平面简谐波方程
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第十章 波动和声
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] v
y( x, t ) A cos[ t kx ]
t x y( x , t ) A cos[ 2 π( ) ] T y( x , t ) A cos[ 2 π(t x
1 表明坐标原点应沿x轴正向移动 6
（2）改wenku.baidu.com计时起点
x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
由此可得
T t t 6
表明计时起点应向前移六分之一周期.
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第十章 波动和声
[例题2] 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它
原点处质点的振动方程为
波动方程为
π y0 5 cos( 50 πt ) 2
x π y 5 cos[ 50 π( t ) ] 600 2
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2 π ( t x ) v
此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x，在t 时刻的 x π 相位为 2 π ( t ) v 3
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第十章 波动和声 所以 由此得
x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
1 x x 6
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第十章 波动和声 (3) x、t 均变
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] 具有波动意义 v
即: ① 各质点各自振动 ; y y1 x1 x2 x t 时刻
② 波形向前传播.
t +t 时刻
x
Δx uΔt
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第十章 波动和声 如图：y(t , x1 )
y(t Δt , x2 )
因振动频率不变，所以这两点相位相同.即
x1 x2 ( t ) （ [ t Δt） ] v v x 2 x1 v 整理得： Δt
v 就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度， 所以也称v为相速. 令 波数
2π k v
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x y A cos[ ( t ) ] v
第十章 波动和声
2. 讨论 位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数 (1)当 x 一定时，令 x = x0
x0 y A cos ( t ) v
表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程. y x0 T x0相位比 x=0 点落后 A v O -A 所以式(10.2.1)反映了介质中各点的运动规律.
第十章 波动和声 波长 波速与频率之间的关系为
v
T
2π
通过波速v 联系起来
,ω——波在空间的周期性
,k——波在时间上的周期性
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第十章 波动和声
§10.2.2平面简谐波方程的多种形式
利用
2π 2π T
T v v
2π k v
第十章 波动和声
§10.2 平面简谐波方程
§10.2.1 平面简谐波方程 §10.2.2平面简谐波方程的多种形式
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第十章 波动和声
§10.2 平面简谐波方程
§10.2.1 平面简谐波方程
简谐波——简谐振动在媒质中的传播.
数学描述 y = f (x,t) 1. 简谐波的运动学方程 仅讨论:无损耗、无限大媒介、无反射波介入. 以横波为例建立 y = f (x,t) 行波——相位逐点传波的波. 设简谐波沿正 x 方向传播.
t
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第十章 波动和声
(2) t一定（统观波线上所有质点）
这时, y 仅为 x 的周期函数.当 t = t0 时
x y A cos ( t 0 ) v
表达式变成 y – x 关系，表达了 t = t0 时刻空间各点的 位移分布——波形图. y t 时刻的波形曲线
O
x
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) ]
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第十章 波动和声
[例题1] 平面简谐波方程为
y A cos[2π (t x / v ) π / 3]
如何将此方程化成为最简形式. [解] 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始 相位为零.
（1）移动坐标原点 选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标
原点.对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为
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x v
x
(10.2.1)
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第十章 波动和声
若波向负x方向传播
P点运动传到 O 点需用时：
y
O
v
p
Δt v
x
x
x 2 πx P点的相位超前于O点相位： v
x y( x , t ) A cos ( t ) v
平面谐波一般表达式
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波.
O
y
v
p
x
x
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第十章 波动和声 设 t 时刻O点振动表达式： y A cost 其中 y 是质点在y方向上的位移，A—振幅,
—角频率（圆频率）.
求同一时刻任意点x的振动. O点振动传到 x 点需用时 x Δt v 相位落后
y
O
v
p
x
x x点的运动方程 y( x , t ) A cos ( t ) v
在t = 0时刻的波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试 写出波方程. y/m
u
. 12 5 x/m
O
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第十章 波动和声 [解 ]
= 24m A = 5m u 600 1 1 s 25s 24 2π 50π rad s-1
π 2
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第十章 波动和声
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] v
y( x, t ) A cos[ t kx ]
t x y( x , t ) A cos[ 2 π( ) ] T y( x , t ) A cos[ 2 π(t x
1 表明坐标原点应沿x轴正向移动 6
（2）改wenku.baidu.com计时起点
x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
由此可得
T t t 6
表明计时起点应向前移六分之一周期.
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第十章 波动和声
[例题2] 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它
原点处质点的振动方程为
波动方程为
π y0 5 cos( 50 πt ) 2
x π y 5 cos[ 50 π( t ) ] 600 2
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2 π ( t x ) v
此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x，在t 时刻的 x π 相位为 2 π ( t ) v 3
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第十章 波动和声 所以 由此得
x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
1 x x 6
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第十章 波动和声 (3) x、t 均变
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] 具有波动意义 v
即: ① 各质点各自振动 ; y y1 x1 x2 x t 时刻
② 波形向前传播.
t +t 时刻
x
Δx uΔt
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第十章 波动和声 如图：y(t , x1 )
y(t Δt , x2 )
因振动频率不变，所以这两点相位相同.即
x1 x2 ( t ) （ [ t Δt） ] v v x 2 x1 v 整理得： Δt
v 就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度， 所以也称v为相速. 令 波数
2π k v
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x y A cos[ ( t ) ] v
第十章 波动和声
2. 讨论 位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数 (1)当 x 一定时，令 x = x0
x0 y A cos ( t ) v
表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程. y x0 T x0相位比 x=0 点落后 A v O -A 所以式(10.2.1)反映了介质中各点的运动规律.
第十章 波动和声 波长 波速与频率之间的关系为
v
T
2π
通过波速v 联系起来
,ω——波在空间的周期性
,k——波在时间上的周期性
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§10.2.2平面简谐波方程的多种形式
利用
2π 2π T
T v v
2π k v
第十章 波动和声
§10.2 平面简谐波方程
§10.2.1 平面简谐波方程 §10.2.2平面简谐波方程的多种形式
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§10.2 平面简谐波方程
§10.2.1 平面简谐波方程
简谐波——简谐振动在媒质中的传播.
数学描述 y = f (x,t) 1. 简谐波的运动学方程 仅讨论:无损耗、无限大媒介、无反射波介入. 以横波为例建立 y = f (x,t) 行波——相位逐点传波的波. 设简谐波沿正 x 方向传播.
t
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第十章 波动和声
(2) t一定（统观波线上所有质点）
这时, y 仅为 x 的周期函数.当 t = t0 时
x y A cos ( t 0 ) v
表达式变成 y – x 关系，表达了 t = t0 时刻空间各点的 位移分布——波形图. y t 时刻的波形曲线
O
x
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) ]
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第十章 波动和声
[例题1] 平面简谐波方程为
y A cos[2π (t x / v ) π / 3]
如何将此方程化成为最简形式. [解] 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始 相位为零.
（1）移动坐标原点 选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标
原点.对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为
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x v
x
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第十章 波动和声
若波向负x方向传播
P点运动传到 O 点需用时：
y
O
v
p
Δt v
x
x
x 2 πx P点的相位超前于O点相位： v
x y( x , t ) A cos ( t ) v
平面谐波一般表达式
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波.
O
y
v
p
x
x
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第十章 波动和声 设 t 时刻O点振动表达式： y A cost 其中 y 是质点在y方向上的位移，A—振幅,
—角频率（圆频率）.
求同一时刻任意点x的振动. O点振动传到 x 点需用时 x Δt v 相位落后
y
O
v
p
x
x x点的运动方程 y( x , t ) A cos ( t ) v
在t = 0时刻的波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试 写出波方程. y/m
u
. 12 5 x/m
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第十章 波动和声 [解 ]
= 24m A = 5m u 600 1 1 s 25s 24 2π 50π rad s-1
π 2