大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________
2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为
3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为
4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e
x y x y x y xy
x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3
2+=，则=∂∂∂y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）
（A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；
（B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；
（C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；
（D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．
2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ）
其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.
(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;
(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;
(C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;
(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++
3、已知直线π
22122:-=+=
-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交;
(C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.
4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；
(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22y
z ∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；
(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条
件；
(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.
5、设),2,2(y x y x f z -+=且2
C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂y x z 2（ ）
(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++;
(C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.
三、计算题（本大题共29分）
1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

(1)（6分）221xy y x y +++='
(2)（7分）x xe y y y 223=+'-''
2、（本题8分）设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数
dt dz 。

3、（本题8分）求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

四、应用题（本题8分）
1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为
xy y x y x c -+=222),( （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少最小成本为多少
五、综合题（本大题共21分）
1、（本题10分）已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：，⎪⎩⎪⎨⎧==-0
12y c z a x l ：，求过1l 且平行于2l 的平面
方程．
2、（本题11分）设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面
22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点，使函数(,,)f x y z 取到最大值．
六、证明题（本题共12分）
1、设函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y x z F x u k ,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x ∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x
z F kx k ,
第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
1.、 ()()()211132
22=-+++-z y x 2、12
． 3、2450x y z +--=．
4、0
5、232x y +；
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
1（A ）
2（B ）
3（C ）
4（C ）
5（A ）
三、计算题（本大题共29分）
1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：x x y y d )1(1d 2
+=+ 上式两端积分得c x x x x y y y ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 2
2
即 ： c x x y ++=2
arctan 2
其中c 为任意常数． （2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于
是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,2
10=b ,11-=b
于是，求得题没方程的一个特解*y .)121
(2x e x x -=
从而，所求题设方程的通解为.)121(2221x x x e x x e C e C y -++=
2、解：()u t v u t uv u
u z sin cos 22-=+∂∂=∂∂， ()
uv u t uv v v z 2cos 2=+∂∂=∂∂，u t z cos =∂∂ 依复合函数求导法则，全导数为
3、解：解方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=022,01422,222y e y x f y y x e y x f x y
x x ，得驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21。

由于()()
124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()x yy e y x f C 22,==在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，224e B AC =-，所以函数在点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-。

四、应用题（本题8分）
1、解：即求成本函数()y x c ,
在条件8=+y x 下的最小值 构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ
解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λ
λλ
解得 3,5,7==-=y x λ
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c （万）
五、综合题（本大题共21分）
1、解：直线1l 与2l 的方向向量分别为
{}⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b c c b 1100011101，，，，，，s ， {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a c
c a 1010101012，，，，，，s ， 作 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=221111c bc ca
，，s s n ，
取直线1l 上的一点()c P ，，001，则过点1P 且以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=2111c bc ca
，，n 为法向量的平面01=+--c
z b y a x ， 就是过1l 且平行于2l 的平面方程．
2、解：设球面上点为(,,)x y z ．
令 2222(,,,)ln ln 3ln (5)L x y z x y z x y z R λλ=+++++-，
由前三个式子得2
223
z x y ==，代入最后式子得,x y R z ===．由题意得(,,)f x y z
在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,)R R 就是最大值点，最大值为
5(,))f R R =．
六、证明题（本题共12分）1、证明： 所以，z
u z y u y x u x ∂∂+∂∂+∂∂。