平面简谐波方程
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平面简谐波的波函数
y
o
第十章 波动
x
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
8
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程
A
y
O
u
P x
x
A
yO A cost
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
x x d x 则应有 （t ） （ t d t） u u
dx —— 相速度（相速） u 于是得到 dt 即简谐波的波速就是相速。
第十章 波动
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
y yo t t
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
10
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
已知振动方程，求解波动方程 1.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程 若点P的振动超前于点O，则波动方程为
由初始条件给出 由最大速度和最 大加速度给出
o
第十章 波动
x
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
8
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第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程
A
y
O
u
P x
x
A
yO A cost
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
x x d x 则应有 （t ） （ t d t） u u
dx —— 相速度（相速） u 于是得到 dt 即简谐波的波速就是相速。
第十章 波动
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
y yo t t
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
10
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
已知振动方程，求解波动方程 1.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程 若点P的振动超前于点O，则波动方程为
由初始条件给出 由最大速度和最 大加速度给出
平面简谐波概念
解：
•
（1）T 2， 40，u 2０，A 10， 2
T
T
且t 0时：yo 5，vo 0
O
2 3
(2) OB长度
Y(cm)
10 •
u
-5 •
解：O B （O B）2
oB
C
20
-5
x(cm)
•
t 0时：yB 0，vB 0
O
-A
x
P
x
P点比O点超前时间 反向波波函数
y
O
P
x
x
以波线上x0处点为参考点
y
则Q点处质点的振动方程为 A x0 Q
O -A
x
P
x
Q点的任一振动状态传到P点，需要时间
则波动方程：
其中：x xo u
— 表示x处质元的振动落后(或超前）xo处质元
振动的时间
(
x u
xo
)
—
表示x处质元的振动落后(或超前）于xo处质元
(2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位 依次落后
*u
=
T
=
u由介质的性质决定
T T振
振 由振源决定.
得波动方程:
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程 当t确定： y(x)——t时刻的波形
二、波的强度
1、能流P : 单位时间通过某一面积的波能 P su
—单位:焦耳/秒米2
波动在无吸收的、均匀无限大介质中传播，
1、平面波：A保持不变。
1
2
2、球面波：A与r成反比。 证明：1、 无吸收， P1 P2
14-2平面简谐波的波动方程
u
振动曲线 图形
A O
波形曲线
t A O t 0 P
t0 P
T
v
v
u x
研究 某质点位移随时间 对象 变化规律
由振动曲线可知
某时刻，波线上各质点 位移随位置变化规律
由波形曲线可知 该时刻各质点位移 波长 , 振幅A 只有t=0时刻波形才能提供初相
物理 周期 T 振幅 A 初相 0 意义
14-2 平面简谐波的波动方程
一、波函数的建立
波函数(wave function): 描述波传播媒质中不同质点的 运动规律,又称波动表达式(或波动方程).
y f x, t
依据：各质点沿波传播方 向相位依次落后. 平面波在传播过程中,波 线上的各质点都作同频率 同振幅的简谐运动—叫做 平面简谐行波(traveling wave). 波面为平面 传播中的波(相对于“驻波”而言)
x y A cos t u
(1)
P为任意点,波动表达式为
u O P( x )
x
方法2 波线上沿传播方向每走一个,相位落后2
P点相位比O落后
y P A cos(t
即
x
2π
x
y A cos(t
2π
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
平面简谐波的波动方程
m
0.5 10
yc 3102 c os(4 π t 13 π)
m
5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3102 cos2π( t x )
m
0.5 10
yD 3102 c os(4πo 9 π)
m
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y 3102 cos2π( t x ) 0.5 10
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y
t 0
y 0, v 0
y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
T
2π
C
u B 2π d dC
TC
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y t =T/4
A+∆t
u
求 O、a、b、c 各
b
点振动初相位(t=0).
Oa
c
(π ~ π )
A
A
O
A
O
y o π
y
a
π 2
A
O
y
O
y
A
t=T/4
m (以A为 坐标原点)
u
10m
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B点落后C点 :B
C
2 π
平面简谐波 波动方程
3
式中x以m计。
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
u
S
平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
1 平均能流： P w Su uSA2 2 2
2 2 2
u
I wu u A 2 z A 2
2
波的强度
其中介质的特性阻抗 z u 。 I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2) 平面余弦行波振幅不变的意义:
加速度
y x 2 A cos t 0 , 2 t u
2
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为 Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。
式中x以m计。
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
u
S
平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
1 平均能流： P w Su uSA2 2 2
2 2 2
u
I wu u A 2 z A 2
2
波的强度
其中介质的特性阻抗 z u 。 I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2) 平面余弦行波振幅不变的意义:
加速度
y x 2 A cos t 0 , 2 t u
2
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为 Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。
平面简谐波的运动方程
y( x,t ) 310-2 cos(4 π t - kx) k 2 5
(310-2 ) cos(4πt - x )
5
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
20
5-2 平面简谐波的波函数
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA y(5,t ) (310-2 ) cos(4 π t )
t0 x0
y 0, v y 0 - π
t
2
y cos[2π( t - x ) - π ] (m) 2.0 2.0 2
cos(t - x - )
2
O
y
A
18
5-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度u 20 m s-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 310-2 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
5
yC
y(-13,t )
(310-2 ) cos[4 π t
13 π] 5
yD
y(9,t )
( 3 10-2
)cos[4 π t
-
9 5
π]
u
yA (310 -2 )co1s(04mπ t )
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
22
5-2 平面简谐波的波函数
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程
5-2 平面简谐波的波函数
5.2.1 平面简谐波的运动方程--波函数 一、波长 波的周期和频率 波速
1 波长
波传播方向上相邻两振动状态完全相同
的质点间的距离（一完整波的长度）.
Ay
u
O
x
-A
(310-2 ) cos(4πt - x )
5
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
20
5-2 平面简谐波的波函数
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA y(5,t ) (310-2 ) cos(4 π t )
t0 x0
y 0, v y 0 - π
t
2
y cos[2π( t - x ) - π ] (m) 2.0 2.0 2
cos(t - x - )
2
O
y
A
18
5-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度u 20 m s-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 310-2 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
5
yC
y(-13,t )
(310-2 ) cos[4 π t
13 π] 5
yD
y(9,t )
( 3 10-2
)cos[4 π t
-
9 5
π]
u
yA (310 -2 )co1s(04mπ t )
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
22
5-2 平面简谐波的波函数
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程
5-2 平面简谐波的波函数
5.2.1 平面简谐波的运动方程--波函数 一、波长 波的周期和频率 波速
1 波长
波传播方向上相邻两振动状态完全相同
的质点间的距离（一完整波的长度）.
Ay
u
O
x
-A
平面简谐波的波动方程
方向的运动情况.
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
16_02_平面简谐波 波动方程
x1 点的振动方程： y1 (t ) 0.01cos[200 (t
1 ) ] ( m ) —— x 1 m 400 2
1 ) ] 2 1 (200 t ) [200 (t 2 400 2
2 1
3)
REVISED TIME: 09-10-7
-2-
CREATED BY XCH
普通物理学_程守洙_第十六章 机械波和电磁波_20090921
波数 波数 —— 波线单位长度内波的数目： k
2
x
—— 将 2 k 代入 y ( x, t ) A cos[2 ( t 3 波动方程 简谐波的波函数： y ( x, t ) A cos[ (t 对时间的二阶偏微分： 对坐标的二阶偏微分： 则：
2) 距波源 x2 2m 和 x1 1m 的两点间的振动相差
x2 点的振动方程： y2 (t ) 0.01cos(200 t ) ( m) —— x 0 2
REVISED TIME: 09-10-7 -4CREATED BY XCH
普通物理学_程守洙_第十六章 机械波和电磁波_20090921
x x0 ) 0 ] u
例题 04 如图 XCH004_135_00 所示的是一平面简谐波在 t 0 时刻的波形图，设该简谐波的频率 为 250 Hz ，且此时质点 P 的运动方向向下，求： 1) 该波的波函数； 2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与质点速度表达式。
x u
x u
x ) 0 ] —— 波动方程，或波函数 u 2 ， uT T
—— 波函数既是时间的周期性函数，又是空间的周期性函数。 波函数的几种表示：利用关系： 2
16-2平面简谐波 波动方程
2π x1 即 y = Acosω t λ 上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率ω 上式代表 作简谐运动。 作简谐运动。 y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是 的函数。 一定。 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
2π x 即 y = Acosω t1 λ
y /cm
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
M1
M2
a
10 20
b
30 40 50 60 70
x /cm
t=0
波动方程的推导
y /cm
由波形曲线图可看出： 解 由波形曲线图可看出： 0.5 0.4 (1) A=0.5cm； (2) λ=40cm； (3)由波速公式计算出 (3)由波速公式计算出
3 3
波动方程的推导
可见此点的振动相位比原点落后， 可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 π 2，或 落后 T 4，即2×10-5s。 。 (4)该两点间的距离 (4)该两点间的距离 x = 10 cm = 0.10 m = λ 4 ，相应 的相位差为
25 × 103π t π m y = 0.1 × 10 cos 2
解
棒中的波速
u=
Y
1.9 × 1011 N m 2 = = 5.0 × 103 m/s 3 3 ρ 7.6 × 10 kg m
u 5.0 × 103 m s 1 波长 λ = = = 0.40 m 3 1 v 12.5 × 10 s
波动方程的推导
周期 T = 1 v = 8 × 10 s (1)原点处质点的振动表式 (1)原点处质点的振动表式 y0=Acosω t=0.1×10-3cos(2π×12.5×103t)m =0.1×10-3cos25×103πt m (2)波动表式
7-2平面简谐波的波动方程
时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO A cost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yP
A cos (t
x) u
➢ 波动方程
A y u
y Acos (t x)
u
相位落后法
Ox
P
*
x 点 O 振动方程
设x 0 , 0 0
A
yo A cost
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面 简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设x 0, 0 0
yO Acost
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
波程差 x21 x2 x1
波程差与位相差
2π x
3 若 x, t 均变化，波动方程表示波形沿传播
方向的运动情况.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
x ut （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
点 P 比点 O 落后的相位
p
O
2π x
p
2π
x
2π x Tu
x u
yp Acos(t p )
点 P 振动方程
yp
A cos (t
x) u
大学物理第十六章机械波第二节平面简谐波 波动方程
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
A
A 2
T
0.5 102
2 m/s
1 30
0.94 m/s
(6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 4而到达
高等教育大学教学课件 大学物理
§16-2 平面简谐波 波动方程
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频 率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般 不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知， 任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它 们离开各自的平衡位置有相同的位移。
波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变 化关系。
y /cm
M 1 和'
M 2处' 。
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
谢谢欣赏!
Hale Waihona Puke A cos2
t
x
0
y(x,t) Acos( t k x 0) 其中 k 2
平面简谐波的波动表式
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A c os
t
2
x1
0
物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2
பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形
一平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的 位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
y
问题？
o
x
由波动方程如何确定任意时刻的波 形方程？
5-2 平面简谐波的波动方程
3、x和t都变化
波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。 一方面了波线上任意点的振动情况，另一 方面给出任意时刻的波形。
y
u
xa
b
A
oB
B点振动滞后于A点的时间 ：
AP a b
uu
B点振动方程 ：
y B y A ( t ) = A c o s [( t ) + 0 ] A c o s [( t a u b ) + 0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 m T0.5s 0 0
程（y-t 的关系）。
问题？
由波动方程如何确定波线上任 意一点的振动方程？
5-2 平面简谐波的波动方程 波线上各点的简谐振动图
5-2 平面简谐波的波动方程
2、t一定，x变化
yAcost2πx0
y f (x)
令 0 t0C（定值）
则 yAcos2πx0
λuT10m
yAcos[2π(T t x)0]
平面简谐波
dx
dt k
2 / T 2 / T
p
• 波传播过程中，波的等相位面是以速率
p / T 沿波传播方向推进的。
• 对于平面简谐波，波相速等于波速。
三、平面简谐波的波动方程
以最简形式的正向波为例，波函数为：
y( x, t) Acos( t－kx) Acos[(t x )]
u
2 y x 2
y( x, t) Acos( t kx)
(2) 给定 t = t0 时
y( x, t0 ) Acos( t0－kx)
——表示 t0 时刻的波形
y
u
y1
o
x1
t0时刻的波形曲线
x
二、平面简谐波的物理意义
y( x, t) Acos( t kx)
(3) 在 x 与 t 都变化时
y(x x, t t) Acos[(t t k(x x)]
1 u2
2 y t 2
(对正、负向波均成立)
三、平面简谐波的波动方程
一般平面波均可表示为平面简谐波的线性叠加。
y C1 y1 C2 y2
2y 1 2y x2 u2 t 2
平面波方程
意
对坐标x和时间t 的关系满足平面波方程的任 何物理量，必以平面波的形式沿x轴传播，
义 且传播速度为u.
三、平面简谐波的波动方程
u P
x
随堂练习
3、简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz， 波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图，求 波函数。
y 0.1
x 0.05
y(x,t) Acos(t kx 0)
欢迎网上答疑
(1) 若某物理量（设为 ）在三维空间中以平面波形式
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
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x v
x
(10.2.1)
结束
第十章 波动和声
若波向负x方向传播
P点运动传到 O 点需用时：
y
O
v
p
Δt v
x
x
x 2 πx P点的相位超前于O点相位： v
x y( x , t ) A cos ( t ) v
平面谐波一般表达式
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波.
2 π ( t x ) v
此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x，在t 时刻的 x π 相位为 2 π ( t ) v 3
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第十章 波动和声 所以 由此得
x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
1 x x 6
t
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结束
第十章 波动和声
(2) t一定（统观波线上所有质点）
这时, y 仅为 x 的周期函数.当 t = t0 时
x y A cos ( t 0 ) v
表达式变成 y – x 关系，表达了 t = t0 时刻空间各点的 位移分布——波形图. y t 时刻的波形曲线
O
x
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) ]
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结束
第十章 波动和声
[例题1] 平面简谐波方程为π / 3]
如何将此方程化成为最简形式. [解] 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始 相位为零.
（1）移动坐标原点 选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标
原点.对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为
在t = 0时刻的波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试 写出波方程. y/m
u
. 12 5 x/m
O
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结束
第十章 波动和声 [解 ]
= 24m A = 5m u 600 1 1 s 25s 24 2π 50π rad s-1
π 2
因此下述几式等价：
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第十章 波动和声
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] v
y( x, t ) A cos[ t kx ]
t x y( x , t ) A cos[ 2 π( ) ] T y( x , t ) A cos[ 2 π(t x
第十章 波动和声 波长 波速与频率之间的关系为
v
T
2π
通过波速v 联系起来
,ω——波在空间的周期性
,k——波在时间上的周期性
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结束
第十章 波动和声
§10.2.2平面简谐波方程的多种形式
利用
2π 2π T
T v v
2π k v
原点处质点的振动方程为
波动方程为
π y0 5 cos( 50 πt ) 2
x π y 5 cos[ 50 π( t ) ] 600 2
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x y A cos[ ( t ) ] v
第十章 波动和声
2. 讨论 位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数 (1)当 x 一定时，令 x = x0
x0 y A cos ( t ) v
表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程. y x0 T x0相位比 x=0 点落后 A v O -A 所以式(10.2.1)反映了介质中各点的运动规律.
O
y
v
p
x
x
返回 结束
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第十章 波动和声 设 t 时刻O点振动表达式： y A cost 其中 y 是质点在y方向上的位移，A—振幅,
—角频率（圆频率）.
求同一时刻任意点x的振动. O点振动传到 x 点需用时 x Δt v 相位落后
y
O
v
p
x
x x点的运动方程 y( x , t ) A cos ( t ) v
返回
结束
第十章 波动和声 (3) x、t 均变
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] 具有波动意义 v
即: ① 各质点各自振动 ; y y1 x1 x2 x t 时刻
② 波形向前传播.
t +t 时刻
x
Δx uΔt
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结束
第十章 波动和声 如图：y(t , x1 )
y(t Δt , x2 )
因振动频率不变，所以这两点相位相同.即
x1 x2 ( t ) （ [ t Δt） ] v v x 2 x1 v 整理得： Δt
v 就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度， 所以也称v为相速. 令 波数
2π k v
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1 表明坐标原点应沿x轴正向移动 6
（2）改变计时起点
x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
由此可得
T t t 6
表明计时起点应向前移六分之一周期.
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第十章 波动和声
[例题2] 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它
第十章 波动和声
§10.2 平面简谐波方程
§10.2.1 平面简谐波方程 §10.2.2平面简谐波方程的多种形式
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第十章 波动和声
§10.2 平面简谐波方程
§10.2.1 平面简谐波方程
简谐波——简谐振动在媒质中的传播.
数学描述 y = f (x,t) 1. 简谐波的运动学方程 仅讨论:无损耗、无限大媒介、无反射波介入. 以横波为例建立 y = f (x,t) 行波——相位逐点传波的波. 设简谐波沿正 x 方向传播.
x v
x
(10.2.1)
结束
第十章 波动和声
若波向负x方向传播
P点运动传到 O 点需用时：
y
O
v
p
Δt v
x
x
x 2 πx P点的相位超前于O点相位： v
x y( x , t ) A cos ( t ) v
平面谐波一般表达式
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波.
2 π ( t x ) v
此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x，在t 时刻的 x π 相位为 2 π ( t ) v 3
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第十章 波动和声 所以 由此得
x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
1 x x 6
t
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第十章 波动和声
(2) t一定（统观波线上所有质点）
这时, y 仅为 x 的周期函数.当 t = t0 时
x y A cos ( t 0 ) v
表达式变成 y – x 关系，表达了 t = t0 时刻空间各点的 位移分布——波形图. y t 时刻的波形曲线
O
x
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) ]
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第十章 波动和声
[例题1] 平面简谐波方程为π / 3]
如何将此方程化成为最简形式. [解] 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始 相位为零.
（1）移动坐标原点 选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标
原点.对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为
在t = 0时刻的波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试 写出波方程. y/m
u
. 12 5 x/m
O
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第十章 波动和声 [解 ]
= 24m A = 5m u 600 1 1 s 25s 24 2π 50π rad s-1
π 2
因此下述几式等价：
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第十章 波动和声
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] v
y( x, t ) A cos[ t kx ]
t x y( x , t ) A cos[ 2 π( ) ] T y( x , t ) A cos[ 2 π(t x
第十章 波动和声 波长 波速与频率之间的关系为
v
T
2π
通过波速v 联系起来
,ω——波在空间的周期性
,k——波在时间上的周期性
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第十章 波动和声
§10.2.2平面简谐波方程的多种形式
利用
2π 2π T
T v v
2π k v
原点处质点的振动方程为
波动方程为
π y0 5 cos( 50 πt ) 2
x π y 5 cos[ 50 π( t ) ] 600 2
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x y A cos[ ( t ) ] v
第十章 波动和声
2. 讨论 位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数 (1)当 x 一定时，令 x = x0
x0 y A cos ( t ) v
表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程. y x0 T x0相位比 x=0 点落后 A v O -A 所以式(10.2.1)反映了介质中各点的运动规律.
O
y
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第十章 波动和声 设 t 时刻O点振动表达式： y A cost 其中 y 是质点在y方向上的位移，A—振幅,
—角频率（圆频率）.
求同一时刻任意点x的振动. O点振动传到 x 点需用时 x Δt v 相位落后
y
O
v
p
x
x x点的运动方程 y( x , t ) A cos ( t ) v
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第十章 波动和声 (3) x、t 均变
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] 具有波动意义 v
即: ① 各质点各自振动 ; y y1 x1 x2 x t 时刻
② 波形向前传播.
t +t 时刻
x
Δx uΔt
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第十章 波动和声 如图：y(t , x1 )
y(t Δt , x2 )
因振动频率不变，所以这两点相位相同.即
x1 x2 ( t ) （ [ t Δt） ] v v x 2 x1 v 整理得： Δt
v 就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度， 所以也称v为相速. 令 波数
2π k v
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1 表明坐标原点应沿x轴正向移动 6
（2）改变计时起点
x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
由此可得
T t t 6
表明计时起点应向前移六分之一周期.
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[例题2] 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它
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§10.2.1 平面简谐波方程 §10.2.2平面简谐波方程的多种形式
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§10.2 平面简谐波方程
§10.2.1 平面简谐波方程
简谐波——简谐振动在媒质中的传播.
数学描述 y = f (x,t) 1. 简谐波的运动学方程 仅讨论:无损耗、无限大媒介、无反射波介入. 以横波为例建立 y = f (x,t) 行波——相位逐点传波的波. 设简谐波沿正 x 方向传播.