换底公式及其应用
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论首先，我们来介绍一下换底公式：对于任意实数a，b，c，且a≠1，b≠1，有以下的换底公式：1. logₐb = logcₐ / logcₒb2. logₐ(b^c) = c * logₐb3. logₐ1 = 04. logₐa = 15. logₐ(ab) = logₐa + logₐb6. logₐ(b/c) = logₐb - logₐc接下来，我们将详细说明这些换底公式的推论：推论一： logₐb = 1 / logbₐ根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = b，并将logcₐ化简为1，得到 logₐb = logbₐ / logbₐ，再根据对数的倒数性质，可得 logₐb =1 / logbₐ。
推论二： loga(b^c) = logb(a^c)根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，将c替换成a^c，可得loga(b^c) = log(a^c)ₐ / log(a^c)ₒb，再根据log的指数性质loga(b^c) = logₐ(b^c)，log(a^c)ₐ = c，log(a^c)ₒb = c * log(a)ₒb，可得loga(b^c) = log(b)ₐ / log(b)ₒa^c = logb(a^c)。
推论三： loga1 = 0根据换底公式 logₐb = logₐ1 / logₐb，可以判断 logₐ1 = 0。
推论四： logaa = 1根据换底公式 logₐa = logₐa / logₐb，可以判断 logₐa = 1推论五： log(ab) = loga + logb根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = a * b，并将logcₐ化简为loga + logb，可得 log(ab) = loga + logb。
推论六： log(b/c) = logb - logc根据换底公式 logₐ(b/c) = logcₐ / logcₒ(b/c)，取c = b，logcₐ化简为1 / logbₐ，logcₒ(b/c)化简为logbₒ(b) - logbₒ(c)，可得 log(b/c) = logb - logc。
对数换底公式及其应用.
1.同底的两个对数可以进行加减运算， 对数的加减运算是利用那两个性质？
a 0, 且a 1. 1 loga M loga N loga M N ; M 2loga M loga N loga N
.
2.遇到同底两个对数相除，怎么办？
换底公式及其应用
提出问题
利用对数的换底公式化简下列各式：
利用换底公式证明：
例2.利用换底公式证明 ： m m loga n b loga b.a 0, 且a 1, b 0, m R, n R n
换底时选择好底数：
例3. 已知log3 2 a， log3 7 b, 用a, b表示log14 49
log2 16 log2 16 1求 与 log4 16的值， 并看看 与 log4 16 log2 4 log2 4 的值有何关系 ？
2你能用以c(c 0, 且c 1)为底的两个对数的比来
表示log4 16吗？表示出来的等式成立吗 ？
3一般地， 如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1.
logc b 那么loga b ， 如何证明？ logc a
换底公式：
如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1 : logc b 那么loga b logc a
换底公式的应用示例：
例1.利用对数的换底公式求 下列各式的值 .
1 log2 3 log3 2 2 log8 9 log27 32
log2 9 log3 64 3 log2 3 log3 4
课堂练习：
利用对数的换底公式化简下列各式：
1 loga b logb a; 2 log2 3 log3 4 log4 5 log5 2; 3 log4 3 log8 3log3 2 log9 2
对数的运算法则及公式换底
对数的运算法则及公式换底
对数是一种数学运算，用来描述幂运算的指数。
对数运算有一些特殊的法则和公式，其中包括换底公式。
以下是对数的运算法则和公式：
1. 对数的定义
对数是指一个数在某个基数下的指数。
例如，2的以10为底的对数是0.30103，这意味着10的0.30103次方等于2。
2. 对数的性质
对数具有以下几个性质：
a. 对数是一个实数。
b. 对于任何正实数a和b，loga(ab) = loga a + loga b。
c. 对于任何正实数a、b和c，loga (b/c) = loga b - loga c。
d. 对于任何正实数a、b和c，loga b^c = c loga b。
e. 对于任何正实数a和b，loga b = ln b/ln a，其中ln表示以e为底的自然对数。
3. 换底公式
换底公式是指将一个对数的底数改变为另一个底数时使用的公式。
换底公式如下：
loga b = logc b / logc a
其中a、b、c都是正实数，且a、c不等于1。
这个公式可以用于计算任何底数的对数。
例如，要计算以2为底数的对数，可以使用换底公式将其转换为以10为底数的对数计算。
以上是对数的运算法则及公式换底的相关内容。
对数是数学中的基础概念，掌握好对数的性质和运算法则，对于解决数学问题会有很大的帮助。
换底公式练习
专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，log a b·log b a＝1，log b a＝【典例应用】【例1】计算：log1627log8132.1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.2．(1)已知log142＝a，试用a表示log27.(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245..【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( )2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( )A.b a B ．ab C ．a b D ．b a 3．式子log 916·log 881的值为( )A ．18B ．118 C.83D ．384．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( )A ．a －bB ．ab C ．ab D ．a ＋b5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92 6．log 332·log 227＝________. 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519.专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝【典例应用】【例1】 计算：log 1627log 8132.[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．2．换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m ＝mn log a b .1．计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． [解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2·3lg 22lg 3＝54.【例2】 已知log 189＝a,18b ＝36[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ， 又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b ＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a .法二：∵18b ＝5， ∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b2－a. 法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用.2．(1)已知log 142＝a ，试用a 表示log27.(2)若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245. [解] (1)法一：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a . 所以1＋log 27＝1a . 所以log 27＝1a －1. 由对数换底公式， 得log 27＝log27log 22＝log 272.所以log27＝2log 27＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＝2(1－a )a . 法二：由对数换底公式，得log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a .所以2＝a (log 27＋2)，即log27＝2(1－a )a .(2)因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b . 【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b a B ．ab C ．a b D ．b a B [log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .]3．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B ．118 C.83D ．38C [原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.]4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a b C ．abD ．a ＋bB [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝ab .]5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32D ．92B [log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.]6．log 332·log 227＝________.15 [log 332·log 227＝lg 32lg 3·lg 27lg 2＝5lg 2lg 3·3lg 3lg 2＝15.] 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.1 [因为2a ＝3b ＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1.]8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 12a ＋1 [log 123＝log 33log 312＝12log 32＋1＝12a ＋1] 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 9 [因为log 34·log 48·log 8m ＝2， 所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， 化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9.]10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519. [解] (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9 ＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98. (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2 ＝2lg 5lg 2·(－4)lg 2lg 3·(－2)lg 3lg 5＝16.。
微专题4 换底公式
lg alg b
lg a lg b
又 blg a blg b blg b
blogb a
lg b alg b.
所以左边＝alg a·blg b·blg a·alg b
＝alg a·blg b·alg b·alg b
＝alg a·blg b·a2lg b＝右边.
即原等式成立.
二、换底公式的逆用
例2
计算：lolgo5g5132××lloogg77427＝__－__34____.
解析 原式＝lologg55132×lloogg77247
＝ log1 2 ×log427＝lg 12×llgg247
3
lg3
1 ＝－2llgg23×32llgg 32＝－34.
三、换底公式的基本变形一：logab＝log1ba 例 3 已知 2a＝5b＝10，求1a＋1b的值.
∵logab·logbc·logc3＝llgg
b lg a·lg
c lg b·lg
3c＝llgg
3a＝2.
∴lg 3＝2lg a＝lg a2，
∴a2＝3，解得 a＝ 3，或 a＝－ 3(舍去).
六、证明对数恒等式 例6 证明：(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b.
证明 左边＝alg a＋lg b·blg a＋lg b＝alg a·alg b·blg a·blg b，
解 ∵2a＝10，∴a＝log210， ∴1a＝log1210＝lg 2， 5b＝10，∴b＝log510，∴1b＝log1510＝lg 5. ∴1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、换底公式的基本变形二：logan bm ＝mn logab
什么是换底公式换底公式怎么推导来的
什么是换底公式换底公式怎么推导来的换底公式是数学中的一个重要概念，用于解决对数运算中不同底数的情况。
在本文中，我将详细讲解什么是换底公式，并介绍它是如何推导出来的。
换底公式是指将对数的底数做变换，使其与常用对数（底数为10）或自然对数（底数为e）等进行计算。
它能够将一个底数为a的对数转换为底数为b的对数形式。
具体来说，对于任意正数a、b，以及任意正实数x，换底公式可以表达为：log（x）以a为底 = log（x）以b为底 / log（a）以b为底其中，log（a）以b为底表示以底数为b的对数a的值。
接下来，我们将推导换底公式的过程。
首先，设y = log（x）以a为底。
根据对数的定义，我们可以将y表示为：a^y = x。
然后，我们取对数，底数为b，得到：log（a^y）以b为底 = log（x）以b为底。
利用对数的性质，将a^y表示为（b^log（a）以b为底）的形式，即：log（b^log（a）以b为底）以b为底 = log（x）以b为底。
再利用换底公式，将右侧的对数形式转化为以常用对数或自然对数为底的形式。
假设常用对数为底数10，那么换底公式可以写为：log（b）以b为底 = 1，log（a）以b为底 = log（a）以10为底 / log （b）以10为底，log（x）以b为底 = log（x）以10为底 / log（b）以10为底。
将这些结果代入原等式中，得到：log（b^（log（a）以10为底 / log（b）以10为底））以b为底 = log（x）以10为底 / log（b）以10为底。
继续运用对数的性质，将指数与对数互换，得到：（log（a）以10为底 / log（b）以10为底）log（b）以b为底 = log（x）以10为底。
化简后可得：log（x）以10为底 = （log（a）以10为底 / log（b）以10为底）log（b）以b为底。
最后，我们可以总结出换底公式的最终形式：log（x）以a为底 = log（x）以b为底 / log（a）以b为底。
换底公式及其应用
引入
已知lg 2 0.3010,lg 3 0.4771,求log23的值.
解：设log23 x, 则2x 3.
两边取以10为底的对数, 得
lg 2x lg 3,
即 x lg 2 lg 3, 得 x lg 3 ,
lg 2
把一个对数写成了 与此对数的底数不 同的两个底数相同 的对数商。
即
log2
3
lg 3 lg 2
0.4771 0.3010
1.5851.
理论
换底公式：
换底公式把一个对数变 成了与原来对数的底数 不同的两个对数的商。
loga
b
logc logc
b a
(a
0, 且a
1, c
0, 且c
1; b
0)
换底公式的意义就在于把对数的 度数改变，把不同底问题转化为 同底问题，为使用运算法则创造
条件，更方便化简求值。
例题
例1.求 log8 9glog27 32的值.
解：
log8 9glog27 32
lg9 lg32 lg32 lg25 = lg8glg27 lg23 glg33
2lg3 5lg2 3lg2g3lg3
10 . 9
例题
例2计算下列各式的值：
(1)log5 2glog49 81;
log25
1 3
gl2)log4 3glog9 2 log1 4 32;
2
lg 2 lg81
解：（1）原式=
lg5 lg 1
3 lg25
• lg49 lg 3 4 • lg7
1 lg2 2 lg5
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
换底公式及对数运算的应用
例2 已知 log 312 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
例3 设 3a 5b m ，已知 1 1 2 ,
求m 的值.
ab
15
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）；
2.2.1 对数与对数运算
换底公式及对数运算的应用
问题提出
1.对数运算三个法则：
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
2.对数的性质 .
（1）loga a 1; （2） loga 1 0 ;
f (x) 2x 恒成立，求 f (x)的最小值.
作业： 《红对勾》第26课时
个人观点供参考，欢迎讨论
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明
地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说
的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论（最新版）目录1.引言：介绍换底公式及其重要性2.推论 1：简化对数运算3.推论 2：计算高次幂4.推论 3：求极限5.推论 4：解方程6.推论 5：证明数学定理7.推论 6：与其他数学领域的联系8.结论：总结换底公式及其推论的重要性正文换底公式是数学中一种重要的公式，它在微积分、代数、概率论等数学领域都有着广泛的应用。
本文将介绍换底公式的六个推论，这些推论不仅简化了数学运算，还为我们解决复杂数学问题提供了便利。
推论 1：简化对数运算。
利用换底公式，我们可以将不同底数的对数相互转换，从而简化对数运算。
例如，自然对数和常用对数之间的转换，使得我们可以更方便地处理实际问题。
推论 2：计算高次幂。
换底公式可以帮助我们计算一个数的高次幂，这在代数中是非常有用的。
例如，当我们需要计算 (a^b)^c 时，可以通过换底公式将其转换为 a^(bc) 的形式，从而简化计算。
推论 3：求极限。
在求极限的过程中，我们可以利用换底公式将复杂的极限形式转换为简单的形式，便于求解。
例如，利用换底公式可以将极限 lim(x->0) (sinx/x) 转换为 1，从而求得极限值。
推论 4：解方程。
换底公式在解方程方面也有着一定的应用。
通过运用换底公式，我们可以将方程中的对数项转换为更容易处理的形式，从而更容易求解方程。
推论 5：证明数学定理。
换底公式在证明数学定理时也发挥着重要作用。
通过运用换底公式，我们可以将复杂的数学式子转换为更简单的形式，从而更容易证明定理的正确性。
推论 6：与其他数学领域的联系。
换底公式不仅在纯数学中有着广泛的应用，还与其他数学领域如概率论、统计学、微积分等有着密切的联系。
例如，在概率论中，我们可以利用换底公式计算事件的概率；在统计学中，我们可以利用换底公式计算平均数、方差等统计量；在微积分中，我们可以利用换底公式计算定积分等。
换底公式——精选推荐
换底公式换底公式是⼀个⽐较重要的公式，在很多对数的计算中都要使⽤，也是⾼中数学的重点。
另有两个推论如下：log a(b)表⽰以a为底的b的对数。
换底公式就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c 均⼤于零且不等于1）。
基本信息中⽂名：换底公式英⽂名：base changing formula for lograithms适⽤学科：数学、计算机适⽤范围：对数的计算，⾼中数学公式成⽴条件：a,c均⼤于零且不等于1推论个数：2形式正在加载换底公式换底公式是⼀个⽐较重要的公式，在很多对数的计算中都要使⽤，也是⾼中数学的重点。
另有两个推论。
loga(b)表⽰以a为底的b的对数。
换底公式就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均⼤于零且不等于1）推导过程若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）则log（a）（b）=log（n^x）(n^y)根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M易得log(n^x)(n^y)=y/x由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)例⼦：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1应⽤数学对数在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底。
.通常在处理数学运算中，将⼀般底数转换为以e为底（即In）的⾃然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常⽤对数，⽅便于我们运算；有时也通过⽤换底公式来证明或求解相关问题；在计算器上计算对数时需要⽤到这个公式。
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论（实用版）目录1.换底公式的定义和基本概念2.推论 1：对数函数的性质3.推论 2：指数函数的性质4.推论 3：三角函数的性质5.推论 4：反三角函数的性质6.推论 5：复合函数的性质7.推论 6：极限和微积分的性质正文换底公式是数学中一种重要的公式，它用于将一个函数的底数（或指数）替换为另一个底数（或指数）。
这种替换可以带来许多方便，使得一些复杂的数学问题变得容易解决。
下面我们将介绍换底公式的六个推论。
首先，我们需要了解换底公式的基本概念。
换底公式是指，如果两个函数的底数相同，那么它们的指数可以互相替换。
例如，如果 y = log2(x)，那么我们可以将底数 2 换成其他数，如 3 或 4，得到新的函数。
推论 1：对数函数的性质。
对数函数是一种常见的数学函数，它的底数通常为正数。
通过对数函数的换底公式，我们可以将一个对数函数转换为另一个对数函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 2：指数函数的性质。
指数函数是另一种常见的数学函数，它的底数通常为正数。
通过指数函数的换底公式，我们可以将一个指数函数转换为另一个指数函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 3：三角函数的性质。
三角函数是数学中一种重要的函数，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
通过三角函数的换底公式，我们可以将一个三角函数转换为另一个三角函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 4：反三角函数的性质。
反三角函数是三角函数的逆函数，它包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
通过反三角函数的换底公式，我们可以将一个反三角函数转换为另一个反三角函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 5：复合函数的性质。
复合函数是指两个函数的组合，它通常具有复杂的性质。
通过复合函数的换底公式，我们可以将一个复合函数转换为另一个复合函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 6：极限和微积分的性质。
极限和微积分是数学中重要的概念，它们在许多数学问题中都有重要的应用。
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论换底公式是初中数学中的重要知识点，它是解决三角函数的周期性问题的有力工具。
换底公式有6个推论，本文将逐个介绍并解释这些推论的应用。
1. 推论一：sin(x) = cos(90° - x)换底公式的第一个推论是sin函数与cos函数的关系。
根据三角函数的定义，sin(x)表示角度x的正弦值，cos(x)表示角度x的余弦值。
推论一指出，对于任意角度x来说，它的正弦值等于90°减去该角度的余弦值。
这个推论的应用十分广泛，可以用来简化计算，特别是在求解不同角度的三角函数值时。
2. 推论二：cos(x) = sin(90° - x)推论二是推论一的逆命题，它指出，对于任意角度x来说，它的余弦值等于90°减去该角度的正弦值。
这个推论可以与推论一一起使用，互相验证结果的正确性。
3. 推论三：tan(x) = cot(90° - x)推论三是tan函数与cot函数的关系。
tan(x)表示角度x的正切值，cot(x)表示角度x的余切值。
推论三说明，对于任意角度x来说，它的正切值等于90°减去该角度的余切值。
这个推论可以用来简化计算，特别是在求解不同角度的三角函数值时。
4. 推论四：cot(x) = tan(90° - x)推论四是推论三的逆命题，它指出，对于任意角度x来说，它的余切值等于90°减去该角度的正切值。
这个推论可以与推论三一起使用，互相验证结果的正确性。
5. 推论五：sec(x) = csc(90° - x)推论五是sec函数与csc函数的关系。
sec(x)表示角度x的正割值，csc(x)表示角度x的余割值。
推论五说明，对于任意角度x来说，它的正割值等于90°减去该角度的余割值。
这个推论可以用来简化计算，特别是在求解不同角度的三角函数值时。
6. 推论六：csc(x) = sec(90° - x)推论六是推论五的逆命题，它指出，对于任意角度x来说，它的余割值等于90°减去该角度的正割值。
指数换底公式及简单应用
指数换底公式及简单应用
指数换底公式是用来改变指数的底数的公式。
它的表达式为：
a^b = c^d
其中，a、b、c、d是实数，a、c不等于0且不等于1，b和d
可以是任意实数。
应用中，指数换底公式可以用来将一个指数的底数改变为另一个底数的指数。
这在计算数值较大或较小的指数时很有用。
要应用指数换底公式，首先将指数的底数和指数取对数，然后利用对数的性质进行变换。
具体应用有以下几种情况：
1. 将一个较大的数变为一个较小的数。
例如，计算10^0.1时，可以利用换底公式，将它变为e^(0.1*log(10))。
2. 计算一个复杂的指数。
例如，计算2^√3时，可以用换底公
式将它变为e^(√3*log(2))。
3. 计算一个无理指数。
例如，计算2^π时，可以利用换底公式将它变为e^(π*log(2))。
需要注意的是，换底公式只适用于指数函数，即底数为常数，指数为变量的函数。
对于其他函数，不能直接应用指数换底公式。
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用 换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4?3－a ?3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a.。
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对数与对数运算
第三课时 换底公式及其应用
复习巩固：
1.对数运算有哪三个常用结论？
____)3(___,log )2(___,log )1(log 1
===N a a a a a
2.对数运算有哪三条基本性质？
如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：
（1）()______________log =MN a （对数的加法）
（2）_____________log =N M
a （对数的减法）
（3）()R n b n a m ∈=_________log （对数的数乘） 讲授新课：
问题：同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？ 思考1：b b a c b c a a c c y x log log ,log ,,表示用已知==
结论：,0(log log log >=a a
c b
c b a 且0,1>≠c a 且)0;1>≠b c
思考2：该公式有什么特征？
思考3：若c b =，有什么结论？
思考4：证明b b a c a c log log log =∙
例1、 求值
())4)(log 9(log 132
())2log )(log 3log 3(log 292
384++
())9)(log 4)(log 25(log 3532
例2、12log ,,3lg ,2lg 5表示试用已知b a b a ==
练习：45
36918log ,,518,log 表示试用已知b a a b ==
例3、的值求若x x x -+=44,14log 3
例4、的值。
，求设b a b a 1
2
3643+==
练习：z y x z y x 1
111632=+≠==，求证设
课堂练习：
1、32
2798log log ∙=______
2、)log log (log )log log (log 8
12542525582541252++∙++=_____ 3、4.1log ,35log 75表示用已知m m =。