向量组( A) 1 2 , 2 , 3 ;
线性方程组 A x B 的解为
1 1 2 20. 设 A 2 0 4 ,若 3 阶非零方阵 B ,满足 AB O ,则 t 3 2 t
21. 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 r A n 1 ,则线性方程组 AX O 的通解为 22. 设 非 齐 次 线 性 方 程 组 ______________. 23. 若向量组 24. 向量组
)线性相关。
B) 1 2 , 2 3 , 3 ;
C) 1 2 , 2 3 , 3 1 ; D) 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 。 18.设 R 3 中, 1 , 2 , 3 线性无关,则下列结论(
线性代数习题单元练习答案
测试题一(行列式)答案一. 单项选择题1. B;2. B;3. A;4. D;5. D.二. 填空题 1. 10; 2. –4; 3. (8,3); 4. 120; 5. –1.三. 判断题(正确打V ,错误打×)1. 错;2. 对;3. 对;4. 错;5. 错。
四. 解:44434241A A A A +++11111011130112101-=-=. 五. 计算行列式(1) 2000;(2)4x ;这两道题讲过,略。
(3) 1;提示:第一行加到第二行,第二行加到第三行,依次进行下去,最后化成上三角行列式。
(4) –50; (5) 11n n i i a b b -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑;提示:把第二列,直到第n 列都加到第一列; (6) 2(2)!n --,提示:把第一行乘以-1依次加到下面各行。
测试题二(矩阵)答案一. 单项选择题1. D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C .二.填空题1.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2143; 2.2; 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-53005322b b a a ; 4.3E ; 5.3. 三.判断题(正确打V ,错误打×)1. 错; 2. 对; 3.错; 4. 对; 5. 对。
四.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1011117541A . 五.⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12)1(01001n n n n A n (用数学归纳法证明). 六.略。
七.无论a 为何值,矩阵A 的秩都为2。
八.略。
九.()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--1000110204211B E A 。
十.2),,,(4321=ααααR ,4321,,,αααα线性相关,最大无关组为21,αα,2132ααα+-=,21432ααα+-=。
测试题三(线性方程组)答案一.单项选择题1. C;2. D;3. A;4. B;5. C.二.填空题1.)1,1,1,1(--=x ;2. ),,,(000110010101001199219921R k k k k k k ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ; 3. 0; 4. 04321=+++a a a a ; 5. –1.三. 判断题(正确打V ,错误打×)1. 对;2. 错;3. 错;4. 对;5. 对。
最新线性代数第二章习题部分答案(
第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量,线性相关与线性无关(一)一、填空题1. 设3 α1−α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,−1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3= (−5,0,2)T .3. 设矩阵A= 137240115 ,设βi为矩阵A的第i个列向量,则2β1+β2−β3= (−2,8,−2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解:设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0,线性无关。
2. α1=(1,−1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,−1)T, α3=(5,−3,t)T,问t取何值时该向量组线性相关。
解:设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13−1 +k3 5−3t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以,t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
解:因为a1+b,a2+b线性相关,所以存在不全为零的k1,k2,使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关,所以k1+k2≠0,于是,b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n,令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1,求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
线性代数第二章习题及解答
··· ··· .. . ···
∗ ∗ . . .
2 a2 n1 + · · · + ann
(1)
(2)
2 2 由 A2 = 0 得到 a2 0 i1 + ai2 + · · · + ain = 0, i = 1, 2, . . . , n 于是 aij = ( ) 1 2 2 cos θ sin θ 8. 设 A = ,B = , C = 2 1 −2 − sin θ cos θ 2 −2 1
证明:|A−1 | =
|A| = ±1
1 |A|
注意到 A−1 的元素为正数所以其行列式必为整数, 即
1 |A|
为正数, 于是只有
若 |A| = ±1, 由于 A−1 = 整数.
A∗ |A|
注意到 Aij 为整数,于是 A∗ 的元素必为整数,则 A−1 的元素为
1 3 0 0 0
0 2
20 −1 −1 0 , P AP = 0 1 0 求 A 0 0 2 1 2 520 0 0 解:P AP −1 P AP −1 · · · P AP −1 = P A20 P −1 = 0 1 0 20 0 0 220 520 0 0 2 · 520 − 1 1 − 220 2 · 520 − 221 20 20 那么 A20 = P −1 2 · 520 − 221 0 1 0 P = 2 · 5 − 2 2 − 2 0 0 20 −520 + 1 −1 + 220 −520 + 221 19. 设 A, B, A + B 可逆, 证明 (A−1 + B −1 )−1 = A(A + B )−1 B
线性代数习题 第二章 (附详解)
线性代数习题 第二章 (附详解)第二章 矩阵及其运算【编号】ZSWD2023B0061 1 已知线性变换3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解: 由已知221321323513122y y y x x x故3211221323513122x x x y y y321423736947y y y 321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换32133212311542322y y y x y y y x y y x 323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解: 由已知221321514232102y y y x x x321310102013514232102z z z321161109412316z z z所以有 3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设 111111111A150421321B 求3AB 2A 及A TB解:1111111112150421321111111111323A AB2294201722213211111111120926508503092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)127075321134解:127075321134 102775132)2(7111237449635(2)123)321(解:123)321( (1 3 2 2 3 1) (10)(3))21(312解: )21(31223)1(321)1(122)1(2632142(4)20413121013143110412 解:20413121013143110412 6520876(5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解:321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1 a 12x 2 a 13x 3 a 12x 1 a 22x 2 a 23x 3 a 13x 1 a 23x 2 a 33x 3)321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a5 设3121A2101B 问(1)AB BA 吗? 解: AB BA 因为6443AB8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗? 解: (A B)2A 22AB B 2因为5222B A52225222)(2B A2914148但 43011288611483222B AB A27151610 所以(A B)2A 22AB B 2(3)(A B)(A B) A 2B 2吗?解: (A B)(A B) A 2B 2因为5222B A1020B A906010205222))((B A B A而718243011148322B A 故(A B)(A B) A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0解: 取0010A 则A 20 但A 0 (2)若A 2A 则A 0或A E 解: 取0011A 则A 2A 但A 0且A E (3)若AX AY 且A 0 则X Y 解: 取0001A 1111X1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设101 A 求A 2A 3A k解:12011011012 A1301101120123 A A A101 k A k8 设001001A 求Ak解: 首先观察0010010010012A2220020123232323003033 A A A43423434004064 A A A545345450050105A A AkA k k kk k k k k k k 0002)1(121用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立,则k 1时,0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k 由数学归纳法原理知k k k k k k k k k k k A 0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明B TAB 也是对称矩阵 证明: 因为A TA 所以(B TAB)TB T(B TA)TB T A TB B TAB从而B TAB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵,证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明: 充分性 因为A TA B TB 且AB BA 所以(AB)T(BA)TA TB TAB即AB 是对称矩阵必要性 因为A TA B TB 且(AB)TAB 所以AB (AB)TB T A TBA11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)5221 解:5221A |A| 1 故A 1存在 因为1225*22122111A A A A A故 *||11A A A1225(2)cos sin sin cos 解cos sin sin cos A |A| 1 0 故A 1存在 因为cos sin sin cos *22122111A A A A A所以 *||11A A Acos sin sin cos(3)145243121解145243121A |A| 2 0 故A 1存在 因为214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A所以 *||11A A A1716213213012(4)n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 n a a a A 0021由对角矩阵的性质知n a a a A 1001121112 解下列矩阵方程 (1)12643152X解:126431521X1264215380232(2)234311*********X 解: 1111012112234311X0332321012343113132538122(3)101311022141X解: 11110210132141X2101101311421212101036612104111 (4)021102341010100001100001010X解: 11010100001021102341100001010X01010000102110234110000101020143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1) 3532522132321321321x x x x x x x x x解: 方程组可表示为321153522321321x x x故0013211535223211321x x x从而有 001321x x x(2) 05231322321321321x x x x x x x x x解: 方程组可表示为012523312111321x x x故3050125233121111321x x x 故有 305321x x x14 设A kO (k 为正整数) 证明(E A) 1E A A 2A k 1证明: 因为A kO 所以E A kE 又因为E A k(E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2A k 1) E由定理2推论知(E A)可逆 且 (E A) 1E A A 2A k 1证明 一方面 有E (E A) 1(E A)另一方面 由A kO 有E (E A) (A A 2) A 2A k 1(A k 1A k)(E A A 2 Ak 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A 2A k 1)(E A)两端同时右乘(E A) 1就有 (E A) 1(E A) E A A 2A k 115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E) 1证明: 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E) 2E或 E E A A)(21 由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A 由A 2A 2E O 得A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E或 E A E E A)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A| 2即 |A||A E| 2 故 |A| 0所以A 可逆 而A 2E A 2|A 2E| |A 2| |A|20 故A 2E 也可逆由 A 2A 2E O A(A E) 2EA 1A(A E) 2A 1E )(211E A A又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E (A 2E)(A 3E) 4 E所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1)3(41)2(1A E E A16 设A 为3阶矩阵 21||A 求|(2A) 15A*| 解: 因为*||11A A A所以 |||521||*5)2(|111 A A A A A |2521|11 A A | 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 18 2 1617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*) 1(A 1)*证明: 由*||11A A A得A* |A|A 1所以当A 可逆时 有|A*| |A|n|A 1| |A|n 10 从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1|A| 1A又*)(||)*(||1111A A A A A 所以 (A*) 1|A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n 1证明:(1)用反证法证明 假设|A*| 0 则有A*(A*) 1E 由此得A A A*(A*) 1|A|E(A*) 1O所以A* O 这与|A*| 0矛盾,故当|A| 0时 有|A*| 0(2)由于*||11A A A则AA* |A|E 取行列式得到 |A||A*| |A|n若|A| 0 则|A*| |A|n 1若|A| 0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立 因此|A*| |A|n 119 设321011330A AB A 2B 求B解: 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故321011330121011332)2(11A E A B01132133020 设101020101A 且AB E A 2B 求B解: 由AB E A 2B 得(A E)B A 2E即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100|| E A 所以(A E)可逆 从而201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B 解: 由A*BA 2BA 8E 得 (A* 2E)BA 8E B 8(A* 2E) 1A 18[A(A* 2E)] 18(AA* 2A)18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A)14[diag(2 1 2)] 1)21 ,1 21(diag 4 2diag(1 2 1)22 已知矩阵A 的伴随阵8030010100100001*A 且ABA 1BA 13E 求B解: 由|A*| |A|38 得|A| 2由ABA 1BA 13E 得AB B 3AB 3(A E) 1A 3[A(E A 1)] 1A11*)2(6*)21(3A E A E103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中1141P2001 求A 11解: 由P 1AP 得A P P 1所以A 11A=P 11P 1. |P| 31141*P 1141311P而11111120 012001故31313431200111411111A6846832732273124 设AP P 其中111201111P511求 (A) A 8(5E 6A A 2) 解: ( ) 8(5E 6 2)diag(1 1 58)[diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)] diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) (A) P ( )P 1*)(||1P P P1213032220000000011112011112111111111425 设矩阵A、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明: 因为A 1(A B)B 1B 1A 1A 1B 1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A 1B 1可逆(A 1B 1) 1[A 1(A B)B 1] 1B(A B) 1A26 计算30003200121013013000120010100121 解: 设10211A30122A 12131B30322B则 2121B O B E A O E A222111B A O B B A A而4225303212131021211B B A90343032301222B A 所以 2121B O B E A O E A 222111B A O B B A A9000340042102521即30003200121013013000120010100121900034004210252127 取1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A解:4100120021010*********0021010010110100101D C B A 而01111|||||||| D C B A 故|||||||| D C B A D C B A28 设22023443O O A 求|A 8|及A 4解: 令 34431A22022A则21A O O A A故 8218 A O O A A8281A O O A 1682818281810|||||||||| A A A A A464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1O B A O解: 设43211C C C C O B A O 则O B A O 4321C C C Cs n E O O E BC BC AC AC 2143 由此得 s n E BC O BC O AC E AC 2143 121413B C O C O C A C所以O A B O O B A O 111(2)1B C O A解: 设43211D D D D B C O A 则s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121 14113211B D CA B D O D A D所以11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)2500380000120025 解: 设1225A2538B 则5221122511A8532253811B于是850032000052002125003800001200251111B A B A(2)4121031200210001 解: 设 2101A 4103B2112C 则1111114121031200210001B CA B O A BC O A411212458103161210021210001。
线性代数习题╱第二章自测题
第二章自测题一、填空1. 设n 阶可逆矩阵A 满足2|A|=|kA|, (k>0), 则k=2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,而2≥n 为正整数,则12--n n A A =3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ,B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则t =4. 设1)1,0,1(--=α,矩阵TααA =, n 为正整数,则||n A bE -= 5. 设A 为3阶方阵,将A 按列分块则),,(321A A A A =,已知,3||=A 则|,,2|2331A A A A +=6. 设A 为奇数阶可逆矩阵,且T A A=-1,|A|=1,则|I -A|=7. 设(1,0,1)T α=-,矩阵TααA =, n 为正整数,则||n A bE -= 二、计算 1. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1201A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2103B ,计算2A-3B 2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101012111B ,求AB-BA3. 计算nθθθθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-cos sin sin cos 和n⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01104. 求逆矩阵(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--221021132 (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001100011000115. 设矩阵A ,B 满足E BA BA A 82*-=,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100420221A ,*A 是A 的伴随矩阵,求B6. 用分块矩阵的方法求下列矩阵的逆矩阵(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000000121nn a a a a (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100001003102020102 解:(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01000001000011000121n n a a a a ,(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100000100000100232102101021021三、证明1. 设方阵A 满足方程0422=+-I A A ,证明:A+I 和A -3I 都可逆,并求它们的逆矩阵。
线性代数第二章单元测试题
线性代数阶段测试题(二)一、填空题(请将正确答案直接填在横线上,每小题3分,共15分):1. 设315231A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,123412B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,则22A B -=__________。
2. 矩阵A 为m × n 矩阵,B 为s × t 矩阵,当满足__________时,A 与B 才能相乘,此时,C AB = 的__________矩阵。
3. A 为3阶矩阵,且满足2A =,则*A A =4. 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ,当满足__________时,是可逆阵,其逆阵为__________。
5. 1100220,() 345A A *-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦设则。
二、单项选择题 ( 每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内,每小题3分,共15分): 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则TA A=( )。
A n2B 12-nC 12+nD 42.设,,A B C 均为n 阶方阵,,AB BA AC CA ==,则ABC = .(A).ACB ; (B).CBA ; (C).BCA ; (D).CAB3.设矩阵A 、B 、C 满足AB =AC ,则B =C 成立的一个充分条件是 [ ]。
(A) A 为方阵 (B )A 为非零矩阵 (C) A 为可逆方阵 (D) A 为对角阵4. 设A , B 为n 阶方阵,A ≠O , 且AB = O , 则( )。
A BA = OB B = OC (A – B )2 = A 2 + B 2D ∣B ∣= 0或∣A ∣= 05.设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有 .(A).12APPB =; (B).21AP P B =; (C).12PP A B =; (D).21P P A B =三、计算题(每小题8分,共64分):1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123215231124321B A ,,求AB 与BA 。
《线性代数》章节测试题与答案
《线性代数》章节测试题与答案线性方程组的基本概念1.【单选题】下列方程组哪个是相容的()。
答案:C2.【单选题】下列方程组哪个是线性方程组()。
答案:B3.【判断题】两个方程组等价,如果它们有相同的解或无解。
() 答案:√高斯消元法与阶梯型1.【单选题】下列方程组哪个是阶梯型的()。
2.【单选题】答案:3.【判断题】齐次线性方程组的常数项为0。
()答案:√线性方程组的等价与初等变换.【单选题】答案:2.【单选题】答案:3.【判断题】初等变换改变方程组的解()答案:×矩阵1.【单选题】2.【单选题】下列哪个方程组当a取任何值时都有解()。
答案:B3.【判断题】答案:√齐次线性方程组.【单选题】下列哪个方程组是齐次线性方程组()。
答案:C2.【单选题】答案:A3.【判断题】通过初等变换矩阵可以化为阶梯型。
()答案:√二阶行列式1.【单选题】A、-1B、1C、0D、2答案:A2.【单选题】答案:C3.【判断题】答案:√4.【判断题】答案:√三阶行列式1.【单选题】A、-70B、-63C、70D、82答案:2.【单选题】答案:C3.【判断题】答案:√集合的基本概念1.【单选题】A、3B、8C、4D、2答案:B2.【单选题】答案:B3.【判断题】空集是任何集合的子集。
() 答案:√集合之间的运算1.【单选题】答案:D2.【单选题】A、1B、2C、3D、4答案:A3.【判断题】答案:×集合的乘积和基数1.【单选题】答案:B2.【单选题】A、1B、2C、3D、4答案:B3.【判断题】答案:×映射的基本概念1.【单选题】答案:A答案:√3.【判断题】答案:√映射的合成1.【单选题】下列各组函数中,是同一函数的是()。
答案:A2.【判断题】答案:√3.【判断题】答案:√逆映射1.【多选题】答案:ABCD答案:×3.【判断题】答案:√对换1.【单选题】答案:2.【判断题】答案:√置换的分解1.【单选题】A、5B、24C、16D、2答案:A2.【判断题】对换是循环,长度为2。
线性代数2试卷及答案
线性代数(经管类)试题(出卷人:黄继忠)试卷说明:A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 是3阶方阵,且|A |=-21,则|A -1|=( ) A .-2 B .-21 C .21 D .2 2. 设A 为n 阶方阵,令方阵B =A +A T ,则必有( ) A .B T =B B .B =2A C .B T =-B D .B =03. 设A 为四阶矩阵,且,2=A 则=*A ( ) A.2 B.4 C.8 D.124. 下列矩阵中,是初等矩阵的为( ) A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001B .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100101110C .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0013000105. 设A 是m ×n 矩阵,B 是m ×n 矩阵,则下列结果中是n 阶方阵的是(m ≠n )( )A .AB T B .A T BC .B A TD .A B 6. 已知向量组A :4321,,,αααα中432,,ααα线性相关,那么( ) A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关7. 设A 为m n ⨯矩阵,方程AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) A.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性相关 8. 设3阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ) A .E-A B .-E-AC .2E-AD .-2E-A9. 与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( )A.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001 B.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011 C.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001 D.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101 10. 设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111,则二次型f(x 1,x 2)=x T Ax 是( ) A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
新版线性代数1-2章练习和参考答案
;
10.设 A = ( a ij ) 3×3 , | A |= 2, Aij 表示 | A | 中元素 a ij 的代数余子式 (i, j = 1,2,3) ,则
( a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 ) 2 + (a 21 A21 + a 22 A22 + a 23 A23 ) 2 + ( a 31 A21 + a 32 A22 + a 33 A23 ) 2 =
R ( A) _____ R ( B) ;
3.设一个 m × n 齐次线性方程组的系数矩阵为 A ,那么该方程组有无穷多个解的充分 必要条件是_______________;仅有零解的充分必要条件是 ;
x1 + 2 x 2 + x3 = 1 ⎧ ⎪ 4.已知方程 ⎨2 x1 + 3 x 2 + ( a + 2) x3 = 3 无解,则 a = ⎪ x + ax − 2 x = 4 1 2 3 ⎩
;
1 0 2 4 −1 x 3.行列式 2 2 −1 1 5 −2
;
4.设有行列式 D =
a1 − b1 a 2 − b1 # a n − b1
a1 − b2 " a1 − bn a 2 − b2 " a 2 − bn ,当 n = 1 时, D = # % # a n − b2 " a n − bn
⎧ λx1 + x 2 + x3 = 1 ⎪ 三、 λ 取何值时,非齐次线性方程组 ⎨ x1 + λx 2 + x3 = λ ⎪ x + x + λx = λ2 2 3 ⎩ 1
1.有唯一解;2.无解;3.有无穷多个解.
线性代数第五版第二章常见试题及解答
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 为三阶矩阵,|A|=a ≠0,则其伴随矩阵A *的行列式|A *|=( ) A .a B .a 2 C .a 3D .a 4答案:B2.设A 、B 为同阶可逆矩阵,则以下结论正确的是( ) A .|AB|=|BA| B .|A+B|=|A|+|B| C .(AB )-1=A -1B -1D .(A+B )2=A 2+2AB+B 2答案:A3.设A 可逆,则下列说法错误..的是( ) A .存在B 使AB=E B .|A|≠0C .A 相似于对角阵D .A 的n 个列向量线性无关 答案:C4.矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0112的逆矩阵的( )A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111 C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2110 D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2110答案:C5.设A 为3阶方阵,且|A |=2,则|2A -1|=( ) A .-4 B .-1 C .1 D .4答案:D6.设矩阵A =(1,2),B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321,则下列矩阵运算中有意义的是( )A .ACB B .ABC C .BACD .CBA答案:B7.设A 为任意n 阶矩阵,下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A .A +A T B .A -A T C .AA T D .A T A答案:B8.设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ,则A *=( )A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dB .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d 答案:A9.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是( ) A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B .⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3130 C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 答案:C10.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500043200101, 则A 中( ) A .所有2阶子式都不为零B .所有2阶子式都为零C .所有3阶子式都不为零D .存在一个3阶子式不为零 答案:D11.设A 是3阶方阵,且|A |=21-,则|A -1|=( )A .-2B .21-C .21D .2答案:A12.设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A .λ|A | B .|λ||A | C .λn |A | D .|λ|n |A | 答案:C13.设A 为n 阶方阵,令方阵B =A +A T ,则必有( ) A .B T =B B .B =2A C .B T =-B D .B =0 答案:A14.矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=( )A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111B .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111C .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111D .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111答案:D15.下列矩阵中,是初等矩阵的为( )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001 B .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100101110C .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001 D .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001300010 答案:C16.设A 为3阶方阵,且已知|-2A |=2,则|A |=( ) A .-1B .-41C .41D .1答案:B17.设矩阵A ,B ,C 为同阶方阵,则(ABC )T =( ) A .A T B T C T B .C T B T A T C .C T A T B T D .A T C T B T 答案:B18.设A 为2阶可逆矩阵,且已知(2A )-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,则A =( )A .2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321B .⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 C .214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D .1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛答案:D19.设A 为三阶方阵且,2-=A 则=A A T 3( )A.-108B.-12C.12D.108 答案:D20.设A 、B 为同阶方阵,下列等式中恒正确的是( ) A.AB=B B.()111---+=+B A B AC.B A B A +=+ D.()T T T B A B A +=+答案:D21.设A 为四阶矩阵,且,2=A 则=*A ( )A.2B.4C.8D.12答案:C22.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d b a 04=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32c b a ,则( ) A .a=3,b=-1,c=1,d=3B .a=-1,b=3,c=1,d=3C .a=3,b=-1,c=0,d=3D .a=-1,b=3,c=0,d=3答案:C23.设3阶方阵A 的秩为2,则与A 等价的矩阵为() A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111C .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111D .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111 答案:B24.设A 为n 阶方阵,n ≥2,则A 5-=( ) A .(-5)n AB .-5AC .5AD .5n A答案:A25.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,则*A =( ) A .-4B .-2C .2D .4答案:B26.设A ,B 为同阶可逆方阵,则下列等式中错误..的是( ) A.|AB |=|A | |B |B. (AB )-1=B -1A -1C. (A+B )-1=A -1+B -1D. (AB )T =B T A T答案:C27.设A 为三阶矩阵,且|A |=2,则|(A *)-1|=( ) A.41 B.1 C.2D.4答案:A28.设A 为3阶方阵,且==-||3131A A 则,( ) A .-9 B .-3 C .-1D .9答案:B29.设A 、B 为n 阶方阵,满足A 2=B 2,则必有( ) A .A =B B .A = -B C .|A |=|B |D .|A |2=|B |2答案:D30.已知矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011,B =⎪⎭⎫ ⎝⎛1101,则AB -BA =( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛--1201B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011C .⎪⎭⎫ ⎝⎛1001 D .⎪⎭⎫ ⎝⎛0000 答案:A31.设A 是2阶可逆矩阵,则下列矩阵中与A 等价的矩阵是( ) A .⎪⎭⎫ ⎝⎛0000B .⎪⎭⎫ ⎝⎛0001C .⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 D .⎪⎭⎫ ⎝⎛1011 答案:D32.设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,则矩阵A 的伴随矩阵A *=( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛1423B .⎪⎭⎫ ⎝⎛--1423C .⎪⎭⎫ ⎝⎛1243 D .⎪⎭⎫ ⎝⎛--1243 答案:B33.设A 为5×4矩阵,若秩(A )=4,则秩(5A T )为( )A .2B .3C .4D .5答案:C34.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211a a a a ,B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++121112221121a a a a a a ,P 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,P 2=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101,则必有( )A .P 1P 2A =B B .P 2P 1A =BC .AP 1P 2=BD .AP 2P 1=B答案:B35.设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ,则B -1=( ) A .A -1C -1 B .C -1A -1 C .AC D .CA答案:D36.设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000100010,则A 2的秩为( )A .0B .1C .2D .3答案:B37.设A ,B ,C 为同阶方阵,下面矩阵的运算中不成立...的是( ) A.(A +B )T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A (B +C )=BA +CAD.(AB )T =B T A T答案:C38.若矩阵A 可逆,则下列等式成立的是( ) A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A答案:C39.若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213,B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-131224,C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211230,则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是( ) A.ABC B.AC T B T C.CBAD.C T B T A T答案:D40.设A 为2阶矩阵,若A 3=3,则=A 2( ) A .21 B .1 C .34 D .2答案:C41.设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =,则=-1C ( ) A .AB B .BA C .11--B AD .11--A B答案:A42.已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ,则=-1*)(A ( ) A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a答案:A43.下列矩阵中不是..初等矩阵的为( ) A .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011001答案:D44.设A ,B ,C 为同阶可逆方阵,则(ABC )-1=( ) A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -1答案:B45.设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A =(α1,α2,α3,α4).如果|A |=2,则|-2A |=( ) A.-32 B.-4 C.4 D.32答案:D46.设A , B , C 均为n 阶方阵,AB=BA ,AC=CA ,则ABC=( ) A.ACB B.CAB C.CBAD.BCA答案:D47.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且行列式|A |=1,|B |=-2,则行列式||B |A |之值为( ) A.-8 B.-2 C.2D.8答案:A48.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ,B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ,P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001,Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001,则B =( )A.P AB.APC.QAD.AQ答案:B49.已知A 是一个3×4矩阵,下列命题中正确的是( ) A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B.若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C.若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D.若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0答案:C3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2,则| 2A |=( )A.21 B.2 C.4 D.8二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
大学线性代数第二章习题答案
第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 1.解.,251=x 212=x .2.解. ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x 其系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----161109412316第二节 矩阵的运算一 填空题:1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛224210 2.3 , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121 , 13-k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121(k 为正整数)。
3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000004.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100010001 5. 0二选择题 :CCCCC B三计算:1.(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---632142(2)10 (3)322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++32155121232272i i i i ii i 2. ()()T T T A I A AA A I A A A T A A I +=+=+=⋅+=⋅+(1)00A A A I A I <⇒-+=+=.3.111101()()2()2000101n T n T n T n A αααααα----⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则2(2)n n aE A a a -=-. 4.设2222223T T x x xy xz y xy y yz x y z z xz yzy ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5.02()()()A E A B A B E A E A E B A E A E B E +≠--=⇒+-=+⇒-=112A EB B ⇒-⋅=⇒=. 6.()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-1154123600022B A B A7.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012328317 8.-80第三节逆矩阵 一 填空题:1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000031212. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24205100010 3. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----611859131320001 4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000213141 5.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123B 6. 541-;7.100122()(2)2()0102100B E AB A B A E B E E A E -⎡⎤-⎢⎥=+⇒--=⇒-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦8.21()(2)20B A E A E --⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦. 9.由21224()().22A E A EA A E O A E E A E -+++-=⇒-=⇒-=()()kA lE h A E +=10.由111021()102002AB B A A B B E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⇒=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二.选择题:ACBBD三.计算题:1.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3131002121001 (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----17162132130122. 由BA A BA A +=-61得,B E B A +=-61, 所以 E B E A 6)(1=--从而 , 11)(6---=E A B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-7000400031A ,所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--6321E A3.11010100001693471582100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001693471582100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=963852741. 4. 因为)3,2,1(==i i A i i αα,所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ,因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212122221,所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191,故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=622250207315. 由23**0T T ij ij a A A A AA AA A E A A A =⇒=⇒==⇒=⇒=或1A =.又22211111212131311121301A a A a A a A a a a A =++=++≠⇒=.6. 1100200611AP PB A PBP -⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.5511A PB P PBP A --===. 7.1*11112(3)2233A A A A A A -----=-=-,所以 1*131228116(3)2()332727A A A A A ----=-=-=-⋅=-.或 *1*1***114(3)222333A A A A A A A A ---=-=⋅-=-,则311**3*446416(3)2()332727A A A A A ---=-=-=-⋅=-.8.E BA E BA A A E B A A B -=-=-=--**11||)(,即E E A B =-)(*,因而⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-=--1030122211763452221)(11E A B *解 1*n A A-=.9.证 (1)由1124(2)(4)28A B B E A E B E E A E -=-⇒-⋅-=⇒-可逆,且 11(2)(4)8A EB E --=-(2)由(1)得102028(4)110002A E B E -⎛⎫⎪=+-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 四、证明题:1.证:根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2,所以2A AA =*,再由于A 可逆,便有A A =*.2.证:假设A 可逆,即1-A 存在,以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ,这与B 是n 阶非零矩阵矛盾;类似的,若B 可逆,即1-B 存在,以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ,这与A 是n 阶非零矩阵矛盾,因此,A 和B 都是不可逆的. 第四节 矩阵分块法1. 00011000100000010010010001000010010000100010010010000100011000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以100010001001000100100010010001000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31313231000000520021. 3.A ;4.若1A -易求得,由*1A A A -=最简便.显然111,A O C C A B OB ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1**11*A B A OB A OC C C O A B B O A B ---⎡⎤⎡⎤⇒===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5. (1) 1()T APQ O A b A ααα-⎛⎫=⎪-⎝⎭. (2) 由(1)得0211()P A TT P Q PQ A b A Q b A αααα=≠--⋅==-=-. 6. 23423422288()40A B A B αβγγγαβγγγ+=+=+=+=.7. 11100100112120(2)01221001001B O B O A I A I O O --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==⇒-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 8. (1)m m mnnnO A A O C B OOB =-从第n+1列开始每一列与前n 列逐列交换(1)mn m n A B =-(1)mn ab =-.自测题一.单项选择题:1.D 2.C 3.C 4.A5. B 二、填空题:1. 912.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-133 3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4332211 4.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-11001200005200211A 5. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----O O 21313725 三.计算题1.由B X A =*得,AB X AA =*,即 AB X A = ,因为2-=A , 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00021152031000221X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020111.2、1) B E B A E A AB E B A B A A B AA ⇒=-⇒+=⇒+=-)|(|||)(1*可逆.2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=--1111116166666)8(11A EB .3.111()[()]()()T T T T T T T A E C B C E A C C B C E A C B C C E ----=⇒-=⇒-=1()()()T T T A C B CC E A C B E -⇒-=⇒-=110001100[()]12100121T A C B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⇒=-=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 4.-250;415. 由1113()3ABA BA E E A B E ---=+⇒-=.又3*82A A A ==⇒=,则**160000600()36(2)606010306A E B E B E A A -⎛⎫ ⎪⎪-=⇒=-= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭四.证明题1.证 由**T T A A AA AA A E =⇒==.假设0T A AA O =⇒=.考虑T AA 的主对角线上的元素,令()T ij AA B b ==,则222121200ii i i in i i in b a a a a a a =+++=⇒==== ,即A 的第i 行的元素全为零,由i 的任意性,得A 的元素全为零,即A O =,矛盾. 2.由23202A E A A E A E A ---=⇒⋅=⇒可逆,且12A EA --=.。
线代第二章A部分题目参考答案
第二章A 部分题目参考答案2-1设21112210310,103,0161211132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,试求()32A B C -,并验证()()AB C A BC =。
解: 63339301836A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2442206222B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,4113211361614A B --⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭()411107132113601291516143249A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21112223831010326961211191011AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()23810221326901251291011322412AB C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1221052103011061113223BC -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()2115222133101062512612232412A BC --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()AB C A BC ∴=2-2计算下列乘积:(1)()312321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2)()21123⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (3)()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(4)111213212223313233100210001a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(5)na b c ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(6)cos sin sin cos nθθθθ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(7)0110n⎛⎫⎪-⎝⎭(n 为正整数)解:(1) ()()()3123234310101⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭(2) ()22411212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(3) ()()111213111232122232111122133121222233131232333231323333a a a x x x x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++ (4)111213111213212223112112221323313233313233100210222001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪-=-+-+-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(5)2222()nn nnn a a a a b b b b c c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=-==- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(6)令cos sin sin cos nn A θθθθ⎛⎫=⎪-⎝⎭当n=1时,1cos sin sin cos A θθθθ⎛⎫= ⎪-⎝⎭;当n=2时,22cos sin cos 2sin 2sin cos sin 2cos 2A θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭;当n=3时,33cos sin cos3sin 3sin cos sin 3cos3A θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭;当n=4时,44cos sin cos 4sin 4sin cos sin 4cos 4A θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭;……猜想cos sin sin cos n n n A n n θθθθ⎛⎫= ⎪-⎝⎭下面用数学归纳法证明当n=1时显然成立假设当n=k 时猜想成立即cos sin sin cos k n n A n n θθθθ⎛⎫=⎪-⎝⎭则当n=k+1时()()()()1cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n A A n n θθθθθθθθ+++⎛⎫⎛⎫==⎪⎪-++-⎝⎭⎝⎭成立故cos sin cos sin sin cos sin cos nn n n n θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭(7)令0110nn A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭当n=1时,111cos sin 01221011sin cos 22A ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭;当n=2时,210cos sin 01sin cos A ππππ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭;当n=3时,333cos sin 01221033sin cos 22A ππππ⎛⎫ ⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭;当n=4时,410cos 2sin 201sin 2cos 2A ππππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;当n=5时,51155cos sin cos sin 012222101155sin cos sin cos 2222A ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,…… 猜想cos sin 012210sin cos 22n n n n A n n ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭下面用数学归纳法证明 当n=1时显然成立假设当n=k 时猜想成立即cos sin 22sin cos 22k k k A k k ππππ⎛⎫⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭则当n=k+1时k 111cos sin01221011sin cos 22k k k A A k k ππππ+++⎛⎫⎪⎛⎫==⎪ ⎪-++⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭成立故cos sin 012210sin cos 22n n n n n ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭2-3设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,000000B λμγ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100λβ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,200βμ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,300βγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求123,,,AB A A A βββ,并验证()123,,AB A A A βββ=解:111213111213212223212223313233313233000000a a a a a a AB a a a a a a a a a a a a λλμγμλμγγλμγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;111213111212223213132333100a a a a A a a a a a a a a λλβλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;111213122212223223132333200a a a a A a a a a a a a a μβμμμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;111213133212223233132333300a a a a A a a a a a a a a γβγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 显然有()123,,AB A A A βββ=2-4设A ,B 都是n 阶矩阵,问下列等式成立的条件是什么?(1)()2222A B A AB B +=++ (2)22()()A B A B A B +-=-解:(1)()()222()()()A B A B A B A A B B A B A AB BA B +=++=+++=+++为使()222222A B A AB BA B A AB B +=+++=++则AB BA =即原等式成立的条件是AB BA =(2)()()22()()A B A B A A B B A B A AB BA B +-=-+-=-+-为使2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=-则AB BA = 即原等式成立的条件是AB BA =2-5若AB BA =,AC CA =,证明:A,B,C 是同阶方阵,且有()()A B C B C A +=+,()()A BC BC A =. 证明:设A 是11m n ⨯的矩阵,B 是22m n ⨯的矩阵,C 是33m n ⨯的矩阵。
线性代数智慧树知到课后章节答案2023年下贵州理工学院
线性代数智慧树知到课后章节答案2023年下贵州理工学院贵州理工学院第一章测试1.一个非齐次线性方程组的解可能有以下哪几种形式()。
答案:无穷多解;无解;唯一解2.有若干只龟鹤同在一个地方,共有100个头和350只脚,问笼中各有多少只龟和鹤()?答案:龟有75只,鹤有25只3.在一个含有四个方程的阶梯形方程组中,它们非零方程的个数等于其主变量的个数。
()答案:对4.若向量,,线性无关,则应满足条件()。
答案:5.齐次线性方程组一定有解。
()答案:对6.一个非齐次线性方程组的自变量既有主变量,又有自由变量,则该方程组一定有唯一解。
()答案:错7.一个向量组要么是线性相关,要么是线性无关。
()答案:对8.设向量,,当为何值时,有成立()。
答案:9.在以下各命题中,正确成立的有()。
答案:向量组中任一向量都可由这个向量组线性表示;任意一个n维向量可由n维基本单位向量组线性表示;一个零向量可由任意的同维向量线性表示;一个非零向量必线性无关10.一个向量的负向量可以有多个。
()答案:错11.已知,则()。
答案:-0.5第二章测试1.设矩阵 , , ,则下列运算有意义的是()。
答案:2.设为阶矩阵,下列命题正确的是()。
答案:3.下列矩阵为初等矩阵的是()。
答案:4.设,都是阶可逆阵,则下列运算正确的是()。
答案:5.设阶方阵、、满足,则下列等式成立的是()。
答案:6.可逆矩阵都是等价的。
()答案:错7.若A、B都是n阶可逆矩阵,则A可以通过初等行变换化为B。
()答案:错8.若AB=E,则A一定可逆。
()答案:错9.若A、B都是n阶可逆矩阵,则它们可以化为同一个标准型矩阵。
()答案:对10.若方阵满足,则必有或。
()答案:错第三章测试1.的值等于()。
答案:-142.已知4阶方阵A,其第三列元素分别为1,3,-2,2,它们的余子式的值分别为3,-2,1,1,则行列式()。
答案:53.计算行列式()。
答案:-1804.设行列式则行列式()。
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线性代数第二单元测试题
一.单项选择题(3’×8=24’) 1.若A 、B 为n 阶方阵,则下列结论正确的是( ). (A )A+B|A|B||||=+; (B )AB BA =; (C )AB BA ||||=; (D )A B A B 111---+=+(). 2.B A ,均为三阶可逆矩阵,则下列等式成立的是( ). (A )111)(---=B A AB ; (B )A A =-; (C )B A B A B A +-=-22; (D )A A 22=. 3.B A ,均为三阶矩阵,AB=0,则下列等式成立的是( ). (A )A=0 (B )B=0 (C )A=0 或B=0 (D )|A|或|B|=0 4、设A 是方阵,若AC AB =,则必有 ( ) (A )0≠A 时C B =; (B )C B ≠时0=A ; (C )C B =时0≠A ; (D )0≠A 时C B =. 5.设B A ,为n 阶矩阵,**,B A 是伴随矩阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ,则=*C ( ).
(A ) ⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛**B B O O A A ; (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A A O O B B ; (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A O O A B ; (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B O O B A .
6、设,,A B C 均为n 阶矩阵, 且ABC E =,则必有( );
A .CA
B E = B .BA
C E = C .CBA E =
D .ACB
E =
7、设*A 为n 阶方阵A 的伴随方阵,则下列结论不正确的是( );
A .**AA A A =
B .*AA A E =
C .1*n A A
-= D .*n A A =
8. 设,A B 均为n 阶矩阵, 且()A B E O -=,则必有( );
A .A O =或
B E = B .A BA =
C .0A =或1B =
D .两矩阵A 与B
E -中,至少有一个为奇异矩阵
二.填空题(2’×13=26’)
1.若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0110P ,那么=20042003AP P 、 2.B A ,为三阶矩阵,1-=A ,2=B ,则()='-21
2B A 3.已知53)(2+-=x x x f ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b a A 00,则=)(A f 4.设A 是n 阶矩阵, 满足AA T =E ,且|A|<0,则E A +=____0_____.
5.α是三维列向量,⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----='111111111αα,则T αα= .
6、A=101020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,则
-12A+3E A -9E ()()= 7、设矩11531A B 3A B A B 1320--⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,,则, 。
8、设A 为三阶矩阵,且2=A ,则=--1*2A A ,|A*|=______
9、设3阶矩阵B A,满足关系式:BA A BA A +=-61,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=714131
000000A , 则=B .
10、设⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭120A 340001,1B 21⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
,则1A - B A =_____
三计算题 40’
1.求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=1513112251A 的逆矩阵.
2、设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=100110111A 且E 2A AX -=,求矩阵X
3、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=2200020000340043A ,求20A 及4A
4、现有甲、乙两种细菌,它们会互相突变。
每一分钟,甲种细菌突变为乙种细菌的概率为
310
,乙种细菌突变为甲种细菌的概率为910,而未突变的细菌仍然是原来的细菌,已知开始时甲种细菌有300万个,乙种细菌有500万个。
(1)细菌突变的转移矩阵是什么?(2)3min 后,甲种细菌和乙种细菌各是多少?
四 证明题:10’
1、设0=k A ,其中k 为正整数,证明:121)(--++++=-k A A A E A E
2、设2A +2A+3E =0,证明A ,A+3E 可逆,并求逆。