高中数学概率与统计综合练习题(优选.)

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高中数学(统计概率)综合练习试题含解析

故选：D．
考点：频率分布直方图．
13．B
【解析】
试题分析：分层抽样为按比例抽样，则O型血抽取人数为；A型血抽取人数为；B型血抽取的人数为；AB型血抽取人数为．故本题答案选B．
考点：分层抽样
14．B
【解析】
试题分析：因为，所以＝，故选B．
A．
B．
C．
D．
2．2015年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则（）
A． B． C． D．
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两个样本的下列数字特征相同的是（）
考点：变量的相关性以及回归直线方程.
6．D
【解析】
试题分析：由二项分布概念可知得，则 = ，故正确选项为D.
考点：二项分布.
7．B
【解析】
试题分析：设中间一个长方形的面积为，则其他个小长方形面积和为，则所以，所以中间一组的频数为，故选B．
考点:1．频率分布直方图；2．总体估计．
8．B
【解析】
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的人中至少有一个同学的成绩在的概率．
25．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．

高中数学概率统计练习题

y 2015年12月31日期末复习题（二）一．选择题（共12小题）1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（）A．40B．80C．160D．3202．某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（）A．5000名学生是总体B．250名学生是总体的一个样本C．样本容量是250D．每一名学生是个体3．（2015?抚顺模拟）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15B．18C．21D．224．一个频率分布表（样本容量为30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（）A．15B．16C．17D．195．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A．11B．11.5C．12D．12.56．某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系7．下列事件是随机事件的是（）（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．（2）异性电荷相互吸引（3）在标准大气压下，水在1℃时结冰（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）8．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球9．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2011次，那么第2010次出现正面朝上的概率是（）A．B．C．D．10．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42B．0.28C．0.3D．0.711．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．112．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率．14．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为。

高三数学练习题：概率与统计专项训练

高三数学练习题：概率与统计专项训练问题1：某班级中有30名男生和20名女生，班级展示某项艺术作品的学生是随机选取的。

如果从班级中随机抽取一个学生，那么他/她是男生的概率是多少？问题2：一个小组中有5名男学生和6名女学生，从中随机选择两名学生参加一个活动。

计算以下概率：a) 两名所选学生都是男学生的概率；b) 两名所选学生都是女学生的概率；c) 两名所选学生中，一名是男学生，一名是女学生的概率。

问题3：一位学生参加一场4道选择题的考试。

每道题目有4个选项，其中只有一个是正确的。

如果这位学生是随机作答问题，计算以下概率：a) 回答所有题目都正确的概率；b) 回答至少一道题目正确的概率；c) 回答所有题目都错误的概率。

问题4：一位装有10个红球和20个蓝球的罐子中随机抽取5个球。

计算以下概率：a) 抽取的5个球中有3个红球和2个蓝球的概率；b) 抽取的5个球中至少有3个红球的概率；c) 抽取的5个球中没有红球的概率。

问题5：一款手机有4种颜色：黑色、白色、金色和红色。

某家电商销售这款手机，其中40%的手机是黑色的，30%是白色的，20%是金色的，余下的是红色的。

如果从中随机选择一部手机，计算以下概率：a) 手机是黑色或白色的概率；b) 手机不是红色的概率。

问题6：一组学生参加了一场数学竞赛，其中50%的学生是男生，50%是女生。

这些学生中有60%是九年级的学生，40%是十年级的学生。

如果从中随机选择一名学生，计算以下概率：a) 学生是男生且是九年级的概率；b) 学生是女生或是十年级的概率。

问题7：一组数据包含10个互不相等的整数。

如果从中随机选择两个整数，计算以下概率：a) 两个整数之和是偶数的概率；b) 两个整数之差是正数的概率；c) 两个整数之积是负数的概率。

这些练习题旨在巩固概率与统计的相关概念，并提供实际问题的应用。

通过解答这些问题，学生可以加深对概率与统计的理解，同时提高解决实际问题的能力。

高中数学概率与统计概率分布练习题及答案

高中数学概率与统计概率分布练习题及答案1. 离散型随机变量问题1一次买彩票，抽奖号码是从1到30的整数，每个号码中奖的概率是相等的。

求以下事件的概率：a) 中奖号码小于等于10b) 中奖号码是偶数c) 中奖号码是质数解答1a) 中奖号码小于等于10的概率为10/30，即1/3。

b) 中奖号码是偶数的概率为15/30，即1/2。

c) 中奖号码是质数的概率为8/30，即4/15。

问题2某商品的销售量每天可以是0、1、2或3箱，各箱销售的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2。

求销售量的概率分布表。

解答2销售量的概率分布表如下：销售量 | 0 | 1 | 2 | 3--- | --- | --- | --- | ---概率 | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.22. 连续型随机变量问题3某地每天的气温符合正态分布，均值为20摄氏度，标准差为3摄氏度。

求以下事件的概率：a) 气温大于等于15摄氏度b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间解答3a) 气温大于等于15摄氏度的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.8413。

b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.6827。

问题4某工厂生产的铆钉的长度符合正态分布，均值为5毫米，标准差为0.2毫米。

若从工厂中随机抽取一只铆钉，求其长度在5.2毫米到5.5毫米之间的概率。

解答4将问题转化为标准正态分布，得到长度在1到2.5之间的概率约为0.3944。

以上是高中数学概率与统计概率分布的练习题及答案。

高二统计概率练习题

高二统计概率练习题统计学和概率论是数学中的重要分支，也是我们生活中不可或缺的一部分。

在高中阶段，学生们开始接触并学习统计学和概率论的基础知识，这为他们打下了日后深入学习这一领域的基础。

本文将为高二学生提供一些统计学和概率论的练习题，帮助他们巩固知识并提升解题能力。

1. 某班级共有40名学生，其中18人擅长数学，25人擅长英语。

已知擅长数学和英语的学生共有12人，求以下情况的概率：a) 从该班级随机选取一名学生，他既不擅长数学也不擅长英语；b) 从该班级随机选取一名学生，他擅长数学或擅长英语；c) 从该班级随机选取一名学生，他擅长数学但不擅长英语。

解答：a) 由于既不擅长数学也不擅长英语的学生共有40-12=28人，所以该概率为28/40=0.7；b) 由于擅长数学或擅长英语的学生共有18+25-12=31人，所以该概率为31/40=0.775；c) 由于既擅长数学又不擅长英语的学生共有18-12=6人，所以该概率为6/40=0.15。

2. 在一次抽奖活动中，参与者共购买了500张彩票，其中5张中奖。

求以下情况的概率：a) 从这500张彩票中随机选取1张，它是中奖彩票；b) 从这500张彩票中随机选取2张，它们都是中奖彩票；c) 从这500张彩票中随机选取1张，它是非中奖彩票。

解答：a) 由于中奖彩票共有5张，所以该概率为5/500=0.01；b) 第一次选中中奖彩票的概率为5/500=0.01，第二次选中中奖彩票的概率为4/499≈0.0080，所以两次都选中中奖彩票的概率为0.01×0.0080≈0.00008；c) 由于非中奖彩票共有500-5=495张，所以该概率为495/500=0.99。

3. 甲、乙、丙三个学生参加一次数学竞赛，已知他们获奖的概率分别为0.4、0.3和0.2。

求以下情况的概率：a) 至少有一个学生获奖；b) 恰好有两个学生获奖；c) 最多有一个学生获奖。

解答：a) 至少有一个学生获奖的概率等于1减去没有学生获奖的概率，即1-（1-0.4）×（1-0.3）×（1-0.2）≈0.624；b) 恰好有两个学生获奖的概率等于甲、乙获奖，丙不获奖的概率加上甲、丙获奖，乙不获奖的概率，再加上乙、丙获奖，甲不获奖的概率，即0.4×0.7×0.8+0.3×0.6×0.8+0.6×0.7×0.8≈0.528；c) 最多有一个学生获奖的概率等于没有学生获奖加上只有一个学生获奖的概率，即（1-0.4）×（1-0.3）×（1-0.2）+0.4×（1-0.3）×（1-0.2）+（1-0.4）×0.3×（1-0.2）≈0.648。

高中数学：概率统计专题

高三文科数学：概率与统计专题一、选择题：1．为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量单位：kg分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1,x2,…,x n的平均数B．x1,x2,…,x n的标准差C．x1,x2,…,x n的最大值D．x1,x2,…,x n的中位数2．有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．13B．12C．23D．343、在一组样本数据x1,y1,x2,y2,…,x n,y n n≥2,x1,x2,…,x n不全相等的散点图中,若所有样本点x i,y i i=1,2,…,n都在直线y=错误!x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为A－1 B0 C错误! D14.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为A103 B15C110D1205．如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,学科&网则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π46.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是二、填空题：7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_______;8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____.9．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,制作了对照表：由表中数据得回归直线方程错误!＝错误!x ＋错误!中的错误!＝－2,预测当气温为－4 ℃时,用电量约为________度．三、解答题10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售;如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理;Ⅰ若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y 单位：元关于当天需求量n 单位：枝,n ∈N 的函数解析式;Ⅱ花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位：枝,整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数102016161513101假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润单位：元的平均数；气温℃ 18 13 10 －1 用电量度243438642若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率;11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表：质量指标值75,85 85,95 95,105 105,115 115,125 分组频数 6 26 38 22 8 I在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：II估计这种产品质量指标值的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；III根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定12. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y单位：千元的数据如下表：年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y1求y关于t的线性回归方程；2利用1中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：错误!＝错误!,错误!＝错误!－错误!错误!.13．某省会城市地铁将于2017年6月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一次调查,随机抽查了50人,他们的收入与态度如下：1若以区间的中点值为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少结果保留2位小数；2由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．附：K2＝错误!14．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸单位：cm ．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s==≈,18.439≈,161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅．1求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．2一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．ⅰ从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查ⅱ在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．精确到附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑,0.09≈．。

人教B版高中数学选择性必修第二册第四章概率与统计综合测试卷

第四章概率与统计综合测试卷时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知4个红球，2个白球，每次随机取1个球，不放回地取两次．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为()A ．35B ．25C ．23D ．3102．两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，下列说法错误的是()A ．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好B ．相关系数|r|越接近1，变量x ，y 相关性越强C ．相关指数R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D ．若x 表示女大学生的身高，y 表示体重，则R 2≈0.65表示女大学生的身高解释了65%的体重变化3．已知随机变量X 服从二项分布X ～B(6，13)，则P(X ＝2)＝()A ．1316B ．4243C ．13243D ．802434．甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别为14，23，若甲、乙分别去完成这项任务且相互之间不受影响，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为()A ．112B ．16C ．14D ．235．一名小学生的年龄和身高的数据如下表．由散点图可知，身高y(单位：cm )与年龄x(单位：岁)之间的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋65，预测该学生11岁时的身高约为()年龄x 6789身高y118126136144A .163cmB ．161.8cmC ．152cmD ．158cm6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．2386B ．2718C ．3413D ．47727．下列说法中，正确命题的序号是()①已知随机变量ξ服从正态分布N(2，δ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(2<ξ<4)＝0.34；②以模型y ＝c e kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0.3x ＋4，则c ，k 的值分别是e 4和0.3；③若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 独立；④若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为16.A ．①④B ．③④C ．②③D ．①②8．袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()①取出的最大号码X 服从超几何分布；②取出的黑球个数Y 服从超几何分布；③取出2个白球的概率为114；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114.A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．设A ，B 是两个概率大于0的随机事件，则下列说法正确的是()A ．若事件A 和B 是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1B ．若事件A 和B 是互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1C ．若事件A 和B 相互独立，则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)D ．若事件A 和B 相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)10．若随机变量X 服从两点分布，其中P(X ＝1)＝12，E(X)、D(X)分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是()A ．P(X ＝0)＝12B ．E(X)＝12C ．E(3X)＝12D ．D(2X)＝1411．下列四个表述中，正确的是()A ．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心(x －，y －)B ．在回归直线方程y ^＝0.1x ＋10中，当变量x 每增加1个单位时，变量y ^约增加0.1个单位C ．具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r|越接近于0，x ，y 之间的线性相关程度越高D .在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到χ2的观测值k ，若k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越小12．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的火箭发射升空，这是一件让全国人民关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视、报纸了解有关新闻，某组织随机选取10人调查民众了解这一新闻的方式，其中喜欢用电视、手机、报纸了解这一新闻的分别有3人、6人、1人，现随机选出2人，则()A ．有1人喜欢用电视的方式的概率是715B ．有2人喜欢用电视的方式的概率是415C .至多有1人喜欢用电视的方式的概率是1415D ．至少有1人喜欢用手机的方式的概率是815三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个箱子中有6个大小相同的产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X ，则X 的均值E(X)＝________．14．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．记事件A 为“抽取到的两张卡片上的数字奇偶性相同”，事件B 为“两张卡片上的数字均为偶数”，则P(B|A)＝________．15．如下表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝0.7x ^＋0.3，那么表中m 的值为________．x 3456y2.9m44.116.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X 表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)某校举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的学生中抽出60人，对这60名学生的成绩(满分100分)进行统计，并按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数；(2)若规定80分以上(含80分)为优秀，用频率估计概率，从参赛学生中随机抽取3人，记其中成绩优秀的人数为ξ，求ξ的分布列．18．(12分)某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动．活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率；(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元．若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由．19．(12分)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分，每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.(1)若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；(2)若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望；(3)小明应从A 类试题中抽取几道试题作答才能使自己得分的数学期望更大？请从得分的数学期望角度给出理由．20．(12分)某市甲乙两所高中学校高二年级联合举办安全知识竞赛，共两轮，每轮满分为80分．参赛选手为这两所学校高二学生随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是甲校和乙校参赛选手第一轮竞赛成绩的频率分布直方图．(1)若规定成绩在66分以上的学生为优秀，试根据第一轮竞赛的成绩分别估计甲乙这两所学校高二学生的优秀率；(2)已知第二轮竞赛成绩不低于60分的学生中，甲校增加了15人，乙校不变．根据第二轮竞赛的成绩完成下面2×2列联表．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析甲乙两个学校高二学生这次竞赛的成绩是否有差异．成绩低于60分人数成绩不低于60分人数合计甲校乙校合计附表及公式：α＝P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d.21．(12分)数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017～2021年中国在线直播用户规模(单位：亿人)，其中2017年～2021年对应的代码依次为1～5.年份代码x 12345市场规模y3.984.565.045.866.36参考数据：y －＝5.16，v －＝1.68，错误!i y i ＝45.10，其中v i ＝x i .参考公式：对于一组数据(v 1，y 1)，(v 2，y 2)，…，(v n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^v ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝错误!，a ^＝y －－b ^v －.(1)由上表数据可知，可用函数模型y ^＝b ^x ＋a ^拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x的回归方程(a ^，b ^的值精确到0.01)；(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p ，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X ，若P(X ＝3)＝P(X ＝4)，求X 的分布列与期望．22．(12分)2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为16，23，m ，其中0<m<1.(1)若m ＝23，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m 的取值范围．参考答案与解析1．答案：B解析：第一次取到红球后还剩3个红球，2个白球，故第二次取到白球的概率为25.故选B.2．答案：A解析：对于A ：回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数R 2或相关系数|r |判定，故不正确；对于B ：根据相关系数|r |越接近1，变量相关性越强，故正确；对于C ：相关指数R 2越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；对于D ：根据R 2的实际意义可得，R 2≈0.65表示女大学生的身高解释了65%的体重变化，故正确．故选A.3．答案：D解析：P (X ＝2)＝C 26(13)2(1－13)4＝80243.故选D.4．答案：A解析：依题意，甲、乙分别去完成这项任务相互独立，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为14×(1－23)＝112.故选A.5．答案：B解析：由表中数据可知：x －＝6＋7＋8＋94＝7.5，y －＝118＋126＋136＋1444＝131，因为回归方程y ^＝b ^x ＋65过样本中心(x －，y －)，所以131＝b ^×7.5＋65解得b ^＝8.8，将x ＝11代入y ^＝8.8x ＋65得y ^＝161.8.故选B.6．答案：C解析：因为曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线，所以根据正态分布的性质，P (0<x <1)＝12P (－1<x <1)＝0.3413，所以落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.7．答案：D解析：对于①，因为ξ～N (2，δ2)，P (ξ<4)＝0.84，所以P (2<ξ<4)＝0.84－0.5＝0.34，故①正确；对于②，y ＝c e kx 两边同时取对数可得ln y ＝ln c ＋kx ，则z ＝ln c ＋kx ，又因为z ^＝0.3x ＋4，所以k ＝0.3，ln c ＝4，所以k ＝0.3，c ＝e 4，故②正确；对于③，若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 不会同时发生，当事件A 与事件B 独立，两事件可以同时发生，故③错误；若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22×2＝8，故④错误．所以正确的为①②.故选D.8．答案：B解析：对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数Y 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为C 26C 24C 410＝37，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为C 46C 410＝114，故④正确．故选B.9．答案：AD解析：若A ，B 是对立事件，则事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，所以A 选项正确；若事件A ，B 互斥，如：投掷一枚均匀的骰子，设A ＝{向上的点数是1}，B ＝{向上的点数是2}，则A ，B 互斥，P (A )＋P (B )<1，所以B 选项错误；只有当A 和B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，所以C 选项错误；若A 和B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，所以D 选项正确．故选AD.10．答案：AB解析：根据随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝1)＝12，∴P (X ＝0)＝12，故A 正确；E (X )＝0×12＋1×12＝12，故B 正确；则E (3X )＝3E (X )＝3×12＝32，故C 错误；D (X )＝(0－12)2×12＋(1－12)2×12＝14，则D (2X )＝4D (X )＝4×14＝1，故D 错误．故选AB.11．答案：AB解析：A ：由样本中心一定在回归直线上，正确；B ：由y ^＝0.1x ＋10，x 每增加1个单位则y ^约增加0.1个单位，正确；C ：两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r |越接近于1，x ，y 之间的线性相关程度越高，错误；D ：观测值k 越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，错误．故选AB.12．答案：AC解析：设选出的2人中喜欢用电视的方式的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 07C 210＝115，A 正确，B 错误．这2人中至多有1人喜欢用电视的方式的概率是P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1415，C 正确．这2人中至少有1人喜欢用手机的方式的概率为C 16C 14C 210＋C 26C 04C 210＝1315，D 错误．故选AC.13．答案：2解析：任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X ，则X 的可能取值为1，2，3则P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝1220＝35，P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝420＝15，则E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.14．答案：38解析：P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝C 24C 24＋C 25＝66＋10＝38.15．答案：2.8解析：由已知中的数据可得：x －＝4.5，y －＝(2.9＋m ＋4＋4.1)÷4＝m ＋114，∵数据中心点(x －，y －)一定在回归直线上，∴11＋m 4＝0.7×4.5＋0.3，解得m ＝2.8.16．答案：50解析：设A ＝“向右下落”，则A －＝“向左下落”，且P (A )＝P (A －)＝12，设Y ＝X －1，∵小球下落过程中共碰撞5次，∴Y ～B (5，12)，∴P (Y ＝k )＝P (X ＝k ＋1)＝C k 5(12)k (1－12)5－k ＝C k 5(12)5，(k ＝0，1，2，3，4，5)，∴P (X ＝3)＝C 25(12)5＝516，故投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有160×516＝50粒．17．解析：(1)设样本数据的中位数为a ，由0.05＋0.15＋0.2<0.5，0.05＋0.15＋0.2＋0.3>0.5，知a ∈(70，80).所以0.05＋0.15＋0.2＋(a －70)×0.03＝0.5，解得a ＝2203，故参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为2203.(2)由题意，知样本中80分以上(含80分)的频率为310，则从参赛学生中随机抽取1名学生，他的成绩是优秀的概率约为310，所以ξ～B (3，310).所以P (ξ＝0)＝(710)3＝3431000，P (ξ＝1)＝C 13×310×(710)2＝4411000，P (ξ＝2)＝C 23×(310)2×710＝1891000，P (ξ＝3)＝(310)3＝271000.所以ξ的分布列为ξ0123P 34310004411000189100027100018.解析：(1)记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件A ，则P (A )＝C 33C 39＝184.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是184.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，10，20，则P (X ＝20)＝C 33＋C 33＋C 33C 39＝128，P (X ＝10)＝C 13C 13C 13C 39＝928，P (X ＝0)＝1－928－128＝914.所以X 的分布列为X 01020P 914928128E (X )＝0×914＋10×928＋20×128＝5514.(3)记随机变量Y 为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y ＝X －5，所以E (Y )＝E (X )－5＝－1514<0，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动．19．解析：(1)小明仅答对1题的概率P ＝710×(35)2＋310·C 12·25·35＝99250.(2)X 可能的取值为0，10，20，30，P (X ＝0)＝C 33C 310＝1120，P (X ＝10)＝C 17C 23C 310＝740，P (X ＝20)＝C 27C 13C 310＝2140，P (X ＝30)＝C 37C 310＝724，所以X 的分布列为X0102030P 11207402140724所以E (X )＝0×1120＋10×740＋20×2140＋30×724＝21.(3)设小明从两类试题中分别抽取n 1，n 2道试题，回答正确的题数分别为x 1，x 2，两类试题总得分为y ，∵x 1服从超几何分布，x 2服从二项分布，∴E (x 1)＝n 1×710＝0.7n 1，E (x 2)＝n 2×25＝0.4n 2，由n 1＋n 2＝3，∴E (y )＝10E (x 1)＋20E (x 2)＝10×0.7n 1＋20×0.4n 2＝10×0.7n 1＋20×0.4(3－n 1)＝24－n 1.∵n 1＝0，1，2，3，∴当n 1＝0时E (y )max ＝24.即小明全部回答B 类试题时，得分的期望值最大为24.20．解析：(1)根据频率分布直方图，甲校高二学生的优秀率为0.01×10×70－6670－60＋0.01×10＝0.14；乙校高二学生的优秀率为0.035×10×70－6670－60＋0.025×10＝0.39.(2)第一轮竞赛中成绩不低于60分的学生，甲校有100×0.01×20＝20人，乙校有：100×(0.035×10＋0.025×10)＝60人；则第二轮竞赛中成绩不低于60分的学生，甲校有35人，乙校有60人；故2×2列联表如下所示：成绩低于60分人数成绩不低于60分人数合计甲校6535100乙校4060100合计10595200故可得χ2＝200（65×60－35×40）2105×95×100×100＝5000399≈12.531>10.828，故在小概率值α＝0.001的独立性检验下，甲乙两个学校高二学生这次竞赛的成绩有差异．21．解析：(1)设v ＝x ，则y ^＝b ^v ＋a ^，因为y －＝5.16，v －＝1.68，错误!2i ＝错误!i＝15，所以b ^＝错误!＝45.10－5×1.68×5.1615－5×1.682＝1.7560.888≈1.98.把(1.68，5.16)代入y ^＝b ^v ＋a ^，得a ^＝5.16－1.98×1.68≈1.83.即y 关于x 的回归方程为y ^＝1.98x ＋1.83.(2)由题意知X ～B(4，p)，P(X ＝3)＝C 34p 3(1－p)＝4p 3(1－p)，P(X ＝4)＝C 44p 4＝p 4，由4p 3(1－p)＝p 4得p ＝45，所以X 的取值依次为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝C 04(1－45)4＝1625，P(X ＝1)＝C 14·45·(1－45)3＝16625，P(X ＝2)＝C 24(45)2(1－45)2＝96625，P(X ＝3)＝C 34(45)3(1－45)＝256625，P(X ＝4)＝C 44(45)4＝256625，所以X 的分布列为X01234P 16251662596625256625256625E(X)＝4×45＝165.22．解析：(1)设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A ，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B ，根据题意可得P(A)＝C 13(12)1(12)2＝38，P(B)＝16×(13)2＋56×23×13×2＝2154＝718.(2)设该考生报考甲大学通过的科目数为X ，报考乙大学通过的科目数为Y ，根据题意可知，X ～B(3，12)，所以E(X)＝3×12＝32，P(Y ＝0)＝56×13(1－m)＝518(1－m)，P(Y ＝1)＝16×13(1－m)＋56×23(1－m)＋56×13m ＝1118－13m ，P(Y ＝2)＝16×23(1－m)＋16×13m ＋56×23m ＝19＋12m ，P(Y ＝3)＝16×23m ＝19m.则随机变量Y 的分布列为Y0123P 518(1－m)1118－13m 19＋12m 19m E(Y)＝1118－13m ＋29＋m ＋13m ＝56＋m ，若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有E(Y)>E(X)，所以56＋m>32，又因为0<m<1，所以23<m<1，所以m 的取值范围是(23，1).。

高中数学概率与统计测试题

概率与统计1.如果一个整数为偶数的概率为0.6，且a,b,c 均为整数，求 (1)a+b 为偶数的概率； (2)a+b+c 为偶数的概率。

2.从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53，求(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。

3.袋中有6个白球，4个红球，甲首先从中取出3个球，乙再从余下的7个球中取出4个球，凡取得红球多者获胜。

试求 (1)甲获胜的概率； (2)甲，乙成平局的概率。

4.箱子中放着3个1元硬币，3个5角硬币，4个1角硬币，从中任取3个，求总钱数超过1元8角的概率。

5.有10张卡片，其号码分别位1，2，3…，10，从中任取3张。

(1)求恰有1张的号码为3的倍数的概率；(2)记号码为3的倍数的卡片张数为ξ，求ξ的数学期望。

6.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是21，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率分别为3231,；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为5253,，记第n(n ∈N,n ≥1)次按下后，出现红球的概率为n P (1)求2P 的值；(2)当n ∈N,n ≥2时，求用1 n P 表示n P 的表达式； (3)求n P 关于n 的表达式。

7.有甲、乙两个盒子,甲盒子中有8张卡片,其中两张写有数字0,三张写有数字1，三张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中三张写有数字0，两张写有数字1，三张写有数字2， (1)如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？(2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望。

8. 甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有1个白球，3个黑球，2个红球且只有颜色不同的6个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取 (1)求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率； (2)求甲获胜的概率。

人教版高中数学概率与统计专项练习题(含答案)

人教版高中数学概率与统计专项练习题（含答案）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共8题，每题5分，共40分)1．已知直线x +y +k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,O 是坐标原点,且有|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则k 的取值范围是 A.(√3,+∞)B.[√2,+∞)C.[√2,2√2)D.[√3,2√2)2．已知函数f (x )=(2a -1)x -12cos 2x -a (sin x +cos x )在[0,π2]上单调递增,则实数a 的取值范围为A.(-∞,13] B.[13,1] C.[0,+∞) D.[1,+∞)3．已知{a n }是等比数列,数列{b n }满足b n =log 2a n ,n ∈N *,且b 2+b 4=4,则a 3的值为A.1B.2C.4D.164．已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,虚轴的上端点为B ,点P ,Q 在双曲线上,且点M (-2,1)为线段PQ 的中点,PQ ∥BF ,双曲线的离心率为e ,则e 2=A.√2+12B.√3+12C.√2+22D.√5+125．双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2-2x +15=0相切,则双曲线C 的离心率为A.√52B.√2C.√5D.√1726．已知函数f (x )=-x 2+a2,g (x )=x 2e x -a 2,若对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),则实数a 的取值范围是A.[14,e] B.(1+1e ,e]C.(14+1e ,e] D.[1,e]7．已知函数f (x )=(x 2-2x )sin(x -1)+x +1在[-1,3]上的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =A.4B.2C.1D.08．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共6题，每题5分，共30分)9．(2x +x-1)5的展开式中常数项是 .10．已知函数f (x )=3sin(x -π3),若f (x 1)-f (x 2)=6,则f (x 1-x 2)的值为 .11．已知不等式ax 2+bx +c ≥0(a ≠0,a <b )对一切实数x 恒成立,当实数a ,b ,c 变化时,a+b+c b-a的最小值为 .12．已知数列{a n }的首项a 1=1,当n ≥2时,满足a n =a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1,则通项a n = .13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 7=S 11,且a 1>0,则S n 最大时n 的值是 .14．(x 2+3x +2)5的展开式中含x 项的系数是 .三、解答题(共6题，共80分)15．设椭圆C :a 2+b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆的上顶点为点B ,点A 为椭圆C 上一点,且3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0.(1)求椭圆C 的离心率;(2)若b =1,过点F 2的直线交椭圆C 于M ,N 两点,求线段MN 的中点P 的轨迹方程.16．设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).17．已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=4√3,A (√3,-√132)是椭圆上一点.(1)求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值;(2)若T 为椭圆C 上异于顶点的任一点,M ,N 分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM 与y 轴交于点P ,直线TN 与x 轴交于点Q ,求证:|PN |·|QM |为定值.18．11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P (X =2);(2)求事件“X =4且甲获胜”的概率.19．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C上异于长轴端点的动点,∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M .当P 在x 轴上的射影为F 2时,M 恰为OF 2的中点.(1)求C 的方程;(2)过点F2引PF2的垂线交直线l:x=2于点Q,试判断除点P外,直线PQ与C是否有其他公共点?说明理由.20．如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD.(1)证明: BC⊥PB;(2)若PA⊥PD,PB=AB,求二面角A-PB-C的余弦值.参考答案1.C【解析】设AB 的中点为D ,则OD ⊥AB ,因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2√3|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤12|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.因为|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4,所以|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥1,因为直线x +y +k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,所以|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4,所以1≤|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4,所以1≤(√2)2<4,因为k >0,所以√2≤k <2√2,所以k 的取值范围是[√2,2√2).【备注】无2.D【解析】本题主要考查函数的单调性与导数、不等式恒成立问题、三角函数的值域,以函数的单调性为载体,借助导数及三角函数,考查化归与转化能力、运算求解能力.因为函数f (x )在[0,π2]上单调递增,所以f '(x )=2a -1+sin 2x -a cos x +a sin x ≥0在[0,π2]上恒成立,即a ≥1-sin2x 2+sinx-cosx在[0,π2]上恒成立.设g (x )=1-sin2x2+sinx-cosx,x ∈[0,π2],则g (x )=(sinx-cosx)22+sinx-cosx ,设sin x -cos x =t ,则y =t 22+t =(t+2)2-4(t+2)+4t+2=t +2+4t+2-4,因为t =√2sin(x -π4),x ∈[0,π2],所以-1≤t ≤1,1≤t +2≤3,所以0≤y ≤1,所以a ≥1,故选D.【备注】【画龙点睛】分离参数是避免分类讨论的主要方法,换元法是化繁为简的主要方法. 3.C【解析】∵{a n }为等比数列,∴{b n }为等差数列,∴b 3=2,log 2a 3=2,∴a 3=4.故选C. 【备注】无 4.A【解析】解法一由题意知F (c ,0),B (0,b ),则k PQ =k BF =-bc .设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则{x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b 2=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).因为线段PQ 的中点为M (-2,1),所以x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,又k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=-b c ,所以-bc =-4b 22a 2,整理得a 2=2bc ,所以a 4=4b 2c 2=4c 2(c 2-a 2) ,即4e 4-4e 2-1=0,得e 2=√2+12,故选A.解法二由题意知F (c ,0),B (0,b ),则k BF =-bc .设直线PQ 的方程为y -1=k (x +2),即y =kx +2k +1,代入双曲线方程,得(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2k (2k +1)x -a 2(2k +1)2-a 2b 2=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4,所以2a 2k(2k+1)b 2-a 2k 2=-4.又k =k BF =-b c,所以2a 2·(-b c)[2·(-b c)+1]=-4b 2+4a 2(-b c )2,整理得a 2=2bc ,所以c 2-b 2-2bc =0,即(c b )2-2cb -1=0,得cb=√2+1,则e 2=c 2a 2=c 2c 2-b 2=(c b )2(cb)2-1=√2+1)2(√2+1)2-1=√2+12,故选A.【备注】无 5.C【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维,数学探索.不妨取双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =ba x ,即bx -ay =0,化圆x 2+y 2-2x +15=0的方程为标准方程,得(x -1)2+y 2=45,则圆心坐标为(1,0),半径为2√55.由题意可得√a 2+b2=2√55,(直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径)即b 2a 2+b2=45,即c 2-a 2c 2=45,所以c 2=5a 2,(关键点拨:求双曲线的离心率的关键是求出关于a ,c 的关系式)所以双曲线C 的离心率e =ca =√5,故选C.【备注】无 6.B【解析】本题考查函数的值域、单调性和图象等,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.由对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),可得函数f (x )在[-12,1]上的值域是g (x )在[-1,1]上的值域的某个子集的子集,g (x )值域的这个子集应具备这样的条件,即集合内的任何一个函数值,都对应函数g (x )在[-1,1]上唯一一个自变量的值,再数形结合,即可求解.当x ∈[-12,1]时,f (x )=-x 2+a2的值域是[a 2-1,a2],g'(x )=2x e x +x 2e x =x (x +2)e x ,则g (x )在(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,g (-1)=1e −a2,g (0)=-a 2,g (1)=e-a 2,若对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),则{a 2-1>1e -a2,a 2≤e −a 2,所以1+1e <a ≤e,故选B.【备注】【解题关键】由对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,正确得到函数f (x )和g (x )值域之间的关系是解决本题的关键. 【易错警示】理解存在唯一的x 2∈[-1,1]和存在x 2∈[-1,1]的不同. 7.A【解析】本题主要考查函数的性质.注意到f (x )=[(x -1)2-1]sin(x -1)+x +1,可令t =x -1,g (t )=(t 2-1)sin t +t ,则y =f (x )=g (t )+2,t ∈[-2,2].显然M =g (t )max +2,m =g (t )min +2.又g (t )为奇函数,则g (t )max +g (t )min =0,所以M +m =4,故选A.【备注】无 8.C【解析】本题主要考查韦恩图的应用与概率问题,考查考生的阅读理解能力,考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下:所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7.【备注】无 9.-161【解析】(2x +1x -1)5表示五个(2x +1x -1)相乘,则展开式中的常数项由三种情况产生,第一种是从五个(2x +1x -1)中分别抽取2x ,2x ,1x ,1x ,-1,则此时的常数项为C 52·C 32·22·(-1)=-120;第二种情况是从五个(2x +1x-1)中都抽取-1,则此时的常数项为(-1)5=-1;第三种情况是从五个(2x +1x -1)中分别抽取2x ,1x ,-1,-1,-1,则此时的常数项为C 51·C 41·21·(-1)3=-40,故展开式的常数项为-120-1-40=-161. 【备注】无 10.3√32【解析】本题主要考查诱导公式、三角函数的性质,考查考生的运算求解能力与分析问题、解决问题的能力.利用已知得到f (x 1)=3,f (x 2)=−3,然后解得x 1,x 2,最后利用诱导公式即可求得f (x 1-x 2)的值.由f (x 1)-f (x 2)=6并结合f (x )的解析式得f (x 1)=3,f (x 2)=-3,所以sin(x 1-π3)=1,sin(x 2-π3)=−1,则x 1-π3=2k 1π+π2,k 1∈Z ,x 2-π3=2k 2π-π2,k 2∈Z ,所以x 1-x 2=2(k 1-k 2)π+π,k 1,k 2∈Z .所以f (x 1-x 2)=3sin[2(k 1-k 2)π+π-π3]=3sin π3=3√32.【备注】【素养落地】求解时需将函数的解析式和f (x 1)-f (x 2)=6联系起来,利用三角函数的图象和性质找到解题的突破口,体现逻辑推理、数学运算等核心素养.【解后反思】解决本题的关键是根据f (x 1)-f (x 2)=6并结合三角函数的解析式及图象和性质得到f (x 1)=3,f (x 2)=−3,然后利用诱导公式进行化简求解即可. 11.3【解析】因为不等式ax 2+bx +c ≥0(a ≠0,a <b )对一切实数x 恒成立,所以0<a <b ,对于方程ax 2+bx +c =0,Δ=b 2-4ac ≤0,所以c ≥b 24a ,所以a+b+c b-a≥a+b+b 24ab-a=1+b a +14×(b a )2b a-1.令y =1+b a +14×(b a )2b a-1,t =ba ,则有14×t 2+(1-y )×t +1+y =0 ①,关于t 的方程①的判别式Δ'=(1-y )2-(1+y )≥0,解得y ≥3或y ≤0,由0<a <b ,可得ba >1,所以y >0,所以y ≥3,所以a+b+c b-a的最小值为3.【备注】无12.a n ={1(n =1),n 2(n ≥2).【解析】由题设a n =a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1 (n ≥2),① 可得a n+1=a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1+1n a n ,② 且a 2=a 1=1.②-①得a n+1-a n =1n a n (n ≥2),即a n+1=n+1na n (n ≥2),即a n+1a n=n+1n(n ≥2),所以当n ≥3时,a n =a 1×a2a 1×a3a 2×…×an a n-1=1×11×32×43×…×nn-1=n2,当n =2时,a 2=1=22,满足上式,当n =1时,a 1=1≠12,不满足上式,故所求a n ={1(n =1),n 2(n ≥2).【备注】上述解析中当n ≥3时,等式a n a n-1=nn-1才成立,使用累乘法求得数列通项公式a n 后,不仅需要检验a 1是否满足通项公式,还得检验a 2是否满足通项公式,这一点极易出错.本题也可利用构造法转化为等差数列求通项,把a n+1=n+1na n (n ≥2)化为a n+1n+1-ann =0(n ≥2),得到数列{a nn }是从第2项起公差为0的等差数列,注意首项不满足.13.9【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和公式、性质.通解是根据S 7=S 11得7a 1+7×62d =11a 1+11×102d ,即2a 1+17d =0,再结合二次函数的知识判断出前9项和最大;优解是根据S 7=S 11得a 8+a 9+a 10+a 11=0,即可知前9项和最大. 通解设等差数列{a n }的公差为d ,由S 7=S 11可得7a 1+7×62d =11a 1+11×102d ,即2a 1+17d =0,得到d =-217a 1,所以S n =na 1+n(n-1)2d =na 1+n(n-1)2×(-217a 1)=-a117(n-9)2+8117a 1,由a 1>0可知-a117<0.故当n =9时,S n 最大.优解根据S 7=S 11可得a 8+a 9+a 10+a 11=0.由等差数列的性质可得a 9+a 10=0,由a 1>0可知a 9>0,a 10<0.当所有正数项相加时,S n 取得最大值,所以前9项和S 9最大.【备注】无14.240【解析】∵(x 2+3x +2)5=(x +1)5(x +2)5,∴展开式中含x 的项是C 54xC 5525+C 55C 54x 24=240x ,∴展开式中含x 项的系数是240. 【备注】无15.解:(1)设A (x 0,y 0),由题意知B (0,b ),F 1(-c ,0),由3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0得{3x 0+4c =03y 0+b =0⇒{x 0=-4c3y 0=-b 3,即A (-43c ,-b3), 又A (x 0,y 0)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1上, ∴(-43c)2a 2+(-13b)2b 2=1,得ca =√22,即椭圆C 的离心率为e =√22.(2)由(1)知,e =√22.又b =1,a 2=b 2+c 2,∴a 2=2, ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.当线段MN 在x 轴上时,MN 的中点为坐标原点(0,0).当线段MN 不在x 轴上时,设直线MN 的方程为x =my +1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 将直线MN 的方程代入椭圆方程x 22+y 2=1中,得(m 2+2)y 2+2my -1=0. ∵点F 2在椭圆内部,∴Δ>0,y 1+y 2=-2mm 2+2,则x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+2,∴点P 的坐标(x ,y )满足x =2m 2+2,y =-mm 2+2, 消去m 得,x 2+2y 2-x =0(x ≠0).综上所述,点P 的轨迹方程为x 2+2y 2-x =0.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力,以及数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.(1)设A (x 0,y 0),由3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0得A (-43c ,-b3),代入椭圆方程,即可得出结果;(2)由题设及(1)得出椭圆方程为x 22+y 2=1,分别讨论线段MN 在x 轴上,线段MN 不在x 轴上的情况,计算即可得出结果.【备注】【方法归纳】求椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率的方法:(1)直接求出a ,c ,求解e ,已知标准方程或a ,c 易求时,可利用离心率公式e =ca 求解;(2)变用公式,整体求e ,如利用e =√c 2a2=√a 2-b 2a 2=√1-b 2a2求解;(3)利用公式的变形e =c a=2c 2a=|F 1F 2||MF 1|+|MF 2|(点M 在椭圆上,F 1,F 2为两焦点)求解;(4)建立a ,b ,c 的齐次关系式,将b 用a ,c 表示,两边同除以a 或a 2化为e 的关系式,进而求解.16.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)] =∑i=12na i +∑i=1n a 2i (c 2i -1)=[2n×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1)=(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n )1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.【解题思路】(1)先分别设出数列{a n }的公差与数列{b n }的公比,然后利用已知条件建立方程组,求出公差与公比,最后利用公式求解即可.(2)(i)将(1)中所求结论代入,即可求出相应的通项公式;(ii)分组求和,即可得出结果.【备注】【命题分析】数列在高考命题中较为灵活,可以以较为基础的形式呈现,也可以融入较多的创新问题,但最终都离不开数列通项公式的求解、数列的求和等.从最近几年的高考来看,数列问题最终通常可以转化为我们熟悉的等差数列或等比数列问题进行求解.17.(1)解法一 ∵|F 1F 2|=4√3,∴c =2√3,F 1(-2√3,0),F 2(2√3,0). 由椭圆的定义可得2a =√3√3)√132+√3-2√3)√132=√1214+√254=112+52=8,解得a =4,∴e =2√34=√32,b 2=16-12=4, ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.解法二 ∵|F 1F 2|=4√3,∴c =2√3,椭圆C 的左焦点为F 1(-2√3,0),故a 2-b 2=12, 又点 A (√3,-√132)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上,则3b 2+12+134b 2=1,化简得4b 4+23b 2-156=0,得b 2=4,故a 2=16,∴e =2√34=√32,椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.(2)由(1)知M (4,0),N (0,2),设椭圆上任一点T (x 0,y 0)(x 0≠±4且x 0≠0),则x 0216+y 024=1.直线TM :y =y 0x-4(x -4),令x =0,得y P =-4y 0x0-4,∴|PN |=|2+4y 0x0-4|.直线TN :y =y 0-2x 0x +2,令y =0,得x Q =-2xy 0-2,∴|QM |=|4+2x 0y 0-2|.|PN |·|QM |=|2+4y 0x 0-4|·|4+2x 0y 0-2|=|2x 0+4y 0-8x 0-4|·|2x 0+4y 0-8y 0-2|=4|x 02+4y 02+4x 0y 0-8x 0-16y 0+16x 0y 0-2x 0-4y 0+8|,由x 0216+y 024=1可得x 02+4y 02=16,代入上式得|PN |·|QM |=16, 故|PN |·|QM |为定值.【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等基础知识,考查定值问题,考查推理论证能力、运算求解能力.(1)考虑两种方法解决;(2)分别先得到|PN |与|QM |的表达式,再结合条件证明即可【备注】【规律总结】在直线与椭圆相交背景下求面积的最值,定值、定点问题是高考的热点问题,将直线方程与椭圆方程联立后利用根与系数的关系以及点到直线的距离公式建立目标函数,将面积问题转化为求函数的最值问题是常规解法,应当熟练掌握,同时,需提高整体代换的意识,通过换元等方法优化和提高运算的能力18.(1)X =2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P (X =2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X =4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.【解析】本题主要考查互斥事件的概率、相互独立事件的概率,意在考查考生的逻辑思维能力、数据获取与处理能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算.(1)由题意知P (X =2)包括甲获胜的概率与乙获胜的概率,则利用互斥事件的概率公式求解即可;(2)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式计算即可.【备注】【方法技巧】求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时先将所求事件转化成互斥事件的和,或者求其对立事件的概率,再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.19.(1)解法一设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1,不妨设P 在x 轴上方(如图).当P 在x 轴上的射影为F 2时,P (c ,1a),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),所以直线PF 1的方程为x -2acy +c =0.因为|OF 2|=2|OM |,所以|OM |=|MF 2|=c2,所以点M 的坐标为(c2,0). 则点M 到直线PF 1的距离为d =|c 2+c|√1+4a 2c 2=2√1+4a 2c 2.因为PM 平分∠F 1PF 2,PF 2⊥F 1F 2,所以d =|MF 2|,即2√1+4a 2c2=c2,化简得a 2c 2=2,所以a 2(a 2-1)=2,解得a 2=2.所以C 的方程为x 22+y 2=1. 解法二设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当P 在x 轴上的射影为F 2时,因为|OF 2|=2|OM |,所以|OM |=c 2,所以|MF 1|=32c ,|MF 2|=12c . 在△PMF 1中,|MF 1|sin∠MPF 1=|PF 1|sin∠PMF 1,在△PMF 2中,|MF 2|sin∠MPF 2=|PF 2|sin∠PMF 2,因为∠PMF 1=180°-∠PMF 2,所以sin∠PMF 1=sin∠PMF 2,又∠MPF 1=∠MPF 2,所以|MF 1||MF 2|=|PF 1||PF 2|,故|PF 1|=3|PF 2|. 因为|PF 1|+|PF 2|=2a , 所以|PF 1|=32a ,|PF 2|=12a .由|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,得(32a )2=(12a )2+(2c )2,化简得2c 2=a 2,所以2(a 2-1)=a 2,解得a 2=2, 所以C 的方程为x 22+y 2=1.解法三设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当点P 在x 轴上的射影为F 2时,如图,P (c ,±1a ).所以|PF 2|=1a.因为PF 2⊥F 1F 2,所以tan∠F 1PF 2=|F 1F 2||PF 2|=2ac .因为|OF 2|=2|OM |,所以|MF 2|=c 2,tan∠MPF 2=|MF 2||PF 2|=ac 2. 因为PM 平分∠F 1PF 2,所以tan∠F 1PF 2=2tan∠MPF 21-tan 2∠MPF 2,即2ac =2×ac 21-(ac 2)2,化简得a 2c 2=2,所以a 2(a 2-1)=2,解得a 2=2. 所以C 的方程为x 22+y 2=1.解法四设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当P 在x 轴上的射影为F 2时,P (c ,±1a),所以|PF 2|=1a.因为|OF 2|=2|OM |,所以|F 1M |=3|MF 2|,所以S △PF 1M =3S △PMF 2, 即12|PF 1|·|PM |sin∠F 1PM =32|PF 2|·|PM |sin∠F 2PM ,因为∠F 1PM =∠F 2PM ,所以|PF 1|=3|PF 2|. 又因为|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|PF 2|=a2, 所以a 2=1a ,解得a 2=2. 所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)除点P 外,直线PQ 与C 无其他公共点. 理由如下:如图,设P (x 0,y 0)(y 0≠0),则x 022+y 02=1,即y 02=1-x 022.设Q (2,y Q ),则Q ⃗ =(-1,-y Q ),P ⃗ =(1-x 0,-y 0),由QF 2⊥PF 2,得Q ⃗ ·P ⃗ =0, 所以x 0-1+y 0y Q =0,即y Q =1-x 0y 0.所以k PQ =1-x 0y 0-y 02-x 0=y 02+x 0-1(x0-2)y 0=(1-x 022)+(x 0-1)(x 0-2)y 0=-x02y 0,所以直线PQ 的方程为y -y 0=-x 02y 0(x -x 0),即2y 0y -2y 02=-x 0x +x 02,即x 0x +2y 0y -2=0. 由{x 0x +2y 0y-2=0x 2+2y 2=2,得(x 02+2y 02)y 2-4y 0y +(2-x 02)=0, 即y 2-2y 0y +y 02=0.因为Δ=(2y 0)2-4y 02=0,所以除点P 外,直线PQ 与C 无其他公共点.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查运算求解能力、逻辑推理能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 【备注】无20.(1)如图,取AD 的中点E ,连接PE ,BE ,BD ,∵PA =PD , ∴PE ⊥AD.∵底面ABCD 为菱形,且∠BAD =60°, ∴△ABD 为等边三角形, ∴BE ⊥AD.∵PE ∩BE =E , PE ,BE ⊂平面PBE , ∴AD ⊥平面PEB ,∴AD ⊥PB. ∵AD ∥BC ,∴BC ⊥PB. (2)设AB =2,则AB =PB =AD =2,BE =√3, ∵PA ⊥PD ,E 为AD 的中点, ∴PA =√2,PE =1,∴PE 2+BE 2=PB 2,∴PE ⊥BE.以E 为坐标原点,分别以EA ,EB ,EP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0) ,P (0,0,1),C (-2,√3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0). 设平面PAB 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),∵{n 1·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{-x 1+√3y 1=0,-x 1+z 1=0,令x 1=1得z 1=1,y 1=√33,∴n 1=(1,√33,1).设平面BPC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{-√3y 2+z 2=0,-2x 2=0, 令y 2=-1,得x 2=0,z 2=-√3,即n 2=(0,-1,-√3).∴n 1·n2|n 1|·|n 2|=-2√77. 设二面角A -PB -C 的平面角为θ,由图可知,θ为钝角, 则cos θ=-2√77.【解析】无【备注】【易错警示】求二面角的值的易错点是:(1)求平面的法向量出错;(2)公式用错,把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混,导致结果出错.注意,二面角的取值范围为[0,π].。

高中数学概率与统计综合练习题

高中数学概率与统计综合练习题1.某省重点中学随机抽取了120名高二学生，并记录了他们的身高情况。

现在需要完成以下两个问题：（1）根据数据填写频率分布表和频率分布直方图；（2）从身高在180cm到190cm之间的学生中随机抽取两名学生，求身高至少为185cm 的概率。

2.为了更好地落实新课改和增加研究性研究的有效性，某校采用分层抽样的方法从三个研究小组（A、B、C）中抽取了若干名学生进行调研。

下表给出了调研结果（单位：人）。

现在需要完成以下两个问题：（1）求出表中x和y的值；（2）从B、C两个研究小组中随机抽取两名学生，求他们都来自C研究小组的概率。

3.教育部门主办了全国中学生航模竞赛，分为预赛和决赛两个阶段。

决赛中，甲、乙、丙和丁四支队伍按照抽签方式决定出场顺序。

现在需要完成以下两个问题：（1）求出甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）求出甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率。

4.学校推荐了40名文科生参加某著名高校的自主招生考试，其中男生10名，女生30名。

为了进行培训，采用了分层抽样的方法，从中选出了一个4人小组。

现在需要完成以下三个问题：（1）求40名学生中某个同学被选入培训小组的概率，并求出培训小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的培训，小组决定选出两名同学进行模拟面试。

方法是先从小组中选出一名同学进行面试，然后从剩下的同学中再选一名进行面试。

求选出的同学中恰好有一名男同学的概率；（3）每个同学回答了难度相当的5个问题并得到了相应的评分。

第一个同学的分数为68、70、71、72、74，第二个同学的分数为69、70、70、72、74.请问哪个同学的成绩更稳定？说明理由。

5.下表给出了黄种人群中各种血型的人所占比例。

35.已知同种血型的人可以输血。

O型血可以输给任何血型的人，任何血型的人都可以输给AB型血。

其他不同血型的人不能互相输血。

小明是B型血，如果小明因病需要输血，问：(1)任意找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任意找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？6.某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩（单位:分）绘制成频率分布直方图，如图所示。

2023年高中数学概率与统计试题

2023年高中数学概率与统计试题
1. 选择题
1.1 请选择下列哪个选项是高中数学概率与统计的基本概念之一：
A) 均值
B) 二项分布
C) 三角函数
D) 幂函数
1.2 事件A的概率是0.4，事件B的概率是0.3，事件A和事件
B独立，求事件A和事件B同时发生的概率：
A) 0.12
B) 0.09
C) 0.18
D) 0.07
1.3 如果两个随机事件A和B是互斥事件，即事件A发生就意
味着事件B不发生，那么事件A和事件B同时发生的概率是多少？
A) 0
B) 1
C) 0.5
D) 不确定
2. 填空题
2.1 掷一枚骰子，出现奇数的概率是填写相应答案。

2.2 从52张扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是填写
相应答案。

3. 计算题
3.1 一次和骰子，抛掷6次，每一次出现的点数分别是1、2、3、
4、5、6的概率分别是多少？
3.2 随机抽取一张扑克牌，抽到红桃或方块的概率是多少？
4. 应用题
4.1 有甲、乙、丙三个人分别抛掷一枚硬币，每人的硬币都是公正的。

若甲抛到正面的概率是0.6，乙抛到正面的概率是0.5，丙抛到正面的概率是0.4。

求至少有一个人抛到正面的概率。

4.2 某商品出厂的次品率为5%，每批次抽查10件物品，若抽到的次品数大于等于2件，则认定该批次为不合格。

求一次抽查合格的概率。

以上是2023年高中数学概率与统计试题的部分内容，希望对你的学习有所帮助。

请认真思考每个问题，并用适当的数学方法进行解答。

祝你顺利完成试卷，取得好成绩！。

数学高考概率与统计历年真题精选2024

数学高考概率与统计历年真题精选2024概率与统计是高中数学的重要内容之一，在高考中占有相当的比重。

为了帮助广大考生更好地备考概率与统计，本文整理了数学高考概率与统计的历年真题，并进行了精选，希望对考生的备考有所帮助。

1. 选择题精选1）（2015年广东高考）设事件A、B独立，P(A)=0.3，P(A∪B)=0.7，则P(B)为（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5解析：由独立事件的性质可得，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B)，代入已知条件可得，0.7 = 0.3 + P(B) - 0.3·P(B)，整理得P(B) = 0.4，故选C。

2）（2016年江苏高考）某人参加驾驶证考试，第一道选择题有5个选项，有且只有1个正确选项，则某人随机选择答案的通过率为（）。

A. 5%B. 20%C. 25%D. 80%解析：某人随机选择答案的通过率为正确答案的比例，即为1/5，转换成百分数为20%，故选B。

2. 解答题精选1）（2017年北京高考）某地下车库共有4层，每层有16个停车位，小明停车习惯于停在第1层，而小红停车习惯于停在第2层，他们同时来到车库停车，请问小明和小红停在同一层的概率是多少？解析：小明停在第1层的概率为1/4，小红停在第2层的概率为1/4，由于小明和小红是同时来到车库停车的，因此小明和小红停在同一层的概率为(1/4)·(1/4) = 1/16。

2）（2018年福建高考）某地区的夏季天气，可以分为晴天、多云、阴天三种情况，以往观测数据表明：晴天、多云、阴天的概率分别为0.4、0.3、0.3。

今有一天这个地区天气为晴天，已知当天多云、阴天的概率为x和y，求概率x与y之和的最大值。

解析：根据题意，晴天的概率为0.4，多云和阴天的概率之和为0.6，因此x+y=0.6。

根据概率的性质，x和y的取值范围为[0, 0.3]，且x+y的最大值为0.6。

高中数学概率与统计练习题及参考答案2023

高中数学概率与统计练习题及参考答案2023以下是根据题目要求写出的高中数学概率与统计练习题及参考答案。

一、单项选择题1、设A、B为两事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.6，则P(AB)的取值范围是A、[0.2，0.6]B、[0.24，0.6]C、[0.0，0.4]D、[0.16，0.6]答案：B2、已知事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.5，事件A和事件B至少有一个发生的概率为：A、0.6B、0.5C、0.9D、0.1答案：C3、小明乘坐公交车去上学，如果按时到达的概率为0.8，那么他迟到的概率为：A、0.8B、0.2C、0.6D、0.4答案：B二、填空题1、一套大小为1、2、3的衣服，从中随意取出一件的概率为_______。

答案：1/62、在1~50中随机取出一个整数，使其能被6整除的概率是_______。

答案：1/63、事件A和事件B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(AB)的取值为_______。

答案：0.12三、解答题1、某小区内有200户人家，其中有120户家庭有私家车，60户家庭有小轿车，70户家庭既有私家车又有小轿车。

试求出这些家庭中有汽车的概率是多少？解：设事件A为家庭有私家车，B为家庭有小轿车，P(A)=120/200=0.6，P(B)=60/200=0.3，P(AB)=70/200=0.35，所以这些家庭中有汽车的概率是P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.3-0.35=0.55。

2、某饮料公司一次生产200瓶矿泉水饮料，其中有5瓶不合格品，现从这200瓶中任意抽取20瓶，问抽取的20瓶中恰好有3瓶不合格品的概率是多少？解：设事件A为抽出20瓶中恰好有3瓶不合格品，根据二项分布公式P(A)=C(5,3)*C(195,17)/C(200,20)=56*17409840/6564120420=0.0148（保留四位小数）。

四、计算题1、某班级20名学生参加一次数学考试，已知这次考试的平均成绩是85分，标准差为7分，求这次考试成绩高于90分的学生人数的理论值和实际值。

高三数学练习题：概率与统计

高三数学练习题：概率与统计
问题1：
某班有40名学生，其中有30名学生参加了一个数学竞赛。

现在我们从这些学生中随机抽取一名学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位参加了数学竞赛的学生；
b) 抽中一位未参加数学竞赛的学生。

问题2：
某班有50名学生，其中30人喜欢数学，20人喜欢英语，15人同时喜欢数学和英语。

现在我们从这些学生中随机选择一位学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位喜欢数学的学生；
b) 抽中一位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位同时喜欢数学和英语的学生。

问题3：
某地区的天气预报表明，星期一下雨的概率是0.3，星期二下雨的概率是0.4。

而星期一和星期二都下雨的概率是0.15。

现在，我们从这两个星期中随机选择一个天气预报，请计算以下概率：
a) 抽中星期一下雨；
b) 抽中星期二下雨；
c) 抽中星期一和星期二都下雨。

问题4：
某班有90名学生，其中40人喜欢数学，60人喜欢英语，20人同时喜欢数学和英语。

现在我们从这些学生中选择两个学生，请计算以下概率：
a) 抽中两位喜欢数学的学生；
b) 抽中两位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位喜欢数学的学生和一位喜欢英语的学生。

问题5：
某打印店收到100份订单，其中有20份订单有错误。

现在，我们从这些订单中随机抽取一份，请计算以下概率：
a) 抽中一份有错误的订单；
b) 抽中一份没有错误的订单。

高三数学概率与统计练习题及答案

高三数学概率与统计练习题及答案1. 选择题1) 设事件A发生的概率为P(A)=0.4，事件B发生的概率为P(B)=0.3，事件A和事件B相互独立，求事件A和事件B同时发生的概率。

A. 0.7B. 0.12C. 0.24D. 0.1答案：B. 0.122) 某班级有40名学生，其中有20名男生和20名女生，现从班级中随机选取2名学生，求至少有1名男生的概率。

A. 0.5B. 0.8C. 0.9D. 0.75答案：D. 0.753) 一枚正常的骰子被掷两次，求两次点数和为8的概率。

A. 1/36B. 1/18C. 1/12D. 1/9答案：C. 1/124) 一批零件中有10%的次品，现从中随机抽取3个零件，求恰好有2个次品的概率。

A. 1/10B. 3/5C. 1/5D. 3/10答案：D. 3/102. 计算题1) 设事件A和事件B相互独立，已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，求P(A 并B)。

解：由于A和B相互独立，所以P(A并B) = P(A) × P(B) = 0.5 × 0.3 = 0.15。

2) 某公司的员工中，男性占总人数的40%，女性占总人数的60%。

已知男性中有10%的员工是经理，女性中有15%的员工是经理。

现在从公司的员工中随机选取一个人，求选中的人是经理的概率。

解：设事件A表示选中的人是男性，事件B表示选中的人是经理。

根据题目已知，P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.1（表示在选中的人是男性的条件下，他是经理的概率），P(B|A') = 0.15（表示在选中的人不是男性的条件下，他是经理的概率）。

则选中的人是经理的概率可以表示为P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A') ×P(B|A') = 0.4 × 0.1 + 0.6 × 0.15 = 0.065。

3) 一批电视机中有10%的次品，现从中随机抽取3台电视机，求抽取的3台电视机中至少有1台次品的概率。

高中数学-概率与统计测试题

高中数学概率与统计测试题一、选择题：（本题共10小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x 为某一实数时可使02x ”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，其中正确命题的个数是（） A ．0 B. 1 C. 2 D. 32．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )．A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a 3．下列说法一定正确的是（）A ．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B ．一枚硬币掷一次得到正面的概率是21，那么掷两次一定会出现一次正面的情况 C ．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D ．随机事件发生的概率与试验次数无关 4．下列说法中，正确的是( )． A ．数据5，4，4，3，5，2的众数是4 B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数6．从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K ”的概率是( )． A ．154 B ．127 C ．118 D ．227 5．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )．A ．14 B ．19 C ．16 D ．1126．在所有的两位数(10~99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )．A ．56 B ．45 C ．23 D ．127．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为A ．60％B ．30％C ．10％D ．50％ 8．下列说法正确的是A ．某厂一批产品的次品率为110，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B ．气象部门预报明天下雨的概率是90﹪，说明明天该地区90﹪的地方要下雨，其余10﹪的地方不会下雨C ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D ．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5．9．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )．A ．平均数不变，方差不变B ．平均数改变，方差不变C ．平均数不变，方差改变D ．平均数改变，方差改变10．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为( )．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填写在答题纸上） 11. 对于①“一定发生的”，②“很可能发生的”，③“可能发生的”，④“不可能发生的”，⑤“不太可能发生的”这5种生活现象，发生的概率由小到大排列为(填序号) 。

高中数学练习题附带解析概率与统计的应用

高中数学练习题附带解析概率与统计的应用高中数学练习题附带解析 - 概率与统计的应用一、选择题（每题5分，共40分）1. 在一批大小为100的家用电器中，有10台次品。

如果从这批电器中随机抽取5台，则其中不超过2台为次品的概率是：A. 0.717B. 0.268C. 0.989D. 0.154解析：使用二项分布计算该问题。

设X为抽取的次品数目，n为抽取的总数，p为次品的概率。

则可得到概率公式：P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)= C(5, 0) * (10/100)^0 * (90/100)^5 + C(5, 1) * (10/100)^1 * (90/100)^4 + C(5, 2) * (10/100)^2 * (90/100)^3≈ 0.717答案：A. 0.7172. 一个包含100个学生的班级中，有40人会打篮球，50人会踢足球，30人两项运动都会。

从班级中随机抽取一个学生，求其不会篮球也不会踢足球的概率。

B. 0.3C. 0.4D. 0.5解析：使用概率的求和法则。

设A为会打篮球的学生数目，B为会踢足球的学生数目，A∩B为两项运动都会的学生数目。

则根据题意可得：P(A) = 40/100 = 0.4P(B) = 50/100 = 0.5P(A∩B) = 30/100 = 0.3P(不会篮球且不会足球) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A∩B)] = 1 - (0.4 + 0.5 - 0.3) = 0.4答案：C. 0.43. 一位数学老师将期末考试的成绩根据正态分布曲线转化为等级，规定成绩大于等于平均分且小于平均分+1个标准差的学生为A等级，成绩大于等于平均分+1个标准差且小于平均分+2个标准差的学生为B 等级，以此类推。

如果平均分为75，标准差为10，求A等级人数的近似百分比是：A. 68%B. 34%D. 84%解析：根据正态分布的相关性质，可知平均分左右的区间包含了大约68%的学生。