第八章方阵问题经典例题和 练习题
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第八章
方阵问题
1、知识要点及基本方法
方阵问题应用题就是把人或物按照一定的条件排成正方形,再根据已知条件求出人或物的数量的应用题。特点是:方阵每边的实物数量相等,同边上相邻两层的实物数量相差2,相邻两层的实物数量相差8。
数量关系:
(1)方阵每边人数和四周人数的关系:
(每边人数-1)×4=四周人数
四周人数÷4+1=每边人数
(2)方阵总人数的计算方法:
实心方阵:每边人数×每边人数=总人数
空心方阵:外边人数×外边人数-内边人数×内边人数=总人数
若将空心方阵分成4个相等的矩形计算,则:
(外边人数-层数)×层数×4=总人数
二、例题精讲
例1 四年级同学参加广播操比赛,要排列成每行8人,共8行方阵。排列这个方阵共需要多少名同学?
解题分析这是一道实心方阵问题,求这个方阵里有多少名同学,就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点,共8行,就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学,就是求8个8人是多少人?
解:8×8=64(人)
答:排列这个方阵,共需要64名同学。
例2 有一堆棋子,刚好可以排成每边6只的正方形。问棋子的总数是多少?最外层有多少只棋子?
解题分析依题意可以知道:每边6只棋子的正方形,就是棋子每6只1排,一共有6排的实心方阵。根据方阵问题应用题的解题规律,求实心
方阵总数的数量关系,总人数=每边人数×每边人数,从而可以求出棋
子的总数是多少只。而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数
4,即(6-1)×4只。
解:(1)棋子的总数是多少?
6×6=36(只)
(2)最外层有多少只棋子?
(6-1)×4=20(只)
答:棋子的总数是36只,最外层有20只棋子。
例3 一堆棋子排成一个实心方阵,共有8行8列,如果去掉一行一列,要去掉多少只棋子?还剩下多少只棋子?
解题分析 排成方阵的棋子,无论排在任何地方,都既是其中一排的棋子,也是其中一行的棋子,所以,无论去掉哪一行和哪一列,总会有一只棋子被重复去掉1次,因此,要求出去掉一行一列去掉多少只棋子,就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。另外,要求出剩下多少只棋子,就要先求出棋子的总数,然后减去去掉的棋子数,就是剩下的棋子数。
解:(1)去掉多少只棋子?
8×2-1=15(只)
(2)还剩多少只棋子?
8×8-15=49(只)
答:要去掉15只棋子,还剩下49只棋子。
例4 育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列,还剩下5人,如果横竖各增加一排,排成一个稍大的实心方阵,则缺少26人。育英小学四年级有多少人?
解题分析 排成一个实心方阵队列,还剩下5人,说明是多出5人,如果横竖各增加一排后,缺少26人,说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和,那么(5+26)人相当原来方阵中两排的人数多1人,从(5+26)人中减去角上的1人,再除以2,就可求出原来方阵中一排的人数。因此,可求出原来方阵中的人数,然后加上剩下的5人,就可求出四年级的总人数是多少人。
解:(1)原来方阵中每排有多少人?
(5+26-1)÷2=15(人)
(2)四年级共有多少人?
15×15+5=230(人)
答:育英小学四年级有230人。
例5 同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人,这个方阵共有多少人?
解题分析要求出这个方阵有多少人,就要先示出这个方阵最外层每边多少。已知最内层每边有6人,又知道这个空心方阵有3层,根据方阵问题应用题特点,可以求出这个方阵最外层每边有6+(3-1)×2人,即10人。又根据方阵问题应用题数量关系:空心阵总人数=(外边人数-层数)×层数×4,即可求出这个方阵共有多少人。
解:[6+(3-1)×2-3]×3×4=84(人)
答:这个方阵共有84人。
例6 某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人,如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人。这个小学四年级的学生一共有多少人?
解题分析 排成四层空心方阵多15人,在方阵的空心部分增加一层21人,说明增加这一层的人数就是从外向内第五层的人数是(15+21)人,根据每相邻两层的人数相差8人,可分别求出每层人数,然后霜加,再加上多的15人,就可求出四年级的总人数。
解:(1)从外向内第五层有多少人?
15+21=36(人)
(2)从外向内第四层有多少人?
36+8=44(人)
(3)从外向内第三层有多少人?
44+8=52(人)
(4)从外向内第二层有多少人?
52+8=60(人)
(5)最外层有多少人?
60+8=68(人)
(6)四年级一共有多少人?
44+52+60+68+15=239(人)
答:四年级的学生一共有239人。
练习题
1.同学们排成一个方阵做早操,每行9人,这个方阵一共有多少人? 9×9=81(人)
2.同学们排队站成一个实心方阵,排成11行11列,如果去掉一行一列,要去掉多少人?11×2-1=21(人)
3.同学们排队站成一个方阵,一共站7行7列,如果要增加一行一列,需要增加多少人?(7+1)×2-1=15(人)
4.有72人排成一个三层的空心方阵,示最外层每边有多少人?外层:(72+8×3)÷3=32(人)外层每边32÷4+1=9(人)
5.设计一个团体操表演队形,想排成一个6层的中空方阵,已知参加表演的人数只有360人,问最外每边应排多少人?
[360+8×(1+2+3+4+5)]÷6÷4+1=21(人)
6. 一个正方形队列,横竖方向各减少一行,那么就减少13人,这个正方形队列原来有多少人?[(13+1)÷2]×[(13+1)
÷2]=49
7.有64名少先队员排成一个每边两层的中空方阵,现要在外面增加一层,成为一个三层中空方阵,需要增加少先队员多少
人?
(64÷4÷2+2+2-1)×4=44(人)
8.一个空心方阵的花坛共有12层花草,其中最内层每边有18盆,这个花坛共有花草多少盆?18+(12-1)×2=40(盆)
(40-12)×12×4=1344(盆)
9.四年级同学参加体操表演,先排成每边16人的实心方阵队形,后来又变成一个四层空心方阵,这个中空方阵最外层有
多少人?16×16÷4÷4+4=20(人)(20-1)×4=76(人)10.一队战士排成三层空心方阵多出16人,如果在空心部分再增加一层又差28人。这队战士共有多少人?如果排成一个实心
方阵,每边多少人?18×18-12×12+16=196(人)196=14×14 11.有16个学生站在一块正方形场地的四周,四个角上各站1人。
如果站的人数相等,那么,每边站了多少个学生?(16-4)
÷4+2=5(个)
12.一个三层的中空方阵,最内层共有80人,这个方阵共有多少人?80+80+8+80+8×2=264(人)