坐标系与参数方程(知识总结)
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坐标系与参数方程
【要点知识】
一、坐标系
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点(,)P x y 是平面直角坐标系xOy 中的任意一点,在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩
的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy 中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)极坐标系的概念
如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样我们就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标
设点M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 我们把有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ.
(3)极径、极角的取值范围
一般地,极径0ρ≥,极角R θ∈.
3.极坐标与直角坐标之间的互化
如图所示,设点M 是平面内任意一点,记点M 的直角坐标为(,)x y ,极坐标为(,)ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系:
(ⅰ)直角坐标化极坐标:cos x ρθ=,sin y ρθ=;
(ⅱ)极坐标化直角坐标:222x y ρ=+,tan y x
θ=(0x ≠).
【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时,大家要根据题意灵活选用.
4.几个简单曲线的极坐标方程
(1)圆的极坐标方程:圆心在(,0)C a (0a >),半径为a 的圆的极坐标方程为2cos a ρθ=;
(2)直线的极坐标方程:经过极点,从极轴到直线的角是4
π的直线l 的极坐标方程为4πθ=
和54
πθ=. 5.柱坐标系与球坐标系
(1)柱坐标系
如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz ,设点P 是空间中任意一点,它在Oxy 平面上的射影为点Q ,用(,)ρθ(0ρ≥,02θπ≤<)表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标,这时点
P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ(z R ∈)表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系;相应地,把有序数组(,,)z ρθ叫做点P 的柱坐标,记作(,,)P z ρθ,其中0ρ≥,02θπ≤<,z R ∈.
【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式:
(2)球坐标系
如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz ,设点P 是空间中任意一点,连结OP ,记OP r =,OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ,设点P 在Oxy 平面上的射影为点Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的正角为θ,这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系);相应地,把有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标,记作(,,)P r ϕθ,其中0r ≥,0ϕπ≤≤,02θπ≤<.
【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式:
cos cos
cos sin
sin
x r
y r
z r
θϕ
θϕ
θ
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函
数
()
()
x f t
y g t
=
⎧
⎨
=
⎩
①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)
P x y都在这条曲线
上,那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程,而把联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.
2.参数方程与普通方程之间的互化
曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式. 一般地,可以通过消去参数,由参数方程得到普通方程;反之,如果已知变数x,y中的一个与参数t的关系,例如()
x f t
=,则我们可以通过把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()
y g t
=,
由此得到的方程组
()
()
x f t
y g t
=
⎧
⎨
=
⎩
就是该曲线的参数方程.
【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时,必须要使x,y的取值范围保持一致.
3.几个简单曲线的参数方程
(1)圆的参数方程:圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为
cos
sin x r
y r
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
(θ为参数);
(2)椭圆的参数方程:中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程为
cos
sin x a
y b
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
(ϕ为参数);
(3)双曲线的参数方程:中心在原点O,焦点在x轴上的双曲线的参数方程为
sec tan x a y b ϕϕ
=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),这里,sec ϕ是ϕ的正割函数,并且1sec cos ϕϕ=; (4)抛物线的参数方程:以原点O 为顶点,以x 轴为对称轴,开口向右的抛物线
22y px =(0p >)(不包括原点)的参数方程为22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(α为参数); (5)直线的参数方程:过点000(,)M x y ,倾斜角为α(2π
α≠)的直线l 的参数方程
为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
(t 为参数); (6)渐开线的参数方程:(cos sin )(sin cos )
x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(ϕ为参数); (7)摆线的参数方程:(sin )(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨
=-⎩
(ϕ为参数). 如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!