高等数学(二)答案A
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高等数学二(含答案)
高等数学（二）一、选择题1函数1ln xy x-=的定义域是 （ D ） ](0,1) B (0,1)(1,4)C (0,4) D (0,1)(1,4A ⋃⋃2 设2,0,(x)sin ,0a bx x f bx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在x=0处连续，则常数a ，b 应满足的关系是 （ C ）A a<bB a>bC a=bD a ≠b3 设(sin )cos 21f x x =+ 则(sin )(cos )f x f x += （ D ） A 1 B -1 C -2 D 24 若(x)xln(2x)f = 在0x 处可导，且'00()2,()f x f x ==则 （ B ）221 B C D e 2e A e5 设(x)f 的一个原函数为xlnx ，则(x)dx xf =⎰ （ B ）22221111x (lnx)C B x (lnx)C24421111C x (lnx)CD x (lnx)C4224A ++++-+-+6 设'(x)(x 1)(2x 1),x (,)f =-+∈-∞+∞ ，则在（12，1）内，f （x ）单调（ B ） A 增加，曲线y=f （x ）为凹的 B 减少，曲线y=f （x ）为凹的 C 减少，曲线y=f （x ）为凸的 D 增加，曲线y=f （x ）为凸的 7 设(0,0)z(x y)e ,xy z y ∂=+=∂则（ C ） A -1 B 1 C 0 D 2 8 设2239k x dx =⎰ ，则k= （ 0 ）9 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ B ） A 0 B 1 C 2 D +∞ 10 {A ，B ，C 三个事件中至少有一个发生}这一事件可以用事件的关系表示为（ A ）A A ⋃B ⋃C B A ⋂B ⋃C C A ⋃B ⋂CD A ⋂B ⋂C 二 填空题11 设21(x)x f x=+ 则"(1)f =____4_____12 与曲线3235y x x =+- 相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程__y=-3x-6__ 13()sin x x dx +=⎰21cos 2x x C -+ 14 设ln ,z y x dz ==则 _y/x*dx+lnxdy_________ 15 0sin 2lim3x xx→= __2/3_______16函数z = 的定义域为__{(x,y)|x 2+y 2≤1}______ 17 设函数y=xcosx ，则y ’=_cosx-xsinx____18 设函数332,0(x),0x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则f （0）=____2__________19 曲线32113y x x =-+ 的拐点是__(1,1/3)_________20 若2n x y x e =+ 则(n)y = ___22n n x n A e + _____ 三、计算题 21 求极限02sin 2lim sin 3x x xx x→+-解：原式=00224lim lim 232x x x x xx x x→→+==---22计算lim x x →+∞22 lim limlimx x x x →+∞====解：原式 1=23 计算sin x xdx ⎰cos cos cos cosx sinx xd x x x xdx x =-=-+=-+⎰⎰解：原式24 计算4211xdx xπ++⎰442200424021=dx dx 1+x 1+x 1 =arctan ln(1x )21 =arctan ln(1)4216x x ππππππ+++++⎰⎰解：原式25 设z （x ，y ）是由方程2224x y z z ++= 所确定的隐函数，求dz222(x,y,z)x 42,2,242242224222F y z z F F Fx y z x y z F z x x x F x z z z F z x y y F y z z z z z x y dz dx dy dx dyx y z z=++-∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∴=+=+∂∂--解：设则有：26 设sin x y e x =，证明"'220y y y -+='""'sin cos sin cos cos sin 2cos 222cos 2(sin cos )2sin =0x x x x x x x xxxxy e x e xy e x e x e x e x e x y y y e x e x e x e x =+=++-=∴-+=-++解：27 （1）求曲线x y e = 及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D 的面积S （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V110011222001e e 1e =ee 222xx x xx x dx ee y e dx ππππ===-==-⎰⎰解：由题知曲线直线的交点：（1，） 则（1） （2））和（28 讨论函数21x y x=+ 的单调区间和凹凸区间，并求出极值和拐点的坐标。
2024级经管类高数(二)期末试题与解答A
2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.到两点4L-1,0）和8（2,0,-2）距离相等的点的轨迹为（C ）.C. x+y-2z-3=0；D.x+y+2z-3=0.2 .微分方程y 〃-2y+y=e'+x 的非齐次特解形式可令为（八）.A. Ax:2^+Bx+C ；B. Ae x Λ-Bx+C ；C.Ae x +x 2(Bx+C)↑D.Axe x +Bx+C.3 .函数/®y)=(4y -y2)(6x_“2)的驻点个数为(b ).Λ.9;B.5；C.3； D.1.4.设。
是My 面上以(1,1),(-1,1),为顶点的三角形区域，R 是。
中在第一象限的部分，则积分JJ(XU+COS^xsiny)db=(D).A.2∫∫cos 3xsin ydσ； C.4∫∫(x 3j+cos 3xsin y)dσ；q5 .下列级数中，绝对收敛的级数为(A∑<-ιr ,√b∙T严舄；C∙S（7）i∕;D.∑（-1）H -,-J=.n=l3n=l√11二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6 .函数/（羽丁）=@心也*2+产）_]11/2\^2^的连续域为,（工,'）（<12+'2«].7 .设级数为(。
〃一万)收敛,则Iim(〃“+∫∫2dσ)=3π.”=1 ° χ2+y 2≤∣8 .设Z=In （X+lny ）,则,包-包=0.y∂x∂y9 .交换，由，心/（无,丁）①;积分次序得，为:J ；f （x,y ）dy.A. x-y-2z-3 = 0;B. x+y-2z + 3 = 0; B. 2∫∫x 3 yJσ ；D ∖D. 0.C ).10 .投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量X 的改变率（即边际成本）为C ,（x ）=2x+40（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为幽万元.三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11 .求解微分方程孙'-y=/满意初始条件MT=1的特解.解：分别变量得一^二四（2分）y （y+i ）X两端积分得In 上=lnx+InC,即上=CX （5分）y+1y+1由HT=1，得C=；故所求通解为X =工匕或），=—匚（8分）>,+l -2-x13 .z=∕(ei,2),即可微,求自乎.X oxoy解：寺=*/一与月(4分) ∂x X ^=-e x -y f^-f; (8分)∂yX14 .设/(x,y)=xsin(x+y),求九弓弓)，&（三）•解：∕r =sin(x+j)+Xcos(x+y),f y =xcos(x+1y)(2分) f xx =2CoS(X +y)-X Sin(X+y) f yy =-xsin(x+y)几弓弓）二一2,启（多9=0（8分）12.设Z = z （x, y ）由方程/ +孙- z = 3所确定,求包∂x x=2÷√ry=2->∕e Z=Ix≈2-^y∕e y≈2-∙Je（4分）（8分）（4分） （6分） 解：令尸(x,y,z) = "+Λy -z-3,则15.求嘉级数£心"的收敛区间与和函数.w=l解：收敛半径为R=I,收敛区间为（-覃）（2分）2.=XZnX"T,令S（X）=SnyI,则（4分）/1=1 /1=1 n=l£S（X）必:=£（J。
高等数学A(二)试卷及答案
高等数学A （二）考试试卷一、 填空题（每小题5分，共25分）1. 设2u 1sin ,2xu e x y x y π-=∂∂∂则在（，）处的值为_________。
2. 改变二次积分10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I=_______________。
3. 设平面曲线Γ为下半圆周y =22()x y ds Γ+⎰=___________。
4. 若级数1n n u∞=∑的前n 项部分和是：1122(21)n S n =-+，则n u =______________。
5. 设)2,5,3(-=a ，(2,1,4)b =，(1,1,1)c =，若c b a ⊥+μλ，则λ和μ满足 。
二、 计算题（每小题10分，共70分）1. 求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分。
(10分)2. 设21()x t f x e dx -=⎰，求10()f x dx ⎰。
（10分） 3. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。
（10分）4. 计算dy xy ydx x L22+⎰，其中积分路径L 是xoy 平面上由点(2,0)A -顺次通过点(0,2)B 、(2,2)C 到点(2,4)D 的折线段。
（10分） 5. 把函数xx f 431)(+=展为1-x 的幂级数，并确定其收敛域。
6. 求点)3,2,1(-关于平面014=-++z y x 的对称点。
（10分）7. 要建造一个表面积为108平方米的长方形敞口水池，尺寸如何才能容积最大.。
（10分）三、证明题（5分）若0lim =∞→n n na ，且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛于常数A ，试证明级数∑∞=1n n a 收敛。
答案课程名称：高等数学A(二) 试卷编号：5一、填空题。
（每小题5分，共25分）1.22e π，2.101(,)y dy f x y dx ⎰⎰，3.π，4.1(21)(21)n n -+， 5. 076=+μλ二、 计算题。
2008高数工-2期末-A(工-4ye)答案
一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。
1． 对函数xy x y x f +=2),(，原点 )0,0( 【 B 】 （A ）不是驻点. （B ）是驻点却不是极值点. （C ）是极大值点. （D ）是极小值点. 2． 微分方程01=-'xy 【 D 】 （A ） 不是可分离变量的微分方程 （B ）是齐次微分方程（C ）是一阶线性齐次微分方程 （D ）是一阶线性非齐次微分方程3．级数()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n 的敛散情况是 【 C 】（A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定 4．设∑为球面2222x y z a ++=的表面,则⎰⎰∑zdS = 【 A 】（A ）0 （B ）22a π （C ） 24a π （D ） 1 5．将二次积分dx x dy I y ⎰⎰+=1311交换积分次序后得 【 B 】（A ）⎰⎰+13121x dy x dx (B) ⎰⎰+20311x dy x dx （C ） ⎰⎰+ydy x dx 03101 （D ）⎰⎰+1311xdy x dx二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线t z t y t t x 2,sin ,cos ===在点),,1,0(πP 处的切线方程为2012π-=-=-z y x ， 法平面方程为0440222=+-=-+-ππππz x z x 或.7．试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,,.8．函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ， ()=)0(5f -30 . 9．设函数(),001⎩⎨⎧≤≤--<<=x x x x f ππ)(x S 是()x f 的以2π为周期的傅立叶级数的和函数，则=-)21(S21 ，=)(πS 21+π . 10．2222=+++z y x xyz 确定了隐函数),(y x z z =，则),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分为 dy dx dz 2-=.三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11．设函数()ye x yf z ,22-=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y z ∂∂，yx z ∂∂∂2．解 ye f yf y z 2'12'+=∂∂ ()y e f y f x yx z 1211222''+''-=∂∂∂12．计算三重积分dv y xI ⎰⎰⎰Ω+=)(22，其中Ω为旋转抛物面22y x z +=与平面 1=z 所围成的区域.解： 利用柱面坐标： dv y x I ⎰⎰⎰Ω+=)(22dz d d ⎰⎰⎰=1012202ρπρρρθ ()ρρρπd 21312-=⎰ ρρρπd )(2513-=⎰6π=13．利用高斯公式计算曲面积分 ⎰⎰∑++++=,222333zy x dxdyz dzdx y dydz x I 其中∑是球面2222a z y x =++的内侧.解：将球面方程2222a z y x =++代入I ，得： ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++=dxdy z dzdx y dydz x a z y x dxdyz dzdx y dydz x I 3332223331 利用高斯公式，333,,z R y Q x P ===，设球面∑所围闭区域为Ω，()dxdydz z y x a I ⎰⎰⎰Ω++-=2223331 dr r r d d a a ϕϕθππsin 3202020⎰⎰⎰-=⎰-=πϕϕπ05sin 56d a a 5124a π-=.14．计算()(),322⎰++-=Ly dy ye x dx y xI 其中L 是由直线22=+y x 上从点()0,2A 到点()1,0B 上的一段及圆弧21y x --=上从()1,0B 到()0,1-C 的一段连接而成的有向曲线.解：补线21:,0:→-=x y CA ，++BC 弧则围成封闭曲线，其所围闭区域为D ，在其上使用格林公式，y ye x Q y x +=-=3,2P 2，2,3-=∂∂=∂∂yPx Q()()⎰++-=Ly dyye x dx y x I 322()()()()⎰⎰++--++-=++CAy BC y dy ye x dx y xdy ye x dx y x32322CAAB 2弧=dx x dxdy y P x Q D ⎰⎰⎰--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂21221335--=⎰⎰x dxdy D 4523415ππ+=-⎪⎭⎫⎝⎛+= 15． 求（1）幂级数()121121-∞=∑--n n n x n 的收敛域；（2）幂级数()121121-∞=∑--n n n x n 的和函数.解：（1）求收敛域：121211212lim()(lim -+∞→+∞→-+=n n n nn n x n n x x u x u 2x =，则该级数在()1,1-内收敛. 1=x 时，级数为()∑∞=--1121n nn ，收敛1-=x 时，级数为()∑∞=---1121n nn ，收敛，该级数的收敛域为[]1,1-. （2）求和函数 设()121121)(-∞=∑--=n n n x n x s ， 两边同时对x 求导，得()221121)1(121)(-∞=-∞=∑∑-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='n n n n n n x x n x s 211x +-=两边同时对x 积分，得 x dx x s x s xarctan 11)0()(02-=+-=-⎰由于,0)0(=s 所以[]1,1,arctan )(-∈-=x x x s 16．设函数)(x y 满足()()[]d t t y tex y x t⎰-+='01，且(),10=y ， 求)(x y .解：两边求导得()()x y xe x y x -=''，即：()()x xe x y x y =+'' 这是二阶常系数非齐次线性方程，且(),10=y ()10='y（1）先解对应的齐次方程： 特征方程为,012=+r 特征根为i r ±= 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+=（2）再求非齐次方程的一个特解：设特解为()x e B Ax y +=*，求"'**,yy ，代入方程()()x xe x y x y =+''化简得 21,21-==B A 则所求特解为x e x y ⎪⎭⎫⎝⎛-=2121*（3）求原方程的特解：原方程的通解为()x e x x C x C y Y y 121sin cos 21*-++=+= 将初始条件(),10=y ()10='y 代入得1,2321==C C 则()x e x x x y 121sin cos 23-++=四、 证明题: 本题共1题，6分. 17. 证明：()()21,21:,11ln 1ln ≤≤≤≤≥++⎰⎰y x D dxdy x y D. 证明：()()dxdy x y D⎰⎰++1ln 1ln ()()()()dxdy y x x y D ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=1ln 1ln 1ln 1ln 211⎰⎰=≥Ddxdy 其中用到了()()()()()()()()y x x y y x x y +++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++1ln 1ln 21ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 21221≥。
1314高等数学A(二)试题答案 济南大学
五、综合题（每小题10分，共20分）
2. 设平面区域D是由曲线 和直线 y 0, x 1
所围成的闭区域， 其中 ( 1) n1 x n , n n 1
的和函数.计算二重积分
是幂级数
1 x 1
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(1) n1 x n 解: y(0) 0, y ( x) , n n 1 n 1 n n 1 n 1 ( 1) x ( 1) nx y( x) ( ) n n 1 n n 1 1 n 1 ( x) 1+x n 1 x 1 x d x ln(1 x). x (1,1]. y( x) y(0) y( x) d x 0 1 x 0
(B) 必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
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全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
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去年高数A( 二)考点总结 • 全微分,复合函数求导,隐函数求导, • 连续,可导和全微分的关系,函数的极值 • 二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分, 球坐标系下的三重积分,第二类曲面积分,格林 公式,曲线积分与路径无关的充要条件 • 交错级数的莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收 敛,求幂级数的收敛半径以及和函数.收敛定理 去年高数B( 二)考点 • 函数展成幂级数,极坐标系下的二重积分.
2004-2021年专升本高数(二)考试真题及答案
2004年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题参考答案：A第2题参考答案：D第3题参考答案：D第4题第5题参考答案：C二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第6题参考答案：1第7题参考答案：0第8题参考答案：1第9题参考答案：2/x3第10题参考答案：-1第11题参考答案：0第12题参考答案：e-1第13题参考答案：1第14题参考答案：-sinx 第15题三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤.第16题第17题第18题第19题第20题第21题第22题第23题第24第25题第26题第27题第28题2005年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D第2题第3题参考答案：C 第4题参考答案：B 第5题参考答案：D 第6题参考答案：B 第7题第8题参考答案：A第9题参考答案：D第10题参考答案：B二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第11题参考答案：2第12题参考答案：e-3第13题参考答案：0第14题参考答案：4第15题参考答案：2第16题第17题参考答案：0第18题参考答案：1/2第19题参考答案：6第20题三、解答题：共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
第21题第22题第23题第24题第25题第26题第27题第28题2006年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D 第2题参考答案：B 第3题参考答案：D 第4题参考答案：A 第5题参考答案：C第6题参考答案：C 第7题参考答案：C 第8题参考答案：A 第9题参考答案：B 第10二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
高等数学(二)
《高等数学》模拟题一.单选题1.设五次方程错误!未找到引用源。
有五个不同的实根,则方程错误!未找到引用源。
最多有()个实根.A.5B.4C.3D.2[答案]:B2.函数错误!未找到引用源。
在点错误!未找到引用源。
处连续是在该点处可导的()A.必要但不充分条件B.充分但不必要条件C.充要条件D.无关条件[答案]:A3.设函数错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
在点错误!未找到引用源。
处().A.连续但不可导B.连续且错误!未找到引用源。
C.连续且错误!未找到引用源。
D.不连续[答案]:B4.设错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
=().A.3B.-3C.6D.-6[答案]:D5.已知函数错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
处A.导数错误!未找到引用源。
B.间断C.导数错误!未找到引用源。
D.连续但不可导[答案]:D6.设函数错误!未找到引用源。
可导且下列极限均存在,则不成立的是().A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
[答案]:C7.点错误!未找到引用源。
是函数错误!未找到引用源。
的().A.连续点B.第一类非可去间断点C.可去间断点D.第二类间断点[答案]:C8.设错误!未找到引用源。
,要使错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
处连续,则a=().A.0B.1C.1/3D.3[答案]:C9.错误!未找到引用源。
().A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.0D.1/2[答案]:A10.错误!未找到引用源。
().A.1/3B.-1/3C.0D.2/3[答案]:C11.错误!未找到引用源。
().A.错误!未找到引用源。
B.不存在C.1D.0[答案]:C12.如果错误!未找到引用源。
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存在,则().A.错误!未找到引用源。
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《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案
大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
2021年成人高等《高等数学(二)》(专升本)真题及答案
2021年成人高等《高等数学(二)》（专升本）真题及答案1.选择题（江南博哥）A. 0B.C. 1D. 2正确答案：D参考解析：2.选择题设y=ex+cosx，则y'=A. ex+cosxB. ex-cosxC. ex-sinxD. ex+sinx正确答案：C参考解析：3.选择题设y=xtanx，则y'=A.B.C.D.正确答案：A参考解析：4.选择题A.B.C.D.正确答案：D参考解析：5.选择题曲线y=x3+1的拐点为A. (0，0)B. (0。
1)C. (-1，0)D. (1，1)正确答案：B参考解析：的拐点为(0，1)．6.选择题设f(x)的一个原函数为cos2x，则f(x)=A. -sin2xB. sin2xC. -2sin2xD. 2sin2x正确答案：C参考解析：由题可知f(x)=(cos2x)'=-2sin2x．7.选择题A. -2B. -lC. 1D. 2正确答案：C参考解析：8.选择题A. -6ycos(x-3y2)B. -6ysin(x-3y2)C. 6ycos(x-3y2)D. 6ysin(x-3y2)正确答案：A参考解析：9.选择题A. xf”(x2+y)B. 2xf”(x2+y)C. yf”(x2+y)D. 2xyf”(x2+y)正确答案：B参考解析：10.选择题已知事件A与B互斥，且P(A)=0．5，P(B)=0．4，则P(A+B)=A. 0．4B. 0．5C. 0．7D. 0．9正确答案：D参考解析：事件A与B互斥，故P(AB)=0，因此P(A+B)=P(A)+P(B)=0．5+0．4=0．9．11.填空题正确答案：参考解析：【答案】12.填空题正确答案：参考解析：【答案】e13.填空题正确答案：参考解析：【答案】214.填空题正确答案：参考解析：【答案】o15.填空题正确答案：参考解析：【答案】16.填空题曲线y=2x3+x-1在点(0，-1)处法线的斜率为_____.正确答案：参考解析：【答案】-1y'=6x2+1，故y'(0)=1，因此曲线在点(0，-1)处的法线的斜率为-1．17.填空题正确答案：参考解析：【答案】18.填空题正确答案：参考解析：【答案】19.填空题正确答案：参考解析：【答案】20.填空题设函数f(x，y)=x+y，则f(x+y，x—y)=_____.正确答案：参考解析：【答案】2xf(x+y，x—y)=x+y+x—y=2x．21.解答题参考解析：22.解答题求函数f(x)=e-x2的单调区间和极值．参考解析：23.解答题参考解析：24.解答题参考解析：25.解答题设离散型随机变量X的概率分布为其中“为常数．(1)求a；(2)求E(X)．参考解析：(1)由概率分布的性质知a+3a+4a+2a=1，所以a=0．1．(2)E(X)=0×0．1+1×0．3+2×0．4+3×0．2 =1．7．26.解答题参考解析：27.解答题(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转-周所得旋转体的体积．参考解析：(1)(2)28.解答题求函数f(x，y)=x2+y2在条件x2+y2-xy-1=0下的最大值和最小值．参考解析：。
浙江工业大学高等数学期末05-06(二)卷A标准答案
⎨ ⎝浙江工业大学 05/06(二)高等数学 A Ⅱ考试试卷 A 标准答案一、填空题（每小题 4 分）：y ⎛ y ⎫ 1．dx ln( x + y ) + dy ， .... 2. (y + x ϕ '(x )) f '+ 2(x + y ϕ '(x )) f ' ，x + y+⎪x + y ⎭1 21e3． 0 , 4． ⎰0dy⎰e yf (x , y )dx , 5． 24ν , 6. 2 .二、选择题（每小题 4 分）： 1. D , 2. B, 3. B 、C.三、试解下列各题（每小题 7 分）：z∂z ∂2 z1. 隐函数 z = z (x ,y ) 由方程 xyz = e解：∂z = yz确定，求：∂x，∂x2∂x e z - xy∂2 z=2 y ze - 2 xy z - y z e 2 z 32 2 z∂x2(e z- xy )32.求圆柱面 x 2 + y 2 =1被平面 x + y + z = 0 截得椭圆的长半轴的长度. 解：椭圆过原点求函数u = x 2 + y 2 + z 2 在满足条件 x 2 + y 2 =1， x + y + z = 0下的最大值点令 F ( x , y , z ,Z , μ ) = x 2 + y 2 + z 2 + Z ( x + y + z ) + μ(x 2 + y2-1)⎧ F x ⎪F = 2x + Z + 2ux = 0= 2 y + Z + 2μy = 0 ⎧ 2 ⎪ x = ± 2⎪ y ⎨ F z ⎪= 2z + Z = 0 ⎪ ⇒ ⎪y = ± 2 2 ⎪ x + y + z = 0 ⎛⎪ x 2 + y 2 = 1 ⎪⎪ z = 2 ⎪ ⎩所以长半轴长度为 3y x 2 -1 45⎰ a 40 ⎰四、试解下列各题（每小题 7）：1. 计算二次积分⎰1dy ⎰ ln x dx 2 x 2ln x 解：= ⎰1 dx ⎰1 2x 2 - dy 1=⎰1ln xdx=2 ln 2 - 12. 求 ⎰⎰⎰(x 2 + y 2 )dv ，其中Ω 是由曲面4z 2 = 25( x 2 + y 2 ) 及平面 z = 5 所围成的闭区 Ω域. 解： =⎰ 5dz ⎰⎰ ( x 2 + y2)dxdyD z= = ⎰2νdz2zd 0 5r 3dr0 = 8ν3 ． 求 ：⎰⎰ xz 2dydz + (x 2y - z 3)dzdx + (2xy + y 2z )dxdy ∑， 其中 ∑ 为上半球体x 2+ y 2≤ a 2， 0 ≤ z ≤解： = ⎰⎰⎰ x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz Ω的表面外侧.2νν= ⎰d 0 ⎰ 2 d ϕ ⎰r sin ϕdr2νa 5 = 5五、（8 分）求幂级数∑ n = 0n 2 +1xn3nn !的收敛区间及和函数.解： limn →∞∞ n 2+1= 0 ,收敛半径 R == ∞ , 收敛区间为(-∞,+∞)∞n (n - 1) + n + 1⎛ x ⎫n∑ x n= ∑⎪ n = 0 3n n ! n = 0 n ! ⎝ 3 ⎭⎛ x ⎫ 2 ∞ 1 ⎛ x ⎫ n ⎛ x ⎫ ∞ 1 ⎛ x ⎫n ∞ 1 ⎛ x ⎫n⎛ x 2x⎫ x= ⎪ ∑ ⎪ + ⎪∑ ⎪ + ∑ ⎪ =+ + 1⎪e 3 ⎝ 3 ⎭n =0n !⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭n = 0 n !⎝ 3 ⎭n = 0 n !⎝3 ⎭ ⎝ 9 3 ⎭六、（8 分）设 f (x ) 是周期为2ν 的周期函数，它在[-ν ,ν ) 上的表达式为 f (x ) = x ，1．将∞ a 2 - x 2 - y 2a n +1a n0 2a 2 - x 2 f 2( x ) - y 2ba⎰ 1f (x ) 展开成傅里叶级数2． 若设该傅里叶级数的和函数为 S ( x ) ，则求 S (3ν ) ， S ( 7 2解：1. f (x ) 是周期为2ν 的奇函数, a n = 0 ，ν ) 的值.b =2 νx sin nxdx = 2 (-1) n +1(n = 1,2,3, )nν ⎰0nf (x ) = 2(sin x - 1 sin 2x + 1 sin 3x - + (-1) n +1 1sin nx + )2 3 n(-∞ < x < +∞, x ≠ ±ν , x ≠ ±3ν , )7 ν2． S (3ν ) =0， S ( 2 ν ) = - .2七、（9 分）设 y = f (x ) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b ) 是 xOy 平面上一条单调光滑曲线，将此曲线绕 x 轴 旋转一周得旋转曲面∑ .1.试证：曲面∑ 的面积计算公式 S = 2ν⎰Lyds ，其中 L 为曲线 y = （即可以用关于弧长的曲线积分计算此类曲面∑ 的面积）.f (x )(a ≤ x ≤ b ) ，2.用此公式计算曲线 y = (0 ≤ x ≤ a ) 绕 x 轴旋转一周得旋转曲面∑ 的面积.1． 证法１：面积元素dS = 2νyds ，积分区域为曲线 L ，故 S = ⎰ dS = 2ν ⎰Lyds ．L证法２：由对称性知，只须计算 z ≥ 0, y ≥ 0 的部分∑1∑1 在 xoy 面投影区域为a ≤ x ≤ b ,0 ≤ y ≤ f ( x )∑1 的方程为 z = ， dsS = ⎰⎰ ds = 4⎰⎰ ds = 4⎰b f ( x ) 1 + f '2( x )dx ⎰f ( x )dya∑∑1f 2 ( x ) - y 2= 2ν +af (x )1+ f '2 (x )dx = 2ν Lyds２． S = 2ν⎰Lyds ＝ = 2ν +0f ( x )1 + f '2( x )dx = 2ν a adx = 2νa 2 0八、（４分）设 u = u (x , y ) ， v = v ( x , y ) 具有二阶连续偏导数且使曲线积分⎰L udx + vdy 与⎰⎪ ⎪ ∂v ∂ v + = ⇒ ⎰ vdx - udy 都与路径无关，证明：函数u = u (x , y ) ， v = v ( x , y ) 分别满足方程L 1∂2u + ∂2u = ∂2v + ∂2v =∂x 2 0 ∂y 2 及 ∂x 20 ∂y 2证明： ⎰Ludx + vdy 与 ⎰vds - udy 都与路径无关1⎧ ∂u = ∂vL 1⎧ ∂ 2u =∂2 v⎪ ∂y ∂x ⎪ ∂y 2 ∂x ∂y 所以⎨ ∂v ∂u ⇒ ⎨ ∂ 2v = - ∂ 2u ⎪⎩∂y ∂x ⎪⎩ ∂y ∂x∂x 2∂ 2 v∂ 2v 又v = v ( x , y ) 具有二阶连续偏导数，所以∂y ∂x= ∂x ∂y∂2u 所以 ∂x 2 + ∂2u = ∂y 2⎧ ∂u = ∂v ⎧ ∂ 2u = ∂ 2v⎪ ∂y ∂x⎪ ∂y ∂x ∂x 2 ⎨ ⎪ = - ⎪⎩∂y ∂x ⎨ 2 ⎪ = - ⎪⎩ ∂y 2∂2 u∂x ∂y ∂2u∂ 2 uu = u (x , y ) 具有二阶连续偏导数，所以 ∂y ∂x = ∂x ∂y∂2v 所以∂x 2 ∂2v∂y2 0= - ∂u。
2022年成人高等《高等数学(二)》(专升本)真题及答案
2022年成人高等《高等数学(二)》（专升本）真题及答案1.选择题（江南博哥）设函数f(x)=sinx， g(x)=x'时，则f(g(x)（）。
A. 是奇函数但不是周期函数B. 是偶函数但不是周期函数C. 既是奇函数也是周期函数D. 既是偶函数也是周期函数正确答案：B参考解析：2.选择题（）A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：A参考解析：3.选择题设函数f(x)在x=0处连续，g(x)在x=0处不连续; 则x=0处（）A. f(x)g(x) 连续B. f(x)g(x)不连续C. f(x)+ g(x)连续D. f(x)+g(x)不连续正确答案：D参考解析：此题暂无解析4.选择题函数y= arccosx，则y'=（）A.B.C.D.正确答案：B参考解析：此题暂无解析5.选择题函数y=ln(x+e-x),则y'=（）A.B.C.D.正确答案：B参考解析：此题暂无解析6.选择题设函数y(n-2)=x2 +sinx,则y(n)=（）A. 2- sinxB. -cosxC. 2- cosxD. 2 + cosx正确答案：A参考解析：7.选择题设函数f(x)的导函数f"(x)=-x+1，则A. f(x)在(-∞,+∞)单调递增B. f(x)在(-∞,+∞)单调递减C. f(x)在( -∞,1)单调递增D. f(x) 在(1,+∞)单调递减正确答案：C参考解析：此题暂无解析8.选择题（）A. y=0B. y=1C. y=2D. y=3正确答案：C参考解析：9.选择题函数f(x)= arctanx, 则（）A. arctanx + CB. -arctanx+C'C.D.正确答案：A参考解析：此题暂无解析10.选择题设z=ex+y；则dz|(1,1)=（）A. dx+dyB. dx + edyC. edx + dyD. e2dx +e2dy正确答案：D参考解析：11.填空题_____正确答案：参考解析：【答案】-1【解析】12.填空题当x→0时，函数f(x)是x高阶无穷小量，则极限______ 正确答案：参考解析：【答案】013.填空题设函数y=3x2 +In3，则y'=正确答案：参考解析：【答案】bx14.填空题曲线y=x+在点(1,2)处的切线方程为_______正确答案：参考解析：【答案】15.填空题正确答案：参考解析：【答案】016.填空题正确答案：参考解析：【答案】17.填空题正确答案：参考解析：【答案】π/418.填空题设z=x3y+xy3，则正确答案：参考解析：【答案】3x2+3y219.填空题设z= f(u,v)的具有连续偏导数，其中u=x+y,v=xy;则正确答案：参考解析：【答案】f’(u)+yf’v20.填空题设两个随机事件A,B, P(4)=0.5，P(AB)=0.4; 计算P(B|A)= 正确答案：参考解析：【答案】0.8【解析】21.解答题求a参考解析：22.解答题参考解析：23.解答题参考解析：24.解答题参考解析：25.解答题 (本题8分)设离散型随机变量X的概率分布如下表:(1) 求x的分布函数F(x)(2) 求E(X);参考解析：E(x)=XIP(Xi)=0.926.解答题 (本题10分)设函数z=z(x,y)由方程2y2 +2xz+z2=1所确定，求参考解析：27.解答题 (本题10分)设D为曲线y=x2与直线y=0, x=2所围成的平面图形;(1) 求D所围成图形的面积。
10-11高数二(A卷)期未考答案1 北京信息科技大学
4分
7分 四．7 分*2=14 分
1、计算曲线积分 ∫
L
2 y d s ，其中 L 是抛物线 y = x 上点(0,0)与点(1,1)之间的弧.
2、 用格林公式计算 ∫ ( 2 x − y + 4 )d x + ( 5 y + 3 x − 6 )d y ， 其中 L 为三顶点分别为
L
（ 0， 0） ， （ 3， 0） ， （3，2）的三角形正向边界。
∫∫
D
∂ 2u ∂ 2u ( 2 + ) dxdy ∂x ∂y 2
v 证明：设 n 与 x 轴正方向夹角为 α ，则曲线的切向量与 x 轴正方向夹角为 π ---2 分 θ =α + 2
所以， v =
∂u ∂n
∂u ∂u ∂u ∂u cosα + sinα = sinθ − cosθ ∂y ∂x ∂y ∂x
北京信息科技大学 2010-2011学年第2学期 《高等数学》176学时课程期末考试试卷标准答案（A卷） 一.7 分*2=14 分 1. 已知函数 z = x 2 y + y 2 , 求全微分 dz 。
解 ：dz =
∂z ∂z dx + dy LLLLL (2) ∂x ∂y
= 2 xydx + (x 2 + 2 y)dy LL (7)
(
3
a,3 a,3 a
)
7分
由于问题的实质是在曲面 xyz = a 位于第一卦限内的部分上求一点，使其到原点 的距离平方为最小，而最小距离是存在的。因此应把 a 分成三个 等的正数，即 x = y = z = 3 a ，这时它们的平方和为最小。 2.设 f ( x, y) 是连续函数，其中 a, m 为常数，且 a > 0. 证明
06级 高等数学(II) (A,B)
高等数学（II ）试题（A ）一 填空 （每小题3分 共15分 ）1 曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面的方程为____。
0624=--+z y x2 设隐函数),(y x z z =是由方程2=++yze xz e 确定的，则=∂∂==0y x xz _____。
03 设1:=++∑z y x 在第一卦限部分，则⎰⎰∑=++dS z y x )(___________。
23 4 设)(x f 周期为π2，且⎩⎨⎧<≤-<≤=0,0,)(x x x e x f x ππ，)(x S 是)(x f 的Fourier 级数的和函数，则 =)0(S ______________。
215 设幂级数∑∞=1n nn x a 在2=x 处条件收敛，则幂级数∑∞=13n nnn x a 的收敛半径=R _。
6 二 选择（每小题2分 共10分 ）1 设D 是平面区域，则下面说法正确的是（ D ）A.若),(y x f 在D 上可微，则),(y x f 的一阶偏导在D 上一定连续B.若),(y x f 在D 上一阶偏导存在，则),(y x f 在D 上一定可微C.若),(y x f 在D 上一阶偏导存在，则),(y x f 在D 上一定连续D.若在D 上xy f 与yx f 均连续，则xy f yx f = 2 下列级数中绝对收敛的级数是 （ A ）A.∑∞=-12)1(n n nn B.∑∞=+1)11ln(n n C.n n n1sin )1(1∑∞=- D.∑∞=+-11)1(n nn n 3 直线过点 )3,0,0(且与直线z y x ==垂直相交，则交点的坐标是（ B ） A.)1,2,2(- B.)1,1,1( C.)2,1,1(-- D.)0,0,0( 4 方程08422=+-+x z y 表示 D 。
A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.锥面D.旋转抛物面 5 一阶微分方程0)(332=+-dy y x ydx x 的类型是（ C ）A.全微分方程B.可分离变量方程C.齐次方程D.一阶线性微分方程三（6）设)(r f u =是具有二阶连续导数的函数，222z y x r ++=，求22xu∂∂。
高等数学Ⅱ答案 同济大学第三版
所以向量n =(5, 1, 7)−(4, 0, −2)=(1, 1, 9)与n是垂直的, 即 1
b+9c=0, b=−9c , 于是 n=(0, −9c, c)=−c(0, 9, −1). 所求平面的方程为
4. 自点P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.
解在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x , y , 0)、(0, y , z )和(x , 0, z ).
00
00
0
0
在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x , 0, 0), (0, y , 0)和(0, 0, z ).
3
.
3
(5)y+z=1; 解y+z=1是平行于x轴的平面, 它在y轴、z轴上的截距均为1. (6)x−2z=0; 解x−2z=0是通过y轴的平面. (7)6x+5−z=0.
解 6x+5−z=0 是通过原点的平面. 求平面2x−2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解此平面的法线向量为n=(2, −2, 1).
0
0
0
5. 过点P (x , y , z )分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐 00 0 0
标各有什么特点？ 解在所作的平行于 z 轴的直线上, 点的坐标为(x , y , z); 在所作的平行于 xOy 面的平面上,
00
点的坐标为(x, y, z ). 0
6. 一边长为 a 的立方体放置在 xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在 x 轴和 y 轴上, 求它各顶点的坐标.
高等数学A(二)2022-2022(A)试卷及解答
高等数学A（二）2022-2022(A)试卷及解答--------------------------------------------------------------------------------------上海海事大学试卷2022—2022学年第二学期期末考试《高等数学A（二）》（A卷）（本次考试不能使用计算器）班级学号姓名总分题目得分阅卷人一二12345678910四一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分3小题,每小题4分,共12分)某y1、函数f(某,y)某2y20装订(某,y)(0,0)(某,y)(0,0)在点(0,0)处（）线------------------------------------------------------------------------------------(A)连续且可导;(B)不连续且不可导;(C)连续但不可导;(D)可导但不连续.2、函数z某2y在点（3，5）沿各方向的方向导数的最大值为（）(A)3;(B)0;(C)5;(D)23、设Ω是由3某2+y2=z,z=1－某2所围的有界闭区域，且f(某,y,z)在Ω上连续，则f(某,y,z)dv()dy1某23某2y2(A)2d某(C)12014某20f(某,y,z)dz(B)dz01某某dyzy23zy23f(某,y,z)d某111y2dy21y22d某1某23某2y2f(某,y,z)dz(D)d某121214某214某2dy3某2y21某2f(某,y,z)dz第1页共8页二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分3小题,每小题4分,共12分)1、设函数zz(某,y)由方程zez某y所确定，则dz2、微分方程yye某的通解为0,某2，已知S(某)是f(某)的以2为周期的3、设f(某)某,某022正弦级数展开式的和函数，则S9=4三计算题（必须有解题过程）（本大题分10小题，共70分）1、（本小题7分）z2z设zarcin(某0)，求，22某某y某yy2、（本小题7分）计算二重积分ID1in2(某y)d某dy,D:0某2,0y23、（本小题7分）判别下列级数的敛散性，并说明绝对收敛还是条件收敛。
1617高等数学A(二)部分试题答案 济南大学20180614
d
2 ( y)
1( y)
f ( x, y ) d x
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n 1 n 1 2 n 2n
( 1)
n 1
n 1 n
2
n
收敛, 因此
( 1)
n 1
n 1
n 绝对收敛. n 2
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故原级数收敛且绝对收敛.
5. 求幂级数
知识点:收敛半径和收敛域 解: lim u n 1 ( x) lim n u n ( x) n
1 lim sin 2 n n
1 1 lim 2 2 n n n
1 2 1 n
原级数收敛 .
1 ( 1) n1 发散 , 收敛 , n n 1 n n 1
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1 当 p 1时 ,收敛 p n n 0 当 p 1时 ,发散
三重积分计算 先一后二,先二后一
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1.
D f ( x, y ) d
d x
a b
f ( x , y ) d x d y
D
f ( r cos , r sin ) r d r d
D
2 ( x)
1 ( x )
f ( x , y ) d y d y
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三、计算题（每小题5分，共30分）
u
1. 设 z e cos v , u x + y , v xy , z z v 解: 教材P81 x v x
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《高等数学（二）》期末考试试卷标准答案A
考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟
一、选择题（单选题，每题4分，共28分）
1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1
n n u 收敛的（ B ）
A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件
C.充要条件
D. 既非充分也非必要条件
2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==n
i i n u s 1
）
A ．0lim =∞→s
n n B. s n n lim ∞→存在 C. s n n lim ∞
→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n
3、设∑∞=1n n u 与∑∞
=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是
（ C ）
A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞
=1
n n v 发散
C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散
D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞
=1n n u 收敛
4、下列级数中条件收敛的是（ B ）
A ．1)1(1+-∑∞=n n n n B. n n n 1)1(1∑∞=- C. 211)1(n n n ∑∞=- D. n n n ∑∞=-1)1(
5、幂级数∑∞
=-12)2(n n
n x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,1
6、幂级数∑∞
=1!n n
n x 的收敛半径为（ C ）
A. 0
B. 1
C. +∞
D. 3
7、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23
二、填空题（每题4分，共16分）
1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x
2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面。
。
3、二元函数229y x z --=的定义域是{}
9:),(22≤+y x y x 4、y
x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 。
5、幂级数1n
n x n ∞
=∑的收敛半径为是 1 。
三、计算题
1、求函数的一阶偏导数
（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =
223
222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye x u =∂∂
2222y x y
x y z +=∂∂ xy xe y u =∂∂
2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分
32xy x z
=∂∂ 223y x y z
=∂∂
2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x
3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，y z
∂∂
21
6(13)y z y x x -∂=+∂
)31ln()31(22x x y z y
++=∂∂
4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dx dy
0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x
2
2cos x e y y xy y
-'=-
5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值
（1）x f x 24-= y f y 24--=
（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x
（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值。
8)2,2(f =-=极大y
6、计算积分⎰⎰D
xydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成。
16
1103=
=⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy
四、应用题
1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高322
1v z =
2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数。
（7分）
3a
z y x ===。