初二数学知识点归纳角平分线的定义

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八年级数学角平分线的性质知识点总结

角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。

下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。

角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。

即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。

2.角平分线与角的两边相交于一个点。

即角平分线与角的两边交于角的顶点。

3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。

即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。

4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。

即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。

5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。

即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。

三、应用：1.判断角平分线。

当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。

2.利用角平分线的性质解决问题。

当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。

例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。

3.构造角平分线。

当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。

常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。

四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。

证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。

再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。

2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。

证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。

数学人教版八年级上册角平分线的性质

角平分线的性质一、学情分析本节课选自新人教版教材《初中数学》八年级上册第十一章第三节，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。

是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．二、学习目标：1、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质。

2、能对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。

学习重点：探索并证明角平分线的性质。

学习难点：表达文字几何命题的证明过程。

三、教学目标：知识与技能目标：1、掌握作角的平分线和作直线垂线的方法2、学握角平分线的性质情感态度目标：1、在探讨作角平分线的方法及角平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，2、培养学生团结合作精神四、概念回顾1、角平分线：从一个角的顶点引出条射线，把这个角分成两个相等的角的射线有条，这条射线叫做这个角的线。

练一练：在空白处画一个△AOB,射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC==2、点到直线的距离：从直线外一点到这直线的_______的长度，叫做点到直线的距离。

（1）如图1，在Rt△ACB中，点A到CB的距离是线段______，点B到AC的距离是线段______（2）如图2，在△ACB中，画出点C到AB的距离CD四、研读课文P48--49页（一）、画出你认为重点的语句，并加以理解。

（二）、完成下面练习并体验知识点的形成过程。

CBAA BC图2图11、根据下面的操作步骤进行：（1）作任意一个角∠AOB，剪下来。

（2）将∠AOB对折.记折痕为OC,即OC是∠AOB 的线。

人教版初二数学上册知识点归纳

人教版初二数学上册学问点归纳因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；留意：因式分解及乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法〞、“公式法〞、“分组分解法〞、“十字相乘法〞.3．公因式的确定：系数的最大公约数·一样因式的最低次幂.留意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=〔a+ b 〕〔a- b 〕；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的考前须知：〔1〕选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；〔2〕运用因式分解公式时要特殊留意公式中的字母都具有整体性；〔3〕因式分解的最终结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；〔4〕因式分解的最终结果要求每一个因式的首项符号为正；〔5〕因式分解的最终结果要求加以整理；〔6〕因式分解的最终结果要求一样因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：〔1〕换位整理，加括号或去括号整理；〔2〕提负号；〔3〕全变号；〔4〕换元；〔5〕配方；〔6〕把一样的式子看作整体；〔7〕敏捷分组；〔8〕提取分数系数；〔9〕绽开部分括号或全部括号；〔10〕拆项或补项. 7．完全平方式：能化为〔m+n 〕2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q ，有“ x2+px+q 是完全平方式 ⇔ q2p 2=⎪⎭⎫⎝⎛〞.分式1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为B A的形式，假如B 中含有字母，式子B A叫做分式.2．有理式：整式及分式统称有理式；即⎩⎨⎧分式整式有理式. 3．对于分式的两个重要推断：〔1〕假设分式的分母为零，那么分式无意义，反之有意义；〔2〕假设分式的分子为零，而分母不为零，那么分式的值为零；留意：假设分式的分子为零，而分母也为零，那么分式无意义. 4．分式的根本性质及应用：〔1〕假设分式的分子及分母都乘以〔或除以〕同一个不为零的整式，分式的值不变；〔2〕留意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，变更其中任何两个，分式的值不变；即分母分子分母分子分母分子分母分子-=-=-=---〔3〕繁分式化简时，采纳分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简洁. 5．分式的约分：把一个分式的分子及分母的公因式约去，叫做分式的约分；留意：分式约分前常常须要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子及分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；留意：分式计算的最终结果要求化为最简分式.7．分式的乘除法法那么：,bdac d c b a =⋅ bc ad c d b a d c b a =⋅=÷.8．分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.9．负整指数计算法那么：〔1〕公式： a0=1(a ≠0), a-n=na 1(a ≠0)；〔2〕正整指数的运算法那么都可用于负整指数计算；〔3〕公式：nna b b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n mm n a b b a =--；〔4〕公式：〔-1〕-2=1，〔-1〕-3=-1.10．分式的通分：依据分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成及原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；留意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·一样因式的最高次幂.12．同分母及异分母的分式加减法法那么：;cb ac b c a ±=±bd bcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a ≠0)中,x 是未知数,a 和b 是用字母表示的数，对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.留意：在字母方程中,一般用a 、b 、c 等表示数，用x 、y 、z 等表示未知数. 14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；留意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特殊要留意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般须要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；留意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必需验增根；留意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母〔或分式方程的每个分母〕，假设值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；假设值不为零，求出的根是原方程的解；留意：由此可推断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题及列整式方程解应用题的方法一样，但须要增加“验增根〞的程序. 数的开方1．平方根的定义：假设x2=a,那么x 叫a 的平方根，〔即a 的平方根是x 〕；留意：〔1〕a 叫x 的平方数，〔2〕x 求a 叫乘方，a 求x 叫开方，乘方及开方互为逆运算.2．平方根的性质：〔1〕正数的平方根是一对相反数；〔2〕0的平方根还是0；〔3〕负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.留意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .留意：0的算术平方根还是0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .留意：非负数之和为0，说明它们都是0.6．两个重要公式：〔1〕 ()a a 2=; (a ≥0)〔2〕⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 .7．立方根的定义：假设x3=a,那么x 叫a 的立方根，〔即a 的立方根是x 〕.留意：〔1〕a 叫x 的立方数；〔2〕a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质：〔1〕正数的立方根是一个正数；〔2〕0的立方根还是0；〔3〕负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：33a a -=-. 10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.留意：π和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：〔1〕⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0〔2〕⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0.13．数轴的性质：数轴上的点及实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中假设含有无理数且题目无近似要求，那么结果应当用无理数表示；假如题目有近似要求，那么结果应当用无理数的近似值表示.留意：〔1〕近似计算时，中间过程要多保存一位；〔2〕要求记忆：414.12=732.13=236.25=.三角形几何B级概念：〔要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题〕一根本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、协助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二常识：1．三角形中，第三边长的推断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.留意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：假设CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，那么CD ·AB=BE ·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和. 5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：〔1〕 AC ·CB=CD ·AB ；〔2〕∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角. 9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形. 11．几何习题中，“文字表达题〞须要自己画图，写、求证、证明. 12．符合“AAA 〞“SSA 〞条件的三角形不能断定全等. 13．几何习题常常用四种方法进展分析：〔1〕分析综合法；〔2〕方程分析法；〔3〕代入分析法；〔4〕图形视察法. 14．几何根本作图分为：〔1〕作线段等于线段；〔2〕作角等于角；〔3〕作角的平分线；〔4〕过点作直线的垂线；〔5〕作线段的中垂线；〔6〕过点作直线的平行线. 15．会用尺规完成“SAS 〞、“ASA 〞、“AAS 〞、“SSS 〞、“HL 〞、“等腰三角形〞、“等边三角形〞、“等腰直角三角形〞的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；留意：每步作图都应当是几何根本作图. 17．几何画图的类型：〔1〕估画图；〔2〕工具画图；〔3〕尺规画图. ※18．几何重要图形和协助线：〔1〕选取和作协助线的原那么：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作协助线必需符合几何根本作图.A BC EDA B CD12。

冀教版八年级上册数学16.3《角的平分线》

《角的平分线》本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完轴对称的基础上进行教学的。

内容包括角平分线的作法、角平分线的性质与判定定理初步应用。

作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形与轴对称知识的延续，因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。

同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

【知识与能力目标】1.经历探索角的对称性的过程,进一步体验轴对称图形的特征,发展合情推理的能力.2.理解和掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,并能利用它们进行证明或计算.3.理解和掌握用尺规作已知角的平分线.【过程与方法目标】1.了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用.2.在探索角平分线的性质定理及其逆定理中提高几何直觉.3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度价值观目标】1.在探讨作角的平分线的方法及角平分线的性质定理及其逆定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣.2.增强学生解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神.3.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.【教学重点】角平分线的性质定理及其逆定理的证明及应用.【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题. 课前准备【教师准备】直尺和圆规、课件1~2.【学生准备】直尺和圆规.教学过程导入新课【问题探究】(投影显示)如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明其中的道理吗?【教师活动】首先提出探究问题,然后运用教具直观地进行讲述.【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等的“边边边”判定法,可以说明这个仪器的工作原理.【教师活动】那么角平分线有哪些性质呢?又怎样判定一条线是角的平分线呢?今天我们就来研究这一问题.[设计意图]通过平分角的仪器,了解全等三角形判定方法在实际生活中的应用,从而引出角平分线的画法,为下面的学习做好铺垫.导入二:师:前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗?学生思考回答.师:你会作角平分线吗?生:会.师:怎么作呢?生1:用折纸的方法来作.生2:用量角器来作.师:很好,这节课我们继续学习角平分线的有关知识(板书课题).[设计意图]通过简单的复习,导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.自主探究，新知构建活动一:角平分线的性质定理及其逆定理思路一1.整体感知师:在一张半透明纸上画出一个角,将纸对折,使这个角的两边重合,从中你能得到什么结论?生:角是轴对称图形,它的平分线是对称轴.师:出示课件.【课件1】按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由.生:由折纸过程可知PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请同学们用逻辑推理的方法来加以证明,将这个命题画出图形,写出已知、求证.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.2.师生互动互动1师:这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等? 生:全等三角形的对应边相等.师:归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢? 生:ΔPDO与ΔPEO.师:怎样证全等?生:可以通过AAS的判定方法.(证明过程略)师:于是得到了角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.互动2师:反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?师:事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.这样就有角平分线的判定定理(角平分线性质定理的逆定理):到角的两边距离相等的点在角平分线上.互动3刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例题:【课件2】(补充例题)如图所示,ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为分别D,E,F. ∵BM是ΔABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF,∴PD=PE=PF,即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.说明:在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,那么可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.思考:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?(点P在∠A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等.)思路二如图所示,任意作一个角∠AOB,利用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P分别作OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上找几个点试试.生:相等.师:为什么?学生思考,小组讨论.师:你能证明这个结论吗?学生思考证明.教师说明:一般情况下,我们要证明一个几何命题成立,可以按照以下步骤进行,即:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.教师找学生板演.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB,∴∠PDO=∠PEO=90°,∠AOC=∠BOC.在ΔPDO和ΔPEO中,∴ΔPDO≌ΔPEO(AAS),∴PD=PE.集体纠正.师:你能总结这个结论吗?生:角平分线上的点到角的两边的距离相等.[知识拓展]利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.师:谁能说出它的逆命题?生:到角的两边距离相等的点在角平分线上.四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边距离相等的点在角平分线上.事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.即角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.[知识拓展](1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.活动二:角平分线的画法教师引导学生作图:作∠AOB的平分线.学生讨论作法.教师总结作法:1.以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E.2.分别以点D,E为圆心,适当长为半径,在∠AOB的内部画弧,两弧相交于点C.3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.学生作图.师:你能证明OC为什么是∠AOB的平分线吗?学生进行交流,写出证明过程,教师巡回指导.师:当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?生:垂直.师:你会作吗?学生小组操作.教师说明:实际上节课我们学习的过直线上一点作已知直线的垂线可以看作是作平角的平分线.课堂总结1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).检测反馈，巩固提高1.如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,SΔABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 ()A.3B.4C.6D.52.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB平分OP3.如图所示,在ΔABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列结论成立的是()A.ΔCEO≌ΔCDOB.OE=ODC.CO平分∠ACBD.OC=OD4.如图所示,ΔABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,BC=16cm,CM∶MB=3∶5,求点M到AB的距离.布置作业【必做题】1.教材第122页练习第1,2题.2.教材第122~123页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第123页习题B组第1,2,3题.。

初二数学知识点归纳

初二数学知识点归纳初二数学知识点归纳一第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。

12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13、公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。

⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。

②边形共有条对角线。

第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1、基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。

初二数学几何概念知识点总结

初二数学几何概念知识点总结（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一、基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数。

二、常识：1、三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和2、三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外。

注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段。

3、三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和。

4、直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和。

5、分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形。

6、三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角。

7、全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。

8、等边三角形是特殊的等腰三角形。

9、几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明。

10、符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等。

11、几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法 12、几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线 13、会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图。

14、作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图。

15、几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图1、二次根式：一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。

八年级数学重点知识点(全)

文档初二数学知识点因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a 2-b 2=（a+ b ）（a- b ）；(2)完全平方公式： a 2+2ab+b 2=(a+b)2, a 2-2ab+b 2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n ）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x 2+px+q ，有“ x 2+px+q 是完全平方式 ⇔ q 2p 2=⎪⎭⎫⎝⎛”.分式1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 叫文档做分式.2．有理式：整式与分式统称有理式；即 ⎩⎨⎧分式整式有理式.3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即分母分子分母分子分母分子分母分子-=-=-=---（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式. 7．分式的乘除法法则：,bdacd c b a =⋅bcadc d b a d c b a =⋅=÷. 8．分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.9．负整指数计算法则：（1）公式： a 0=1(a ≠0), a -n=na 1(a ≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式：nna b b a ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-，n m m n a b b a =--；（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.文档11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂. 12．同分母与异分母的分式加减法法则： ;c b a c b c a ±=±bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±. 13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a ≠0)中,x 是未知数,a 和b 是用字母表示的已知数，对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序. 数的开方1．平方根的定义：若x 2=a,那么x 叫a 的平方根，（即a 的平方根是x ）；注意：（1）a 叫x 的平方数，（2）已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.文档3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .注意：0的算术平方根还是0. 5．三个重要非负数： a 2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0. 6．两个重要公式：（1）()a a 2=; (a ≥0)（2） ⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 .7．立方根的定义：若x 3=a,那么x 叫a 的立方根，（即a 的立方根是x ）.注意：（1）a 叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数. 9．立方根的特性：33a a -=-.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数. 11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2）⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0 . 13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12= 732.13= 236.25=.三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）文档文档文档文档几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，文档实用标准文案文档而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段. 3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1） AC ·CB=CD ·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A . 8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边. 10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加；ABCEDA BCD 12实用标准文案文档② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若BD 是角平分线）（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）(4) 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC（5）其它文档。

人教版五四制初二上册数学知识点归纳

人教版五四制初二上册数学知识点归纳
人教版五四制初二上册数学知识点归纳主要包括以下几个方面：
1. 轴对称与坐标变化：关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

2. 一次函数：函数的一般定义是，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y 是x的函数，其中x是自变量。

表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法。

特别的，若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数，当b=0时，称y是x
的正比例函数。

正比例函数y=kx的图像是一条经过原点（0，0）的直线。

3. 角平分线：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

这是角平分线的性质定理。

此外，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

这是角平分线的性质定理的逆定理。

请注意，这只是初二上册部分知识点，建议查阅教科书目录或咨询教师获取完整的知识点归纳。

初中数学角平分线的几何知识点

初中数学角平分线的几何知识点初中数学角平分线的几何知识点初中数学角平分线的几何知识点2020-01-07初中数学角平分线的几何知识点角平分线要领：由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。

角平分线三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等。

三角形的角平分线不是角的平分线：前者是线段，后者是射线。

其它解释：角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。

三角形的角平分线定义三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。

(也叫三角形的内角平分线。

) 由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

且，三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

知识总结：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

初二数学学霸笔记(上册)

初二数学上册知识点复习梳理归纳第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：ma a ⨯⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法⑸添项法第十五章分式一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。

初二数学人教版知识点汇总复习

【知识点汇总复习】第十一章三角形知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.第十二章全等三角形知识概念：1. 基本定义：⑵全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2. 基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3. 全等三角形的判定定理：4. 角平分线：⑵画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.第十三章轴对称知识概念：1. 基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑷线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2. 基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质 .⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等. ②等腰三角形两底角相等（等边对等角）. ③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等. ②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一. ④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3. 基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4. 基本方法（做大题的辅助线做法/答题思路经验）：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

初中数学角平分线的性质知识点

初中数学角平分线的性质知识点
初中数学中，角平分线是一个重要的概念。

下面我们来探讨一下角平分线的性质。

一、角平分线的定义
角平分线是指把一个角平分为两个相等的角的线段。

二、角平分线的性质
1.角平分线与角的两边相交于角的顶点，并把角分为两个相等的角。

2.角平分线所在的平面上，与角的两边的延长线交于一点，这个点称为角的外心。

3.角平分线上的每一个点到角的两边的距离相等。

4.角平分线上的每一个点到角的外心的距离相等。

5.对于同一个角，高度相等的两条角平分线相交于角的外心。

6.角平分线将一个角分为两个相等的角，但是并不一定把一个平面分为两个相等的部分。

三、角平分线的性质应用
1.根据角平分线的定义和性质，可以帮助我们判断一个线段是否为角的平分线。

2.通过利用角平分线的性质，可以求解一些几何问题。

比如，已知一个角的两边和这个角的外心，可以求出这个角的平分线。

3.利用角平分线的性质，可以证明一些角的关系。

比如，可以利用角平分线的性质来证明角平分线是角的垂直平分线。

四、角平分线的相关定理
1.角平分线定理：如果一条直线与一个角的两边相交且把这个角平分为两个相等的角，则这条直线是这个角的平分线。

2.角平分线的外角性质：角平分线所在直径上的角是180度的外角。

五、角平分线的证明方法
1.角平分线的证明方法一般采用反证法或者直接证明。

比如，先假设直线不是角的平分线，然后利用假设得出矛盾，从而得到直线是角的平分线。

2.对于一些特殊的角，可以直接利用三角形的辅助线去证明角平分线的存在性和性质。

2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题07角平分线的性质(含答案)

∴∠CAB=∠B=45°， ∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°， ∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°， ∵∠CDA=∠EDA，
1 135
∴∠CDA=∠EDA= 2
=67.5°≠45°，
∴∠EDA≠∠BDE，
∴DE 不平分∠BDA，∴②错误； ∵AD 平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE， ∵AC=BC， ∴AE=AC=BC， ∵∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=CD， ∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正确； △BDE 周长是 BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正确；即正确的个数是 3，故选：B．【名师点拨】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线性质等知识点，能求出 AC=AE=BC 和 CD=DE=BE 是解此题的关键．变式 3-3．（2020·嵩县期末）如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）
A．3 【答案】A 【详解】
B．4
C．5
D．6
作 DE⊥AB 于 E， ∵AB=10，S△ABD =15， ∴DE=3， ∵AD 平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=3，故选 A.
变式 2-2．（2020·景泰县期中）如图所示，OP 平分 AOB ， PA OA ， PB OB ，垂足分别为 A、B．下列结
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；故选 C．考查题型二角平分线的性质定理典例 2（2019·云龙县期中）如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是 OC 上一点,PD⊥OA 于点 D,PD=6,则点 P 到边 OB 的距离为( )

人教版初二数学上册知识点归纳

人教版初二数学上册知识点归纳人教版初二数学上册知识点归纳有哪些你知道吗?上好数学课应该尽量地充分调动学生的各种感官，提高学生的学习兴趣，而不能把学生埋在越来越多的练习纸中。

一起来看看人教版初二数学上册知识点归纳，欢迎查阅!初二数学上册知识点归纳一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。

12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑴三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角⑴多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑴多边形的外角和：多边形的外角和为360°⑴多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形②边形共有条对角线第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

初二数学上册知识点

初二数学上册知识点初二数学上册知识点有哪些?初中数学知识相对比较浅显，更易于掌握，兴趣是思维的动因之一，兴趣是强烈而又持久的学习动机，兴趣是学好数学的潜在动力。

一起来看看初二数学上册知识点，欢迎查阅!八年级上册数学知识点总结一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称.这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形.②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.二、线段的垂直平分线1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、(等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(三线合一)2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(等角对等边)五、(等边三角形)知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 .2、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半.1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.(2)等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角).③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°―2∠B，∠B=∠C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角;2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等.1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等.1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)，那么这个三角形是等腰三角形;2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形.高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等.1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形;2、有两条高相等的三角形是等腰三角形.角等边对等角等角对等边边底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.(2)要会区别三角形中线与中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.数量关系：可以证明线段的倍分关系.常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半.结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.初二上数学知识点总结1 全等三角形的对应边、对应角相等2 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合10 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合23 推论3 等边三角形的.各角都相等,并且每一个角都等于60°24 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形27 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半29 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等30 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线34 定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上35 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称36 勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^237 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形38 定理四边形的内角和等于360°39 四边形的外角和等于360°40 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°初二上册数学知识点总结因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3.公因式的确定：系数的公约数?相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a-b)3=-(b-a)3.4.因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=(a+ b)(a- b);(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.5.因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6.因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.7.完全平方式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式? ”.分式1.分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子叫做分式.2.有理式：整式与分式统称有理式;即 .3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义;(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4.分式的基本性质与应用：(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变;(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变;即(3)繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5.分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分;注意：分式约分前经常需要先因式分解.6.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式;注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7.分式的乘除法法则： .8.分式的乘方： .9.负整指数计算法则：(1)公式：a0=1(a≠0), a-n= (a≠0);(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;(3)公式：， ;(4)公式： (-1)-2=1， (-1)-3=-1.10.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分;注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11.最简公分母的确定：系数的最小公倍数?相同因式的次幂.12.同分母与异分母的分式加减法法则： .13.含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14.公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形;注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16.分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根;注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17.分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母)，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解;若值不为零，求出的根是原方程的解;注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18.分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方1.平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，(即a的平方根是x);注意：(1)a叫x的平方数，(2)已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2.平方根的性质：(1)正数的平方根是一对相反数;(2)0的平方根还是0;(3)负数没有平方根.3.平方根的表示方法：a的平方根表示为和 .注意：可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4.算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为 .注意：0的算术平方根还是0.5.三个重要非负数：a2≥0 ,|a|≥0 ，≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6.两个重要公式：(1) ; (a≥0)(2) .7.立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，(即a的立方根是x).注意：(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为 ;即把a开三次方.8.立方根的性质：(1)正数的立方根是一个正数;(2)0的立方根还是0;(3)负数的立方根是一个负数.9.立方根的特性： .10.无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：?和开方开不尽的数是无理数.11.实数：有理数和无理数统称实数.12.实数的分类：(1) (2) .13.数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14.无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：(1)近似计算时，中间过程要多保留一位;(2)要求记忆： .三角形几何A级概念：(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)1.三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(如图) 几何表达式举例：(1) ∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分线2.三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.(如图)几何表达式举例：(1) ∵AD是三角形的中线∴ BD = CD(2) ∵ BD = CD∴AD是三角形的中线3.三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.(如图)几何表达式举例：(1) ∵AD是ΔABC的高∴∠ADB=90°(2) ∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高※4.三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.(如图)几何表达式举例：(1) ∵AB+BC>AC∴……………(2) ∵ AB-BC∴……………5.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (如图)几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是等腰三角形∴ AB = AC(2) ∵AB = AC∴ΔABC是等腰三角形6.等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. (如图)几何表达式举例：(1)∵ΔABC是等边三角形∴AB=BC=AC(2) ∵AB=BC=AC∴ΔABC是等边三角形7.三角形的内角和定理及推论：(1)三角形的内角和180°;(如图)(2)直角三角形的两个锐角互余;(如图)(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(如图)※(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(1) (2) (3)(4) 几何表达式举例：(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°∴…………………(2) ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°(3) ∵∠ACD=∠A+∠B∴…………………(4) ∵∠ACD >∠A∴…………………8.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.(如图)几何表达式举例：(1) ∵∠C=90°∴ΔABC是直角三角形(2) ∵ΔABC是直角三角形∴∠C=90°9.等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图) 几何表达式举例：(1) ∵∠C=90° CA=CB∴ΔABC是等腰直角三角形(2) ∵ΔABC是等腰直角三角形∴∠C=90° CA=CB10.全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等;(如图)(2)全等三角形的对应角相等.(如图)几何表达式举例：(1) ∵ΔABC≌ΔEFG∴ AB = EF ………(2) ∵ΔABC≌ΔEFG∴∠A=∠E ………11.全等三角形的判定：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. (如图) (1)(2)(3) 几何表达式举例：(1) ∵ AB = EF∵ ∠B=∠F又∵ BC = FG∴ΔABC≌ΔEFG(2) ………………(3)在RtΔABC和RtΔEFG中∵ AB=EF又∵ AC = EG∴RtΔABC≌RtΔEFG12.角平分线的性质定理及逆定理：(1)在角平分线上的点到角的两边距离相等;(如图)(2)到角的两边距离相等的点在角平分线上.(如图)几何表达式举例：(1)∵OC平分∠AOB又∵CD⊥OA CE⊥OB∴ CD = CE(2) ∵CD⊥OA CE⊥OB又∵CD = CE∴OC是角平分线13.线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.(如图)几何表达式举例：(1) ∵EF垂直平分AB∴EF⊥AB OA=OB(2) ∵EF⊥AB OA=OB∴EF是AB的垂直平分线14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理：(1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;(如图)(2)和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(如图)几何表达式举例：(1) ∵MN是线段AB的垂直平分线∴ PA = PB(2) ∵PA = PB∴点P在线段AB的垂直平分线上15.等腰三角形的性质定理及推论：(1)等腰三角形的两个底角相等;(即等边对等角)(如图)(2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;(如图)(3)等边三角形的各角都相等，并且都是60°.(如图)(1) (2) (3) 几何表达式举例：(1) ∵AB = AC∴∠B=∠C(2) ∵AB = AC又∵∠BAD=∠CAD∴BD = CDAD⊥BC………………(3) ∵ΔABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C =60°16.等腰三角形的判定定理及推论：(1)如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等;(即等角对等边)(如图)(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(如图)(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;(如图)(4)在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.(如图)(1) (2)(3) (4) 几何表达式举例：(1) ∵∠B=∠C∴ AB = AC(2) ∵∠A=∠B=∠C∴ΔABC是等边三角形(3) ∵∠A=60°又∵AB = AC∴ΔABC是等边三角形(4) ∵∠C=90°∠B=30°∴AC = AB17.关于轴对称的定理(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(如图)(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.(如图)几何表达式举例：(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴ΔABC≌ΔEGF(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴OA=OE MN⊥AE18.勾股定理及逆定理：(1)直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2;(如图)(2)如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(如图)几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是直角三角形∴a2+b2=c2(2) ∵a2+b2=c2∴ΔABC是直角三角形19.RtΔ斜边中线定理及逆定理：(1)直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半;(如图)(2)如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是直角三角形∵D是AB的中点∴CD = AB(2) ∵CD=AD=BD∴ΔABC是直角三角形几何B级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题) 一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1.三角形中，第三边长的判断：另两边之差<第三边<另两边之和.2.三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3.如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD?AB=BE?CA.4.三角形能否成立的条件是：最长边<另两边之和.5.直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7.如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：(1) AC?CB=CD?AB ; (2)∠1=∠B ，∠2=∠A .8.三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9.全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10.等边三角形是特殊的等腰三角形.11.几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13.几何习题经常用四种方法进行分析：(1)分析综合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法.14.几何基本作图分为：(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线.15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16.作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么;注意：每步作图都应该是几何基本作图.17.几何画图的类型：(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图.※18.几何重要图形和辅助线：(1)选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加;② 一举多得;③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角;④ 作辅助线必须符合几何基本作图.(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)① 在BA上截取BE=BC构造全等，转移线段和角;② 过D点作DE‖BC交AB于E，构造等腰三角形 .(3)已知三角形中线(若AD是BC的中线)① 过D点作DE‖AC交AB于E，构造中位线 ;② 延长AD到E，使DE=AD连结CE构造全等，转移线段和角;③ ∵AD是中线∴SΔABD= SΔADC(等底等高的三角形等面积)(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC① 作等腰三角形ABC底边的中线AD(顶角的平分线或底边的高)构造全等三角形;② 作等腰三角形ABC一边的平行线DE，构造新的等腰三角形.(5)其它① 作等边三角形ABC一边的平行线DE，构造新的等边三角形;② 作CE‖AB，转移角;③ 延长BD与AC交于E，不规则图形转化为规则图形;④ 多边形转化为三角形;⑤ 延长BC到D，使CD=BC，连结AD，直角三角形转化为等腰三角形;⑥ 若a‖b,AC,BC是角平分线,则∠C=90°.。

初二数学知识点归纳总结

初二数学知识点归纳总结1．全等三角形的判断方法:SSS SAS AAS ASA HL(HL是判断直角三角形全等的一个特殊方法，HL实际上是由前面四个方法归纳总结出来的，因此在正证明直角三角形时前面四种方法同样可用).2．在证明两个三角形全等时往往需注意乖公共边.公共角.对顶角等问题.3．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上注意：①见到角平分线我们往往需要在角平分线上任取一点向角的两边分别作垂线，采取这种方法往往可以事半功倍.②见到中线等问题时我们常常采用延长等长的长度来构造全等三角形.4、内心：三角形的三个内角平分线的交点（内心到三角形三边距离相等）外心：三角形三边垂直平分线的交点（外心到三个顶点距离相等）垂心：三角形三高的交点重心：三角形三条中线的交点旁心：三角形的一内角平分线和另外两顶点外的外角平分线的交点5、平面内到三角形三边距离相等的点有4个（一个内心，三个外心）6、轴对称图形只有一个图形，而轴对称涉及到两个或多个图形.7、在作轴对称图形时一般是先作几个特殊点对称，然后再依次连接各对称点即可.8、垂直平分线的性质①垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等②与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.9、点(,)a b 关于X 轴对称的点为),(b a -，关于Y 轴对称的点为),(b a -,关于原点对称的点为),(b a --，关于直线m x =对称的点为),2(b a m -，关于直线n y =对称的点为)2,(b n a -.10、在求最短路线和最短路程问题时，一般的是先做出某个点的对称点，然后再把对称点和之前那个点连接起来即可.11、有两边相等的三角形称为等腰三角形.12、等腰三角形点的性质：①等边对等角②等腰三角形的顶角平分线.地边上的中线.底边上的高互相重合，简称三线合一.13、等腰三角形的对称轴只有一条.14、等腰三角形的判定：等角对等边（实际上判断等腰三角形有两种方法①运用等腰三角形的概念直接判断②运用等腰三角形的判定方法来判定）.15、等边三角形的判定：①有三边都相等的三角形为等边三角形②有一个角为60的等腰三角形为等边三角形.16、证明一个三角形为等边三角形的方法：①证明三边都相等②证明三个角都相等③证明该三角形是等腰三角形且有一个角为60.17、在直角三角形中，如果有一个角为6π，那么它所对的直角边是斜边的一半（证明方法有四种以上）.它的逆命题也成立.18、等边三角形的对称轴有三条，即“三线”中的任意一条都可以.19、任何一个正数的算术平方根只有一个，算法即是对该数开平方即可.20、任何一个正数的平方根有两个(算法即是对该数开平方，然后添上正负号即可).21、算术平方根等于他本省的只有0.1.22、 211121= 212144= 213169= 214196= 215225= 216256= 217289= 218324= 219361= 220400= 23、若a 有意义，只需满足0a ≥就行.24、具有非负性的式子有20,0,0a a a ≥≥≥此三个式子常作为考点知识，需引起注意.25、任何一个正数都可以对它开立方.26、 311= 328= 3327= 3464= 35125= 36216= 37343= 38512= 39729= 3101000= 27.根式的运算:a b ab =a ab b = 33()a a = 2()a a = 3a a a = 2(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩28、立方根为它本身的数有101-、、。

八年级上册角平分线知识点

八年级上册角平分线知识点在初中数学学习中，角平分线是一个非常重要的知识点。

作为中学数学的一大难题，它在考试中也是常备不离的。

本文将为大家介绍有关八年级上册角平分线的知识点，以助大家更好地掌握这一部分内容。

一、定义角平分线，即是一个角内部的一条线段，将角分成两个相等的部分，使得这两个部分的夹角相等。

另一种定义是指，从一个角的顶点引一条射线，将原角分成两个度数相等的角。

二、定理1. 垂直平分线定理角的平分线同时也是角的垂直平分线，反之亦然。

如图所示，线段BD是角ABC的平分线，同时也是角ABC的垂直平分线。

2. 外角平分线定理外角平分线分外角成两个相等的角。

如图所示，角ABC的外角DEB的外角平分线DF分成两个相等的角。

3. 角平分线定理如果一条直线穿过一个三角形的一个角，且使这个角被分成两个相等的角，那么这条直线是该角的角平分线。

如下图所示，线段BD是角ABC的平分线，使角ABC分成了∠ABD和∠CBD两部分，两部分的角度相等。

三、应用知识点掌握后，需要通过大量的练习加深理解。

以下是几个衍生应用的例子。

1. 平分线相交定理：如图所示，设∠AOB的角平分线交线段CD于点E，则E为CD线段的中点。

2. 根据角平分线定理或外角平分线定理求角度大小。

3. 根据角平分线定理或外角平分线定理求线段长度。

四、注意事项1. 在使用角平分线定理时，要注意仔细观察所给出的角度是否已经准确好了。

2. 在求解方面时，一定要格外小心，多使用相应的公式，同时加强练习。

总之，八年级上册角平分线知识点是数学学习的一个重点领域，需要加强理论学习，加强应用实践，全面提高自己在数学方面的应试能力。