1999考研数学三试题及解析

而在极坐标系下,有
D1
= {(r,θ )
|
π 2
≤θ
≤
π,0
≤
r
≤
2 sin θ },
于是
∫∫ ∫ ∫ ∫ ydxdy =
D1
π π
dθ
2
2sinθ r sinθ irdr = 8
0
3
π π
sin
4
θ
dθ
2
∫ = 8 3
π π 2
⎛1− ⎜ ⎝
cos2 θ 2
⎞2 ⎟ ⎠
dθ
=
π 2
.
故
∫∫
D
ydxdy
否则将αm 用α1,α2 , αm−1 线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾.
因此正确选项为(B)
（4）设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A与B 相似， E 为 n 阶单位矩阵，则
( A) λ E − A = λ E − B.
( B) A与B有相同的特征值和特征向量.
(C ) A与B 都相似于一个对角矩阵
1
dx
x2
xydxdy +
1 x2dxi
f (x, y)dxdy
0
0
0
D
D
∫∫
D
f
(x,
y)dxdy
=
1 12
+
1 3
∫∫
D
f
(x,
y)dxdy
由上式解得
∫∫
D
f
(x,
y)dxdy
=
1 8
则
f (x, y) = xy + 1 8
（3）设向量 β 可由向量组α1,α2 , αm 线形表示，但不能有向量组(Ⅰ) α1,α2 , αm−1 线
=
4
−
π 2
.
∫∫ ydxdy
2
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
0
4
0
⎟ ⎟
=
2 A.
⎜⎝ 1 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 0 2⎟⎠
故有 An − 2 An−1 = An−2 ( A2 − 2 A) = O.
（4） 在天平上重复称量一重维 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布，
( ) { } N 0, 0.22 ，若以 X n 表示 n 称量结果的算术平均值，则为使 P X n − a < 0.1 ≥ 0.95, n 的
x
⎞′ ⎟⎠
=
x cos
x − sin x2
x
,
从而
π
π
∫π
xf ′( x) dx
=
π
∫π
xdf
(x) =
xf
(x)
π
π
− ∫π
f
( x) dx
2
2
22
π
π
=
⎛ ⎜⎝
cos
x
−
sin x
x
⎞ ⎟⎠
π
− sin x x
π
=
4 π
−1.
2
2
∑ （2）
∞ i =1
n
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞n−1 ⎟⎠
=
__________.
( D) 对于任意常数 t,tE − A与E − B 相似
【答】 (D)
【详解】 ( A) 首先贝排除，因它意味着 A = B;
【】
A与B 相似， A与B 有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故 ( B) 不成立；
A与B 不一定可以对角化，更谈不上都相似于一个对角矩阵，排除（C）
剩下（D）为正确答案.
因为 A与B 相似，所以存在 n 阶可逆矩阵 P, 使得 P −1AP = B,进而有
P −1 (tE − A) P = tE − B 可见 tE − A与E − B 相似.
⎡−1 0
（5）设随机变量
Xi
~
⎢ ⎢
1
1
⎣4 2
1⎤
1
⎥ ⎥
(i
= 1, 2),
且满足
P{X1X2
=
0}
= 1,
，则
P{X1
E ( X1n ) 2 2 E ( X2n ) = 2 2
2 2 = 0.
E ( X n1 ) E ( X n2 )
E ( X nn ) 2 2
2
二、选择题
（1） 设 f (x) 是连续奇函数, F (x) 是 f (x) 的原函数,则 (A) 当 f (x) 是奇函数时， F (x) 必为偶函数 (B) 当 f (x) 是偶函数时， F (x) 必为奇函数 (C) 当 f (x) 是周期函数时， F (x) 必为周期函数 (D) 当 f (x) 是单调增函数时， F (x) 必为单调增函数
∫∫ （2）设 f (x, y) 连续，且 f (x, y) = xy + f (u, v)dudv, 其中 D 是由 y = 0, y = x2 , x = 1 D
所围区域，则 f (x, y) 等于
(A) xy
（B） 2xy
(C) xy + 1 8
(D) xy + 1
【答】 (C)
【详解 1】 令 ∫∫ f (u, v)dudv = A
【答】 应选(A)
∫x
【详解】 f (x) 的原函数 F (x) 可以表示为 F (x) = f (t)dt + C, 于是 0
∫ ∫ −x
x
F (−x) = f (t)dt + Cu = −t f (−u)d (−u) + C.
0
0
当 f (x) 为奇函数,即 f (−u) = − f (u), 从而有
( ) ∑ ( ) ( E Y =
−1 E X X r( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
j1 j2 jn
) X njn
∑ ( ) ( ) ( ) =
( ) −1 r( j1 j2 jn ) E X1 j1 ⋅ E X 2 j2 ⋅ ⋅ E X njn
j1 j2 jn
E ( X11 ) E ( X12 ) = E ( X 21 ) E ( X 22 )
【】
f (x) = cos x2 是周期函数,但其原函数 F (x) = 1 x + 1 sin 2x 不是周期函数,可排除(C); 24
f (x) = x 在区间 (−∞, +∞) 内是单调增函数,但其原函数 F (x) = 1 x2 在区间 (−∞, +∞) 2
内非单调增加函数,可排除(D).
=
X2}
等
4⎦
于
( A)0.
(B) 1 .
4
【答】 (A)
(C) 1.
2
( D)1.
【】
【详解】首先，列出二维随机变量 ( X1, X 2 ) 的联合分布律及其边缘分布中的部分数值.
X1
X 2 －1
0
1
p⋅i
－1
a
b
c
1
4
0
d
h
f
1
2
1
g
e
k
1
4
p⋅ j
1
1
1
1
4
2
4
由于 P{X1X 2 = 0} = 1, 故 P{X1X 2 ≠ 0} = 0.
8
故 f (x, y) = xy + 1 8
∫∫ 【详解 2】 等式 f (x, y) = xy + f (u, v)dudv 两边取在区域 D 上的二重积分得: D
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ xydxdy + ∫∫ xydxdyi∫∫ f (u, v)dudvA
D
D
D
D
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ f (x, y)dxdy =
⎡ X11 X12
Y
=
⎢ ⎢
X
21
X 22
⎢
⎢ ⎣
X
n1
X n1
X1n ⎤
X
2n
⎥ ⎥
的数学期望
E
(Y
)
=
________.
⎥
X
nn
⎥ ⎦
【答】 0 【详解】根据行列式的定义，有
∑ ( ) Y =
−1 X X r( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
X njn ,
由于随机变量 Xij (i, j = 1, 2, , n; n ≥ 2) 独立同分布，因此有
=
P
⎪⎪ ⎨ ⎪
Xn − 0.2
a
<
n 2
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
2Φ
⎛ ⎜⎜⎝
n 2
⎞ ⎟⎟⎠
−
1
≥
0.95,
⎪⎩ n
⎪⎭
⎛ 即 Φ ⎜⎜⎝
n 2
⎞ ⎟⎟⎠
≥
0.975.
于是令 n ≥ 1.96, 解得 n = 16. 2
( ) （5） 设随机变量 Xij (i, j = 1, 2, , n; n ≥ 2) 独立同分布， E Xij = 2, 则行列式
因此 a = c = g = k = 0.
根据边缘分布的性质
b = 1 , h = 1 , d = 1 , f = 1 , e = 1 − (b + h) = 0.
44 4 42
可见有
P{X1 = X 2} = P{X1 = −1, X 2 = −1} + P{X1 = 0, X 2 = 0} + P{X1 = 1, X 2 = 1} = 0.