1.1实数,1.2数集.确界原理
(完整word版)实数完备性基本定理的相互证明
实数完备性基本定理的相互证明（30个）一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的单调递增数列.由确界原理，数列{}n a 有上确界，令{}n a sup a =，下面证明：lim n n a a →∞=.对任意的0ε>，由上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ,使得：N a a ε->. 由于{}n a 单调递增,故对任意的n N >，有：n N a a a ε-<<.另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对任意的正整数n 都有：n a a a ε≤<+. 所以任意的n N >，有：n a a a εε-<<+，即：n a a ε-<.由极限的定义，lim n n a a →∞=.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明：设[]{},n n a b 是一个闭区间套. 令数集{}n S a =.由于任一n b 都是数列{}n a 的上界，由确界原理，数集S 有上确界，设supS ξ=. 下证ξ属于每个闭区间[](),1,2,3,n n a b n =显然，()1,2,3,n a n ξ≤=，故只需证明对任意正整数n ，都有n b ξ≤.事实上，对任意正整数n ，n b 都是S 的上界，而上确界是最小上界，故必有n b ξ≤. 所以存在实数ξ，使得[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有:ξξ'=.唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理证明：欲证闭区间[],a b 的任一开覆盖H 都有有限的子覆盖. 令[]{}|,S x a x H a x b =<≤能被中有限个开区间覆盖，显然S 有上界.又H 覆盖闭区间[],a b ，所以，存在一个开区间(),H αβ∈，覆盖住了a .取(),x a β∈，则[],a x 显然能被H 中有限个开区间覆盖（1个），x S ∈，从而S 非空.由确界原理，令supS ξ=.先证明b ξ=.用反证法，若b ξ≠，则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ，一定存在开区间()11,H αβ∈，覆盖住了ξ.取12,x x ，使：11211,x x x S αξβ<<<<∈ ，则[]1,a x 能被H 中有限个开区间覆盖，把()11,αβ加进去，就得到[]2,a x 也能被H 中有限个开区间覆盖，即2x S ∈，这与supS ξ=矛盾，故b ξ=.最后证明b S ∈.设开区间()22,H αβ∈，覆盖住了b .由b supS =，故存在y 使得：2y b α<≤且y S ∈.则[],a y 能被H 中有限个开区间覆盖，把()22,αβ加进去，就得到[],a b 也能被H 中有限个开区间覆盖. 4.确界原理证明聚点定理证明：设S 有界无限点集，则由确界原理令inf S ξ=.若ξ是S 的一个聚点，则命题已经成立，下面设ξ不是S 的聚点.令 ){}|,T x x S ξ=⎡⎣中只包含中有限个元素.因为ξ不是S 的聚点，所以存在00ε>，使得()()000;,U ξεξεξε=-+只包含S 中有限个数，故0T ξε+∈，从而T 非空. 又S 有界，所以S 的所有上界就是T 的上界，故T 有上确界，令sup T η=. 下面证明η是S 的一个聚点.对任意的0ε>，S ηε+∉，故),ξηε+⎡⎣包含S 中无穷多个元素.由上确界的定义，存在(],ληεη∈-，使得S λ∈，故),ξλ⎡⎣中只包含S 中有限多个元素.从而我们得知)(),;U ληεηε+⊂⎡⎣中包含了S 中无穷多个元素，由聚点的定义，η是S 的一个聚点.5.确界原理证明Cauchy 收敛准则 证明：必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<.令数集{}{}|,n n S x x x x x n =≥∀中只有有限项小于或，明显数列{}n x 的下界都属于S ，并且{}n x 的上界就是S 的上界.由确界存在定理，令sup S ξ=.对条件给定的0ε>和N ，S ξε+∉，故(),ξε-∞+包含{}n x 中无穷多项.由上确界的定义，存在(],λξεξ∈-，使得S λ∈，故(),λ-∞中只包含S 中有限多个元素.从而我们得知)()(),;,U ληεηεηεηε+⊂=-+⎡⎣中包含了S 中无穷多个元素，设()(),1,2,3,k n x U k ξε∈=则对任意正整数n N >，总存在某个k n N >，故有：2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=.从而lim n n x ξ→∞=.二.单调有界定理6．单调有界定理证明确界定理证明：我们不妨证明非空有上界的数集Ｓ必有上确界.设{}|T r r S =为数集的有理数上界.明显T 是一个可数集，所以假设：{}12,,,,n T r r r =.令{}1min n i i nx r ≤≤=.则得单调递减有下界的数列，由单调有界定理得，令lim n n x ξ→∞= 先证ξ是上界.任取s S ∈，有n n s r x ≤≤，由极限的保序性，s ξ≤.其次对于任意的0ε>，取一个有理数(),r ξεξ∈-，它明显不是S 的上界，否则lim n n x r ξξ→∞=≤<产生矛盾！故存在s S ∈，使得s ξε>-，我们证明了ξ是数集S 上确界.7.单调有界定理证明区间套定理若[]{},n n a b 是一个区间套,则{}n a 为单调递增有上界的数列,由单调有界定理, 令lim n n a ξ→∞=，并且容易得到()1,2,3,n a n ξ≤=.同理,单调递减有下界的数列{}n b 也有极限,并按区间套的条件有：()lim lim 0n n n n n n b a b a ξξ→∞→∞=+-=+=⎡⎤⎣⎦，并且容易得到()1,2,3,n b n ξ≥=.所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有:ξξ'=.唯一性得证.8.单调有界定理证明有限覆盖定理设[]{}|,,T r a r H r r b =∈≤可以被的开区间有限开覆盖，且.容易得到T 中包含无穷多个元素，并且T 是一个可数集，所以假设：{}12,,,,n T r r r =.令{}1max n i i nx r ≤≤=.则得单调递增有上界的数列，由单调有界定理得，令lim n n x ξ→∞=.先证明b ξ=.用反证法，若b ξ≠，则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ，一定存在开区间()11,H αβ∈，覆盖住了ξ.取,i j x r y =，使：11i j x r y αξβ<=<<< ，则[]1,a x 能被H 中有限个开区间覆盖，把()11,αβ加进去，就得到[],a y 也能被H 中有限个开区间覆盖，即y S ∈，这与supS ξ=矛盾，故b ξ=.最后证明b S ∈.设开区间()22,H αβ∈，覆盖住了b .由b supS =，故存在k l x r =使得：2k l x r b α<=≤.则[],l a r 能被H 中有限个开区间覆盖，把()22,αβ加进去，就得到[],a b 也能被H 中有限个开区间覆盖. 9.单调有界定理证明聚点定理证明：设S 是一有界无限点集，在S 中选取一个单调{}n a ，下证数列{}n a 有聚点.（1）如果在{}n a 的任意一项之后，总存在最大的项,设1a 后的最大项是1n a ，1n a 后的最大项是2n a ，且显然()2121n n a a n n ≤>； 一般地，将k n a 后的最大项记为1k n a +，则有：()11,2,3,k k n n a a k +≤=.这样，就得到了{}n a 的一个单调递减子列{}k n a .（2）如果（1）不成立 则从某一项开始，任何一项都不是最大的，不妨设从第一项起，每一项都不是最大项.于是，取11n a a =，因1n a 不是最大项，所以必存在另一项()2121n n a a n n >>又因为2n a 也不是最大项，所以又有：()3232n n a a n n >> ，这样一直做下去，就得到了{}n a 的一个单调递增子列{}k n a .综上所述，总可以在S 中可以选取一个单调数列{}k n a ，利用单调有界定理，{}k n a 收敛，极限就是S 的一个聚点.10.单调有界定理证明Cauchy 收敛准则 证明：必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=，故存在某个正整数0N ，对一切n ，有011n N x x +-<，即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.参考9的做法，可知数列{}n a 有一个单调子列{}k n a ，由单调有界定理，{}k n a 收敛，令lim k n k x ξ→∞=.则对任意正整数n N >，总存在某个()k k n n N >，使得k n x ξε-<，故有：2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.三．区间套定理11.区间套定理证明确界原理证明：仅证明非空有上界的数集S 必有上确界取一个闭区间[],a b ，使得[],a b 包含S 中的元素，并且b 为S 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为数集S 的上界，则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为数集S 的上界，则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =并且每个闭区间[],n n a b 都包含S 中的元素，并且右端点n b 为S 的上界.由于对任意s S ∈，有n s b ≤，所有由极限的保序性，lim n n s b ξ→∞≤=，从而ξ是数集S 的上界.最后，对于任意0ε>，存在n ，使得0n n b a ε<-<.由闭区间套的选取，[],n n a b 包含了S 中某个元素s ，从而有n n s a b εξε≥>->-.故ξ是数集S 的上确界. 12. 区间套定理证明单调有界定理设{}n x 是单调有界数列，不妨设其为单调递增且有上界取一个闭区间[],a b ，使得[],a b 包含{}n x 中的项，并且b 为{}n x 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为{}n x 的上界，则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为{}n x 的上界，则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =并且每个闭区间[],n n a b 都包含{}n x 中的项，并且右端点n b 为{}n x 的上界.下面证明lim n n x ξ→∞=.对任意的0ε>，存在n ，使得0n n b a ε<-<.由闭区间套的选取，[],n n a b 包含了{}n x 中某一项N x ，从而有N n n x a b εξε≥>->-.由于{}n x 单调递增,故对任意的n N >，有：N n x x ξε-<<. 又n n n x b a εξε<<+<+，故有n x ξεξε-<<+，即n x ξε-<. 13. 区间套定理证明有限覆盖定理若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法，若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =.显然[],a b ξ∈，考虑H 中覆盖ξ的开区间(),αβ，取{}0min ,δξαβξ<<--.由于lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==，所以存在N ，对一切正整数n N >，有,n n a b ξξδ--<，故此时[]()(),;,n n a b U ξδαβ⊂⊂.从而[](),n n a b n N >可以被H 中的一个开区间(),αβ覆盖，产生矛盾！故假设不成立，即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖. 14. 区间套定理证明聚点定理证明:已知点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，每个闭区间包含了点集S 中无穷多个元素.由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =.下证ξ是点集S 的一个聚点.因为lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==，故对任意的0ε>，必定存在一个N ，对一切正整数n N >，有,n n a b ξξε--<，从而[]()(),;n n a b U n N ξε⊂>.又每个闭区间[],n n a b 包含了点集S 中无穷多个元素,故();U ξε包含了点集S 中无穷多个元素.由聚点的定义，ξ是点集S 的一个聚点.15. 区间套定理证明Cauchy 收敛准则 必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=，故存在某个正整数0N ，对一切n ，有011n N x x +-<，即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.取一个闭区间[],a b ，使得[],a b 包含所有{}n x 中的项.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了{}n x 中无穷多项，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了{}n x 中无穷多项，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，并且每个闭区间[],n n a b 都包含{}n x 中无穷多项.由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =现在取一个子列{}k n x ，满足[](),1,2,3,k n k k x a b k ∈=.因为lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==和夹逼定理，lim kn k x ξ→∞=.则对任意正整数n N >，总存在某个()k k n n N >，使得k n x ξε-<，故有：2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.四.有限覆盖定理16.有限覆盖定理证明确界原理证明：不妨设S 为非空有上界的数集，我们证明S 有上确界. 设b 为S 的一个上界，下面用反证法来证明S 一定存在上确界.假设S 不存在上确界，取a S ∈.对任一[],x a b ∈，依下述方法确定一个相应的邻域（开区间）()();,x x x x U U x x x δδδ==-+.（1）若x 不是S 的上界，则至少存在一点x S '∈，使x x '>，这时取x x x δ'=-.（2）若x 是S 的上界，由假设S 不存在上确界，故有0x δ>，使得](,x x x δδ- 中不包含S 中的点.此时取(),x x x U x x δδ=-+，可知它也不包含S 中的点.于是我们得到了[],a b 的一个开覆盖：()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈ 根据有限覆盖定理，[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖.很明显（1）的开区间右端点属于S ，（2）的开区间中不包含S 中的点.显然a 所属的开区间是属于（1）的，b 所属的开区间是属于（2）的，所以至少有一个（1）中的开区间与某个（2）中的开区间相交，这是不可能的.17.有限覆盖定理证明单调有界定理证明：设{}n x 是单调有界数列，不妨设其为单调递增且有上界.任取b 为{}n x 的一个上界以及{}n x 中某项t x ，构造出闭区间[],t x b ，对任意的[],t x x b ∈，依下述方法确定一个相应的邻域（开区间）()();,x x x x U U x x x δδδ==-+.（1） 若x 不是{}n x 的上界，则{}n x 中至少存在一项i x ，使i x x >，这时取x x x δ'=-.（2） 若x 是{}n x 的上界，由假设{}n x 发散，故不会收敛到x .即有存在某个00ε>，对任何正整数N ，存在n N >，使得()()000;,n x U x x x εεε∉=-+.由于{}n x 递增，有上界x ，所以{}n x 中的所有项均不落在()()000;,U x x x εεε=-+中.此时取0x δε=.于是我们得到了[],t x b 的一个开覆盖：()[]{},|,x x x t H U x x x x b δδ==-+∈. 根据有限覆盖定理，[],t x b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖.很明显（1）的开区间右端点属于{}n x ，（2）的开区间中不包含{}n x 中的项.显然t x 所属的开区间是属于（1）的，b 所属的开区间是属于（2）的，所以至少有一个（1）中的开区间与某个（2）中的开区间相交，这是不可能的.18. 有限覆盖定理证明区间套定理 证明:用反证法.假设[]{}(),1,2,3,n n a b n =没有公共点，则对任意一点[]11,x a b ∈，它都不会是[]{}(),1,2,3,nna b n =的公共点，从而存在正整数xn，使得,x x n n x a b ⎡⎤∉⎣⎦.故总存在一个开区间(),x x x U x x δδ=-+，使得：(),,xnx x n nx x a b δδ⎡⎤-+⋂=∅⎣⎦，于是我们得到了[]11,a b 的一个开覆盖：()[]{}11,|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理，[]11,a b 可以被H 中有限个开区间{}1i kx i U =覆盖.注意到闭区间套之间的包含关系，则所有{}1ikx i U =一定和某个最小的闭区间001,,i i k n n n n i a b a b =⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦无交.从而：[]{}0000001111,,,,i ik k n n x n n x n n i i a b a b U a b Ua b ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋂⊂⋂=⋂=∅⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭.产生矛盾！19. 有限覆盖定理证明聚点定理证明:设点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.用反证法，假设S 没有聚点.利用聚点定义，对任意的[],x a b ∈，存在一个领域(),x x x U x x δδ=-+，使得x U 中只包含点集S 中有限个点.这样得到了[],a b 的一个开覆盖：()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理，[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖. 由于每个x U 中只包含点集S 中有限个点，所以[]1,i n x i a b U =⊂也只包含了S 中有限个点，这与S 是无限点集相矛盾！故假设不成立，即S 有聚点. 20. 有限覆盖定理证明Cauchy 收敛准则 证明：必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：（使用反证法）现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<. 先证明柯西数列是有界的.取01ε=，故存在某个正整数0N ，对一切n ，有011n N x x +-<，即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.假设{}[],n x a b ⊂.若{}n x 发散，则对任意的[],x a b ∈，可以找到一个(),x x x U x x δδ=-+，使得{}n x 中只有有限项落在()0;U x ε中.否则对任何0δ>，(),x x δδ-+中均包含{}n x 中无限项，则可以证明{}n x 收敛.这样得到了[],a b 的一个开覆盖：()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理，[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1i nx i U =覆盖. 所以[]1,i n x i a b U =⊂也只包含了{}n x 中的有限项，矛盾！故假设不成立，{}n x 收敛.五．聚点定理21.聚点定理证明确界原理证明：仅证明非空有上界的数集S 必有上确界.取一个闭区间[],a b ，使得[],a b 包含S 中的元素，并且b 为S 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为数集S 的上界，则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为数集S 的上界，则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由于{}n b 明显有界，所有它有聚点ξ.对任意0,s S ε>∈，设()();,k b U ξεξεξε∈=-+，则k s b ξε≤<+.由ε的任意性，s ξ≤，故ξ是S 的一个上界.其次，对任意0ε>，取()();,k a U ξεξεξε∈=-+，设s S ∈包含于闭区间[],k k a b ，则k s a ξε≥>-.从而我们证明了ξ是S 的一个上确界. 22.聚点定理证明单调有界定理证明：设{}n x 是单调有界数列，则它一定存在聚点ξ.下证：lim n n x ξ→∞=.对任意的0ε>，由聚点的定义，()(),,U ξεξεξε=-+中包含{}n x 中的无穷多项，设{}()(),,kn x U ξεξεξε⊂=-+.则取1N n =，对一切正整数1n N n >=，假设k n n <.利用{}n x 是单调的，nx介于1n x 与k n x 之间，所以由()1,,k n n x x U ξε∈，可知(),n x U ξε∈，从而由极限的定义，lim n n x ξ→∞=23.聚点定理证明区间套定理证明：设{}{}n n S a b =⋃，则S 是有界无限点集 由聚点定理得数集S 聚点ξ.若存在一个某个正整数0n ，使得00,n n a b ξ⎡⎤∉⎣⎦，不妨假设00n n a b ξ<<.取00n b εξ=-，则对一切0n n >，有00n n n a b b ξε<≤=-.于是()()000;,U ξεξεξε=-+中只包含S 中有限个点，这与ξ是数集S 的聚点矛盾！故[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有:ξξ'=.唯一性得证.24.聚点定理证明有限覆盖定理证明：若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法，若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，并且[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖显然，{}n a 是有界的，故它存在聚点ξ.明显[],a b ξ∈.考虑H 覆盖中覆盖住ξ的开区间(),αβ.取{}min ,εξαβξ<--，则在()();,U ξεξεξε=-+中包含了{}n a 中的无穷多项，设{}()();,kn a U ξεξεξε⊂=-+.又()02n n nb aba n --=→→+∞ 于是存在某个0k n ，使得0k k n n b a βξε-<--故0n a ξεα>->；()00n n b a βξεξεβξεβ<+--<++--=. 故[]00,,n n a b αβ⎡⎤⊂⎣⎦.这与[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖矛盾！故假设不成立，即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.25.聚点定理证明Cauchy 收敛准则 证明：必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=，故存在某个正整数0N ，对一切n ，有011n N x x +-<，即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.故它存在聚点，设为ξ.对条件中的0ε>，由聚点的定义，假设{}()();,k n x U ξεξεξε⊂=-+ 则对任意正整数n N >，总存在某个()k k n n N >，使得k n x ξε-<，故有：2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.六.Cauchy 收敛准则26. Cauchy 收敛准则证明确界原理证明: 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数α,存在整数k α ,使得k ααλα=为S 的上界,而()1k ααλαα-=-不是S 的上界, 即存在S α'∈使得()1k ααα'>- 分别取()11,2,3,n n α==，则对每一个正整数n ,存在相应的n λ,使得nλ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界,故存在S α'∈,使得1n nαλ'>-又对正整数m ,m λ是S 的上界，故有m λα'≥.所以1m n n λαλ'≥>-，即有1m n m λλ-<.同理有1m n nλλ-<，于是得到11min ,m n m n λλ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭.于是,对任意的0ε>，存在正整数N ，使得当,m n N >时有m n λλε-<. 由柯西收敛准则,数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞=现在证明λ就是S 的上确界.首先,对任何S α∈和正整数n ，有n αλ≤，有极限的保序性，lim n n αλλ→∞≤=，故λ是S 的上界其次,对于任意的0δ>,存在充分的的正整数n ，使得12n δ<并且2n δλλ>-. 由于1n n λ-不是S 的上界，所以存在S α'∈，并且1n n αλ'>-.于是122n n δδαλλλδ'>->--=-.故λ就是S 的上确界. 27. Cauchy 收敛准则证明单调有界定理证明：设{}n x 是单调有界数列，不妨假设{}n x 单调递增有上界.若{}n x 发散，则又柯西收敛准则，存在00ε>，对一切正整数N ，存在m n N >>，使得0m n m n x x x x ε-=-≥.于是容易得到{}n x 的子列{}k n x ，使得10k k n n x x ε+-≥.进而()101k n n x x k ε>+-故()k n x k →+∞→∞，这与{}n x 是有界数列矛盾！所有假设不成立，即{}n x 收敛. 28. Cauchy 收敛准则证明区间套定理证明：设[]{},n n a b 为闭区间套.因为lim 0n n n a b →∞-=，所以对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>，m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<；m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<，由柯西收敛准则，{}{},n n a b 均收敛，而且是同一极限，设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.由于{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，由极限的保序性， 所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有:ξξ'=.唯一性得证.29.Cauchy 收敛准则证明有限覆盖定理证明：若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法，若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，并且[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖.因为lim lim02n n nn n b aa b →∞→∞--==，所以对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>，m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<；m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<，由柯西收敛准则，{}{},n n a b 均收敛，而且是同一极限，设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.由于{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，由极限的保序性， 所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=.考虑H 覆盖中覆盖住ξ的开区间(),αβ.取{}min ,εξαβξ<--，则存在正整数N ，对一切n N >，,n n a b ξξε--<.即有[]()(),;,n n a b U ξεαβ⊂⊂.这与[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖矛盾！故假设不成立，即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.30. Cauchy 收敛准则证明聚点定理证明：已知点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，每个闭区间包含了点集S 中无穷多个元素. 因为lim lim02n n nn n b aa b →∞→∞--==，所以对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>，m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<；m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<，由柯西收敛准则，{}{},n n a b 均收敛，而且是同一极限，设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.下证ξ是S 的一个聚点.对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，,n n a b ξξε--<.即有[]()(),;,n n a b U ξεξεξε⊂=-+.故()();,U ξεξεξε=-+中包含了S 中无穷多个元素，由聚点的定义，ξ是S 的一个聚点.。
数列极限与实数系的基本定理
在xε ∈ S 满足xε > β − ε = β − (β − α) = α, 与α也为S的上确界矛盾,从而上确界唯一.
同理可证下确界唯一.
例
{sin
π n
设E1 = (1, 1/2, · · · , 1/n, · · ·); E2 : n ∈ N+}. 则
=
(1, 2, · · · , n · · ·); E3
于进行严格的推理论证. 因此,有必要使用分析语言给出确切的定义.
定义1.2.1 设{xn}是一个数列，a是一个实数，如果对于任意给定的ε > 0，存在一个
自然数N ，使得凡是n > N 时，都有|xn − a| < ε, 就说数列{xn}当n趋向无穷大时以a为
极限，记成 lim
n→∞
xn
= a,
也可以简记为xn
→ a(n → ∞),
我们也说数列{xn}
收敛于a.
存
在极限的数列称为收敛数列,没有极限的数列称为发散的.
若 lim
n→∞
xn
=
0,
则称{xn}
为无
穷小量.
注
1、
lim
n→∞
xn
=
a
⇐⇒
xn
−
a为无穷小量.
2、 在定义中,正数ε必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代替.
3、 当正数ε给定之后，满足要求的N 通常是与ε有关的，此时N + 1, N + 2等也满足
n
2
xiyi ≤
i=1
n
x2i
i=1
n
yi2 .
i=1
其中等号成立当且仅当数组{xi}与{xi}对应成比例. 4、调合平均值-几何平均值-算术平均值不等式（简称平均值不等式）
六大定理互相证明总结
六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院 数学与应用数学专业 班级指导老师 XXX摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b .显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞→n n n a b ∴βα=即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞→lim 也存在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有n n k n n k b b a a ∞→∞→≥≤lim ,lim （*）由定理的另一条件： ()0lim =-∞→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b .从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …） 由数列极限的性质知道：()ξξ-≥-∞→'lim n n n a b由于()0lim =-∞→n n n a b ，故有0'≤-ξξ从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列{}n x 递增有上界.取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.以此方法，得区间列{[,n a ]n b }.由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞→n n x lim 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=-nn n ab a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则1n ＜2n .继续在每一[]k k b a ,中都这样取出一个数k n y ，即得{}n y 的一个子列{}k n y ，其中1n ＜2n ＜…＜k n ＜…，且k n k b y a k ≤≤.令∞→k ，由于,,ξξ→→k k b a 故ξ→k n y .这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设{}n x 单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列{}k n x . 令a x k n k =∞→lim .于是，对ε∀＞0，∃0k ，当k ＞0k 时，有a x k n -＜ε （*） 由于{}n x 单调递增，显然恒有a x n ≤（3,2,1=n …）. 由此（*）式可改成0k n x a -≤＜ε （k ＞0k ） 取0k n N =，当n ＞N 时有 k n n x a x a -≤-≤0＜ε 所以 a x n n =∞→lim4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：设a x n →，则对任意给定ε＞0，有一正整数N ，当k ＞N 时，有 a x k -＜2ε从而当n m ,＞N 时，有m n m n x a a x x x -+-≤-＜2ε+2ε=ε 其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取ε=1，必有一正整数0N ，当n m ,＞0N 时，有m n x x -＜1特别地，当n ＞0N 且10+=N m 时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ＞0N 时，有 1100+++-≤N N n n x x x x ＜1+10+N x这就证明了{}n x 的有界性.由致密性定理，必有收敛子列{}k n x ，设a x k n k =∞→lim .根据子列收敛定义，对任意给定的ε＞0，必有正整数K ，当k ＞K 时，有 a x n -＜ε取一正整数()1,1m ax 0++=N K k .于是0k ＞K ，且11+≥≥+N n n N k o ＞N .因此，当n ＞N 时，由已知条件有0k n n x x -＜ε，所以a x x x a x k k n n n n -+-≤-00＜ε+ε=2ε即 a x n n =∞→lim5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理 数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：对任意给定的ε＞0，有正整数N ，当m , n ＞N 时，有m n x x -＜ε. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设{}n x 为一递增且有上界M 的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是ε∃＞0，对*N N ∈∀，当n m ,＞N 时，有 m n x x -ε≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x . 又由于数列{}n x 为一递增的数列，所以1212n n n n x x x x -=-1≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当32,n n ＞1N 时，有123≥-n n x x 取1=ε，必有一正整数1N ，当43,n n ＞1N 时，有134≥-n n x x …………… …………… …………… 取1=ε，必有一正整数1N ，当1,+k k n n ＞1N 时，有11≥-+k k n n x x 将以上式子相加，得11+≥+k x k n ∞→ （∞→k ） 与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设{}n x 为一有上界M 的数列. 假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则ε∃＞0，对*N N ∈∀，当k k n n ,1+＞N 时，有ε≥-+k k n n x x 1. 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x 取2=ε，必有一正整数2N ，当32,n n ＞2N 时，有223≥-n n x x 取3=ε，必有一正整数3N ，当43,n n ＞3N 时，有334≥-n n x x…………… …………… …………… 取k =ε，必有一正整数k N ，当1,+k k n n ＞k N 时，有k x x k k n n ≥-+1 显然与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集E 覆盖一个闭区间[a ,b ],则总可以从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a ,b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间E ⊂R ，∀x ∈E ,有x ≤M ,任取一点0x ∈E ，假设E 无上确界，那么∀x ∈[0x ,M ]:ⅰ)当x 为E 的上界时，必有更小的上界1x ＜x ,因而x 存在一开邻域∆x ，其中每一点均为E 的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x 不是E 的上界时，则有2x ∈E 使2x ＞x ,那么x 存在一开邻域∆x ，其中每点均不是E 的上界，称其为第二类区间.∴ 当x 取遍[0x ,M ]上每一点找出一个邻域∆x .显然∆x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x ,M ]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x ,M ].显然M 所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间∆x 有公共点.所以∀x ∈∆x ，x 均为E 的上界.而与∆x 相邻接的开区间∆'x 有公共点，所以∀x ∈∆'x ，x 均为E 的上界. 依此类推，0x 所在的开区间也是第一类区间，则0x 为E 的上界. 又 0x E ∈，∴E 为常数集.由此矛盾引出. 得证.同理，E 有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设{}n x 是一有界数列，现在证明{}n x 有收敛子列.（1）如果{}n x 仅由有限个数组成，那么至少有一个数ξ要重复无限多次，即ξ===21n n x x …==kn x … 因而子列{}kn x 收敛于ξ.（2）如果{}n x 是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间[]b a ,，使对一切自然数n 都有a ＜n x ＜b在[]b a ,内至少存在一点0x ，使对于任意的正数δ，在()δδ+-00,x x 内都含有{}n x 中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于[]b a ,中每一点x ，都有x δ＞0，在()x x x x δδ+-,内，仅有{}n x 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：{=μ(,x x δ-)x x δ+}，μ完全覆盖了闭区间[]b a ,，依有限覆盖定理，存在μ中的有限多个区间.()11111,x x x x δδ+-=∆，…，()n n x n x n n x x δδ+-=∆,，他们也覆盖了[]b a ,，并且在每一个i ∆（,2,1=i …,n ）中都只含{}n x 中的有限多个数.因此{}n x 也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾. 于是，对于k δ=k1（,3,2,1=k …），于()k k x x δδ+-00,内取{}n x 中无穷多个点，就得到{}n x 的子列{}k n x 满足：0x x k n -＜kk 1=δ（,3,2,1=k …）从而∞→k lim 01x x n =得证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX 老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋 金福临 朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。
实数完备性的六大基本定理的相互证明
1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。
2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。
3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。
4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。
5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。
） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。
一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。
关于实数完备性的研究
关于实数完备性的研究一、实数完备性理论的介绍什么是实数完备性？实数完备性就是是数学分析的基础，它是指六大定理的等价。
下面我们介绍一下六大定理。
1.1 确界原理1.1.1确界原理的定义x∈，都有定义1设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切Sx≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．定义2设S是R中的一个数集．若数η满足：（i）对一切Sx∈，有ηx，即η是S的上界；≤（ii）对任何ηα<存在S>x即η又是S的最小上界x o∈，使得αoη则称数η为数集S的上确界，记作S=sup定义3 设S是R中的一个数集．若数ξ满足：（i）对一切Sx∈，有ξ≥x，即ξ是S的下界（ii）对任何ξβ>，存在Sx即ξ又是S的最大下界，则称x o∈，使得,β<o数ξ为数集S的下确界，记作Sξ=i n f上确界与下确界统称为确界．1.1.2确界原理及其证明确界原理设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．12 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数．由于S 有上界，故可找到非负整 数n ，使得)1对于任何S x ∈有1+<n x ; )2存在S a ∈0,使n a ≥0.对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的 一个数1n ,使得)1对于任何S x ∈有101.1+<n n x ； )2存在S a ∈1，使11.n n a ≥． 再对半开区间)101.,.[11+n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有<x 221101.+n n n)2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在9,2,1,0 中的—个数k n ，使得)1对于任何S x ∈有kk n n n n x 101.21+< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η．以下证明=ηS sup ．为此只需证明：（i ） 对一切S x ∈有η≤x ；（ii ）对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α．倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ， 使=>k k x η+k n n n n 21.k101， 从而得kk n n n n x 101.21+> ，3但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证．现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即k k n n n n α> 21.，根据数η的构造，存在S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ， 即得到'a <α，．这说明（ii ）成立．1.2单调有界原理1.2.1 极限以及数列定义定义4 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则称R f →N +: 或 ()+N ∈n n f , 为数列定义5 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定 数a 称为数列{}n a 的极限，并记作 a a n =lim 或 ()∞→→n a a n . 定义6 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a a a ，则称{}n a 为 递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列.1.2.2 单调有界定理及其证明单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .4 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.1.3 区间套定理1.3.1区间套定义定义7 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ； （ii ）()0lim =-∞→n n n a b ，则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.1. 3. 2区间套定理及其证明区间套定理 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.]2[证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0 , 显然ξ是不存在的.推论 若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂. 证 由区间套定理的证明可得：ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim .5由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 正整数N , 当N n ≥时， 有 n a <-εξ ，εξ+<n b ，即 εξεξ+<≤<-n n b a ， 这就是说 []()εξ;,U b a n n ⊂.1.4.1聚点定理1.4.1聚点定义定义8 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S , 也可以不属S ). 若对于任意正数ε ,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则 称ξ为的S 一个聚点.定义8' 设S 为实数集R 上的非空点集, R ∈ξ.若对于任意正数ε，()φεξο≠S U ; ，则称ξ为的S 一个聚点.定义8″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 定义8 → 定义8' 由定义直接得到定义8' → 定义8″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U ;， 那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈∃；取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξε12,21min x ，()S U x 22;εξο∈∃；..........取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξε1,1min n n x n ，()S U x n n εξο;∈∃；..........这样就得到一列{}S x n ⊂.由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且 nx n n 10≤<-<εξ 由此 ξ=∞→n n x lim6 定义8″ → 定义8 由极限的定义可知这是显然的.1. 4. 2聚点定理及其证明聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. ]2[证 因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-⊂ , 且记[][]M M b a ,,11-= .现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且 M a b a b =-=-)(211122. 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取 出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃， 且 2)(212233Ma b a b =-=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(021∞→→=--n Ma b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ. 由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点.推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列. ]2[证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的 子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ. 于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.71.5 开覆盖定理1.5.1开覆盖定义定义9 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）.若S 中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.1.5.2有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理 设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,.]2[证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈. 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .8 这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,注 定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立.1.6柯西收敛准则及其证明1.6.1柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a .]2[证 (必要性)设 A a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整 数N ，使得当N m n >,时有 2ε<-A a n , 2ε<-A a m因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n .(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，ε<-N n a a . 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,.令21=ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈21,2111N N n a a a ，取 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21,21,1111N N a a βα.令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈2221,2122N N n a a a ,取 [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=22112221,21,,22N N a a βαβα.显然有 [][]2211,,βαβα⊃ ，2122≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a .........令k 21=ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα.........Na ε-N a ε+N a x9这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足 （i ）[][],...2,1,,,11=⊃++k b a b a k k k k ； （ii ）∞→→≤--k a b k k k ,0211；（iii ）对+N ∈∀k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈. 由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈，所以εξ<-n a .这就证明了 ξ=∞→n n a lim . 故数列{}n a 收敛.二、引出问题----六大定理如何等价有限覆盖定理→聚点定理→柯西收敛准则→确界原理→单调有界定理→区间套定理→有限覆盖定理2.1用有限覆盖定理证明聚点定理证 设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,⊂. 假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点.令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖.，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S .由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾. 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点.2.2 用聚点定理证明柯西收敛准则证 设数列{}n a 为有界数列.若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些10 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ.于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.设数列{}n a 满足柯西条件. 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正 整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a .由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a . 令}1,,...,,max {121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤. 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设A a k n k =∞→lim .对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有2ε<-m n a a （柯西条件） 2ε<-A a K n （A a k n k =∞→lim ）因此当取()K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .2. 3 用柯西收敛准则证明确界原理证 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数αk ，使得αλααk =为S 的上界，而ααλαα)1(-=-k 不是S 的上界，即存在S ∈'α，使得ααα)1(->'k分别取n 1=α，,....2,1=n ，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为 S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得nn 1->'λα . (6)又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m . 结合(6)式得nm n 1<-λλ ；同理有 mn m 1<-λλ . 从而得 ⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1m a x λλ .于是，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N m n >,时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛. 记λλ=∞→n n lim . (7)现在证明λ就是S 的上确界. 首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由(7)式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界.其次，对任何0>δ，由)(01∞→→n n 及(7)式，对充分大的n 同时有21δ<n ， 2δλλ->n . 又因nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得n n 1->'λα .结合上式得δλδδλα-=-->'22 .这说明λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界 .2 .4 用确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界， 记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2 .5用单调有界定理证明区间套定理证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.2. 6用区间套定理证明有限覆盖定理证 假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n )(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈.于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,.三 、实数完备性的理论基础实数完备性理论是在实数的基本性质的基础上衍生出来的，如不足近似、过剩近似，四则运算的封闭性，绝对值与不等式等等。
数集确界原理
作业 :
P9: 1, 2, 3, 4, 5.
§2 数集.确界原理
1.区间和邻域 有限区间 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. [a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
S
确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界, 则S必有下确界. 例3 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y. 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且
sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b, 则e为正数且 a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有 a b.
3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2.
3.实数集 两个实数的大小关系 • 定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中a0 , b0为非负整数， ak , bk (k 1,2,L)为整数， 0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等，记为x y； 若a0 > b0或存在非负整数l , 使得ak bk (k 1,2Ll )而al 1 > bl 1 则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.
1.实数、数集、确界
《数学分析》研究的基本对象是定义在“实数集”上的函数，为此，我们要先学习一些实数理论，然后学习函数论，最后学习极限论！第一节 实数、数集、确界 一. 实数及其性质：1. (,0)p p q q q⎧⎧≠⎨⎪⎨⎩⎪⎩正分数有理数：为整数且或有限十进小数和无限十进循环小数实数负分数无理数：无限十进不循环小数[问题] 有理数，无理数的表示不统一，对统一讨论实数是不利的，为了讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：在此规定下，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示，并且衍生出两个概念：对于正实数012n x a a a a = ，有理数012n n x a a a a = 称为实数x 的n 位不足近似；而有理数01211(1)10n n n n n x a a a a a x -=+=+称为实数x 的n 位过剩近似 对于负实数012n x a a a a =- ，有理数01201211(1)10n n n n n x a a a a a a a a a -=--=-+ 称为实数x 的n 位不足近似；而有理数01n n x a a a =- 称为实数x 的n 位过剩近似 规定：零的n 位不足近似为110n -，零的n 位过剩近似为110n 从而： 实数x 的n 位不足近似n x 单调增加：012n x x x x x ≤≤≤≤< ⇒n x 收敛于x实数x 的n 位过剩近似n x 单调减少：012n x x x x x ≥≥≥≥> ⇒n x 收敛于x2. 实数大小的比较：首先规定：正实数>零>负实数无限小数法比较：设01n x a a a = 、01n y b b b = 均为正实数，其中00,a b 为非负整数，k a ，k b (1,2,)k = 为整数且09,09k k a b ≤≤≤≤，若有,0,1,2,k k a b k == ，则称x 与y 相等，记为：x y =；若00a b <或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l == 且11l l a b ++<，则称x 小于y ，记为：x y <；对于负实数x 、y ，按上述规定分别比较,x y --即可有限小数法比较：设01n x a a a = 、01n y b b b = 为两个实数，则：x y <⇔存在非负整数n ，使得n n x y <，其中n x 为x 的n 位过剩近似，n y 为y 的n 位不足近似例：设,x y为实x y <，求证：存在有理数r ，满足x r y <<3. 实数集{}|R x x =为实数的性质：封闭性：任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数 有序性：任意两个实数a b ，必满足a b a b a b <=>，，之一 传递性：若a b b c <<，，则a c <阿基米德性：,a b R ∀∈且0b a >>，则必n N +∃∈使得na b >稠密性：任意两个不相等的实数之间总有另一个实数，且既有有理数也有无理数 对应性：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系二. 绝对值：分析论证的基本工具1. 绝对值的定义：实数a 的绝对值,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩2. 绝对值的几何意义：数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离，从而||x a - 表示点x 与点a 的距离3. 绝对值的性质：0a b R δ∀∈>，，，则有：||||0a a =-≥，并且||00a a =⇔=||||a a a -≤≤；||||||ab a b =⋅；||||a ab b =（0b ≠） ||a a δδδ<⇔-<<；||a a δδδ≤⇔-≤≤ ||a a δδ>⇔>或a δ<-；||a a δδ≥⇔≥或a δ≤-||||||||||a b a b a b -≤±≤+{}max ,22a b a b a b -+=+ {}min ,22a ba b a b -+=- 三. 区间与邻域：1. 区间、闭区间套、分割以及分割的模：✧ {}{}{}{}{}{}{}{}{}(,)|[,]|[,)|(,]|[,)|(,]|(,)|(,)|(,)|a b x a x b x R a b x a x b x R a b x a x b x R a b x a x b x R a x x a x R a x x a x R a x x a x Ra x x a x R x x R ⎧⎧⎪=<<∈⎪⎪=≤≤∈⎨⎪=≤<∈⎧⎪⎪⎨⎪=<≤∈⎪⎩⎩⎨+∞=≥∈⎧⎪-∞=≤∈⎪⎪+∞=>∈⎨⎪-∞=<∈⎪⎪-∞+∞=∈⎩开区间，有限区间闭区间，闭开区间，半开半闭区间开闭区间，区间，，无限区间，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩，,a b R ∈且a b <✧ 闭区间套：如果闭区间列{}[,],1,2,3,n n a b n = 满足：1) 1122[,][,][,]n n a b a b a b ⊃⊃⊃⊃ 亦即123321n n a a a a b b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ 2)lim()0n n n b a →∞-=亦即当∞→n 时区间[,]n n a b 的长度趋于零则称闭区间列{}[,],1,2,3,n n a b n = 是一个递缩闭区间套，简称为闭区间套。
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
数学分析(二)知识点总结
于是
b
b
a f ( x)dx a dU U
(2)
这表明连续函数的定积分就是 (1) 的微分的
定积分.
2、名称释译
由理论依据(2) 知,所求总量 A 就是其微分 dU f ( x)dx 从 a 到 b 的无限积累(积分) :
b
U f ( x)dx a
这种取微元 f ( x)dx 计算积分或原函数的 方法称微元法.
几个概念：
区间套（闭区间套），
聚点（3个等价定义及其等价性的证明），
开覆盖（有限开覆盖）。
举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间 结论不成立。
如 （{ 0，1）}是前一个包含后一个，且 lim(1 0) 0,
n
n n
但不存在属于所有开区间的公共点。
举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区 间结论不成立。
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 的积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”的积分法。
注：检验积分结果正确与否的基本方法。
凑微分时常用到：
2xdx dx2; e xdx de x;
sec2 xdx d tan x;
1 dx d 2 x; x
xndx dxn1 , n -1; n1
1 dx d ln( x c); xc
cos xdx d sin x;
1 1 x2 dx d arctan x;
dx 1 d(ax b), a 0. a
如开区间集合{( 1 ,1)}，n 1,2, n1
数学分析1-2数集、确界原理
4. sup S.
(1) x b0 .b1b2 S,
若 x 0, 则x ; 若 x 0, 则 x S .
由于 a0 .a1 an max{ b0 .b1 bn | x b0 .b1 S }, 则 a0 .a1 an b0 .b1 bn . 由 n 的任意性得 x y.
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、区间与邻域
二、有界集
三、确界 四、确界的存在性定理
五、非正常确界
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一、区间与邻域
区间 是指介于某两个实数之间的全体实数， 这两个实数叫做区间的端点
a,b , 且 a b
{ x a x b} 称为开区间，记作 (a ,b)
三、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 最小的上界称为上确界.
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下确界
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
(i) x S, x ;
(是它的上界)
(ii) , x0 S, 使得 x0 , (比小的不是它的上界)
则称 是 S 的上确界, 记为 sup S .
下面证明 R, 使 sup S.
证明分以下四步: 1. 令Sn {b0 .b1 bn | x b0 . b1b2 S }, 则 Sn 有最 大值 xn , n 1, 2, .
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2. a0 N , ai {0,1, , 9}, i 1, 2, , 使 n, xn a0 .a1an , n 1,2,.
S1 { x | x S , x n0 .n1a2 },
则 S1 , x1 S1, x1 n0 .n1; x S, 1
1-2数集 确界原理
定义3 是实数集R中的一个数集 定义 设S是实数集 中的一个数集， 是实数集 中的一个数集， η 满足： 若数 满足： （1） x ∈ S , 有x ≥ η ，即 η 是S的一 ） 的一 ∀ 个下界， 个下界， （2） a >η, ∃x0 ∈S, 使 x0 < a ，即η ） ∀ 是S的最大下界， 的最大下界， 记作infS. 则称η 是S的下确界 记作 的下确界,记作
有上（ 若S有上（下）界，则一定有无限多个 有上 上（下）界。
任意的数 ， 若对于任意的 若对于任意的数M，都存在一个 x 0∈S,使得 x 0 >M, 则称 是一个无上 则称S是一个无上 使得 界的数集。 界的数集。
如：S1 = { x | x = n!, n ∈ N + } 有下界（可取 ），无上界。 ），无上界 有下界（可取1），无上界。
定义2 是实数集R中的一个数集 定义 设S是实数集 中的一个数集， 是实数集 中的一个数集，
若存在数L，使得对一切的x 若存在数 ，使得对一切的 ∈S, 都有 一切的 x ≥ L,则称 为有下界的数集，称L为S的一个 则称S为有下界的数集 则称 为有下界的数集， 为 的一个 下界。 下界。 若S为既有上界、又有下界的数集，则称S 为 有上界、 有下界的数集，则称 为有界集。 为有界集。 若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。 没有上界或没有下界，则称 为无界集。 没有上界 为无界集
1 S2 = { x | x = 1 − n , n ∈ N + } 2
下界可取1/2，上界可取1。 下界可取 ，上界可取 。
S 3 = { x | x = sin t , −
π
≤t≤ } 2 2
π
下界可取-1，上界可取 。 下界可取 ，上界可取1。
实数系的基本定理
a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是
2
， xm a
2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n
实数集与函数数集确界原理
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其
中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为
上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界. 定义2 设 S R, S . 若 R满足 :
(i ) x S , x ; (ii) , x0 S , 使得 x0 ,
x0
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x
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定义3 设 S R, S . 若 R 满足 :
(i) x S , x ;
(ii) , x0 S , x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S .
注1 由定义,下确界是最大的下界.
(3) 若 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集.
其充要条件为 : M 0, 使 x S , 有 | x | M .
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(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S , 使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S , 使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S , 使得 | x0 | M .
§2 数集 · 确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点. 一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理
四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域
U (a; ) { x | 0 | x a | }: 点 a 的 空心邻域
数集确界原理
• 例5 设A、B为非空有界数集, S＝A∪B.证明：
• （1） sup S ＝max{sup A , supB};（2） inf S ＝ min{inf A, inf B}.
• 证 由于S＝A∪B,显然也是非空有界数集,因此S的上 下确界都存在.
• （1）对任何x∈S ，有x∈A或x∈B，故x≤sup A 或
上、下确界的另一精确定义
定义2 设S是R中的一个数集，若数 满足以下两条： （1）对一切 x S, 有 x , 即 是数集S的上界；
（2）对任意 e 0, 存在 x0 S 使得 x0 e ,
（即η是S的最小上界）
则称数η为数集S的上确界。记作 sup S.
e
U (a)与U (a)去除点a后,分别为点a的空心 左,
右邻域,
简记为U
0
(a)与U
0
(a)
邻域U () {x x M},其中M为充分大的正数;
邻域U() {x x M},其中M为充分大的正数;
邻域U() {x x M},其中M为充分大的正数;
二、有界集 确界原理
定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M(L),使得对一 切x∈S,都有x≤M（x≥L）,则称S为有上界（下界）的数 集，数M(L)称为S的一个上界（下界）.
若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是 有界集，则称S为无界集。
例1: 证明数集N {n n为正整数}有下界而无上界.
证 由假设,数集B中任一数y都是数集A的上界，
数集A中任一数x都是数集B的下界, 由确界原理可知数集A有上确界,数集B有下确界。 对任何y∈B, y是数集A的一个上界, 又由上确界的定义知 supA 是数集A的最小上界, 故有supA ≤ y。 而此式表明数supA 是数集B的一个下界, 由下确界的定义知, supA≤infB。
数集确界定理
§1.2 数集.确界定理§2 数集.确界定理Ⅰ. 教学目的与要求1.理解区间及邻域的概念,2.掌握有界集和上、下确界的概念;3.理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 实数确界的定义及确界原理.难点: 实数确界的定义及确界原理的应用.Ⅲ. 讲授内容一 区间与邻域设、 R ，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集a b ∈b a <}|{b x a x <<b a ,称为闭区间，记作[]；数集{}和{}都称为半}|{b x a x ≤≤b a ,b x a x ≤≤|b x a x ≤<|开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间．b a ,],b a 无限区间:[) ,+∞,a {}a x x ≥=},|{),(},|{],(a x x a a x x a >=+∞≤=-∞,都称为无限区间．}|{],(a x x a <=-∞R x x =+∞<<-∞=+∞-∞}|{),(有限区间和无限区间统称为区间．设R a ∈，0>δ．集合称为点的邻).,(}|{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U a δ域，记作，或简单地写作Ｕ.);(δa U )(a 点的空心邻域定义为或简单地记作，a δ},0|{);(δδ<-<=a x x a U)(a U注意的差别在于: 不包含点．);();(δδa U a U 与}0|{);(δδ<-<=a x x a Ua此外，我们还常用到以下几种邻域：点的右邻域，简记为a δ),[);(δδ+=+a a a U );(a U + 点的左邻域，简记为a δ],();(a a a U δδ-=-);(a U -去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为)()((a U a U +-与a a δ．))()(a U a U +- 与邻域，其中M 为充分大的正数(下同)；∞}|{)(M x x U >=∞邻域，领域．∞+}|{)(M x x U -<=+∞∞-}|{)(M x x U -<=-∞连接管口处理高中资料试卷弯扁度固保护进行整核对定值，审核与校对图卷破坏范围，或者对某些异常高中资§1.2 数集.确界定理二 有界集.确界原理定义1 设为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(S S x ∈x ≤x L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．≥若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．S S S S例1 证明数集为正整数}有下界而无上界．n n N |{=+ 证 显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集．+N +N为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M ，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则)(+∈N n o M n o >M =0n []1+M on ，且．这就证明了无上界．+∈N M n o >+N 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集．定义2 设是R 中的一个数集．若数满足：S η （i ）对一切，有，即是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何存在，使得即又是的最小上界ηα<S x o ∈α>o x ηS 则称数为数集的上确界，记作ηS Ssup =η 定义3 设是R 中的一个数集．若数满足：S ξ（i ）对一切，有，即是的下界S x ∈ξ≥x ξS（ii ）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数ξβ>S x o ∈,β<o x ξS ξ集的下确界，记作 S Sinf =ξ上确界与下确界统称为确界．例2设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：x x S |{=)1,0(.0inf ,1sup ==S S解 先验证:1sup =S （i ）对一切，显然有即是的上界．S x ∈1≤x 1S ii 对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集()1<α0≤αS x o ∈α>o x 0>α在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得．)1,(αo x S x o ∈α>o x 类似地可验证0inf =S注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数S§1.2 数集.确界定理集存在上、下确界，则有．S S S sup inf ≤注2 数集S 的确界可能属于，也可能不属于．S S例 设数集有上确界．证明:3S SS S max sup =⇔∈=ηη 证 设，则对一切有，而，故是数集中最大)⇒S S ∈=sup ηs x ∈η≤x S ∈ηηS 的数，即，．S max =η，则；下面验证．)⇐S max =ηS ∈ηS sup =η（i ）对一切，有，即可是的上界；S x ∈η≤x ηS（ii ）对任何，只须取，则从而满足的定义．ηα<S x o ∈=ηα>o x S sup =η 定理1.1(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S 必有上确界；若有下界，S S S 则必有下确界．S 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设含有非负数．由于有上界，故可找到非负整数，使S S n 得对于任何有;)1S x ∈1+<n x存在,使.)2S a ∈0n a ≥0对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数[)1,+n n 109.,,2.,1.n n n ,2,1,09, ,使得1n对于任何有；)1S x ∈101.1+<n n x存在，使．)2S a ∈111.n n a ≥再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得)101.,.[11+n n n n 109,2,1,0 2n对于任何有)1S x ∈<x 221101.+n n n 存在，使)2S a ∈2..212n n n a ≥继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的109,2,1,0 —个数k n ，使得§1.2 数集.确界定理对于任何有)1S x ∈kk n n n n x 101.21+< 存在，使)2S a k ∈..21k k n n n n a ≥ 将上述步骤无限地进行下去，得到实数．以下证明．为..21 k n n n n =η=ηS sup 此只需证明：（i ）对一切有；（ii ）对任何，存在使．S x ∈η≤x ηα<S ∈'α'a <α倘若结论（i ）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使S x ∈η>x x k k x ，=>k k x η+k n n n n 21.k101从而得，kk n n n n x 101.21+> 但这与不等式相矛盾．于是（i ）得证．)1(现设ηα<，则存在使的位不足近似，即k ηk k k αη>，k k n n n n α> 21.根据数的构造，存在使，从而有ηS a ∈'k a η≥'，k a η≥'αα≥>k 即得到，．这说明（ii ）成立．'a <α例4设为非空数集，满足：对一切和有．证明：数集有B A ,A x ∈B y ∈y x ≤A 上确界，数集下确界，且BB A inf sup ≤()2 证 由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是B y A A x B 的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界．A B现证不等式对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义)2(B y ∈y A 知，是数集的最小上界，故有．而此式又表明数是数集A sup A y A ≤sup A sup 的一个下界，故由下确界定义证得．B B A inf sup ≤ 例5 设为非空有界数集，．证明：B A , A S =B （i ）；}sup ,max{sup sup B A S =高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备或者对某些异常高中资料试卷工况进行自§1.2 数集.确界定理（ii ）.}inf min{inf,inf B S =证 由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确界都存在．B A S =S （i ）对任何，有或或，从而有∈x S ∈x A B x ∈A s sup ≤⇒B x sup ≤≤x ，故得.}{B A sup ,sup max }{B A S sup ,sup max sup ≤另一方面，对任何，有；同理又有A x ∈;sup sup sup S A S x S x ≤⇒≤⇒∈．所以．SB sup sup ≤}{B A S sup ,sup max sup ≥综上，即证得．}{B A S sup ,sup max sup = (ii)可类似地证明．若把和补充到实数集中，并规定任一实数与、的大小关系为：∞+∞-a ∞+∞-，,,则确界概念可扩充为：若数集无上界，则定义为+∞<a -∞>a +∞<∞-S ∞+的非正常上确界，记作；若无下界，则定义为的非正常下确界，S +∞=S sup S ∞-S 记作．相应地，前面定义和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确-∞=S inf 23界．推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握邻域的概念, 理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅴ 课外作业:P 2、3、4、5、6、7、8.９。
数学分析知识点总结
第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数-—§1实数教学目的:使学生掌握实数的基本性质．教学重点:(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性;（2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点:实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序:引 言上节课中,我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．［问题］为什么从“实数"开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数"是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数(,q p q p ⎧≠⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题］有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定:,n a ,,n n a ≠1(1)9999n n a a --0,a 则记x =；对于负有限小数（包括负整数）表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为例： 2.001 2.0009999→；利用上述规定,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小?2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =,01.n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==,则称x 与y 相等，记为x y =;若00a b >或存在非负整数l ,使得,0,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <(或y x >）．规定:任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件(通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =为非负实数，称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似;110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.2数集与确界原理ppt
2、设S为非空数集。试对下列概念给出定义： (1)S无上界；(2)S无界. 解：(1)设S为非空数集，若对任意M>0， 总存在x0∈S，使|x0|>M，则称数集S无界. (2)设S为非空数集，若对任意M>0， 总存在x0∈S，使|x0|>M，则称数集S无界.
3、证明数集S={y|y=2-x2,x∈R}有上界无下界.
设A、B为非空数集，S=AUB. 证明： 1) sup S=max{sup A, sup B}； 2) inf S=min{inf A, inf B}. 证：依题意，S为非空有界，sup S，inf S都存在. 1)对任何x∈S,有x∈A或x∈B=>x≤sup A或x≤sup B， 从而有x≤max{sup A, sup B}， 故得sup S≤max{sup A, sup B}p S.
设数集S有上确界， 证明：η=sup S∈Sη=max S. 证：设η=sup S∈S，则对一切x∈S有x≤η， ∴η=max S. 设η=max S，则对一切x∈S有x≤η， ∴η是S的上界；且η∈S。 对任何a<η，只须取x0=η∈S，则x0>a， ∴η=sup S.
1、用区间表示下列不等式的解： (1)|1-x|-x≥0；(2)|x+ |≤6； (3)sinx≥ ； (4)(x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c为常数，且a<b<c)； 解：(1) 1-x≥x或1-x≤- x；即x≤ ； ∴原不等式的解为：x∈(-∞, ]. (2) -6≤x+ ≤6，且x≠0； 当x>0时，-6x≤x2+1≤6x；解得3-2 ≤x≤3+2 ； 当x>0时，-6x≤x2+1≤6x；解得3-2 ≤x≤3+2 ； ∴x∈[3-2 , 3+2 ]∪[-3-2 , -3+2 ]
【免费下载】12数集和确界原理
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数§1.2 数集和确界原理授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.一、 区间与邻域(一) 区间（用来表示变量的变化范围）设且.,a b R ∈a b <，其中⎧⎨⎩有限区间区间无限区间 {}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧⎪∈<<=⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间(二) 邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？1、a 的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点a 的δ,0a R δ∈>||x a δ-<x《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 邻域，记作，或简记为，即δ(;)U a δ()U a .{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+2、点a 的空心邻域δ.{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+@3、a 的右邻域和点a 的空心右邻域δδ{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+@@4、点a 的左邻域和点a 的空心左邻域δδ{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<@@5、邻域，邻域，邻域∞+∞-∞ （其中M 为充分大的正数）；{}()||,U x x M ∞=> {}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-二、有界集与无界集什么是“界”？定义1（上、下界）：设为中的一个数集.若存在数，使得一切都有S R ()M L x S ∈，则称S 为有上（下）界的数集.数称为S 的上界（下界）；若数集S 既有()x M x L ≤≥()M L 上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集， b a b a ,( ),(集合 也是有界数集.{}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 若数集S 不是有界集，则称S 为无界集. 等都是无界数集, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-集合 也是无界数集.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集的有界性.{}|N n n +=为正整数《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明.←1L =解：任取，显然有，所以有下界1；但无上界.证明如下：假设有0n N +∈01n ≥N +N +N +上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则0n N +∈0n M ≤0[]1,n M =+，且.0n N +∈0n M >综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.N +例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三、 确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即η,x S ∈x η≤是S 的上界）; (2) 对任何，存在，使得（即是S 的上界中最小的一ηαη<0x S ∈0x α>η个），则称数为数集S 的上确界，记作ηsup .S η=定义（上确界的等价定义）设是R 中的一个数集，若数满足：'2E M 1） M 是上界，E 2） E x ∈'∃>∀,0ε使得ε->'M x .则称数为数集的上确界。
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例2
证明数集
S
n2 1 2n3
n
N
+
有界.
证
n N+ ,
n2 1 2n3
n2 2n3
1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界.
2. 有限小数 x a0 .a1a2 ak (其中ak 0), 又可表示为 x a0 .a1a2 ak1(ak 1)99 a0 .a1a2 ak1(ak 1)9 .
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.
即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
八、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
|
a
|
a, a,
a0 a0
.
2. 实数的绝对值性质: (1) | a || a | 0; 当且仅当 a 0 时 | a | 0.
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域
U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
实数的大小关系有以下性质: (1) x y, x y, x y. 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. (2) 若 x y, y z, 则 x z. 即大小关系具有传递性.
三、实数的大小的等价条件
定义2 设 x a0.a1a2 an 为非负实数, 称有理数
xn a0 .a1a2 an
xn x xn，
x0 x1 xn ，
x0 x1 xn .
命题 x, y R,
x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
则 x y的等价条件为存在非负整数 n 使得,
xn yn .
例1 x, y R, 如果 x y, 则存在有理数 r
U (; M ) { x | | x | M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 max S : 数集 S 的最大值 min S : 数集 S的最小值
一、有界集
是正规的十进制小数表示, 规定
x y a0 b0 或 n N+ , 使 a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1. x, y R , 规定 x y x y. x R+ , y R , 规定 y 0 x.
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
b |b| 3. 三角形不等式 | a | | b | | a b | | a | | b |的证明：
由 | a | a | a |, | b | b | b | 得
(| a | | b |) a b | a | | b |, 即 | a b || a | | b | . 又 | a || a b b || a b | | b |, 即 | a | | b || a b | .
证 令a 1,由阿基米德性, n N+ , 使 nb 1，即
1 b. n
阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 )
六、实数的稠密性
1. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间, 必有另一个 实数 c. 例如 c a b . 2
2. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间，既有有理 数又有无理数. 证 若 a b，则由例 1，存在 n N+ , 使
证 倘若a b，设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
七、实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n 1之间，则 a0 n. 把(n, n 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 an .
5.设 x a0.a1a2 an 为实数, 也可表示为
x
n0
an 10n
a0
a1 101
an 10n
,
其中，a0 为整数，an 为0到9 之间的整数，
n 0,1,2, .
二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
定义2 设 S R, S . 若 R满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, 使得 x0 , 则称 是 S 的上确界, 记为 sup S.
注1 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是S 的上界,从而 是最小的上
1 1 (b a). n2
设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k 1 n
a.
于是, a k 1 k 2 b, 则 k 1, k 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k 1 π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 0，a b ，则 a b.
(1) x, y R, R+ , 若 x y, 则 x y.
(2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
五、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
数学分析研究的对象是实 数集上 定义的函数, 因此我们首先要掌握实 数的基本概念与性质.
记号与术语
R : 实数集 R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集 Z : 整数集
N :自然数集(包含0)
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
一、实数的十进制小数表示
1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 x R+ , 则 x a0 .a1a2 an ; x R , 则 x a0 .a1a2 an . 其中 a0 N, an {0, 1, 2, , 9}, n 1, 2,.
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
例1
若
b
0,
则 n N+ ,
使得
1 n
b.
界,即上确界是最小的上界.
注2 显然,条件 (ii) 亦可换成:
0, x0 S, x0 .
x0
x
定义3 设 S R, S . 若 R 满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S.
复习思考题
1. 若
p和
q 互素, 为什么有理数
p q
一定可以表示为
循环节不超过 q 的循环小数？
2. 为什么 1 和 0.99···表示同一个数? 3. 如何定义数集 E 在 R 中稠密?按你的定义证明
n E {2m : n Z, m N+ }
在 R 中稠密.
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
满足 x r y.
证明 因为 x y,由命题存在非负整数 n 使得，
xn yn,显然 xn，yn 均为有理数，令