第2章 拉氏变换与反变换
拉普拉斯变换及反变换
t
重要性质
( t ) f ( t ) dt f ( 0 )
( t ) dt ( t ) dt 1
0
0
L[ ( t )]
(t ) e
st
0
dt ( t ) e
st
dt 1
第7页
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（5）指数函数
f (t )
控制工程基础
f (t )
（k =const）
0 2 f ( t ) kt 1( t ) 1 2 kt t 2 2 1
0
t0
t
t0
0
t
F ( s ) L [ f ( t )]
（ b）
跃函数
坡 函 kt 斜 2 数
0
1
2
e
st
dt
k s
3
F s
的原函数；L是表示进行拉氏变换的 符号。
第2页
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控制工程基础
F ( s ) L [ f ( t )]
f ( t ) L [ F ( s )]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数 f t 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 F s 。
控制工程基础
2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：
F (s) br ( s p1 )
r
b r 1 ( s p1 )
r 1
b1 ( s p1 )
r
a r 1 ( s p r 1 )
拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t单位阶跃函数如图所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0e lim →-∞→st t 。
所以[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（）图 单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则由欧拉公式，有所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞--∞⎰⎰t t s F st t stt d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t stt s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=s s s） 同理）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
第二章 拉氏变换
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
第二章 拉氏变换
此时 c11 F (s).(s p1 )
k s p1
，但求解取 c12 ,, c1k
却不能再用此法，否则分母将出现0。
其中
d c12 ( s p1 ) k F ( s ) ds s p1
d (i 1) 1 k 一般地 c1i (i 2,...k ) i 1 (s p1 ) F (s) (i 1)! ds s p1
t (2).g (t ) e f ( ) a
at
第三节 Laplace逆变换
Laplace 逆变换定义 前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函 数，而f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换（或象 原函数），记作：
am ( s z1 )( s z 2 )...( s z m ) bn ( s p1 )( s p2 )...( s pn )
A( s) B( s )
1、 n m 且 B(s) 0 无重根，则：
F ( s) k k1 k 2 ... n s p1 s p2 s pn
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) f (t )e dt （Re(s)>0）
st 0
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f(t)
1
t
例5： 求函数 f (t ) (t ) cos t kekt u(t ),(k 0)
m 1 st m A( s )e ( s s1 ) , (t 0) B( s )
第二章附录-拉氏变换
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理
02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)
L[sin t 1(t )] L[
e
j t
e 2j
j t
1(t )]
1 1 1 2 2 2 j s j s j s
2.2 拉氏变换的性质
2 微分定理 L[ dx(t ) ] sX ( s ) x (0 ) dt 推论： n d （1）L[ x (t )] s n X ( s ) s n 1 x (0 ) s n 2 x (0 ) n dt
x(t) x(t)
as
X (s)
t a
t
L[sin (t 4) 1(t 4)] e
4 s
s
2 2
2.2 拉氏变换的性质 例：求如下图的拉氏变换。
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) E 1(t ) E 1(t t 0 )
L[ f (t )] E s e
2 st
t0 t0
0
0
te dt
st
s
e
st
0
0
s
dt
1 单位速度函数
t
2.1.1 简单函数的拉氏变换
7 单位加速度函数
0 x (t ) 1 2 2 t
t0 t0
x(t)
L x (t ) 1(t ) 1 s
3
1 2
0
（2）在零初始条件下
s
2
x n (0 ) s
n
L[ x (t )( dt ) ]
n
X (s) s
2.2 拉氏变换的性质
4 衰减定理 例：已知
2第二章拉普拉斯变换及其应用
上式称为拉氏变换的定义式。为L 了f (保t) 证式中等号右边的积分存在（收敛），应满足下列
条件： F(s)Lf(t)f(t)estdt
当
，
；
0
（2.1）
当
，
分段连续；
当
，较
衰减得更快。
t0 t0
f (t) 0
f (t)
t e s t f ( t )
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2.1 拉氏变换的概念
F(s) f (t)dt t0
s
s
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2.2 拉氏变换的运算定理
当初始条件
f (t)dt
0 时，由上式有
t0
同理，可以L证明在零f初(t始)条d件t下有
F(s) s
Lf(t)(dt)2Fs(2s)
L n f(t)(dt)nFs(ns)
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2.2 拉氏变换的运算定理
例一：求单位阶跃函数（Unit Step Function）的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。 在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式
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2.1 拉氏变换的概念
0
(t 0)
见图2-1（a）
1
(t
)
1
t
F(s)L et 0 etestdt
（2.7）
例六. 求正弦函数（Sinusoidal Function）
的象函数。
e (s )td t1e ( s)t
0
s
0s 1
f(t)sint
F (s ) L s int s inte s td t 1 (e j t e j t)e s td t
第2章 拉氏变换
2.1.2 欧拉公式
把平面上的点（x,y）与复数 z=x+iy对应，就建立了平面上 全部的点和全体复数间的一一对应关系。
实轴：x轴 虚轴：y轴 复平面：z平面 模：向量OZ的长度
幅角：向量OZ与正实 轴的夹角
欧拉公式
ei cos i sin 复数的三角表达式：
复数的指数表达式： z
L[ f (t )] e F ( s)
st
2.5.9 复频域的位移定理
如果L[f (t)]=F (s)，则对于任意常数a，有如下结果：
L[e
at
f (t )] F ( s a)
2.6 拉氏反变换 2.6.1 拉氏反变换的定义
从象函数 F(s) 求原函数 f(t) 的运算，称为拉氏反变换，也称 拉氏逆变换，记为 L-1[F(s)]。
F ( j) f (t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
2.3 常用函数的拉氏变换 2.3.1 指数函数的拉氏变换
指数函数是自动控制系统中常见的函数之一，f(t)=eat 的拉氏 变换为：
L[e ]
at
0
1 ( s a ) t e e dt e sa
at st
0
1 sa
2.3.2 阶跃函数的拉氏变换
阶跃函数，相当于一个恒定的信号突然加在系统上，其数学 表达式为：
0 (t 0) f (t ) r (t ) A (t 0)
A=1时称为单位阶跃函数。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
F ( s ) ⋅ e st ds
（2-2）
2-3 典型时间函数的拉氏变换
1 (t
)=
⎧0 , ⎨ ⎩1,
t < 0 t ≥ 0
∞
f t
) (
1
L [1(t ) ] = ∫
∞Байду номын сангаас
0
e − st 1(t ) ⋅ e dt = − s
− st
0
1 = s
t
图2-5 单位阶跃函数
δ (t ) = ⎨
⎧∞ , ⎩ 0,
7． 幂函数 幂函数 t 的拉氏变换式为
n
s s + ω2
2
L[t n ] = ∫ t n e − st dt
0
∞
采用换元法，令 u = st , t =
u 1 , dt = du ，得 s s
∞ 0
L[t n ] = ∫
式中
u n −u 1 1 ∞ e ⋅ du = n +1 ∫ u n e− u du n 0 s s s
续 表 2-1 序号 −1 1−ζ
2
f (t )
e
− ζω n t
F ( s)
2
sin ω n 1 − ζ t − ψ
(
)
s s + 2ζωn s + ωn
2 2
17
ψ = tan
−1
1−ζ
2
ζ
− ζω n t
1−
1 1−ζ
2
e
sin(ω n 1 − ζ t + ψ )
2
18
ψ = tan
−1
ωn
L [t ] = ∫
=∫
拉氏变换及反变换
0
t
F(s)=L[f(t)]=
te
0
st
dt
t st 1 st e e dt 0 s 0 s
1 2 s
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
例1 例2
1 1 ) ℒ [ A(1 e )] A( s s 1 j t [sin t ] ℒ ℒ [ (e e j t )] 2j 1 1 1 [ ] 2 2j s j s j s 2
t
机械工程控制基础
二、微分定理
拉普拉斯变换及反变换
1 d (sin t )] ℒ [cos t ] ℒ [ dt s 1 [s 2 si nt 0 ] 2 2 s 2 s
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
0
=1
机械工程控制基础
4. f (t ) t （单位斜坡函数）
f(t)
拉普拉斯变换及反变换
02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)
2.2 拉氏变换的性质 5 延时定理
L[ x(t a ) 1(t a)] = e
x(t) x(t)
as
X (s)
t a
t
L[sin ω (t 4) 1(t 4)] = e
4 s
ω 2 2 s +ω
2.2 拉氏变换的性质 例:求如下图的拉氏变换. 求如下图的拉氏变换.
f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) = E 1(t ) E 1(t t0 )
∫
t
0
x (ξ ) y ( t ξ ) d ξ = y ( t ) x ( t )
拉氏变换的应用
1,试求 L [ e at cos
βt]
0, t < 0 2,试求 x ( t ) = 3 t 的拉氏变换. 的拉氏变换. te , t ≥ 0
0, t < 0 3,试求 x ( t ) = 的拉氏变换. 的拉氏变换. sin(ω t + θ ), t ≥ 0
2.2 拉氏变换的性质 4 衰减定理 例:已知
ω L[sin ωt 1(t )] = 2 2 s +ω
L[e x(t )] = X ( s + a)
at
s L[cos ωt 1(t )] = 2 2 s +ω ω 求: L[e at sin ωt 1(t )] = ? 2 2 ( s + a) + ω s+a at L[e cos ωt 1(t )] = ? 2 2 ( s + a) + ω
E E E t0 s t0 s e = (1 e ) L[ f (t )] = s s s
2.2 拉氏变换的性质 6 初值定理
控制工程基础第二章 数学基础
主要用于解微分方程和求传递函数
例
ay(t ) by(t ) cy (t ) f (t )
若初始条件为零，则：
F ( s ) as Y ( s ) bsY ( s ) cY ( s )
2
5）积分定理
设 f t F s ，则
t F s 1 1 L f t dt f 0 0 s s
例 已知 f (t ) sin ktdt
k 为实数，求 f (t ) 的拉氏变换。
解：根据拉氏变换的积分性质得
L f (t ) L sin ktdt
1 k L sin kt 2 2 s s(s k )
6）终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)
lim f t lim sF s
1. 拉氏变换的定义
函数f(t)，t为自变量，如果线性积分 记为F(S)或L[f(t)]，即为：
L f t F S f t e st dt
0
0
f t e st dt
存在，则称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换。
式中： S为复数，s j f(t)为原函数，F(S)为象函数
第二章 数学基础-拉普拉斯变换
拉氏变换与反变换
本节的重点： Ø 常见函数的拉氏变换 Ø 拉氏变换的运算规则 Ø 基于分部积分法的拉氏反变换
• 本节的难点： Ø 拉氏变换严格的数学推导与变换
问题的引入
d 2x dx m 2 f k x y t dt dt
如此时将y(t)改变为一时变作用力，那么运动状态时又如何分析呢？
由于 s ja 是 sF ( s) 的奇点，位于虚轴上，不能 应用终值定理，既 f ( ) 不存在。 注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数sinω t 时，由于它 没有终值，故终值定理不适用。
拉氏变换与拉氏反变换
16
n
1 2
e n t sinn 1 2 t
序号
f(t)
F(s)
1
17
1
2
e
n t
sin n 1 2 t 1
2
2
s s 2 n s
2 n
arctan
1 1 1
2
e n t sin n 1 2 t 1 2
二、拉氏反变换及其计算方法
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就 称为拉氏反变换，计作 L1 F (s) f (t )
L [ F ( s )] f ( t )
1
2 j r j
1
r j
F ( s )e st ds
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
1 1 1 L1 1 2 tt L1 2 t L 2 ss s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
B( s ) bm s m bm 1 s m 1 bm 2 s m 2 b1 s b0 F ( s) A( s ) an s n an1 s n1 an 2 s n 2 a1 s a0
1 s 2
( s pi )( s p j )
Ak An s pk s pn
Br ,1 , Ak ,, An 为实数,称留数
留数的方法可分为下面三种情况研究。
拉氏变换2.
L
xt
t
0
X
s
ds
证：
X sds xtest ds
0
s0
xt dt est ds
0
s
0
xt dt
1 e st t
s
＝ L[ x(t) ] x(t) est dt
t
0t
（11）周期函数的象函数
设函数x(t)是以T为周期的周期函数，即
x(t T ) x(t)
t nest dt
0
1 s n1
u neu du
0
n! s n1
3 拉氏变换的性质
（1） 线性定理 若
Lx1t X1s
L[ X 2 (t)] X 2 (s)
则L[ax1(t) bx2 (t)] aX1(s) bX 2 (s)
L[ax1(t) bx2 (t)] [ax1(t) bx2 (t)] est dt
（5）延时定理（时间域平移定理）
L[x(t a) 1(t a)] eas X (s)
该性质与衰减定理对偶存在应用。
（6）初值定理
limx(t) limsX (s)
t 0
s
证：根据微分定理
L[ dx(t) ] dx(t)est dt
dt
0 dt
L[ dx(t)] sX (s) x(0 ) dt
...
xn (0 ) s
（2）在零初始条件下，
X (s)
L[ ... x(t)dt...dt] sn
该性质与微分定理对偶存在应用。
（4）衰减定理（s域平移定理）
L[eat x(t)] X (s a)
证：
L[eat x(t)] eat x(t)est dt 0 x(t)e(sa)dt 0 X (s a)
拉氏变换与反拉氏变换
机械平移系统
fi(t) m 0 xo(t) K C fK(t) fC(t) m fi(t) fm(t) 0 xo(t) 静止（平衡）工作点作为 零点，以消除重力的影响
机械平移系统及其力学模型
d2 f i (t ) − f C (t ) − f K (t ) = m 2 xo (t ) dt f K (t ) = Kxo (t ) d f C (t ) = C xo (t ) dt
3
从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据 各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、 部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
∂f y = f ( x10 , x20 ) + ∂x1
x1 = x10 x2 = x20
∂f ( x1 − x10 ) + ∂x2
增量方程： y − y0 = ∆y = K1∆x1 + K 2 ∆x2 静态方程： y0 = f ( x10 , x20 )
∂f 其中： K1 = ∂x1
x1 = x10 x2 = x20
各个输入产 生的输出互 不影响。 不影响。
19
叠加
节流阀 qi(t)
液体系统 设液体不可压缩， 通过节流阀的液流 是湍流。
H(t)
dH (t ) = qi (t ) − qo (t ) A dt q (t ) = α H (t ) o
节流阀 qo(t)
液位系统
A：箱体截面积；
根据托里拆利定理， 根据托里拆利定理，出水量与 水位高度平方根成正比。 水位高度平方根成正比。
《自动控制原理》第2章 拉氏变换与拉氏反变换
=
(s
+
s+a a)2 +
2
（四）有理分式的拉氏反变换
Ch2 控制系统的数学模型
F (s)
=
B(s) A(s)
=
b0 s m a0 s n
+ b1sm−1 + a1sn−1
++ bm ++ an
(m n)
定义: F(s) 的零点：B(s)=0的解 zj F(s)的极点：A(s)=0的解 pi F(s)的特征多项式：A(s)
c1
=
F (s)s
s=0
=
s+2 (s + 3)(s +1)2
s=0
=
2 31
=
2 3
c2
=
F (s)(s
+ 3)
s = −3
=
s+2 s(s +1)2
s = −3
=
−1 − 3 4
=
1 12
Ch2 控制系统的数学模型
c3
=
F (s)(s
+ 1) 2
s = −1
=
s+2 s(s + 3)
s = −1
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
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或 相似定理
Ch2 控制系统的数学模型
设 p1 = + j, p1 = − j,
第二章 拉氏变换
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
=∫ e
0−
∞
−(s+α)t
1 −(s+α)t ∞ 1 dt = − e = 0− s +α s +α
1 ∴ L[e ] = s +α 1 −1 −αt L[ ] =e s +α
−αt
③ (s) = L[δ (t)] = ∫ δ (t)e dt = ∫ δ (t)e dt F
−st −st 0− −∞
解 ① (s) = L[ε(t)] = ∫ ε(t)e−stdt ： F
0− ∞
1 −st ∞ 1 = ∫ e dt = − e = 0+ 0+ s s
−st
∞
1 ∴ L[ε(t)] = s −1 1 L [ ] = ε(t) s
② (s) = L[e ] = ∫ e e dt F
0−
−αt
∞
−αt −st
ε(t)
eαt
1 s 1 s −α
t e (n为正整数 为正整数) 为正整数
n −αt
(1−αt)e−atδ (t)A源自A(1−e−αt )1
A s Aα s(s +α) n! sn+1
sin( ωt +φ)
cos(ωt +φ)
拉氏变换和反变换
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数） F(s)称为函数f(t)旳拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)旳原函数； L为拉氏变换旳符号。
拉氏反变换旳定义
其中L－1为拉氏反变换旳符号。
序号
1 2 3 4 5 6 7
常见时间函数拉氏变换表
f(t)
F(s)
单位脉冲函数:d(t)
单位阶跃函数:1(t) 单位速度函数：t
由线性性质可得
假如 f (t) 旳拉普拉斯变换 F (s) 可分解为 F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi (s) 旳拉普拉斯变换轻易求得，即
Fi (s) L[ fi (t)]
则 L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[Fn (s)]
f1(t) fn (t)
例1 求
F(s) s 3 s 2 3s 2
旳Laplace 反变换
解
F (s)
s2
s
3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
s 1
s2
2et e2t t 0
例2 求
旳Laplace 反变换
解 F (s) 1 1 s 1 (s 2)2
线性定理
叠加定理
百分比定 理
多重微分 原函数旳高阶导数 像函数中s旳高次代数式
积分定理
多重积分 原函数旳n重积分像函数中除以sn
位移定理 原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理 原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)旳稳态性质
sF(s)在s=0邻域内旳性质
积分变换第二章拉氏变换
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
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第二章 拉氏变换与反变换拉氏变换解微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，且能表明初始条件的影响；采用拉氏变换，能将微分方程方便地转换为系统的传递函数，也便于设计控制系统。
一、拉氏变换的定义设f(t)是以时间t 为自变量的实变函数，0≥t （定义律），那么f(t)拉氏变换的定义为： dt e t f t f L s F st ⎰∞-∆==0)()]([)( （2-1）式中：S 是复变数： Jw S +=σ （可用点、向量、三角（指数）表示） ⎰∞-0dtest——拉氏积分F(s)——函数f(t)的拉氏变换，为一复变函数，也称象函数。
f(t)——原函数L ——拉氏变换的符号 拉氏反变换⎰∞+∞--==j j stds e s F js F L t f σσπ)(21)]([)(1 （2-2）式中：1-L 拉氏变换的符号上二式表明：拉氏变换是在一定条件下，能将一个实数域中的实变函数转换成一个在复数域中与之等价的复变函数，反之亦然。
二、几种典型函数的拉氏变换1．单位阶跃函数1（t ）的拉氏变换 如图所示，单位阶跃函数定义为⎩⎨⎧=∆10)(1t0≥<t t表示在t=0时突然作用于系统的一个幅值为1的不变量。
拉氏变换为：⎰∞∞---===01)(1)](1[)(ststesdt et t L s F ss1)]1(0[=--= （2-3）若幅值为K ，则SK t K L =⨯)](1[ （2-4）其反变换为：)(1]1[)(1t SL t f ==- （0≥t ） （2-5）2．指数函数tet f α-=)(的拉氏变换tet f α-=)(α+=S s F 1)( （2-6）teS L αα--=+]1[1（0≥t ） （2-7）3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换 wt t f sin )(= 22)(wSw s F +=（2-8）t t f ωcos )(=22)(wSS s F +=（2-9）4．单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换 如图所示，单位脉冲函数的数学表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧<<><=→)0(1lim )0(0)(0εεεδεt t t t 和其拉氏变换为1)(=∆S （2-10） 反变换：()t L δ=-]1[15．单位速度函数的拉氏变换(又称斜坡函数) ⎩⎨⎧≥<=)0()0(0)(t t t t f 其拉氏变换为21)(Ss F =（2-11）反变换t S L=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211 （0≥t ） （2-12） 6．单位加速度函数的拉氏变换 ⎪⎩⎪⎨⎧=2210)(t t f 0)0(≥<t t1/0 ε单位脉冲函数31)(Ss F =（2-13）231211tS L=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （2-14）7.幂函数的拉氏变换()nt t f = （2-15）()1!+=n sn s F （2-16）三、拉氏变换的主要定理1．迭加定理 拉氏变换是一种线性变化1）齐次性设)()]([s F t f L = 则)()]([s F t f L αα= （2-17）式中，α为常数 2）迭加性令 )()]([11s F t f L =，)()]([22s F t f L =则 )()()]()([2121s F s F t f t f L +=+ （2-18） 也即 )()()]()([2121s F s F t f t f L βαβα+=+2．微分定理若 )()]([s F t f L = 则⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()(dt e t f dt d t f dt d L st⎰∞-=0)(t df est⎰∞-∞-+=0)()(dt et f S t f estst)0()(f s SF -= （2-19） 同理可得)0()0()()(222f Sf s F S dt t f d L '--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡)0()0()0()()(2333f f S f S s F S dt t f d L ''-'--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡)0()0()0()()()1(21-----'--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n n n n f f S f S s F S dt t f d L若函数f(t)及其各阶导 数的初始值均为零，则上式可变为：)()]([s SF t f L =')()]([2s F S t f L =''…)()]([s F S t fL nn=3．积分定理 若 )()]([s F t f L = 则)0(1)(1)()1(-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰f Ss F S dt t f L （2-20）式中 )0()1(-f——积分⎰dt t f )(在t=0时刻的值。
当初始条件为零时)(1])([s F Sdt t f L =⎰对多重积分： )0(1)0(1)(1])([)1()1(---+++=⎰⎰n nnfSfSs F Sdt t f L当初始条件为零时 )(1])([s F Sdt t f L n=⎰⎰4．延迟定理（实数域中的位移定理） 设)()]([s F t f L =，且t <0时，f (t )=0 则)()]([s F eT t f L sT-=- （2-21）说明：函数)(T t f -为原函数f (t )沿时间轴向右平移T 。
5．位移定理 （复数域中的位移定理） 设 )()]([s F t f L =，则)()]([a s F t f eL t+=-α （2-22）例：22][cos wSS t L +=ω22)(]cos [wa s aS t eL at+++=∴-ω6．初值定理 表明原函数+-=0t 时的数值 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→= （2-23）7．终值定理设)()]([s F t f L =，且)(lim t f s ∞→存在，则)(lim )()(lim 0s sF f t f s t →∞→=∞= （2-24）8．卷积定理设)()]([s F t f L =，)()]([s G t g L =则 )()()]()([s G s F t g t f L =* （2-25）式中，卷积τττd g t f t g t f t⎰-=*∆)()()()(四、应用拉氏变换解线性微分方程步骤：1．对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使之成为S 的代数方程； 2．解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 3．用拉氏反变换得到微分方程的时域解。
（一）部分分式法极点：在控制理论中，常遇到的象函数是S 的有理分式（m n ≥）nn n nm m m m a S a Sa Sa b S b S b S b s A s B s F ++++++++==----11101110)()()(为了将)(s F 写成部分分式，首先将)(s F 的分母因式分解，则有)())(()(211110n mm m mP S P S P S b S b Sb Sb s F +++++++=--式中，n P P P ---,,,21 是0)(=s A 的根，称为)(s F 的极点。
1．)(s F 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换，)())(()()()(211110n mm m mP S P S P S b S b Sb Sb s A s B s F +++++++==--∑=+=++++++=ni ii nn P S A P S A P S A P S A 12211 （2-26）式中，i A 是待定系数，其求法如下：iPS i i P S s F A -=+=)])(([再根据拉氏变换的迭加原理，求原函数∑∑=-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==ni tP i n i i i i eA P S A Ls F L t f 1111)]([)(例：求)6(2)(22--+-=S SS S Ss F 的原函数解：首先将分母因式分解23)2)(3(2)(3212++-+=+-+-=S A S A SA S S S S Ss F31)2)(3(2])([0201-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅+-+-====S S S S S S S S S s F A158)3()2)(3(2)]3)(([3232=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-=-===S s S S S S S S S s F A54)2()2)(3(2)]2)(([2223=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-=+=-=-=S s S S S S S S S s F A215431158131)(++-+-=∴S S Ss F )1154()31158()131()]([)(1111++-+-==----S L S L SL s F L t fttee 235415831-++-=)0(≥t2．)(s F 含有共轭复数极点时的拉氏反变换方法：如果)(s F 有一对共轭复数极点21,P P --，其余极点均为各不相同的实数极点。
将)(s F 展开成 ：)())()(()(3211110n mm m mP S P S P S P S b S b Sb Sb s F +++++++++=--nnP S A P S A P S P S A S A ++++++++=332121))((式中，1A 和2A 可按下式求解2121][)])()(([2121P S P S P S P S A S A P S P S s F -=-=-=-=+=++或或 （2-27）由于（2-27）两边都是复数，令等号两边的实、虚部相等得两个方程式，联立求解即得1A ，2A 两常数。
例：已知)1(1)(2+++=S SS S s F ，求)(t f解：先因式分解1)2321)(2321(1)(2210++++=-++++=S SA S A S A jS jS S S s F1])([00===S S s F A232121232122][)1()1(1jS jS A S A S S S S S S --=--=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++即21)2321(232112321A jA jj +--=--+--利用方程两边实、虚部分别相等，可得21)(2121=+-A A23)(2321-=-A A解得：11-=A ，02=A11)(2++-=∴S SS Ss F上式在拉氏变换表上仍然查不到，故将上式再作适当变换；222)23()21(111)(++-=++-=S S SS SS S s F 2222)23()21(21)23()21(211++++++-=S S S S2222)23()21(232321)23()21(211++++++-=S S S S⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-)1(1)(21S S S S L t f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--2211)23()21(211S S LS L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-221)23()21(2357.0S L查表 tet ett23sin57.023cos12121--+-= )0(≥t3．)(s F 中含有重极点时的拉氏反变换 设0)(=S A 有r 个重根，则)()()()(1111n r ro mm m mo P S P S P S b S b Sb Sb s F +++++++=+--展开 or r o ro P S A P S A P S A +++++=-010201)()(nn r r P S A P S A ++++++11式中，n r r A A A ,,21++的求法与单实数极点情况下相同r A A A 00201,, 的求法如下：oP S ro P s s F A -=+=]))(([01oP S ro P s s F dsd A -=+=]}))(([{02oPS ro P s s F dsdA -=+=]))(([{!212203…… oP S ro r r r P s s F ds dr A -=--+-=]))(([{)!1(1)1()1(0 （2-28）则 ⎢⎣⎡+-+-==---)2(02)1(011)!2()!1()]([)(r r t r A t r A S F L t f ]tP n tP r tP r n r eA eA eA --+-+++++ 1010，)0(≥t例：求)1()2(3)(2+++=S S S s F 的拉氏反变换解：先将)(s F 展开为部分公式1)2()2()(0302201+++++=S A S A S A s F求系数：1)2()1()2(322201-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-=S S S S S A 22202)2()1()2(3-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=S S S S S ds d A 22)1()1)(3()1()3(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+'++-+'+=S S S S S S 2-= 2)1()1()2(3123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-=S S S S S A 1222)2(1)(2+++-+-=∴S S S s F查拉氏变换表得：tteet t f --++-=2)2()(2 )0(≥t（二）用拉氏变换解线性微分方程例：设系统微分方程为：)()(6)(5)(00202t x t x dtt dx dtt x d i =++若)(1)(t t x i =，初始条件分别为)0(0x '、)0(0x ，试求)(0t x 解：对微分方程左边进行拉氏变换：（利用拉氏变换微分性质）)0()0()()(002202x Sx S X S dt t x d L o '--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡)0(5)(5)(500o x S SX dt t dx L -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ )(6)](6[0S X t x L o =利用迭加定理有：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++)(6)(5)(00202t x dt t dx dt t x d L=)]0()0()5[()()65(0002'++-++x x S s X S S对方程右边进行拉氏变换： St L t x L i 1)](1[)]([==得：Sx x S s X S S 1)]0()0()5[()()65(0002='++-++65)0()0()5(1651)(2020++'+++++=∴S S x x S SS SS X )3)(2()0()0()5()3)(2(10++'+++++=S S x x S S S S323221321++++++++=S B S B S A S A SA求待定系数：61)3)(2(11=++==S SS S S A21)2()3)(2(122-=+++=-=S S S S S A31)3()3)(2(133=+++=-=S S S S S A)0()0(3)2()3)(2()0()0()5(00201x x S S S x x S B S '+=+++'++=-= )0()0(2)3()3)(2()0()0()5(00302x x S S S x x S B S '--=+++'++=-= 代入原式得：3)0()0(22)0()0(333122161)(00000+'--++'+++++-+=S x x S x x S S SS X查拉氏变换表得：t t te x x e e t x 200320)]0()0(3{[312161)(---'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=})]0()0(2[300t e x x -'+- 当初始条件为零时，得 tteet x 320312161)(--+-=)0(≥t。