数学建模练习试题

1、放射性废料的处理问题
美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。

生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。

原子能委员会分辨说这是不可能的。

为此工程师们进行了碰撞实验。

发现当圆桶下沉速度超过12.2 m 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。

这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 ，体积为0.2058m3，海水密度为1035.713，如果圆桶速度小于12.2 m就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。

假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数0.6。

现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题：
1. 判断这种处理废料的方法是否合理?
2. 一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。

当v很大时，常用来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6)
鱼雷攻击问题
在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。

当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处，两方潜艇士兵同时发现对方。

甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑，在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。

假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。

已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。

试建立合理的数学模型解决以下问题:
1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹；
2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中
3、贷款买房问题
某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：
1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？
2)假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?
4、养老保险问题
养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。

某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率(也就是投保人的实际收益率)?
5、生物种群数量问题
种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。

要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。

由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为，称为最大种群容量。

又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比记为：r(x), >0，其中r相当于0时的增长率，称为固有增长率，记当前(即0时)种群数量为x0，时刻种群数量为x(t)。

若利用统计数据可知，r，x0，则1）设x(t)为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。

2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。

请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。

6、生产设备的最大经济效益
某工厂购买了一台新设备投入到生产中。

一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。

那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

7、产品最佳价格调整问题
物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要，决定将A 产品的单位价格P(t)由现在的p0=70元调整到p1=70元，并要求各公司自行在一年内完成这一调价任务。

某公司经营A产品多年，深知每周A产品的销售量S与其价格P和价格变化率有着密切的联系，他想利用这种关系制定一个A产品的调价方案，使全年经营A产品的总利润最大。

在如下假设条件下：
(1) 物价部门对A产品的调价决策是积极的、正确的，在一年内（调价期）不会发生对A产品的其它调价决策，A产品在市场上的供求矛盾不会出现大的变化；
(2) 某公司经理多年经营A产品关于“每周销售量S与其价格的P和价格变化率p’的关系”的信息是可靠的，不妨假设(’)；
(3) 某公司生产A产品的能力足以满足市场需求。

设每周生产S件A产品的生产费用是C(S)；
(4) 函数(’)和C(S)由统计方法拟合成连续可微函数。

现查阅统计资料得到
(’)=－100 P’+100,
C(S)=0.5S2+240
经过核实，这两个具体函数符合公司的实际情况；
(5) 约定一年以52周计。

在调价期资金流动的时间价值忽略不计。

请建立合理的数学模型为该公司的A产品制定最佳调价方案，并计算在最佳调价方案下的全年最大利润值。

8、最佳投资企业的优选问题
某投资银行拟对某市3家企业(记为X1, X2, X3, X4)进行投资, 抽取5项主要指标进行评估: C1: 年产值(单位:千万元)；C2:社会效益(单位:千万元)；C3：生产能力；C4：管理能力；C5：技术能力。

评估专家组考察了3家企业2003年-2005年三个年度在5个指标下的具体情况，考察的指标值见表1, 其中前2个指标信息是各企业的精确数据, 后3个指标信息是评估专家组经考察后的定性结论。

各评价指标权重已知
(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2)。

试建立数学模型确定投资银行的最佳投资企业。

表1 各企业分年度指标信息情况表
9、棋子颜色变化问题
任取n枚黑白两色的棋子，任意摆成一个圈；在两个颜色相同的棋子中间插入一枚黑色棋子，在两个颜色相异的棋子中间插入一枚白色棋子，然后去掉原来的棋子，新棋子仍构成一个圈；继续如此做下去。

如果经n 次这样的操作后，棋子全变为黑色的，那么，n 应满足什么条件。

请给出证明过程。

10、人口预测问题
如果要推测中国15亿人口，有哪些方法？你用的是什么方法，结果如何？
11、点菜问题
我们在餐馆中点菜，需要包含某些营养成份，但同时又希望总价格最低。

下表是这个餐馆的部分菜单，请你通过数学建模方法，提供合理的选菜方案。

12、初等模型练习
1．以下是一个数学游戏：
(1) 甲先说一个不超过6的正整数，乙往上加一个不超过6的正整数，甲再往上加一个正整数，...，如此继续下去。

规定谁先加到50谁就获胜，问甲、乙各应怎样做？
(2) 如将6改为n，将50改为N，问题又当如何回答？
2．甲乙两人约定中午12：00至1：00之间在市中心某地见面，但两人讲好到达后只等待对方10分钟，求这两人能相遇的概率。

3．某人由A处到位于某河流同侧的B处去，途中需要去河边取些水，问此人应如何走才能使走的总路程最少？
4．地面是球面的一部分，（直径约为12.72×10公里），显然，如果高层建筑的墙是完全垂直于地面的则它们之间必不会平行。

设一建筑物高为400米，地面面积为2500平方米，问
顶面面积比地面面积大多少？
5．建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。

6．消防队员救火时不应离失火的房屋太近，以免发生危险。

请建模分析并求出消防队员既安全又能发挥效应的最佳位置。

7．已知在气体中音速V与气压P、气体的密度ρ有关，试求它们之间的关系。

8．风车的功率P与风速v、叶面的顶风面积S与空气的密度ρ有关，试求它们之间的关系。

13、逻辑模型练习
1．证明在7阶两色完全图中必存在4个3阶单色完全图2．9名学者参加一次国际会议，他们发现：（1）任意3人中至少有两人可以用同一语言交谈（2）每人会讲的语言至多为3种，（注意：并非他们只会将三种语言）证明他们中至少有3人可用同一语言交谈。

3．将一个正九边形连接成完全图，用两种颜色对此完全图的顶点着色。

证明：不论怎样着色，总可以从此完全图中找到两个全等三角形，他们的顶点是由同一种颜料着色的。

4．给九个定点的完全图用红蓝两种颜色对边着色，如果所含的任意三角形中至少含有一条红边，证明：必可找到四个顶点，他们之间的连线均为红边，（即其中必含有一个用红边连成的4阶完全图）。

5．在一次9个人的聚会中，发现其中任意三人至少有两人相识，证明从这9人中必可找出4人，他们是两两相识的。

6．某教室中共有9排椅子，每排均有7把，学生恰好坐满教室。

现教师要求每一学生都必须与其前、后、左、右的同学之一交换座位。

请你给出一种交换方法或证明老师的要求是无法实现的。

7．某公司场地如交给甲经营预计年获利为10万元，交给乙经营预计年获利为50万元，交给丙经营预计获利为60万元，如交给甲乙丙共同经营预计获利为100万元。

试用公式计算，
在甲乙丙共同经营时各方应分配到的利益。

8．设某议会的席位由三个党派所拥有，法律规定赞成票达到半数时提案即被通过。

试证明：（1）只要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。

（2）若三个党派所拥有的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相同，（不论它拥有多少席位）。

9．猜数是最古老的数学游戏之一，有各种各样的玩法。

下面的猜数游戏比较简单：甲先想好一个不超过三位（0—999之一）的数字让乙猜。

在猜数时甲可以随便改变自己想好的数，但不能与此前已经回答过的问题相矛盾。

乙可提问题，但甲只回答是或者不是。

（1）试计算乙最少要提问几次，才能讲出甲的数字。

（2）设计一个使乙能通过最少次数提问而讲出甲想的数字的提问方法。

10．在例16伪币鉴定的实验中，第二次测试是最关键的一步，请考虑一下我们为什么要这样设计测试。

我们有这样的把握，如果用这种方法也无法保证在三次测试里一定鉴定出伪币，则不可能有方法保证在三次测试后一定找到伪币。

你知道原因吗？
14、标靶设计
掷飞镖是一种流行的游戏，一个圆形标靶被分成20个相等的扇形区域，在这些区域填有数字1 ~ 20 表示飞镖落在相应区域的得分，游戏规则是各选手轮流掷镖，每轮的得分从他的总分301中减去，首先恰好减至0分者获胜，试建立模型说明如何安排扇形区域的数字能增加掷镖的难度。

15、铁路列车时刻表问题
全国性的铁路网由几条干线和许多支线组成，编排完整的列车运行时刻表的工作量非常巨大，通常需要先单独编排每条干线上的列车运行时刻表。

设已知某条干线上的站点分布、车速限制、车距限制、运行车次与每次车的停靠站点等数据，建立编排该干线上的列车运行时刻表的数学模型。

16、湖水污染问题
设一容积为V（m3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀地分布在湖中，没湖水更新的速率为r(m3/天)，并假设湖水的体积没有变化，试建立湖水污染浓度的数学模型。

(1) 美国安大略湖容积5941*109(m2)，湖水的流量为
4.45365*1010(m3/天)。

湖水现阶段的污染浓度为104，外面进入湖中的水的污染浓度为5%，并假设该值没有变化，求经过500天湖水污染浓度。

(2) 美国密西根湖的容积为4871*109（m2）。

湖水的流量为3.6635132*1010(m3/天).。

由于治理污染措施得力与某时刻起污染源被切断，求污染被中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需时间。

17、自行车外胎的使用寿命
目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。

它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。

但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。

扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。

为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，与时更换?
18、背包问题( )是一种组合优化的完全问题。

问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。

也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？。