1.1实数,1.2数集.确界原理
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满足 x r y.
证明 因为 x y,由命题存在非负整数 n 使得，
xn yn,显然 xn，yn 均为有理数，令
r
1
2
xn
yn ,
则 r 是有理数，且
x
xn
1 2
xn
yn
r
yn
y.
即 x y.
四、实数的四则运算
有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 封闭的. 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足:
1 1 (b a). n2
设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k 1 n
a.
于是, a k 1 k 2 b, 则 k 1, k 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k 1 π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 0，a b ，则 a b.
定义1 设S R, S . (1) 若 M R, 使得 x S, x M , 则称 M 为 S 的一个上界, 称 S 为有上界的数集. (2) 若 L R, 使得 x S, x L,则称 L 为 S的一个下界, 称 S 为有下界的数集. (3) 若 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集. 其充要条件为 : M 0, 使 x S,有 | x | M .
定义2 设 S R, S . 若 R满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, 使得 x0 , 则称 是 S 的上确界, 记为 sup S.
注1 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是S 的上界,从而 是最小的上
注1 由定义,下确界是最大的下界. 注2 下确界定义中的 (ii), 亦可换成
0, x0 S, x0 .
(1) x, y R, R+ , 若 x y, 则 x y.
(2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
五、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
复习思考题
1. 若
p和
q 互素, 为什么有理数
p q
一定可以表示为
循环节不超过 q 的循环小数？
2. 为什么 1 和 0.99···表示同一个数? 3. 如何定义数集 E 在 R 中稠密?按你的定义证明
n E {2m : n Z, m N+ }
在 R 中稠密.
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
返回
记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域
U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
例1
若
b
0,
则 n N+ ,
使得
1 n
b.
为 x 的 n 位不足近似，而有理数
xn
xn
1 10n
称为 x的 n 位过剩近似，n 0,1, 2, .
对于负实数 x a0.a1a2 an , 其 n 位
不足近似与过剩近似，分别规定为
xn a0 .a1a2
1 an 10n
与
xn a0 .a1a2
an .
性质 对任意实数 x，均成立
界,即上确界是最小的上界.
注2 显然,条件 (ii) 亦可换成:
0, x0 S, x0 .
x0
x
定义3 设 S R, S . 若 R 满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S.
数学分析研究的对象是实 数集上 定义的函数, 因此我们首先要掌握实 数的基本概念与性质.
记号与术语
R : 实数集 R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集 Z : 整数集
N :自然数集(包含0)
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
一、实数的十进制小数表示
1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 x R+ , 则 x a0 .a1a2 an ; x R , 则 x a0 .a1a2 an . 其中 a0 N, an {0, 1, 2, , 9}, n 1, 2,.
实数的大小关系有以下性质: (1) x y, x y, x y. 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. (2) 若 x y, y z, 则 x z. 即大小关系具有传递性.
三、实数的大小的等价条件
定义2 设 x a0.a1a2 an 为非负实数, 称有理数
xn a0 .a1a2 an
xn x xn，
x0 x1 xn ，
x0 x1 xn .
命题 x, y R,
x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
则 x y的等价条件为存在非负整数 n 使得,
xn yn .
例1 x, y R, 如果 x y, 则存在有理数 r
证 令a 1,由阿基米德性, n N+ , 使 nb 1，即
1 b. n
阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 )
六、实数的稠密性
1. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间, 必有另一个 实数 c. 例如 c a b . 2
2. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间，既有有理 数又有无理数. 证 若 a b，则由例 1，存在 n N+ , 使
b |b| 3. 三角形不等式 | a | | b | | a b | | a | | b |的证明：
由 | a | a | a |, | b | b | b | 得
(| a | | b |) a b | a | | b |, 即 | a b || a | | b | . 又 | a || a b b || a b | | b |, 即 | a | | b || a b | .
(2) | a | a | a | .
(3) | a | h h a h, | a | h h a h.
(4) | a | | b | | a b | | a | | b | (三角形不等式).
(5) | ab | | a | | b | . (6) a | a | (b 0).
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
5.设 x a0.a1a2 an 为实数, 也可表示为
x
n0
an 10n
a0
a1 101
an 10n
,
其中，a0 为整数，an 为0到9 之间的整数，
n 0,1,2, .
二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
则 x y an bn , n 0, 1, 2, .
用无限小数表示实数，称为正规表示.
3. Q
{x |
x
Baidu Nhomakorabea
m ,其中 n
m,n Z,n
0} 表示有理数集.
x Q, x 可用循环十进制小数表示，
如
1 7
0.1 42857 .
一般,
若x
m, n
则 x a0 .a1a2 akak1ak p ,
反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
八、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
|
a
|
a, a,
a0 a0
.
2. 实数的绝对值性质: (1) | a || a | 0; 当且仅当 a 0 时 | a | 0.
2. 有限小数 x a0 .a1a2 ak (其中ak 0), 又可表示为 x a0 .a1a2 ak1(ak 1)99 a0 .a1a2 ak1(ak 1)9 .
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.
即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
是正规的十进制小数表示, 规定
x y a0 b0 或 n N+ , 使 a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1. x, y R , 规定 x y x y. x R+ , y R , 规定 y 0 x.
例2
证明数集
S
n2 1 2n3
n
N
+
有界.
证
n N+ ,
n2 1 2n3
n2 2n3
1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界.
U (; M ) { x | | x | M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 max S : 数集 S 的最大值 min S : 数集 S的最小值
一、有界集
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
证 倘若a b，设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
七、实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n 1之间，则 a0 n. 把(n, n 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 an .
证明 因为 x y,由命题存在非负整数 n 使得，
xn yn,显然 xn，yn 均为有理数，令
r
1
2
xn
yn ,
则 r 是有理数，且
x
xn
1 2
xn
yn
r
yn
y.
即 x y.
四、实数的四则运算
有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 封闭的. 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足:
1 1 (b a). n2
设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k 1 n
a.
于是, a k 1 k 2 b, 则 k 1, k 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k 1 π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 0，a b ，则 a b.
定义1 设S R, S . (1) 若 M R, 使得 x S, x M , 则称 M 为 S 的一个上界, 称 S 为有上界的数集. (2) 若 L R, 使得 x S, x L,则称 L 为 S的一个下界, 称 S 为有下界的数集. (3) 若 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集. 其充要条件为 : M 0, 使 x S,有 | x | M .
定义2 设 S R, S . 若 R满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, 使得 x0 , 则称 是 S 的上确界, 记为 sup S.
注1 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是S 的上界,从而 是最小的上
注1 由定义,下确界是最大的下界. 注2 下确界定义中的 (ii), 亦可换成
0, x0 S, x0 .
(1) x, y R, R+ , 若 x y, 则 x y.
(2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
五、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
复习思考题
1. 若
p和
q 互素, 为什么有理数
p q
一定可以表示为
循环节不超过 q 的循环小数？
2. 为什么 1 和 0.99···表示同一个数? 3. 如何定义数集 E 在 R 中稠密?按你的定义证明
n E {2m : n Z, m N+ }
在 R 中稠密.
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
返回
记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域
U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
例1
若
b
0,
则 n N+ ,
使得
1 n
b.
为 x 的 n 位不足近似，而有理数
xn
xn
1 10n
称为 x的 n 位过剩近似，n 0,1, 2, .
对于负实数 x a0.a1a2 an , 其 n 位
不足近似与过剩近似，分别规定为
xn a0 .a1a2
1 an 10n
与
xn a0 .a1a2
an .
性质 对任意实数 x，均成立
界,即上确界是最小的上界.
注2 显然,条件 (ii) 亦可换成:
0, x0 S, x0 .
x0
x
定义3 设 S R, S . 若 R 满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S.
数学分析研究的对象是实 数集上 定义的函数, 因此我们首先要掌握实 数的基本概念与性质.
记号与术语
R : 实数集 R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集 Z : 整数集
N :自然数集(包含0)
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
一、实数的十进制小数表示
1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 x R+ , 则 x a0 .a1a2 an ; x R , 则 x a0 .a1a2 an . 其中 a0 N, an {0, 1, 2, , 9}, n 1, 2,.
实数的大小关系有以下性质: (1) x y, x y, x y. 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. (2) 若 x y, y z, 则 x z. 即大小关系具有传递性.
三、实数的大小的等价条件
定义2 设 x a0.a1a2 an 为非负实数, 称有理数
xn a0 .a1a2 an
xn x xn，
x0 x1 xn ，
x0 x1 xn .
命题 x, y R,
x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
则 x y的等价条件为存在非负整数 n 使得,
xn yn .
例1 x, y R, 如果 x y, 则存在有理数 r
证 令a 1,由阿基米德性, n N+ , 使 nb 1，即
1 b. n
阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 )
六、实数的稠密性
1. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间, 必有另一个 实数 c. 例如 c a b . 2
2. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间，既有有理 数又有无理数. 证 若 a b，则由例 1，存在 n N+ , 使
b |b| 3. 三角形不等式 | a | | b | | a b | | a | | b |的证明：
由 | a | a | a |, | b | b | b | 得
(| a | | b |) a b | a | | b |, 即 | a b || a | | b | . 又 | a || a b b || a b | | b |, 即 | a | | b || a b | .
(2) | a | a | a | .
(3) | a | h h a h, | a | h h a h.
(4) | a | | b | | a b | | a | | b | (三角形不等式).
(5) | ab | | a | | b | . (6) a | a | (b 0).
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
5.设 x a0.a1a2 an 为实数, 也可表示为
x
n0
an 10n
a0
a1 101
an 10n
,
其中，a0 为整数，an 为0到9 之间的整数，
n 0,1,2, .
二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
则 x y an bn , n 0, 1, 2, .
用无限小数表示实数，称为正规表示.
3. Q
{x |
x
Baidu Nhomakorabea
m ,其中 n
m,n Z,n
0} 表示有理数集.
x Q, x 可用循环十进制小数表示，
如
1 7
0.1 42857 .
一般,
若x
m, n
则 x a0 .a1a2 akak1ak p ,
反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
八、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
|
a
|
a, a,
a0 a0
.
2. 实数的绝对值性质: (1) | a || a | 0; 当且仅当 a 0 时 | a | 0.
2. 有限小数 x a0 .a1a2 ak (其中ak 0), 又可表示为 x a0 .a1a2 ak1(ak 1)99 a0 .a1a2 ak1(ak 1)9 .
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.
即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
是正规的十进制小数表示, 规定
x y a0 b0 或 n N+ , 使 a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1. x, y R , 规定 x y x y. x R+ , y R , 规定 y 0 x.
例2
证明数集
S
n2 1 2n3
n
N
+
有界.
证
n N+ ,
n2 1 2n3
n2 2n3
1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界.
U (; M ) { x | | x | M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 max S : 数集 S 的最大值 min S : 数集 S的最小值
一、有界集
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
证 倘若a b，设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
七、实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n 1之间，则 a0 n. 把(n, n 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 an .