第二章原子的玻尔—索末菲理论 (2)

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原子物理_总结

Be ,~

RBe
4
2

1 m2

1 n2

2. 原子核运动对里德堡常数的影响
2 2e4
2 2me4
1
RA (40 )2 h3c (40 )2 h3c 1 m
M

R
1 1 m
M
3、索末菲理论
量子化通则
pdq nh n 1,2,3,
气体分子发出，谱线分段密集，形成一个个带。
二、氢原子光谱
巴耳末公式

=B
n
n2 2
4
n 3, 4,5,...
令 % 1 , ṽ 称为波数，巴耳末公式可改写为
%
1

1 B
n2 4 n2

4 B
1 22

1 n2

RH
1 22

1 n2

n 3, 4,5,...
原子物理学
课程总复习
第一章原子的基本状况
一、了解汤姆逊原子模型
• 1903年英国科学家汤姆逊提出 “葡萄干蛋糕”式原子模型或
称为“西瓜”模型。
卢瑟福的粒子散射实验
放射源
放射源为放入一小铅盒中的少量放射性元素钋，用来产生α粒子。轰击对象金箔为微米级薄片。荧光屏为接受屏，其后有显微镜可观察到发生的现象。荧光屏和显微镜可以围绕金箔在一圆周上运动，
巴耳末系
氢原子光谱的其他线系
1914年赖曼发现赖曼系：
1908年帕邢发现帕邢系：
~

RH
1 (12

1 n2
),
n

2玻尔模型-2

锂、钠、钾、铷、铯、钫的原子序数分别是3、11、19、37、55、 87，各层上的原子数
原子序数元素 K s 1 2 3 H He Li 1 2 2 1 s L p s M p d s N p
4
5 6 7 8 9 10 11
Be
B C N O F Ne Na
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 6 1
r
e
v
r

Ze
b
a
1 mZ 2 e 4 En 2 ( 2 2 ) n 8 0 h
这与玻尔理论的结果相同。
n 1,2,3,
能量只决定于主量子数n，而与 nϕ 无关。能量n重简并（也称为退化）。
相对论修正
Ze2 能量: E Ek 4 0 r 2 h 0 半径: rn n 2 mZe2
此外：电子在椭圆轨道中运动，角动量不变而速度变化，所以电子质量在改变。结果是电子的轨道不闭合，椭圆轨道有一个连续进动。
n相同而nϕ不同的轨道，速度变化情况不同，因而质量的变化和进动的情况不同。因此这些轨道运动的能量略有差别。
一个电子轨道的进动
索末菲按相对论的力学原理进行推算，求得氢原子的能量等于 2 2 2 m0 c Z n 3 Z E 1 n 2 n n 4 其中第一项就是玻尔理论的结果，第二项起是相对论效应。可见同一n而nϕ不同的轨道运动具有不同的能量。但第二项代表的数值比第一项要小得多。
E 8.84eV ,4.89eV ,3.96eV
253.6nm的谱线较强，说明这可能相应于原子获取能量后，由基态跃迁到第一激发态，再退激发而发出的辐射。而它相应的能量间隔为 4.89eV。由此，可推测8.84eV相应于第二激发态。3.96eV几乎正好等于这两个激发态之间的能量差。由此能级图：

索末菲对玻尔理论的推广(2)——相对论计算

式中， R 为里德堡常数（即 R∞ ）。可见，定态能量表达式的前半部分与玻尔及索末菲所得
结果相同，却出现了后半部分的修正项。
结果与分析：
1）考虑相对论效应后，定态能量不完全由主量子数 n 而定，还会因角量子数 nϕ 的不同而分为 n 个次能级；但能量主要还由 n 确定，由于修正项中α 值很小，故修正量很小（“α --精细结
总效果：椭圆进动，电子运动一周，ϕ 从原来的 0 → 2π ，变为 0 → 2π ω 。如图。
“总起来说，此电子的运动可以看成是两种运动的叠加：一种是电子绕核作椭圆轨道运动，另一种是该椭圆的长轴绕原子核绥绥转动，二者转向相同．两种运动同时进行，电子轨道将不
-3-
是一根闭合曲线。上图中的两个虚线因，表近核点和远核点的轨迹．”
⋅
Rhc
,
n = 1, 2,3......
式中
R
=
R∞
=
2π 2mee4
(4πε0 )2 h3c
；
椭圆轨道：
⎧⎪⎪a ⎨ ⎪⎪⎩ b
= =
a0 Z a0 Z
n2 nnϕ
nϕ = 1, 2,3......n
式中， a0
=
4πε 0 h2 4π 2mee2
；
空间量子化： Pz = m ， m = 0, ±1, ±2… ± nϕ
−
⎞ 1⎟⎟⎠
−
1 4πε
0
⋅ Ze2 r
⇒
1 1− β2
=
1+
1 me0c2
⎛ ⎜ ⎝
E
+
1 4πε 0
⋅
Ze2 r
⎞ ⎟ ⎠
又： υ 2 = r2 + r 2ϕ 2 ， β = υ c «1，（将1 1− β 2 展开）

量子力学中的玻尔索末菲模型

量子力学中的玻尔索末菲模型玻尔索末菲模型是量子力学中一个重要的模型，描述了原子的电子运动特性。

本文将从量子力学的历史背景、玻尔索末菲模型的提出与原理以及该模型的应用等方面进行探讨，并讨论该模型在现代物理研究中的一些局限性。

一、量子力学的历史背景量子力学是20世纪初兴起的一门重要的物理学分支，它的发展与经典力学中的一些难题密切相关。

例如，在经典力学中，描述电子在原子内运动的理论与实验结果存在着严重的矛盾，无法解释原子光谱的特征。

为了解决这个问题，玻尔于1913年提出了玻尔氢原子模型，即玻尔索末菲模型。

二、玻尔索末菲模型的提出与原理玻尔索末菲模型是基于一些假设和实验结果得出的，它主要包括以下几个要点：1. 电子在原子中绕核运动的轨道是定量化的，即只允许存在特定能量的轨道，这些能量被称为能级。

2. 电子跃迁时吸收或放出特定能量的光子，这些能量与电子所在的能级差有关，从而解释了原子光谱的特征。

3. 电子在特定轨道上具有固定的能量和角动量，能量和角动量的量子化条件为玻尔量子条件。

基于这些假设和理论，玻尔索末菲模型成功地解释了氢原子光谱的一系列实验结果，为量子力学的发展奠定了基础。

这一模型的简洁性和可解性使得它成为教学中常用的模型之一。

三、玻尔索末菲模型的应用玻尔索末菲模型不仅被应用于氢原子的研究，也适用于其他原子系统的简化描述。

通过计算电子在不同能级之间的跃迁，可以预测不同原子的光谱特征，从而与实验结果进行对比，验证模型的可靠性。

此外，玻尔索末菲模型也为其他研究领域提供了启示。

例如，在凝聚态物理中，可以将晶体中的电子视为类似原子的粒子，利用类似的思想进行能带结构的研究。

然而，随着科学技术的发展，人们对原子结构和电子运动的认识逐渐深入，一些玻尔索末菲模型无法解释的现象也逐渐被发现。

这些局限性包括不能解释更复杂的原子系统、忽略了电子的波动性以及无法描述原子核结构等。

四、小结玻尔索末菲模型作为量子力学中的一个经典模型，为我们理解原子的电子结构和光谱特性提供了重要的参考。

玻尔索末菲模型

不过，后面章节中，我们将会看到，这一“完全符合”纯属是一种巧合。
只有彻底抛弃轨道运动的量子理论才能对光谱的精细结构作出正确的解释。实际一条Hα线，在高分辨率的谱仪中将呈现出七条精细结构。对此玻尔-索末菲模型是完全无能为力了。(p140)
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2
第六节对应原理玻尔理论的地位
一、对应原理
的光照射？ 2、对于氢原子、He+和Li++，分别计算它们的(1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；(2)电子在基态的结合能；(3)由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退
激到基态所放光子的波长？ 3、欲使电子与处于基态的Li++发生非弹性散射，试问电子至少
具有多大的动能？ 4、He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能使处于基
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3
例：氢原子理论结果符合对应原理的要求
两能级差:
∆E
=
Rhc
1 n2
−
1 m2
n很大，∆n = n − m << n时
∆E
=
2Rhc∆n n3
n →∞
→
0
能级趋于连续，量子化特征消失。
又如 n → ∞时，原子辐射频率趋于经典电子轨道运动频率。
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4
例：频率的对应关系
对应原理是物理学发展中的一个重要原理
1906年，普朗克指出：h → 0 的极限情况下，量子物理可以
还原为经典物理。
1913年，玻尔氢原子理论建立过程中，尽量少修改经典理论，看什么情况下才必须用量子理论来克服困境。
1920年，提出对应原理：在量子数 n →∞的极限条件下，

第2章原子的量子态：玻尔模型

第二章原子的量子态：玻尔模型§2-1背景知识普朗克于1900年提出量子假说，但人们并不很理解它，他曾试图将量子假说纳入经典理论中。

在爱因斯坦发表狭义相对论后还认为爱因斯坦“迷失了方向”。

但当时年仅28岁的玻尔（丹麦）却将量子概念用于卢瑟福原子模型，成功地解释了近30年的光谱之谜。

一、量子假说的根据之一：黑体辐射物体都有热辐射，这其实是发射一定频率的电磁波。

从理论上分析，黑体腔壁可认为是由大量作谐振动的谐振子(作谐振动的电偶极矩)组成，振动的固有频率可从(∞→0)连续分布，谐振子通过发射与吸收电磁波，与腔中辐射场不断交换能量。

1859年，基尔霍夫证明：黑体辐射达平衡时，辐射能量密度νE 随频率的变化曲线只与黑体的绝对温度T 有关，而与空腔的形状及组成材料无关。

1893年，维恩发现黑体辐射的位移律：辐射能量密度最大值所对应的频率m ν与平衡时黑体的绝对温度T 成正比，即c.Tm 28980=ν。

由此得维恩位移律公式（m λ为最大波长，m m c λν=)辐射本领)T ,(R ν：在单位时间内黑体单位面积在单位频率内(频率ν附近)辐射的能量。

(即能量随ν的变化规律) 设黑体内腔达热平衡时的辐射场的能量密度为νE ，则其辐射本领),(4),(T E c T R νν=。

黑体总的辐射本领为ννλλd )T ,(E c d )T ,(R )T (R ⎰⎰∞∞==004由此可得等式：ννλλd )T ,(E c d )T ,(R 4=维恩经验公式：频率在),(νννd +相符，但在低频部分与实验有显著偏差。

瑞利-1899年据经典电动力学和统计物理学导出，此公式在低频部分与实验相符，但在高频部分与实验的偏差很大。

当∞→ν时, ∞→νE ,即在高频时是发散的，这就是当时有名的“紫外灾难”。

1904年开尔文勋爵（英，物理学家）在总结物理学几百年成果时谈到“物理学晴朗天空的远处有两朵令人不安的乌云”：黑体辐射的引发的“紫外灾难”和迈克尔逊-莫雷实验（1887年）的“零结果”。

第二章原子的玻尔—索末菲理论 (2)

Rh=4/B=1.0967758×107m-1
§2.4 玻尔的氢原子理论
为了卢瑟福，放弃麦克斯韦！在原子层次，经典理论将不再成立新的革命性思想必须被引入——量子及Planck常数 1913 年初，汉森 (Hans Marius Hansen) 请教玻尔 (Niels Bohr), 量子化模型里如何解释原子的光谱线问题玻尔：光谱太陌生了，成千条谱线各种奇怪效应杂乱无章
卢瑟福 or 麦克斯韦
§2.1量子假说

§2.3 氢原子光谱及其经验规律
巴耳末公式

1

4 B
1 1 2 22 n
, n 3,4,5,
B = 3645.6 Å
1 1 1 里德伯公式 Rh 2 2 T nT n n n n 1,2,3,;n n 1, n 2, n 3,.
4 0 2 2 h rn n ; 2 2 me
me 4 1 En 2 2 2 4 0 2 n
4 0 2 2 h rn n ; 2 2 me
e2 me 2 r L mvr m r ;L n,n 1,2,3, 4 0 mr 4 0
1 4 0 mr 3
v e f 2r 2
1 4 0 mr 3
2 e 2 1 rn 3 n 2 2 2 rn 4 0 16 R c m
2 2 e 4 m R 4 0 2 ch3
e2 2 n 40 2Rhc
现在，里德伯常数不再是经验常数了，它已经由若干基本常数（e，m，h，c）组合而成，可以精确地算出了。
e / 40 1 c 137
2
α称之为精细结构常数

第二章原子的玻尔—索末菲理论

这表明，1m2的钠金属板上，每个原子每秒钟接受到的能量约为0.1μeV,既使每个原子中只有一个电子接受能量，要使这个电子获得1eV的能量，还需要107s≈1/3a！这与实验事实发生严重的矛盾。光电效应的响应时间快（T<10-9s），是经典物理最难理解的。另外，依照经典理论，决定电子能量的是光强，而不是光的频率。但实验事实却是：暗淡的蓝光照出的电子的能量居然比强烈的红光照出的电子的能量大。这种电子能量与光频率的关系是经典物理所无法解释的。
普朗克发表的常数
h=6.55×10-34J· S
只比现代值低1%；同时导出的玻耳兹曼常数
k=1.346×10-23J/K
比现代值低约2.5%。由此可相当精确地算出阿伏伽德罗常数N0及电子的电荷e，而在实验上只是在近二十年之后才独立地把N0和e测量到这样精确的水平。普朗克常数在1986年的推荐值为：
§2.2 光谱
光谱是光的频率（或波长）成分和强度分布的关系图，它是研究原子结构的重要途径之一。
若要了解物质的内部情况，只要看其光谱就可以了。
光谱是用光谱仪测量的。光谱仪的种类繁多，但其基本结构原理却几乎都一样，大致由三部分组成：光源；分光器（棱镜，或光栅）；记录仪（把分出的不同成分的光强记录下来）。光源：研究光谱所用的光源，除自然光外，可有各种类型，有火焰、高温炉、电弧、火花放电、气体放电、化学发光、荧光等。
A、黑体辐射
什么叫黑体辐射？记得有时在评论某人物时（例如，莎士比亚的喜剧《威尼斯商人》中的高利贷者夏洛克），人们会贬称他‚黑心‛，就是说这个人对什么东西都贪得无厌。与此相比，若一物体对什么光都吸收而无反射，我们就称这种物体为‚绝对黑体‛，简称‚黑体‛。事实上当然不存在 ‚绝对黑体‛，不过有些物体可以近似地作为‚黑体‛来处理，如一束光一旦从狭缝射入某一空腔后，就很难再通过狭缝反射出来，这个空腔的开口就可以被看作是黑体。

索末菲原子模型

索末菲原子模型著名理论物理学家阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld ，1868～1951），是德国慕尼黑大学理论物理研究院院长，他对玻尔原子理论的扩充和他所著的《原子结构和光谱线》这部深具影响的教科书，被他的学生誉为“原子物理学的圣经”。

在量子力学史上，他赢得量子力学三大重要学派领袖之一的声誉，他在培养人才方面是无与伦比的，他有能把像海森伯、泡利这样的毛头小伙子精雕细琢成杰出科学家的神奇本领。

爱因斯坦1922年很赞赏地说道：“我特别欣赏您培养出了如此众多的青年才俊。

”3、1 索末菲的生平1868年12月5日，索末菲生于东普鲁士的柯尼斯堡（Königsberg ）（今俄罗斯的加里宁格勒），是中欧理论物理的发源地，德国成立的第一个数学和物理研究班就诞生在这里。

中学时代索未菲和德国实验物理学家维恩是同学，1886年进入柯尼斯堡大学数学教授林德曼（C ．Lindemann ）指导的数学——物理研究班主修数学，同当时许多别的数学家一样，索未菲运用开尔文勋爵的数学物理理论对麦克斯韦电磁场方程的进行了概述，并对应用数学产生了浓厚的兴趣。

于是，他从林德曼的数论领域转变到开尔文勋爵的数学对物理学的应用研究，他研究过电子波的物理特性和关于旋转陀螺的理论，对于应用复变函数理论解决边界问题颇有造诣。

1891年，他在康尼斯堡的数学物理教授沃尔克曼（P ．V olkmann ）的指导下，完成了数学物理方面的博士学位论文。

1893～1894年在哥廷根的矿物研究所担任数学家克莱因（F ．Klein ）的助手。

1897年任克劳斯塔尔矿业学校的数学教授。

1900年由克莱因推荐，在亚琛工业大学任工程力学教授。

在此期间，他致力于把数学和工程力学联系起来，使工程力学有坚实的数学基础；这是克莱因一贯的主张。

1906年起任慕尼黑大学理论物理学教授，不久主持建立了理论物理研究院并任院长。

1905年爱因斯坦（A ．Einstein ）的关于狭义相对论的论著发表以后，在1907年德国自然研究者大会上，索末菲曾为爱因斯坦的理论辩护，而且他在这个领域所做的工作，为后来的轫致辐射理论提供了理论基础。

《原子物理与量子力学》第2章玻尔的旧量子论

k
T
3d
严重背离实验事实，这是著名的紫外灾难。
4. 乌云的驱散——可恶的量子假设
（1）热辐射发射的电磁波的态密度(见:王正行《近代物理》，北京大学出版社，1995)
n0
(
)
8πh
c3
3
（2）可恶的量子假设
设温度为T的黑体达到热平衡辐射时,频率为ν的粒子只能具有一系列的分立能量，即只能是ε0= hν的
1 2
1 2
1
泰勒展开
En
m0 c 2
1
1 2
2
1 2!
1 2
1 2
1
4
1
m0c
2
1 2
2
1 8
4
En
m0 c 2 2
Z
n
2
1
得到斯特藩—玻耳兹曼定律
R0 (T ) T 4,
2π5k 4 15c2h3
它虽然和实验结果吻合得如此之好。Planck于年获得了
Robel物理学奖。
但假设毕竟是假设，Planck也认为这是可恶的量子假设。
二、量子假说之二：光电效应
1. 光电效应的发现
1887年，Hertz的放电实验发现了电磁波，确定了电磁波传播速度等于光速，并注意到紫外光照射放电阴极时更容易引起放电。
Jd 2πJ nh
这就是玻尔的轨道量子化条件。
pr mr, p mr
E 1 mv2 Ze2 1 m(r2 r 22 ) Ze2
2
4π 0r 2
4π 0r
(1/ 2)mr22 (1/ 2)mr2 ——电子的转动动能
对每一个广义坐标应用量子化通则，即
pd n h
prdr nrh

索末菲理论课件ppt

根据索末菲通则，求出这粒子能量的允许值。
解：粒子所受的力：F
U r
r2
m v2 r
2
mr
粒子的总能量为：E 1 m 2 即 r
2
r 2r r 2r
2E
由量子化通则: mvrd
m 2 d nh
2E
即： m 2 2 nh
2E
E
2 2m 2
n2h2
将
Ze2
4 0
索末菲理论课件
玻尔理论得成功:
(1)指出了原子能级得存在。
(2)提
出了定态得概念,事实表明,这一结论对于各种原
子也就是普遍正确得。
(3)角动量量子化条件L=nh/2,引出了角动量量子化这
一普遍正确得结论。
(4)解释氢原子及类氢离子得光谱现象。
玻尔理论得局限性:
没有完全解决原子问题,只能解释氢原子与类氢离子光谱,无法解释复杂原子得光谱现象。量子通则不具备有普遍性。
q为广义坐标, dq为广义位移, p为广义动量。
i就是自由度个数,有几个自由度就有几个相应得量子化条件。
例1:设粒子得质量为m,在具有无限高势垒、宽度为a得一维直角势阱里运动。试根据索末菲量子化通则对上述情况求出这粒子能量得允许值。
解:根据量子化通则:
a
0
pdx 0 (mv)dx a (mv)dx 2mva nh
2
40 r 2
40 r
由量子化通则可得以下结果
a n2 a1 Z
b
nn
a1 Z
a :半长轴,b:半短轴
En
2 2me4 (40 )2 h2
Z2 n2
Rhc
Z2 n2
主量子数
n nr n

原子物理第2章

原子物理第2章第三节：玻尔模型从理论上导出里德伯常数：结束目录nextback 氢光谱的解释玻尔假设电子的运动第二章：原子的能级与辐射：玻尔理论第三节：玻尔模型氢原子轨道半径与谱系结束目录nextback氢光谱的解释玻尔假设电子的运动赖曼系n=1n=2n=3n=4n=5r04r09r016r025r0布喇开系巴耳末系帕邢系第二章：原子的能级与辐射：玻尔理论第三节：玻尔模型结束目录nextback氢光谱的解释玻尔假设电子的运动第二章：原子的能级与辐射：玻尔理论第四节：类氢离子光谱结束目录nextback第二章：原子的能级与辐射：玻尔理论毕克林系起初以为是星体上的一种特殊氢，后在实验室中加氦后的氢光谱中观察到，得以确认是氦离子的光谱。

氢光谱类氢光谱第四节：类氢离子光谱结束目录nextba ck第二章：原子的能级与辐射：玻尔理论如果套用玻尔理论，只需要将氢原子理论中的Z改为2，就可得到氦离子的光谱理论公式上式中n1取4，n2取5、6、7、….就与毕克林系规律相同第四节：类氢离子光谱结束目录nextback第二章：原子的能级与辐射：玻尔理论尽管上述结果与观察结果非常一致，但还有一个明显的差别：类氢离子光谱与氢光谱并不完全重合。

这一差别后来被认为是里德伯常数的变化引起的。

考虑原子核的运动，推导出修正后的里德伯常数核的质量有关。

修正后的里德伯常数与观测结果非常一致第四节：类氢离子光谱结束目录nextback第二章：原子的能级与辐射：玻尔理论里德伯常数受核的质量影响的理论曾被用来证实氢的同位素-氘-的存在。

起初有人从原子质量测定估计有原子量为2的氢存在，但如存在，含量应很低，一时难以确认。

1932年尤雷（HCUre y），观察到类氢光谱，通过质量修正，能很好得到解释。

从而确认氘-的存在。

第四节：类氢离子光谱结束目录nextback第二章：原子的能级与辐射：玻尔理论玻尔理论非常成功地解释了氢、类氢离子光谱的规律，一度被人们广泛接受。

第二章原子的玻尔—索末菲理论小结PPT幻灯片课件

1 第二章原子的量子态：玻尔模型
量子假说光谱氢原子光谱及其经验规律玻尔的氢原子理论类氢离子的光谱夫兰克－赫兹实验广义量子化条件和索末菲理论碱金属原子的光谱原子实极化和轨道贯穿碱金属原子光谱的精细结构
2 §2.1量子假说

eV

eV0

1 2
与经典比较

Rc
2n n4

2Rc n3
2Rc n3

e
2
1
4 0mr 3
rn 3
1
4 0
16
e2 2R2c2m
n
2
12
R

2
4
2e4m
0 2 ch3
h
2
En

me 4
40 22
2

1 n2
rn

4 0
me 2
2
n2
;
h
2
Lmvr m e2 r me 2r ;Ln,n1,2,3,
（1）光谱是线状的，谱线有一定位置。这就是说，有确定的波长值，而且是彼此分立的。
（2）谱线间有一定的关系，例如谱线构成一个谱线系，它们的波长可以用一个公式表达出来。不同系的谱线有些也有关系，例如有共同的光谱项。
差（，3v~）
每一谱
T m T
线的波数都可以
n。氢的光谱项是
表
达
为
二
光
4 0 mr
4 0
精细结构常数
e2 / 4 0 1
c
137
13 D.数值计算法
组合常数我们已经有了里德伯常数和氢原子的能量、半径的表达式，为了进行数值计算，显然，只要把一些基本常数

原子结构知识：原子的玻尔-索末菲模型

原子结构知识：原子的玻尔-索末菲模型原子结构是物质世界的基础，理解原子结构的本质对于探索物质结构和物理现象都有着重要的意义。

20世纪初，玻尔和索末菲提出了原子的玻尔-索末菲模型，为原子结构研究开辟了新的道路。

本文将从原子的结构特点、能级理论、碳原子及其化学属性等方面加深对玻尔-索末菲模型的理解。

玻尔-索末菲模型是基于电子在原子中的运动性质提出的，它认为原子大小有限，电子绕原子核做周期性运动，每个环节代表一个能级。

它说明原子有稳定的电子能级，电子在这些能级之间跃迁时，会放出或吸收能量，这种跃迁过程被称为光谱现象。

这个模型概述了原子的最基本结构、相互作用以及放射和吸收光子中的角色。

玻尔-索末菲模型最主要的特点是能级理论。

在这个模型中，原子核被假设为定点，而电子则呈现出某些特定的轨道。

其中，电子在轨道上运动一周的能量是一定的。

这个能量被称为“量子”，它依赖于电子能级的数量和它的位置。

能级跨度越大，能量就越大。

这一概念非常重要，因为它解释了为什么物质对电磁辐射具有非均匀性的响应。

玻尔-索末菲模型的核心思想是量子理论。

电子在原子轨道中运动，而电子的轨道有一个基本的微观建模方式，这就是量子力学。

量子力学跟经典物理学不同，经典物理学认为任何物理量都可以是连续的，而量子力学则认为物理量取决于微观量子机制的规律性。

例如，对于一枚旋转的羽毛，根据量子力学理论，要想精确地判断它的位置和动量，我们就需要用波函数来表述。

那么，玻尔-索末菲模型能够对物质的性质产生什么样的贡献呢？在化学中，有趣的现象很多都是由原子的结构特点所造成的。

熵增原理和化学平衡原理都来源于能量的描述。

例如水分子H2O和氨分子NH3，能够正确解释原子的相对还原性。

而对于碳原子，特别是碳原子手性的描述和其中化学能量变化中的巨大差异，都是从玻尔-索末菲模型中进一步细化得到的。

换句话说，玻尔-索末菲模型就是能够通过强大的量子力学理论来描述原子在化学过程中的相对能量影响。

量子纠缠背后的故事（11）：索末菲的原子

量子纠缠背后的故事（11）：索末菲的原子作者：程鹗玻尔“关于原子和分子的构成”的论文在英国《哲学杂志》上发表之后，没多久他就接到卢瑟福的来信。

卢瑟福在信中告诉玻尔，达尔文（提出进化论的达尔文的孙子）要离开了，他们在登广告招新人，但都不尽人意。

他希望能找到一个具备独创能力的年轻人。

这时的玻尔在哥本哈根大学担任讲师，主要是给医科学生上普通物理课。

他觉得很无聊，想争取一个教授席位。

虽然有卢瑟福的强力推荐信和本校同行的一致支持，但这机会一时半载还是可望不可即。

玻尔看了导师的来信，立刻领会了他的言下之意。

于是，他请假一年，在1914年9月携妻再度来到曼切斯特，继续在卢瑟福实验室任职。

实验室已经物是人非。

半年前，卢瑟福获得英国国王晋封的骑士爵位。

一战开始后，他的精力集中在用声纳探测潜水艇的绝密项目上，无暇顾及纯科学研究。

实验室来自各地的年轻人全部失去踪影。

其中盖革正在为德国的毒气战效力；达尔文已经参军，在物理学家布拉格（Lawrence Bragg）领导下研究如何监听敌方开炮噪音确定其火炮阵地的方位；莫斯利辞去已得到的牛津大学职位，在一战爆发后“插队”入伍担任通讯兵（1915年8月10日死于战场）。

丹麦是中立国，玻尔得以继续研究他的原子。

他的新模型问世之后，卢瑟福、索末菲等人都感到好奇，同时也期待着他再向前跨一步，解释光谱中更深的奥秘，即所谓的“精细结构（fine structure）”。

早在1887年，通过精密测量否定以太存在的迈克尔逊和莫雷，他们还报告了利用仪器精度能看到氢原子的光谱线并非仅仅是一条条的线，仔细地分辨，可以看到一条谱线其实是由两条挤在一起的细线组成。

随后，荷兰的塞曼（Pieter Zeeman）又有了新发现：在磁场中测量，一些原子的光谱线会“分裂”成两条或更多的细线，即后来所谓的“塞曼效应”。

他的导师洛伦兹很快根据经典电子理论做出了解释。

洛伦兹的理论只适用于磁场的作用，无法解释氢原子谱线本身的精细结构。

第二章玻尔氢原子理论

第二章原子的能级和辐射一、学习要点：1.氢原子光谱：线状谱、五个线系（记住名称、顺序）、广义巴尔末公式)11(~22nm R -=ν、光谱项()2nR n T =、并合原则：)()(~n T m T -=ν 2.玻尔氢原子理论：(1)玻尔三条基本假设的实验基础和内容（记熟）(2)圆轨道理论（会推导）：氢原子中假设原子核静止，电子绕核作匀速率圆周运动02200202220A 529,04,Z Z 4≈===e m a n a n e m r e e n πεπε;13714,Z Z 40202≈===c e n c n e c e n πεααπευ； ()n hcT n hc R n e m E e n --=-=∞22224220Z 2Z )41( πε，n ＝１.2.3……(3)实验验证：（a ）氢原子五个线系的形成)11(Z ~,)4(222232042n m R c h e m R e -==∞∞νπεπ (会推导）非量子化轨道跃迁 )(212n E E mv h -+=∞ν （b ）夫－赫实验：装置、.结果及分析；原子的电离电势、激发电势3.类氢离子（+++Li ,He ,正电子偶素.-μ原子等） (1) He +光谱:毕克林系的发现、波数公式、与氢原子巴耳末系的异同等(2)理论处理（会推导）：计及原子核的运动，电子和原子核绕共同质心作匀速率圆周运动e e m M m M +⋅=μ, 正负电荷中心之距Ze n r n 22204μπε =. 能量2242202Z )41(n e E n μπε-=，里德伯常数变化Mm R R e A +=∞11 重氢（氘）的发现4.椭圆轨道理论索末菲量子化条件q q n h n pdq ,⎰=为整数a n nb n e m a n e m E n p e n ϕϕϕπεπε==-==,Z 4,2Z )41(,2220224220 ，n n n ,,3,2,1;,3,2,1 ==ϕn 一定，n E 一定，长半轴一定，有n 个短半轴，有n 个椭圆轨道（状态），即n E 为n 度简并。

原子中电子的四个量子数

第４０卷第５期大　学　物　理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．５２０２１年５月ＣＯＬＬＥＧＥ　ＰＨＹＳＩＣＳＭａｙ２０２１　收稿日期：２０２０－０６－１３；修回日期：２０１４－０２－１４　基金项目：西安交通大学“名师、名课、名教材”建设工程项目（校２０１８）；西安交通大学第二批“课程思政”示范课项目（校２０１９）资助　作者简介：黄永义（１９７８—），男，安徽阜阳人，西安交通大学物理学院副教授，博士，主要从事原子物理教学和研究工作．原子中电子的四个量子数黄永义（西安交通大学物理学院，陕西西安　７１００４９）摘要：较详细地阐述了原子中电子的４个量子数的来源，简要介绍了原子的电子壳层结构和泡利不相容原理．关键词：玻尔－索末菲理论；４个量子数；原子壳层结构；泡利不相容原理中图分类号：Ｏ４－１文献标识码：Ａ文章编号：１００００７１２（２０２１）０５０００８０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１００００７１２．２００２７２原子中电子的４个量子数是大家熟知的，它们的引入过程也是很熟悉的．通过求解氢原子的定态薛定谔方程得到电子的３个量子数，分别是主量子数ｎ，轨道角动量量子数ｌ，轨道磁量子数ｍｌ，它们的取值为ｎ＝１，２，…；ｌ＝０，１，２，…，ｎ－１；ｍｌ＝０，±１，±２，…，±ｌ，再加上乌伦贝克和哥德斯密特引入的自旋磁量子数ｍｓ＝±１／２，共４个量子数（ｎ，ｌ，ｍｌ，ｍｓ）．如果考虑到自旋轨道相互作用，需要使用新的４个量子数（ｎ，ｌ，ｊ，ｍｊ），其中ｊ为总角动量量子数，ｍｊ为总磁量子数．实际上原子中电子的４个量子数在１９２２年已经提出了，比１９２６年的波动力学早了好几年，本文就来谈谈４个量子数是怎样提出的，简要介绍它们的应用：原子的电子壳层结构和泡利不相容原理．１　４个量子数１９１３年玻尔在定态假设和跃迁假设的基础上利用对应原理提出了氢原子理论，给出了氢原子的能级公式Ｅｎ＝－ｈｃＲＺ２ｎ２（１）式中Ｚ为类氢离子的核电荷数，ｎ是取自然数的主量子数，它决定了原子的主要能量，是原子中电子的第一个量子数［１］．１９１６年索末菲就将玻尔的圆轨道推广到椭圆轨道，进一步又考虑电子运动的相对论效应给出了氢原子能级的精细结构［２］．如图１所示．电子绕核在一个平面上作椭圆运动是二自由度的运动，极坐标零点在核的位置，坐标是ｒ和φ，对应的动量为沿矢径ｒ方向为ｐｒ＝ｍｒ·和垂直于ｒ方向图１　电子绕核运动的椭圆轨道的角动量ｐφ＝ｍｒ２φ·．对极角动量和极径动量分别使用量子化通则∮ｐφｄφ＝ｋ１ｈ，∮ｐｒｄｒ＝ｎｒｈ，由有心力作用下的角动量守恒可得ｐφ＝ｋ１，ｂａ＝ｋ１ｎｒ＋ｋ１≡ｋ１ｎ，式中＝ｈ／２π()为约化普朗克常量，ａ为椭圆半长轴，ｂ为椭圆半短轴，ｎ即为主量子数，ｎｒ＝０，１，２，３，…ｎ－１，ｋ１＝１，２，３，…ｎ被称为方位角量子数，它决定了椭圆的形状．ｎｒ最小值可以为零，表示没有径向运动，但ｋ１最小值只能为１，如果为０，则电子没有轨道运动，这种情况不会出现．进一步考虑到电子运动的相对论效应，利用量子化通则可得氢原子的能级Ｅ＝－ｈｃＲＺ２ｎ２－ｈｃＲＺ４α２ｎ４ｎｋ１－３４()＋…（２）式中α≈１／１３７为精细结构常数，而氢原子的能级依赖于主量子数ｎ，还依赖于方位角量子数ｋ１，因此方位角量子数ｋ１是原子中电子的第二个量子数［３］．对比碱金属原子的光谱线系的跑动项，ｋ１＝１，２，３，…ｎ第５期黄永义：原子中电子的四个量子数９　也可以用英文字母为ｓ、ｐ、ｄ、ｆ、ｇ…，其中前４个字母有确切的含义，为ｓｈａｒｐ（锐线系），ｐｒｉｎｃｉｐａｌ（主线系），ｄｉｆｆｕｓｅ（漫线系），ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ（基线系）的首个字母．如果原子处于磁场中，电子的轨道运动不再是平面，而是三维空间的曲线．磁场不是很强，它对电子运动的影响不是很大，电子的运动仍可以近似地看作是一个平面上的运动，轨道平面绕着磁场方向缓慢旋进，此时三维运动实际上是研究在磁场下电子轨迹的取向问题．如图２所示，Ｚｅ表示原子核，－ｅ表示电子，电子的位置可以用３个球坐标ｒ，θ，ψ()表示，对应的线动量角动量分别为ｐｒ，ｐθ，ｐψ()，它们满足的量子化条件为∮ｐｒｄｒ＝ｎｒｈ，∮ｐθｄφ＝ｎθｈ，∮ｐψｄψ＝ｎψｈ，量子数ｎｒ、ｎθ、ｎψ都取整数．图２　有磁场时电子做三维运动，摘自［４］显然角动量ｐψ为上文极角动量的分量ｐψ＝ｐφｃｏｓα（３）由于电子运动的哈密顿量Ｈ＝１２ｍ(ｐ２ｒ＋１ｒ２ｐ２θ＋１ｒ２ｓｉｎ２θｐ２ψ)－Ｚｅ２４πε０ｒ不含ψ，由正则方程ｐ·ψ＝－Ｈ／ ψ＝０得ｐψ＝常量．考虑到量子化条件∮ｐψｄψ＝ｎψｈ，得ｐψ＝ｎψ［４］．将此结果代入（３）式：ｃｏｓα＝ｎψ／ｋ１（４）式中ｋ１＝ｎθ＋ｎψ，由－１≤ｃｏｓα≤１，得ｎψ＝－ｋ１，－ｋ１＋１，…，，…，ｋ１－１，ｋ１（５）ｎψ共有２ｋ１＋１个取值．ｎψ＝０时电子轨道平面包含了磁场方向，１９１８年玻尔认为这种情况电子轨道平面不稳定，ｎψ＝０被禁止，因此ｎψ共有２ｋ１个取值［５］．极角动量ｐφ在磁场方向的分量ｐψ＝ｎψ 取２ｋ１分立的值的现象被称为角动量的空间量子化．而玻尔的主张也十分重要，后文会看到四个量子数的取值如果不考虑玻尔的意见就得不到正确的结果．基态银原子束的施特恩－盖拉赫实验结果也能得到巧合的解释，基态银原子两个量子数ｎ＝５，ｋ１＝１，则ｎψ＝±１，银原子束在非均匀磁场中受力Ｆｚ＝Ｂｚμｚ＝ＢｚｎψμＢ＝± ＢｚμＢ，μＢ＝ｅ／２ｍｅ()为玻尔磁子，银原子束就经过非均匀磁场后分裂为两束．由实验参数测量的玻尔磁子和理论预测的一致，这使得一度怀疑玻尔氢原子理论的施特恩也不得不承认玻尔理论的正确．１９１６年拜和索末菲使用玻尔－索末菲理论引入磁量子数成功解释了正常塞曼效应，这个磁量子数恰好就是ｎψ［６，７］．磁量子数的引入使得人们认识到仅有两个量子数还不能完全描述电子的状态，碱金属原子的光谱更能说明这一点．到１９２２年通过高分辨率光谱仪观察到光谱人们已经很清楚知道了元素原子的能级重数，如碱金属原子是双重态，碱土金属原子是单态和三重态，第三列元素原子是双重态和四重态等等．光谱证据表明并不是所有的光谱线都满足频率的里兹组合定律，如碱金属原子的漫线系光谱项ｄ向光谱项ｐ跃迁，应该有４条光谱，而实验只观察到３条谱线．而这些未出现的谱线给索末菲提供了重要的线索：应该还存在某种选择定则禁止了那些未出现的光谱线。

原子物理2

轨道角动量的量子化原子中能够实现电子轨道只是符合以下条件的
p mvr
2r mv 2 mvr nh
h p n n 2
角动量的量子化
3、玻尔的氢原子图象（能级、光谱）
光谱项
光谱项
给出了量子化的轨道（轨道半径的量子化）
氢光谱的经验公式
1 1 RH RH 1 ~ RH 2 2 2 2 n m n m
n2 巴尔末公式 B 2 n 4
（经验常数）B 3646.6 A
0
n 3、 4、 5、
和波长更短的都可纳入上式，公式显然和实验的结果相符合。
H 、H 、H 、H
红深绿青紫
谱线系谱线的波长（波数）满足同一个公式的一组谱线
n 线系限波长（1/λ波数） B
线系，各谱线的波长可用一个公式表示出
来。不同的谱线系也有一些关系。如有共同
的光谱项。 m一定 n=m+1的整数，同一谱线系的不同谱线。 m不同 n=m+1的整数，不同谱线系的谱线。
任一谱线波数可表示为两光谱项之差
以上三条不仅对氢原子光谱成立，对所有的原子光谱都适用，所不同的只是各原子的光谱项的具体结构不同而已。
说明与能量联系的电子轨道是分立的，不能连续变化
hc hcR hcR ~ hc h 2 2 m n
2 ze h E2 E1 E 40 2r 2 1 ze hRc E 2 40 2r n
1
对氢原子z=1
2 ze mv 2 40 r
1
h p mvr n 2
能级上下跃迁时，将导致电磁波的吸收和发射，
电磁波频率为 h E E ( E E ) 2 1 2 1 该式称频率条件，不难看出该式与氢光谱公式相对应。即原子从一较大能量E2的定态向另一较低能量E1的定态跃迁时，辐射一个光子。原子从较低能量E1 的定态向较大能量E2的定态跃迁时，吸收一个光子

第二章 原子的玻尔—索末菲理论 (2)

原子物理_总结

2玻尔模型-2

索末菲对玻尔理论的推广(2)——相对论计算

量子力学中的玻尔索末菲模型

玻尔索末菲模型

第2章 原子的量子态：玻尔模型

第二章 原子的玻尔—索末菲理论 (2)

第二章 原子的玻尔—索末菲理论

索末菲原子模型

《原子物理与量子力学》第2章 玻尔的旧量子论

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原子物理第2章

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