2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结
双曲线大题解题思路
双曲线大题解题思路
求解双曲线大题的思路如下：
1. 确定双曲线的方程形式：双曲线的一般方程形式为Ax^2 - By^2 = C，其中A、B和C为常数。
根据具体题目给出的信息，确定双曲线的方程形式。
2. 判断双曲线的类型：根据方程中A和B的值的正负情况来判断双曲线的类型。
当A和B同号时，双曲线的轴在x轴和y轴上；当A和B异号时，双曲线的轴不在坐标轴上。
3. 确定双曲线的中心和焦点：通过对方程进行标准化处理，将其转化为标准方程形式，可以得到双曲线的中心和焦点的位置。
4. 确定双曲线的渐近线：根据方程中A和B的值，可以确定双曲线的渐近线的位置和方程。
5. 确定双曲线的顶点和准线：根据方程中的参数，可以确定双曲线的顶点和准线的位置。
6. 确定双曲线的图像特征：根据方程中的参数，可以确定双曲线的离心率、焦距等图像特征。
7. 绘制双曲线的图像：根据确定的各个参数，可以绘制双曲线的图像，并且通过图像来验证之前的计算结果。
以上是求解双曲线大题的一般思路，具体问题具体分析，根据题目给出的条件和要求进行相应的推导和计算。
[理科]双曲线知识点总结与重点题型整理
![[理科]双曲线知识点总结与重点题型整理](https://img.taocdn.com/s3/m/9e21041caeaad1f347933fe1.png)
【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结与重点题型班级_______________知识点一：双曲线的定义在平面，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数〔大于0且〕的动点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边〞来理解；2. 假如去掉定义中的“绝对值〞，常数满足约束条件：〔〕，如此动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；假如〔〕，如此动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线〔a＞0，b ＞0〕的简单几何性质〔1〕对称性：对于双曲线标准方程〔a＞0，b＞0〕，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线〔a＞0，b＞0〕是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
〔2〕围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
〔3〕顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线〔a＞0，b＞0〕与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1〔―a，0〕，A2〔a，0〕，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1〔0，―b〕，B2〔0，b〕为y轴上的两个点，如此线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
双曲线大题解题思路
双曲线大题解题思路1. 什么是双曲线？双曲线是二次曲线的一种，其数学表达式为：其中，a、b为常数，x、y为变量。
双曲线的形状取决于a和b的值，具体分为以下几种情况：•当a>0，b>0时，双曲线开口朝x轴正方向和y轴正方向，称为右开双曲线。
•当a>0，b<0时，双曲线开口朝x轴正方向和y轴负方向，称为左开双曲线。
•当a<0，b>0时，双曲线开口朝x轴负方向和y轴正方向，称为右开双曲线。
•当a<0，b<0时，双曲线开口朝x轴负方向和y轴负方向，称为左开双曲线。
双曲线有许多重要的性质和应用，如焦点、准线、渐近线等，下面将详细介绍。
2. 双曲线的性质2.1 焦点和准线对于双曲线，我们可以定义两个重要的点：焦点和准线。
焦点是指到曲线上任意一点的距离与到准线上相应点的距离之差为常数的点。
准线是指到曲线上任意一点的距离与到焦点的距离之差为常数的直线。
对于右开双曲线，焦点位于x轴正半轴，准线位于x轴负半轴；对于左开双曲线，焦点位于x轴负半轴，准线位于x轴正半轴。
2.2 渐近线对于双曲线，还存在两条特殊的直线，称为渐近线。
渐近线是指曲线无限延伸时，曲线与直线之间的距离趋近于0的直线。
对于右开双曲线，存在两条渐近线，分别与x轴和y轴成45度角；对于左开双曲线，也存在两条渐近线，分别与x轴和y轴成45度角。
2.3 对称轴和中心对于双曲线，可以定义一个对称轴和一个中心。
对称轴是指曲线关于该直线对称。
对于右开双曲线，对称轴为y轴；对于左开双曲线，对称轴为x轴。
中心是指曲线的中心点，也是对称轴上的点。
对于右开双曲线，中心位于原点；对于左开双曲线，中心位于原点。
3. 双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点、准线、中心等信息推导得出。
以右开双曲线为例，其方程为：其中，c为焦点到中心的距离，a为焦点到准线的距离。
对于左开双曲线，其方程为：4. 双曲线的应用双曲线在数学和物理等领域有广泛的应用。
高中数学双曲线解题技巧总结
高中数学双曲线解题技巧总结引言本文旨在总结高中数学中关于双曲线解题的基本技巧和方法。
双曲线作为数学中的重要概念，应用广泛，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义可以通过焦点和准线的性质来描述。
在数学中，双曲线被广泛应用于几何推导、物理问题等领域。
双曲线的基本性质1. 双曲线有两个焦点，分别称为焦点F1和焦点F2。
焦点与曲线的准线之间的距离称为焦距。
2. 曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于一个常数，这个常数称为双曲线的离心率。
离心率大于1表示双曲线的形状更加扁平，离心率小于1表示双曲线的形状更加尖锐。
双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，常见的有标准方程和一般方程两种形式。
下面以标准方程为例，介绍解题技巧。
标准方程形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示曲线在x轴和y轴方向的半轴长。
解题技巧1. 初步了解问题，确定曲线类型：根据问题中给出的信息，确定曲线是否为双曲线。
2. 确定焦点和离心率：通过已知条件，确定双曲线的焦点和离心率。
3. 求解方程：将已知信息代入标准方程中，求解未知量。
4. 确定曲线的性质：根据已求得的方程，确定曲线的形状、焦点和离心率。
5. 进一步解题：根据问题要求，进一步求解相关的变量或问题。
示例问题1. 已知双曲线的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求双曲线方程。
2. 已知双曲线的方程为(x^2 / 9) - (y^2 / 16) = 1，求焦点和离心率。
结论通过掌握双曲线的基本性质和解题技巧，我们能够更加灵活地应用数学知识解决相关问题。
希望本文所提供的双曲线解题技巧能够对高中数学研究有所帮助。
参考资料。
高中数学：双曲线难题,3个技巧全破解!
高中数学：双曲线难题,3个技巧全破解!
“老师，怎么判断焦点在x轴，还是y轴呢？”
“老师，焦点到底怎么求啊？”
“老师，这个圆锥的双曲线方程我做对了吗？”
……
同学们的问题太多了，但是这些问题我在课堂上讲了无数次了，当时他们个个都说听懂了，但是，一下课后还是不会做，我也真是头疼。
“老师，双曲线这部分的内容，同学们都觉得很难，您可不可以帮我们简要的归纳一下，我们自己看啊？”保障来到办公室对我说。
“其实您在课堂上讲的时候，大家真的都听懂了，但是一做题还是不会，可能是我们没有掌握到。
”
看着一身瘦削的班长渴望的眼神，心里便不禁地颤抖了一下子。
现在的题目真的是越来越难了，孩子们学习起来的确是吃力。
为了帮助孩子们更好的学习，我应了班长的请求，去收集了历年关于双曲线的高考题，分析了其中的重点和关键，给同学们做了归纳。
关于高中数学中的双曲线考题，一般情况下只有三种形式，这三种形式分别用三个方法即可解答，分别是：直接法、定义法、待定系数法。
在高中数学的双曲线部分，双曲线的标准方程是主要的点，常考的题目是求实半轴长、虚半轴长，所以这个部分大家一定要掌握。
高中数学中的双曲线，虽然说考题很多，也经常做了很多练习，但我只是想要让通许们能够把知识掌握牢固、运用熟练，其实要考的点并不是很多，主要就是这三个题目，所以，请同学们一定要掌握好。
现在，一学期又要完了，希望同学们在最后阶段能够成功冲刺，考出高分。
2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结_共11页
顶点
质 轴
(a,0), (a,0)
(0,a), (0, a)
实轴长 2a，虚轴长 2b
离心率 渐近线 2．共渐近线的双曲线系方程：
ybx a
e c (1, ) a
yax b
x2 y2
x2 y2
与双曲线a2－b2＝1 有相同渐近线的双曲线系方程可设为a2－b2＝λ(λ≠0)，
若 λ>0，则双曲线的焦点在 x 轴上；若 λ<0，则双曲线的焦点在 y 轴上．
题型 2 求双曲线的标准方程 [例 2 ] 已知双曲线 C 与双曲线 x2 － y 2 =1 有公共焦点，且过点（3 2 ，2），
16 4 求双曲线 C 的方程．
[解析] 解法一：设双曲线方程为 x2 － y 2 =1.由题意易求 c=2 5 .
a2 b2
又双曲线过点（3 2 ，2），∴ (3 2)2 － 4 =1.
a2
2
b2
e 13 3
热点考点题型探析
考点 1 双曲线的定义及标准方程
题型 1：运用双曲线的定义 [例 1] 已知两圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆 M 与两圆
C1、C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )
x2 y2
x2 y2
A．x＝0 B. 2 －14＝1(x≥ 2)
Pi 与 P7i i 1,2,3关于 y 轴对称，则 P1F P2 F P3 F P4 F P5 F P6 F 的
值是（ ） A．9 B．16 C．18
D．27
[解析] P1F P6F P2F P5F P3F P4F 6 ，选 C
3.
P
是双曲线
双曲线大题解题思路
双曲线大题解题思路摘要：1.双曲线概念及性质回顾2.双曲线大题常见类型与解题思路3.解题技巧与策略4.实例分析与解答正文：在高中数学中，双曲线是一个重要的几何对象，其性质和应用广泛，高考中也常常出现相关的大题。
为了更好地应对这类题目，下面我们将对双曲线大题的解题思路进行梳理。
一、双曲线概念及性质回顾双曲线是一个平面曲线，它的每个点到两个给定点的距离之差等于一个常数。
这个常数称为双曲线的离心率。
根据离心率的不同，双曲线可以分为两类：椭圆、双曲线和抛物线。
双曲线具有以下几个重要性质：1.双曲线的两个焦点距离为定值，记作2c。
2.双曲线的离心率e（0<e<1）与焦距之间的关系：e = c/a，其中a为双曲线的半轴长。
3.双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，其中b为双曲线的半焦距。
二、双曲线大题常见类型与解题思路1.求解双曲线方程：根据题意，通过待定系数法、椭圆与双曲线性质转化等方法求解双曲线方程。
2.求解双曲线焦点坐标、离心率：利用双曲线性质，建立方程组求解。
3.探究双曲线与直线的位置关系：分析直线的斜率、截距与双曲线的关系，判断直线与双曲线的位置关系。
4.双曲线与参数方程：将双曲线方程转化为参数方程，利用参数方程求解问题。
5.双曲线与几何变换：平移、旋转等几何变换对双曲线性质的影响。
三、解题技巧与策略1.熟悉双曲线性质，善于转化和灵活运用。
2.分类讨论思想：根据题目的特点，对不同情况进行分类讨论。
3.数形结合：结合图形，直观分析问题。
4.方程与不等式：熟练掌握双曲线与方程、不等式的关系。
四、实例分析与解答以下为一个高考真题实例：已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a>b>0，点P(x, y)在双曲线上，且满足x + y = 2。
求点P到双曲线左焦点的距离。
解析：根据双曲线方程，可以得到a、b、c的关系，进而求得左焦点坐标。
将点P的坐标代入距离公式，即可求得答案。
专题11 双曲线解答题解题方法总结(解析版)
专题11双曲线解答题解题方法总结一．【学习目标】1.掌握双曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握双曲线方程的求法； 4.掌握直线与双曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二【知识点总结】 1．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0,0)x y a b b a -=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=> (5) 渐近线方程b y x a=±. 三【题型归纳】 （一）轨迹方程求法（二 ）双曲线的标准方程 （三）向量与双曲线 （四）三角形的面积问题 （五）参数的范围问题 （六）双曲线综合（七）双曲线的几何性质四【题型举例】 （一）轨迹方程求法例1. 如图，圆E ：(x ＋2)2＋y 2＝4，点F (2,0)，动圆P 过点F ，且与圆E 内切于点M ，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程．练习1. 已知一动圆与圆1C ：()2239x y ++=外切，且与圆2C ：()2231x y -+=内切. （1）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（2）过点()4,1Q 能否作一条直线l 与C 交于A ，B 两点，且点Q 是线段AB 的中点，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由.（二 ）双曲线的标准方程例2. 已知双曲线C 1：24x -212y =1． （1）若点M （3，t ）在双曲线C 1上，求M 点到双曲线C 1右焦点的距离； （2）求与双曲线C 1有共同渐近线，且过点（-3，6）的双曲线C 2的标准方程．练习1. （1）求与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点()32,2的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆22(3)(0)x m y m m ++=>的离心率32e =，求m 的值。
双曲线解题技巧
双曲线解题技巧
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠双曲线解题技巧这个超级有趣的话题！
咱就拿这个例子来说哈，已知双曲线方程，让咱求它的焦点坐标。
哎呀，这可咋整呢？别急呀！你得先把方程转化成标准形式，就像给它整了个容一样，让它更好看更清楚嘛！这不，一下就找到关键信息了。
比如说，方程里的 a、b 值，那可太重要啦！
然后呢，再想想，双曲线的性质咱得掌握吧！它就像一个有个性的家伙，有着独特的特点呢。
好比说渐近线，那可是双曲线的标志性特征呀！就像每个人都有自己独特的标志一样。
在解题的时候，你得跟双曲线培养感情呀！不能硬邦邦地去对待它。
就
像你跟好朋友相处，得用心去了解呀！比如说，看到一个条件，得马上联想到它背后隐藏的那些知识点，哎呀，这不是明摆着的嘛！
再看看这个例子，求双曲线与直线的交点，别急着下手呀！得先分析分
析它们的关系，是相切呀还是相交呀，这可大有讲究呢！要是没搞清楚就贸然行动，那可不行哟！
哎呀呀，其实双曲线解题技巧就像一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！只要咱用心去琢磨，去和它打交道，还怕搞不定它？我的观点就是，只要认真学，多练习，就没有搞不定的双曲线题！加油吧，朋友们！。
双曲线曲线解题技巧和方法综合(经典)
双曲线曲线解题技巧和方法综合(经典)1.概述本文将介绍双曲线曲线解题的经典技巧和方法。
双曲线是数学中常见的曲线类型，解题时需要掌握一些基本的技巧和方法。
2.双曲线的特点双曲线的方程通常具有以下形式：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1\] 或\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1\]，其中\(a\)和\(b\)是常数。
双曲线的特点包括：- 双曲线在原点有渐近线，其方程为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)。
可以利用渐近线的存在来确定双曲线的位置和形状。
- 双曲线有两条对称轴，分别与\(x\)轴和\(y\)轴重合。
对称轴可用于确定双曲线的中心和方向。
- 双曲线的焦点和准线也是其重要特征，通过计算焦点和准线的位置，可以更好地理解双曲线的性质。
3.双曲线的解题技巧和方法在解题过程中，可以采用以下技巧和方法来处理双曲线相关的问题：3.1 理解双曲线的方程对于给定的双曲线方程，首先要理解其形式和性质。
通过观察方程中的系数和常数项，可以判断曲线的形状、中心、方向等属性。
3.2 确定渐近线和对称轴根据双曲线方程，可以计算出渐近线和对称轴的方程。
这些信息有助于确定双曲线的位置和形状。
3.3 计算焦点和准线双曲线的焦点和准线是其重要特征，可以通过一定的计算方法来确定它们的位置。
焦点和准线的位置可以进一步帮助理解双曲线的性质。
3.4 利用基本的几何关系在解题过程中，利用双曲线的基本几何关系是很有用的。
例如，通过确定曲线上的特定点的坐标，可以计算出其他关键点的坐标。
4.实例分析为了更好地理解双曲线解题的技巧和方法，这里给出一个实例分析。
例题：已知双曲线方程为\(\frac{{x^2}}{{9}} - \frac{{y^2}}{{4}} = 1\)，求出焦点和准线的位置，并画出曲线的草图。
解析：通过观察方程，可以确定该双曲线的中心为原点，横轴上的半轴长为3，纵轴上的半轴长为2。
利用方程可以计算出焦点的位置为\((\pm3, 0)\)，准线的位置为\(y = \pm\frac{2}{3}x\)。
双曲线解题方法技巧
双曲线解题方法技巧
1. 嘿，双曲线解题可不能瞎碰运气呀！就像找宝藏要有地图一样。
比如给你个双曲线方程，那你是不是得先找出它的中心呀！这可太关键啦！就好比去一个陌生地方先得找到它的中心位置一样。
2. 哇塞，在解双曲线问题时，渐近线可是个大宝贝啊！你不利用它那可太亏啦！比如说，通过渐近线能迅速判断曲线的大致走向，这难道不神奇嘛！就像通过蛛丝马迹就能知道事情的发展方向。
3. 嘿哟，计算双曲线的离心率可别马虎呀！这可是反映双曲线“胖瘦”的关键。
举个例子，离心率大的双曲线那可就“瘦瘦”的，反之就“胖胖”的，是不是很形象呀！
4. 哎呀呀，遇到双曲线的焦点问题可别发怵！把焦点当成指引方向的灯塔呀！比如说根据焦点就能确定很多关键信息，就像有了灯塔船就不会迷失方向一样。
5. 哇哦，双曲线的定义可别小瞧呀！它能帮你解决大问题呢！举个例子，根据定义能很快判断某些点是否在双曲线上，多省事呀！
6. 嘿嘿，求解双曲线的最值问题的时候要动动脑筋呀！这就像是打游戏冲关一样刺激呢！比如说可以通过巧妙转化来求出最值，多有意思呀！
我的观点结论：双曲线解题方法技巧真的很有趣也很实用呀，掌握了这些，面对双曲线问题就不会头疼啦！。
双曲线解答题12大题型解题套路归纳
双曲线解答题12大题型解题套路归纳
一、求定点集合
双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，求定点集合时，可以将 $y^2$ 写成 $x^2$ 的函数形式，并根据方程的性质找到定点集合。
二、离心率和焦半径
根据双曲线的离心率和焦半径的定义，可以通过给定的参数求出离心率和焦半径的值。
三、图形的特征
通过双曲线方程的参数，可以推断出双曲线的图形特征，如开口方向、渐近线方程等。
四、焦点坐标和直线方程
根据双曲线的焦点和准线的定义，可以通过给定的参数求出焦点坐标和准线的直线方程。
五、参数方程
双曲线可以用参数方程表示，根据参数方程可以求出曲线上的
点坐标和对应切线方程。
六、求切线方程
可以通过给定的点在双曲线上求出切线的方程。
七、对称性
双曲线具有对称性，可以根据对称轴和对称中心的定义，求出
对称轴和对称中心的方程。
八、渐近线方程
根据双曲线的渐近线定义，可以求出渐近线的方程。
九、面积和弧长
可以通过积分求解，求出双曲线所围成的面积和双曲线的弧长。
十、双曲线与直线的位置关系
可以通过将直线方程代入双曲线方程，求解方程组，从而判断
双曲线与直线的位置关系。
十一、双曲线与坐标轴的交点
可以通过将双曲线方程的一个变量设为零，求解方程，从而求出与坐标轴的交点。
十二、双曲线与其他曲线的位置关系
可以通过将其他曲线的方程代入双曲线方程，求解方程组，从而判断双曲线与其他曲线的位置关系。
高中数学双曲线解题技巧
高中数学双曲线解题技巧双曲线是高中数学中的一个重要内容，它在解析几何中有着广泛的应用。
在考试中，经常会出现与双曲线相关的各种题目，因此掌握双曲线的解题技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将介绍一些常见的双曲线解题技巧，并通过具体的题目来说明。
一、双曲线的基本性质在解题之前，我们首先需要了解双曲线的基本性质。
双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的横轴和纵轴的半轴长。
双曲线的中心位于原点$(0,0)$，横轴和纵轴分别为$x=a$和$y=b$。
二、双曲线的图像与方程通过观察双曲线的方程，我们可以得到以下结论：1. 当$a=b$时，双曲线变为一对直线，方程为$x=\pm y$；2. 当$a>b$时，双曲线开口朝向$x$轴，称为右开双曲线；3. 当$a<b$时，双曲线开口朝向$y$轴，称为上开双曲线。
三、双曲线的焦点和准线双曲线有两个焦点和两条准线，它们与双曲线的性质密切相关。
1. 焦点：双曲线的焦点位于横轴上，坐标为$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$；2. 准线：双曲线的准线位于横轴上，坐标为$(\pm a,0)$。
四、双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，它们与双曲线的方程有关。
1. 横渐近线：当$x\to\infty$或$x\to-\infty$时，双曲线趋于横渐近线$y=0$；2. 纵渐近线：当$y\to\infty$或$y\to-\infty$时，双曲线趋于纵渐近线$x=0$。
五、双曲线的对称性双曲线具有许多对称性，这些对称性可以帮助我们解题。
1. 关于$x$轴对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,-y)$也在双曲线上；2. 关于$y$轴对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,y)$也在双曲线上；3. 关于原点对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,-y)$也在双曲线上。
双曲线大题解题思路
双曲线大题解题思路
摘要：
一、双曲线基本概念与性质
1.双曲线的定义
2.双曲线的性质
3.双曲线的标准方程
二、双曲线大题解题思路
1.分类讨论
2.利用已知条件建立方程
3.解方程求解
4.讨论结果与验证
正文：
双曲线是数学中一种重要的曲线，它有许多独特的性质和应用。
在解决双曲线大题时，我们需要掌握一定的解题思路，这将有助于我们更高效地解决问题。
首先，我们需要了解双曲线的基本概念和性质。
双曲线是由平面内一点到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹。
它有两条渐近线，且其方程可以表示为标准方程。
了解这些基本概念和性质将为解题奠定基础。
在解决双曲线大题时，我们通常需要按照以下思路进行：
1.分类讨论：根据题目的具体条件，将问题分为不同的类型。
例如，根据焦点位置、直线与双曲线的位置关系等进行分类。
2.利用已知条件建立方程：根据题目的条件，列出双曲线的方程。
这可能涉及到一些代数运算和几何知识，如平方差公式、韦达定理等。
3.解方程求解：将建立的方程进行化简，并求解未知量。
这可能涉及到一些高级的数学技巧，如因式分解、代数方法等。
4.讨论结果与验证：根据求解的结果，进行分类讨论，验证答案是否符合题意。
此外，还需要讨论一些特殊情况下答案的取值范围。
通过以上步骤，我们可以逐步解决双曲线大题。
需要注意的是，解题过程中要保持清晰的思路，并灵活运用所学知识。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.5双曲线
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.5双曲线三、双曲线（一）双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。
2．求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：221(0)mx ny mn +=<。
※例题解析※〖例〗已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。
解答：设动圆M 的半径为r则由已知1212|||||||MC r MC r MC MC ==-∴-=。
又1C （-4，0），2C （4，0），∴|1C 2C |=8，∴<|1C 2C |。
根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以1C （-4，0）、2C （4，0）为焦点的双曲线的右支。
222222,4,141(214a c b c a x y M x ==∴=-=∴-=≥点的轨迹方程是 （二）双曲线的几何性质 ※相关链接※1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。
同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线 （2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的斜率与离心率的关系。
双曲线的最值问题及解决方法
双曲线的最值问题及解决方法一、双曲线的基本概念及特点双曲线是一种常见的数学曲线，其特点是具有两个分支，且分支之间的距离随着自变量的变化而变化。
双曲线的标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
二、双曲线最值问题的提出在双曲线问题中，最值问题一直是学生和家长关注的焦点。
求解双曲线的最值，可以帮助学生更好地理解双曲线的性质，并提高解题能力。
那么如何解决双曲线最值问题呢？三、解决双曲线最值问题的方法1.利用双曲线性质求解根据双曲线的性质，我们可以知道双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于双曲线的离心率乘以双曲线上的点至两个焦点的距离之和。
利用这一性质，我们可以求解双曲线的最值问题。
2.转化为二次函数求解将双曲线方程化为标准二次函数形式，即y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k为常数。
根据二次函数的性质，我们可以知道当x = h - sqrt(4ak -b^2)/a 时，y取得最小值或最大值。
将此方法应用于双曲线问题，可以求解双曲线的最值。
3.利用数值方法求解当双曲线的方程不易求解时，我们可以采用数值方法求解。
例如，利用牛顿法、二分法等迭代算法，不断逼近双曲线的最值。
四、实际应用案例分析以一道高考真题为例：已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1，求解该双曲线在第一象限内的最大值和最小值。
解：首先，我们将双曲线方程化为标准形式，得到y = 3sqrt(x^2 - 4) / 2。
观察方程可知，当x = 2时，y取得最小值0；当x = sqrt(16 + 36) = 4时，y取得最大值3。
因此，在第一象限内，该双曲线的最大值为3，最小值为0。
五、总结与建议解决双曲线最值问题，需要掌握双曲线的性质，熟练运用二次函数求解方法，以及灵活运用数值方法。
在实际求解过程中，可以根据问题特点选择合适的方法。
双曲线大题解题思路
双曲线大题解题思路（原创实用版）目录1.双曲线的定义与性质2.双曲线的方程形式3.双曲线大题解题思路及方法4.双曲线的应用举例正文双曲线是一种重要的数学曲线，它在几何、代数、物理等多个领域中都有广泛的应用。
对于双曲线大题的解题思路，我们需要先了解双曲线的定义与性质，熟悉双曲线的方程形式，然后掌握解题的方法和技巧。
一、双曲线的定义与性质双曲线是平面上到两个定点距离之差等于常数的所有点的集合。
这个常数被称为双曲线的离心率，两个定点被称为双曲线的焦点。
双曲线具有以下性质：1.双曲线有两条渐近线，它们的斜率分别为正负离心率。
2.双曲线的离心率越大，曲线越扁平，越接近于一条直线。
3.当离心率为 1 时，双曲线退化为抛物线。
二、双曲线的方程形式双曲线的标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a 和 b 分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长，且 a > b。
根据双曲线的焦点位置，方程可以分为两种形式：1.当焦点在 x 轴上时，方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 12.当焦点在 y 轴上时，方程为：(x^2 / b^2) - (y^2 / a^2) = 1三、双曲线大题解题思路及方法1.确定双曲线的焦点位置，根据题目给出的条件判断焦点在 x 轴还是 y 轴上。
2.根据焦点位置，列出双曲线的标准方程，并求解方程中的参数 a、b、c。
3.利用双曲线的性质，结合题目条件，进行方程的化简和求解。
4.根据题目要求，求解双曲线与直线、圆等其他曲线的交点，或者求解双曲线在某一范围内的特定问题。
四、双曲线的应用举例1.求解双曲线与直线的交点：已知双曲线方程为 (x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，直线方程为 y = kx + b，求双曲线与直线的交点。
2.求解双曲线与圆的交点：已知双曲线方程为 (x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，圆的方程为 (x - c)^2 + y^2 = r^2，求双曲线与圆的交点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结知识点梳理： 1. 双曲线的定义第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程)0,(12222>=-b a by a x )0,(12222>=-b a bx a y 图像性 质焦点 )0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -焦距 c 2范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率 (1,)ce a=∈+∞ 渐近线x aby ±= x ba y ±= 2．共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上． 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； 3．基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝b ，|OB |＝c ，tan ∠AOB＝ba ， △OF 2D 中，|F 2D |＝b .4. 注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 5. 注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1] 已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B. x 22－y 214＝1(x ≥2) C. x 22－y 214＝1D. x 22－y 214＝1或x ＝0解析：如右图，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆M 与两圆都相内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切. ④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切. 在①②的情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b ＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1. 由①②③④可知选D.练习1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
2. 如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27 [解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C3. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a - （B ）b - （C ）c - （D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(||| 题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2），求双曲线C 的方程．[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8. ∴所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－k y +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.练习4. 已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 5. 以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为______________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x 6. 已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=> C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围[例3] 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．(方法2) a c a PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ， 双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于35,421≤∴≥-+e a c a (方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53．总结（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；（2）点P 在变化过程中，||||21PF PF 的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为c b a ,,的齐次式是关键 练习7. 已知双曲线221x y m n-=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为．[解析]当0,0>>n m 时，169=n m ，9252=+=m n m e ，当0,0<<n m 时，916=n m ，16252=+=n n m e ，=∴e 53或548. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）A ．215+ B ．2 C ．215+或2D ．不存在[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴ca a 2c ab ⋅3，2=∴e题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==ab ac e ,所以5=e【新题导练】9. 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( C )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x10.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（ ）A.abB.a 2＋b 2 C ．aD ．b解析：右焦点为F (c,0)，渐近线为bx ±ay ＝0，所求圆半径r 等于F (c,0)到直线bx ±ay ＝0的距离．考点3 双曲线的综合应用[例6] 已知等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上一定点P (x 0，y 0)及曲线C 上两动点A 、B 满足(OA →－OP →)·(OB→－OP →)＝0.(其中O 为原点) (1)求证：(OA →＋OP →)·(OB →＋OP →)＝0.(2)求|AB |的最小值．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AP 、BP 中点分别为M 、N ，则x 21－y 21＝a 2，x 20－y 20＝a 2，∴x 21－x 20＝y 21－y 20∴y 1－y 0x 1－x 0＝x 1＋x 0y 1＋y 0 同理y 2－y 0x 2－x 0＝x 2＋x 0y 2＋y 0∵(OA →－OP →)·(OB →－OP →)＝0， ∴AP →·BP →＝0，即AP →⊥BP → ∴y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，∴x 1＋x 0y 1＋y 0·x 2＋x 0y 2＋y 0＝－1 ∴OM ⊥ON 即(OA →＋OP →)·(OB→＋OP →)＝0 (2)又∵∠MON ＋∠MPN ＝π易知O 、M 、N 、P 四点共圆，且MN 为圆的直径，OP 为圆的任一弦，故|MN |≥|OP | ∴|AB |≥2|OP |＝2x 20＋y 20 因此|AB |最小值为2x 20＋y 20.10. (2010·广州一中)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2B. 3C. 5D.10解析：过点A (a,0)的直线的方程为y ＝－x ＋a ，则易求得该直线与双曲线的渐近线y ＝±b a x 的交点B 、C 的坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b 、C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，由AB →＝12BC →得b ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝ 5.故选C 课后练习1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-= [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b ，选A2. 已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F -、2(10,0)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅= ，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ） A ．2219x y -= B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -=[解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A3. 两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且,b a >则双曲线12222=-by ax 的离心率为( )A ．53B ．414C ．54D ．415[解析] 414,5=∴==c b a ，选D4. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为( ) A ．21B ．1C ．2D ．不确定[解析] C. 设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1，m a PF -=||2，2224)()(c m a m a =-++21122221222=+∴=+∴e e c m a 5.已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）(A).),21(+∞+ (B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c ca b ，选B6. 曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程[解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，． （2）设渐近线x y 43±=与直线c x l =:交于A 、B ，则23||cAB =，=⋅=∆2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又43=a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为1319161922=-y x 8. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为()3,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y .（2）将2=+y kx 代入2213-=x y 得22(13)6290---=k x kx由直线l 与双曲线交与不同的两点得()22221306236(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则 22629,1313-+==--A B A B x y x y k k ，由2∙> OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x2222296237(1)222131331-+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k 故的取值范围为33(1,),133⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭。