排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有二：

其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；

其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.

分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

1．有限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在” “邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：

⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.

⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.

⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：

“含”与“不含” “至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.

3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.

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习题

1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）

(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个

2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？

（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？

（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？

3、七个同学排成一横排照相.

（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600）

（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440）

（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120）

（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440）

（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）

4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.

（1）能组成多少个四位数？（300）

（2）能组成多少个自然数？（1631）

（3）能组成多少个六位奇数？（288）

（4）能组成多少个能被25整除的四位数？（21）

（5）能组成多少个比201345大的数？（479）

（6）求所有组成三位数的总和. （32640）

5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.

（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？（152096）

（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？（7224560）

（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？（67910864）

（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？（7376656）

（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？（75135424）

6、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种.

7、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有（）

8、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有____种

9、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990

解决排列组合问题的策略

1、逆向思维法：

例题：7个人排座，甲坐在乙的左边（不一定相邻）的情况有多少种？

例题：一个正方体有8个顶点我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构成四面体的。例题：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：

3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略

例题：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。

4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。

例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种。144

5、插板法

插板法的条件构成： 1元素相同，2分组不同，3必须至少分得1个

插板法的类型：

（1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？（典型插板法点评略）

（2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？（凑数插板法：这个题目对照插板法的3个条件我们发现至少满足1个这个条件没有，所以我们必须使其满足，最好的方法就是用14块奶糖来分，至少每人1块，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分了，就回归到了原题）

（3）、10块奶糖放到编号为1，2，3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，则有几种方法？（定制插板法：已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排使得每个盒子都差