正弦交流电的相量图表示法
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三相电压的相量表示
三相电压的相量表示是将时间上连续变化的三相正弦交流电压以复数形式表达，这种方法可以直观地描述各相电压在幅值、频率以及相位上的关系。
在电力系统分析中，通常采用极坐标或直角坐标（也称作笛卡尔坐标）来表示。
极坐标表示：
对于星形连接（Y接法）的三相电源或负载，其相电压相对于同一基准（例如A相）的相量表示为：
- A相：UA = V∠0°
- B相：UB = V∠-120°
- C相：UC = V∠120°
这里的V代表每相的有效电压幅值，角度表示的是相对于A 相的相位差，按照逆时针方向，B相滞后A相120度，C相超前A相120度。
直角坐标表示：
在静止对称坐标系（如αβγ坐标系或dq0坐标系）中，也可以转换成直角坐标形式表示，但此处不涉及具体的坐标变换过程。
对于三角形连接（Δ接法）的三相电压，线电压与相电压之间的关系如下：
- 线电压UAB = UA - UB = 380∠30° (假设有效线电压为380V)
- 线电压UBC = UB - UC = 380∠-90°
- 线电压UCA = UC - UA = 380∠150°
相量图中，三个电压相量按照120度均匀分布，且同时绕着同一个轴以相同的角速度逆时针旋转，这个角速度对应的就是系统的角频率ω（对于50Hz的交流电，ω=2π×50 rad/s）。
通过相量图和相量计算，能够简化复杂电路的分析和计算。
相量图表示法教案
学时:2学时教学目的：1.运用相量图分析交流电路； 2.相量图与波形图的关系。
重点：相量图的注意事项；难点：运用相量图分析交流电路。
导入新课：相量图是学习正弦交流电的基本工具，在计算相应的问题时是可以起到很好的作用的。
§ 5—2正弦交流电的相量图表示法一、表示正弦交流电的方法1.解析式。
例如 V t U u u m )sin(ϕω+=2.波形图。
例如下图1所示3.相量图。
例如下图2所示二、相量图（矢量图） 1.旋转矢量与波形图的关系怎样用相量图来表示正弦交流电呢？现在以正弦电动势V t E e m )sin(ϕω+=为例说明如下：如图2所示，在直角坐标系内，作一条有向线段OA ，其长度为正弦电动势e 的最大值m E ，它的起始位置与x 轴正方向的夹角等于初相0ϕ，并以正弦电动势的角频率ω为角速度逆时针匀速旋转，则在任一瞬间旋转相量与x 轴的夹角即为正弦电动势的相位)(0φω+t ，它在y 轴的投影)(Oa 即为该正弦电动势的瞬时值。
正弦交流电的相量用“m E 、m U 、mI ”表示。
但实际应用更多的是有效值相量（如图3所示），即将有向线段OA 的长度定为正弦量的有效值，相应符号则为“E 、U 、I ”。
例如，当0=t 时，旋转相量在y 轴的投影为e图12.应用相量图时应注意以下几点：①同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。
②同一相量图中，相同单位的相量应按相同比例画出。
③一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆时针转动的角度为正，顺时针转动的角度为负。
有时为了方便起见，也可在几个相量中任选其一作为参考相量，并取消直角坐标轴。
④用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运算可按平行四边形法则进行。
3.举例已知V t u )30314sin(2301+=，V t u )60314sin(2402-=，利用相量图求21u u u +=和21u u u -='的瞬时值表达式。
第六讲 正弦交流电的基本概念及
I= √2
Im
U= √2
Um
E=
返回
Em
√2
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Байду номын сангаас
2.1.(1) 分析计算正弦交流电时是否也与直流电一样 是从研究它们的大小和方向着手？ 【答】不是，应从研究它们的频率、大小和相位着手。
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例2-2 已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。 解：角频率为 =2f=2×50=100 =314rad/s
【答】（a）式中 ( a ) i
10 30
10 sin( t 30 ) A 是瞬时表达式，
是相量表达式，二者不等；（b）式中I为有效值， 5 45 A U 20 60 V 是相量，二者不等；（c）式中 是相量表达式， 是瞬时值表达式，二者不等。 )V 20 2 sin( t 60
2.2 正弦量的相量表示法
一、相量法
正弦交流电动势 e E m sin( t ) 的相量式为：
E E (cos j sin ) E
说明： （1）相量是表示正弦量的一种方式，相量不是时间 函数。
（2）相量是正弦量的复数表示形式，但不是正弦量。
（3）相量的加减只能是同频率正弦量的相加或相减
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。
i = 100 sin（314 t +30O）A u = 311sin（314 t－60O）V
= u － i = －60O －30O = －90O
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交流电相位差分析
e1 = Em1sin（ ωt + 1 ） e2= Em2sin（ ωt + 2）
正弦交流电
同频正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
相
i2
位
i1
t
i1 1 2 0
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
1000 rad/s f 1000 159 Hz
解：
3
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
U 311.1 60 220 60 110 j190.5 V 2
I
100 / 6
/3
220
U
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A
I2 10 e j30 A
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
旋转矢量
最大值 Um
有效值 U
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号： Um、Im
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
3. 相量符号 U、I包含幅度与相位信息 U、I
则： U U1 U2 U1 U 2 e j(12 )
3. 除法运算
设： U1 U1e j1 U2 U 2e j 2
则：
U1 U2
U1 U2
e j12
正弦交流电路的相量表示法
220
23
3
220 [cos( ) j sin( )] (110 j 190 .5)V
3
3
I
100 / 6
/3
220
U
u 正弦量
对应
相量图 U
t
例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
2、相量式的书写方式：
模用最大值表示 ，则用符号：Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 意正弦：量在的实相量际表应示用法 中，模更多采用有效值表示
U I
注 意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量 u Umsin(ωt ψ)
相量表示:
U Uejψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
或
Um Umejψ Umψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
U• 220 45？
4 2 sin (ω t 30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
4.已知：
U m 220 ？ e45
U 100 15V
2.已知：I 1060A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
+j
b
A
正弦交流电的相量表示法(2)
电工基础
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
15、正弦交流电的相量表示法cos
思考：
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
电工技术：正弦交流电的相量表示法(2)
平行四边形，对角线就是相量和。
+j
例:题2： 已知
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V
求：
U 2
U 1
41.9
60
u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
30
+1
Hale Waihona Puke 同频率正弦量的相量运算同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
方法一：同频率的正弦量相加减运 算，变成对应的相量相加减运算。 例:题2： 已知 求：
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
求：
U 2 U 1
+1
u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) u (t ) u1 (t )-u 2 (t )
首尾相接法 根据几何关系求得相加后的电压有效值和初相角：
平行四边形法
+1
U 10 53 o V u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) 10 2sin(314t 53o ) V
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 ) V
求：
U 2
60
U 1
+j
例:题2： 已知
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V
求：
U 2
U 1
41.9
60
u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
30
+1
Hale Waihona Puke 同频率正弦量的相量运算同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
方法一：同频率的正弦量相加减运 算，变成对应的相量相加减运算。 例:题2： 已知 求：
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
求：
U 2 U 1
+1
u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) u (t ) u1 (t )-u 2 (t )
首尾相接法 根据几何关系求得相加后的电压有效值和初相角：
平行四边形法
+1
U 10 53 o V u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) 10 2sin(314t 53o ) V
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 ) V
求：
U 2
60
U 1
3.2相量表示法
设相量 A rejψ A 将相顺量时针A 乘旋以转e9-0j9，0 得，到C
例已知正弦电量的瞬时值表达式分别为
，
e 180 2 sin(t 60) V i 10 2 sin(t 30) A
要求（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
（2）画出各正弦量对应相量的相量图。
方法2：用图解法求总电流i
① 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表
达式。
I1
630
A
I 2 8 60 A
② 画出 I1 I 2 ，用矢
量求和法作出电流的相量
图，如图（b）所示。由
相量图确定正弦电流的有
效值和初相位
I 10 A 23.1
③ 写出电流对应的相量表达式
最大值
3.已知：
I 4 e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？ ？ U 100 ej15 V
负号
3.2.3相量的计算
（1）复数的加减运算 设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，
② 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式
I I1 I2
(5.196 j3) (4 j6.928)
I 10 23.1A
9.296 j3.928 10 23.1A
③写出电流i的瞬时值表达式。
i 10 2 sin(t 23.1)A
解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
例已知正弦电量的瞬时值表达式分别为
，
e 180 2 sin(t 60) V i 10 2 sin(t 30) A
要求（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
（2）画出各正弦量对应相量的相量图。
方法2：用图解法求总电流i
① 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表
达式。
I1
630
A
I 2 8 60 A
② 画出 I1 I 2 ，用矢
量求和法作出电流的相量
图，如图（b）所示。由
相量图确定正弦电流的有
效值和初相位
I 10 A 23.1
③ 写出电流对应的相量表达式
最大值
3.已知：
I 4 e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？ ？ U 100 ej15 V
负号
3.2.3相量的计算
（1）复数的加减运算 设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，
② 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式
I I1 I2
(5.196 j3) (4 j6.928)
I 10 23.1A
9.296 j3.928 10 23.1A
③写出电流i的瞬时值表达式。
i 10 2 sin(t 23.1)A
解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
电工2第四章 正弦交流电
2
频率不变
U (U 1 cos 1 U 2 cos 2 ) (U 1 sin 1 U 2 sin 2 )
tg
1
U 1 sin 1 U 2 sin 2 U 1 cos 1 U 2 cos 2
幅度变化
15
相位变化
u u1 u2 2U1 sin t 1 2U 2 sin t 2 2U sin t
7
2、角频率： 反映正弦量变化的快慢。
t
T
角频率（ω）：每秒变化的弧度。 单位：弧度/秒( rad/s ) 频率（f）：每秒变化的次数。 单位：赫兹( HZ )，千赫兹( KHZ ) ... 周期（T）：变化一周所需的时间。 单位：秒( s )，毫秒( ms )...
8
T、f、 之间的关系：
0
I
I 10 2 45 0
j45
I m 10 e
45 0
？
实数有效值
100 50 0 已知：I
最大值
I m 2 I 100 2
0
则： 100 sin ( t 50 ) i
？
25
复数的运算：加、减、乘、除法。
设： A1= a1+j b1 = r1∠ 1
幅度变化 频率不变 相位变化
综上：
同频率正弦波相加，其结果仍是该频率下的 正弦波。 正弦量的波形图及三角函数式表示法比较直 观，但用于运算很繁琐！ 启示：在讨论同频率正弦波时，只要知道幅度与 16 初相位即可。
4.2
一、相量图
复数平面 实 轴 Im
正弦电量的相量表示法
ω 旋转矢量
O ωt
0
Re
频率不变
U (U 1 cos 1 U 2 cos 2 ) (U 1 sin 1 U 2 sin 2 )
tg
1
U 1 sin 1 U 2 sin 2 U 1 cos 1 U 2 cos 2
幅度变化
15
相位变化
u u1 u2 2U1 sin t 1 2U 2 sin t 2 2U sin t
7
2、角频率： 反映正弦量变化的快慢。
t
T
角频率（ω）：每秒变化的弧度。 单位：弧度/秒( rad/s ) 频率（f）：每秒变化的次数。 单位：赫兹( HZ )，千赫兹( KHZ ) ... 周期（T）：变化一周所需的时间。 单位：秒( s )，毫秒( ms )...
8
T、f、 之间的关系：
0
I
I 10 2 45 0
j45
I m 10 e
45 0
？
实数有效值
100 50 0 已知：I
最大值
I m 2 I 100 2
0
则： 100 sin ( t 50 ) i
？
25
复数的运算：加、减、乘、除法。
设： A1= a1+j b1 = r1∠ 1
幅度变化 频率不变 相位变化
综上：
同频率正弦波相加，其结果仍是该频率下的 正弦波。 正弦量的波形图及三角函数式表示法比较直 观，但用于运算很繁琐！ 启示：在讨论同频率正弦波时，只要知道幅度与 16 初相位即可。
4.2
一、相量图
复数平面 实 轴 Im
正弦电量的相量表示法
ω 旋转矢量
O ωt
0
Re
交流电的表示法
正弦量可以用最大值相量或有效值相量表示，但通常用有效值 相量表示。
1.最大值相量表示法
最大值相量表示法是用正弦量的 振幅值做为相量的模(大小)、用初相角 做为相量的幅角，例如有三个正弦量 为
e=60sin(ωt＋60°)V u=30sin(ωt＋30°)V i=5sin(ωt－30°)A 则它们的振幅相量图如图7-3所示。
由此可见，一个正弦量只要知道它的最大 值和初相后，可以用一个旋转矢量表示，矢量以 角速度沿逆时针方向旋转，其他的矢量就可以随
时确定。
第三节
——
一、解析式表示法
二、波形图表示法
Байду номын сангаас
三、相量图表示法
交流电的表示法
一、解析式表示法
ue((tit())t=)==UEmImmsssiininn(((ttteui000)))
例如已知某正弦交流电流的最大值是2 A，频率为100 Hz，设初相位为60，则该电流的瞬时表达式为
i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)
01
知道了交流电的有效值， 频率，和初相，
何瞬间的瞬时值。
03
02
就可以写出它的解析式， 可以算出交流电任
图7-2 正弦交流电的波形 图举例
波形图表示法
01
波形图中横坐标表示时间t或角度 t
02
纵坐标表示变化的电动势，电压，或电流的瞬时值
在波形图上可以反映出最大值，初相和周期。
三、相量图表示法
图7-3 正弦量的振幅相量图举例
图7-3 正弦量的振幅相量图举例
2.有效值相量表示法
有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为 相量 的模(长度大小)、仍用初相角做为相量的幅角
1.最大值相量表示法
最大值相量表示法是用正弦量的 振幅值做为相量的模(大小)、用初相角 做为相量的幅角，例如有三个正弦量 为
e=60sin(ωt＋60°)V u=30sin(ωt＋30°)V i=5sin(ωt－30°)A 则它们的振幅相量图如图7-3所示。
由此可见，一个正弦量只要知道它的最大 值和初相后，可以用一个旋转矢量表示，矢量以 角速度沿逆时针方向旋转，其他的矢量就可以随
时确定。
第三节
——
一、解析式表示法
二、波形图表示法
Байду номын сангаас
三、相量图表示法
交流电的表示法
一、解析式表示法
ue((tit())t=)==UEmImmsssiininn(((ttteui000)))
例如已知某正弦交流电流的最大值是2 A，频率为100 Hz，设初相位为60，则该电流的瞬时表达式为
i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)
01
知道了交流电的有效值， 频率，和初相，
何瞬间的瞬时值。
03
02
就可以写出它的解析式， 可以算出交流电任
图7-2 正弦交流电的波形 图举例
波形图表示法
01
波形图中横坐标表示时间t或角度 t
02
纵坐标表示变化的电动势，电压，或电流的瞬时值
在波形图上可以反映出最大值，初相和周期。
三、相量图表示法
图7-3 正弦量的振幅相量图举例
图7-3 正弦量的振幅相量图举例
2.有效值相量表示法
有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为 相量 的模(长度大小)、仍用初相角做为相量的幅角
电工技术：正弦交流电的相量表示法(1)
I 560 A
I
60
U
30
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，可不画坐标轴。
二、相量图
例题1: 将 u1、u2 用相量表示,并画出相 量图。
解:
(1) 相量式
220 20V U 1
110 45 V U 2
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
一、正弦量的相量表示法：正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
3.已知：
4 e j30 A I
• 220 U 45 V 2 有效值
？
4 2 sin (ω t 30 )A
瞬时值形式
？
复数形式
j45
220 e45 V U m
2.已知：
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如i源自 -ImO
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin(t 1 )
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
2.1.2正弦交流电的表示方法
u (t ) 10sin(2 50t ) 3 10sin(100 t ) 3
例2、某正弦交流电电流的波形如图所示，那么该正弦交流电 的周期T=（ ）s；电流最大值Im=（ ）A；初相角=（ ）； 当t=0时刻时，u=（ ）V。
4 i/A
t -/2 0 /2 3/2 2 5/2 t/s 0.02s -4 解： 由图可知 T=0.02s =- /2
正弦交流电的表示方法
一、正弦交流电的三要素 表示正弦交流电的三组物理量： 1、周期、频率、角频率 2、最大值、有效值、瞬时值
3、相位、初相位、相位差
正弦交流电的三要素： 频率 最大值 初相位
正弦交流电的表示方法
二、正弦交流电的表示方法
要领：任何一种表示方法，都必须准确描述正弦 交流电的三要素。 1、解析式表示法 （1）利用正弦函数表达式形式表示正弦交流电的方 法。 （2）表示形式： u=Umsin(t+)或i=Imsin(t+)。
（c） i=100sin(314t-450) = 100sin[314t+(-450)]
所以 = -450
i=Imsin(t + ) i=100sin(314t-450)
正弦交流电的表示方法
【例】某正弦电压的最大值Um=310V,初相 u=300; 某正弦电流的最大值Im=14.1A,初相 i=-600。它 们的频率均为50Hz。（1）分别写出电压和电流 的瞬时值表达式。（2）正弦电压和电流的相位 差。
i1=102sin(314t+90o)A i2=52sin(314t-45o)A
4、画出相量
i 50sin(314t 300 ), u 100sin(314t 600 )
例2、某正弦交流电电流的波形如图所示，那么该正弦交流电 的周期T=（ ）s；电流最大值Im=（ ）A；初相角=（ ）； 当t=0时刻时，u=（ ）V。
4 i/A
t -/2 0 /2 3/2 2 5/2 t/s 0.02s -4 解： 由图可知 T=0.02s =- /2
正弦交流电的表示方法
一、正弦交流电的三要素 表示正弦交流电的三组物理量： 1、周期、频率、角频率 2、最大值、有效值、瞬时值
3、相位、初相位、相位差
正弦交流电的三要素： 频率 最大值 初相位
正弦交流电的表示方法
二、正弦交流电的表示方法
要领：任何一种表示方法，都必须准确描述正弦 交流电的三要素。 1、解析式表示法 （1）利用正弦函数表达式形式表示正弦交流电的方 法。 （2）表示形式： u=Umsin(t+)或i=Imsin(t+)。
（c） i=100sin(314t-450) = 100sin[314t+(-450)]
所以 = -450
i=Imsin(t + ) i=100sin(314t-450)
正弦交流电的表示方法
【例】某正弦电压的最大值Um=310V,初相 u=300; 某正弦电流的最大值Im=14.1A,初相 i=-600。它 们的频率均为50Hz。（1）分别写出电压和电流 的瞬时值表达式。（2）正弦电压和电流的相位 差。
i1=102sin(314t+90o)A i2=52sin(314t-45o)A
4、画出相量
i 50sin(314t 300 ), u 100sin(314t 600 )
正弦交流电的相量图表示法
正弦交流电的相量图表示法
以正弦电动势e Em sin(t 0 ) 为例，如图：
为了与一般的空间矢量相区别，把表示正 弦交流电的这一矢量称为相量。
•
正弦交流电的相量用 Em 、 Um 、 I m 表示。 但实际应用更多的是有效值相量，即将有向线 段OA的长度定为正弦量的有效值，相应符号 则改为 E 、 U 、 I 。
一个正弦量的相量图、波形图、解析式是正弦量 的几种不同的表示方法，它们有一一对应的关系，但 在数学上并不相等，如果写成
e Em sin(t 0 ) E
则是错误的。 例5-2 已知 u1 3 2 sin(314t 30 )V ， u 4 2 sin(314t 60 )V 2 利用相量图求 u u1 u2 和 u u1 u2 的瞬时表达式。
Biblioteka 表示正弦交流电的相量与力学中的矢量 不同，它只是相位随时间变化的量，虽然加、 减运算也遵循平行四边形法则，但与方向无 关。 应用相量图时注意以下几点： 1.同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。 2.同一相量图中，相同单位的相量应按相同比 例画出。
3.一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆 时针转动的角度为正，反之为负。有时为了方 便起见，也可在几个相量中任选其一作为参考 相量，并省略直角坐标轴。 4.用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运算可 按平行四边形法则进行。
以正弦电动势e Em sin(t 0 ) 为例，如图：
为了与一般的空间矢量相区别，把表示正 弦交流电的这一矢量称为相量。
•
正弦交流电的相量用 Em 、 Um 、 I m 表示。 但实际应用更多的是有效值相量，即将有向线 段OA的长度定为正弦量的有效值，相应符号 则改为 E 、 U 、 I 。
一个正弦量的相量图、波形图、解析式是正弦量 的几种不同的表示方法，它们有一一对应的关系，但 在数学上并不相等，如果写成
e Em sin(t 0 ) E
则是错误的。 例5-2 已知 u1 3 2 sin(314t 30 )V ， u 4 2 sin(314t 60 )V 2 利用相量图求 u u1 u2 和 u u1 u2 的瞬时表达式。
Biblioteka 表示正弦交流电的相量与力学中的矢量 不同，它只是相位随时间变化的量，虽然加、 减运算也遵循平行四边形法则，但与方向无 关。 应用相量图时注意以下几点： 1.同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。 2.同一相量图中，相同单位的相量应按相同比 例画出。
3.一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆 时针转动的角度为正，反之为负。有时为了方 便起见，也可在几个相量中任选其一作为参考 相量，并省略直角坐标轴。 4.用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运算可 按平行四边形法则进行。
正弦交流电的表示法
绘制相量图时，需要确定原点、幅值和角度（相位），将正弦交流电的瞬时值与极坐标系中的点对应 起来。
相量表示法的应用
相量表示法在交流电路分析中具有广泛应用，可以用于计算阻抗、感抗和容抗等参 数，简化正弦交流电路的分析过程。
通过相量图，可以直观地分析正弦交流电在电路中的相位关系，有助于理解交流电 路的工作原理。
相量表示法的定义
相量表示法是一种用于描述正弦交流 电的方法，通过将正弦交流电的幅度 和相位用复数（相量）表示，可以简 化电路分析和计算。
相量表示法中，正弦交流电的三要素 （幅值、频率和相位）被整合到一个 复数中，使得正弦波的数学描述更加 简洁明了。
相量图及其绘制方法
相量图是一种用于表示正弦交流电相量关系的图形，通过在复平面（极坐标系）上绘制相量，可以直 观地展示各正弦波之间的相位关系。
极坐标表示法
极坐标表示法是一种通过极角和极幅来表示正弦交流电的方法。
在极坐标系中，正弦交流电的电压和电流可以表示为：$e = E(cosalphacosbeta + sinalphasinbeta)$， 其中$E$是幅值，$alpha$是初相角，$beta$是相位角。
极坐标表示法可以直观地展示出正弦交流电的幅值和相位信息，方便理解和计算。
相量表示法还可以用于交流电路的稳定性分析，预测系统的动态响应和稳定性。
04
正弦交流电的功率和能量
有功功率和无功功率
有功功率
表示实际消耗的功率，用于转换和 利用能量，单位是瓦特（W）。
无功功率
表示与实际消耗无关的功率，用于 维持磁场和电场，单位是乏 （var）。
视在功率和功率因数
视在功率
表示电源提供的总功率，是有功功率和无功功率的矢量和，单位是伏安（VA）。
相量表示法的应用
相量表示法在交流电路分析中具有广泛应用，可以用于计算阻抗、感抗和容抗等参 数，简化正弦交流电路的分析过程。
通过相量图，可以直观地分析正弦交流电在电路中的相位关系，有助于理解交流电 路的工作原理。
相量表示法的定义
相量表示法是一种用于描述正弦交流 电的方法，通过将正弦交流电的幅度 和相位用复数（相量）表示，可以简 化电路分析和计算。
相量表示法中，正弦交流电的三要素 （幅值、频率和相位）被整合到一个 复数中，使得正弦波的数学描述更加 简洁明了。
相量图及其绘制方法
相量图是一种用于表示正弦交流电相量关系的图形，通过在复平面（极坐标系）上绘制相量，可以直 观地展示各正弦波之间的相位关系。
极坐标表示法
极坐标表示法是一种通过极角和极幅来表示正弦交流电的方法。
在极坐标系中，正弦交流电的电压和电流可以表示为：$e = E(cosalphacosbeta + sinalphasinbeta)$， 其中$E$是幅值，$alpha$是初相角，$beta$是相位角。
极坐标表示法可以直观地展示出正弦交流电的幅值和相位信息，方便理解和计算。
相量表示法还可以用于交流电路的稳定性分析，预测系统的动态响应和稳定性。
04
正弦交流电的功率和能量
有功功率和无功功率
有功功率
表示实际消耗的功率，用于转换和 利用能量，单位是瓦特（W）。
无功功率
表示与实际消耗无关的功率，用于 维持磁场和电场，单位是乏 （var）。
视在功率和功率因数
视在功率
表示电源提供的总功率，是有功功率和无功功率的矢量和，单位是伏安（VA）。
正弦交流电表示法
正弦交流电的表示法2.1.2 正弦量的相量表示法如前所述，一个正弦量由幅值、角频率和初相位三个要素确定，而正弦量的这些特征，可以用正弦波和三角函数表示出来。
除此之外，还可以用相量表示，复数是相量的基础。
（1）复数如图2-6所示，一复数A，a1为其实部，a2为其虚部，a为其长度，则复数A可用四种形式来表示：图2-6 复平面上表示复数A①代数式A=a1+j a2（2-8）为虚单位。
②三角函数式令复数A的模|A|=a，φ角是复数A的辐角，有A=｜A｜（cosφ+jsinφ）=a（cosφ+jsinφ）（2-9）式中，，，③指数式根据欧拉公式e jφ=cosφ+jsinφA=a e jφ（2-10）④极坐标式极坐标式是复数指数式的简写，这四种复数的表示形式，可以相互转换。
复数的指数形式（或极坐标形式）与复数的三角函数式之间可以通过欧拉公式进行转换，指数形式（或极坐标形式）要变换成代数式可以通过欧拉公式进行转换；代数式变换成指数形式（或极坐标形式）可以通过式（2-9）进行转换。
（2）正弦量的相量表示用复数来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法，即用复数的模来表示正弦量的幅值（最大值或有效值），用复数的辐角来表示正弦量的初相位。
只有同频率的正弦量用相量进行分析计算才有意义，它使得正弦交流电路的分析和计算变得更为简单。
在线性正弦交流电路中，各部分的电流和电压都是同频率的正弦量。
因为频率不变，所以可以用相量来表示正弦量。
正弦量的相量形式是用大写字母上面加小圆点表示。
例如，“”“”“”等。
同理，可自行写出和相量。
相量、、称为有效值相量，、、称为最大值相量或幅值相量。
相量在复平面上的几何图形叫做相量图，如图2-7所示。
图2-7 正弦量的相量图同频率的正弦量，由于它们之间相位的相对位置不变，即相位差不变，因此可以将它们的相量画在同一个坐标上。
不同频率的正弦量，用相量表示时，不能画在同一相量图上。
（3）相量运算相量的运算规则符合复数运算中的交换律、结合律和分配律等。
相量图
流电的三要素，还能表示出各正 弦量之间的相位关系。例如：
从此相量图中按逆时针方向可以 看出，电流超前电压105°
相量的加、减运算可以按平行四边形法则进行。
• 2、已知i1=4 2sin(314t+30°) V ，i2=32 sin(314t+120°) A
求i=i1+i2。
. 先画出两电流的有效相量图
运用平行四边形法则画出总电流i相量
.
I2
I
i的有效值=对角
通过对角线求总 线长度
电流I
.
i的初相位=对角 线与X轴夹角
I1
120° 90° 30°
ψi
X轴
i=5 2 sin(314t+67°) A
求i’=i1-i2
二、正弦交流电的表示方法
• 1、瞬时值表达式（解析式或三角函数式）：i=Im sin(ωt+ψ) A
Um
• 2、波形图表示法：
• 3、相量表示法：
I
45°
3、相量表示法
I
45°
• 相量是平面直角坐标系中的一条 有向线段 线段的长度=正弦量的有效值
线段与X轴的夹角=正弦量的初相位
例如：i=3 2 sin（wt+30°） A
.
I
1A
30° X轴
有效值I 初相位30°
同频率
• 1、已知u=10 2 sin(314t+45°) V ，i=52 sin(314t-60°) A
用有效值相量表示。
X轴
— 60°.Iຫໍສະໝຸດ 45°X轴.
U
只有 同频率正弦量的相量 才 能画在同一个相量图中
—60°
.
I
从此相量图中按逆时针方向可以 看出，电流超前电压105°
相量的加、减运算可以按平行四边形法则进行。
• 2、已知i1=4 2sin(314t+30°) V ，i2=32 sin(314t+120°) A
求i=i1+i2。
. 先画出两电流的有效相量图
运用平行四边形法则画出总电流i相量
.
I2
I
i的有效值=对角
通过对角线求总 线长度
电流I
.
i的初相位=对角 线与X轴夹角
I1
120° 90° 30°
ψi
X轴
i=5 2 sin(314t+67°) A
求i’=i1-i2
二、正弦交流电的表示方法
• 1、瞬时值表达式（解析式或三角函数式）：i=Im sin(ωt+ψ) A
Um
• 2、波形图表示法：
• 3、相量表示法：
I
45°
3、相量表示法
I
45°
• 相量是平面直角坐标系中的一条 有向线段 线段的长度=正弦量的有效值
线段与X轴的夹角=正弦量的初相位
例如：i=3 2 sin（wt+30°） A
.
I
1A
30° X轴
有效值I 初相位30°
同频率
• 1、已知u=10 2 sin(314t+45°) V ，i=52 sin(314t-60°) A
用有效值相量表示。
X轴
— 60°.Iຫໍສະໝຸດ 45°X轴.
U
只有 同频率正弦量的相量 才 能画在同一个相量图中
—60°
.
I
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5.2 正弦交流电的相量图表示法
正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三
要素表示出来。
• 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法：
u
u Um sin(t )
+
②正弦波形图示法: (见右图) 0
_
t
③ 相量表示法。
波形图 瞬时值 相量图
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
HOME
谢谢观看！ 2020
相量表示法
• 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。
在复数平面建立直角坐标系OX为 实轴、OY为虚轴。
jy A b
设在复平面上一复数A(a,b).
在直角坐标系上可表示为.
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0 ax
A=r/
变换关系为：r a2 b2
arctg b
或： a r cos b r sin
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆 时针转动的角度为正，反之为负。 4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
HOME
小结：正弦波的四种表示法
相位： 2 1
U2 领先于 U1
U2
2
1
U1
相位哪一个领 先？哪一个落 后？
HOME
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1sint 1
u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
a
5.2 正弦交流电的相量图表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋H转OME
相量的书写方式
最大值
Um 或 U
有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三
要素表示出来。
• 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法：
u
u Um sin(t )
+
②正弦波形图示法: (见右图) 0
_
t
③ 相量表示法。
波形图 瞬时值 相量图
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
HOME
谢谢观看！ 2020
相量表示法
• 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。
在复数平面建立直角坐标系OX为 实轴、OY为虚轴。
jy A b
设在复平面上一复数A(a,b).
在直角坐标系上可表示为.
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0 ax
A=r/
变换关系为：r a2 b2
arctg b
或： a r cos b r sin
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆 时针转动的角度为正，反之为负。 4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
HOME
小结：正弦波的四种表示法
相位： 2 1
U2 领先于 U1
U2
2
1
U1
相位哪一个领 先？哪一个落 后？
HOME
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1sint 1
u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
a
5.2 正弦交流电的相量图表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋H转OME
相量的书写方式
最大值
Um 或 U
有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其