高等数学习题课(第一部分)

13．（P78复习题一，8） 试确定常数a 的值，使下列函数在其定义域内处处连续：
（1） f (x)sin2xxe2ax 1 (x0)
a
(x0)
1 e tan x
（2）
f
(x)
a
rcsin
x 2
a e 2 x
(x 0) (x 0)
习题课参考题目（1）
第一章-函数、极限与连续
3．（P26习题1-2-9）
证明函数 y 1 sin 1 在区间（0,1）内无界，但当
xx
x 0时，这个函数不是无穷大．
4．（P36习题1-3-4）
利用夹逼法则证明：
（1）：n l i(n m 2 n a n 2 n 2 a n 2 n n) a 1 (a 0 )
（2）：
lim
x0
x
1 x
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1
#5．（P36习题1-3-5） 计算下列极限： li m x 8 x 64 3 x 4
#6．（P36习题1-3-7）
设 lim f ( x ) 存在，f(x)x22xlim f(x),求 f(x).
x1
x 1
7．（P42习题1-4-2）
设 a 0 ,x 1 0 ,x n 1 2 (x n 1 x n a 1 )(n 1 ,2 ,3 , ), 利用单调有界原理，证明数列{ x n } 收敛．
8．（P42习题1-4-3）
计算下列极限：
lim
x
2x 2x
3 1
x1
lim （ 1+3tan2x)cot2x
x0
9．（P55习题1-6-5）
求下列极限：
（1） lim arctan x
x0 ln(1 sin x)
（2）l i m 1 x
x 1 ln x
1
（3）lim (cos x ) x 2
x0
ex3 1
（4）
lim x0 1cos
x(1cosx)
（5）lxi m 0ax
bx 3
cx
x
(a,b,c0)
10．（P78复习题一，5）
在数列{ x n } 中，x1=1,xn+1=1+1 xn xn (n1,2, )
求极限
lim
n
xn
11．（P78复习题一，6）
设 f (x) 是x的三次多项式，xl im 2axf (x 2)axl im 4axf (x 4)a1,
求 lim f (x) x3a x 3a
的值，其中a是非零常数．
12．（P78复习题一，7）
计算下列极限：
1- cos x
（1）
lim
x0
x(1 cos
x)
（2） lim(sin2cos1)x
x
x
x
（3） lim( n3 n n n) n
（4）f( x ) a x ( a 0 ,a 1 ) ,求 n l i m n 1 2 l n ( f( 1 ) f( 2 ) f( n ) ) .